Một số kỹ thuật tính tích phân đặc sắc v1

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
1

MỘT SỐ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ĐẶC SẮC:
Bài tập 1: Tính tích phân
4
0
cos 2 sin 2
dx
I
x x
π
=
+
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
( )
( )
2
4 4 4
2
2
0 0 0
2
1 tan
cos 2 sin 2 2
2 1 tan 2tan
cos 2tan

cos
d
d d
x x
x x
I
x x
x x
x x
x
π π π
+
= = =
+
+ +
+
∫ ∫ ∫

Đặt
tan
t x
=
.
Bài tập 2: Tính tích phân
( )
2
1
2 1
0
2 1

d
x x
I x x e x
+ +
= + +
∫

Hướng dẫn:
Ta có
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 1 1 2 1 /
0 0 0
2 2d d d
x x x x x x
I x x e x e x x x e x I
+ + + + + +
= + + = + +
∫ ∫ ∫

Tính
2
1
/ 1
0
d
x x
I e x
+ +

=
∫
.
Đặt
( )
2 2
1 1
2 1
d d
d d chän
x x x x
u e x x e x
x v v x
+ + + +

= ⇒ = +


= ⇒ =




Lúc đó
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1
/ 1 1 2 1 3 2 1
0 0 0
1

0
d d d
x x x x x x x x
I e x xe x x e x e x x e x
+ + + + + + + +
= = − + = − +
∫ ∫ ∫

Vậy
( ) ( )
2 2
1 1
2 1 3 2 1 3
0 0
2
x x x x
I x x e x e x x e x e
+ + + +
 
= + + − + =
 
 
∫ ∫
d d .
Bài tập 3: Tính tích phân
2
2
0
sin
1 sin 2

d
x x
I x
x
π
+
=
+
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
2 2
2 2 2
1 2
0 0 0
sin sin
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2
d d d
x x x x
I x x x I I
x x x
π π π
+
= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫

Tính
2

2
2
0
sin
1 sin 2
d
x
I x
x
π
=
+
∫
. Xét thêm
2
2
/
2
0
cos
1 sin 2
d
x
I x
x
π
=
+
∫

Suy ra:
2
/
2 2
0
2
2
/
2 2
0
1

1 sin 2
2cos2

1 sin 2
dI I x
x
I
x
I I dx
x
π
π


+ = =

+


⇒


−

− = =

+

∫
∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2

Tính
2 2 2
1
2
0 0 0
1
cot
1 sin 2 2 4
2sin
4
d d d
x x
I x x x x

x
x
π π π
π
π
 
 
= = = − +
 
 
+  
 
 
+
 
 
∫ ∫ ∫
(từng phần)
Bài tập 4: Tính tích phân
1
2
1
1
1 1
d
I x
x x
−
=
+ + +

∫

Hướng dẫn:
Đặt
( )
( )
2
2 2 2
2
1 1 1 1 2 2 2
2 1
t t
t x x t x x t t tx x x
t
−
= + + + ⇒ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
+

Bài tập 5:
Tính tích phân
3
6
cot
sin sin
4
d
x
I x
x x
π

π
π
=
 
+
 
 
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
( ) ( )
3 3 3
2
6 6 6
cot cot cot
2 2
sin sin cos sin 1 cot
sin sin
4
d d d
x x x
I x x x
x x x x x
x x
π π π
π π π
π
= = =
+ + 

+
 
 
∫ ∫ ∫

Đặt
cot
t x
=
.
Tương tự: Tính tích phân
4
0
cos sin
4
d
x
I
x x
π
π
=
 
+
 
 
∫
;
3
6

sin sin
6
d
x
I
x x
π
π
π
=
 
+
 
 
∫

Bài tập 6:
Tính tích phân
( )
4
0
tan
cos 4cos sin
d
x
I x
x x x
π
=
−

∫

Hướng dẫn:Tương tự Bài tập 5.
Bài tập 7: Tính tích phân
( )
2 5
2 2
2
1 5
dx x
I
x x
=
+ +
∫

Hướng dẫn:
Đặt
2 2 2
5 5
d d
t x t x t t x x
= + ⇒ = + ⇒ =

Bài tập 8:
Tính tích phân
(
)
6
1

2 3
3
ln d
x x x
I
x
+ +
=
+
∫

Hướng dẫn:
Đặt
2
3 3 2
d d
t x t x t t x
= + ⇒ = + ⇒ =

Suy ra
( )
3
3
2
2 3 2
ln d
I t t x
= − +
∫
(

tích phân từng phần
)
Bài tập 9: Tính tích phân
1
2
0
2 2
d
I x x x x
= − +
∫

Hướng dẫn: Biến đổi
( )
1 1
2
2
0 0
2 2 1 1
d d
I x x x x x x x
= − + = − +
∫ ∫
. Đặt
1 tan
x x
− =
.

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
3

Bài tập 10: Tính tích phân
2
2
6
1
sin sin
2
d
I x x x
π
π
= +
∫

Hướng dẫn: Biến đổi
2
2
6
3
sin cos
2
d
I x x x
π
π
= −
∫

. Đặt
3
cos cos
2
x t
=

Bài tập 11:
Tính tích phân
2
4
sin 3
0
sin .cos
d
x
I e x x x
π
=
∫

Hướng dẫn: Đặt
2
sin
t x
=

Bài tập 12:
Tính tích phân
3

2 4
4
sin cos
dx
I
x x
π
π
=
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
( )
( )
2
3 3 3
2
2
2 6 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1 1
. . 1 tan tan
tan cos tan cos cos tan
d
. d d
x
I x x x
x x x x x x
π π π

π π π
 
= = = +
 
 
∫ ∫ ∫

Đặt
tan
t x
=
.
Bài tập 13:
Tính tích phân
2
3
sin 2 4sin
2dx
I
x x
π
π
=
+
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
( ) ( )
( )

( )
2 2 2 2
2
2
3 3 3 3
sin sin
sin 2 4sin sin cos 2 sin cos 2
1 cos cos 2
2d d d dx x x x x x
I
x x x x x x
x x
π π π π
π π π π
= = = =
+ + +
− +
∫ ∫ ∫ ∫

Đặt
cos
t x
=
.
Bài tập 14:
Tính tích phân
( )
3
0
sin

cos2 sin cos
dx x
I
x x x
π
=
+
∫

Hướng dẫn:
Biến đổi
( ) ( )
3
2
0
sin
sin cos cos sin
dx x
I
x x x x
π
=
+ −
∫

Xác định A, B:
( ) ( )
1
1
2

sin sin cos cos sin
0 1
2
A
A B
x A x x B x x
A B
B

=

− =


= + + − ⇒ ⇔
 
+ =


= −



Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4

Suy ra
( )( )
( )

3 3 3 3
2
2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 sin cos cos sin 2 2 cos 2 4
sin cos
sin
4
d d d d
x x x x
I
x x x x x
x x
x
π π π π
π
= − = −
+ −
 
+
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Bài tập 15:
Tính các tích phân sau:
a)
3

2 2
0
3sin 8sin cos 5cos
d
x
I
x x x x
π
=
− +
∫
b)
3
2
0
sin
2cos 5sin cos
d
x x
I
x x x
π
=
+
∫

Hướng dẫn:
a) Dạng đẳng cấp bậc 2 theo
tan
t x

=

Biến đổi
( )
( )
3 3 3
2 2 2
2 2
0 0 0
tan
3sin 8sin cos 5cos 3tan 8tan 5
cos 3tan 8tan 5
d
d d
x
x x
I
x x x x x x
x x x
π π π
= = =
− + − +
− +
∫ ∫ ∫
.
Đặt
tan
t x
=
.

b) Dạng đẳng cấp bậc 3 theo
cot
t x
=

Biến đổi
( )
( )
3
2 2 2
0
sin 2cot 1 cot 5cot
dx
I
x x x x
π
=
+ +
∫
. Đặt
cot
t x
=
.

Bài tập 16:
Tính các tích phân sau:
a)
2
0

3cos 4sin 5
dx
I
x x
π
=
+ +
∫
b)
2
0
cos 2sin 1
dx
I
x x
π
=
+ +
∫
c)
2
3
3
sin
d
x
I
x
π
π

=
∫

d)
2
0
cos sin 1
dx
I
x x
π
=
+ +
∫
e)
2
3
0
tan
d
I x x
π
=
∫
f)
4
0
1 tan
d
x

I
x
π
=
+
∫

Hướng dẫn:

Đặt
tan
2
x
t = .
Lưu ý:

2
2 2 2
2 2 1
tan ; sin ; cos
1 1 1

t t t
x x x
t t t
−
= = =
− + +

Bài tập 17:

Tính các tích phân sau:
a)
2
0
sin cos
d
I x x x x
π
=
∫
b)
2
0
sin
3 cos
d
x x x
I
x
π
=
+
∫
c)
3 4
0
sin cos
d
I x x x x
π

=
∫
d)
3
0
.sin d
I x x x
π
=
∫

Hướng dẫn:

Cách 1:
Phương pháp tích phân từng phần
Cách 2:
Đổi biến dạng 1
Đặt
d d
t x t x
π
= − ⇒ = −

Lúc đó:
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2 2 2
0 0 0
sin cos sin cos sin cos sin cos
d td td td

I t t t t t t t t t t t t
π π π
π
π π π π π
= − − − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

Để ý:
2 2
0 0
sin cos sin cos
td d
t t t x x x x
π π
=
∫ ∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
5

Suy ra:
( )
3
2 2 2
0 0 0
cos
2 sin cos sin cos cos cos
0
2 2 2 3 3

d d d
t
I t t t I t t t t t
π π π
π
π π π π
π
= ⇔ = = − = − =
∫ ∫ ∫

Bài tập 18:
Tính tích phân
6
2
6 6
0
sin
sin cos
d
x
I x
x x
π
=
+
∫

Hướng dẫn:

Đặt

2
d d
t x t x
π
= − ⇒ = −

Lúc đó:
6
0
6 6
2 2
6 6 6 6
6 6
0 0
2
sin
cos cos
2
sin cos sin cos
sin cos
2 2
d d d
t
t x
I t t x J
t t x x
t t
π π
π
π

π π
 
−
 
 
= − = = =
+ +   
− + −
   
   
∫ ∫ ∫
(1)
Mặt khác:
6 6
2 2
6 6
0 0
sin cos
sin cos 2
d d
x x
I J x x
x x
π π
π
+
+ = = =
+
∫ ∫
(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
4
I J
π
= =
.
Tương tự: Tính các tích phân sau
2
0
sin
sin cos
d
x
I x
x x
π
=
+
∫
;
( )
2
2
0
sin
sin cos
d
x
I x
x x

π
=
+
∫

Bài tập 19:
Tính tích phân
( )
2
2
1
ln
ln 1
e
x x
I x
x
=
+
∫
d

Hướng dẫn:

Cách 1:
( )
2 2
2
1
ln

ln 1
e
x x
I x
x x
=
+
∫
d
. Đặt
( ) ( )
( )
2
2
ln 2 ln ln 1
1 1
ln 1
ln 1
u x x u x x x x
x v v
x
x x

= ⇒ = +


= ⇒ = −

+
+


d d
d d chän

Lúc đó:
(
)
2
1
ln
2 ln
1
ln 1
e
e
x x
I x x x
x
= − +
+
∫
d

Cách 2: Biến đổi
(
)
( )
( )
( )
2

1 2
2 2
1 1 1
ln 1 1
ln 1
ln 1
ln 1 ln 1
e e e
x x
x x
x
I x x x I I
x
x x
+ −
−
= = + = +
+
+ +
∫ ∫ ∫
d d d
Xét
(
)
1
1
ln 1
ln 1
e
x x

I x
x
−
=
+
∫
d
. Đặt
( )
2
2
ln 1 2
ln 1
ln 1
2
x
u u x
x
x x
x
x x v v
−

= ⇒ =

+
+




= ⇒ =


d d
d d chän

Lúc đó
( )
2
1 2
2
1
ln 1 1
.
1
2 ln 1 2
ln 1
e
e
x x x
I x I
x
x
−
= − = −
+
+
∫
d . Suy ra
1 2 2 2

1 1
.
2 2
I I I I I
 
= + = − + =
 
 

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
6

Bài tập 20:
Tính tích phân
( )
2
1
1
ln 1
1 3ln 1
e
I x x x
x x
 
 
= −
 
+ +
 

∫
d

Hướng dẫn:

Biến đổi
1 1
1 ln
. ln
1 3ln 1
e e
x
I x x x x
x
x
= −
+ +
∫ ∫
d d

Bài tập 21:
Tính tích phân
( )
2
2
2
0
2
x
x e

I x
x
=
+
∫
d

Hướng dẫn:

Đặt
(
)
( )
2
2
2
1 1
2
2
x x
u x e u xe x x
x v v
x
x

= ⇒ = +


= ⇒ = −


+
+

d d
d d chän

Lúc đó:
2
2
0
2
0
2
x
x
x e
I xe x
x
= − +
+
∫
d

Bài tập 22:
Tính tích phân
( )
3
4 2
1
1

x
I
x x
=
+
∫
d

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt
tan
x t
=

Cách 2: Biến đổi
( )
3 3 3 3
2 2
4 2 2
4 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
x x
I x x x x
x x x
x x
+ −

= = − +
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
d d d d

Bài tập 23:
Tính tích phân
2
0
2 2
x
I x
x x
=
− + +
∫
d

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt
(
)
2 2 2
2 2 4 2 4 4 2
t x x t x t t t x x
= − + + ⇒ − = − ⇔ − = −
d d

Cách 2: Biểu diễn
( )( )
1
2 2 2 2
2
x x x x x
= + + − + − −

Bài tập 24:
Tính tích phân
1
0
1 1
x
I
x x
=
+ + +
∫
d

Hướng dẫn:

Đặt
2
2 4
3
1 1
1 2
2

t t
t x x x x t
t t
 
− −
= + + ⇒ = ⇒ =
 
 
d d

Bài tập 25:
Tính tích phân
2
3
3
4
1
x x x
I
x
−
=
∫
d

Hướng dẫn:

Biểu biễn:
2 2
3

3
3
4 3 2
1 1
1 1
1
x x x
I x
x x x
−
= = −
∫ ∫
d
d
. Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 2
1 1 3
t t t t x
x x x
= − ⇒ = − ⇔ = −
d d


Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
7

Bài tập 26: (THTT 2012)
Tính các tích phân sau:
a)
2
1
2
1 1
ln ln
d
e
e
I x
x x
 
= −
 
 
∫
b)
2
2
1
2 ln
ln
d
e
e
I x x
x
 

= +
 
 
∫

Hướng dẫn:

a)
2 2 2
/ //
1
2 2
1 1 1 1
ln ln ln ln
d d d
e e e
e e e
I x x x I I
x x x x
 
= − = − = +
 
 
∫ ∫ ∫

Tính
2
//
1
ln

d
e
e
I x
x
=
∫
. Đặt
2
1 1 1
.
ln ln
d d
d d chän
u u x
x x x
x v v x

= ⇒ = −



= ⇒ =


Suy ra:
2
2 2
2
// /

2
1 1 2
ln ln ln 2
d d
e
e e
e
e e
x e e
I x x I
x x x
−
= = + = +
∫ ∫

Lúc đó:
2 2
/ /
1
2 2
2 2
e e e e
I I I
 
− −
= − + =
 
 
.
b)

2 2 2
/ //
2
1 1
2 ln 2 ln
ln ln
d d d
e e e
e e e
I x x x x x I I
x x
 
= + = + = +
 
 
∫ ∫ ∫

Tính
2
/
2 ln
d
e
e
I x x
=
∫
. Đặt
1 1
2 ln .

ln
d d
d d chän
u x u x
x
x
x v v x

= ⇒ =



= ⇒ =


Suy ra:
2 2
2
/ 2 //
1 1
2 ln 2 2 2
ln
ln
d d
e e
e
e
e e
I x x x x e e I
x

x
= = − = − −
∫ ∫

Lúc đó:
(
)
(
)
2 // // 2
1
2 2 2 2 2 1
I e e I I e
= − − + = −
.
Bài tập 27: (THTT 2013)
Tính tích phân
(
)
1
2
1
1 ln ln
ln d
e
x
I x x x
= + +
∫

Hướng dẫn:

Ta có:
(
)
(
)
1
2 2
1 1
1
1 ln ln 1 ln ln
ln d ln d
e e
x
I x x x x x x
x
= + + = + +
∫ ∫

Đặt
1
ln
d d
t x t x
x
= ⇒ =
(
)
1

2
0
1
ln d
I t t t
⇒ = + +
∫

Đặt
(
)
2
2
1
1
1
ln d d
d d chän
u t t u t
t
t v v t

= + + ⇒ =

+


= ⇒ =

(

)
( ) ( )
1
1
1
2 2
2
0
0
0
1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 1.
1
ln d
t
I t t t t t
t
⇒ = + + − = + − + = + − +
+
∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
8

Bài tập 28:
Tính tích phân
( )( )
1
2
1

1
1 1
d
x
I x
e x
−
=
+ +
∫

Hướng dẫn:

( )( ) ( )( ) ( )( )
1 0 1
2 2 2
1 1 0
1 1 1
1 1 1 1 1 1
d d d
x x x
I x x x
e x e x e x
− −
= = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫

Xét
( )( )

0
2
1
1
1 1
d
x
J x
e x
−
=
+ +
∫
. Đặt
d d
t x t x
= − ⇒ = −

Ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1
1 1 1 1 1 1
d d d
t x
t t x
e e
J t t x

e t e t e x
−
= − = =
+ + + + + +
∫ ∫ ∫

Lúc đó:
( )( ) ( )( )
1 1 1
2
2 2
0 0 0
1 1
.
1 4
1 1 1 1
d d d
x
x x
e
I x x x
x
e x e x
π
= + = = =
+
+ + + +
∫ ∫ ∫

Bài tập 29:

Xác định nguyên hàm của hàm số
( )
tan .tan .tan
3 3
π π
f x x x x
   
= + −
   
   

Hướng dẫn:

Biến đổi

( )
2
2
2 3
sin .sin .sin sin cos cos2 sin 2sin
3 3 3 2
2 3
cos .cos .cos cos . cos cos2 cos . 2cos
3 3 3 2
π π π
x x x x x x x
f x
π π π
x x x x x x x
       

+ − − −
       
       
= = =
       
+ − + −
       
       


3
3
4sin 3sin sin3
tan3
4cos 3cos cos3

x x x
x
x x x
−
= = − = −
−

Bài tập 30:
Tính tích phân
3
2
2
1
ln 1

d
x
I x
x
+
=
∫

Hướng dẫn:

Đặt
2
2
2
ln 1
1
1 1
d d
d d chän
x
u x u x
x
x v v
x x

= + ⇒ =


+



= ⇒ = −



Lúc đó:
3
3
2
2
1
1
ln 1 1 3 2
ln 2
2
2 3
1
d
x
I x
x
x
π
+ −
= − + = = +
+
∫
.
Bài tập 31:
Tính tích phân

33
6
3
0
cos cos
cos
d
x x
I x
x
π
−
=
∫

Hướng dẫn:

Biến đổi
3 33
6 6 6
3
3
3 2 3 2 2
0 0 0
cos cos 1 cos cos 1 1
1
cos cos cos cos cos
d d d
x x x x
I x x x

x x x x x
π π π
− −
= = = −
∫ ∫ ∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
9


( )
6 6
6
/
3 3
0 0
3
tan tan tan tan .
5
d dx x x x x
π π
= = = =
∫ ∫

Bài tập 32:
Tính tích phân
4
2
4 4

4
sin
sin cos
d
x
I x
x x
π
π
=
+
∫

Hướng dẫn:
Dùng kỹ thuật tích phân liên kết.
Xét
4
2
4 4
4
sin
sin cos
d
x
I x
x x
π
π
=
+

∫
và
4
2
4 4
4
cos
sin cos
d
x
J x
x x
π
π
=
+
∫
.
Ta có:
2
4
4
d
π
π
π
I J x
+ = =
∫
. (1)

Mặt khác, ta xét:
4 4
2 2 2
4 4 2
2
4 4 4
sin cos cos2 2cos2
1
sin cos 2 sin 2
1 sin 2
2
d d d
x x x x
I J x x x
x x x
x
π π π
π π π
− − −
− = = =
+ −
−
∫ ∫ ∫


( )
2
2
4
sin 2 1

ln 3 2 2
2 sin 2
2 2
d

x
x
π
π
= − = = − −
−
∫
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
( )
1
ln 3 2 2
8
4 2
I
π
= − −
.
Bài tập 33:
Tính tích phân
3
2
2
1
1

d
x
I x
x
+
=
∫

Hướng dẫn:

Cách 1:
Đặt
tan
x t
=

Cách 2:
Tích phân từng phần
Đặt
2
2
2
1
1
1 1
d d
d d chän
x
u x u x
x

x v v
x x

= + ⇒ =


+


= ⇒ = −



Lúc đó:
3
3 3 3
2 2
2
2 2
1 1 1
1
1 1 1 2 1
2
3
1 1
d d d
x x
I x x x
x x
x x

+ +
= = − + = − +
+ +
∫ ∫ ∫
.
Để ý rằng:
(
)
/
2
2
1
ln 1
1
x x
x
 
+ + =
 
 
+


(
)
( )( )
3
2
1
2 2

2 ln 1 2 ln 2 3 2 1 .
3 3
I x x
⇒ = − + + + = − + + −

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
10

Bài tập 34:
Tính tích phân
2
3
4
cos
sin
d
x x
I x
x
π
π
=
∫

Hướng dẫn:

Đặt
3 2
cos 1

sin 2sin
d d
d d chän
u x u x
x
x v v
x x
= ⇒ =



= ⇒ = −



Lúc đó:
3
2
2
2 2
1
4
4
1 1 1
cot
2sin 2sin 4 4 2 2
d
x
I x x
x x

π
π
π
π
π π
   
= − + = − − + − =
   
   
∫
.
Bài tập 35:
Tính tích phân
ln16
4
0
1
1
d
x
x
e
I x
e
+
=
+
∫

Hướng dẫn:

Đặt
4 3 4
4
4
4
d d d d d
x x x
t e t e t t e x t x x t
t
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =

Suy ra:
( )
( )
( )
2 2
2
2
1
1 1
1 1 2
4 4 1 4 ln 2ln 2 4 1 3ln 2 2ln3 .
1 1
d d
t
I t t t t t
t t t t
+
 

= = + − = + − + = + −
 
+ +
 
∫ ∫

Bài tập 36:
Tính tích phân
(
)
1
0
ln 1
1
d
e
x x
I x
x
−
+
=
+
∫

Hướng dẫn:

Biến đổi
(
)

(
)
( )
(
)
1 1 1
0 0 0
1 1 ln 1
ln 1
ln 1
1 1
d d d
e e e
x x
x
I x x x x
x x
− − −
 + −  +
+
 
= = + −
+ +
∫ ∫ ∫

Bài tập 37:
Tính tích phân
( )
4
2

0
1
1 1 2
d
x
I x
x
+
=
+ +
∫

Hướng dẫn:

Đặt
( )
1 1 2 1
1 2
d
d d d
x
t x t x t t
x
= + + ⇒ = ⇒ = −
+
và
2
2
2
tt

x
−
=
I =
(
)
(
)
2
4 4 4
3 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
1 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
d d d
t t t
t t t
I t t t t
t t t t
− + −
− + −
 
= = = − + −
 
 
∫ ∫ ∫

=
4
2
2
1 2 1
3 4ln 2ln 2
2 2 4
t
t t
t
 
− + + = −
 
 

Bài tập 38:
Xác định nguyên hàm của hàm số
( )
3 5
1
sin .cos
f x
x x
=
Hướng dẫn:

Ta có:
3 3 2 3 2
8
sin .cos .cos sin 2 .cos

d dx x
I
x x x x x
= =
∫ ∫

Đặt
tan
t x
=
2 2
2
; sin 2
cos 1
d
d
x t
t x
x t
⇒ = =
+

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
11

(
)
3
2

3
3
2
1
8
2
1
d
d
t
t
I t
t
t
t
+
⇒ = =
 
 
+
 
∫ ∫
6 4 2
3 3
3
3 3 1 3
3
d d
t t t
t t t t t

t t
−
+ + +
 
= = + + +
 
 
∫ ∫

4 2
2
1 3 1
tan tan 3ln tan
4 2 2tan
x x x C
x
= + + − +

Bài tập 39:
Tính tích phân
6
0
tan
4
d
cos 2
x
I x
x
 

−
 
 
=
∫
π
π

Hướng dẫn:

( )
2
6 6
2
0 0
tan
tan 1
4
d d
cos2
tan 1
x
x
I x x
x
x
 
−
 
+

 
= = −
+
∫ ∫
π π
π

Đặt
( )
2
2
1
tan d d tan 1 d
cos
t x t x x x
x
= ⇒ = = +

1
0 0;
6
3
x t x t= ⇒ = = ⇒ =
π

Suy ra
( )
1
1
3

3
2
0
0
d 1 1 3
1 2
1
t
I
t
t
−
= − = =
+
+
∫
.
Bài tập 39:
Tính tích phân
4
2
4
sin
d
1
x
I x
x x
−
=

+ +
∫
π
π

Hướng dẫn:

4 4 4
2
1 2
2
4 4 4
sin
d 1 sin d sin d
1
x
I x x x x x x x I I
x x
− − −
= = + + = +
+ +
∫ ∫ ∫
π π π
π π π

+ Tính
4
2
1
4

1 sin d
I x x x
−
= +
∫
π
π
.
Đặt
x t
= −
ta có:
4 4 4
2 2 2
1 1 1
4 4 4
1 sin d 1 sin d 1 sin d 0
I t t t t t t x x x I I
−
− −
= + = − + = − + = − ⇔ =
∫ ∫ ∫
π π π
π π π

+ Tính
4
2
4
sin d

I x x x
−
=
∫
π
π
. Tích phân từng phần
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
12

Bài tập 40:
Tính tích phân
2
1
1
2
1
1 d
x
x
I x e x
x
+
 
= + −
 
 
∫

Hướng dẫn:

Biến đổi:
2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
2 2 2
1 1
1 d d d
x x x
x x x
I x e x e x x e x I I
x x
+ + +
   
= + − = + − = +
   
   
∫ ∫ ∫

Tính
2
1
1
1
2
d
x
x

I e x
+
=
∫
. Đặt
1 1
2
1
1
d d
d d chän
x x
x x
u e u e x
x
x v v x
+ +

 
= ⇒ = −

 

 

= ⇒ =


Lúc đó:
2

2
1 1
5
2
1 2
1
1
2
2
1 3
d
2
x x
x x
I xe x e x e I
x
+ +
 
= − − = −
 
 
∫

Vậy
5 5
2 2
2 2
3 3
2 2
I e I I e

 
= − + =
 
 
.
Bài tập 41:
Tính tích phân
( )
ln 5
ln 2
10 1 1
d
x x
x
I
e e
−
=
− −
∫

Hướng dẫn:

Biến đổi
( ) ( )
ln 5 ln 5
ln 2 ln 2
10 1 1 10 1
d d
x

x x x x
x e x
I
e e e e
−
= =
− − − −
∫ ∫

Đặt
2
1 1 2
d d
x x x
t e t e t t e x
= − ⇔ = − ⇔ =
.
Suy ra:
( )
2
2 2
2
2
1 1
1
2 2 1 3 1 1 1 2 1 5
ln ln ln ln
9 3 3 3 5 3 4 3 2
9
d d

t x x t
I
t t
t t
−
= = = − = − + =
− +
−
∫ ∫
.
Bài tập 42:
Tính tích phân
4
0
4
4 3sin 2
cos
d
x
I x
x
 
−
 
 
=
−
∫
π
π

Hướng dẫn:

Ta có:
4 4
0 0
1 sin cos
4
4 3sin 2 4 3sin 2
2
cos
d d
x
x x
I x x
x x
 
−
 
+
 
= =
− −
∫ ∫
π π
π

Đặt
(
)

sin cos sin cos
d d
t x x t x x x
= − ⇒ = +

và
2 2
1 sin 2 sin 2 1
t x x t
= − ⇒ = −

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
13

Lúc đó:
( )
0 0
2
2
1 1
1 1
3 1
4 3 1
2 2
d d
t t
I
t
t

− −
= =
+
− −
∫ ∫
. Đặt
1
tan
3
t u
=

Bài tập 43:
Tính tích phân
2 2
3
2 2
4
sin 3 cos 3
sin cos
d
x x
I x
x x
 
= −
 
 
∫
π

π

Hướng dẫn:

Biến đổi:
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
sin 3 cos sin cos3 sin3 cos sin cos3
sin 3 cos 3
sin cos sin .cos
x x x x x x x x
x x
x x x x
− +
− =

2
4sin 2 sin 4
8cos2
sin 2
x x
x
x
= =

Lúc đó:

3
3
4
4
8cos2 4sin 2 2 3 4.
dI x x x
= = = −
∫
π
π
π
π

Bài tập 44:
Tính tích phân
2
1
2009
ln
d
e
x
I x x
x
+
=
∫

Hướng dẫn:

Đặt
2
2
d d
t x t x t t x
= ⇒ = ⇒ =

( )
( )
2
2
2
1 1 1
2009 2009
ln ln 2 2009 ln
d d d
e e e
x t
I x x t t t t t t
t
x
+ +
⇒ = = = +
∫ ∫ ∫

Tiếp tục bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài tập 45:
Tìm nguyên hàm:
3
3

4
2012
d
x x x
x
x
− +
∫

Hướng dẫn:

3
3
3
2
4 3 3
1
1
2012
2012
d d d
x x x
x
x x x
x x x
−
− +
= +
∫ ∫ ∫

Tìm
( )
3
2
1
3
1
1
d
x
F x x
x
−
=
∫
. Đặt
3 2 2
3
2 2 3 3
1 1 2d d 3
1 1 3 d d
2
x x
t t t t t t
x x x x
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇔ = −

( )
4

3 4
3
1 1 1
2
3 3 3 1
d 1
2 8 8
F x t t t C C
x
− − −
 
= = + = − +
 
 
∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
14

Tìm
( )
2 2
3 2
2012d 1006x
F x C
x x
−
= = +
∫

Do vậy
4
3
3
3
4 2 2
2012
3 1 1006
d 1
8
x x x
x C
x x x
− +
−
 
= − − +
 
 
∫

Lưu ý
: Nếu HS làm như sau thì sai
( )
1
3
2
3
1

3 2 2
1
1
1 1 1
d 1 d 1
2
x
F x x
x x x
−
   
= = − − −
   
   
∫ ∫

Bài tập 46:
Tìm nguyên hàm:
a)
4sin 2 .cos
d
cos4 4cos2 5
x x
x
x x
+ −
∫
b)
(
)

2 2
ln 1 d
x x x
+
∫

c)
(
)
(
)
2 2
3cot 2 cos sin cos sin
d
2cos4 1
x x x x x x x
x
x
− + −
+
∫

Hướng dẫn:

Bài tập 47:
Tính tích phân a)
( )
4
0
sin 2 .cos

1 sin 2
x
x x x
I x
e x
π
−
=
+
∫
d
b)
4
4
sin 2 cos 2
sin cos 1
x x
I x
x x
π
π
−
+
=
+ +
∫
d

Hướng dẫn:

b)
Cách 1:
Ta có
4 4
4 4
sin 2 cos2
sin cos 1 sin cos 1
x x
I x x A B
x x x x
π π
π π
− −
= + = +
+ + + +
∫ ∫
d d
.
+ Tính
4
4
sin 2
sin cos 1
x
A x
x x
π
π
−
=

+ +
∫
d

Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
sin 2 sin 2 1 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1
x x x x x x x x
= + − = + − = + + + −

Suy ra:
( )
4
4
sin cos 1 2
2
A x x x
π
π
π
−
= + − = −

∫
d .
+ Tính
4
4
cos2
sin cos 1
x
B x
x x
π
π
−
=
+ +
∫
d

Ta có:
(
)
(
)
cos2 cos sin cos sin
x x x x x
= + −
.
Đặt
(
)

sin cos 1 cos sin
t x x t x x x
= + + ⇒ = −
d d

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
15

Suy ra:
( )
2 1
1
1
2 ln 2 1
t
B x
t
+
−
= = − +
∫
d
. Vậy
( )
2 2 ln 2 1
2
I
π
= − − +

.
Cách 2: Kỹ thuật biến đổi
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2
4
4
4 4
4 4
4 4
4 4
cos sin 1 cos 2
sin cos 1
cos sin sin cos 1 1
sin cos 1
sin cos 1
cos sin
sin cos 1 cos sin
sin cos 1
sin cos sin cos ln sin cos
x x x
I x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x

x x x x x x
x x
x x x x x x x
π
π
π π
π π
π π
π π
−
− −
− −
+ − +
=
+ +
− + + −
= + − +
+ +
−
 
= + − + − −
 
+ +
 
= − − + + − +
∫
∫ ∫
∫ ∫
d
d d

d d
(
)
4
4
1 2 2 ln 2 1
2
π
π
π
−
 
+ = − − +
 

Bài tập 48:
Tính tích phân
(
)
( )
3 2 2
1
ln ln 3 1
ln
e
x x x x x
I x
x x x
+ + +
=

+
∫
d

Hướng dẫn:

Ta có:
( )
( ) ( )
3 2 2 2
1
1 1 1
1
ln ln 1
3 ln 3ln ln 3ln 1
ln ln 4 4
e e e
e
x
x x x x e
x
I x x x x x x x e
x x x x x
+
+
= + = + + = = + + +
+ +
∫ ∫ ∫
d d d
Bài tập 49:

Tính tích phân
4
0
cos sin
d
3 sin 2
x x
I x
x
π
+
=
+
∫

Hướng dẫn:

Ta có:
( )
4 4
2
0 0
cos sin cos sin
d d
3 sin 2
4 sin cos
x x x x
I x x
x
x x

π π
+ +
= =
+
− −
∫ ∫

Đặt
(
)
sin cos d cos sin d
t x x t x x x
= − ⇒ = +

Tính được kết quả:
.
6
I
π
=

Bài tập 50:
Tính tích phân
( )( )
3
4
1
d
1 2
I x

x x
−
−
=
+ +
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2
1 1
1 2 1 . 2 1 . 2
x x
x x x x x x
− + − − +
= =
+ + − + − + − + − +

Hoặc:
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
16

Đặt
(

)
(
)
1 2
t x x
= − + + − +

( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 2
1 2d d
d d
2
1 2 1 2
x x
t x
t x
t
x x x x
 
− + + − +
−
 
⇒ = − ⇒ =
 
− + − + + +
 

Suy ra:
( )( )

3 2 1
4
2 3
1 1 2 3
d 2 d 2ln .
2 1
1 2
I x x
t
x x
− +
−
+
+
= = − =
+
+ +
∫ ∫

Bài tập 51:
Tính tích phân
0 2
2
1
2
3 4 4
. 2 1 d
4 4 5
x x
I x x x

x x
−
 
− −
= + +
 
 
+ +
 
∫

Hướng dẫn:

Ta có:
( )
( )
( )
2
0 2 0 0
2 2
1 1 1
2 2 2
4 2 1
3 4 4
2 1 d d 2 1d
2 1 4 2 1 4
x
x x
I x x x x x x x
x x

− − −
 
− +
− −
= + + = + +
 
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫

+ Tính:
( )
( )
2
0
1
2
1
2
4 2 1
d
2 1 4
x
I x
x
−
− +
=
+ +

∫
. Đặt
2 1 2sin , ; d cos d
2 2
x t t x t t
π π
 
+ = ∈ − ⇒ =
 
 
.
Khi đó:
( )
2 2
6 6 6 6 6
1
2 2 2
2
0 0 0 0 0
2cos 2 1 sin 1 d d
d d d
4sin 4 2 sin 1 12 sin 1
2 sin 1
t t t t
I t t t
t t t
t
π π π π π
π
− −

= = = − + = − +
+ + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+ Tính:
6 6
2
2
2
0 0
d d(tan )
1
sin 1
2 tan
2
t t
I
t
t
π π
= =
+
 
+
 
 
∫ ∫
. Đặt:
2

tan tan
2
t y
= .
Suy ra:
( ) ( )
( )
2
2 2
d tan d tan 1 tan d
2 2
t y y y
= = +
, với
0 0,
6
t y t y
π
ϕ
= ⇒ = = ⇒ =
sao
cho
6
tan
3
ϕ
=
,
0
2

π
ϕ
 
< <
 
 

Khi đó:
2
0
2 2
d .
2 2
I y
ϕ
ϕ
= =
∫

+ Tính:
0
3
1
2
2 1d
I x x x
−
= +
∫
. Đặt:

2
2 1 2 1 d d
t x x t x t t
= + ⇒ = − ⇒ = .
Khi đó:
1 2
2
2
0
1 1
2 15
t
I t dt
−
= = −
∫

Vậy
1 2 3
1 2
15 12 2
I I I I
π
ϕ
= + + = − − + với
6
tan
3
ϕ
= , 0

2
π
ϕ
 
< <
 
 

Bài tập 52:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
2 ln
3
1
1
d
e x
x e
I x
x
+
=
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
2 ln ln
ln 3

3 3
1 1 1 1 1
1 1
d d d dln d
e x e x e e e
x
x e e
I x x x e x x x
x x x
−
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
17

Bài tập 53:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
2 2
1
ln 1
d
ln
e
x
I x

x x
−
=
−
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
2 2
2
1 1
2
ln 1 ln 1
d d
ln
ln
1
e e
x x
I x x
x x
x
x
x
− −
= =
−
 
 

−
 
 
 
 
 
∫ ∫

Đặt
2
ln 1 ln
d d
x x
t t x
x x
−
= ⇒ = .
Lúc đó:
1
1
2
0
0
d 1 1 1 1
ln ln
1 2 1 2 1
e
e
t t e
I

t t e
+ −
= − = − =
− − +
∫

Bài tập 54:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
2
2
0
1 3sin 2 2cos d
I x x x
π
= − +
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:

( )
2 2
2
0 0
sin 3 cos d sin 3 cos d
I x x x x x x
π π

= − = −
∫ ∫

Trong
0; : sin 3cos 0 .
2 3
x x x
π π
 
− = ⇔ =
 
 

Do đó:
( ) ( )
3
2
0
3
sin 3 cos d sin 3cos d 3 3
I x x x x x x
π
π
π
= − + − = −
∫ ∫
.
Bài tập 55:
(
THTT 2013

) Tính tích phân
1
0
d
1
x
x
I xe x
x
−
 
= +
 
+
 
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
1 1
1 2
0 0
d d .
1
x
x
I xe x x I I
x
−

= + = +
+
∫ ∫

* Tính
1 1
1
1
0
0 0
2
d d 1 .
x x x
I xe x xe e x
e
− − −
= = − + = −
∫ ∫

* Tính
1
2
0
d
1
x
I x
x
=
+

∫
.
Đặt
tan
x u
=
thì
( ) ( )
2
4 4 4
2
2
0 0 0
2tan
d tan 2 d tan 2 d 2 .
1 tan 2
u
I u u u
u
π π π
π
= = − = −
+
∫ ∫ ∫

Vậy
2
3 .
2
I

e
π
= − −

Bài tập 56:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
2
2
2
0
1
sin d
1
I x x x
x
π
 
= +
 
+
 
∫

Hướng dẫn:

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
18

Phân tích:
( )
2
2 2
2
2 2
2
0 0
0
1 sin 2 cos2
d sin d ln 1
1 2 4 4 4
x x x x x
I x x x x x
x
π π
π
 
= + = + + − −
 
+
 
∫ ∫


2 2
1 1
ln 1 .
2 4 16 4

π π
 
= + + +
 
 

Bài tập 57:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
( )
2
0
d
9 3 2
x
x x
e x
I
e e
π
=
− −
∫

Hướng dẫn:

Đặt
3 2
x

t e
= −

Khi đó:
2
2
2
1
1
d 1 5 1 9
2 ln ln .
25 5 5 5 14
t t
I
t t
−
= = =
− +
∫

Bài tập 57:
(
THTT 2013
) Tính tích phân
ln 6
0
.
3 3 2 7
d
x

x x
e
I x
e e
=
+ + +
∫

Hướng dẫn:

Đặt
3 .
x
e t
+ =
Khi đó
2
3 2 .
d d
x x
e t e x t t
= − ⇒ =
Đổi cận:
0 2,
x t
= ⇒ =

ln6 3.
x t
= ⇒ =

Suy ra
( )
3 3
2
2
2 2
2
2
2 3 1
3 2 3 7
d
d
t t t
I t
t t
t t
= =
+ +
+ − +
∫ ∫

3 3
2 2
1
2 2
( 1)(2 1) 2 1
1
d d
t 1

t
t t
t t t
 
= = −
 
+ + + +
 
∫ ∫
( ) ( )
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 2ln 4 2ln3 ln 7 ln5 ln .
63
t t= + − + = − − − =
Bài tập 58:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
( )
4
2
0
1
d
1 1 2
x
I x
x

+
=
+ +
∫

Hướng dẫn:

Đặt
( )
d
1 1 2 d d 1 d
1 2
x
t x t x t t
x
= + + ⇒ = ⇒ = −
+
và
2
2
2
t t
x
−
=

Đổi cận:
0 2; 4 4.
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

Ta có I =
(
)
(
)
2
4 4 4
3 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
1 1 3 4 2 1 4 2
d d 3 d
2 2 2
t t t
t t t
t t t t
t t t t
− + −
− + −
 
= = − + −
 
 
∫ ∫ ∫

=
2
1 2 1

3 4ln 2ln 2
2 2 4
t
t t
t
 
− + + = −
 
 
.
Bài tập 59:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
(
)
4 3
1
1 ln 2 1
d
2 ln
e
x x x
I x
x x
+ + +
=
+
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
(
)
4 3
3
1 1 1
1 ln 2 1
1 ln
d d d
2 ln 2 ln
e e e
x x x
x
I x x x x A B
x x x x
+ + +
+
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
19

4 4
3
1

1
1
d .
4 4
e
e
x e
A x x
−
= = =
∫

(
)
( )
( )
1
1 1
d 2 ln
1 ln 2
d ln 2 ln ln 2 ln 2 ln .
2 ln 2 ln 2
e e
e
x x
x e
B x x x e
x x x x
+
+ +

= = = + = + − =
+ +
∫ ∫

Vậy
4
1 2
ln
4 2
e e
I
− +
= +
.
Bài tập 60:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
(
)
( )
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
d
ln
e
x x x x

I x
x x x
+ + +
=
+
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
1 1
ln
d d
ln ln
e e
x x
x x
I x x
x x x x x x
+
+
= +
+ +

∫ ∫

(
)
( )
2
2
2
2
1 1
ln
1 1
d d 1 .
ln
e e
x x
A x x
x e
x x x
+
= = = −
+
∫ ∫

( )
( )
( )
( )
2
2 2 2

2
1
1 1 1
1
1
d ln
1 1
d d 1 .
ln 1
ln ln
ln
e
e e e
x x
x x
x
B x x
x x e
x x x x
x x x
+
+
+
= = = = − = −
+ +
+ +
+
∫ ∫ ∫

Vậy

1 1
2 .
1
I
e e
= − −
+

Tương tự:
(
Thi thử ĐH 2013
)
Tính tích phân:
(
)
(
)
( )
2
2
3
2
2
2 2 ln ln
d
2 ln
x x x x
I x
x x x
+ + +

=
+
∫

Bài tập 61:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
(
)
1
cos2 cos2 ln ln
d
1 ln
e
x x x x ex
I x
x x
+ +
=
+
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
I =
(
)
1 1 1

cos2 1 ln 1 ln
1 ln
d cos2 d d
1 ln 1 ln
e e e
x x x x
x
I x x x x
x x x x
+ + +
+
= = +
+ +
∫ ∫ ∫

Với
( )
1
1
1 1
os2 d sin 2 sin 2 sin 2 .
2 2
e
e
c x x x e= = −
∫

Với
( )
1

1
1 ln
d ln 1 ln ln 1 .
1 ln
e
e
x
x x x e
x x
+
= + = +
+
∫

Vậy
( ) ( )
1
sin 2 sin 2 ln 1 .
2
I e e
= − + +

Bài tập 61:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
( )
2
1
3

0
8 2 d
x
I x x e x
= −
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
( ) ( )
2 2
1 1
3 2
0 0
8 2 d 4 1 2 d
x x
I x x e x x e x x
= − = −
∫ ∫
.

Đặt
2
d 2 d
t x t x x
= ⇒ =
và
0 0; 1 1
x t x t

= ⇒ = = ⇒ =
.
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
20

Ta có
( )
1
0
4 1 d
t
I t e t
= −
∫

Đặt

4 1 4d
t t
u t du t
dv e dt v e
= − =
 
⇒
 
= =
 

Do đó

( )
1
1 1
0 0
0
4 1 4 d 3e 1 4e 5 .
t t t
I t e e t e
= − − = + − = −
∫

Bài tập 62:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
(
)
2
1
ln ln
d
ln 1
e
x x xe
I x
x x
+
=
+
∫

Hướng dẫn:

Phân tích:
1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1
d d d .
ln 1 ln 1
e e e
x x x x
I x x x
x x x x
+ + + +
= = +
+ +
∫ ∫ ∫

(
)
( )
1 1
1
d ln 1
1 ln ln 1 1 ln 1 .
ln 1
e
e e
x x
x e x x e e
x x

+
= + = − + + = − + +
+
∫

Bài tập 63:
(
Thi thử ĐH 2013
) Tính tích phân
2
2 2
2
1
ln ln 1
d
e
x x
I x
x
− +
=
∫

Hướng dẫn:

Đặt
d
ln d
x
t x t

x
= ⇒ =
Lúc đó:
2
2 2 1 2
1 2
0 0 0 1
1
2 1 1 1
d d d d
t t t t
t
t t t t
I t t t t I I
e e e e
−
− + − −
= = = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1
1
1
0
0 0 0 0
d d d d
t
t t t t
t t t t t
I te

e e e e
−
   
= − − = − − + −
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

Đặt:
d d
d d
d 1
d
t
t t
u t u t
u t
t
v v
v e
e e
−
= =
 
=

 
⇒ ⇔
  
= = −

= −

 
 

1 1 1 1
1 1
1
0 0
0 0 0 0
d d d d 1
.
t t
t t t t
t t t t t
I te te
e e e e e
− −
   
= − − = − − + − = =
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1
1 1 1 1

d d d d 2 1 1 2
.
t t
t t t t
t t t t t
I te te
e e e e e e e e
− −
     
= − = − + − = − = − − = −
     
     
∫ ∫ ∫ ∫

Vậy:

(
)
2 2
2 1
2 2
.
e
I
e e e
−
= − =