Phát triển tư duy phản biện cho học sinh lớp 11 qua việc dạy học chủ đề tổ hợp xác suất

SỎ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT HOÀNG QUỐC VIỆT
---------------------------

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Lĩnh vực: Giáo dục và Đào tạo)
“PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHẢN BIỆN CHO HỌC SINH 11 QUA VIỆC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT”

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Tốn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Hoàng Quốc Việt

Yên Bái, ngày 05 tháng 01 năm 2022

1


2

MỤC LỤC
Trang
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN .................................................... .3
1. Tên sáng kiến: ................................................................................................. 3
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: ........................................................................... 3
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: ............................................................................ 3
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: .......................................................................... 3
5. Tác giả .............................................................................................................. 3
II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN: .................................................................................. . 3
1. Tình trạng giải pháp đã biết: ........................................................................... 3

2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: ...................................... 5
3. Khả năng áp dụng của giải pháp: .................................................................... 26
4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp:……………………………………………………………………………26
5. Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) .............. 28
6. Các thơng tin cần được bảo mật: . ................................................................... 28
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: ................................................ 28
8. Tài liệu gửi kèm: ............................................................................................. 29
III. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền: ................................29
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO........................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN TỈNH YÊN BÁI.........................


3

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Phát triển tư duy phản biện cho học sinh 11 qua việc
dạy học chủ đề tổ hợp xác suất.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Trong q trình giảng dạy mơn Tốn THPT.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến được áp dụng thử nghiệm với đối tượng học sinh THPT tại
trường THPT Hoàng Quốc Việt, năm học 2019 – 2020, năm học 2020 – 2021
và kì I năm học 2021-2022.
5. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Vân..
Năm sinh: 05/7/1979.
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ.
Chức vụ công tác: Giáo viên.

Nơi làm việc: Trường THPT Hoàng Quốc Việt.
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Hồng Quốc Việt - Xóm Soi - Xã Giới
Phiên - Thành phố Yên Bái.
Điện thoại: 0916698760
II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Tình trạng các giải pháp đã biết
Một trong những mục tiêu cần đạt của mơn Tốn trong chương trình
GDPT 2018 giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực học Tốn. Đó là
hình thành những năng lực chung và các năng lực đặc thù bộ mơn Tốn: tư duy
và lập luận Tốn học, năng lực mơ hình hóa, năng lực giải quyết vấn đề; năng
lực giao tiếp Toán học và năng lực sử dụng công cụ và phương tiện Tốn học.
Vì vậy, việc phát triển “tư duy phản biện” sẽ góp phần quan trọng trong
việc phát triển các năng lực đặc thù bộ mơn Tốn, phát triển khả năng tự học,
khả năng nghiên cứu khoa học của người học đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo
dục. Với mong muốn làm thay đổi thói quen của học sinh là chấp nhận những
điều giáo viên đưa ra như một chân lý, khơng dám có chứng kiến cá nhân.
Qua 2 năm áp dụng một số thủ thuật để phát triển tư duy phản biện cho
học sinh trong quá trình dạy học mơn tốn năm học 2019-2020 (đối với các lớp
11A, 11D) và 2020-2021 (12A, 12D), kì I năm học 2021-2022 (đối với lớp 11A,


4

11B), tơi nhận thấy học sinh u thích mơn Tốn hơn, tự tin khi thuyết trình
một vấn đề Tốn học với các lập luận chặt chẽ, logic. Đặc biệt, kết quả thi tốt
nghiệp THPT Quốc Gia năm 2020-2021 với môn Toán tăng đáng kể ở 2 lớp
12A, 12D ( 97,7% trong đó 12A là 100%) .
Với các lí do trên, tôi đã chọn đề tài: Phát triển tư duy phản biện cho học
sinh qua dạy học chủ đề : Tổ hợp-xác suất.
1.1. Thực trạng kỹ năng phản biện của học sinh trong mơn Tốn tại

trường THPT Hồng Quốc Việt.
Khi đặt câu hỏi “nêu những hiểu biết của mình về “tư duy phản biện”, đa
số học sinh đều hoặc im lặng, hoặc trả lời rằng “em không biết ạ”. Trên thực tế,
tư duy phản biện ít được các nhà trường phổ thông đề cập đến mặc dù các thành
tố của tư duy phản biện đều được các thày cô rèn luyện cho học sinh của mình
qua các bài học. Để đánh giá được thực trạng về kỹ năng tư duy phản biện của
học sinh, trước tiên cần là rõ khái niệm “tư duy phản biện là gì?”. Tư duy phản
biện hay còn gọi là tư duy phê phán xuất phát từ thuật ngữ tiếng Anh là
“critical thinking”. Theo từ điển Oxford concise dictionnary thì “critical” mang
nghĩa : phê bình, phê phán, bình phẩm, chỉ trích, chê bai, khắt khe, khó tính,
nguy cấp, nguy kịch, tới hạn, quyết định, then chốt. Nhà giáo dục Mỹ, John
Dewey coi “tư duy phê phán” là sự suy nghĩ sâu sắc (reflective thinking), ông
định nghĩa là “Sự suy xét chủ động, liên tục, cẩn trọng về một niềm tin, một giả
định khoa học có xét đến những lý lẽ bảo vệ nó và những kết luận xa hơn”.
Các biểu hiện của năng lực của tư duy phản biện :
Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức kinh nghiệm.
Có khả năng đề xuất các câu hỏi.
Có khả năng đánh giá tính hợp lý của các cách đặt vấn đề và giải quyết
vấn đề.
Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau.
Có khả năng đưa ra các quyết định.
Các khả năng đánh giá, tìm ra các thiếu xót, sai lầm và có khả năng sửa


5

sai lầm đó.
Đối tượng tuyển sinh đầu vào của trường THPT Hồng Quốc Việt chủ
yếu là học sinh nơng thơn, ở nhiều vùng khó khăn của Yên bái, các em thường
có đặc điểm tâm lý nhút nhát, thụ động, khơng dám bày tỏ quan điểm cá nhân

và dễ bị xâm lấn bởi hội chứng đám đông. Điểm tuyển sinh vào 10 rất thấp, nhất
là mơn Tốn nên khi đối chiếu với các biểu hiện về kĩ năng phản biện ở trên có
thể nói rằng kĩ năng về tư duy phản biện của học sinh khi bắt đầu vào lớp 10 là
chưa có hoặc chỉ có một số ít học sinh khá có khả năng phản biện nhưng chưa
được tốt.
1.2. Nguyên nhân của thực trạng trên
1.2.1. Đối với giáo viên
Giáo viên dù rất nỗ lực đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng
dạy học, nhưng thực sự vẫn còn lúng túng với bài toán tạo cho học sinh: hứng
thú, đam mê với mơn Tốn; thay đổi thói quen ngại tư duy của các em; khắc
phục tình trạng kĩ năng tính toán yếu kém dẫn đến khả năng giải quyết các bài
tốn bằng sự tương tự hóa rất khó khăn khiến các em mất đi sự tự tin khi học
Toán. Vậy nên việc hướng đến cho học sinh độc lập suy nghĩ giải quyết vấn đề
là việc rất khó với giáo viên.
1.2.2. Đối với học sinh
Học sinh chưa xác định được động cơ học tập đúng đắn nên còn xem nhẹ
việc học. Các em ln áp đặt rằng mơn Tốn là khó, là khơ khan, là trừu tượng,
là khơng thiết thực với cuộc sống. Vì thế, hằng năm học sinh khối 12 đăng kí
mơn thi tốt nghiệp thì có đến 98% học sinh lựa chọn thi khối C.
Kĩ năng tính tốn kém và chưa có cách ghi nhớ, chưa có phương pháp tư
duy nên có những học sinh dù có cố gắng nhưng tiến bộ chậm. Càng học, càng
thấy mênh mông. Học sinh có thói quen thừa nhận bất kì đơn vị kiến thức mới
mà khơng cần “hồi nghi tích cực”. Việc giải bài tốn theo qui trình chưa linh
hoạt trong các khâu, thường bỏ sót trường hợp. Các thao tác tư duy như: “so
sánh, tương tự hóa, khái quát hóa, lật ngược vấn đề” chưa thành thạo, chưa linh
hoạt.


6

* Ưu điểm của sáng kiến
- Sáng kiến đã phần nào khắc phục những tồn tại trong kĩ năng tu duy của
học sinh. Định hướng cho các em phương pháp tư duy suy luận Toán học. Khắc
phục nỗi sợ hãi mơn Tốn. Khắc phục phần nào tâm lý của học sinh coi mơn
Tốn là khơ khan, là trừu tượng, là khơng thiết thực với đời sống thơng qua các
bài Tốn gắn với thực tiễn cuộc sống phát huy được tính tích cực chủ động của
học sinh.
- Sáng kiến đã góp phần đáp ứng được các yêu cầu về phát triển những
phẩm chất và năng lực mà Chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 đề ra với
mơn Tốn.
* Nhược điểm của sáng kiến:
Tài liệu tham khảo để nghiên cứu về tư duy phản biện dịch sang tiếng
Việt không phổ biến, tư duy phản biện trong các trường phổ thơng ít dược nhắc
đến. Đây là khó khăn rất lớn cho giáo viên khi tìm hiểu, vận dụng cho cơng việc
của mình. Việc vận dụng đề tài cho học sinh khối lớp 11 năm học 2021-2022
gặp nhiều khó khăn về thời gian. Nguyên nhân do phải ứng phó với những diễn
biến phức tạp của dịch bệnh co-vid nên giáo viên dạy ưu tiên kiến thức cốt lõi
(công văn 1280) thời lượng dạy trên lớp với mỗi chủ đề giảm nhiều. Vì vậy,
giáo viên cần đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu, tìm tòi và vận dụng linh hoạt
những vấn đề nghiên cứu cho học sinh và kiểm tra việc hiện của học sinh.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
2.1. Mục đích của giải pháp
Luyện tập các kĩ năng về tư duy phản biện, theo quá trình dần hình thành
văn hố phản biện. Đứng trước một vấn đề Toán học, học sinh biết đặt các câu
hỏi tư duy, tìm minh chứng, sử dụng linh hoạt các thao tác tư duy như tương tự
hóa, lật ngược vấn đề, phân tích, tổng hợp để tìm giải pháp giải quyết vấn đề.
Từ đó dần dần, hình thành các kĩ năng giải quyết các vấn đề cuộc sống. Qua đó,
giúp học sinh tự tin, chủ động hơn và độc lập hơn và có khả năng đưa ra quyết
định. Việc học sinh tham gia phản biện cũng sẽ giúp giờ học sôi nổi hơn, bớt
căng thẳng và học sinh sẽ hứng thú hơn với giờ học Tốn.

Rèn luyện cho học sinh có “kỹ năng tư duy phản biện” để các em có
phương pháp học tích cực, chủ động khơi gợi tính tị mị hồi nghi khoa học và
lịng ham hiểu biết, rèn cho các em tâm thế để sẵn sàng đối đầu với thử thách.
“Tư duy phản biện” giúp các em phát triển tốt các năng lực cốt lõi mà chương
trình giáo dục phổ thông 2018 đang hướng đến như: năng lực giải quyết vấn đề,
năng lực tự học, năng lực sáng tạo. Phản biện thực sự mới giải quyết được các
mâu thuẫn trong tư duy và nảy sinh ý tưởng mới, hướng giải quyết độc đáo,


7

sáng tạo. Vì vậy, việc rèn luyện và phát triển tư duy phản biện cần phải liên tục,
trong suốt quá trình học tập của học sinh.
2.2. Nội dung giải pháp
2.2.1. Cơ sở thực tiễn
2.2.1.1. Một số quan điểm về tư duy phản biện
Tư duy được nhiều nghành khoa học quan tâm và nghiên cứu, nên tư duy
có nhiều quan niệm khác nhau. Từ điển Bách khoa Toàn thư Việt Nam tập 4
định nghĩa về tư duy: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất, được tổ chức
một cách đặc biệt- bộ não con người dưới dạng khái niệm, sự phán đoán, lý
luận…”. Tư duy một vấn đề, thường sử dụng một số thao tác như : So sánh,
phân tích, tổng hợp ; tương tự hóa, khái qt hóa ; trừu tượng hóa, đặc biệt
hóa….Tùy mục đích nghiên cứu mà người ta phân ra các loại hình khác nhau
như tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán ( phản biện).
Benjamin Bloom (1956 −1984 , nhà tâm lý giáo dục người Mỹ) chia tư duy
con người làm sáu cấp độ : “(1) biết, (2) thông hiểu, (3) áp dụng, (4) phân tích, (5)
tổng hợp và (6) đánh giá”. Ông đã chia nhận thức của con người làm bốn bậc:

SIÊU NHẬN THỨC (Metacognition)
“Tư duy về quá trình tư duy”

Tư
duy
bậc
cao

Tư duy phê phán
Tư duy sáng tạo
Lưu
giữ

Tái
hiện

Quan
sát

.........

Nghe
thấy

Ngửi
thấy

(Bộ não)

Tư
duy
cơ
bản

NHẬN THỨC CẢM TÍNH

Nhìn
thấy

Nhận
thức lý
tính

.........

Nhận
thức cảm
tính
(Các giác
32
quan)

(1) Nhận thức cảm tính (bởi các giác quan như nghe, nhìn, ngửi…).
(2) Tư duy cơ bản (quan sát, tái hiện, lưu giữ,…).


8

(3) Tư duy bậc cao: Tư duy phê phán và sáng tạo.
(4) Siêu nhận thức: Tư duy về quá trình tư duy.
Như vậy, Benjamin Bloom quan niệm tư duy phê phán là tư duy bậc cao, nó
là cách con người sử dụng các thao tác trí tuệ như phân tích, tổng hợp, đánh giá,
trong quá trình tư duy để tìm kiếm và xử lý thông tin, giải quyết vấn đề. Phản

biện vấn đề chứ không phản biện con người và phản biện trái ngược với ngụy
biện, bàn lùi.
2.2.1.2. Các bước thực hiện của giải pháp
Biện pháp chung:
(1) Tạo cho học sinh thói quen khi đứng trước bài tốn có vấn đề, ln
đặt các câu hỏi tư duy. Khuyến khích học sinh có thói quen tìm nhiều cách giải
khác nhau cho một bài tốn, để từ đó chọn được phương án tốt nhất.
(2) Rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản
(3) Khuyến khích học sinh tham gia q trình kiểm tra,đánh giá, nhận
xét, phát hiện sai lầm trong lời giải và tìm cách sửa sai.
(4) Chú trọng các bài tốn ứng dụng thực tế kết hợp việc rèn luyện kĩ
năng phát triển bài toán và thực hiện các hoạt động trải nghiệm, kĩ năng phản
biện các vấn đề trong đời sống có liên quan đến Tốn học.
2.2.2. Các bước thực hiện
2.2.2.1. Biện pháp 1: Tạo cho học sinh thói quen khi đứng trước bài tốn
có vấn đề, ln đặt các câu hỏi tư duy. Khuyến khích học sinh có thói quen tìm
nhiều cách giải khác nhau cho một bài tốn, để từ đó chọn được phương án tốt
nhất.
Tư duy phản biện khi đứng trước một vấn đề, không chấp nhận điều gì là
đúng ngay mà phải hồi nghi, phân tích, cân nhắc, suy xét, chứng minh trước
khi mình chấp nhận. Rèn kĩ năng phản biện cần thiết phải rèn luyện cho học
sinh kĩ năng đặt câu hỏi. Câu hỏi thường dùng nhất trong phản biện là câu hỏi
dạng 5W-1H, (Cái gì, tại sao, khi nào, ai và như thế nào). Câu hỏi quan trọng
nhất của tư duy phản biện là “Tại sao?”. Câu hỏi hay dùng trong suy luận Toán


9

là “giả thiết bài tốn đã cho để làm gì?”, câu hỏi thường dùng trong tranh luận,
nhận xét lời giải là “tại sao, và bạn có thể giải thích rõ hơn được khơng?”.

Ví dụ 1. (Bài 4-sgktr76-ĐS> 11). Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số
được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho các chữ số khác nhau.
Tình huống: Nếu học sinh chưa giải được, giáo viên có thể hướng học sinh
thói quen liên tưởng đến bài tập quen thuộc đã giải, đã biết, hoặc gần tương tự
( Bài 1-sgk tr46, bài 1-sgk tr54: ĐS>11).
Giả sử, có tình huống một học sinh giải như sau:
Gọi số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau có dạng
x = a1 a2 a3a4 . Đặt A = 0,1,2,3,4,5,6, A = 7.

Cách 1.
Trường hợp 1: số x chẵn gồm 4 chữ số đơi một khác nhau trong đó kể cả
a1 = 0 hoặc a1  0. Trường hợp này có 4. A63 .

Trường hợp 2: số x chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập
A trong đó a1 = 0. Trường hợp này có 3. A52 .
Vậy số các số x thỏa mãn bài toán là: 4.A63 − 3. A52 = 420.
( Nhận xét, lời giải vắn tắt) Học sinh khác có thể yêu cầu tác giả của lời giải bài
toán trên hãy giải thích rõ hơn, tại sao ở trường hợp 1 thì kết quả lại là 4.A63 và ở
trường hợp hai là 3.A52 , ( nếu đọc sách thì người đọc nếu chưa rõ thì cũng nên
có thói quen tìm hiểu tại sao lại có lời giải như vậy và đi tìm câu trả lời đó).
Sau đó, khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
Cách 2. Gọi số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đơi một khác nhau có dạng
x = a1 a2 a3a4 . Đặt A = 0,1,2,3,4,5,6, A = 7.

Trường hợp 1: a4 = 0.
Sau đó, chọn a1 a2 a3

(a1 , a2 , a3  A = 0,1,2,3,4,5,6 \ 0) , mỗi cách chọn

đồng thời 3 số trên rồi xếp vào 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 6. Trường

10

hợp này có A63 .
Trường hợp 2: a4  0. Vì x chẵn nên a4 2,4,6 , số cách chọn a4 là 3.
Chọn a1 : a1  0, a1  a4 . Số cách chọn a1 là 5.
Chọn đồng thời a2 a3 , a2, , a3  A = 0,1,2,3,4,5,6 \ a1, a4  , mỗi cách chọn
đồng thời 2 số trên và xếp vào 2 vị trí là một chỉnh hợp chập 2 của 5. Trường
hợp này có 3.5.A52 = 300.
Vậy số các số x thỏa mãn bài toán là: A63 + 3.5. A52 = 420.
Cách 3: Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc nhân.
Trường hợp 1: a1 chẵn, a1  0, có 3 cách chọn a1 .
Chọn a4  a1 có 3 cách chọn.
Chọn a2 : a2  A \ a1 , a4  nên a2 có 5 cách chọn.
Chọn a3 : a3  A \ a1 ,a2 , a4  nên a3 có 4 cách chọn.
Theo qui tắc nhân, trường hợp 1 có 3.3.5.4=180 cách.
Trường hợp 2: a1 lẻ, có 3 cách chọn a1 .
Chọn a4 0,2,4,6 , có 4 cách chọn a4 .
Chọn a2 : a2  A \ a1 , a4  nên a2 có 5 cách chọn.
Chọn a3 : a3  A \ a1 ,a2 , a4  nên a3 có 4 cách chọn.
Theo qui tắc nhân, trường hợp 2 có 3.4.5.4=240 cách.
Theo qui tắc cộng, số các số thỏa mãn bài toán là: 180+240=420 số.
Lưu ý, dù các cách giải là khác nhau, nhưng những ý tưởng của học sinh luôn
được trân trọng và đánh giá cao.
Ngồi ra, khi dạy học Tốn, nên tạo cho học sinh thói quen, sử dụng các
câu hỏi trong qui trình “ 4 bước giải Tốn của G.Polya”:
Các câu hỏi thường sử dụng khi tìm hiểu bài toán (bước 1), theo G.Polya :

11

+ “Bài tốn đã cho, cái gì chưa biết? Cái gì đã biết?”
+ “Có thể làm thỏa mãn điều kiện của bài tốn hay khơng? Điều kiện có
đủ để xác định cái chưa biết không?”
Các câu hỏi thường sử dụng trong quá trình lập kế hoạch giải (bước 2):
+ “Đã gặp bài toán tương tự như này ở đâu? Đã sử dụng phương pháp
nào để giải?”.
+ “Định lý hay tính chất nào có liên quan?”.
+ “Có cần đưa thêm yếu tố phụ vào hay không?”.
+ “Bạn đã thực sự nắm được các khái niệm cơ bản trong bài toán chưa?
nếu cần phải quay về định nghĩa”.
+ “Nếu chưa gặp bài tốn này bao giờ, giải bài tốn phụ có dễ hơn
khơng? Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực
nào? Từ đó, bạn có thể rút ra điều gì có ích cho việc giải tốn? Với giả thiết
nào bạn có thể giải được bài toán này?”.
+ “Bạn đã sử dụng hết các giả thiết của bài toán đã cho chưa?”
- Các câu hỏi thường sử dụng trong q trình giải tốn là (bước 3):
+ “Bạn có nghĩ rằng các bước giải của bạn là đúng?”.
+ “Có thể chứng minh điều đó được khơng?”.
- Các câu hỏi thường sử dụng (trong bước 4) để khai thác bài tốn:
+ “Có cách giải khác khơng? Có thể tìm hướng giải khác tối ưu hơn được
khơng?”.
+ “Có thể sử dụng kết quả, phương pháp của bài toán này cho bài tốn
khác được khơng? Khi nào thì áp dụng nó?”.
+ “Bài tốn này có thể mở rộng như thế nào? Khi áp dụng vào thực tế có
khả thi?”
Ví dụ 2. Minh họa việcsử dụng các câu hỏi trong qui trình “4 bước giải Tốn
của G.Polya” vào giải bài toán sau: (Bài 4-sgk tr74, ĐS> 11 ban cơ bản).
“Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử, con súc sắc xuất

hiện mặt b chấm. Xét phương trình x 2 + bx+ 2 = 0. Tính xác suất sao cho:


12

a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình vơ nghiệm.
c) Phương trình có nghiệm ngun”
Theo G.Polya , bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Đây là bài toán
thuộc dạng nào? ( tìm tịi). Yếu tố đã cho ? (b là số nguyên, 1  b  6) ?. Yếu tố
cần tìm: Xác suất để phương trình đã cho có nghiệm. Gọi A: “Phương trình có
nghiệm”, p( A) =

n( A)
. Từ đó suy ra yếu tố nào cần xác định ? (Hs: cần phải
n ( )

xác định: n( A), n()). Có thể làm thỏa mãn điều kiện của bài toán đã cho hay
khơng (phương trình có nghiệm khi và chỉ khi   0). ? Điều kiện (   0 ) có đủ
để xác định cái chưa biết khơng? Hãy viết tường minh.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Thực chất bài toán đã cho là bài toán quen thuộc giải và biện luận theo 
với phương trình bậc hai với điều kiện b cho trước , 1  b  6 .
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
- Gọi A: “Phương trình có nghiệm”, B: “Phương trình vơ nghiệm” và
C: “Phương trình có nghiệm ngun”.
-Xác định khơng gian mẫu và số phần tử của không gian mẫu:

 = 1,2,3,4,5,6  n() = 6.
-Xác định số phần tử của biến cố: A, B, và C.

Xét phương trình: x 2 + bx+ 2 = 0 (*) ,  = b2 − 8, (b là số ngun dương).
Phương trình (*) có nghiệm    0  b2  8, b  N *  b 3,4,5,6

 n( A) = 4.
Phương trình (*) vô nghiệm    0  b2  8, b  N *  b 1,2

 n(B) = 2.
Phương trình (*) có nghiệm ngun điều kện cần là:   0 , và  là số
chính phương. Thử các giá trị b 3,4,5,6 ta nhận thấy chỉ có b=3 thỏa mãn.


13

Vậy: p( A) =

n( A) 4 2
n(B) 2 1
n(C) 1
= = , p(B) =
= = , p(C) =
= .
n() 6 3
n() 6 3
n() 3

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Kiểm tra tính chính xác của lời
giải, tính đúng đắn của các luận cứ và lập luận có logic không? Rồi đưa ra kết
luận, tin (chấp nhận) hay bác bỏ kết quả.
+ Có cách giải khác khơng? Có thể tìm hướng giải khác khơng? Điều kiện
b ngun dương có gợi ý cho chúng ta điều gì khơng? Có thể tạo ra một bất

đẳng thức từ điều kiện của b khơng? Câu trả lời là có, ví dụ. x 2 + bx+ 2 = 0 ,
nhận xét x=0 không là nghiệm của phương trình. x  0 , chia cả 2 vế phương

2
trình cho x ta được b = − x − . Vì (-x) và
x

 2
 −  cùng dấu và b nguyên dương
 x

 2
nên x<0. Theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương (-x) và  −  ta có được:
 x

b = −x −

2
 2 2 mà b nguyên dương, 1  b  6  b 3,4,5,6 thì phương
x

trình có nghiệm.
Nếu gọi A: “Phương trình có nghiệm”, B: “Phương trình vơ nghiệm” thì
ta có B = A nên để phương trình vơ nghiệm thì B = A =  \  A = 1,2 từ đó
suy ra xác suất biến cố A, và B.
Học sinh có thể giải bài tốn tương tự. Tính xác suất sao cho phương
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, phương trình có nghiệm kép (biến cố
khơng thể)
2.2.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản (phân tích, tổng
hợp, so sánh, tương tự hóa, khái qt hóa, đặc biệt hóa). Khai thác bài tốn

theo các góc nhìn.
a) Sử dụng hoạt động trí tuệ so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa và đặc
biệt hóa.
Sử dụng hoạt động trí tuệ so sánh để tìm những đặc điểm chung hoặc


14

những tính chất tương tự ở một số đối tượng giúp việc ghi nhớ logic được tốt
hơn. Đặc điểm riêng của các đối tượng đang so sánh là điểm nhấn để phân biệt
đối tượng này với đối tượng có nhiều điểm chung với nó. Với chương II, Đại số
& Giải tích 11, học sinh cần phân biệt: Sự khác nhau giữa qui tắc cộng và qui
tắc nhân. Học sinh phải hiểu được: Qui tắc cộng liên quan đến sự phân chia
trường hợp khi hồn thành một cơng việc nào đó. Qui tắc nhân sử dụng khi
cơng việc được hồn thành khi phải chia công việc thành các bước, (giai đoạn,
công đoạn) liên tiếp. Sự giống và khác nhau của hoán vị và chỉnh hợp, sự khác
khau giữa chỉnh hợp và tổ hợp là gì? (tính thứ tự). Khi nào sử dụng hốn vị,
chỉnh hợp, tổ hợp và khi nào khơng dùng được mà phải dùng qui tắc nhân. Việc
giải các bài tập bằng phương pháp tương tự hóa sẽ giúp học sinh có học lực
trung bình, học sinh học yếu khắc phục khả năng tính tốn, rèn kỹ năng ghi nhớ.
Dần dần, các em sẽ tự tin hơn khi học Tốn.
Ví dụ 3. ( Bài 1-sgk-tr54, Đs & Gt 11 cơ bản).
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số
khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000?
Giải
a) ? Ý a) có tương tự như bài tập nào đã gặp?
HS: Tương tự bài 1c (sgk tr 46 ĐS &Gt 11 cơ bản).

Học sinh có thể giải câu a theo qui tắc nhân.
Gọi số tự nhiên gồm sáu chữ số đơi một khác nhau có dạng
x = a1 a2 a3a4 a5a6 . Đặt A = 1,2,3,4,5,6, A = 6.

Chọn a1  A : có 6 cách.

 

Chọn a2  A \ a1 : có 5 cách.


15

 
 A \ a , a , a  : có 3 cách.
 A \ a , a , a , a  : có 2 cách.
 A \ a , a , a , a , a  : có 1 cách.

Chon a3  A \ a1 , a2 : có 4 cách.
Chọn a4
Chọn a5
Chọn a6

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

5

Theo qui tắc nhân, sẽ có 6.5.4.3.2.1=720 cách ứng với 720 số tự nhiên
thỏa mãn bài toán.
Cách 2: Sử dụng hoán vị. Học sinh phát hiện ra yêu cầu bài toán ở ý a)
phù hợp với khái niệm hoán vị. Mỗi số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác
nhau dược lấy từ tập A = 1,2,3,4,5,6 là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số các
số đó là: P6 = 6! = 720 số .
b) Học sinh phải phát hiện ra sự khác nhau ở ý a) và ý b). Ý b) yêu cầu
số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau phải là số chẵn. Như vậy các số tham gia cấu
thành nên số x = a1 a2 a3a4 a5a6 khơng cịn vai trị như nhau. Để x chẵn thì ta
phải chọn a6 2,4,6 , có 3 cách chọn a6 .
Đến đây, việc chọn a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , tương tự ý a) ta sẽ có 2 cách. Hoặc
theo qui tắc nhân, ta có 5.4.3.2.1 = 120 số, hoặc theo hốn vị, có P5 = 120 số .
Do đó, có tất cả 3.120=360 số cần tìm.

* Số các số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
Học sinh giải tương tự như tìm các số chẵn gồm 6 chữ số đơi một khác
nhau. Tuy nhiên, hoặc các em có thể phát hiện ra hoặc giáo viên định hướng dẫn
đến phương pháp tìm phần bù. Có thể lấy tổng tất cả các số là 720 số rồi trừ đi
số các số chẵn là 360 số thì ta được số các số lẻ là 360 số.
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? Đây là câu ở mức độ vận dụng, nên
học sinh cần phân tích bằng sơ đồ cây để tìm lời giải.


16

Qua việc phân tích bằng sơ đồ cây, học sinh dễ dàng đếm được số phần
tử trong mỗi trường hợp để từ đó có lời giải tường minh.
Giải Gọi số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau có dạng
x = a1 a2 a3a4 a5a6 ,

x  432000.

Trường hợp 1: a1  4  a1 1,2,3. Vậy có 3 cách chọn a1 . Khi đó,
chọn a2 a3a4 a5 a6  A \ a1 theo qui tắc nhân có 5! = 120 cach . Vậy trường hợp
1 có 3.5! = 360 số.
Trường hợp 2: a1 = 4.
Nếu a2 = 1hoặc a2 = 2 thì chọn a3a4 a5a6 mỗi trường hợp lại có 4! = 24 số.
Nếu a2 = 3 thì chỉ có thể chọn a3 = 1 và chọn a4 a5a6 có 3! = 6 số.
Vậy tất cả có: 360+2.24+6=414 số thỏa mãn u cầu.
Qua ví dụ trên, có thể thấy, khi học sinh sử dụng sơ đồ cây hoặc sơ đồ tư
duy để phân tích hoặc tổng hợp các kiến thức hoặc để so sánh sự khác nhau về
các thuộc tính của các khái niệm sẽ dễ hiểu hơn và có cái nhìn khái qt hơn.
Do đó, trong quá trình dạy học, nên định hướng cho học sinh có thói quen sử
dụng sơ đị tư duy.

17

b) Sử dụng sơ đồ tư duy.
Sử dụng sơ đồ tư duy là công cụ hữu hiệu trong việc tổ chức và đánh giá
định vị luận điểm, luận cứ rõ ràng. Học sinh sử dụng sơ đồ tư duy để tổng hợp
kiến thức của bài, của chương là một trong những cách để rèn luyện việc ghi
nhớ. Khuyến khích học sinh có thói quen lập sơ đồ tư duy như là một phương
pháp học tập tích cực. Ví dụ sơ đồ tư duy
( />

18

. ( />
2.2.2.3. Biện pháp 3. Khuyến khích học sinh tham gia quá trình kiểm tra,đánh
giá, nhận xét, phát hiện sai lầm trong lời giải và tìm cách sửa sai.
Trong quá trình giải tốn, nhất là những bài tốn về “Tổ hợp-xác suất”
người học thường xuyên mắc sai lầm. Nguyên nhân thì có nhiều, xong nếu biến
những sai lầm thành những vấn đề cần phải giải quyết thì người học sẽ được
khắc sâu kiến thức và tránh được lỗi sai. Người dạy sử dụng kinh nghiệm cá
nhân, dự đoán được những sai lầm mà học sinh hay mắc phải để từ đó thiết kế


19

các phiếu học tập hoặc đưa các tình huống đó vào trong các đề kiểm tra và yêu
cầu học sinh tìm lỗi sai, tìm bước sai.
-Sai lầm do khơng phân biệt được qui tắc cộng và qui tắc nhân, không
phân biệt được chỉnh hợp và hốn vị.

Ví dụ 4. Tìm sai lầm trong lời giải bài tốn sau:
Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ gồm một cái quần, một cái áo
và một cái cà vạt?
Giải Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.
• Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.
• Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.
Theo qui tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 = 13 cách chọn.
Nguyên nhân sai: Học sinh nắm không vững bản chất của qui tắc cộng và qui
tắc nhân, và có thẻ liên tưởng đến bài tốn đã làm như: “Một người có 4 cái
quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt?”
Học sinh sửa sai trong lời giải:
• Bước 1: chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.
• Bước 2: chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.
• Bước 3: chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.
Đẻ chọn một bộ, bao gồm 1 chiếc quần, 1 chiếc áo và một chiếc ca vat thì có
4.6.3 = 72 cách chọn
Sai lầm do không hiểu được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
nên khi vận dụng giải tốn sẽ bỏ sót trường hợp. Hoặc lúng túng khơng biết khi
nào thì dùng hay khơng dùng được hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ 5. Tìm lỗi sai và sửa sai lầm trong lời giải bài toán sau: “Ba bạn A, B, C
viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;14 . Xác suất để ba số
được viết ra cmột số tự nhiên chia hết cho 3?”
Một học sinh giải như sau: Gọi 3 số mà 3 bạn viết ra là a, b và c. Khi
đó, a có 14 khả năng chọn, b có 14 khả năng và c cũng có 14 cách chọn. Suy ra
số phần tử không gian mẫu: n() = 143 . Đặt:
X = 3,6,9,12  X = 4
Y = 1,4,7,10,13  Y = 5

20

Z = 2,5,8,11,14  Z = 5
Đặt x = abc . Để x chia hết cho 3  a+b+c chia hết cho 3. Ta có các
trường hợp sau:
TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 hay a, b, c  X . Có 43
TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 hay a, b, c  Y có 53
TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 hay a, b, c  Z có 53
TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một
số chia 3 dư 2 được ba người viết lên bảng nên có: 4.5.5 =100 số.
Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3”
Ta có: n(E ) = 43 + 53 + 53 + 4.5.5 = 414 .
n( E ) 414 207
=
=
n() 143 1372 .
Học sinh quan sát, so sánh đối chiếu với các kiến thức đã học về 2 qui
tắc đếm, về định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để tìm lỗi sai. Sử dụng các
kiến thức đã học để sửa sai, bảo vệ ý kiến của mình trên cơ sở khoa học. Sau khi
rà soát, học sinh sẽ phát hiện ra sai lầm trong TH4, sau khi đã chọn được 3 số
rồi, tiếp theo phải hoán vị 3 số này nên TH4 kết quả phải là: 4.5.5.3! = 600 . Khi
đó n( E ) = 43 + 53 + 53 + 4.5.5.3! = 914 .

Vậy xác suất cần tính: p( E ) =

Vậy xác suất cần tính: P( E ) =

914 457
=

.
143 1372

Sai lầm do trong quá trình giải tốn bỏ sót trường hợp
Ví dụ 6. Tìm sai lầm trong lời giải bài toán sau: “Xếp 5 học sinh nam
và 3 học sinh nữ theo mọt hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh
nam đứng xen giữa 3 học sinh nữ”.
Giải
Bước 1: Xếp 3 học sinh nữ, có 3! = 6 cách. Sau khi xếp 3 học sinh nữ
sẽ tạo ra 2 khoảng trống ở giữa và 2 khoảng trống 2 phía đầu.
Bước 2: Chọn 2 học sinh nam trong 5 học sinh rồi xếp vào 2 khoảng
trống ở giữa 3 học sinh nữ, có A52 cách.
Bước 3: Xếp 3 bạn nam còn lại vào vị trí là khoảng trống phía ngồi 2
bạn nữ có 3! = 6 cách xếp.
Theo qui tắc nhân, sẽ có 3!.A 25 .2.3! = 1440 cách.
Học sinh suy xét, cân nhắc, rà sốt để tìm lỗi sai. Bước 1 và bước 2 là
hợp lý thì chỉ có thể sai ở bước 3. Ở bước 3, lời giải ở trên đã bỏ sót trường hợp
đó là có thẻ có 1 học sinh nam đứng ở khoảng ngoài bên trái và 2 học sinh nam