chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc

CHỦ ĐIỂM 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =
x 1
| |
x 2
+
+

d) y =
x 1
| x 2|
+
+
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
x 3x 3
| x 1|
+ +
+
= m
Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số:
2 | x |
y
| x | 1
=
−
2) Dùng (C
1
) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
(m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2]. (ĐH QG TP HCM KD)
Bài 4: Cho hàm số: y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006)
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

y = 2|x|
3
– 9x
2
+ 12|x| = m
VẤN ĐỀ 2:
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
1
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
Bài 2: Cho hàm số: y = – x
3
+ 3mx
2
+3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2

(C
m
)
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C
m
)
(ĐH KA – 2002)
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
Bài 4: Cho hàm số
2
x (m 1)x m 1
y
x m
+ + − +
=
−
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0
c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ thị.

VẤN ĐỀ 3:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA
A. Phương pháp:
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
2
Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C), ta có các bài toán sau:
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆


<

g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0

y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆


<


> >


<

g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0

x 0,x 0
ad 0
∆


<



< <


>



g
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox)
⇔
'
f (x)
max min
> 0

y .y 0
∆


=

hay hệ
f (x) 0

f (x) 0
'
=




=


có nghiệm (Điều kiện tiếp xúc)
g
(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔
'
'
f (x)
f (x)
max min
0
> 0
y .y 0
∆ ≤


∆




>


g
Ngoài ra dựa vào đồ thị ta còn có nhiều bài toán khác…
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với hoành, biết:
a) (C
m
): y = x
3
- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 2: Cho (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C

m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 3: Cho (C
m
):
3 3
2 2
x m
y mx (m 1)x
3 3
= − + − −

Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x
3
- 3x + m = 0
ĐS: -1< m < 1
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
3
VẤN ĐỀ 4
BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ (m, a,…)
ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH F(x,m) CÓ N NGHIỆM
A. PHƯƠNG PHÁP:
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai cách sau đây:
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C): f(x) với đường
thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) )
Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m
1x
2
+
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
m)x6)(x3(x6x3
=−+−−++
2) x + 3 = m
2
1x +
3)
m1xx1xx
22
=+−−++
4)
6mx4xmx4x
4
44
=+++++
5) m(
22422
x1x1x12)2x1x1
−−++−=+−−+
(ĐH KB – 2004)
6) 3
4
2
1x21xm1x

−=++−
(ĐH KA – 2007)
7) x
3
+ 3x
2
- 2
3 2
x +3x
+ m -1 = 0
8)
2
2
4 4 log (16 8)x x x x m+ − = − + −
Bài 3: CMR với
∀
m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt:
x
2
+ 2x - 8 =
.( 2)m x
−
(ĐH K
B
– 2007)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

1x22mxx
2
+=++

(ĐH K
B
– 2006)
VẤN ĐỀ 5
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
A. PHƯƠNG PHÁP
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
4
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả
mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0

: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x
0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f
’
(x
0
) = k để có x
0
rồi tính y

0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1:
• Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) và có hệ số góc k
y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1

(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0

⇔
x
0
và k là nghiệm của hệ
phương trình:
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=


(I) ⇒ k rồi thay vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0
,y
0
) là:
y – f(x

0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0

vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +



=


có n nghiệm
⇔ f(x) = f
’
(x)(x – x
1
) + y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y =
2
ax + bx + c
' '

a x + b
(H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
5
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau:
1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8)
2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -2
3) Biết tung độ tiếp điểm bằng 27
4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = -
1
3
x + 3
5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2
6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1).
Bài 2: Cho hàm số y = -2x
3
+ 6x
2
– 5 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (đi qua) A(-1; -13)

(ĐH DB KB 2007)
Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Cho hàm số
2
x 2x 2
y
x 1
+ +
=
+
(C), gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của
(C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I.
Bài 5: Cho (C
m
): y =
(m 1)x m
x m
− +
−
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C

m
) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ.
Bài 6: Cho hàm số y = 2x +
2
x 1−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm
của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 7: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
6
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi

3) IQ.IP không đổi.
CHỦ ĐIỂM 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1
ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT
A. PHƯƠNG PHÁP:
• Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến
đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp
bảng các nguyên hàm cơ bản.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
x
e
x
e 1 dx
2
x
−
 
+
∫
 ÷
 
2)
x x 1
2 .3 dx
+
∫

3)
2
dx
x.ln x
∫
4)
x
2x
e dx
e 1
∫
−
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1)
2
x x
sin cos dx
2 2
 
−
∫
 ÷
 
2)
2
x
sin dx
2
∫
3)

2 2
cos2x
dx
cos x.sin x
∫

4)
cos2x
dx
sin x cos x
∫
+
5)
2
cotg x dx
∫
6)
3
t g x dx
∫

7)
2
sin x dx
∫
8)
3
cos x dx
∫
9)

4
sin x dx
∫
10)
5
tg x dx
∫
11)
4
3 5
dx
sin x cos x
∫
12)
ln(ex)
dx
1 x ln x
∫
+

13) I =
π
2
4
π
4
dx
sin x
∫
14)

π
4
4
0
dx
cos x
∫
15)
π
3
3
2
3
π
3
sin x sin x
cotgx dx
sin x
−
∫

Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
7
16)
dx
π
cosx.cos(x )
4
+

∫
17)
π
3
π
6
dx

π
sin x.sin(x )
6
+
∫
18)
2009
ln x
dx
x
∫
ĐS (TPXĐ): 13. (
4
3
) 14. (
4
3
) 15. (
3
1
8 3
−

) 17.
3
(2.ln )
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
x dx
x
 
−
∫
 ÷
 
2)
4 2
2
x 2x x 2
dx
x x 1
+ + +
∫
+ +
3)
3 5
dx
x x
∫

+

4)
dx
3
x x
∫
−
5)
3
8
x
dx
x 2
∫
−
6)
3
(3x 1)
dx
(x 1)
+
∫
+

7)
dx
x 2 x 1
∫
− − +

8)
2
2x
dx
x x 1
∫
+ −
9)
2 5
(4x 4x 1) dx− +
∫
10)
(2x 3) 2x 1 dx+ +
∫
11)
dx
3 2x
∫
−
12)
3x 1
dx
2x 3
+
∫
−
13)
2
2x 7x 7
dx

x 2
− +
∫
−
14)
2
4x 7
dx
2x 7x 7
−
∫
− +
15)
2
x 2
dx
x 3x 2
−
∫
− +
VẤN ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
A. PHƯƠNG PHÁP
Tính I =
f (x)dx
∫
, ta có hai trường hợp sau:
• TH1: I =
'
f (x)dx g[φ(x)].φ (x).dx=

∫ ∫

Thì ta đặt: t =
φ(x)
⇒ dt =
'
φ (x).dx
⇒ I =
g(t)dt
∫
Tích phân này dễ dàng tính được.
(Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của
thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này)
• TH2: Theo các mẫu đã học ở SGK hay do đề bài hướng dẫn ta có thể đặt
x =
φ(t)
⇒ dx =
'
φ (t).dt
⇒ I =
'
f[φ(t)].φ (t).dt g(t)dt=
∫ ∫
Tích phân này dễ dàng tính được
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
8
Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa:
1)
2 2

α u+
hay
2 2
1
α u+
, ( a > 0, Δ < 0): Đặt u = α tgt với
π
2
−
< t <
π
2

2)
2 2
α u−
( a < 0, Δ < 0): Đặt u = α sint với
π
2
−
≤ t ≤
π
2

3)
2 2
uα−
( a > 0, Δ > 0): Đặt u =
α
cost

với t∈(0,π)\{
π
2
}
VD:
∗
I =
2 2
dx

x 1 x
∫
−
thì ta đặt x = sint với
π π
t
2 2
− < <
∗
I =
1
2
0
dx
1 x+
∫
thì ta đặt x = tgt với
π π
t
2 2

− < <
⇒ I =
π
4
…
Chú ý: Tính tích phân xác định thì ta chỉ đổi thêm cận và thay cận là xong
Chuyªn ®Ò liÖu luyÖn thi §¹i häc cÊp tèc m«n To¸n Biên soạn: Ths
Trương Nhật Lý
9
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
1) I =
3
2
(2x 3). x 3x 5 dx− − +
∫
2) J =
dx
xln x
∫
3) T =
1
2
0
dx
1 x+
∫
4) K =
2

4
x 1
dx
x 1
−
+
∫
5) L =
3
6 4 2
x x
dx
x 4x 4x 1
−
+ + +
∫
6) T =
2
dx
x x 1+ +
∫
7)
X
1
dx
1 8+
∫
8)
4
1

X
1
x
dx
1 2
−
+
∫
(câu 7; 8: Đặt t = -x ; câu 7, ĐS: 1/5)
HD: 3) Đặt x = tant ⇒ t = ln(
2
+ 1)
4) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x
2
Sau đó đặt u = x +
1
x
⇒ ĐS: K =
2
2
1 x 2x 1
ln | | C
2 2 x 2x 1
− +
+
+ +
5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x
3
, Sau đó đặt u = x +
1

x
⇒ ĐS: K =
4 2
4 2
1 x 2x 1
ln C
2
x 2x 1
+ +
+
+ +

VẤN ĐỀ 3
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP: Dùng phương pháp này để tính I =
f (x)dx
∫
khi:
• f(x) có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để đặt ẩn phụ
• f(x) là tích của hai loại hàm khác nhau
Khi đó ta chọn:
'
uφ(x) du φ (x)dx
dv v dv


= ⇒ =

⇒ =


∫

⇒ I =
udv uv vdu
b b
b
u.dv uv v.du
a
a a
= −

∫ ∫


= −
∫ ∫



(Trong đó: u.dv = f(x).dx)
Chọn u, dv thích hợp thì
vdu
∫
có dạng đơn giản.
Chú ý: Nếu
f (x)dx
∫
=
( ) ( )
P x .g x dx

∫
(Tích hai loại hàm khác nhau)
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như: sinu, cosu,e
u

thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu / cosu / e
u
)dx
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm ngược như:
u
a
log
, lnu
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
10
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

thì ta đặt u = g(x) =
u
a
log
/ lnu còn dv = P(x).dx
∗

h(x)
e .L(x).dx
∫
: Đặt u = e

h(x)
, dv = L(x).dx (L(x): Hàm lượng giác)
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
Bài 1: 1)
1
2 x
0
(x 2x).e dx+
∫
2)
e
1
(1 x).ln x dx+
∫
3)
e
2
1
ln x dx
∫

HD-ĐS: 1) e 2)
2
e 5
4 4
+
3) Đặt u = ln
2
x, dv = dx: ĐS: e-2
Bài 2:

1)
1
2 2x
0
(1 x) .e dx+
∫
(Đặt u =
2
(1 x)+
, dv = e
2x
dx) 2)
e
2
1
x.ln x dx
∫
3)
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)+
∫
(Đặt u = lnx , dv =
2
1
(1 x)+

.dx) 4)
2
2
1
ln x
dx
x
∫
5)
1
2
0
x 1 dx+
∫
(Đặt u =
2
x 1+
, dv = dx)
6
∗
)
π
4
3
0
dx

cos x
∫
6)

π
2
2
0
x.cos x dx
∫
7)
π
2
0
x.sin x.cos x dx
∫
(Đặt u = x, dv =
2
sin x.cos x dx
) 8)
π
2
x 2
1
e .cos x dx
∫
9)
π
e
1
cos(lnx) dx
∫
(Đặt u = cos(lnx), dv = dx) 10)
2

2
1
1
x ln(1+ ) dx
x
∫

HD & ĐS: 1)
2
5e 1
4
−
2)
2
e 1
4
−
3) 0 4)
1
(1 ln 2)
2
−
5)
1
( 2 ln( 2 1)
2
+ +
)

6)

2
π 1
16 4
−
7)
π
3
8)
π
2
1
(2e 3)
5
−
9) -
π
1
(e 1)
2
+
10) Đặt u =
1
ln(1+ )
x
, dv = x
2
dx, ĐS:
3ln3-
10
3

ln2+
1
6

∗
6
) Đặt u =
1
cosx
, dv =
2
dx
cos x
, ĐS:
2 1
ln( 2 1)
2 2
+ +
VẤN ĐỀ 4
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
11
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
1) I =
4x 3
dx
2x 1

+
+
∫
2) I =
2
dx
x 4x 1− +
∫
3) I =
3 2
2x 3
dx
x x 2x
+
+ −
∫
4) I =
2
3
x 4x 2
dx
(x 1)
+ +
+
∫
5) I =
5
4 2
x
dx

x 3x 2+ +
∫
6) I =
2
3
3x 3x 3
dx
x 3x 2
+ +
− +
∫
7)
1
2
0
5x 13
I dx
x 5x 6
−
=
− +
∫
8)
e
3 2
1
2x 5
I dx
x 3x 4
−

=
− +
∫
9)
3
3
2
0
x
I dx
x 2x 1
=
+ +
∫
10)
4
1
6
0
x 1
I dx
x 1
+
=
+
∫
11)
3
2
2

0
3x
I dx
x 2x 1
=
+ +
∫
12)
2
2
2
1
x
I dx
x 7x 12
=
− +
∫
HD & ĐS: 1) I = 2x +
1
ln | 2x 1| C
2
+ +
2) I =
1 x 2 3
ln | | C
2 3 x 2 3
− −
+
− +

3)
3 2
2x 3 A B C
x x 1 x 2
x x 2x
+
= + +
− +
+ −
⇒ A = -
3
2
, B =
5
3
, C = -
1
6
4)
2 3
A B C
I
x 1
(x 1) (x 1)
= + +
+
+ +
⇒ A = 1, B = 2, C = - 1
5)
2 2

Ax B Cx D
I
x 2 x 1
+ +
= +
+ +
⇒ B = D = 0, C= -1, A = 4
ĐS:
2
2 2
x 1
-2ln(x +2)+ ln(x +1)+C
2 2
6)
2
A B C
I
x 1 x 1
(x 1)
= + +
− +
−
⇒ A = 3, B = 2, C = 1
7) -ln18 8)
1 7 x 2
ln | |
3(x 2) 9 x 1
−
+
− +

+ C 9) 3ln4 -
9
4
10)
π
3
11) – 8 +
9
2
ln9 12) 1 + 25ln2 – 16ln3
VẤN ĐỀ 5
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
12
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau đây:
Bài 1:
1)
2
3
(2x 3) dx+
∫
2)
3
dx

(2x 3)+
∫

3)
(x 2) 2x 3 dx+ +
∫

4)
1
0
dx
1 x+
∫
5)
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
6)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫

7)
3

5 2
0
x 1 x dx+
∫
8)
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
9)
x
ln 2
x
0
1 e
dx
1 e
−
+
∫

10)
2
2
2

2
x 1
dx
x 1 x
−
−
+
+
∫
11)
e
0
ln x
dx
x 1 ln x+
∫
12)
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
13)
2
3 2
0

x x 1dx−
∫
14)
2
2
2
3
dx
dx
x x 1−
∫
15)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
HD & ĐS:
(Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng hàm lượng giác)
4) 2(1 – ln2) 5)
46
15
6)
2
15
7)14,2 8)

141
20
9)
8
ln
9
10)
2.( 3 1)
3 5 ln
( 5 1)
−
− +
−
) 11)
2
(2 2)
3
−
12)
106
15
13)
8
15

14)
π
12
15)
1π

( 1)
4 2
−
Bài 2: 1)
2 2
dx

x 1 x−
∫
2)
2
x 2x 3
dx
x 1
+ +
+
∫
3)
2
2 2
0
x 4 x dx−
∫
(π)
Bài 3: 1)
3
dx

2x 1 2x 1+ − +
∫

2)
4
dx

2x 1 2x 1− − −
∫
Bài 4: 1)
3
4
dx

x( x x)−
∫
2)
3
dx

x x+
∫

HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS:
2
1 x
C
x
−
− +
Với x = sint
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
13

TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

2) ĐS:
1 u 1 1
2[ ln | | ] + C
2 u 1 u
−
+
+
Với u = cost, x + 1 =
2
tgt
Bài 3: 1) ĐS: 3
3 2
t t
[ t ln | t 1| ] C
3 2
+ + + − +
Với t =
6
2x 1+
)
2) ĐS:
4 4
2x 1 2 2x 1 2ln | 2x 1 1| C− + − + − − +
Bài 4: 1) ĐS: -12
2
t
[ t ln | t 1| ] C
2

+ + − +
Với t =
12
x
2) ĐS: 6
3 2
t t
[ t ln | t 1| ] C
3 2
− + + + +
Với t =
6
x
)
VẤN ĐỀ 6
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân
Bài 1:
π
2
5
1
0
I sin x dx=
∫
(
8
15
)

2
2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
3
3
3
sin x dx
I
cosx. cosx
=
∫
2
4
6
sin x
I dx
cos x
=
∫
4
5
I cos x dx=
∫
2 4
6
I sin x.cos x dx=

∫
2 3
7
I sin x.cos x dx=
∫
8
3 2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
9
3 5
dx
I
sin x.cos x
=
∫
10
4
dx
I
sin x.cosx
=
∫
3
11
2
sin x.cos xdx

I
1 cos x
=
+
∫

π
2
4
12
0
I cos 2x dx=
∫
(
3π
16
)
π
2
3
13
0
I sin x.cosx dx=
∫
(ĐS:
1
4
)
π
3

2
14
0
4sin x
I dx
1 .cosx
=
+
∫
(ĐS: 2)
Bài 2:
1
I sin 2x.cos5x dx=
∫
2
x x
I cosx.cos .cos dx
2 4
=
∫
3
I sin5x.cos3x dx=
∫
4
I sin x.cos3x dx=
∫
Bài 3:
1
dx
I

1 sin x cosx
=
+ +
∫
2
dx
I
1 sin x
=
+
∫
3
dx
I
sin x
=
∫
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
14
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

Bài 4:
π
2
1
π
6
1 sin2x cos2x
I dx
sin x cosx

+ +
=
+
∫
(→1)
π
2
4 4
2
0
I cos2x(sin x cos x) dx= +
∫
(→0)

π
3
3
0
sin x
I dx
sin x cosx
∗
=
+
∫
π
2
2 2
4
0

I cos x.cos 2x dx
∗
=
∫
(→
π
8
)
VẤN ĐỀ 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI:
∫
b
a
| f(x)| .g(x).dx
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
I
1
=
1
2
0
4x 4x 1 dx − +
∫
(ĐS:
1
2
) I
2
=

π
0
1 cos2x dx +
∫
(ĐS: 2
2
)
I
3
=
3π
4
π
4
| sin 2x | dx
∫
(ĐS: 1) I
4
=
π
0
1 sin 2x dx +
∫
(ĐS: 2
2
)
I
5
=
π

0
| cosx | sin x dx
∫
(ĐS:
4
3
) I
6
=
2π
0
1 sin x dx +
∫
(ĐS: 4
2
)
CHỦ ĐIỂM 3
CÁC DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIUTƠN
I. DẠNG 1: Giải phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình
- Tính giá trị biểu thức (Áp dụng công thức
k k
P , A , C
n n n
)
A. PHƯƠNG PHÁP
- Nếu gặp phương trình thì ta thực hiện các bước sau đây:
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
15
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

• Đặt điều kiện có nghĩa của
k k
P , A , C
n n n
:
P : n 1
n
k
A :1 k n
n
k
C : 0 k n
n
≥



≤ ≤


≤ ≤


• Dùng khai triển Niu tơn hoặc các công thức sau để rút gọn
n! n!
k k
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=

− −
Chú ý: m! = (m – 1)! m = (m – 2)! (m – 1) m
• Giải phương trình và chọn nghiệm thoả mãn điều kiện
• Kết luận
- Tính biểu thức M thì dùng các công thức trên để rút gọn A về dạng tối giản
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau đây:
1)
2 n 1
A .C 48
n n
−
=
(ĐS: n = 4) 2)
1 1 1
n n n
C C C
5
4 6
− =
(ĐS: n = 2)
3)
P
n 2
210
n 4
A .P
n 1 3
+
=

−
−
(ĐS: n = 5) 4)
3 1
C 5C
n n
=
(ĐS: n = 7)
5)
2 2 3 1 2
C A 4n (A )
n
n 1 2n
− − =
+
(VN) 6)
5 2 14
x x x
C C C
5 7
6
− =
(ĐS: n = 3)
7)
1 3 5 2n 1
C C C C 1024
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
+
+ + + + =
+ + + +

(ĐH DB K
A
– 2005)
8) Tính giá trị của M =
4 3
A 3A
n
n 1
(n 1)!
+
+
+
, biết rằng:

2 2 2 2
C 2C 2C C 149
n 1 n 2 n 3 n 4
+ + + =
+ + + +
(ĐH K
D
– 2005)
9) C
0
n
+ 2C
1
n
+ 4C
2

n
+…+2
n
C
n
n
= 243 (ĐH K
D
– 2002)
10)
2 2
P A 72 6(A 2Px)
x x x
+ = +
11)
y y
2A 5C 90
x x
y y
5A 2C 80
x x

+ =


− =


12)
n 1 n

C C
5 5
+
<
, Với n ∈
¥
13)
1 6
2 2 3
A A C 10
x x
2x
2 x
− ≤ +
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
16
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

14)
2
C
3
n 1
n
2
10
C
n
+
≥

15)
3 n 1
A C 14(n 1)
n 1 n 1
−
− < +
+ +
II. DẠNG 2: Chứng minh đẳng, bất đẳng thức &
Tính tổng một biểu thức (Có chứa
k k
P , A , C
n n n
)
A. PHƯƠNG PHÁP
• Cách 1: Dùng các công thức:
n! n!
k k
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=
− −
Hoặc dùng các tính chất:
C
k
n
= C
n k
n
−

; C
k 1
n 1
+
+
=
k
n
n 1
C
k 1
+
+
; C
k 1
n 1
+
+
= C
k
n
+ C
k 1
n
+

• Cách 2: Dùng khai triển (a + x)
n
sau đó chọn x thích hợp, với a cho trước.
Nhận dạng:

o
Mỗi số hạng có dạng:
k k n k
C .a b
n
−
thì chọn khai triển (a + x)
n

sau đó chọn x = b phù hợp.
o
Đặc biệt nếu mỗi số hạng có dạng
k k
C .a
n
thì ta chọn khai triển
(x + 1)
n
sau đó chọn x = a.
• Cách 3: Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2, …
B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển
B2: Lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai của hai vế
B3: Chọn a, b, x, n thích hợp
Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

o
Dùng đạo hàm cấp 1: Nếu một vế của khai triển mất
0
n
C

hay
n
n
C

(C đầu hay cuối) và đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó tăng
hoặc giảm đều một đơn vị,…

o
Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu một vế của khai triển mất (
0
n
C
và
1
n
C
) hay (
n
n
C

và
n 1
n
C
−
) đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó là tích hai số
nguyên liên tiếp,…

o
Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi
đã loại bỏ các đặc trưng của đạo hàm.
• Cách 4: Dùng tích phân
B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
17
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

B2: Lấy tích phân (xác định) hai vế với cận thích hợp
B3: Tính tích phân hai vế ta được kết quả
Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

o
Nếu một vế của khai triển có chứa
0
n
C
và
n
n
C
(C đầu và cuối) đồng thời
mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm đều một đơn vị, ….
o
Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: b
k+1
– a
k+1
o

Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi
đã loại bỏ các đặc trưng của tích phân.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh rằng:
1)
2 2
C C n
n
n 1
= +
+
2)
1
n n 1 n 1
C C C
2n 2n 2n 2
2
− +
+ =
+
3)
k k 1 k 2 k
C 2C C C
n n n
n 2
− −
+ + =
+
4)
k k 1 k 2 k 3 k

C 3C 3C C C
n n n n
n 3
− − −
+ + + =
+
Bài 2: Chứng minh rằng:
1)
0 1 2 n n
C C C C 2
n n n n
+ + + + =
2)
2008 0 2007 1 1 2008 2008 2008
2 C 2 5 C 5 C 7
2008 2008 2008
+ + + =
3)
0 2 2 2008 2008 2008 2009
C 3 C 3 C 2 (2 1)
2009 2009 2009
+ + + = −
4)
1 3 2n 1 0 2 2n 2n 1
C C C C C C 2
2n 2n 2n 2n 2n 2n
− −
+ + + = + + + =
Bài 3: Chứng minh rằng:
1) 1.

1 2 3 n n 1
C 2.C 3.C nC n2
n n n n
−
+ + + + =
2) 1.
n1 2 3 n
C 2.C 3.C ( 1) nC
n n n n
0+ + − =− −
3)
2 3 n n 2
2.1C 3.2.C n(n 1)C n(n 1)2
n n n
−
+ + + − = −
4)
1 3 2n 1 2 4 2n
C 3C (2n 1)C 2C 4C 2nC
2n 2n 2n 2n 2n 2n
−
+ + + − = + + +
5)
n 1 n 1 1 n 2 n 2 2 n 3 n 3 n 1 0 n 1
1.5 C 2.3 5 C 3.3 5 C n.3 C n.8
n n n n
− − − − − − − −
+ + + + =
6)
0 1 2 n 1 n 1

C 2.C 3.C nC (n 2)2
n n n n
− −
+ + + + = +
Bài 4: Chứng minh rằng:
1)
1 1 1 1
0 1 2 n n 1
C C C C (2 1)
n n n n
2 3 n 1 n 1
+
+ + + + = −
+ +
2)
n
1 1 ( 1) 1
0 1 2 n
C C C C
n n n n
2 3 n 1 n 1
−
− + − + =
+ +
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
18
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

3)
2 3 n 1 n 1

5 5 5 5 1
0 1 2 n
5C C C C
n n n n
2 3 n 1 n 1
+ +
−
+ + + + =
+ +
4)
3 7
n 1 n 1 n 1
2 3 2
0 1 2 n
C C C C
n n n n
2 3 n 1 n 1
1
+ + +
−
+ + + + =
+ +
−
5)
2009
2 2 2 2
0 2 4 2008
2C C C C
2008 2008 2008 2008
3 5 2009 2009

+ + + + =
6)

2008 1
1 1 1
1 2 1
0 1 2 2008
C C C C
2008 2008 2008 2008
2.2008 2 2(2008 1)
2 4 6
+
−
+ + + + =
+ +
7)
2009
1
1 2
0 1 2008
C C C
2009 2009 2009
2009 3000
3
+ + + =
Bài 5: Tính các tổng sau: (Dùng đạo hàm)
1) S =
2 40 2 4 2008 2008
C 3 .C 3 .C 3 .C
2008 2008 2008 2008

+ + + +

2) S =
7 8 9 10 11 12 13
C C C C C C C
13 13 13 13 13 13 13
+ + + + + +
3) S =
0 1 2 3 2008
C 3.C C C .C
2008 2008 2008 2008 2008
4. 5. 3000+ + + ++
4) S =
0 1 2 3 2007
C 2.C C C .C
2007 2007 2007 2007 2007
3. 4. 2008
+ + + +
+
5) S =
0 1 2 2006
C 4.C C .C
2006 2006 2006 2006
5. 2009+ + ++
6) S =
3 4 5 30020 1 2 2009
4.5 C 5.5 C 6.5 C .5 C
2009 2009 2009 2009
3003++ + +
Bài 6: Tính các tổng sau: (Dùng tích phân)

1)
1 1 1
0 1 2 20
S C C C C
20 20 20 20
2 3 21
= − + − +
2)
2 2 3 3 n 1 n 1
5 2 5 2 5 2
0 1 2 n
S 3C C C C
n n n n
2 3 n 1
+ +
− − −
= + + + +
+
3)
n 1 n 1
3 1 3 1 3 1
0 1 n
S C C C
n n n
n 1 n 1
+
− − −
= + + +
+
Bài 7: Chứng minh bất đẳng thức:

1)
1 2 3 2008
C .C .C .C
2008 2008 2008 2008
2 3 2008
2008!
2008
+ + + +
<
2)
2 3 4 2008 2007
C 2.C 3.C C 2006.2
2008 2008 2008 2008
2007.+ + + + >
III. DẠNG 3:
Bài toán 1: Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài toán 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
19
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

A. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Ta thực hiện các bước sau đây:
• Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)
n
=
n
k n k k
C a b
n

k 0
−
∑
=
(1)
• Tính tổng số mũ của ẩn
• Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng số mũ của ẩn đề cho ⇒ k ⇒ Hệ số cần tìm
Chú ý: Tìm số hạng không chứa x: Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng 0.
Bài toán 2: (với a
k
> 0,
k 0,n∀ =
)
Cách 1: Ta thực hiện các bước sau đây:
• Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)
n
=
n
k n k k
C a b
n
k 0
−
∑
=
(1)
• Có hệ số tổng quát là a
k
=
k

C
n
…

• Xét tính đơn điệu (tăng:
Z
, giảm:
]
) của dãy số {a
k
} như sau:
° Nếu
1 {a }
a
k
k 1
a
1 {a }
k
k
> ⇒
+
< ⇒
Z
]
Hoặc ° Nếu
0 {a }
k
a a
k 1 k

0 {a }
k
> ⇒
−
+
< ⇒
Z
]
• Dựa và tính đơn điệu của dãy {a
k
} mà ⇒ (a
k
)
max

Cách 2: Tìm k để
a a
k k 1
≥
+
và
a a
k k 1
≥
−
⇒ (a
k
)
max

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau:
1)
1
12
(x )
x
+

2)
28
3
15
n
(x. x x )
−
+
, biết rằng:
n n 1 n 2
C C C 79
n n n
− −
+ + =

3)
3
4
1
7
( x )

x
+
(ĐH KD 2004)
Bài 2: Tìm hệ số chứa x
12
trong khai triển (x
2
+ 1)
n.

Biết tổng các hệ số của khai triển trên bằng 1024.
Bài 3: Tìm hệ số của x
25
y
10
trong khai triển (x
3
+ xy)
15
Bài 4: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + 2x)
n
bằng 59049. Tìm hệ số của x
4
Bài 5: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
20
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

1)
3

3
19
( 2 )+
2)
4
7
120
( 9 )
+
Bài 6: Tìm hệ số của x
8
trong các khai triển sau đây:
1)
5
3
1
x
n
( x )+
biết:
7(n 3)
n 1 n
C C
n 4 n 3
= +
+
−
+ +
(ĐH KA 2003)
2)

2 8
[1 x (1 x)]+ −
(ĐH KA 2004)
Bài 7: Tìm hệ số của x
26
trong khai triển của
7
4
1
x
x
n
( )+
, biết rằng:
2 2 2 2
C 2.C 2.C C
n 1 n 2 n 3 n 4
149+ +
+ + + +
+ =
(ĐH KD 2005)
Bài 8: Tìm hệ số của x
26
trong khai triển của
7
4
1
x
x
n

( )+
, biết rằng:
201 2 n
C C C
2n 1 2n 1 2n 1
2 1+ + +
+ + +
= −
(ĐH KD 2005)
Bài 9: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của x(1 – 2x)
5
+ x
2
(1 + 3x)
10

(ĐH KD 2007)
Bài 10: Tìm hệ số của x
10
trong khai triển của
2 x
n
( )+
, biết rằng:
n n 1 n 2 n 3 n0 1 2 3 n
3 C 3 C 3 C 3 C ( 1) C
n n n n n
2048

− − −
−− + + + − =
(ĐH KB 2007)
Bài 11: Tìm hệ số của x
25
trong khai triển của
5 4 2 n
2x 1 (x 2)
2
(x )+ + +
, biết rằng:
1 3
n n 1
72A A 72
+
− =
Bài 12: Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển
n
1
(x )
3
−
bằng 5.
Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên.
Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển sau:
1) (1 + 2x)
n
, ứng với: a) n = 12 b) n = 30
2)
40

1 2
( x)
3 3
+
Bài 14: Tìm n của khai triển
n
x 2
( x)
5 5
+
biết hệ số của số hạng thứ 9 lớn nhất.
Bài 15: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần
tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A.
Tìm k∈{1, 2,…,n}sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất.
CHỦ ĐIỂM 4
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
21
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số
lượng giác:
2 2
cos sin 1
sin
tan ( , )
cos 2
cos

cot ( , )
sin
x x
x
x x k k Z
x
x
x x k k Z
x
π
π
π
+ =
= ≠ + ∈
= ≠ ∈
2
2
2
2
tan .cot 1
1
1 tan ( , )
2
cos
1
1 cot ( , )
sin
x x
x x k k Z
x

x x k k Z
x
π
π
π
=
= + ≠ + ∈
= + ≠ ∈
2. Giá trị hàm số lượng giác của các
cung đặc biệt
Cung
Hàm
0
0
0
0
30
6
π
0
45
4
π
0
60
3
π
0
90
2

π
0
180
π
5. Các cung liên quan đặc biệt
♦Cung đối nhau:
• sin(- x) = - sinx
• cos(- x) = cosx
• tan(- x) = - tanx
• cot(- x) = - cotx
♦Cung bù nhau:
• sin(π - x) = sinx
• cos(π - x) = - cosx
• tan(π - x) = - tanx
• cot(π - x) = - cotx
♦Cung phụ nhau:
• sin(π/2 - x) = cosx
• cos(π /2 - x) = sinx
• tan(π /2 - x) = cotx
• cot(π/2 - x) = tanx
♦Cung hơn kém π
• sin(x ± π) = - sinx
• cos(x ± π) = - cosx
• tan(x ± π) = tanx
• cot(x ± π) = cotx
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
22
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

sinx
0
2
1
2
2
2
3
1 0
cosx 1
2
3
2
2
2
1
0
-1
tanx
0
3
3
1
3
||
0
cotx ||
3
1
3

3
0
||
3. Công thức cộng
cos (a ± b) = cosacosb

sinasinb
sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
±
± =
m
tan a tan b
cot(a b)
1 tan a tan b
± =
±
m
4. Công thức nhân đôi, nhân ba
t =
a
tan
2
(tham khảo)
2

2 2 2
1 2 2
cos ;sin ,tan
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
7. Công thức biến đổi tích thành
tổng
[ ]
[ ]
[ ]
)sin()sin(
2
1
cos.sin
)cos()cos(
2
1
sin.sin
)cos()cos(
2
1
cos.cos
bababa
bababa
bababa

−++=
++−=
−++=
8. Công thức biến đổi tổng thành
tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −

− =−
+ −
+ =
+ −
− =
±
± =
9. Một số công thức đặc biệt :
sin a cosa 2 cos(a ) 2 sin( a)
4 4
sin a cosa 2 (a )
4
sin
π π
• + = − = +
π
• − = −
a a
2 2
1 cosa 2cos ; 1 cosa 2sin
2 2
• + = − =
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
23
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

2 2
cos2a = cos a - sin a
2
=2cos a - 1

2
=1-2sin a
sin2a = 2sinacosa
2tana
tan2a =
2
1-tan a
2
cot a - 1
cot2a =
2cota

3
cos3a 4cos a 3cosa
3
sin3a 3sina 4sin a
3
sin3a 3tan a tan a
tan3a
cos3a
•
•
•
•
• = −
• = −
−
• = =
2
1 3tan a

−
4 4 2
6 6 2
1
sin cos 1 sin 2
2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
x x x
• + = −
• + = −
II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP
1. Phương trình lượng giác cơ bản
•
x a k2
sin x sin a (k Z)
x a k2
= + π

= ⇔ ∈

= π − + π

•
cosx cosa x a k2 (k Z)= ⇔ = ± + π ∈
•
tan x tana x a k (x,a k )
2

π
= ⇔ = + π ≠ + π
•
cot x cot a x a k (x,a k )= ⇔ = + π ≠ π
Các phương trình đặc biệt
♦sinx = 0 ⇔ x = kπ; sinx = -1 ⇔
x k2
2
π
= − + π
; sinx = 1 ⇔
x k2
2
π
= + π
♦cosx = 0 ⇔
π+
π
=
k
2
x
; cosx = -1 ⇔
ππ
2kx
+=
; cosx = 1 ⇔
x k2
= π
;

♦tanx = 0 ⇔ x = kπ; tanx = -1 ⇔
π
π
kx
+−=
4
; tanx = 1 ⇔
x k
4
π
= + π
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
24
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855

♦cotx =0⇔
π+
π
=
k
2
x
; cotx = -1 ⇔
x k
4
π
= − + π
; cotx =1⇔
π
π

kx
+=
4
♦
sin 0 cos 1; sin 0 cos 1
1 3 1 3
sin cos ; cos sin
2 2 2 2
x x x x
x x x x
= ⇔ = ± = ⇔ = ±
= ± ⇔ = ± = ± ⇔ = ±
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)
Phương pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c
2
≤ a
2
+ b
2
Ta có: asinx + bcosx = c
⇔ sinx +
b c
cosx
a a
=
⇔ sinx + tanαcosx =
c

a
(Với tanα =
a
b
, - π/2 < α < π/2)
⇔ sinx +
sin
cos
α
α
cosx =
c
a
⇔ sinxcosα + sinαcosx =
c
a
cosα ⇔ sin(x + α) =
c
a
cosα (1)
Với điều kiện đầu bài ta được:
c
a
cosα = sinβ ; -π/2 ≤ β ≤ π/2
Từ (1) ta được phương trình cơ bản:
* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt
x
t tan
2

=
(với x ≠ π + k2π )
Ta có: a.sinx + b.cosx = c
⇔
2
1 t2t
a. b. c
2 2
1 t 1 t
−
+ =
+ +
⇔ (b + c)t
2
– 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t
0
, ta sẽ có phương trình
cơ bản:
0
x
tan t
2
=
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
25
sin(x + α) = sinβ