Sáng kiến kinh nghiệm một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

MỤC LỤC:
PHẦN THỨ NHẤT - ĐẬT VẤN ĐÈ..................................................................2
PHẦN THỨ HAI - GIẢI QUYẾT VẤN ĐÈ......................................................3
1) CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐẺ..................................................................3
2) THựC TRẠNG CỦA VẤN ĐÊ.....................................................................3
3) BIỆN PHÁP, GLÂI PHÁP ĐÃ TIÉN HÀNH ĐẺ GIẢI QUYÉT VẤN ĐẺ:
................................................................................................................................4
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIÉN...................................................................14
PHẦN THỨ BA - KÉT LUẬN..........................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................16
PHẦN THỨ NHẤT - ĐẬT VẤN ĐÈ
Toán học là một trong nhùng môn học về khoa học tự nhiên. Trong các mịn học ờ trường
THCS, mịn Tốn có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỳ năng cùa mịn Tốn ờ THCS cũng
được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và trong các mòn học khác.
Chuyên đề về dày số, dày phân số viết theo quỵ luật là một bộ phận cùa chương trình mịn Tốn
cap THCS. Thịng qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội phát triên năng lực trim ưrợng hoá,
khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp tục phát triên khâ năng diễn đạt cùa học sinh theo
mục tiêu cùa mịn Tốn ờ THCS.
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn tơi nhận thay các em thường hay gặp nhiều khó
khăn trong việc tìm dầy số, dầy phân số viết theo quy luật cùa một biêu thức trong đó việc vận
dụng các hang đăng thức các em làm sai rất nhiêu mà chuyên đề dày số, dày phàn số viết theo
quy luật lả cơ sở đê các em học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đăng thức dầy .... Xuất phát
từ những lí do trên đê giúp học sinh học tốt mịn tốn tịi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh
nghiệm giúp học sinh khá, giòi nam vững một số dạng bài toán dày số, dầy phàn số viết theo quy
luật ”. Qua đó đê có thê học hói, trao địi kinh nghiệm VỚI đồng nghiệp đê nàng cao trình độ
chuyên mòn cùa bân thân

PHẦN THỨ HAI - GIẢI QUYẾT VẤN ĐÈ
1) CƠ SỜ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐẺ

Mn n©ng cao chÊt 1-ĩng dxy bải d-ĩng hãc sinh giái tosn

thx tr-c hừt phii xâ dựng đ-c một nội dung hp lý, khoa
hãc vụ nh^ng ph—ing ph4p giĩng d1ỵ phĩ hĩp, ph,t trión ®-ĩc
kh5I n"ng t- duỵ linh hoxt, Ssng txo cha hãc sinh.


Qua thùc tõ tham gia dxỵ bâi d-ìng hãc sinh lp 6 cha
tr-ờng tôi thấ đ-c thực trxng vic dxy hãc vụ giii tosn
n©ng cao cha gi.o vian vụ hãc sinh cbn nhiũu vấn đề phSIi
quan tâm. Đó l: Nội dung d xỵ bải d-ìng hãc sinh giái ch-a
®S[m Mo logic, gi,o vian khi nghian C0U tụi liốu tham khĩo
thÊy bụi nụo hay thx chãn ®Ĩ d xỵ cho hãc sinh cho ch-a phân
đ-c dxng, loxi trong mi mxch kiừn thoc. vị ph—mg ph5p dxỵ
giii csc bụi to,n n©ng cao ch-a hĩp 1Ý, cã nh-nng ph—mg ph5p
giĩi ch-a phĩ hĩp vii đEc điểm tâm lý v kh n"ng tiừp thu
cha hãc sinh; vị phÝa chuỵan m«n ch-a cã tụi liốu ch0 ®xo cơ
thó vị néi dung vụ ph—ing ph4p dxỵ bâi d-ìng hãc sinh giái
To5n ®Ĩ gi.o vian lÊy ®ã lụm C-I sê. Hãc sinh ch-a cã mét ph
—ing ph,p t- duy logic ®Ĩ giĩi quỵõt C5C dxng bụi tÊp nhÊt
lụ csc bụi tẼp vò d - y sè, dày phân số viết theo quy luật. . . ChÝnh vx
vẼy, chÊt 1-ĩng dxỵ bâi d-ìng hãc sinh giái ch-a cao.
§Ĩ tõng b-ic n©ng cao chÊt 1-ĩng bâi d-ìng hãc sinh
giái, tôi đ- chón đề ti : " Mt s kinh nghiệm giúp học sinh khá, giói nam
vừng một số dạng bài toán dày số, dày phân số viết theo quy luật“

2) THựC TRẠNG CỦA VẤN ĐÊ
Ngay hr đầu tháng 9 tòi đà tiến hành kháo sát học sinh chất lượng mơn tốn
đê chọn ra một số học sinh khá giói đủ tiêu chuân cho các em vào đội tuyên bồi dường học sinh
giòi.

3

Tòng số học sinh: 80 học sinh
Ket quả đạt được:
Điêm giỏi: 20 học sinh chiếm 25%
Điểm khá: 30 em chiếm 37,5%
Điêm trung bình: 20 em chiếm 25%
Điêm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5%
Ket quả trên tiling bình lả: 87,5 %
Căn cứ vào kết quà bài khào sát cùa học sinh và tình hình thực tế tịi nhận thấy có nhùng thuận
lợi và khó khăn sau.
• Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học của nhà trường khá đầy đừ.
Học sinh có đầy đừ sách giáo khoa và đồ dừng học tập.
Nhà trường ln tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng.


Tập thê giáo viên đoản kết có tinh thân tương trợ lẫn nhan.
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh ln quan tâm úng hộ việc học tập cùa con em mình.
•

Khó khăn

Do ảnh hường cừa môi trường xà hội nên một số học sinh cịn mãi chơi chưa chịu khó học tập,
gặp một dạng khó là các em dễ bị nàn. dễ có tâm lý lười sưy nghĩ, lười vận động

3) BỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIÉN HÀNH ĐẺ GIẢI QUYÉT VẤN ĐÊ:
Bước 1: Tiến hành khào sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng.
Bước 3: Phân loại các dạng tốn.
•

Hướng dẫn phương pháp giãi

•

Xác định những sai lầm thường gặp

•

Đưa ra lời giải đúng

•

Khai thác bài tốn dưới một dạng khác

•

Tịng qưát hóa bài tốn

Kiến thức vận dụng
7. Quy đồng mẫu so nhiều phân sổ:
- Tim mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tim thừa số phụ cùa mỗi mẫu.
- Nhân tữ và mẫu cùa mỗi phàn số VỚI thừa số phụ ưrơng ứng.
2. Các phép tinh cũa phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
A+A = AA (M=0)
MM
M

A-JUAA (M=() A_B)

MM
M
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các từ cùa các phân số đà dược quy dồng và giừ nguyên mẫu chung.
c.

Nhân các phân sổ: 4-4- = 44“ (B. D = 0)
B D B.D

d. Chia 2 phàn sổ: 4-: s = 44r (B, c, D = 0)

B D B.c

3.

Tinh chất cơ bàn cũa phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
- Phép cộng: 4 + 4 = 4 + 4 (b, d * 0)
bddb

- Phép nhân: 44 = 44 (b, d= 0)
bddb

b. Tính chất kết họp :


- Phép cộng : , +

—

(b, d, 11*0)

- Phép nhân: Í4-4Ì-- = 4-Í4--Ì (b’ d’ n* °)
( b d ; 11 b ( d 11 J

c.

Tính chất phân phối của phép nhàn dối VỚI phép còng (trừ):

( a c) 111 a 111 c 111 Z1 1 .. ZJX

-

+

(b d J 11 bn d 11

4.

(b, d, 11=0)

Bât đăng thức: Bât đảng thức có dạng a > b, a < b

Tính chất:
- Tính chat bac cầu: Neu a > b, b > c thì a > c

- Tính chất đơn điệu cùa phép cộng:
Neu a > b thì a + c > b T c
- Tính chất đơn điệu cùa phép nhân:
Neu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế cùa 2 bất đăng thức cùng chiều:
Neu a > b, c > d thì a + c > b + d
5. Một số tính chất cùa bất đăng thức:
n(n + l) n2 n(n + ì)

c.
d.

n +1 n
n n -1
M+2n

Dang 1: Tính tơng của các dãy so viết theo quv luât.
Ví dụ 1: Tính tổng S100 =14-2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 100
Hirớng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối =101 tuơng tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 101...
Mả từ 1 đên 100 có 100 sị vậy có 50 cặp có tịng 101
S100 = 101.2 = 5050
Tổng qt: S., = 1 + 2 + 3 - 4 + + 11 =
Ví dụ 2: Tính tổng S100 = 2 + 4 + 6 + 8 + .... +100
Sai lầm thường gặp: S100 =

100

O0° + 2) = 5100

LỜI giải đúng:
Ta thấy tổng trên có (100~2) + 1 = 50 sổ hạng


Ta thấy số đầu cộng số cuối =102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102...
Mả từ 2 đên 100 có 50 sơ vậy có 25 cặp có tịng 102
S100 = 102.25 = 2550
Ví dụ 3: Tính tổng s99 = 1 + 3 + 5 + 7 +.... + 99
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
S =100.25 = 2500
99

Dang 2: Dang bài tốn tính tơng của các tích, tơng của các lũy thừa
Vídụl: Tính tổng:
J=12T23+T4 + Z7”?+98?99 5 = 1.23 + 23.4 + ...+ 48.49.50
C = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
D = \- +22 + 32 +.... + 982
£ = 1.99 + 2.98 +......+ 98.2 + 99.1
HDG: 3.4 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ....+ 98.99.3
= 1.2.(3 - o)+ 23.(4 -1)+3.4.(5 - 2)+ + 98.99.(100 - 97)
= 1.2.3 + 2.3.4 +... + 98.99.100 -(1.2.3 + 2.3.4 + .... + 97.98.99)
= 98.99.100
3.4 = 98.99.100
A = 33.98.100

Tõ kõt quĩ cha bụi to4n 3 ta cã thó khai th4c d-ii
mét d1ng kh4c nh- sau:
Bài 1: Tính tòng
£> = l2 +22 +32 +.... + 982 = 1.1 + 2.2 + 33 + ... + 98.98
= 1(2-1)+2(3-1) +.........+ 98(99-1)

= 1.2+ 2.3+ 3.4 + ....+ 98.99-(1 + 2+ 3+ .... + 98)
= 33.98.100-46.99
£> = 3393401
5 = 1.2.3+ 2.3.4 + ...+ 48.49.50
45 = 1.23.4 + 23.4.4 +.......+ 48.49.50.4
45 = 1.23.(4 - 0)+ 2.3.4.(5 - 1)+........+ 48.49.50(51 - 47)
= 1.2.3.4 + 23.4.5 + .... + 48.49.50.51 - (1.2.3.4 + 23.4.5 +... + 47.48.49.50)
45 = 48.49.50.51
5 = 12.49.50.51

Tõ kõt quĩ cha bụi to4n 3 ta cã thó khai th4c d-íi
mét d1ng kh4c nh- sau:
Bài 2: Tính tồng


d = l3 + 23 +33 +........+ 1003
Htrớng dẫn giải
Sừ dụng (n-1 )n(n+1 )= n3 - ỉì
=> n3 =n+(11-1 )n(n+1)
= (1 + 2 + 3 +...+100) + (1.2.3 + 2.3.4 +.....+ 99.100.101)
= 5050 + 101989800 = 101994850
c = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
= 1 .(2 +1) + 2(3 +1) + + 98(99 +1)
= 1.2+ 2.3 + ...+ 98.99 + 1 +2+ .. + 98
= 33.98.100 + 46.99
c = 3402799

ví dụ 2: Tínli tịng:

A=1.3+.3.5+5.7+......+97.99

Hướng dẫn giải:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.98.6
=1.3.(5+l)+3.5(7-l)+5.7.(9-3)+...............+97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+..............+97.99.101
=3+97.99.101
A= 161651

Tõ kõt qui cha ví dụ 2 ta cã thó khai th5c d-íi mét d1ng
kh5c nh- sau:
Bải 1: Tính tổng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+...................+95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+.................+95.97.99.8
= 1.3.5(7+l)+3.5.7(9-l)+5.7.9(11-3)+ +95.97.99(101-93)

A=11517600
Tố kõt qui cha bụi tcqn 1 ta cã thó khai th5c d-ii
mét d1nợ khsc nh- sau:
Bải 2: Tính tổng: A=l3 + 33 +53 + .... + 993
Sừ dụng (n-2)n(n+2)=n3-4n=>n3 = («-2)n(n + 2)+4z?
A=l+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+................+97.99.101+4.99
= l+(1.3.5+3.5.7+...+97.99.101)+4(3+5+7+....+99)
=12497500
Ví dụ 3: Tính tổng:

TÝnh tang: G= 3 + 32 + 33 + 34 ......+32008
Lêi gili:
3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009


2G = 3G - G = (32 + 33 + 34 +35....................+32009) - (3 + 32 + 33 + 34.............+32008)

8
2009

,

=. G=
2

Ta cã thó tang qu,t bụi to,n 1 thụnh bụi to,n sau: TÝnh
tang:
G= a + a2 + a3 + a4+...+an
(vỉi mãi
a
a vụ n lịi sè nguy n d—mg a 5*1)
Lêi giSIi:
aG = a2 + a3+a4+a5+...+an
(a-l)G = aG - G = (a2 + a3 + a4 +a5+...+aI1+1) -( a + a2 T a3+ a4+....+an)

__ rr*"l

-> G= a a

=a-a
_H + 1 z~r

0-1
Tõ kõt quĩ cha Ví dụ 3 ta cã thó khai th5c d-ỉi mét dxng kh
nh- sau:
Bài 1 : Tínhtơng
__^100 2^9 Ị 2^8 2^7 I _|_2^

Suy ra 2B = 2 -2 +2 -2 +...+2-2 suy ra
2B+B= 2101-2
3B =2(2100-1)
Suy ra B = 2(2100-l)/3

5

c


Dang 3: Dang bài tốn khử liên tiếp Ví dụ 1:
Tính tơng
a) A =
111
1.2 2.3

Ta cà: A-4-1

3.4

99.100

111
2.3 2 3

1.2 1 2

111.
3.4 - 3 4'
-1 1

99 99

Tõ kõt quĩ cha vídụl:ta cã thó

100

1
1___Ị_
99.100 - 99 100
1
99
100 100

khai th4c d-íi mét d1ng

kh4c nh- sau:

Tính tơng
1,1,11

7 —--------------------------F ——— 4”... 4———----------

1.2.3 2.3.4 3.4.5

37.38.39

Sai lầm thường gặp:
1 _ _Ị______Ị_
1.2.3 - 1.2 2.3
LỜI giải đúng 74-7 = 7(77-77)

1.2.3 2 1.2 2.3 F__Ị

L + _L

“ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ........... 37.38.39
. 11 . , 11
1.2 2.3 2.3 3.4
11

F=

37.38 38.39

2 38.39

Bài tốn tương tự
T ínli tịng:
1.1

G =-----------i-----------'r....

1.2.3.4 2.3.4.5

27.28.29.30

thó khai th4c d-íi mét

Tõ kõt quĩ cha các ví dụ trên ta cã
d1ng kh4c nh- sau:

Bài 1: CMR:
HDG:

+

1 .2 2 3 3 .4
2

2

2 2

2

2

19
9 .102
2


.. ---- ■■ --^---3 —

—- - - -Ị - - - 1

12.22 + 22.32 +...............+ 92.102 ”

22 + 22 32 + ""92 102 _

102 <

Bài 2: cho biêu thức
.1
1
A = -— + -— + ...+
1.2 3.4
99.100
1

CM.— < A<12
6

HDG:
À

1.1,1

A=

1.2 3.4

-I-- -- -- -

99.100

1111
.1
1
1 k ( 1 lì 15
7 —7 + T —■ + ....+ —— — — (1 — — + —) — —

1234
99 100
2 3 <4 5)
1234

— —....—
<—
100 6
1
7
1.
,
1
= — + — + ... + —12
5.6
99.100
99.100

99 100

Vídụ2:TÝnh tang
H=
11

111

5

1
52 + 53 4 .............+ 52008

Ta cã thó tÝnh tang H theo bụi to,n 2 b»ng cach ®7Et
4 = <7 thx
5

2

g

H = a + a + a +

a4+...+a2008
Tuy vẼy ta cbn cã csch kh3c phĩ hĩp h-in:
RU-!,1,1.1,

-

5 H _1 +

^

_+

,

1

p‘ p‘ ......... pẽÕ7
+

+

+