Phân dạng các bài toán tính thể tích khối chóp trường gặp ở lớp 12 trường thpt sơn thịnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT SƠN THỊNH

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Lĩnh vực: Toán)

TÊN SÁNG KIẾN
“PHÂN DẠNG CÁC BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
THƯỜNG GẶP Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT SƠN THỊNH”

Tác giả: Phạm Thị Tố Loan
Trình độ chun mơn: Đại học
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Sơn Thịnh, huyện Văn Chấn, tỉnh Yên Bái

Yên Bái, ngày 20 tháng 01 năm 2022


2
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: "Phân dạng các bài tốn tính thể tích khối chóp thường
gặp ở lớp 12 trường THPT Sơn Thịnh''.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho đối tượng học sinh khối 12
Trường THPT Sơn Thịnh
4. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 01 tháng 9 năm 2020 đến ngày 25 tháng 5 năm 2022.
5. Tác giả:
Họ và tên : Phạm Thị Tố Loan
Năm sinh: 12/09/1981
Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn

Chức vụ cơng tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái
Điện thoại: 0944218679
II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN:
Tên sáng kiến: "Phân dạng các bài tốn tính thể tích khối chóp thường
gặp ở lớp 12 trường THPT Sơn Thịnh''.
1. Tình trạng các giải pháp đã biết
* Mô tả biện pháp đã biết:
Trong chương trình tốn Trung học phổ thơng thì phân mơn Hình học là
một mơn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông, nhất là đối với học sinh
trường THPT Sơn Thịnh. Nhắc đến Hình học thì rất nhiều học sinh đã có chung
một câu trả lời là “Khó lắm em khơng làm được”, mặc dù có những bài rất dễ.
Do có tâm lí mặc định như vậy nên khi học Hình học sức ì của học sinh rất lớn.
Điều đó là một trở ngại khơng dễ vượt qua đối với người dạy.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có
bài tốn tính thể tích khối chóp là nội dung kiến thức rất quan trọng, tuy nhiên


3
sách giáo khoa Hình học 12 có nêu nội dung về “tính thể tích khối đa diện”,
phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật khơng hề đơn giản đối
với học sinh, phần bài tập đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa
phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu, nội dung trong sách
giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể và cũng đưa ra rất ít ví dụ cho
học sinh, điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học sinh khi làm bài tập tính
thể tích các khối chóp khác nhau, trong khi đó trường THPT Sơn Thịnh chất
lượng đầu vào thấp, học sinh khơng học được tốn, đặc biệt là phần hình học, từ
đó dẫn đến tâm lí học sinh có tư tưởng nản và e sợ khơng học.
Bài tốn tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài

kiểm tra giữa kỳ, kiểm tra cuối học kỳ, bài thi tốt nghiệp Trung học phổ thông
hàng năm. Phần lớn các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này,
vì các em lúng túng khi vẽ hình, khơng xác định được đường cao của khối chóp
nên khơng lập được cơng thức tính thể tích khối chóp. Do kỹ năng giải tốn hình
học khơng gian nói chung và giải bài tốn liên quan đến tính thể tích khối chóp
nói riêng cịn nhiều hạn chế nên các em thường bị mất điểm khi gặp những câu
hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng
năm.
Chính vì những lý do nêu trên và từ thực tế giảng dạy, ngay từ đầu năm học
2020-2021, tôi chọn viết và đưa ra giải pháp là: "Phân dạng các bài tốn tính
thể tích khối chóp thường gặp ở lớp 12 trường THPT Sơn Thịnh''.
Tơi đã tìm tịi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng tốn tính thể tích khối
chóp, để cho học sinh dễ hiểu, dễ tiếp nhận, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập từ
dễ đến khó và thực hiện các bước thật cụ thể trong từng bài để hướng dẫn các
em tính thể tích khối chóp, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng hơn các bài tốn tính
thể tích khối chóp, từ đó học sinh có thể tự mình giải một số bài tập nhỏ, các em
cảm thấy mình cũng có thể học được phần này từ đó các em sẽ thích thú, chủ
động, tích cực học tập hơn và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi.


4
Với đề tài này, tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 của trường
THPT Sơn Thịnh tự tin hơn khi gặp bài tốn tính thể tích khối chóp, từ đó đạt
kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá, góp phần nâng cao chất
lượng mơn học nói riêng và chất lượng của nhà trường nói chung.
* Các giải pháp đã thực hiện tại cơ sở
- Chữa bài tập tính thể tích khối chóp trong các giờ chính khóa, giờ tự chọn,
trong buổi ơn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.
+ Ưu điểm: Thông qua các dạng bài tập, các em đã dần chủ động trong việc
đọc và phân tích nội dung đề bài, biết xác định đường cao của khối chóp, biết

dựng hình và trình bày bài tốn tính thể tích khối chóp dạng cơ bản. Bằng các
bước thực hiện cụ thể, các em đã bớt lúng túng khi sắp xếp ý tưởng để trình bày
bài giải, giúp các em từng bước phát triển khả năng lập luận một cách có hệ
thống trước một vấn đề được đặt ra.
+ Hạn chế: Bài tốn tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra một số
khó khăn trong q trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu
kiến thức của học sinh. Tuy nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố
có liên quan của bài tốn, biết gợi mở thì sẽ phát huy được tính tích cực của học
sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tốn tính thể tích khối chóp
*Khảo sát thực trạng:
SKKN này đã được áp dụng tại lớp 12C năm học 2020 – 2021 và lớp 12C
năm học 2021 – 2022 của trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái.
Kiểm tra trước tác động: Trên lớp 12B1 năm học 2020-2021 (lớp đối
chứng).
Tôi đã tiến hành kiểm tra lớp 12B1 (lớp đối chứng) sau khi học xong bài
thể tích khối đa diện.
Bài tốn: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Mặt bên
(SAB) hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài giải:


5
Gọi O là tâm của đáy, ta có: SO  ( ABC )
 SO là chiều cao khối chóp

Gọi H là trung điểm của AB thì
CH  AB
 SHO  600

 SH  AB

1
3

1 a 3 a 3

3 2
6

Ta có HO  CH  
Trong SHO có
SO  HO  tan 600 

a 3
a
 3
6
2

Đáy là tam giác ABC đều cạnh a có diện tích
1
a2 3
 CH  AB 
2
4

SABC

Thể

tích

khối

chóp

S.ABC

là

1
1 a a 2 3 a3 3
VS . ABC  SO  S ABC   

(đvtt).
3
3 2 4
24

Kết quả cụ thể của lớp 12B1
Lớp

Kết quả kiểm tra 15’

SHS
Giỏi

12B1

37

Khá

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

0

0%

7

19%

16

43,2%

14

37,8%

Nhận xét:
Qua kết quả kiểm tra cho thấy, số học sinh đạt khá giỏi là rất ít và chất
lượng làm bài rất thấp, không tương xứng với tỉ lệ của học lực, không đảm bảo
yêu cầu cần đạt, số học sinh đạt loại khá giỏi chiếm tỉ lệ ít (19%), trong khi đó
học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ rất cao ( 37,8%). Nguyên nhân là do các em chưa
biết cách nhận dạng đề, không nắm bắt được phương pháp giải, chưa hiểu rõ
bản chất bài tốn, yếu kỹ năng phân tích bài toán để xác định các dữ kiện mà đề
bài đã cho, các em nắm chưa rõ một số khái niệm trong hình học, xác định sai
góc giữa các đối tượng giữa mặt bên và mặt đáy, hay mắc phải sai lầm trong


6
việc tính diện tích mặt đáy, khơng xác định được chiều cao của hình chóp hoặc
có nhưng lại khơng tính ra được kết quả. Có một số em xác định được cách giải
nhưng trình bày bài khơng chặt chẽ, chỉ một số ít em làm ra kết quả nhưng rất
mất thời gian khi làm bài. Vì vậy, cần có phương pháp hỗ trợ để học sinh hiểu
bài và vận dụng kiến thức tốt hơn trong chủ đề này.
Từ thực trạng trên tôi đã nghiên cứu và chọn viết, thực hiện đề tài "Phân
dạng các bài tốn tính thể tích khối chóp thường gặp ở lớp 12 trường THPT
Sơn Thịnh''.
2. Nội dung của giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến :
a) Mục đích của giải pháp: Giúp học sinh khối 12 của trường THPT Sơn

Thịnh giải được các dạng bài về tính thể tích khối chóp được coi là khá quan
trọng trong chương trình tốn THPT, từ đó nâng cao chất lượng học tập, cải
thiện điểm số mơn tốn trong các kì thi. Trong giải pháp, tơi nêu ra phương pháp
giải, phân dạng cụ thể và hướng dẫn giải từng dạng bài. Giải pháp được thực
hiện trong các tiết bài tập, tiết ơn tập chương I - Hình học 12, tiết tự chọn và
trong chủ đề ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia phần thể tích khối đa diện.
b) Nội dung các giải pháp: Nội dung chính của sáng kiến tập trung vào đề
xuất phân dạng các dạng bài tập tính thể tích khối chóp thường gặp.
Để đưa ra được các giải pháp, sau đây tôi đưa ra cách thức thực hiện gồ m
hai phầ n:
Phầ n thứ nhất : Hê ̣ thớ ng hóa các kiến thức cũ có liên quan đến bài tốn
tính thể tích khối chóp, chẳng hạn như :
 Diện tích của một số đa giác phẳng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
 Độ dài đường cao của tam giác đều, đường chéo hình vng.
 Cách xác định và tính số đo của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa
hai mặt phẳng.
Phầ n thứ hai: Thực hiện bài tốn tính thể tích khối chóp
Tơi chia làm các dạng tốn như sau:
 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy hoặc có hai mặt bên vng góc với


7
đáy, có các loại cơ bản như: đáy là tam giác đều, đáy là tam giác vng, đáy là
hình vng, đáy là hình chữ nhật...
 Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy, có các loại cơ bản như: đáy là tam
giác đều, đáy là tam giác vuông, đáy là hình vng, đáy là hình chữ nhật...
 Khối chóp đều: có các loại cơ bản như : cho biết cạnh đáy và cạnh bên; cho
biết cạnh đáy, góc giữa mặt bên và đáy; cho biết cạnh đáy, góc giữa cạnh bên và
đáy.
 Khối chóp đã biết chân đường cao (hay hình chiếu vng góc của đỉnh trên

mặt đáy).
A. PHẦN THỨ NHẤT
1. Hệ thống kiến thức cơ bản
1.1. Diện tích đa giác
a) Tam giác
Cho tam giác ABC có a  BC; b  CA; c  AB và ha , hb , hc lần lượt là các
đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C.

Một số các cơng thức tính diện tích tam giác:
1
2

1
2

1
2

 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc
1
2

1
2

1
2

 S ABC  bc sin A  ac sin B  ab sin C
 S ABC 

abc
( R là bán kiń h đường tròn ngoa ̣i tiế p ABC )
4R

 S ABC  p.r ( r là bán kính đường tròn nô ̣i tiếp ABC )
 S ABC  p( p  a)( p  b)( p  c)

với: p 

abc
2


8
*) Các tam giác đặc biệt:
) Tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A

*) Hệ thức lượng trong tam giác vng:
 Định lí Pitago: BC 2  AB 2  AC 2
 BA2  BH .BC, CA2  CH .CB
 AB  AC  BC  AH
 AH 2  BH .CH


1
1
1



2
2
AH
AB
AC 2

1
2

 Diện tích tam giác vng ABC: S ABC  AB  AC
*) Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông:
 sin B  cos C 

AC
BC

 sin C  cos B 

AB
BC

 tan B  cot C 

AC
AB

 tan C  cot B 

AB
AC

) Tam giác cân: Cho tam giác ABC cân tại A

Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC
 AH  BH  tan B  CH  tan C
1
2

 Diện tích tam giác ABC: SABC  AH  BC
) Tam giác đều: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a


9

Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC
 Độ dài đường cao: AH 

a 3
2

1
2

 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH  BC 

a2 3
4

b. Tứ giác
*) Hình vng

 Diện tích hình vng ABCD cạnh bằng a là: S ABCD  a 2
 Độ dài đường chéo hình vng ABCD cạnh bằng a: AC  BD  a 2
*) Hình chữ nhật

 Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S ABCD  AB  BC
 Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD là: AC  BD  AB2  BC 2
*) Hình thoi


10

1
2

 Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD  AC  BD
 Hai đường chéo hình thoi ABCD: AC  BD
*) Hình thang: Cho hình thang ABCD có AB / /CD

1
2

 Diện tích hình thang ABCD là: S ABCD  AH ( AB  DC )
 AH  DC
 AH là đường cao của hình thang ABCD
 H  DC

 Dựng: 

1.2. Một số kiến thức hình học khơng gian thường vận dụng

a) Hình chóp đều
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với
tâm của đáy.
b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và đường
thẳng d’ là hình chiếu vng góc của d trên mặt phẳng (P).
c) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng và cùng vng góc với giao tuyến tại một điểm.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
1.3. Thể tích khối chóp: Cho khối chóp S.ABC


11

1
3

Cơng thức tính thể tích khối chóp: V  Bh
Trong đó:  B là diện tích đa giác đáy
 h là chiều cao của hình chóp
1
3

Như vậy để làm được bài tốn tính thể tích khối chóp theo cơng thức V  B  h
thì ta cần phải tính được 2 yếu tố:
Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy
Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy ta
cần phải xác định chính xác chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp.

B. PHẦN THỨ HAI
Thực hiện bài tốn tính thể tích khối chóp
*) Để giải bài tốn tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp
+ Bước 2. Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ
+ Bước 3. Xác định và tính chiều cao h, diện tích đa giác đáy B
1
3

+ Bước 4. Tính thể tích khối chóp theo cơng thức V  B  h
*) Các dạng bài tốn tính thể tích khối chóp
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy hoặc có hai mặt bên
vng góc với đáy.
Phương pháp chung:
- Xác định chiều cao h của khối chóp (chính là cạnh bên vng góc với
đáy hoặc chiều cao là giao tuyến của 2 mặt vng góc với đáy ).


12
- Tính chiều cao h và diện tích đáy B.
1
3

- Từ đó và áp dụng cơng thức V  Bh để tính thể tích khối chóp.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB = a,

AC = 2a. Cạnh bên

SA

vng góc với mặt đáy và SA = a. Tính thể tích khối

chóp S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải: Để giải bài tốn này thì học sinh cần:

 Xác định chiều cao của khối chóp: SA vng góc với mặt đáy
 SA là chiều cao của khối chóp

 Tính độ dài cạnh góc vng BC ( theo định lý Pitago), để từ đó tính diện tích
đáy là diện tích của tam giác ABC vng tại B .
Lời giải.

Vì SA  ( ABC ) nên chiều cao của khối chóp là h = SA = a.
AC 2 - AB 2 =

Tam giác ABC vng tại B, có BC =
Diện tích đáy B = SD ABC =

4 a 2 - a 2 = a 3.

1
1
a2 3
AB.BC = .a.a 3 =
.
2
2
2

1
3

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = SD ABC .SA =

a3 3
.
6

(đvtt)

*) Nhận xét: Với cách thực hiện như bài toán trên thì học sinh sẽ làm quen dần
với cách nghĩ, cách làm khi gặp bài tốn tính thể tích khối chóp. Tiếp tục giáo
viên hướng dẫn học sinh làm các bài tốn sau:
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy. Biết AC  a 2, SB  a 3 . Tính thể tích khối chóp


13

S.ABC theo a.
*) Định hướng cách giải: Học sinh cần:

 Xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
(SA vng góc với mặt đáy  SA là đường cao của khối chóp)

 Tính độ dài cạnh góc vng  AB  BC  để tính diện tích đáy (là diện tích tam
giác ABC vng cân tại B).
Lời giải.

Vì SA  ( ABC ) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
Tam giác ABC vng cân tại B, ta có 2 AB 2  AC 2  2a 2  AB  a
SA   ABC   SA  AB nên tam giác SAB vng tại A, có

SA  SB2  AB2  3a2  a2  a 2
1
2

Diện tích tam giác ABC: SABC  AB 2 
Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC

a2
2

1
a3 2
 SABC .SA 
3
6

(đvtt).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a ,
cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Biết SB  a 5 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải:
Học sinh cần xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
(SA vng góc với mặt đáy  SA là đường cao của khối chóp, tính SA theo
định lý Pytago)

 Tính diện tích đáy là diện tích tam giác đều ABC có cạnh 2a


14
Lời giải

Vì SA  ( ABC ) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
SA   ABC   SA  AB , tam giác SAB vuông tại A

Ta có SA  SB2  AB2  5a2  4a2  a
Trong tam giác đều ABC cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BC
 AM  BC


2a 3
a 3
 AM 

2
1
2

Diện tích tam giác ABC: S ABC  AM .BC  a 2 3
1
3

Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.SABC 
Bài 4. Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy

ABCD

a3 3
(đvtt).
3

là hình chữ nhật, có AB = a,

BC = 2a. Hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vng góc với mặt đáy (ABCD ),

cạnh SA = a 15. Tính thể tích của khối chóp theo a.
*) Định hướng cách giải:
Học sinh cần xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
(Vì hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vng góc với mặt đáy (ABCD), nên giao
tuyến SA chính là chiều cao khối chóp)

 Tính diện tích đáy là diện tích tam giác đều ABC có cạnh 2a
Lời giải.


15

 SAB    SAD   SA

Ta có :  SAB    ABCD   SA   ABCD 

 SAD    ABCD 

Do đó chiều cao khối chóp là SA = a 15.
Diện tích hình chữ nhật là S ABCD = AB.BC = 2a 2 .
1
3

Vậy thể tích khối chóp là VS . ABCD = S ABCD .SA =

2a 3 15
(đvtt).
3

Nhận xét: Bài tập 4 có dạng hai mặt bên cùng vng góc với mặt đáy
Ta sử dụng định lý : Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d và
cùng vng góc với mặt phẳng (R) thì d   R 
Nên hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vng góc với (ABCD), suy ra giao tuyến
là SA .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hai
mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt
đáy một góc bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
*) Định hướng cách giải:
Học sinh cần

 Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của
nó lên mp(ABC) .

 Xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
( chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng vng góc với đáy)

 Tính diện tích đáy là diện tích tam giác ABC đều cạnh a

Lời giải.


16

Vì hai mặt bên (SAB ) và (SAC ) cùng vng góc với (ABC ), suy ra giao tuyến
SA ^ (ABC ). Do đó chiều cao khối chóp là SA .
SA   ABC   AB là hình chiếu vng góc của SB trên (ABC)


góc giữa SB và (ABC) là SBA  300

Tam giác SAB vuông tại A, ta có SA  AB.tan 300 

a
3

Diện tích tam giác đều ABC có cạnh bằng a là S ABC
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC

a2 3

4

1
a3
 SA.S ABC 
(đvtt).
3
12

Nhận xét: Tương tự bài tập 4, nhưng cho thêm góc giữa SB và (ABC) bằng 300 ,
yêu cầu học sinh phải biết tìm hình chiếu của SB lên mp(ABC) để xác định góc
giữa SB và (ABC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B,
AC  a với, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt phẳng

(ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải:
Học sinh cần:

 Xác định hình chiếu vng góc của SB trên (ABC)
 góc

giữa SB và mặt phẳng (ABC )là góc giữa SB với hình chiếu của nó

 Xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
(SA vng góc với mặt đáy  SA là đường cao của khối chóp)


17

 Tính dịện tích đáy là diện tích tam giác ABC vng cân tại B
Lời giải:

Vì SA  ( ABC ) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
SA   ABC   AB là hình chiếu vng góc của SB trên (ABC)
 góc giữa SB với (ABC) là SBA  600

Tam giác ABC vuông cân tại B, có 2 AB 2  AC 2  a 2  AB 

Tam giác SAB vng tại A, có tan SBA  tan 600 
Diện tích tam giác ABC là SABC  1 AB 2  a
2

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC

a
2

SA
a 3
 SA  AB.tan 600 
AB
2

2

4

1
a3 6
 SA.S ABC 
(đvtt).
3
24

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a ,
cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc
600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

*) Định hướng cách giải:

 Xác định hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng (ABCD)


(góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD))

 Xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
 Tính dịện tích đáy là diện tích hình vng ABCD vng.
Lời giải.


18

Vì SA  ( ABCD) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 2a  AC  2 2a
SA   ABCD   AC là hình chiếu vng góc của SC trên (ABCD)
 góc

giữa SC và (ABCD) là SCA  600

Tam giác SAC vng tại A, có tan SCA  tan 600 

SA
 SA  AC.tan 600  2a 6
AC

Diện tích hình vng ABCD là S ABCD  4a 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD

1
8a 3 6
 SA.S ABCD 
(đvtt).
3
3

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D, AD  CD  a, AB  3a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC
tạo với đáy một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
*) Định hướng cách giải:

 SA vng góc với mặt đáy



SA là chiều cao của khối chóp

Cần xác định hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng (ABCD)

 Diện tích đáy là diện tích của hình thang ABCD vng tại A và D nên ta tính
diện tích theo CT: S ABCD 
Lời giải.

1
AD  AB  DC  .
2


19

Vì SA  ( ABCD) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
SA   ABCD   AC là hình chiếu vng góc của SC trên (ABCD)


góc giữa SC và (ABCD) là SCA  450

ADC vuông

tại D  AC  AD2  DC 2  a 2

SAC vuông

tại A và SCA  450  SA  AC  a 2
1
2

Diện tích hình thang vng ABCD là S ABCD  AD  AB  CD   2a 2
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD  SA.S ABCD 

2a 3 2
(đvtt).
3

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh
bên SA vng góc với mặt đáy. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc
600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .

*) Định hướng cách giải:

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) :
Xác định giao tuyến d của (SBC) và (ABC)
Tìm trong (SBC) đường thẳng a vng góc với d và trong (ABC) đường thẳng b
vng góc với d
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng a
và b.

 Đáy là tam giác đều, dễ dàng tính được diện tích đáy.
Lời giải.

Vì SA  ( ABC ) nên chiều cao của khối chóp là h = SA
Gọi M là trung điểm BC, ta có


20
 BC  SA
 BC   SAM   BC  SM . Do đó

 BC  AM

 SBC    ABC   BC

0
 SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SMA  60

 AM   ABC  , AM  BC

Tam giác SAM vng tại A, có tan SMA  tan 600 

Diện tích tam giác đều ABC là SABC 

SA
3a
 SA  AM .tan 600 
AM
2

a2 3
4

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC  SA.S ABC 

a3 3
(đvtt).
8

Nhận xét: Dạng có mặt bên tạo với mặt đáy một góc cho trước.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a ,
cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Mặt bên (SCD) tạo với mặt đáy một
góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
*) Định hướng cách giải:

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600
 Xác định chiều cao của khối chóp và tính độ dài chiều cao đó
 Tính diện tích đáy là diện tích của hình vng ABCD cạnh a
Lời giải.

Vì SA   ABCD  nên chiều cao của khối chóp là h = SA
CD  SA
 CD   SAD   SD  CD
CD  AD

Ta có: 

 SCD    ABCD   CD

 SD   SCD  , SD  CD  góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là

 AD   ABCD  , AD  CD


21

SDA  600

Tam giác SAD vng tại A, có tan SDA  tan 600 

SA
 SA  AD.tan 600  a 3
AD

Diện tích hình vng ABCD là S ABCD  a 2
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD  SA.S ABCD 

a3 3
(đvtt).
3

Nhận xét: Dạng tương tự bài 9, chỉ khác đáy là hình vng.
2. Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
Phương pháp chung :
- Xác định chiều cao của khối chóp: Đường cao của mặt bên đó chính là
chiều cao của khối chóp.
- Tính chiều cao h và diện tích đáy B.
1
3

- Từ đó áp dụng cơng thức V  Bh để tính thể tích khối chóp.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, mặt
bên SBC là tam giác đều cạnh a , và mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải:

 Xác định chiều cao của khối chóp

 SBC    ABC  , do đó trong mặt phẳng (SBC) kẻ

SH  BC thì SH chính là chiều

cao của khối chóp.

 Sử dụng CT tính độ dài đường cao trong tam giác đều để
 Trong tam giác ABC, biết độ dài đường cao

1
2

tam giác theo công thức: SABC  a.ha
Lời giải.

ha

 SH

và cạnh đáy a , tính diện tích


22

 SH  BC
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung điểm của BC  
a 3
 SH 

2

 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC  . Chiều cao khối chóp là SH

 SH   SBC  , SH  BC

 AH  BC


ABC vng cân tại A, ta có: 
BC a
 AH  2  2

Diện tích tam giác ABC là SABC

1
a2
 AH .BC 
2
4
1
3

Thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC  SH .S ABC 

a3 3
(đvtt).
24

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A,
ABC  300 , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vng

góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải: Bài 12 tương tự bài 11

 Xác định chiều cao của khối chóp:

 SBC    ABC  , trong tam giác đều SBC gọi H là trung điểm của BC



chiều

cao của khối chóp là SH.

 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác ABC vuông tại A và ABC  300 , BC  a
(Sử dụng tỷ số lượng giác trong tam giác vng để tính AB, AC
đáy)
Lời giải.



tính diện tích


23

 SH  BC
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung điểm của BC  
a 3
 SH 

2

 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC  SH   ABC   SH là chiều cao khối chóp

 SH   SBC  , SH  BC

Tam giác ABC vng tại A, ta có:
sin ABC  sin 300 

AC
a
 AC  BC.sin 300 
BC
2

cos ABC  cos 300 

AB
a 3
 AB  BC.cos 300 
BC
2

1
2

Diện tích tam giác ABC là S ABC  AB. AC 

a2 3
8

1
3

Thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC  SH .S ABC 

a3
(đvtt),
16

Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , mặt
SAB là tam giác vuông cân tại S và mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng
(ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
*) Định hướng cách giải: Tương tự bài 12

  SAB    ABC  , trong tam giác cân SAB gọi H là trung điểm của AB
cao của khối chóp là SH.

 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vng để tính SH
 Đáy là tam giác đều, dễ dàng tính được diện tích đáy.
Lời giải.



chiều


24

Trong tam giác cân SAB , gọi H là trung điểm của AB  SH  AB
 SAB    ABC 

 SAB    ABC   AB  SH   ABC 

 SH   SAB  , SH  AB

Do

SAB

vuông cân tại S nên đường cao SH 

Diện tích tam giác đều ABC cạnh 2a là SABC
1
3

Thể tích khối chóp là VS . ABC  SABC  SH 
Bài 14. Cho hình chóp
SAB

cân tại

S

S.ABCD

có đáy

AB 2a

a
2
2

(2a) 2 3


 a2 3
4

a3 3
(đvtt).
3
ABCD

là hình vng cạnh

và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy,

a,

tam giác

SA = 2a.

Tính

thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
*) Định hướng cách giải: Tương tự bài 13

  SAB    ABCD , trong tam giác cân SAB gọi H là trung điểm của AB
cao của khối chóp là SH.

 Tính chiều cao khối chóp theo định lý Pytago
 Đáy là hình vng, dễ dàng tính được diện tích đáy.
Lời giải.



chiều


25

Trong tam giác cân SAB, gọi H là trung điểm của

AB Þ SH ^ AB.

 SAB    ABCD 

 SAB    ABCD   AB  SH   ABCD 

 SH   SAB  , SH  AB
2

ỉAB ư
a 15
.
Chiều cao khối chóp là SH = SA 2 - HA 2 = SA 2 - ỗỗỗ ữữữ =
ố 2 ứ

2

Din tớch hỡnh vuụng ABCD là S ABCD  a 2
1
3

1 a 15 2 a 3 15
.a 
(đvtt).
3 2
6

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD  SH .S ABCD  .

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
AC  2a, BD  4a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

*) Định hướng cách giải: Tương tự bài 14

  SAB    ABCD , trong tam giác đều SAB gọi H là trung điểm của AB



chiều

cao của khối chóp là SH.

 Đáy là hình thoi, biết độ dài hai đường chéo, dễ dàng tính được diện tích đáy
1
2

theo CT : S ABCD  AC.BD  4a 2
Lời giải.