Một số kỹ thuật tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT VĂN CHẤN

BÁO CÁO
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Lĩnh vực: Toán học)

MỘT SỐ KỸ THUẬT TÍNH
NGUN HÀM TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Tác giả:
Trình độ chun mơn:
Chức vụ:
Đơn vị cơng tác:

ĐINH CƠNG SƠN
Thạc sỹ
Tổ trưởng chuyên môn
Trường THPT Văn Chấn

Yên Bái, ngày 10 tháng 01 năm 2022


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Một số kỹ thuật tính nguyên hàm, tích phân hàm ẩn ”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục, mơn Tốn học chương trình phổ thơng
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Phân dạng một số kỹ thuật tính nguyên hàm, tích phân của
hàm ẩn. Đối tượng áp dụng là học sinh lớp 12C1,2,5 và có thể áp dụng cho tất cả học sinh
khối 12 của trường THPT Văn Chấn nói riêng cũng như tất cả học sinh khối 12 THPT trên
địa bàn tỉnh Yên Bái.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 11 năm 2021 đến tháng 3 năm 2022.

5. Tác giả
- Họ và tên: Đinh Công Sơn
- Sinh ngày 20 tháng 04 năm 1982
- Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ
- Chức vụ công tác: Tổ trưởng chuyên môn
- Nơi làm việc: Trường THPT Văn Chấn - Văn Chấn - Yên Bái
- Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Văn Chấn - Văn Chấn - Yên Bái
- Điện thoại: 0372 000 117
II. MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Tình trạng giải pháp đã biết
Trong Chương trình mơn Tốn Trung học phổ thơng, phép tính Ngun hàm - Tích
phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Tốn học, tích phân được ứng dụng rộng rãi
trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay. Ngồi ra phép tính
tích phân cịn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...
Với xu hướng thi trắc nghiệm hiện nay, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn
và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn. Phần Nguyên hàm - Tích phân của hàm ẩn đã
được đưa vào đề thi, mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính, nhưng đứng trước yêu
cầu về tính nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn đa số các em còn gặp nhiều khó khăn, lúng
túng và thậm chí là khơng định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này.
1.1. Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới
Qua thực tiễn dạy và dự giờ giảng dạy mơn Tốn ở trường trung học phổ thông
(THPT), tôi thấy:
Chủ đề Nguyên hàm – Tích phân hàm ẩn là một trong những chủ đề khó của Giải
tích lớp 12. Ngun nhân có thể là bắt nguồn từ những cách đang thực hiện sau đây

- 2 -NNH

2

- Một là, trước năm 2016 khi bộ Giáo dục và Đào tạo chưa triển khai thi THPT Quốc
Gia môn Tốn theo hình thức trắc nghiệm thì chủ đề này gần như không xuất hiện trong đề
thi, nhưng từ khi chuyển từ hình thức thi trắc nghiệm chủ đề này năm nào cũng xuất hiện
trong đề thi. Phần lớn giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy khái niệm, định lý,
kiến thức chủ đề Nguyên hàm – tích phân chứ chưa nghĩ đến việc dạy học sinh nắm bản
chất vấn đề;
- Hai là, nguyên hàm tích phân hàm ẩn là chủ đề khó ngay cả đối với một số giáo
viên nếu không tự trau dồi kiến thức chuyên môn. Năng lực và tâm lý của nhiều em học sinh
ngại, sợ mảng kiến thức này nên một số giáo viên cũng không mặn mà, quan tâm đến chủ đề
này.
- Ba là, nhiều giáo viên chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong
Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách dập khn, máy
móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động.
1.2. Ưu điểm
- Giúp học sinh định hình lời giải trong việc tính ngun hàm, tích phân của hàm ẩn.
- Việc phân loại từng kỹ thuật giúp học sinh dễ dàng tiếp thu những kiến thức khó về
ngun hàm, tích phân hàm ẩn.
- Gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn cho học sinh.
1.3. Nhược điểm
Những câu hỏi về nguyên hàm, tích phân hàm ẩn thường ở mức độ vận dụng nên
việc áp dụng những kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm phải hết sức linh hoạt và nhanh
nhạy. Một số kỹ thuật cũng sẽ gây những khó khăn ban đầu cho học sinh có học lực ở mức
độ trung bình do các em chưa vận dụng tốt những kiến thức cơ bản về đạo hàm và nguyên
hàm. Tuy nhiên trong phạm vi sáng kiến này tôi đã cố gắng khắc phục những khó khăn đó
bằng cách phân dạng những bài toán cụ thể để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp cận
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân hàm ẩn.
2. Nội dung đề nghị cơng nhận là sáng kiến
2.1. Mục đích của sáng kiến
Trong Chương trình mơn Tốn Trung học phổ thơng, phép tính Nguyên hàm - Tích
phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Tốn học, tích phân được ứng dụng rộng rãi

trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, nó là một trong
những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngồi ra phép tính tích phân cịn được ứng
dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...
- 3 -NNH

3


Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến thức về
tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy
và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số
kĩ thuật tính Nguyên hàm - tích phân của hàm ẩn”.
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong
việc tính nguyên hàm, tích phân nói chung và ngun hàm, tích phân của một số hàm ẩn nói
riêng.
2.2. Nội dung của sáng kiến
2.2.1. Những điểm khác biệt và tính mới của sáng kiến
- Sáng kiến sẽ làm rõ vấn đề mà học sinh cịn gặp khó khăn, lúng túng, sai lầm
thường gặp và thậm chí là khơng có định hình về lời giải trong việc tính nguyên hàm, tích
phân của hàm ẩn.
- Sáng kiến góp phần gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn
cho học sinh, một trong các phần được coi là khó, địi hỏi tính tư duy logic cao và không
những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin; học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ,
khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức mới.
- Sáng kiến sẽ làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề
then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ mơn tốn theo từng chun đề khác nhau góp phần nâng
cao chất lượng dạy học.
2.2.2. Nội dung
2.2.2.1. Giải pháp 1

Tên giải pháp: Xác định cơ sở lý luận thực tiễn và các kĩ thuật sử dụng trong đề tài
Phương thức 1: Xác định rõ các kiến thức lý thuyết cơ bản nguyên hàm và tính chất.
Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f  x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

F  x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi
xK .
Định lí
Giả sử hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số F  x  trên K. Khi đó: Với mỗi hằng
số C, hàm số F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K.

- 4 -NNH

4


Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f  x  trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho

G  x   F  x   C với mọi x  K . Do đó F  x   C, C 
của f  x  trên K. Ký hiệu

là họ tất cả các nguyên hàm

 f  x  dx  F  x   C .

Tính chất

Nếu f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên K thì:

 f '  x  dx  f  x   C

b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k là hai số thực khác 0.
c)   mf  x   ng  x  dx  m  f  x  dx  n  g  x  dx với m,n là hai số thực khác 0.
a)

d) Với a, b 

và a  0 ta có:

nguyên hàm của f  x  .

1
 f  ax  b  dx  a F  ax  b   C , ở đó F  x 

là một

Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có ngun hàm trên K.
Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa, tính chất của tích phân và các phương pháp tính tích
phân.
Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là một nguyên
hàm của f trên K thì hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí
b

hiệu là

 f ( x )dx . Trong trường hợp

a  b , ta gọi

b

 f ( x )dx

là tích phân của f trên đoạn

a

a

 a; b .
Người ta dùng kí hiệu F( x ) a để chỉ hiệu số F(b)  F(a) . Như vậy Nếu F là một nguyên
b

b

hàm của f trên K thì

 f ( x )dx  F( x )

b
a

 F ( b)  F ( a) .

a

Tính chất
Giả sử f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có
a

1)

 f ( x )dx  0 ;
a

3)

2)

b

a

a

b

 f ( x )dx    f ( x )dx ;

b

c

c

a

b

a

 f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx
- 5 -NNH

5


4)

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g( x) dx  f ( x)dx   g( x)dx ;
b

b

a

a

5)  kf ( x )dx k  f ( x )dx với k  .



Chú ý: nếu F( x )  f ( x ) với mọi x  K thì F( x )  f ( x )dx
Phương pháp đổi biến số
b

Tính tích phân I   g ( x )dx .Giả sử g( x ) được viết dưới dạng f u( x ).u( x ) , trong
a

đó hàm số u( x ) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f u( x ) xác
u( b )

b

định trên K và a, b là hai số thuộc K . Khi đó

 f u( x ).u( x )dx  
a

f (u)du .

u( a )

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x . Như vậy
tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là

b

b

b

a

a

a

 f ( x )dx  f (u)du  f (t )dt  ...

Phương pháp tính tích phân từng phần
b

b

Cơng thức  u( x )v( x )dx   u( x )v( x )    v( x )u( x )dx (trong đó u, v có đạo hàm
a
b

a

a

liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K ).
Trên cơ cơ tóm tắt định nghĩa và các tính chất giáo viên nhấn mạnh và đưa ra các chú
ý khi áp dụng để giải toán.
Phương thức 3: Các kĩ thuật tính nguyên hàm – tích phân hàm ẩn giải pháp trọng

tâm của đề tài.
Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần
Phần 1. Kĩ thuật biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản (giải pháp 2)
Phần 2. Kĩ thuật sử dụng phương pháp đổi biến số (giải pháp 3)
Phần 3. Kĩ thuật sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần (giải pháp 4)
Phần 4. Kĩ thuật tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân (giải pháp 5)
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài
- Nêu các ví dụ áp dụng
- Phân tích định hướng lời giải cho ví dụ
- Nêu các nhận xét, bình luận đưa ra bài tốn tổng qt nếu có.
- 6 -NNH

6


2.2.2.2. Giải pháp 2
Tên giải pháp: Kĩ thuật tính nguyên hàm – tích phân hàm ẩn bằng cách biến đổi đưa
về nguyên hàm cơ bản
Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng tốn này
và đưa ra 10 ví dụ minh họa cho kĩ thuật, trong mỗi ví dụ khác nhau có phân tích định
hướng lời giải, nhận xét, bình luận và đưa ra bài tốn tổng qt nếu có. Cuối cùng đưa ra bài
tập tương tự để học sinh rèn luyện
a . Kiến thức sử dụng



* Nếu F( x )  f ( x ) với mọi x  K thì F( x )  f ( x )dx
* Các công thức về đạo hàm

uv  uv  u 
2)
  ;
v2
v

1) u.v  u.v   uv  ;
n

u

2 u

 u  ;

u  1 
5)  2    .
u u



 ;

4) nu u  u
n 1

3)

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 (THPTQG – MĐ 101 – 2018). Cho hàm số f  x  thoả mãn f  2   

f   x   2 x  f  x  với mọi x 
2

A. 

35
.
36

2
và
9

. Giá trị của f 1 bằng

2
3

C. 

B.  .

19
.
36

D. 

2

.
15

Phân tích định hướng lời giải : Để tính được f 1 ta phải xác định được hàm số f  x  .
Từ giả thiết f   x   2 x  f  x 
kiện f  2   



f  x 
 f  x  

2

 2x  

1
 x 2  C kết hợp điều
f x

2
ta suy ra được hàm số f  x  . Khi đó ta có lời giải như sau:
9

Ta có f   x   2 x  f  x  
2



2

Lời giải

f  x 
 f  x  

2

 2x

d  f  x  
d
x

2
x
d
x

2

  f  x  2   2 xdx
 f  x  


f  x 

- 7 -NNH

7

1
1
 x2  C  f  x    2
.
f x
x C



1
2
1
2
C .
 
2
9
4C
9
2
1
 f 1   .
Vậy f  x   
1
3
x2 
2
Theo giả thiết: f  2   

Chọn B
Bình luận: Qua ví dụ trên ta thấy đề bài được thiết kế dựa trên kiến thức cơ bản về nguyên
hàm, công thức nguyên hàm của hàm số hợp. Do vậy người ra đề có thể dễ dàng thiết kế
mối liên hệ giữa f   x  , f  x  và biểu thức g  x  dễ tính nguyên hàm thì ta hồn tồn tìm
được hàm số f  x  và mọi vấn đề đều được giải quyết. Tương tự dựa vào cơng thức tính
đạo hàm của các hàm số chứa căn; đạo hàm của tích, thương hai hàm số ta xét tiếp một số ví
dụ sau.
Ví dụ 2. Cho

hàm

số

f

liên

tục,

f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f

f  x   1,

f 0  0

 3 .

và

thỏa

A. 0 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 9 .
Phân tích định hướng lời giải : Mấu chốt của bài toán là cơng thức tính đạo hàm






f x 1 

f  x 

. Từ giả thiết f   x  x 2  1  2 x f  x   1 , điều kiện

2 f x 1

f  0   0 và công thức đạo hàm trên ta suy ra được hàm số f  x  . Khi đó ta có lời giải
như sau
Lời giải
Ta có

f  x  x2  1  2 x f  x   1 










f  x   1 dx  

x
x 1
2

f  x 
2 f x 1
dx  





x
x2  1












f x 1 



1
2

 dx

1
f  x   1 dx   x 2  1
2



x
x2  1
2



1

f  x   1  x2  1  C .

Mà f  0   0  C  0 
Suy ra

f

f  x   1  x2  1

 3 1  2  f  3  3 .

Chọn B
- 8 -NNH

8


Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 1;e thỏa mãn

1
1
2
và x. f   x   xf  x   3 f  x   , x  1;e . Giá trị của f  e  bằng
x
2
2
4
3e
3
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
4e
3e
3e
2

f 1 

Phân tích định hướng lời giải :
Giả

1
x. f   x   xf 2  x   3 f  x   , x  1;e
x

thiết

xf   x   f  x 

 xf  x   1

2



biến

đổi

được

về

dạng

1
ta liên tưởng đến cơng thức tính đạo hàm của thương hai hàm số. Khi
x

đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Ta có:

x. f   x   xf 2  x   3 f  x  

1
 x 2 f   x   x 2 f 2  x   3xf  x   1 .
x

 x f   x    xf  x   1  xf  x  
2

2

xf   x   f  x 

 xf  x   1

2


1 
1
1
 


x  xf  x   1 
x



1
1
 
dx   ln x  C 
  ln x  C

 xf  x   1 
xf
x

1





2
1
1
  ln x  2  f  e   .
Mà f 1   C  2 
2
xf  x   1
3e
Chọn D
Lời bình: Qua cách tư duy ở 3 ví dụ 1, 2, 3 và kĩ năng sử dụng quy tắc tính đạo hàm, bằng
lối tư duy tương tự ta thực hiện được các ví dụ 4, 5, 6, 7 dưới đây.
2.2.2.3. Giải pháp 3
Tên giải pháp: Kĩ thuật tính nguyên hàm – tích phân hàm ẩn bằng cách đổi biến số
Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng tốn này
và đưa ra 10 ví dụ minh họa cho kĩ thuật, trong mỗi ví dụ khác nhau có phân tích định
hướng lời giải, nhận xét, bình luận và đưa ra bài tốn tổng qt nếu có. Cuối cùng đưa ra bài
tập tương tự để học sinh rèn luyện
a. Kiến thức sử dụng

- 9 -NNH

9


b

Tính tích phân I   g ( x )dx .Giả sử g( x ) được viết dưới dạng f u( x ).u( x ) ,trong đó hàm
a

số u( x ) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f u( x ) xác định trên

K và a, b là hai số thuộc K . Khi đó

b

u( b )

a

u( a )

 f u( x ).u( x )dx  

f (u)du

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x . Như vậy
tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

b

b

b

a

a

a

 f ( x )dx  f (u)du  f (t )dt  ...

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn

12

và

 f  x dx  8 .
1

48

Tính I 


4

x
f  dx .
4

A. I  16 .
B. I  2 .
Phân tích định hướng lời giải:

D. I  32 .

C. I  8 .

x
1
 dt  dx  dx  4dt
4
4
Và đổi cận thì tích phân I sẽ xuất hiện tích phân ban đầu. Do đó ta thực hiện lời giải
Nếu đặt t 
như sau:
Lời giải

x
1
 dt  dx  dx  4dt
4
4
Đổi cận: Khi x  4 thì t  1 và x  48 thì t 12 .
48
12
x
Vậy I   f  dx  4  f  t dt  4.8  32 .
4
4
1
Đặt t 

Chọn D
b
k

b

Bài toán tổng quát: Nếu

 f  x dx  M thì  f  kx dx 
a
k

a

Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  liên tục trên

M
.
k

1

và có

3

 f  x  dx  2;  f  x  dx  6 .
0

Tính

0

1

I   f  2 x  1  dx .
1

A. I 

2
.
3

B. I  4 .

C. I 

3
.
2

D. I  6 .

- 10 -NNH

10


Phân tích định hướng lời giải:
Nếu dùng phương pháp chia khoảng phá dấu giá trị tuyệt đối và thực hiện phương
pháp đổi biến u  1  2 x ; rồi u  2 x  1 thì sẽ xuất hiện hai tích phân ban đầu. Do đó ta
thực hiện lời giải như sau:

Lời giải
1
2

1

Ta có I 

1

 f  2 x  1  dx   f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I

1

1

1

 I2

1
2

 x  1  u  3

Tính I1   f 1  2 x  dx .Đặt u  1  2 x  du  2dx . Đổi cận: 
.
1
x



u

0
1

2
0
3
1
1
 I1   f  u  du   f  u  du  3
2 3
20
1
2

x  1  u  1

Tính I2   f  2 x  1 dx . Đặt u  2 x  1  du  2dx . Đổi cận: 
.
1
x


u

0
1


2
2
1

1

1

1
1
 I2   f  u  du   f  u  du  1
20
20
Vậy I  I1  I2  4 .
Chọn B

2

Ví dụ 3. Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của J 
1

4
3

B.  .

A. 2.
Phân tích định hướng lời giải:

2


0

sin x. f



3cos x  1

3cos x  1
4
C. .
3

 dx bằng
D. 2 .

Nếu dùng phương pháp đổi biến t  3cos x  1 thì sẽ xuất hiện tích phân ban đầu.
Do đó ta thực hiện lời giải như sau:
Lời giải
Đặt t  3cos x  1  dt 
Đổi cận: x  0  t  2 ; x 

3sin x
dx .
2 3cos x  1



 t  1.
2
1
2
2
2
2
2
2
4
Khi đó: J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .2  .
3
3
31
3
3
2
1
Chọn C

- 11 -NNH

11


2.2.2.4. Giải pháp 4
Tên giải pháp: Kĩ thuật tính nguyên hàm – tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tích
phân từng phần
Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng toán này
và đưa ra 5 ví dụ minh họa cho kĩ thuật, trong mỗi ví dụ khác nhau có phân tích định hướng

lời giải, nhận xét, bình luận và đưa ra bài tốn tổng qt nếu có. Cuối cùng đưa ra bài tập
tương tự để học sinh rèn luyện
a. Kiến thức sử dụng
b

Công thức

 u( x )v( x )dx   u( x )v( x ) 
a

b
a

b

  v( x )u( x )dx (trong đó u, v có đạo hàm liên tục
a

trên K và a, b là hai số thuộc K )
b. Ví dụ áp dụng
5

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên

và thỏa mãn

 f ( x )dx  
1

44

và
5

5

f (5)  15 . Tính tích phân I    x  1 f ( x )dx
1

A. I 

344
.
5

B. I  

344
.
5

C. I 

256
.
5

D. I  

256
.

5

Phân tích định hướng lời giải:
Để tính được tích phân I, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách
chọn u  x  1; dv  f   x  dx , kết hợp tính chất

 f   x  dx  f  x   C

và biến đổi I về

sử dụng kết quả đã biết của giả thiết. Do đó ta thực hiện lời giải như sau:
Lời giải

u  x  1
du  dx
. Khi đó


dv

f
(
x
)
dx
v

f
(
x

)



Đặt 

 44  344
.
I   x  1 f ( x ) 1   f ( x )dx  4 f (5)     
5
 5 
1
5

5

Chọn A
Với cách giải tương tự ta có Ví dụ 2, 3, 4, 5 như sau

- 12 -NNH

12


Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( 3)  3 và
3


0

f ( x )dx
1 x

2

 f ( x )ln  x 



3

1 . Biết I 





1  x 2 dx  a ln 2  a  b ; a, b là các số

0

nguyên. Tính T  a  b .
B. T  4 .
Lời giải

A. T 1 .

D. T  3 .

C. T  2 .





1

u  ln x  1  x 2
dx

du 
Đặt 

1  x2

v  f ( x )
dv  f ( x )




Khi đó I  f ( x )ln x  1  x 2



3
0

3





f ( x )dx
1 x

0

2





 3 ln 2  3  1 .

Suy ra a  3; b  1  T  4 .
Chọn B
Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn
2

1

0

0

 1  2 x  f ( x )dx  3 f (2)  f (0)  2020 . Tính tích phân I   f (2 x )dx
B. I  2020 .

Lời giải

A. I  2021.

D. I 1010 .

u  1  2 x
du  2dx

dv  f ( x )dx v  f ( x )

2

Ta có

C. I 1011 .

 1  2 x  f ( x )dx  2020 , đặt 
0
2

2

0

0

Khi đó 2020  (1  2 x ) f ( x ) 0  2  f ( x )dx 2020   3 f (2)  f (0)  2  f ( x )dx
2

2

2

0

0

 2020  2020  2  f ( x )dx  f ( x )dx  2020
x  0  t  0
x  1  t  2

1

Xét I   f (2 x )dx , đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận: 
0

2

2

1
1
2020
Khi đó I   f (t )dt  I   f ( x )dx 
 1010 .
20
20
2
Chọn D

- 13 -NNH

13


2.2.2.5. Giải pháp 5
Tên giải pháp: Kĩ thuật tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng tốn này
và đưa ra 5 ví dụ minh họa cho kĩ thuật, trong mỗi ví dụ khác nhau có phân tích định hướng
lời giải, nhận xét, bình luận và đưa ra bài tốn tổng qt nếu có. Cuối cùng đưa ra bài tập
tương tự để học sinh rèn luyện
a. Kiến thức sử dụng
Nếu f ( x )  0 với x   a; b thì

b

 f ( x )dx  0 , dấu "=" xảy ra
a

 f ( x )  0, x   a; b
b

Hệ quả:

f

2

( x )dx  0  f ( x )  0 với x   a; b .

a

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;2  . Biết f (0)  1 ,
2

2

 f ( x )dx  2 và

  f ( x ) dx  4 . Tính tích phân I    f ( x ) dx

1

1

2

2

3

1

A. I  64 .
B. I  4 .
Phân tích định hướng lời giải :

C. I  8 .

D. I  68 .

Giả thiết chứa  f ( x ) và f ( x ) nên ta tạo bình phương dạng  f ( x )  a
2

2

2

  f ( x )  a

Ta chọn a sao cho

2

2

1
2

   f ( x ) dx  2a  f ( x )dx  a
1



2

1
2

2



dx  0    f ( x )  2af ( x )  a2 dx  0

1

2

2

 dx  0  4  4a  a

2

 0  a  2 . Từ đó ta có lời

1

giải như sau
Lời giải
2

Ta có

  f ( x )  2

2

1
2

2





dx  0    f ( x )  4 f ( x )  4 dx
2

1
2

2

1

1

   f ( x ) dx  4  f ( x )dx  4  dx  4  8  4  0  f ( x )  2  f ( x )  2 x  c , mà
1

2

f (0)  1  c  1 nên f ( x )  2 x  1
- 14 -NNH

14


2

2

2





Khi đó I    f ( x ) dx    2 x  1 dx   8 x 3  12 x 2  6 x  1 dx
3

3

1

1



 2 x 4  4 x 3  3x 2  x



2

1

 68

1

3
5

Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  ,
1

  f   x   dx 
2

0

A. I 

1

1

37
4
và  x 3 f  x  dx 
. Tính I    f  x   1 dx .
180
9
0

0

1
.
10

B. I 

1
.
15

C. I  

1
.
15

D. I  

1
.
10

Lời giải

1
f 1 1 1 4
1 4
1 4


  x f   x  dx .
Ta có:  x f  x  dx  x . f  x    x f  x  dx 
4
4
4
40
0
0
0
1

1

3

1
3 1 3
37
3 1 4
37
Mà f 1  ;  x f  x  dx 
suy ra


x f   x  dx
5 0
180 20 4 0
180
1

2
  x 4 f   x  dx   .
9
0
1

Xét:





1

1

1

0

0

f   x   kx 4 dx    f   x   dx  2k  x 4 f   x  dx  k 2  x 8dx 
2

0

2

0

 k  2.
1

  f   x   kx 

4 4k k 2

 0
9 9
9

2 5
dx  0  f   x   2 x 4  f  x    x  C .
5
0
2
2 5
3
3
Mà f 1     C   C 1  f  x   1   x .
5
5
5
5
1
1
1
 2 

   f  x   1 dx     x 5  dx   .
5 
15
0
0
Khi đó

4

2

Chọn C
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 và

e2  1

. Tính tích phân I   f  x  dx .


f
x
d
x

x

1
e
f
x

d
x

0   
0    
4
0
1

2

1

1

x

B. I  e  2 .

A. I  2  e .

C. I 

e
.
2

D. I 

e 1

.
2

Lời giải


du  f   x  dx
u  f  x 


x
x
v  xe

dv   x  1 e dx

1

Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt 
0

1

1

1

0

0

Suy ra A  xe x f  x    xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx 
1

0

0

1  e2
4

- 15 -NNH

15


1

1
e2  1
1 2 1
Xét  x e dx  e  x  x   
.
2
2
4
4


0

0
1

2 2x

1

Ta có

2x

1

1

1



x
x
2 2x
  f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0   f   x   xe
2

0

0

0



Suy ra f   x   xe x  0 x  0;1 (do f   x   xe x

 f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C





2

dx  0

0
2

 0 x  0;1 )

Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x
1

1

0

0

Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 .

1

0

Chọn B
3. Khả năng áp dụng của giải pháp
Tôi đã áp dụng sáng kiến ở lớp 12C1,2,5 - Trường THPT Văn Chấn, tỉnh Yên Bái
năm học 2021-2022. Qua theo dõi q trình học tập của học sinh, tơi thấy khả năng áp dụng
sáng kiến rất thiết thực, hiệu quả cho cả giáo viên và học sinh. Sáng kiến có thể áp dụng đối
với học sinh cấp THPT, đặc biệt là học sinh các trường thuộc huyện Văn Chấn và các
trường THPT trên địa bàn của tỉnh Yên Bái.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp
4.1. Hiệu quả về kinh tế khi áp dụng đề tài vào giảng dạy
Với các kĩ thuật như đã trình bày trong SKKN tôi đã áp dụng giảng dạy ở trường
THPT Văn Chấn vào lớp 12C1, 12C2, 12C5 và có đối chứng kết quả khảo sát ban đầu. Sau
khi thử nghiệm dạy nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú, tích cực chủ động, tiếp thu
kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán được nâng lên rõ rệt.
Trước khi áp dụng đề tài trên với 3 dạng tốn đầu tơi đã cho học sinh làm 1 bài kiểm
tra 20 phút và thu được kết quả như sau:
Kết quả bài thứ nhất
Lớp

Sĩ

Giỏi

Khá

Yếu

TB

Kém

số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12C1

43

8

18,6

15

34,9

18

41.8

2

4,7

0

0

12C2

42

5

11,9

6

14,3

14

33,3

17

40,5

0

0

12C5

40

2

5

5

12,5

13

32,5

20

50

0

0

Sau khi áp dụng đề tài trên với 3 dạng tốn đầu tơi đã cho học sinh làm 1 bài kiểm tra
20 phút và thu được kết quả như sau:
Kết quả bài thứ hai:
- 16 -NNH

16


Lớp

Sĩ

Giỏi

Khá

Yếu

TB

Kém

số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

12C1

43

19

44,2

20

46,5

4

9,3

0

0

0

0

12C2

42

10

23,8

23

54,8

8

19

1

2,4

0

0

12C5

40

9

22,5

18

45

11

27,5

2

5

0

0

Như vậy qua 2 kết quả trên, so sánh với số liệu khảo sát khi chưa áp dụng SKKN tôi
nhận thấy chất lượng học tập mơn Tốn của học sinh được nâng lên rõ rệt, số lượng học
sinh khá, giỏi tăng lên nhiều.
4.2. Về hiệu quả xã hội
- Qua việc nghiên cứu và viết đề tài SKKN và thực hiện bản thân tơi cảm thấy mình
rất tự tin khi lên lớp giảng dạy phần “Nguyên hàm – tích phân hàm ẩn”.
- Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rút kinh
nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được
hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất biến đổi trong
việc tính tích phân của hàm ẩn, cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học
tập. Sau khi nghiên cứu đề tài các đồng nghiệp trong tổ cũng rất tự tin khi giảng dạy phần
kiến thức này.
5. Những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:

TT

1

2

3

Họ và tên

Hồng Thu Hương

Lê Thị Lan Anh

Nguyễn Thị Huệ

Nơi cơng tác

Chức
danh

Trình
độ
chun
mơn

Nội dung
công việc
hỗ trợ

Trường THPT
1978 Huyện Văn
Chấn

Giáo
viên

Cử
nhân

Áp dụng hệ thống
các giải pháp đề

xuất tại đơn vị

1978

Trường THPT
Huyện Văn
Chấn

Giáo
viên

Cử
nhân

Áp dụng hệ thống
các giải pháp đề
xuất tại đơn vị

1978

Trường THPT
Huyện Văn
Chấn

Giáo
viên

Cử
nhân

Áp dụng hệ thống
các giải pháp đề
xuất tại đơn vị

Năm
sinh

6. Các thông tin cần được bảo mật: Không

- 17 -NNH

17


7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
*Với giáo viên:
+ Cần sự sáng tạo, đổi mới phương pháp hình thức dạy học, kiên trì định hướng cho
học sinh học tập, lĩnh hội kiến thức qua từng dạng tốn.
+ Cần thiết kế các dạng tốn phù hợp, có sự đầu tư nghiên cứu, thiết kế và hướng dẫn
học sinh một cách hệ thống từ dễ đến khó.
+ Cần có sự động viên, khích lệ học sinh kịp thời để học sinh cố gắng lĩnh hội những
kiến thức mới, phức tạp hơn.
*Với học sinh:
+ Nắm vững những kiến thức cơ bản, các công thức về đạo hàm, nguyên hàm và tích
phân.
+ Tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải tốn. Hồn thành tốt các nội dung được
giao.
*Đối với nhà trường:
+ Cần sự quan tâm, động viên khích lệ kịp thời đến công tác chuyên môn đặc biệt
trong việc đổi mới phương pháp dạy học.

+ Có hình thức tun truyền khích lệ việc thay đổi hướng tiếp cận bài học cho cả
giáo viên và học sinh để mỗi giờ học không đơn điệu, nhàm chán.
8. Tài liệu gửi kèm: Không
III. CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN
Trên đây là nội dung báo cáo đề nghị công nhận sáng kiến cấp cơ sở. Tôi cam đoan
những nội dung trong báo cáo là đúng. Nếu có gian dối hoặc khơng đúng sự thật trong báo
cáo, tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm theo quy định của pháp luật.
Văn Chấn, ngày 20 tháng 01 năm 2022
Người viết báo cáo

Đinh Công Sơn

- 18 -NNH

18


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………….……………………
…………………………………………………………………….…………………………
……………………………………………………………….………………………………
………………………………………………………….……………………………………
…………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
……………………………………….………………………………………………………
………………………………….……………………………………………………………
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH

………………………………………………..………………………………………...……
…………………………………………….…………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………
…………………….…………………………………………………………………………
…………….…………………………………………………………………………………
………………………………………………………….……………………………………
…………………………………………………….…………………………………………
……………………………………………….………………………………………………
………………………………………….……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………..………………………………………...……
…………………………………………….…………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………
……………………….………………………………………………………………………
………………….……………………………………………………………………………+
+
- 19 -NNH

19