Định hướng cách giải các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT THÁC BÀ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Lĩnh vực: Toán học
TÊN SÁNG KIẾN

“ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN”

Tác giả/đồng tác giả : TRẦN CHÍ CƯỜNG
Trình độ chun mơn: Cử nhân Sư phạm Tốn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thác Bà

1


Yên Bái, ngày 20 tháng 01 năm 2022

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Định hướng cách giải các dạng tốn khoảng cách trong hình
học khơng gian
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng tại đơn vị trường
THPT Thác Bà
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10 tháng 09 năm 2021 đến ngày 25
tháng 09 năm 2021
5. Tác giả:
Họ và tên: Trần Chí Cường
Năm sinh: 1985

Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Thác Bà
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Thác Bà, thị trấn Thác Bà, n Bình, n Bái
Điện thoại: 0984199529
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN
1. Tình trạng giải pháp đã biết
Trong quá trình giảng dạy của mình và các đồng nghiệp tơi nhận thấy
phần lớn học sinh cịn rất lơ mơ về hình học khơng gian. Đặc biệt khi gặp các
bài tốn về khoảng cách thường khơng định hình được cách giải, lúng túng khi
xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng, mặt phẳng hoặc xác định được
chúng nhưng không tính được, hoặc tìm được nhưng cách làm cịn dài chưa kể
đến việc vẽ hình chưa đúng hoặc chưa biết vẽ hình.
Trong bài “Khoảng cách” trong sách giáo khoa lớp 11 các khái niệm về
khoảng cách được định nghĩa một cách khá đơn giản. Ngồi ra khơng đưa ra
một thuật tốn nào rõ ràng để tính các khoảng cách, nhưng bài tập u cầu với
học sinh thì lại khơng đơn giản. Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách
giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn khơng nhiều học sinh
có thể làm được, học sinh sẽ rất lúng túng.
Mặt khác thời gian cho bài này lại ít nên học sinh rất lúng túng khơng biết
định hình thế nào khi đứng trước một bài toán, cụ thể:

2


Một, nếu là bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
+ Chưa nhìn ra được cách xác định hình chiếu của 1 điểm trên mặt phẳng.
+ Chưa linh hoạt trong việc quy đổi giữa các khoảng cách mà đã vội
vàng,“máy móc” vận dụng phương pháp đi tìm hình chiếu của điểm xuống mặt
phẳng, chưa kể đến đơi khi bế tắc trong phần tính tốn.

Hai, nếu là bài tốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
+ Chưa nhận ra được “mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với
đường thẳng kia”.
+ Hoặc lúng túng, mặt phẳng chứa đường nào và song song với đường
nào? Với việc chọn như vậy tối ưu chưa? Liệu có tính được khoảng cách không?
+ Lúng túng trong việc dựng đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
2. Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận là sáng kiến
2.1.Mục đích của giải pháp
Tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Định hướng cách giải các dạng
tốn khoảng cách trong hình học khơng gian” nhằm cung cấp cho học sinh một
cái nhìn tổng qt và có hệ thống về bài tốn tính khoảng cách trong không gian,
một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt. Qua đó giúp học
sinh khơng cịn cảm thấy sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài
tốn học sinh có thể bật ngay ra được hướng làm bài, qua đó có cách giải tối ưu
cho mỗi bài tốn.
2.2.Nội dung giải pháp
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để
giải quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
lời giải của một lớp bài tốn tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm
vụ thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt
động tương thích với những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ,
có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành

3


công. Do vậy việc định hướng trang bị về phương pháp cho học sinh là một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.

Bài “Khoảng cách” trong sách giáo khoa lớp 11 có đưa ra 4 khái niệm về
khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Do đó rất cần có sự định hướng và một hệ thống phương pháp tiếp cận và
giải quyết các bài toán:
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài toán 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Bài toán 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
thì hầu hết các bài tốn về khoảng cách sẽ được giải quyết.
Vì vậy, việc đưa ra “Định hướng cách giải các dạng tốn khoảng cách
trong hình học khơng gian” là một việc rất cần thiết và bổ ích cho việc dạy của
giáo viên và việc học hình học khơng gian của học sinh.
2.2.2. Một số giải pháp
Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp,
tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp:
Đưa ra “Định hướng cách giải các dạng toán khoảng cách trong hình học khơng
gian” như sau:
2.2.2.1. Giải pháp 1. Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng
Khi gặp bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì
việc đầu tiên cần làm là xác định hình chiếu vng góc của một điểm trên đường
thẳng trong khơng gian, ta có thể làm như sau:

4

Để tính khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng ta cần xác định được
hình chiếu
của điểm
trên đường thẳng . Điểm
thường được dựng
theo hai cách sau:
+ Trong
vẽ
+ Dựng mặt phẳng
qua
và vng góc với tại
.
Tính tốn: Sau khi xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức
lượng trong tam giác, đa giác, đường trịn, … để tính tốn.
Trường hợp ta thường hay gặp là xem
là đường cao của một tam
giác nào đó.
Hai cơng thức sau thường được dùng để tính
trong tam giác:
+

vng tại

+

và có đường cao

là đường cao của

thì

thì

.
.

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài tập 1. Cho hình chóp tam giác
với
vng góc với
và
Diện tích tam giác
bằng
. Tính khoảng cách từ S
đến đường thẳng BC.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc
của điểm trên đường thẳng rồi tính tốn.
Kẻ
vng góc với

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vng
ta có
Bài tập 2. Cho tứ diện
trong đó ,

,
vng góc với nhau từng đơi một và
,
,
. Tính khoảng cách từ đến đường thẳng
.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc
của điểm trên đường thẳng rồi tính tốn.
B
+ Dựng
.
+

,
cắt

cùng nằm trong

H

a

.
.

?
S

2a

C

3a

A

5


Xét trong

vng tại

có

là đường cao ta có:
.

+ Ta dễ chứng minh được
vuông tại .
Áp dụng hệ thức lượng trong

vuông tại

ta có:
.

Bài tập 3. Cho hình chóp
có
,

,
là hình
vng cạnh bằng . Gọi
là tâm của
, tính khoảng cách từ đến
.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc
của điểm trên đường thẳng rồi tính tốn.
Kẻ
, khi đó
. Ta có:
(g.c.g) nên
Mà:
Vậy

.

,

.
.

Bài tập 4. Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Tính khoảng
cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh ơn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc
của điểm trên đường thẳng rồi tính tốn.

B
C
Gọi
là trung điểm của
. Do
là hình lập phương nên tam giác
D
A
là tam giác đều cạnh
.
M
B'
A'

C'
D'

Bài tập 5. Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Tính khoảng
cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng
.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh ôn tập lại cách dựng hình chiếu vng góc
của điểm trên đường thẳng rồi tính tốn.

6


Gọi là chân đường vng góc hạ từ xuống

.
Dễ thấy
vng đỉnh

B

.

C
D

A

B'

H

C'

A'
D'

2.2.2.2. Giải pháp 2. Định hướng cách giải dạng toán tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
Khi gặp bài tốn tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng

ta

có thể gặp các trường hợp sau:
Trương hợp 1: A là chân đường cao, tức là

.

S

P

A



P

Bước 1: Dựng
và

K

.

Bước 2: Dựng
Trương hợp 2: Dựng đường thẳng AH,

.
A

H

A'

H'


Lúc đó:
.
Trường hợp 3: Tìm đường thẳng a đi qua A và cắt
đó có điểm H sao cho IA, IH biết tỷ số.
Dựng đường thẳng AH,
.

tại I, trên đường thẳng

A
H

A'


I

H'

7


Lúc đó:
Kinh nghiệm: Thường điểm H là hình chiếu của đỉnh

8

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài tập 1. Cho hình chóp
trong đó
,
,
vng góc với nhau
từng đơi một. Biết
,
. Tính khoảng cách từ đến mặt
phẳng
.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Đây là bài toán rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân
đường cao A đến mặt bên (SBC)
Kẻ
.
Ta có:
Suy ra
Trong tam giác vng

.
.
ta có:
.

Bài tập 2. Cho hình chóp
có
, đáy

là hình chữ
nhật. Biết
,
. Khoảng cách từ đến mặt phẳng
bằng:
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Đây là bài tốn rơi vào trường hợp có thể quy về trường hợp
bằng khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SCD) qua việc nhận thấy
AB // (SCD).
Dễ thấy AB // (SCB), nên
Kẻ
, mà vì
nên
.
Trong tam giác vng
ta có:

.
Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo
a, biết
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Đây là bài toán rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân
đường cao A đến mặt bên (SBC)
Gọi E trung điểm BC thì
(vì ABC đều).
S

Có

,

F

C

A

E

B

9


mà
hai mặt phẳng
này vng góc với nhau theo giao tuyến SE, trong
mp(SAE) dựng
tại F. Suy ra
. Vậy

.

Trong tam giác vuông SAE có
.
Kết luận

.

Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
, có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải:
a)
Định hướng: Đây là bài toán rơi vào trường hợp tính khoảng cách từ chân
đường cao O đến mặt bên (SBC)

S

Hạ
F

Trong (SOK) kẻ
.
Ta có

đều

Trong tam giác vng OBC có:

H

A
E

;
B
D

D
B
K

O

C

Trong tam giác vng SOK có:

Vậy

10


b)
Định hướng: Đây là bài toán rơi vào trường hợp có thể quy về tính khoảng
cách từ chân đường cao O đến mặt bên (SBC). Và dễ dàng nhận thấy

Ta có
Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,
BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
và
= 300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: H là hình chiếu vng góc của đỉnh S, hai điểm B và H cùng nằm
trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAC) tại C . Nên bước đầu tiên
ta phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) , sau đó sử dụng cơng thức tỉ
số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC). Cách làm cụ thể

như sau :
S
Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên BC. Do
vng góc với nhau theo giao tuyến
K

BC nên
Trong

.

G

A

vng tại H,

H

3a

có

.

Trong mp(ABC) dựng

300

tại G.

Ta có

C

2a 3
4a

B

mà

hai mặt

phẳng này vng góc với nhau theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng
tại K
.
Vậy

.

Ta có
Trong

.
vng tại H :
.

Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, nên
có:

.

11


Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,
, hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm
của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Đây là bài toán rơi vào trường hợp có thể quy tính khoảng cách
từ chân đường cao H đến mặt bên (SBD), sau đó sử dụng cơng thức tỉ số khoảng
cách để tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SBD).
Gọi H là trung điểm của AB,
O là giao điểm của AC và BD.
Theo đề bài ta có

S

.

vng tại A có

I

.

A

D

H

O
K

B

vng tại H có

C

.
Dựng

. Có

và

mà

hai mặt phẳng này vng góc với nhau theo
giao tuyến SK, dựng
Vậy
Ta có

.
.
, trong

có
.

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại B có:
.
Bài tập 7. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu vng góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc
giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (ACC'A').
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Quy bài tốn tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') về
bài tốn tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc H đến mp(ACC’A’).

12


A'

Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có
.
Có HC là hình chiếu vng góc của A'C trên mặt
phẳng (ABC), nên góc giữa A'C và mặt phẳng (ABC)
là góc
.
Do đó

I
B'

A

.

Dựng

. Có

C'

K
C

600

H

B

và
mà
hai mặt phẳng này vng góc với

nhau theo giao tuyến A'K, dựng
Vậy

.

Ta có
trong

.

,
có

.

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại A có:
.
2.2.2.3. Giải pháp 3. Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song
Việc tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
với nó ln quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cần lưu ý việc
chọn điểm trên đường thẳng sao cho việc xác định khoảng cách được đơn giản
nhất.
BÀI TẬP MINH HỌA

Bài tập 1. Cho hình thang vng
đường thẳng vng góc tại
với

vng ở và ,
lấy điểm với

. Trên
. Tính

khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.

Hướng dẫn giải:
Định hướng: Quy bài tốn tính khoảng cách từ BC đến
mặt phẳng (SAB) về bài tốn tính khoảng cách từ điểm
D đến mặt phẳng (SAB).

13


Vì

//

nên

//
.

Kẻ

, do
.
Trong tam giác vng

,

nên

suy ra

ta có:

.

Bài tập 2. Cho hình chóp tứ giác đều
cách từ đường thẳng
đến mặt phẳng
.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Quy bài tốn tính khoảng cách từ AB đến

Tính khoảng

mặt phẳng (SCD) về bài tốn tính khoảng cách từ trung điểm I đến mặt phẳng
(SCD).
Gọi
Vẽ

lần lượt là trung điểm cạnh
tại
thì

và

thì
S

đều cạnh

H
A

Và

I

Cuối cùng

B

D
M

O
C

2.2.2.4. Giải pháp 4. Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng giữa hai
mặt phẳng song song
Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ln quy về việc
tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cần lưu ý việc chọn điểm trên mặt
phẳng sao cho việc xác định khoảng cách được đơn giản nhất.
BÀI TẬP MINH HỌA

Bài tập 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều
có cạnh đáy bằng .
Gọi
, , lần lượt là trung điểm của
,
,
. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng
và

.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Quy bài tốn tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng (MNP) và (ACA’) về bài tốn tính khoảng
cách từ điểm P đến mặt phẳng (ACA’).

14


Ta có:

//

.

Bài tập 2. Cho hình lăng trụ
có tất cả các cạnh đều bằng . Góc
tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
. Hình chiếu
của
trên mặt
phẳng
thuộc đường thẳng
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
đáy của lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Quy bài tốn tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng
trụ về bài tốn tính khoảng cách từ một đỉnh đến mặt đáy.
Do hình lăng trụ
bằng suy ra

có tất cả các cạnh đều

A

C

B

A'

C'
H

B'

2.2.2.5. Giải pháp 5. Định hướng cách giải dạng tốn tính khoảng giữa hai
đường thẳng chéo nhau
Khi gặp bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì
phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau về: khoảng cách giữa một trong hai đường đó và mặt phẳng song song với
nó chứa đường thẳng cịn lại; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó hoặc tìm cách dựng đường vng góc chung và
tính độ dài đoạn đó.
Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể
dùng một trong các cách sau:
Cách 1:
Chọn mặt phẳng
chứa đường thẳng và song song với . Khi
đó

M

'


H



15


Cách 2:
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.




'



Cách 3:
Dựng đoạn vng góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: và
vừa chéo nhau vừa vng góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng
chứa
và vng góc với tại .

Bước 2: Trong mặt phẳng
kẻ
.
Khi đó
là đoạn vng góc chung và
.


'

I
J



Trường hợp 2:
và
chéo nhau mà khơng vng góc với nhau
Bước 1: Chọn mặt phẳng
chứa
và song song với .
Bước 2: Dựng là hình chiếu vng góc của xuống
bằng cách lấy điểm
dựng đoạn
, lúc đó là đường thẳng đi qua
và song song
với .
Bước 3: Gọi
, dựng
Khi đó

là đoạn vng góc chung và
.
M

K

H



d



N
'

Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng
tại .
Bước 2: Tìm hình chiếu của
xuống mặt phẳng
.
Bước 3: Trong mặt phẳng
, dựng
, từ dựng đường thẳng song song
với cắt
tại , từ
dựng
.

16


Khi đó

là đoạn vng góc chung và

.



'

H

M

d

I
J



BÀI TẬP MINH HỌA

Bài tập 1. Cho hình chóp
có
, đáy

nhật với
và
. Tính khoảng cách giữa
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Do mặt phẳng (SAD) chứa SD và

là hình chữ
.

và

BC // (SAD), nên sẽ nghĩ tới việc quy bài tốn tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SD và BC
về tính khoảng cách giữa đường thẳng BC và mp(SAD)
Ta có:

//
.

Mà

.

Ta có:
.
Bài tập 2. Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
cạnh bên bằng
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng và tính đoạn vng góc chung
của hai đường thẳng SA và BC.
S

Hướng dẫn giải:
Định hướng: Hướng dẫn học sinh cách dựng đoạn
N

vng góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau và tính.
Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M

C

A
G

Chóp
Vì
Trong

S.ABC

đều,

và

mà

G

là

tâm

từ đó suy ra
kẻ

nên

M
B

.
( vì

). Do vậy

MN là đoạn vng góc chung của BC và SA.

17


Trong

vng tại G có

Trong

có

.

Bài tập 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
. Hình chiếu vng góc của điểm D trên BB' là điểm K

nằm trên BB' và

, hình chiếu vng góc của điểm B' trên mặt

phẳng (ABCD) là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng B'C và DC'.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Do mặt phẳng (SAD) chứa SD và
DC’ // (AB’C), nên sẽ nghĩ tới việc quy bài tốn tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau B’C và DC’ về tính khoảng cách giữa đường thẳng DC’
và mp(AB’C)

B'

Ta có

C'

A'
K

Trong tam giác vng BKD :

D'

a 2

B

H

60°
A

Ta có

C

D

Trong tam giác vuông B'KD :
.
Suy ra tam giác B'BD cân tại B' do đó H chính là giao điểm của AC và BD.
.
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

. Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Hướng dẫn giải:
Định hướng: Dựng đoạn vng góc chung rồi tính
Ta có:

18


S

Do

Kẻ
Suy ra HK là đoạn vng góc chung của

K
N

A

DM và SC nên

D
H

M

Ta có:

B

C

Vậy
Bài tập 5. Cho hình lập phương
trung điểm của

có cạnh bằng a. Gọi M là

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và

.

Hướng dẫn giải:
Định hướng: Dựng mặt phẳn chứa A’D và song song với CM. Quy bài tốn tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng.
Gọi N là trung điểm của

thì

D'

C'

là hình bình hành nên
. Mặt phẳng (
và song song với

) chứa

A'

nên

B'

M
O
G

với

N

D

C

. Gọi
thì G là
trọng tâm của tam giác
Tứ diện

. Do đó

A

B

E

.

vng tại A nên

19


.

Vậy
3. Khả năng áp dụng của giải pháp
Sáng kiến đã được áp dụng vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi thi vượt
cấp lớp 11 và thi học sinh giỏi lớp 12 – Trường THPT Thác Bà – huyện Yên
Bình – tỉnh n Bái.
Ngồi ra sáng kiến có thể áp dụng để dạy cho học sinh lớp 11, dạy bồi
dưỡng cho học sinh giỏi thi vượt cấp lớp 11 và thi học sinh giỏi lớp 12 – THPT
trên toàn quốc.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp
4.1. Hiệu quả cụ thể mang lại
Trong năm đầu tiên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi của trường dự thi
cấp tỉnh tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiêm và kết quả thu được như sau:
- Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Yên Bái năm học 2021 - 2022 cả 4
học sinh đi thi đều làm đúng câu hình học khơng gian trong đề thi.
- Giải học sinh giỏi cấp tỉnh: 04 giải khuyến khích
4.2. So sánh hiệu quả trong quá trình giảng dạy
Để kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài nghiên cứu tôi tiến hành giảng dạy
theo nội dung của đề tài trong q trình ơn thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của
trường THPT Thác Bà đi thi cấp tỉnh năm học 2021 – 2022.
Nhóm 1 (nhóm thực nghiệm): 4 học sinh
Nhóm 2 (nhóm đối chứng): 4 học sinh
Kết quả thực nghiệm thông qua điểm số của bài kiểm tra khảo sát 45 phút
(ở phần tài liệu gửi kèm). Kết quả thu được cụ thể như sau:
Nhóm thực nghiệm ( 4 học sinh)

Nhóm đối chứng (4 học sinh)

2 điểm 9 ; 2 điểm 10

2 điểm 5; 2 điểm 7,5

Giỏi: 100%

Trung bình: 50% ; Khá 50% ; Giỏi: 0%

Nhận xét: Thơng qua bảng kết quả so sánh ở trên có thể nhận thấy nhóm
1 (nhóm thực nghiệm) có kết quả học tập nổi trội hơn hẳn so với nhóm 2 (nhóm
đối chứng). Lý do:

20


- Nhóm 1 (nhóm thực nghiệm): sau khi áp dụng đề tài đã có thể dễ dàng
định hướng được cách giải các bài tốn khoảng cách trong khơng gian; dễ dàng
lựa chọn được phương pháp giải trong các tình huống cụ thể. Vì vậy kết quả bài
kiểm tra rất tốt.
- Nhóm 2 (nhóm đối chứng): vẫn lúng túng, khó khăn trong việc định
hướng cũng như lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Gặp bài tốn lạ là khơng
biết bắt đầu tư đâu, dẫn đến kết quả làm bài kiểm tra thấp.
5. Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu: không
6. Các thông tin cần được bảo mật
Sáng kiến này tôi muốn được áp dụng rộng rãi trong trường THPT Thác
Bà nên không sử dụng các thông tin cần được bảo mật.
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
- Giáo viên: Trình độ chuyên mơn: Cử nhân sư phạm Tốn trở lên
- Học sinh: Sáng kiến được áp dụng đối với đối tượng là học sinh lớp 11;
học sinh thi học sinh giỏi THPT tỉnh Yên Bái.
8. Tài liệu gửi kèm:
- Kế hoạch dạy học

- Ma trận đề kiểm tra
- Đề kiểm tra
III. CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN
Tơi cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Thác Bà, ngày 20 tháng 01 năm 2022
Người viết báo cáo

Trần Chí Cường

21


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
VỀ VIỆC TRIỂN KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TẠI ĐƠN VỊ
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

22