SKKN Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TỐN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN"

1


ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo
tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai khơng_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm
gương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao
chất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích
cực”
Nghị quyết TW2 khố VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và
đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học,
từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”.
Do đó trong q trình dạy học địi hỏi đội ngũ các thầy cơ giáo phải tích cực học tập,
khơng ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học,
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học
sinh.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải
quyết một bài tốn hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều ngun nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tơi, ngun nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học
sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, khơng để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài tốn nào thì chỉ chú
trọng tìm cách giải cho riêng bài tốn đó mà khơng có một cách nhìn tổng qt. Chính vì
vậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ

xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian.

2


Với vai trị là một giáo viên dạy Tốn và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các
thầy cơ đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài
toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo. Tơi xin trình
bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài tốn Viết phương trình đường
thẳng trong khơng gian đó là :
“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian”.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường
thẳng:Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ở hai dạng trên, người học phải xác
định được:
+) Điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Nhưng khơng phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai
đại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học. Bài tốn viết phương
trình đường thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường minh và khơng tường
minh
Dạng tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài tốn thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để
người học củng cố công thức.

3

- Với bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian, dạng tường minh theo
tơi đó là:
Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết:
1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua.
2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó,
dạng tốn này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc tốn học,
vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tơi xin được bàn về các dạng tốn khơng tường minh, đây cũng là dạng
toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn
trong dạng tốn này, trước hết tơi xin được chia nhỏ thành hai bài tốn:
Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của
đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều
kiện khác của bài toán
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài tốn này đề bài khơng cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc
học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài tốn.
Ngồi việc phân dạng tốn, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng
cách giai khi đứng trước một bài toán.

4


Trong bài tốn Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian, người học cần chú ý
đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai
điều kiện xác định đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài tốn mà tơi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình
thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.
Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng qt của đường thẳng khơng được
trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng qt thì có được
chấp nhận hay khơng? nếu khơng được chấp nhận thì làm thế nào?
Các khắc phục khơng có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng
tham số thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:
x − y + 2z − 5 = 0

2 x + y + z − 1 = 0

Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
Đặt:

 x − y − 3 + 2t = 0 3 x − 3 + 3t = 0  x = 1 − t
z = 1+ t ⇒ 
⇒
⇒
2 x + y + t = 0
2 x + y + t = 0
 y = −2 + t

5

Vậy ta có phương trình dạng tham số của ∆.
x = 1− t

 y = −2 + t
z = 1+ t


( t ∈ R)

Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:
x − y + 2z − 5 = 0


2 x + y + z − 1 = 0


+) Điểm đi qua: Với

z =1

(α )
(β)

( I)

thay vào hệ (I) ta có:

x − y = 3
x = 1

⇔

2 x + y = 0
 y = −2

Suy ra ∆ đi qua

( I)

M ( 1; −2;1) .

+) Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích
có hướng của hai mặt phẳng.
ur ur ur
u
u u
u∆ =  nα , nβ  = ( −3;3;3)



Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:

 x = 1 − 3t

 y = −2 + 3t
 z = 1 + 3t


( t ∈ R)

Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng
cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải mới.

CƠ SỞ THỰC TIỄN

6


Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tơi thấy học sinh khơng
cịn lúng túng trước bài tốn hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định,
các em đã nắm chắc nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ
chỉ phương”. Đa số các em học sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết
các bài tập SGK và bài tập sách bài tập hình học nâng cao 12. Các em tự đặt câu hỏi:
Còn cách giải khác cho bài tốn khơng? Từ đó kích thích sự tị mị tìm cách giải mới cho
mỗi bài tốn cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời giải khá độc đáo khác
cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài tốn hình học khó hơn.

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo
khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong khơng gian lớp 11.Tơi xin
được trình bày nội dung đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài
tốn đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một điểm đi qua
+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ
trong bài tốn.
Ví dụ 1
Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( 1; 2;3)

và vng góc với mặt phẳng ( α ) : 2 x − 3 y + z − 2 = 0

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

7


1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

M ( 1; 2;3) .

+) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:
ur
u
nα ( 2; −3;1)

+) Quan hệ vng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Các cách giải:
Cách 1:
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) nên song song hoặc trùng với giá của
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận

ur
u
nα ( 2; −3;1)

làm véctơ chỉ phương nên có

phương trình dạng tham số:
 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t
z = 3 +1


( t ∈ R)

Cách 2: Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) nên ∆ là tập hợp các điểm
N ( x; y; z )

sao cho:
uu
u u ur
r
u  x − 1 = 2t
 x = 1 + 2t
 MN = tnα



⇔  y − 2 = −3t ⇔  y = 2 − 3t

t ∈ R

z − 3 = t
z = 3 + t



( t ∈ R) ( I )

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆.
(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)
Ví dụ 2
8


Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua
M ( −1;2;5 )

và

song

song

với

hai

phẳng: ( P ) :3x + y − 5 z + 8 = 0

mặt

và

( Q ) :2 x − y + z − 1 = 0 .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:
M ( −1; 2;5 ) .

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Hai mặt phẳng :
(P) ⇔ có véctơ pháp tuyến:

ur
u
nP ( 3;1; −5 ) .

(Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến:

ur
u
nQ ( 2; −1;1)

.

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có
phương vng góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Từ mối qua hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng ∆
có một chỉ phương

r
ur ur
u u
u =  nP ; nQ  = ( −4; −13; −5 )




Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:
∆:

x +1 y − 2 z − 5
=
=
−4
−13
−5

Ví dụ 3
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

9


A ( −2;1;3)

, cắt cả hai đường thẳng

∆1 :

x −1 y − 2 z + 1
=
=
1
−1

1

∆2 :

và

x + 2 y − 3 z +1
=
=
−1
2
1

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Đường thẳng

∆1

đi qua điểm

M ( 1; 2; −1)

+) Đường thẳng

∆2

đi qua điểm

N ( −2;3; −1)

A ( −2;1;3)

.

và có véctơ chỉ phương

u
r
u1 ( 1; −1;1) .

và có véctơ chỉ phương

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng

∆1

và

u
u
r
u2 ( −1; 2;1)

∆2 .

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Định hướng 1:

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆1

nên xác định một mặt phẳng ( α ) .

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆2

nên xác định một mặt phẳng ( β ) .

Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆1

tại P.

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆2

tại Q.

Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ.
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
10

.


Cách 1:
• Gọi ( α ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và
Vậy ( α ) có hai chỉ phương là

u ur
uu
AM ( 3;1; −4 )

và

u
r
u1 ( 1; −1;1) ,

∆1 .

suy ra pháp tuyến của ( α ) :

ur u ur u
u
uu r
nα =  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 )



• Gọi ( β ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và

Vậy ( β ) có hai chỉ phương là

uu
ur
AN ( 0; 2; −4 )

và

u
u
r
u2 ( −1; 2;1)

∆2 .

, suy ra pháp tuyến của ( α ) :

ur u u u
u
ur u
r
nβ =  AN ; u2  = ( 10; 4; 2 )



Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
Hay ∆ có phương trình:

r
ur ur

u u
u =  nα ; nβ  = ( 2; −34;58 )



 x = −2 + t

∆ :  y = 1 − 17t
 z = 3 + 29t


Cách 2:
Gọi P là giao điểm của ∆ và

∆1 . P ∈ ∆1 ⇒ P ( 1 + t ; 2 − t ; −1 + t )

Gọi Q là giao điểm của ∆ và

∆ 2 . Q ∈ ∆ 2 ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' )

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay:
uu
ur
QA ( t '; −2 − 2t '; 4 − t ' )

,

uu
u
r

PA ( −3 − t ; −1 + t; 4 − t )

.

2

t ' = 15
t ' = −3k − tk
t '+ 3k + tk = 0

u u uu 
ur
u
r
8


QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = −k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ k =
15
 4 − t ' = 4k − tk
t '+ 4k − tk = 4



26

tk = − 15


11

t'=

Với

2
15

ta có :

u u 2 34 58 
ur
QA  ; − ; ÷
 15 15 15 
∆:

qua A nên có phương trình:

r

Hay đường thẳng ∆ có chỉ phương: u ( 1; −17; 29 ) và đi

x + 2 y −1 z − 3
=
=
1
−17
29

∆1
P
•

Cách 3:
Ta có:

u ur u
uu r
 AM ; u1  = ( −3; −7; −4 )



r

(a

Gọi u ( a; b; c )

2

+ b2 + c 2 ≠ 0

)

,

uu u
ur u
r

 AN ; u2  = ( 10; 4; 2 )



Q

A

∆2

là chỉ phương của đường

thẳng ∆ cần tìm.
+) Ba vectơ

u ur u r
uu r
AM , u1 , u

đồng phẳng

u ur u r
uu r
⇔  AM , u1  .u = 0 ⇔ 3a + 7b + 4c = 0



+) Ba vectơ

uu u r

ur u
r
AN , u2 , u

( 1)

đồng phẳng

uu u r
ur u
r
⇔  AN , u2  .u = 0 ⇔ 10a + 4b + 2c = 0



( 2)

Từ (1) và (2):
3a + 7b + 4c = 0
3a + 7b − 20a − 8b = 0
b = −17 a
⇔
⇔

5a + 2b + c = 0
c = −5a − 2b
c = 29a

Vì

a +b +c ≠ 0⇒ a ≠ 0
2

2

r
u ( 1; −17; 29 )

2

véctơ

r
u ( a; −17 a; 29a )

hay đường thẳng cần tìm có chỉ phương

và đi qua A nên có phương trình:
∆:

x + 2 y −1 z − 3
=
=
1
−17
29

Ví dụ 4
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
12

A ( 1; 2;3)


 x = 6 − 2t

d1 :  y = 1 + 4t
z = 4 − t


đồng thời vng góc với d1 và cắt d2:biết

,

d2 :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
2
1
−1 .

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
A ( 1; 2;3) .

+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+)Đường thẳng
+) Đường thẳng

d1
d2

M ( 6;1; 4 )

đi qua điểm
đi qua điểm

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt

và có véctơ chỉ phương

N ( 1; −2;3)

u
r
u1 ( −2; 4; −1) .

và có véctơ chỉ phương

u
u
r
u2 ( 2;1; −1)

.

d2 .

Đường thẳng ∆ vng góc với

d1 (có

thể cắt hoặc không cắt).

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Không thể dựa vào điều kiện ∆ cắt

d1

vì mối qua hệ này khơng chắc chắn xảy ra.

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
+)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
+)Đường thẳng ∆ vng góc với

d2

d1

tại P.

nên

uu u
ur r
uu u
ur r

AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = 0 .

Suy ra đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PA.
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
+) Đường thẳng ∆ vuông góc với

d1

d2

nên xác định một mặt phẳng ( α ) .

nên xác định một mặt phẳng ( β ) qua A và

13


vng góc với

d1 .

Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Từ đó dẫn đến các cách giải

Cách giải:
Cách 1:
Gọi giao của đường thẳng ∆ với
Véctơ

d2

là P, suy ra

P ∈ d2

hay P ( 1 + 2t ; −2 + t ;3 − t )

uu
ur
AP ( 2t ; t − 4; −t )

Mặt khác ∆ vng góc với

d1

nên:

uu u
ur r
uu u
ur r
AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = 0 ⇔ −4t + 4t − 16 + t = 0 ⇔ t = 16 .

Suy ra

uu
ur
AP ( 32;12; −16 )

, hay

∆:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
8
3
−4

Cách 2: Gọi ( α ) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và

d2 .

ur u u u
u
ur u
r
nα =  NA, u2  = ( −4;0; −8 )



Mặt khác ( α ) chứa ∆ nên đi qua A. ( α ) : x + 2 z − 7 = 0
Gọi ( β ) là mặt phẳng qua A và vng góc với

d1 ,

nên nhận

u
r
u1 ( −2; 4; −1)

tuyến.

( β ) : 2x − 4 y + z + 3 = 0
Ví ∆ là giao của ( α ) và ( β ) nên có chỉ phương

14

r
ur ur
u u
u =  nα , nβ  = ( 8;3; −4 )



.

là véctơ pháp


Phương trình của đường thẳng

 x = 1 + 8t

∆ :  y = 2 + 3t
 z = 3 − 4t



( t ∈ R) .

Ngoài hai cách giải trên, ta cịn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương
r

Cách 3: Gọi u ( a; b; c ) là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm
Vì ∆ cắt

d2

nên ba véctơ

uu u
ur u
r
NA; u2

và

r
u

a 2 + b2 + c2 ≠ 0 .

đồng phẳng:

uu u r
ur u

r
 NA, u2  .u = 0 ⇔ 4a + 8c = 0 ⇔ a = −2c ( 1)



Mặt khác ∆ ⊥

d1

⇔

Từ (1) và (2) ta có:
Chọn

ru
r
u.u1 = 0 ⇔ −2a + 4b − c = 0
3c + 4b = 0 ⇔ 3c = −4b

b = 3
c = −4 ⇒ 
a = 8

Vậy ∆ có phương trình:
Cách 4: Gọi

( 2)

K ( x; y; z )

 x = 1 + 8t

∆ :  y = 2 + 3t
 z = 3 − 4t


( t ∈ R) .

. K thuộc đường thẳng cần tìm khi và chỉ khi

uu uu u
ur ur u
r
đồng phẳng
 AK ; NA; u2

ur r
u u u
 AK ⊥ u1


uu uu u
ur ur u
r
 AK  NA, u2  = 0


⇔  u u r
ur u
 AK .u1 = 0



( I)

−4 ( x − 1) − 8 ( z − 3) = 0
x + 2z − 7 = 0

⇔
⇔
2 x − 4 y + z + 3 = 0
−2 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) − ( z − 3) = 0


Đặt z = t:
 x = 7 − 2t
 x = 7 − 2t

⇔

17 3
14 − 4t − 4 y + t + 3 = 0  y = − t

4 4

15


Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình

 x = 7 − 2t


17 3

∆ : y = − t
4 4

t
z =


( t ∈ R) .

Ví dụ 5
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua

A ( 3; −2; −1) ,

vng góc và cắt đường thẳng

x = 3+ t

d :  y = 4 − 5t
 z = −1 + 2t


Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Đường thẳng

d

đi qua điểm

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt

M ( 3; 4; −1)

A ( 3; −2; −1) .
r

và có véctơ chỉ phương u ( 1; −5; 2 ) .

d.

Đường thẳng ∆ vng góc với d .
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:
u ur
uu
AM ( 0;6;0 )

Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và chứa d.

ur u ur r
u
uu
nα =  AM , u  = ( 12;0; −6 )




Gọi ( β ) là mặt phẳng qua A và vng góc với d.

16

ur r
u
nβ = u ( 1; −5; 2 )


Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
Phương trình của đường thẳng

∆:

u
r ur ur
u u
u1 =  nα ; nβ  = ( −30; −30; −60 )



x − 3 y + 2 z +1
=
=
.
1
1
2

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài tốn khơng phải chỉ có một cách giải mà đối với
mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều
cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài tốn.
Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài tốn này nhưng sẽ gặp khó khăn đối
với bài tốn khác. Như ví dụ sau:
Ví dụ 6
Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 2 z + 17 = 0 và mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9
2

2

biết tiếp tuyến đó đi qua

. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S)

M ( 1;8; 2 )

và song song với mặt phẳng (α).

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Mặt phẳng ( α ) có véctơ pháp tuyến

M ( 1;8; 2 ) .

ur
u
nα ( 2; −1; 2 ) .

+) Mặt cầu ( S ) có tâm và bán kính I ( 1;3; −2 ) ,
+) Quan hệ: Đường thẳng

R=3

∆ / /(α)

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I
đến đường thẳng ∆ bằng R.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
17


Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:
r

Gọi u ( a; b; c ) là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm
Vì

∆ / /(α)

a 2 + b2 + c2 ≠ 0 .

nên ta có:
r ur
u
u.nα = 0 ⇔ 2a − b + 2c = 0 ⇔ b = 2a + 2c

+)

uu
ur
r
IM ( 0;5; 4 ) , u ( a; b; c )

,

( 1)

uu r
ur
 IM , u  = ( 5c − 4b; 4a; −5a )



Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
uu r
ur
 IM , u 


d ( I, ∆) = R ⇔

=R⇔
r
u
⇔

( 5c − 4b )

2

+ ( 4a ) + ( −5a )
2

2

=3

a 2 + b2 + c2

( 5c − 4b )

2

+ ( 4a ) + ( −5a ) = 3 a 2 + b 2 + c 2

( 8a + 3c )

2

+ ( 4a ) + ( −5a ) = 3 a 2 + ( 2a + 2c ) + c 2

2

( 2)

2

Từ (1) và (2) ta có:
⇔

2

2

2

⇔ 105a 2 + 48ac + 9c 2 = 45a 2 + 72ac + 45c 2

⇔ 5a 2 − 2ac − 3c 2 = 0

Vì

a 2 + b2 + c2 ≠ 0

Nếu

a=c

chọn

suy ra

a
c =1
a = c
⇔
⇔
5a = −3c
a = − 3
c
5


a ≠ 0.

b = 4
a =1⇒ 
.
c = 1

Tiếp tuyến cần tìm:

18

∆1 :

x −1 y − 8 z − 2
=
=
1
4

1


Nếu

5a = −3c

chọn

b = 4
a = −3 ⇒ 
.
c = 5

Tiếp tuyến cần tìm:

∆2 :

x −1 y − 8 z − 2
=
=
−3
4
5

Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài
∆1 :

x −1 y − 8 z − 2
=

=
1
4
1

và

∆2 :

x −1 y − 8 z − 2
=
=
.
−3
4
5

Như vậy bài tốn được giải quyết khơng mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách
khácthì vẫn giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm
đi qua:
Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm. Điểm có thể tìm
được đó là tiếp điểm.
Cách khác: Gọi
kiện sau:

+)

K ( x; y; z )

K ∈( S ) ,

là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều

+)

u u ur
uu u
r
MK .nα = 0 ,

+)

ur u u
u uu
r
IK .MK = 0 .

Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho
trước và các mối quan hệ hình học.
Ví dụ 7
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ biết nó
vng góc với mặt phẳng (P) :

x+ y−z−4 =0

nhau:

19

và cắt cả hai đường thẳng chéo


x = 2 − t

∆1 :  y = 3 + t
 z = 1 − 2t


 x = 2 + 3t '

∆2 :  y = 1 − t '
z = t '


và

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến

ur
u
nP ( 1;1; −1)

+) Đường thẳng

∆1

đi qua

M 1 ( −1;1; −2 )

+) Đường thẳng

∆2

đi qua

M 2 ( 2;1;0 )

+) Quan hệ: Đường thẳng

.
u
r

có chỉ phương u1 ( 2;3;1) .
u
r

có chỉ phương u1 ( 3; −1;1) .

∆ ⊥ ( P)

Đường thẳng ∆ cắt cả

∆1

và

∆2 .

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với hai đường thẳng
+) M ∈ ∆1 ⇒ M ( 2 − t ;3 + t ;1 − 2t )

∆
•M

+) N ∈ ∆ 2 ⇒ N ( 2 + 3t ';1 − t '; t ' )
uu
uu
r

N•

+) MN ( 3t '+ t; −2 − t '− t ; −1 + t '+ 2t )
Theo giả thiết

∆ ⊥ ( P)

nên:

P

3t '+ t = k
3t '+ t − k = 0

t ' = −2
uu
u u ur
r
u



MN = k nP ⇔ −2 − t '− t = k ⇔ t '+ t + k = −2 ⇔ t = 3
−1 + t '+ 2t = −k
t '+ 2t + k = 1
 k = −3




20

∆1
∆2

∆1 , ∆ 2 .


Vậy

uu
uu
r
M ( −1;6; −5 ) , MN ( −3; −3;3) .

Đường thẳng có phương trình:

x +1 y − 6 z + 5
=
=
1
1
−1

∆

∆1

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)
Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa

∆1

và vng góc với (P)

ur ur u
u
u r
nα =  nP , u1  = ( 4; −3;1)



Mặt phẳng ( α ) có phương trình
Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa

∆2

4x − 3y + z + 9 = 0

∆2

β

α

P

và vng góc với (P)

ur ur u
u
u u
r
nβ =  nP , u2  = ( 0; −4; −4 )



Mặt phẳng ( β ) có phương trình

y + z −1 = 0

Vậy đường thẳng ∆ là tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
4 x − 3 y + z + 9 = 0


y + z −1 = 0


Đặt z = t: ⇒ x = −

Đường thẳng có phương trình:

3
− t ; y = 1 − t.
2

3

x = − −t

2

y = 1 −t

z =
t



( t ∈ R)

Trong bài toán trên, véctơ chỉ phương của đường thẳng có thể xác định được một cách
dễ dàng nhờ mặt phẳng (P). Vậy chỉ cần xác định được một điểm đi qua là đủ
Cách 3: Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1

∆

và vng góc với mặt phẳng (P).
M•
21

P

α

∆1
∆2


Vì

∆1 và ∆ 2

Mặt khác

chéo nhau nên

∆1 khơng

∆ 2 cắt

(α) tại M.

vng góc với (P) nên

∆1

cắt đường

thẳng qua M và vng góc với (P).
Vây đường thẳng cần tìm ∆ là đường thẳng qua M và
vng góc với mặt phẳng (P).
Ta đi tìm M.
Mặt phẳng (α) đi qua M1 và có pháp tuyến
ur u ur
u
r u
nα = u1 , nP  = ( −4;3; −1)



suy ra:

4x + 3y − z − 5 = 0

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
 x = 2 + 3t '
 y = 1− t '
−3

⇒ 4 ( 2 + 3t ' ) + 3 ( 1 − t ' ) − ( t ' ) − 5 = 0 ⇒ t ' =

4
z = t '
4 x + 3 y − z − 5 = 0



Với

t'=

−3
 1 7 3
⇒ M  − ; ; − ÷.
4
 4 4 4

Suy ra đường thẳng có phương trình:

1
7
3
y−
z+
4=
4=
4
1
1
−1

x+

Ví dụ 8
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường vng góc chung của

hai đường thẳng:

22


∆1 :

x − 6 y − 1 z − 10
=
=
1
2
−1

và

∆2 :

x+4 y −3 z −4
=
=
−7
2
3

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Đường thẳng
+)Đường thẳng

u
r

∆1

đi qua

M 1 ( 6;1;10 )

có chỉ phương u1 ( 1; 2; −1) .

∆2

đi qua

M 2 ( −4;3; 4 )

có chỉ phương u2 ( −7; 2;3) .

+)Quan hệ: Đường thẳng

∆

u
u
r

vng góc và cắt

Đường thẳng ∆ vng góc và cắt

∆1
∆2 .

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với
+)

M ∈ ∆1 ⇒ M ( 6 + t ;1 + 2t ;10 − t )

∆1

và

∆2

.

+) N ∈ ∆ 2 ⇒ N ( −4 − 7t ';3 + 2t '; 4 + 3t ' ) .
u ur
uu

+) MN ( −10 − 7t '− t; 2 + 2t '− 2t ; −6 + 3t '+ t )
uu u
uu r
r
uu u
uu r

r
 MN ⊥ u1
 MN .u1 = 0



( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = 0
⇔
uu u
r
r
uu u
r r
u u u ⇔ u u u
 −7 ( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) + 3 ( −6 + 3t '+ t ) = 0
 MN ⊥ u2
 MN .u2 = 0



( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = 0
t '+ t = 0
t ' = −1

⇔
⇔
⇔
56 + 62t '+ 6t = 0
t = 1
−7 ( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) + 3 ( −6 + 3t '+ t ) = 0



Suy ra

u ur
uu
M ( 7;3;9 ) , MN ( −4; −2; −8 ) ,

hay đường vng góc chung có phương trình:

23


 x = 7 + 2t

y = 3+t
 z = 9 + 4t


Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)
Ta có:

u u
r u
r
u1 ; u2  = ( 8; 4;16 )



r

su ra đường vng góc chung có chỉ phương u ( 2;1; 4 ) .

Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và
pháp tuyến:

ur
u r u
r
nα = u; u1  = ( −9;6;3)



∆1 .Vậy

(α) đi qua điểm

M 1 ( 6;1;10 )

và có véctơ

M 2 ( −4;3; 4 )

và có véctơ

nên có phương trình:

3x − 2 y − z − 6 = 0

Gọi (β) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và

pháp tuyến:

ur
u r u
u
r
nβ = u; u2  = ( −5; −34;11)



∆2 .

Vậy (β) đi qua điểm

nên có phương trình:

5 x + 34 y − 11z − 38 = 0

Vậy đường vng góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:
3 x − 2 y − z − 6 = 0

5 x + 34 y − 11z − 38 = 0

Đặt:

z = 1 + 4t

thay vào hệ ta có:

3 x − 2 y = 4t + 7

 x = 3 + 2t
⇔

5 x + 34 y = 44t + 49
 y = 1+ t

Vậy đương vng góc chung cần tìm có phương trình:
x − 3 y −1 z −1
=
=
2
1
4

Ví dụ 9
Trong khơng gian tọa độ Oxyz.

24


Cho mặt phẳng (P) :

x + 3 y − 5z + 6 = 0

phương trình tham số của đường thẳng

và đường thẳng
∆

d:

x − 2 y −1 z − 7
=
=
.
1
2
1

Viết

nằm trong (P), cắt và vng góc với d.

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
+) Đường thẳng

d

đi qua

+) Quan hệ: Đường thẳng

M ( 2;1;7 )

ur
u
nP ( 1;3; −5 ) .
ur

u

có chỉ phương ud ( 1; 2;1) .

∆ ⊂ ( P)

Đường thẳng ∆ cắt cả

d

và

d ⊥∆.

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
• Điểm đi qua:
Vì đường thẳng ∆ cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va
(P).Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:
 x + 3 y − 5z + 6 = 0
 x = 14
 x + 3 y − 5z + 6 = 0



⇔  y = 25
 x − 2 y −1 z − 7 ⇔  y = 2x − 3
=
=
 1

z = x + 5
 z = 19

2
1



Vậy ∆ đi qua điểm

M ( 14; 25;19 ) .

•Véctơ chỉ phương:
Cách 1:

25