Định hướng và phát triển năng lực môn toán cho học sinh lớp 11 ở trường thpt hồng quang qua chủ đề giới hạn hàm số

SỞ GD&ĐT YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG

BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề nghị công nhận sáng kiến cấp cơ sở
TÊN SÁNG KIẾN
ĐỊNH HƯỚNG VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠN TỐN
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG QUA
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Lĩnh vực áp dụng: Toán học

Tác giả: Nguyễn Thị Lan Hương
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ- LL và PP dạy học Tốn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Hồng Quang

Yên Bái, ngày 26 tháng 01 năm 2022

1


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Định hướng và phát triển năng lực mơn Tốn cho học
sinh lớp 11 trường THPT Hồng Quang qua chủ đề Giới hạn hàm số”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Triển khai thực hiện áp dụng trong
dạy chủ đề giới hạn hàm số cho học sinh các lớp khối 11 tại trường THPT
Hồng Quang.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trực tiếp trên
lớp trong các tiết học chính khóa tại trường THPT Hồng Quang. Bắt đầu từ
tháng 01 năm 2020 đến hết tháng 02 năm 2021 (học kì II năm học 2020 - 2021).

5. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Lan Hương
Năm sinh: 06/10/1983
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ
Chức vụ công tác: Tổ trưởng chuyên môn
Nơi làm việc: Trường THPT Hồng Quang
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Hồng Quang
Điện thoại: 0917.333.500
II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Tình trạng trước khi áp dụng giải pháp
Mơn Tốn trong chương trình phổ thơng là mơn học có nhiều đơn vị kiến
thức, giáo viên phải tự bồi dưỡng kiến thức và phương pháp mới để đạt hiệu quả
cao khi tổ chức định hướng hoạt động chiếm lĩnh tri thức của học sinh. Đặc biệt
với tình hình dịch bệnh Co-Vid 19 diễn biến phức tạp, giáo viên cần tích cực
trong đổi mới phương pháp, linh hoạt tổ chức các hoạt động dạy học (bao gồm
cả dạy học trực tuyến).
Kiến thức về Giới hạn nói chung và Giới hạn hàm số nói riêng ln trừu
tượng đối với học sinh, các em ln cảm thấy khó hiểu, bị động trong các hoạt
động học tập và còn nhầm lẫn giữa các khái niệm, chưa có phương pháp giải
Tốn đúng đắn.
Tại trường THPT Hồng Quang, huyện Lục Yên đa số các thầy cô khi dạy
học chủ đề Giới hạn hàm số vẫn chủ yếu theo hướng dạy học tiếp cận nội dung
kiến thức, dẫn đến hầu hết học sinh đều không hứng thú khi học chủ đề này;
việc thực hiện các nhiệm vụ học tập liên quan đến giới hạn hàm số chưa thật sự
hiệu quả và kết quả kiểm tra đánh giá còn chưa cao, chưa đồng đều, điểm trung
bình thấp. Đặc biệt, sau khi học xong các em sẽ không ghi nhớ lâu nội dung chủ
đề Giới hạn hàm số, giáo viên rất khó khăn khi dạy các chủ đề liên quan sau đó.
* Kết quả bài kiểm tra chương Giới hạn năm học 2019 – 2020 tại các lớp
11 trường THPT Hồng Quang (tổng số học sinh là 207 em)
Điểm trung bình là 5,06

Tỉ lệ học sinh đạt kết quả khá, giỏi: 11 học sinh (chiếm 5,3%)
2


Tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình: 102 học sinh (49,3%)
Tỉ lệ học sinh đạt kết quả dưới trung bình: 94 học sinh (chiếm 45,4%) trong
đó có những học sinh đạt điểm 0, các em hầu như không làm được một bài tập
dạng đơn giản nào.
1.1. Ưu nhược điểm của dạy học tiếp cận kiến thức khi dạy học chủ đề Giới
hạn hàm số trước khi áp dụng giải pháp của sáng kiến
* Ưu điểm
Đảm bảo được mục tiêu của chủ đề dạy học, làm rõ được nội dung kiến
thức trọng tâm. Cụ thể:
+ Hình thành cho người học các kiến thức cơ bản về Giới hạn hàm số
(Khái niệm Giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn vô cực của hàm số; các giới
hạn đặc biệt; định lí các phép tốn về giới hạn)
+ Hình thành cho người học một số kĩ năng cơ bản trong giải bài tốn tìm
giới hạn của hàm số; các kĩ năng áp dụng quy tắc tìm giới hạn hàm số trong giải
các bài tốn liên quan.
+ Người học ln tích cực, cẩn thận trong từng bước tính tốn và thực
hành giải toán về Giới hạn hàm số.
* Nhược điểm
+ Học sinh thụ động trong tiếp cận kiến thức (đặc biệt các khái niệm về
giới hạn hàm số còn mang nặng tính hàn lâm), cịn nặng hình thức đọc - chép và
ghi nhớ. Nhiều học sinh còn chưa hiểu rõ một số thuật ngữ, kí hiệu tốn học đặc
trưng của Giới hạn hàm số.
Hình ảnh minh họa bài làm của học sinh thể hiện có em vẫn chưa hiểu
bản chất giới hạn ngay cả các bài toán giới hạn hàm số tại điểm đơn giản

+ Đa số học sinh chỉ giải được các dạng bài tập dựa trên bài tập mẫu trong

sách giáo khoa hoặc bài tập do thầy cô chữa. Một số học sinh nhận thức chậm,
lười học còn chưa hình thành được kỹ năng nhận dạng và định hướng phương
pháp giải toán về Giới hạn hàm số.
+ Kết quả kiểm tra, đánh giá của học sinh về chủ đề Giới hạn hàm số cịn
thấp. Vì học sinh khi làm bài kiểm tra chỉ mang tính chất tái hiện lại những ghi
nhớ về nội dung bài học, thực hiện tính tốn nên việc trình bày cịn có nhiều lỗi
sai (có bước làm ghi kí hiệu giới hạn, có bước làm khơng ghi); đối với các bài
tốn địi hỏi tư duy, sáng tạo là các em thường không biết làm.
3


Một số hình ảnh bài làm của học sinh khi học về giới hạn hàm số

1.2. Những ưu điểm và sự khác biệt khi áp dụng giải pháp
Việc nghiên cứu, thử nghiệm và áp dụng chuyển từ dạy học tiếp cận kiến
thức sang dạy học“Định hướng và phát triển năng lực mơn Tốn cho học sinh
lớp 11 trường THPT Hồng Quang qua chủ đề Giới hạn hàm số” bắt đầu được
triển khai thực hiện từ tháng 01 năm 2021 (Học kì II năm học 2020 - 2021),
hồn thành vào cuối tháng 2 năm 2021. Giải pháp đã được các đồng nghiệp và
học sinh đánh giá cao.
Giải pháp đã đáp ứng được việc đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và
học theo hướng hiện đại; phát huy tính chủ động, tích cực, phát triển tư duy sáng
tạo và khả năng vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học.
Đáp ứng được yêu cầu đổi mới của chương trình Giáo dục phổ thơng hiện
nay; tạo hứng thú học tập tích cực cho học sinh.
* Ưu điểm
- Mục tiêu của chủ đề được mô tả rõ ràng thông qua chuỗi các hoạt động
học tập được thiết kế phù hợp với mức độ nhận thức, khả năng sáng tạo của từng
đối tượng học sinh.
- Hình thành và rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, sáng tạo trong tư

duy, tìm tịi, lĩnh hội kiến thức của chủ đề.
- Giúp học sinh định hướng và phát triển một số nămg lực chung và năng
lực Tốn học nói riêng.
2. Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận là sáng kiến
2.1. Mục đích của giải pháp
“Định hướng và phát triển năng lực mơn Tốn cho học sinh lớp 11
trường THPT Hồng Quang qua chủ đề Giới hạn hàm số” với mục đích:
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn trong thiết kế các hoạt động theo định
hướng và phát triển năng lực học sinh nói chung, dạy học mơn Tốn tại trường
THPT nói riêng. Từ đó đề xuất giải pháp đổi mới trong tổ chức hoạt động học tập
khi dạy học chủ đề Giới hạn hàm số - Đại số và Giải tích 11 cơ bản.
Áp dụng trong các giờ dạy học chủ đề Giới hạn hàm số tại các lớp 11
trường THPT Hồng Quang nhằm: Trang bị và hình thành cho học sinh kỹ năng tự
học chủ đề “Giới hạn hàm số”, tư duy sáng tạo, chuyển từ hình thức học thụ động
chủ yếu trên lớp sang tổ chức các hình thức học tập đa dạng, tập trung vào các
hoạt động của học sinh và kết quả, sản phẩm của học sinh sau mỗi hoạt động.
4


Giúp cho các em học sinh lớp 11 phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo
và được tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức về Giới hạn hàm số
trong giải quyết các bài toán đơn giản, cũng như các bài tốn vật lí, bài tốn thực tế.
2.2. Giải pháp chung
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, giáo viên là
người chủ động để phân công, hướng dẫn các em thực hiện theo kế hoạch của
mình đặt ra, phù hợp với năng lực của từng học sinh cũng như nhóm học sinh,
đồng thời giải quyết mọi thắc mắc của học sinh hoặc các nhóm học sinh khi
tranh luận.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy và đang áp dụng phương pháp dạy học
theo định hướng phát triển năng lực của học sinh bộ mơn Tốn ở trường THPT

Hồng Quang, có những bài tơi thực hiện thành cơng và có những bài tơi thực hiện
khơng được như mơng muốn. Từ đó, tơi rút ra một số quan điểm như sau:
Thứ nhất, tùy theo trình độ cũng như năng lực của học sinh giáo viên lựa
chọn áp dụng phương pháp dạy học cho phù hợp.
Những lớp có nhiều học sinh khá, giỏi (lớp chọn) giáo viên giao các nhóm
soạn từng nội dung rồi trình bày (bài chiếu hoặc bảng phụ).
Những lớp đa số là học sinh trung bình và yếu thì nội dung chính của bài
vẫn do giáo viên trình bày, các em chỉ tham gia vào các phần nhỏ (thảo luận,
tính tốn, phiếu bài tập) theo sự hướng dẫn của giáo viên.
Ví dụ: Khi dạy chủ đề “Giới hạn hàm số” đối với lớp có nhiều học sinh khá, giỏi
thì giáo viên phân cơng học sinh tìm hiểu, chuẩn bị tồn bộ các nội dung để trình
bày (phân cơng lớp thành 4 nhóm mỗi nhóm soạn một dạng giới hạn để trình
bày); nhưng đối với các lớp học sinh trung bình và yếu thì học sinh tìm hiểu,
chuẩn bị các bài tập có sự hướng dẫn của giáo viên qua phiếu bài tập cho trước,
cịn xây dựng các dạng giới hạn hàm số thì học sinh trình bày.
Thứ hai, tùy vào từng bài học, từng chủ đề mà giáo viên có thể phân cơng
số lượng nhóm học sinh, số học sinh trong mỗi nhóm cho phù hợp; học sinh
chuẩn bị các nội dung bài học trước từ 2 đến 3 hôm.
Giáo viên dành thời gian để kiểm tra bài chuẩn bị của các nhóm, xem nội
dung kiến thức đã chính xác chưa, câu hỏi trắc nghiệm và tự luận đưa vào có
phù hợp khơng.
Đến giờ dạy chính thức giáo viên cho đại diện mỗi nhóm lên trình bày
(trong mỗi nhóm giáo viên cần lưu ý là hơm nay học sinh này trình bày thì hơm
khác học sinh kia trình bày, phải có sự ln chuyển để em nào cũng biết trình
bày và diễn đạt trước lớp, làm như vậy em nào cũng có phải cố gắng để vươn lên
mà không lơ là, các em cũng sẽ tự tin hơn trong học tập và cuộc sống); các
nhóm khác có ý kiến nhận xét và cuối cùng giáo viên củng cố bài học.
Thứ ba, tùy theo từng bài học, từng chủ đề mà giáo viên có thể áp dụng
phương pháp dạy học cho phù hợp.
Những bài học quá nặng về lí thuyết và mang tính chất trừu tượng thì giáo

viên phải trình bày mà khơng thể giao cho học sinh vì tuổi của các em chưa đủ
để hiểu sâu kiến thức, nếu giáo viên giao cho học sinh trình bày thì có khả năng
khơng đạt được mục tiêu bài học đề ra, hiệu quả các hoạt động học sẽ không
đảm bảo.
5


Ví dụ. Khi dạy những bài “Định nghĩa đạo hàm”, “Đại cương về hàm số”,
“Đại cương về phương trình và bất phương trình”, “Cung và góc lượng giác”,
“Dãy số”, … thì giáo viên phải trình bày.
Ví dụ. Khi dạy những bài “Dấu của nhị thức bậc nhất”, “Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số”, “Khái niệm mặt trịn xoay”, “Một số phương
trình lượng giác đơn giản”,… thì giáo viên có thể giao cho học sinh chuẩn bị
trước rồi trình bày.
Thứ tư, những bài học, chủ đề có vận dụng kiến thức liên mơn vào mơn
Tốn hoặc vận dụng mơn Tốn vào giải các bài tốn thực tiễn thì giáo viên cần
phải đưa các ví dụ đa dạng, sinh động để học sinh thấy rõ Toán học rất gần gũi
với cuộc sống của chúng ta. Giáo viên có thể đưa vào phần giới thiệu bài học
hay đưa vào nội dung bài học để học sinh thảo luận.
Ví dụ. Khi dạy bài “Khái niệm mặt tròn xoay” giáo viên có thể đưa các
ứng dụng của mặt trịn xoay trong thực tế như quá trình làm đồ gốm sứ, sản xuất
ống nhựa PVC, cơng trình xây dựng cầu đường đặt cống thốt nước hai bên, ….
Ví dụ. Khi dạy bài “Định nghĩa đạo hàm” giáo viên nêu ứng dụng của đạo
hàm trong tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, hoặc “Đạo hàm
cấp hai” nêu được ứng dụng mơn Tốn trong Vật lí đối với bài tốn tìm gia tốc
tức thời của vật.
Ví dụ. Khi dạy bài “Ứng dụng của tích phân trong hình học” thì giáo viên
có rất nhiều cách đưa bài tốn giới thiệu:
Chiếu hình ảnh một cổng vịm parabol, một chiếc bình sứ, với lời đặt vấn
đề: Trong chúng ta ai cũng biết tính diện tích hình tam giác, hình thoi, hình

vng. Nhưng liệu chúng ta có tính được diện tích các hình sau đây được
khơng? Hay làm thế nào để tính được diện tích phần cửa vào cổng thành nhà
Hồ, hay thể tích của các bình gốm? …
Thứ năm, trong q trình giảng dạy để giờ học khơng q khơ khan và
nhàm chán, giáo viên có thể giành 2 đến 3 phút để học sinh tổ chức những trị
chơi hay hóa trang các nhà Tốn học hay đóng một vở kịch.
Ví dụ. Khi dạy bài “Cấp số nhân” thì cho học sinh đóng một vở kịch về
nhà vua Ấn Độ với người phát minh ra cờ vua hay giáo viên cho học sinh đưa ra
các câu đố vui về toán học.
2.3. Nội dung vận dụng vào chủ đề cụ thể
Chủ đề Đại số và Giải tích 11: Giới hạn hàm số
Thời lượng: 5 tiết
I. Mục tiêu dạy học
1. Kiến thức
- Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn
một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số.
- Học sinh hiểu được định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn một bên,
một vài giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực.
2. Kĩ năng
- Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại
vơ cực
6


- Học sinh phân biệt được các dạng vô định

 0
; ;   ; 0. của giới hạn hàm số.
 0

3. Về tư duy, thái độ
- Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm.
- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần
hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng động cơ, thái độ học tập, tự đánh giá
và điều chinh kế hoạch học tập, tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học
để giải quyết các câu hỏi, các bài tập. Biết cách giải quyết các tình huống trong
giờ học.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong q trình học
tập và trong cuộc sống, trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm
vụ cụ thể cho từng thành viên trong nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm
vụ của mình và hồn thành nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức , trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt
động nhóm, có thái độ tơn trọng , lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: ác định nhiệm vụ của nhóm, nhiệm vụ của bản thân đưa ra
ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả
năng thuyết trình, nói và viết chính xác bằng ngơn ngữ toán học.
II. Thiết bị dạy học và học liệu
- Kiến thức về giới hạn
- Máy chiếu
- Bảng phụ, bút dạ, giấy A0
- Phần mềm Plicker
- Phiếu học tập, phiếu quét đáp án PlickerCards
III. Phương pháp
- Tổ chức hoạt động học tập: Dạy học dự án, kết hợp với kĩ thuật phịng tranh và
các hoạt động cá nhân, nhóm nhỏ

- Kiểm tra đánh giá: Phần mềm Plicker; vấn đáp ngẫu nhiên một số học sinh về
vấn đề được nêu ra trong các hoạt động học.
IV. Hoạt động dạy học và tiến trình dạy học
Bước 1: Tổ chức cho học sinh tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lí thuyết
Chương IV - Bài 2: Giới hạn hàm số (SGK Đại số và Giải tích 11, cơ bản) theo
khung kế hoạch dạy học. Đặc biệt là các bài tốn Tìm giới hạn dạng vơ định
theo các quy tắc tính giới hạn.
Chia lớp thành 4 nhóm, giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm và giáo viên kiểm tra
trước 2 đến 3 ngày. Cụ thể:
Nhóm 1: Trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm
Nêu phương pháp tính giới hạn vơ định dạng




Nhóm 2: Trình bày khái niệm giới hạn một phía của hàm số
7


Nêu phương pháp tính giới hạn vơ định dạng

0
0

Nhóm 3: Trình bày giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực
Nêu phương pháp tính giới hạn vơ định dạng 0.
Nhóm 4: Trình bày giới hạn vơ cực của hàm số
Nêu phương pháp tính giới hạn vơ định dạng  
Bước 2: Tổ chức các hoạt động học tập trong giờ học chính khóa
Hoạt động 1: KHỞI ĐỘNG GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “giới hạn hàm số
tại một điểm”.
Cách thức tiến hành: Giáo viên chiếu hai đồ thị hàm số y  f  x  , học sinh quan
sát và trả lời các câu hỏi.
- Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , em có nhận xét gì về giá trị hàm số khi x dần đến 2
- Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , em có nhận xét gì về giá trị hàm số khi x dần đến 1

Đặt vấn đề: Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến
tiếp cận một đại lượng nào đó: “Giới hạn của hàm số”
u cầu các nhóm trình bày nội dung được giao về nhà
Hoạt động 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Nhóm 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Mục tiêu: Học sinh hiểu được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại
điểm. Áp dụng vào tính được các giới hạn cơ bản về hàm số.
a. Kiến thức cơ bản
* Định nghĩa 1:
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên K hoặc trên
K \  x0  . Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi x  x0 nếu với dãy số
 xn  bất kì, xn  K \{x0 } và xn  x0 ta có f  xn   L .
f ( x)  L . Hay f  x   L khi x  x0 .
Ký hiệu xlim
x
0

x  x0 ; lim c  c
Nhận xét: xlim
x x
x
0

0

* Định lí về giới hạn hữu hạn
f ( x)  L và lim g ( x)  M thì:
a) Nếu xlim
x
x x
0

0

lim  f ( x)  g ( x)   L  M

x  x0

8


lim  f ( x)  g ( x)   L  M

x  x0

lim  f ( x ).g ( x )   L.M

x  x0

lim

x  x0

f ( x) L
(nếu M  0)

g ( x) M

f ( x)  L thì L  0 và lim f ( x)  L
b) Nếu f(x)  0 và xlim
x
xx
0

0

f ( x )  L thì lim f ( x)  L
c) Nếu xlim
x x
x
0

0

b. Ví dụ áp dụng
(1) lim
x 3

Tính các giới hạn sau

x2  2x
3 x

(2) lim1
x

2

2 x 2  3x  1
2x 1

(3) lim
x 4

2x  1  3
x4

Các nhóm tiếp nhận nhiệm vụ, tiến hành thảo luận, trao đổi và trình bày bài làm
trên giấy A0 hoặc lên bảng trình bày. Các bạn trong lớp cho ý kiến nhận xét;
cuối cùng giáo viên chốt lại lí thuyết cơ bản, dạng bài tập, phương pháp giải.
Một số hình ảnh slide về giới hạn hàm số tại điểm trong bài trình bày của nhóm

Nhóm 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung
định lí 2
a. Kiến thức cơ bản
* Định nghĩa 2
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  . lim f  x   L  với mọi dãy số

 xn  mà

x  x0

x0  xn  b, xn  x0 ta có lim f  xn   L.

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; x0  . lim f  x   L  với mọi dãy số
xx

 xn  mà


0

a  xn  x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L.

Ký hiệu lim f ( x)  L; lim f ( x)  L .
x  x0

x  x0

* Định lý 2
lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L

x  x0

x  x0

b. Ví dụ áp dụng

x  x0

4 x  2 khi x  1

Cho hàm số f ( x)  

2
3  x khi x  1

.

9


Hãy tính các giới hạn sau: lim f ( x), lim f ( x) và lim f ( x) nếu có
x 1

x 1

x 1

Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, cùng thảo luận và tìm cách giải
cho bài toán. Định hướng học sinh trong các bài tập có chứa tham số.
Một số hình ảnh slide về giới hạn một bên trong bài trình bày của nhóm

Nhóm 3. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Mục tiêu: Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô
cực. Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn
của hàm số.
a. Kiến thức cơ bản
* Định nghĩa 3 :
Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên
f  x     với mọi dãy số  xn  mà
 a; b  hoặc trên  a; b  \  x0  . xlim

x
0

xn   a; b  \  x0  , xn  x0 ta có f  xn   .

Kí hiệu lim f ( x)  L; lim f (x )  L
x 
x 
* Chú ý:
+) Với c, k là các hằng số và k ngun dương, ta ln có : lim c  c ; xlim

x 

c
0.
xk

+) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  x0 vẫn còn đúng khi
x   hoặc x  
b. Ví dụ áp dụng Tìm các giới hạn sau
2 x 2  3x  1
(1) lim
x 
3x 2  1

x 2  3x  2
(2) lim
x 
3x3  1

Các nhóm tiếp nhận nhiệm vụ, tiến hành thảo luận, trao đổi và trình bày bài làm
trên giấy A0 hoặc lên bảng trình bày. Từ đó phân biệt với dạng bài tập ở phần I
(nhóm 1). Giáo viên định hướng phương pháp giải các dạng bài tập.
Nhóm 4. GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu: Học sinh biết, hiểu định nghĩa giới hạn vơ cực. Từ đó áp dụng
giải một số ví dụ đơn giản về tìm giới hạn vơ cực đặc biệt.
a. Kiến thức cơ bản
* Định nghĩa 4: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;    .
10


Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là  khi x   nếu với dãy số  xn  bất
kì, xn  a và xn   , ta có f ( xn )   .
Kí hiệu: lim f ( x)   hay f ( x)   khi x   .
x 

Nhận xét: lim f ( x)    lim ( f ( x))  
x 
x 
* Một vài giới hạn đặc biệt
x k   với k nguyên dương.
a) xlim

x k   nếu k là số lẻ
b) xlim

x k   nếu k là số chẵn.
c) xlim


Một số hình ảnh slide về giới hạn vơ cực của hàm số trong bài trình bày của nhóm

* Một vài quy tắc về giới hạn vô cực (sản phẩm của các nhóm trong bài trình bày)

b. Ví dụ áp dụng Tính các giới hạn sau
lim (5 x 3  3 x  2)
(2 x 2  3 x  2)
(1) xlim
(2)
x 

(3) lim


x 1

3x  2
x 1

(4) lim


x 1

3x  2
x 1

Các nhóm tiếp nhận nhiệm vụ, tiến hành thảo luận, trao đổi và trình bày bài làm
trên giấy A0 hoặc lên bảng trình bày.
11

Bước 3: Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng giải toán về Giới hạn hàm số
Hoạt động 3 : LUYỆN TẬP
Mục tiêu : Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về tính giới
hạn của hàm số ; đặc biệt là thành thạo trong tính các giới hạn dạng vô định
thông qua các bài tập cụ thể
Cách thức tổ chức hoạt động học tập : Thời lượng thực hiện thông qua
các giờ bài tập của chủ đề bằng ứng dụng phần mềm Plicker, kết hợp kĩ thuật
phòng tranh trong tổ chức hoạt động học tập.
Phần 1 : Ơn tập lại kỹ năng tính một vài giới hạn hàm số đơn giản bằng phần
mềm Plicker. Giáo viên chuẩn bị hệ thống câu hỏi trên phần mềm, phát đến mỗi
học sinh một PlickerCards theo danh sách lớp; học sinh thực hiện nhiệm vụ học
tập theo cá nhân.
Ưu điểm: Học sinh tích cực, phát huy tối đa tính tự lực, kiến thức đã học về Giới
hạn hàm số để giải tốn; đồng thời giáo viên sẽ có kết quả đánh giá theo thời gian
thực ngay tại lớp; tạo hứng thú cho học sinh thực hiện các nhiệm vụ tiếp theo.
Hình ảnh minh họa phiếu PlickerCards

Phần 2. Rèn luyện kỹ năng giải tốn tìm các giới hạn hàm số dạng vơ định
Giáo viên u cầu các nhóm lên trình bày phần chuẩn bị của nhóm mình ở
nhà theo nhiệm vụ đã phân công; sản phẩm được thể hiện trên giấy A0
Hình ảnh minh họa sản phẩm của học sinh phương pháp tính giới hạn hàm số
dạng vơ định

12


Giao bài tập cho học sinh qua phiếu bài tập (Phụ lục 2), các em thực hiện nhiệm
vụ theo nhóm bàn; sau đó giáo viên gọi đại diện nhóm lên trình bày (đối với học

sinh lớp khá, giỏi thì sẽ gọi các em trình bày trực tiếp lên bảng; đối với lớp học
sinh trung bình, yếu các em sẽ trao đổi, trình bày bài làm ra giấy A4, sau đó lên
ghép với dạng lí thuyết các nhóm đã trình bày).
Hình ảnh sản phẩm của các nhóm thực hiện phiếu bài tập.

13


Sản phẩm hồn thiện của các nhóm sẽ được trình bày trên bảng để khi
ghép vào sẽ hệ thống đầy đủ các giới hạn hàm số dạng vô định.
Giáo viên sử dụng sơ đồ tư duy tổng hợp các nội dung kiến thức chủ đề
giới hạn hàm số, ghép với sản phẩm của học sinh để tạo thành bức tranh hoàn
chỉnh (Với lớp học sinh khá, giỏi sơ đồ tư duy này các em có thể tự chuẩn bị
trước ở nhà; với lớp học sinh trung bình, yếu giáo viên giúp các em hình thành
sơ đồ qua trình chiếu).
Hình ảnh sơ đồ tư duy các dạng bài tập giới hạn hàm số (phương pháp
giải) học sinh tự xây dựng và vẽ sau hoạt động luyện tập.

14


Hoạt động 4. VẬN DỤNG VÀ TÌM TỊI
Mục tiêu: Giải quyết một số bài tốn ứng dụng giới hạn vơ cực trong vẽ đồ thị
hàm số, và trong bài Toán về thấu kính hội tụ trong vật lý
Cách thức thực hiện: - Giáo viên phát phiếu học tập theo nhóm
- Học sinh nhận nhiệm vụ, thực hiện tìm tịi, nghiên cứu
và làm bài tập ở nhà. Sau đó báo cáo sản phẩm của nhóm mình.
- Các nhóm khác theo dõi, cùng thảo luận, nêu ý kiến
phản biện để làm rõ vấn đề.
2.4. Các điều kiện để thực hiện

- Giáo viên: nắm vững lý luận về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực cho học sinh; các kĩ thuật dạy học thường sử dụng; thành thạo về tin học và
có khả năng ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học.
- Học sinh: Tích cực, tự tin và sáng tạo trong các hoạt động học tập.
2.5. Tính mới, sự khác biệt của giải pháp
- Mục tiêu của chủ đề được mơ tả rõ ràng: Trang bị và hình thành cho học
sinh kỹ năng tự học chủ đề Giới hạn hàm số; các mục tiêu được cụ thể hóa trong
từng hoạt động học tập thông qua các nhiệm vụ phù hợp với từng đối tượng học
sinh. Từ đó tạo hứng thú học tập tích cực, phát huy tối đa khả năng sáng tạo,
tính tự chủ cho các em.
- Học sinh trở thành trung tâm, được tham gia trực tiếp vào chuỗi các hoạt
động học tập, có thể nêu ý kiến, thảo luận, tranh luận đưa ra các lập luận bảo vệ
ý kiến của cá nhân hoặc của nhóm, hay ý kiến phản biện lại ý kiến của các bạn
khác,….
- Học sinh được tự mình tiếp cận kiến thức, tìm tịi và tổng hợp lại các
kiến thức trong cả chủ đề, hướng đến kết quả cuối cùng là hình thành phẩm chất
và năng lực cho học sinh.
- Các hình thức thiết kế hoạt động hình thành kiến thức trong dạy học chủ
đề Giới hạn hàm số - ĐS và GT 11CB đã tạo được hứng thú học tập cho học
sinh khi học Tốn nói chung và chun đề Giới hạn nói riêng.
3. Khả năng áp dụng của giải pháp
- Giải pháp có thể áp dụng vào thực tế các giờ dạy chủ đề Giới hạn hàm số
tại các lớp 11 hoặc các chủ đề dạy học khác trong chương trình mơn Tốn THPT
như Khái niệm mặt trịn xoay (mặt nón - Mặt trụ - Mặt cầu) (HH12CB); Hàm số
(ĐS 10); Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng (ĐS 12), Cấp số cộng
- Cấp số nhân (ĐS-GT11CB),….
- Tùy thuộc vào đối tượng và mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên
có thể linh hoạt trong các hình thức chuyển giao nhiệm vụ, kết hợp với tổ chức
thêm hình thức thi đua, cho điểm để học sinh hứng thú, tích cực hơn trong hoạt
động hình thành kiến thức. Từ đó các em sẵn sàng thực hiện các nhiệm vụ học

tập trong các hoạt động tiếp theo của chủ đề.
15


4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp
Áp dụng giải pháp “Định hướng và phát triển năng lực môn Toán cho
học sinh lớp 11 trường THPT Hồng Quang qua chủ đề Giới hạn hàm số” trong
các giờ học về chủ đề Giới hạn hàm số tại các lớp 11 trường THPT Hồng
Quang, học kì II năm học 2020 - 2021. Cụ thể: Tôi tiến hành dạy thực nghiệm
tại các lớp 11A1 (45 học sinh); 11A4 (42 học sinh) và lớp đối chứng 11A3 (42
học sinh) tôi thực hiện dạy theo định hướng tiếp cận kiến thức.
Qua quá trình làm việc nhóm thực hiện dự án, trao đổi, thảo luận tìm
hiểu các mảng kiến thức cơ bản về giới hạn hàm số hứng thú của học sinh đối
với chủ đề Giới hạn hàm số đã thay đổi theo chiều hướng tích cực; nhiều em cịn
cho ý kiến muốn học theo phương pháp này trong các chủ đề tiếp theo.
Khảo sát về sự hứng thú của học sinh sau khi áp dụng giải pháp vào dạy
học chủ đề Giới hạn hàm số thu được kết quả như sau:
Rất hứng thú
SL
%

Lớp
Thực nghiệm
(87 học sinh)
Đối chứng
(42 học sinh)

Hứng thú
SL
%

Bình thường
SL
%

Khơng hứng thú
SL
%

16

18,4

27

31,0

28

32,2

16

18,4

2

4,7

7

16,7

18

42,9

15

35,7

- Biểu đồ thể hiện sự hứng thú của học sinh trước và sau khi học tập:
Mức độ hứng thú của học sinh khi học chủ đề Giới hạn hàm số
50
45
40
35

30
25
20
15
10
5

0
Rất hứng thú

Hứng thú
Thực nghiệm

Bình thường

Khơng hứng thú

Đối chứng

Kết quả cụ thể khi áp dụng giải pháp “Định hướng và phát triển năng lực
mơn Tốn cho học sinh lớp 11 trường THPT Hồng Quang qua chủ đề Giới hạn
hàm số” tôi đã ra đề kiểm tra (gồm ma trận, ma trận đặc tả và đề kiểm tra - Phụ
lục 2) ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, kết quả thu được như sau:
16


Lớp
Thực nghiệm
(87 học sinh)
Đối chứng
(42 học sinh)

Loại giỏi
(9,0 -10
điểm )
16 HS
( 18,4%)
2 HS
(4,8 %)

Loại Khá
(7,0-8,8

điểm)
23 HS
(26,5%)
8 HS
( 19,0%)

Loại TB
(5,0 - 6,8
điểm)
36 HS
(41,4%)
12 HS
(28,6%)

Loại yếu
( 2,8-4,8
điểm)
9 HS
(10,3%)
14 HS
(33,3%)

Loại kém
(0-2,6
điểm)
3 HS
(3,4%)
6 HS
(14,3%)

- Biểu đồ so sánh kết quả thực nghiệm và đối chứng:

* Nhận xét:
- Tỉ lệ học sinh có kết quả từ 2,6 điểm trở xuống giảm (còn 03 học sinh
của lớp 11A4 - trong đó khơng có học sinh điểm dưới 1,6).
- Tỉ lệ học sinh có kết quả điểm yếu giảm (cịn 09 học sinh) trong đó học
sinh lớp 11A4 chưa đạt kết quả cao nhưng cũng đã tích cực, hứng thú hơn trong
học tập; học sinh lớp 11A1 khơng có kết quả yếu, kém.
- Tỉ lệ học sinh có kết quả điểm trên trung bình tăng, trong đó tỉ lệ học sinh
khá, giỏi cao hơn hẳn so với lớp đối chứng. Đặc biệt ở lớp 11A1 học sinh trình
bày được khá tốt các kiến thức và các dạng bài tập về Giới hạn hàm số theo yêu
cầu đề ra, các em tự tin và tích cực hơn rất nhiều khi học các chủ đề tiếp theo.
Nguyên nhân:
Trong các hoạt động học tập chủ chủ đề học sinh lớp thực nghiệm được
tham gia trực tiếp vào quá trình tìm tịi, khám phá kiến thức; sau đó các em lại tự
mình trình bày kết quả, sản phẩm của nhóm mình và các bạn khác cùng trao đổi,
thảo luận. Trong khi đó học sinh lớp đối chứng vẫn thụ động trong các hoạt động
học, phụ thuộc vào định hướng, sự dẫn dắt, các ví dụ mẫu của giáo viên.
* Đánh giá
Với kết quả thực tế khi áp dụng giải pháp “Định hướng và phát triển
năng lực mơn Tốn cho học sinh lớp 11 trường THPT Hồng Quang qua chủ đề
17


Giới hạn hàm số” - ĐS và GT 11CB tại các lớp 11 trường THPT Hồng Quang
cho thấy:
- Giải pháp áp dụng đã có tính khả thi, học sinh tích cực, hứng thú tham gia
và các hoạt động học tập; các em tự tin trong trình bày các ý kiến của cá nhân,
của nhóm; mạnh dạn trao đổi để tìm hiểu kiến thức của chủ đề.
- Kết quả, chất lượng học tập của học sinh tăng tỉ lệ học sinh khá, giỏi,

trung bình; tỉ lệ học sinh yếu kém giảm rõ rệt.
- Học sinh đã rất hứng thú và tích cực khi học chủ đề Giới hạn hàm số.
- Giải pháp trên khi áp dụng thường xuyên trong một số chủ đề tốn học có
tính trừu tượng, các khái niệm tốn học mang tính hàn lâm cao của chương trình
Tốn THPT sẽ có hiệu quả nhất định.
5. Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu : không
6. Các thông tin cần được bảo mật: Không
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
- Thiết bị: Kế hoạch dạy học, bảng, máy vi tính, máy chiếu, máy tính bỏ
túi, bảng phụ, bút màu, bản ghi chép,…..
+ Phiếu học tập và phiếu kiểm tra đánh giá cuối giờ học
+ Phiếu bài tập, phiếu khảo sát điều tra trên học sinh về hứng thú đối với
giờ học.
+ Bài chiếu hoặc bài chuẩn bị trên giấy A0 của các nhóm.
- Học liệu: Kiến thức mơn học, kiến thức chủ đề, nguồn Internet, tư liệu từ
đồng nghiệp.
+ Các ứng dụng tin học sử dụng trong việc dạy và học.
8. Tài liệu gửi kèm
- Một số hình ảnh về giờ học của chủ đề tại các lớp, sản phẩm của học sinh
trong các hoạt động học tập của chủ đề.
- Kế hoạch dạy học, ma trận đề và đề kiểm tra cuối chủ đề
- Các phiếu học tập; phiếu bài tập
- Phiếu khảo sát - điều tra trên học sinh về hứng thú đối với giờ học
III. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Tôi cam đoan những nội dung trong báo cáo. Nếu có gian dối hoặc khơng đúng
sự thật trong báo cáo, tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm theo qui định pháp luật.
Động Quan, ngày 26 tháng 01 năm 2022
Người viết báo cáo
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Lan Hương
18