sai phân dạng và sự phân dạng của phương trình sai phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC







ĐỖ THỊ PHƯỢNG





SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





ĐỖ THỊ PHƯỢNG






SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN MINH KHOA

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu 1
1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN 2
1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Áp dụng tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số . . . . 8
2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH 10
2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10
2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất
với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không
thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải
là đa thức của n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng
với vế phải là hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng
với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa . . . . . . 14
2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng
với vế phải là hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng
dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải . . . . . . 16
i
2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng
giải bằng phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . 17
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số 18
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp
hai hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng số 35
2.4 Một số ứng dụng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân . . . . . . . 38
2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức . . . . . . . . 40
2.5 Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic . . . . . . . . 41
Kết Luận 44
Tài liệu tham khảo 45
ii
MỞ ĐẦU
Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình sai phân đã
được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Nhiều
bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,quản lý xí nghiệp,
điều tra dân số, ) được mô tả bởi phương trình sai phân. Các nghiên cứu
định tính, các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân đã được nghiên
cứu khá đầy đủ, nhất là các phương trình sai phân tuyến tính trong không
gian hữu hạn chiều. Nhưng để tạo lập được cách tiếp cận phù hợp, hiệu quả,
có tính hệ thống cho chương trình giảng dạy nâng cao hướng đến các kì thi
olympic quốc gia và quốc tế đối với học sinh phổ thông, ở đây trong luận
văn này tác giả trình bày một số nghiên cứu định tính và phân dạng phương
trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số. Luận văn gồm hai chương:

Chương 1. Trình bày một số khái niệm về sai phân
Chương 2. Phân dạng các phương trình sai phân tuyến tính
Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tác giả đã cố gắng chứng
minh chi tiết các tính chất, giải tường minh các ví dụ miêu tả. Đặc biệt làm
sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các ví dụ được tính toán cẩn thận, đầy
đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài
liệu trích dẫn.
Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa
Khoa học cơ bản, ĐH Điện Lực, người thầy đã hướng dẫn tận tâm tác giả
hoàn thành luận văn này. Xin được cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH Thái
Nguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt
tình của các thầy cô. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động
viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 8, 2014
Tác giả
Đỗ Thị Phượng
1
Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI
PHÂN
Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới sai phân trong chương
này được trích theo tài liệu [1], [4].
1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân
1.1.1 Định nghĩa sai phân
a. Định nghĩa sai phân bậc một
Ta gọi sai phân hữu hạn bậc một của hàm số x(n) = x
n
với n ∈ N là
hiệu
∆x

n
= x
n+1
− x
n
.
Ví dụ 1.1. Hàm x
n
cho ở dạng bảng
n 0 1 2 3 4
x
n
1 2 4 7 5
Có các sai phân hữu hạn bậc một là ∆x
0
= x
1
− x
0
= 2 − 1 = 1;
∆x
1
= x
2
− x
1
= 2; ∆x
2
= x
3

− x
2
= 3; ∆x
3
= x
4
− x
3
= −2.
b. Định nghĩa sai phân cấp cao
Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x
n
là sai phân của sai phân bậc một của
x
n
và nói chung sai phân cấp k của hàm x
n
là sai phân của sai phân
cấp k − 1 của nó.
Từ đó ta có các công thức của sai phân cấp cao như sau.
2
• Sai phân cấp 2 của hàm x
n
là
∆
2
x
n
= ∆(∆x
n

) = ∆x
n+1
− ∆x
n
= x
n+2
− x
n+1
− (x
n+1
− x
n
)
= x
n+2
− 2x
n+1
+ x
n
• Sai phân cấp 3 của hàm số x
n
là
∆
3
x
n
= ∆(∆
2
x
n

) = ∆
2
x
n+1
− ∆
2
x
n
= x
n+3
− 2x
n+2
+ x
n+1
− (x
n+2
− 2x
n+1
+ x
n
)
= x
n+3
− 3x
n+2
+ 3x
n+1
− x
n
.

• Tổng quát sai phân cấp k của x
n
là
∆
k
x
n
= ∆(∆
k−1
x
n
)= ∆
k−1
x
n+1
− ∆
k−1
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i

.
Ví dụ 1.2. Xét hàm x
n
trong ví dụ 1.1 ta có:
∆
2
x
0
= x
2
− 2x
1
+ x
0
= 1; ∆
2
x
1
= x
3
− 2x
2
+ x
1
= 1;
∆
2
x
2
= x

4
− 2x
3
+ x
2
= −5; ∆
3
x
0
= x
3
− 3x
2
+ 3x
1
− x
0
= 0;
∆
3
x
1
= x
4
− 3x
3
+ 3x
2
− x
1

= 6;
∆
4
x
0
= x
4
− 4x
3
+ x
2
− 4x
1
+ x
0
= −7.
1.1.2 Tính chất của sai phân
Tính chất 1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị
hàm số theo công thức
∆
k
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C

i
k
x
n+k−i.
(1.1)
Chứng minh. Ta chứng minh công thức (1.1) theo phương pháp qui
nạp.
Với k = 1 ta có: ∆x
n
= x
n+1
− x
n
= C
0
1
x
n+1
− C
1
1
x
n
, công thức (1.1)
đúng.
Giả sử (1.1) đúng với k tức là ta có giả thiết qui nạp
∆
k
x
n

=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
.
3
Ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là:
∆
k+1
x
n
= ∆
k
x
n+1
−∆
k
x
n
=
k

i=0

(−1)
i
C
i
k
x
n+1+k−i
−
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
.
Ở tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i

−1, sau đó thay i

= i ta nhận được
k

i=0
(−1)
i
C

i
k
x
n+k−i
=
k+1

i

=1
(−1)
i

−1
C
i

−1
k
x
n+k+1−i

.
Do đó ta nhận được:
∆
k+1
x
n
=
k


i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k+1−i
+
k+1

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
=
k

i=1
(−1)
i
C
i
k
x

n+k+1−i
+ x
n+k+1
+
k

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
+(−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
(C
i
k
+ C
i−1
k

)x
n+k+1−i
+ x
n+k+1
+ (−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
C
i
k+1
x
n+k+1−i
+ x
n+k+1
+ (−1)
k+1
x
n
=
k+1

i=0
(−1)

i
C
i
k+1
x
n+k+1−i
.
Vậy công thức (1.1) đúng với k + 1, theo nguyên lý qui nạp công thức
(1.1) đúng với mọi giá trị k ∈ N.
Tính chất 1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến
tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
∆
k
(αx
n
+ βy
n
) =
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(αx
n+k+i
+ βy

n+k−i
)
=α
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
+ β
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
y
n+k−i
=α∆
k
x
n
+ β∆
k

y
n
.
Tính chất 1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
4
1. Đa thức bậc m − k nếu k < m.
2. Hằng số, nếu k = m.
3. Bằng 0 nếu k > m.
Chứng minh. Do tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức P
m
(n) = n
m
là đủ.
1. Ta có
∆n
m
= (n + 1)
m
− n
m
= C
0
m
+ C
1
m
n + + C
m
m

n
m
− n
m
= C
0
m
+ C
1
m
n + + C
m−1
m
n
m−1
= P
m−1
(n).
Giả sử tính chất này đúng với k = s < m ta chứng minh nó đúng
với k = s + 1 < m.
Ta có ∆
s+1
n
m
= ∆(∆
s
n
m
) = ∆
s

(n + 1)
m
− ∆
s
n
m
= ∆P
m−s
(n) =
P
m−s−1
(n).
Vậy ta có tính chất trên đúng với k = s + 1 < m.
Tức là ta đã chứng minh được (1) theo nguyên lý quy nạp.
2. Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có
∆
m
n
m
= P
m−m
(n) = P
0
(n) = C(const).
3. Khi k > m ta có
∆
k
n
m
= ∆

k−m
(∆
m
n
m
) = ∆
k−m
C = ∆
k−m−1
(∆C) = 0.
Tính chất 1.4.
N

n=n
0
∆
k
x
n
= ∆
k−1
x
N+1
− ∆
k−1
x
n
0
với k ∈ Z
+

.
Chứng minh. Ta có
N

n=n
0
∆
k
x
n
=
N

n=n
0
∆(∆
k−1
x
n
)
= ∆
k−1
x
n
0
+1
− ∆
k−1
x
n

0
+ + ∆
k−1
x
N+1
− ∆
k−1
x
N
= ∆
k−1
x
N+1
− ∆
k−1
x
n
0
.
5
Tính chất 1.5. Công thức sai phân từng phần
∆(x
k
.y
k
) = x
k
∆y
k
+ y

k+1
∆x
k
.
Chứng minh. Ta có
∆(x
k
.y
k
) = x
k+1
y
k+1
− x
k
y
k
= x
k+1
y
k+1
− x
k
y
k+1
+ x
k
y
k+1
− x

k
y
k
= y
k+1
(x
k+1
− x
k
) + x
k
(y
k+1
− y
k
)
= x
k
∆y
k
+ y
k+1
∆x
k
.
Tính chất 1.6. (Tổng sai phân)
n

k=1
∆x

k
= x
k+1
− x
1
.
Chứng minh
n

k=1
∆x
k
= ∆x
1
+ ∆x
2
+ + ∆x
n−1
+ ∆x
n
= x
2
− x
1
+ x
3
− x
2
+ + x
n

− x
n−1
+ x
n+1
− x
n
= x
n+1
− x
1
.
1.2 Áp dụng
1.2.1 Áp dụng tính tổng
Ví dụ 1.3. Tính tổng S
n
=
n

k=1
3
k−1
sin
3
x
3
k
.
Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân
sin
3

x =
1
4
[3 sin x −sin 3x]
ta nhận được S
n
=
1
4
[3
n
sin
x
3
n
− sin x].
Ví dụ 1.4. Tính tổng S
n
=
n

k=1
2
k+1
tan
2
x
2
k
. tan

x
2
k−1
.
6
Giải. Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân
tan 2a =
2 tan a
1 −tan
2
a
suy ra tan
2
a. tan 2a = tan 2a −2 tan a.
Ta có
S
n
= 2
0
. tan
2
x
2
1
. tan
x
2
0
+ + 2
n−1

tan
2
x
2
n
. tan
x
2
n
− 1
= 2
0

tan
x
2
0
− 2 tan
x
2
1

+ + 2
n−1

tan
x
2
n−1
− 2 tan

x
2
n

= tan x −2
n
tan
x
2
n
.
Ví dụ 1.5. Tính tổng S = 1.1! + 2.2! + + n.n! =
n

k=1
kk!.
Giải. Vì k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k! nên
S =
n

k=1
k.k! =
n

k=1
∆k! = (n + 1)! − 1.
Ví dụ 1.6. Tính tổng S =
n

k=1

(k
2
+ k + 1)k!
Giải. Ta có
(k
2
+ k + 1)k! = [(k + 1)
2
− k].k! = (k + 1)
2
.k! − k.k!
= (k + 1)(k + 1)! −k.k!
= ∆(k.k!).
Vậy S =
n

k=1
∆(k.k!) = (n + 1)(n + 1)! −1.
Ví dụ 1.7. Tính tổng S =
1
1.2.3.4
+
1
2.3.4.5
+ +
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Giải. Ta có S =
n


k=1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
.
Mà
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
1
3
k + 3 − k
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
1
3

1
k(k + 1)(k + 2)
−
1
(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= −
1
3

1
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
−
1

k(k + 1)(k + 2)

.
7
Vậy S = −
1
3

1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
−
1
1.2.3

.
1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số
Ví dụ 1.8. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1 và
u
n+1
= 2u
n
+ 3
n
.
Giải. Chia 2 vế của đẳng thức đã cho cho 2
n+1

ta có:
u
n+1
2
n+1
=
u
n
2
n
+
1
2
.

3
2

n
.
Đặt v
n
=
u
n
2
n
. Lấy tổng 2 vế của đẳng thức trên ta có:
n


k=1
∆v
n
=
n

k=1
1
2

3
2

n
hay
v
n+1
− v
1
=
1
2
n

k=1

3
2

n

suy ra u
n+1
= 2
n+1

v
1
−
3
2
+

3
2

n+1

= 3
n+1
− 2
n+1
.
Vậy u
n
= 3
n
− 2
n
.
Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra.

Ví dụ 1.9. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1 và
u
n+1
= 2u
n
+ n + 1. (1.2)
Giải . Ta có (1.2) ⇔ u
n+1
+ (n + 1) + 2 = 2(u
n
+ n + 2)
Đặt v
n
= u
n
+ n + 2 suy ra v
n+1
= 2v
n
= 2
2
v
n−1
= = 2
n
.4

nên v
n
= 2
n−1
.4 suy ra u
n
= 2
n+81
− n − 2.
Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra.
Ví dụ 1.10. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1
và
u
n+1
= u
n
+ n + 1. (1.3)
8
Giải. Ta có u
n+1
= u
n
+ n + 1 ⇔ u
n+1
−u
n

= n + 1 ⇔ ∆u
n
= n + 1
Lấy tổng 2 vế của đẳng thức trên ta được
n

k=1
∆u
n
=
n

k=1
(n + 1) ⇔ u
n+1
− u
1
= [2.2 + (n −1).1].
n
2
⇔ u
n+1
=
n(n + 3)
2
+ u
1
hay u
n
=

(n −1)(n + 2)
2
+ 1 =
1
2
n
2
+
1
2
n.
Ví dụ 1.11. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1
và
u
n+1
= 2u
n
+ 3
n
+ n. (1.4)
Giải. Ta có (1.4) ⇔ u
n+1
+ (n + 1) + 1 −3
n+1
= 2(u
n

+ n + 1 −3
n
).
Đặt v
n
= u
n
+ n + 1 −3
n
suy ra v
n+1
= 2v
n
= 2
2
v
n−1
= = 2
n
v
1
= 0
suy ra v
n
= 0 hay v
n
= 3
n
− n − 1. Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa
mãn điều kiện bài ra.

Ví dụ 1.12. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1
và
u
n+1
= u
n
+ 2
n
+ n. (1.5)
Giải. Ta có (1.5) ⇔ u
n+1
− u
n
= 2
n
+ n ⇔ ∆u
n
= 2
n
+ n.
Lấy tổng 2 vế đẳng thức trên ta được:
n

k=1
u
n

=
n

k=1
2
n
+ n ⇔ u
n+1
− u
1
=
n(n + 1)
2
+ 2
n+1
− 2
⇔ u
n+1
= u
1
+
n(n + 1)
2
+ 2
n+1
− 2
hay u
n
= u
1

+
n(n −1)
2
+ 2
n
− 2.
9
Chương 2
PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới phương trình sai phân
trong chương này được trích theo tài liệu [2], [3].
2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình
có dạng:
a(n)x(n + 1) + b(n)x(n) = f(n), (2.1)
trong đó x(n), x(n + 1) là cặp giá trị liền nhau bất kì của hàm đối số nguyên
cần tìm x(n); còn a(n), b(n), f(n) là những hàm của đối số nguyên cho trước.
Như thông lệ trong lý thuyết phương trình sai phân các tác giả thường lý
luận hàm của đối số nguyên chẳng hạn Z(n) bằng Z
n
. Như vậy phương trình
(2.1) có thể viết gọn hơn dưới dạng:
a
n
x
n
+ b
n

x
n
= f
n
, (2.2)
a
n
, b
n
được gọi là hệ số, x
n
là ẩn, f
n
là vế phải.
Ví dụ 2.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính bậc một
nx
n+1
+ (n + 1)x
n
= n
2
+ n.
Phương trình này có nghiệm x
n
=
n
2
.
Nhận xét 2.2.
i. Nếu f

n
= 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình thuần nhất.
10
ii. Nếu f
n
= 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình không thuần nhất.
iii. Nếu a
n
, b
n
là hằng số không phụ thuộc n thì phương trình (2.2) được gọi
là phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng.
iiii. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hay được dùng để mô tả các
mô hình kinh tế, mô hình quản lý xã hội.
Ví dụ 2.2. Sản phẩm của xí nghiệp X tăng trung bình mỗi tháng 2%. Sản
phẩm của tháng đầu là α. Hãy mô tả tình hình sản xuất sản phẩm của xí
nghiệp.
Giải. Ta gọi sản phẩm tháng thứ n của xí nghiệp là x
n
, khi đó x
n+1
=
x
n
+
2
100
x
n
.

Vậy ta có phương trình sai phân x
n+1
= 1, 02x
n
; x
1
= α.
Ví dụ 2.3. Mô tả biến động của thị trường, tại thời điểm thứ n.
Giải. Gọi P
n
là giá, S
n
là cầu, D
n
là cung. Khi đó tốc độ giá cả là :
P
n+1
− P
n
∆t
= −u(S
n
− D
n
).
Từ đó dẫn đến phương trình sai phân:
P
n+1
− P
n

= −u∆t(S
n
− D
n
).
2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với
hệ số hằng số
Định nghĩa 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất có
dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= 0, a, b = 0, (2.3)
Cách giải.
Cách giải 1. Phương trình (2.3)⇔ x
n+1
=
−b
a
x
n
=

−b
a

2
x
n−1

=

−b
a

3
x
n−2
= =

−b
a

n
x
1
=

−b
a

n+1
x
0
với x
0
là giá trị xuất phát
Cách giải 2. (Tổng quát hơn, mở rộng được cho phương trình cấp k)
Rõ ràng x
n

= 0 là nghiệm của (2.3), ta đi tìm nghiệm khác 0 dưới dạng
x
n
= cλ
n
, c = 0, λ = 0.
11
Thay vào (2.3) ta có:
acλ
n+1
+ bcλ
n
= 0 suy ra aλ + b = 0 hay λ =
−b
a
= q.
Ta gọi phương trình aλ + b = 0 là phương trình đặc trưng của (2.3).
Vậy x
n
= cλ
n
= c.q
n
(c là hằng số tùy ý) được gọi là nghiệm tổng quát của
phương trình (2.3).
Nếu cho giá trị ban đầu x
0
thì ta được một nghiệm riêng là x
n
= q

n
x
0
.
Ví dụ 2.4. Năm 1990, Hà Nội có 1,6 triệu người. Tốc độ tăng dân số hàng
năm là 1%. Hỏi năm 2000 Hà Nội có bao nhiêu người?
Giải. Đánh số thứ tự sao cho n = 0 ứng với năm 1990, n = 1 ứng với năm
1991, n = 10 ứng với năm 2000.
Gọi x
n
là số người của Hà Nội tại thời điểm thứ n.
Theo bài toán ta có phương trình x
n+1
= 1, 01x
n
; x
0
= 1, 6 triệu. Vậy
q = 1, 01 suy ra x
10
= 1, 6.(1, 01)
10
= 1, 6.1, 104621 ≈ 1, 77 triệu người.
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần
nhất hệ số hằng
Định nghĩa 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần
nhất hệ số hằng là phương trình có dạng:
ax
n+1
+ bx

n
= f
n
, a = 0, b = 0. (2.4)
Cách giải. Nghiệm tổng quát của (2.4) có dạng x
n
= ¯x
n
+x
∗
n
,
trong đó ¯x
n
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
dạng ¯x
n
= cλ
n
với λ =
−b
a
hoặc λ = q, còn x
∗
n
là nghiệm riêng bất kì của
phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.
Ví dụ 2.5. Phương trình x
n+1
− 3x

n
= 1.
Giải. Có ¯x
n
= c.3
n
và x
∗
n
= −
1
2
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình
là x
n
= c.3
n
−
1
2
.
12
2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là
đa thức của n
Định nghĩa 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là đa thức của n có dạng:
ax
n+1
+ bx
n

= P
m
(n), (2.5)
P
m
(n) là đa thức bậc m của n.
Cách giải. Nghiệm tổng quát x
n
=¯x
n
+x
∗
n
, trong đó nghiệm riêng x
∗
n
được
tìm như sau
Trường hợp 1. Nếu λ = 1 thì x
∗
n
được tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m
với P
m
(n), x
∗
n
= Q
m
(n); Q

m
(n) là đa thức bậc m của n.
Trường hợp 2. Nếu λ = 1 thì x
∗
n
= n.Q
m
(n).
Ví dụ 2.6. Giải phương trình x
n+1
− 15x
n
= −14n + 1; x
0
= 2014.
Giải. Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c.15
n
.
Vì λ = 15 = 1, ta tìm nghiệm riêng ở dạng x
∗
n
= an + b suy ra x
∗
n+1
=
a(n + 1) + b.
Thay vào phương trình ban đầu ta có:
a(n + 1) + b − 15(an + b) = −14n + 1.

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được a = 1; b = 1 suy ra x
∗
n
= n.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x
n
= ¯x
n
+x
∗
n
= c.15
n
+ n.
Từ giả thiết x
0
= 2014 suy ra c = 2014.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
n
= 2014.15
n
+ n.
Ví dụ 2.7. Giải phương trình x
n+1
− x
n
= −2n −1; x
0
= 100.

Giải. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x
n
= cλ
n
= c vì λ = 1.
Do đó nghiệm riêng x
∗
n
= n(an + b); x
∗
n+1
= (n + 1)[a(n + 1) + b].
Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được : a = −1; b = 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm riêng là: x
∗
n
= −n
2
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x
n
= ¯x
n
+ x
∗
n
= c −n
2
.

Từ giả thiết ta có x
0
= 100 suy ra c = 100.
Vậy nghiệm của phương trình là x
n
= 100 −n
2
.
13
2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là hàm lũy thừa
Định nghĩa 2.5. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là hàm lũy thừa là phương trình có dạng ax
n+1
+ bx
n
= α.β
n
. (2.6)
Cách giải. Ta tìm nghiêm riêng x
∗
n
như sau
Trường hợp 1. Nếu λ = β thì x
∗
n
= cβ
n
.
Trường hợp 2. Nếu λ = β thì x

∗
n
= c.n.β
n
.
Ví dụ 2.8. Giải phương trình x
n+1
− 3x
n
= 5
n
; x
0
= 100, 5.
Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯x
n
= c.3
n
.
Vì α = 3 = β = 5 suy ra nghiệm riêng x
∗
n
= c.5
n
.
Thay vào phương trình đã cho ta có c =
1
2
suy ra x
∗

n
=
1
2
.5
n
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x
n
= c.3
n
+
1
2
.5
n
. Vì x
0
= 100, 5 suy ra c = 100.
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là: x
n
= 100.3
n
+
1
2
.5
n
.

2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa
Định nghĩa 2.6. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải làm hàm đa thức nhân lũy thừa là phương trình có dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= P
m
(n).β
n
. (2.7)
Cách giải.
Trường hợp 1. Nếu λ = β thì ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x
∗
n
= Q
m
(n).β
n
.
Trường hợp 2. Nếu λ = β thì x
∗
n
= n.Q
m
(n).β
n
.

Ví dụ 2.9. Giải phương trình x
n+1
− 2x
n
= 2
n
(n + 3).
Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯x
n
= c.2
n
.
Vì λ = 2 = β = 2 nên nghiệm riêng x
∗
n
= n(an + b).2
n
.
Suy ra x
n+1
= (n + 1)[a(n + 1) + b]2
n+1
. Thay vào phương trình, ta được:
(n + 1)(an + a + b).2
n+1
− 2n(an + b).2
n
= 2
n
(n + 3).

14
⇒









a =
1
4
b =
5
4
⇒ x
∗
n
= n

1
4
n +
5
4

.2
n

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x
n
= c.2
n
+
n
2
+ 5n
4
.2
n
.
2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với
vế phải là hàm lượng giác
Định nghĩa 2.7. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với
vế phải là hàm lượng giác là phương trình có dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= α sin nx + β cos nx (2.8)
(α
2
+ β
2
= 0; x = kπ)
Cách giải. Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng: x
∗
n
= A sin nx + B cos nx.

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
√
2x
n+1
− x
n
= −sin
nπ
4
.
Giải. Phương trình đã cho ⇔ x
n+1
−
1
√
2
x
n
=
−1
√
2
sin
nπ
4
.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c


1
√
2

n
.
Nghiệm riêng của phương trình đã cho là x
∗
n
= A cos
nπ
4
+ B sin
nπ
4
suy ra
x
∗
n+1
= A cos
(n + 1)π
4
+ B sin
(n + 1)π
4
.
Thay vào phương trình sai phân ta có:
A cos
(n + 1)π
4

+ B sin
(n + 1)π
4
−
1
√
2

A cos
nπ
4
+ B sin
nπ
4

=
−1
√
2
sin
nπ
4
Biến đổi và rút gọn ta được −A sin
nπ
4
+ B cos
nπ
4
= −sin
nπ

4
suy ra A = −1; B = 0 suy ra x
∗
n
= cos
nπ
4
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
x
n
= ¯x
n
+ x
∗
n
= c

1
√
2

n
+ cos
nπ
4
.
15
2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng
dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải

Định nghĩa 2.8. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng có
dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= f
(1)
n
+ f
(2)
n
, (2.9)
trong đó f
(1)
n
và f
(2)
n
là đa thức hay lũy thừa hay đa thức nhân lũy thừa hay
hàm lượng giác.
Cách giải. Ta dùng nguyên lý chồng chất nghiệm tìm nghiệm riêng ở dạng
x
∗
n
= x
∗(1)
n
+ x
∗(2)

n
,
trong đó x
∗(1)
n
là nghiệm riêng của phương trình ax
n+1
+ bx
n
= f
(1)
n
; x
∗(2)
n
là
nghiệm riêng của phương trình ax
n+1
+ bx
n
= f
(2)
n
.
Ví dụ 2.11. Giải phương trình sai phân x
n+1
− x
n
= 2n
2

+ 2
n
; x
0
= 2.
Giải. Ta có ¯x
n
= c; x
∗(1)
n
= n(an
2
+ bn + c).
Xét phương trình x
n+1
− x
n
= 2n
2
. Thay x
∗(1)
n
vào phương trình ta được
(x + 1)(a(n + 1)
2
+ b(n + 1) + c) − n(an
2
+ bn + c) = 2n
2
.

⇔ 3an
2
+ (3a + 2b)n + a + b + c = 2n
2
.
⇔ x
∗(1)
n
= n(
2
3
n
2
− n +
1
3
).
Xét phương trình x
n+1
− x
n
= 2
n
. Thay x
∗(2)
n
= c.2
n
vào phương trình ta
được

c.2
n+1
− c2
n
= 2
n
⇔ 2c −c = 1 ⇔ c = 1 ⇔ x
∗(2)
n
= 2
n
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:
x
n
= c + 2
n
+
1
3
n(2n
2
− 3n + 1).
Ta có x
0
= 2 suy ra c + 1 = 2 hay c = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x
n
= 1 + 2
n

+
1
3
(2n
2
− 3n + 1).
Nhận xét. Phương trình mở rộng của (2.9) là:
ax
n+1
+ bx
n
= f
(1)
n
+ f
(2)
n
+ . . . + f
(k)
n
. (2.10)
Khi đó nghiệm riêng của phương trình là: x
∗
n
= x
∗(1)
n
+ x
∗(2)
n

+ . . . + x
∗(k)
n
.
16
2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải
bằng phương pháp biến thiên hằng số
Định nghĩa 2.9. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng giải
bằng phương pháp biến thiên hằng số có dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= f
n
, (2.11)
f
n
bất kì a, b = 0.
Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯x
n
= c.λ
n
với λ =
−b
a
. Để tìm nghiệm riêng ta cho c biến thiên theo n: x
∗
n
= c

n
λ
n
sau
đó thay vào phương trình ta tìm được c
n
.
Ví dụ 2.12. Giải phương trình

x
n+1
− 5x
n
= 2.5
n+1
x
0
= 1.
Giải. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c.5
n
.
Ta tìm nghiệm riêng ở dạng x
∗
n
= c
n
.5 .Thay vào phương trình ta được:
c

n+1
.5
n+1
− 5.c
n
.5
n
= 2.5
n+1
. Suy ra ∆c
n
= 2 = ∆2n hay c
n
= 2n
x
∗
n
= 2n.5
n
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình x
n
= c.5
n
+ 2n.5
n
.
x
0
= 1 suy ra c = 1.Vậy nghiệm của phương trình là x
n

= 5
n
+ 2n.5
n
.
Ví dụ 2.13. Giải phương trình x
n+1
− x
n
= n.n!.
Giải. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c.
Ta tìm nghiệm riêng ở dạng x
∗
n
= c
n
.
Thay vào phương trình ta được: c
n+1
− c
n
= n.n! suy ra c
n
= n! suy ra
x
∗
n
= n!

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là x
n
= c + n!.
Bài tập. Giải các phương trình sai phân sau
1. x
n+1
− 5x
n
= −3
n
.
2.
√
2x
n+1
− 2
√
2x
n
= (1 −2
√
2) sin
nπ
4
+ cos
nπ
4
.
3. x
n+1

− 2x
n
= (n
2
+ 1)2
n
.
4. x
n+1
− 2x
n
= −3
n
.
5. 5x
n+1
− 25x
n
= (n
2
− 3n + 1)n!.
17
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
số
2.2.1 Định nghĩa
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có dạng:
ax
n+2
+ bx
n+1

+ cx
n
= f
n
, (2.12)
trong đó a, b, c là hằng số, a, c = 0.
Nếu f
n
= 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp
hai hệ số hằng:
ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= 0. (2.13)
Ví dụ 2.14. Hãy mô tả quy luật sản xuất của một nhà máy thủy điện biết
rằng sản lượng điện mỗi tháng tăng 2% so với sản lượng điện của tháng trước
cộng với 0, 5% sản lượng điện của tháng trước nữa.
Giải. Gọi x
n
là sản lượng điện của tháng thứ n. Ta có:
x
n+1
= x
n
+ 2%x
n
+ 0, 5%x

n−1
⇔ x
n+1
− 1, 02x
n
− 0, 005x
n−1
= 0.
Đây là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số của
(2.13).
2.2.2 Cách giải
Nghiệm tổng quát của (2.12) có dạng x
n
= x
n
+ x
∗
n
, trong đó x
n
là nghiệm
của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.13) và x
∗
n
là một nghiệm
riêng tùy ý của (2.12).
2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ
số hằng số
Dạng 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng
số dạng:

ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= 0. (2.14)
18
Cách giải. Phương trình (2.14) có nghiệm tầm thường x
n
= 0.
Ta tìm nghiệm khác 0 ở dạng x
n
= αλ
n
, α = 0, λ = 0.
Thay vào phương trình (2.14) ta nhận được
aλ
2
+ bλ + c = 0 (2.15)
Ta gọi (2.15) là phương trình đặc trưng của (2.14). Nghiệm của (2.14)
phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng (2.15).
Trường hợp 1. Nếu (2.15) có hai nghiệm thực λ
1
= λ
2
thì nghiệm tổng
quát của (2.14) là
x
n

= Aλ
n
1
+ Bλ
n
2
với A, B là hai hằng số tùy ý.
Trường hợp 2. Nếu (2.15) có nghiệm kép λ
1
= λ
2
= λ thì
x
n
= (A + Bn)λ
n
với A, B là hằng số tùy ý.
Trường hợp 3. Nếu (2.15) có nghiệm phức λ = r(cos ϕ+i sin ϕ) thì nghiệm
tổng quát của (2.14) là
x
n
= r
n
[A cos nϕ + B sin nϕ] với A, B là hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.15. Giải phương trình sai phân
x
n+2
− 7x
n+1
+ 6x

n
= 0.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 7λ + 6 = 0 có nghiệm λ
1
= 1, λ
2
= 6.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x
n
= A + B.6
n
.
Ví dụ 2.16. Giải phương trình sai phân
x
n+2
− 4x
n+1
+ 4x
n
= 0.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép λ = 2.
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x
n
= (A + Bn)2
n
.

Ví dụ 2.17. Tìm nghiệm x
n
thỏa mãn
x
n+2
− 2x
n+1
+ 4x
n
= 0, x
0
= x
1
= 1.
19
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 2λ + 4 = 0 có nghiệm λ = 1 ± i
√
3.
Ta có:
1 + i
√
3 = 2

cos
π
3
+ i sin
π

3

nên nghiệm tổng quát
x
n
= 2
n

A cos
nπ
3
+ B sin
nπ
3

.
Ta lại có x
0
= A = 1; x
1
= 1 = 2

cos
π
3
+B sin
π
3

, nhận được B = 0. Vậy

nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu của phương trình là x
n
= 2
n
cos
nπ
3
.
Dạng 2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2 hệ số
hằng số dạng:
ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= P
k
(n) (2.16)
trong đó P
k
(n) là đa thức cụ thể bậc k của n.
Cách giải
Nghiệm tổng quát x
n
= x
n
+ x
∗
n

, với x
∗
n
là nghiệm riêng tìm như sau:
Trường hợp 1. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
tìm nghiệm riêng x
∗
n
= Q
k
(n), với Q
k
(n) là đa thức bậc k của n chưa biết
hệ số.
Trường hợp 2. Nếu λ = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng x
∗
n
= nQ
k
(n).
Trường hợp 3. Nếu λ = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng x
∗
n
= n
2
Q
k
(n).

Ví dụ 2.18. Giải phương trình sai phân x
n+2
− 6x
n+1
+ 6x
n
= 2016.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 6λ + 5 = 0 có nghiệm λ
1
= 1, λ
2
= 5.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x
n
= A + B.5
n
.
Vì λ = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có
dạng x
∗
n
= nC suy ra x
∗
n+1
= (n + 1)C, x
∗
n+2

= (n + 2)C.
Thay vào phương trình đã cho ta có:
(n + 2)C −6(n + 1)C + 5nC = 2016
⇔ −4C = 2016 ⇔ C = −504.
20
Vậy x
∗
n
= −504n.
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình là: x
n
= A = B.5
n
− 504n.
Ví dụ 2.19. Giải phương trình x
n+2
+ 4x
n+1
− 5x
n
= 12n + 8.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
+ 4λ −5 = 0 có nghiệm λ
1
= 1, λ
2
= −5
nên ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x

n
= A + B(−5)
n
.
Vì λ = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng tìm
ở dạng x
∗
n
= n(An + B) suy ra x
∗
n+2
= (n + 2)

A(n + 2) + B

, x
∗
n+1
=
(n + 1)

A(n + 1) + B

.
Thay vào phương trình, đồng nhất hệ số hai vế ta được : a = 1, b = 0 suy
ra x
∗
n
= n
2

. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
x
n
= x
n
+ x
∗
n
= A + B(−5)
n
+ n
2
.
Dạng 3. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số
hằng số dạng:
ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= A.β
n
. (2.17)
Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) là:
x
n
= x
n
+ x

∗
n
• x
n
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng,
• x
∗
n
là nghiệm riêng.
Trường hợp 1. Nếu β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng có dạng x
∗
n
= c.β
n
, c là hằng số phải tìm.
Trường hợp 2. Nếu β là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm
riêng có dạng x
∗
n
= c.n.β
n
.
Trường hợp 3. Nếu β là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm
riêng có dạng x
∗
n
= c.n
2
.β

n
.
Ví dụ 2.20. Giải phương trình x
n+2
− x
n+1
− 2x
n
= −3.(2)
n
21