Tài liệu phương trình mũ và lôgarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.57 KB, 15 trang )
CƠNG THỨC LŨY THỪA
1. Cơng thức lũy thừa.
ĐKXĐ:
a
xác định khi 0 a 1.
x
x
1. am n am .an
1.
am .an am n
2.
am .b m a.b
3.
am
am n
n
a
4.
am a
, b 0
bm b
5.
a a
6.
a-n
m
2.
3. a
m
n
m
a.b
n
m
am .b m
am
n
a
m n
m
am
a
4. m , b 0
b
b
5. am.n am an
m
n
1
an
m
7. a n n am
6.
1
an
-n
a
7.
n
a =a
m
m
m
n
2. Bài tập áp dụng.
Bài 1:Rút gọn biểu thức:
2
1
a4 a 3 a 3
A
1
34
4
a a a 4
3
1.
4.
G
a
3 1
.a
1
3 1
a
5
2. B b
3
2 3
5.
3 1
.a
2 3
b2
5
b 4 5 b 1
3
b3b
a2 3 4
3 1
3 1
a 2 1 a
H 3 2 .
3
b
1
6
b
2
3 4
3 4
3. C= a .b b .a
3
3
a b
2 1
Bài 3: Cho 9 x 9 x 33 . Tính giá trị biểu thức A= 3x 3 x .
Bài 4: Cho 16 x 16 x 97 . Tính giá trị biểu thức B= 4 x 4 x .
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
a. a. 3 a . 4 a
1. A=
b. b . 3 b . 4 b
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
1
2. B=
1
a. a
3
a2
1
1. A=
a.b
a
1
2 4 2
a b a
a b a b
1
.b
2 2
2 2 2
1
2 4 2
4
a3
1
2. A=
512
1 4 1 3 1 2 1
1. A= .
16 8 4 2
Bài 7: Rút gọn biểu thức:
3
a 2.3 a 2
2
3 3 3
b
2. A=
3
12
a.bc
3
1 8 1
256
128
3
3
7
1
2 4 2
1
64
a .b c a b a
a b c a b c
1
2 3 2
1
2 2 2 2
3
6
2
2 3 2 1
bc
3
2 4 2 2
LƠGARÍT
1. Cơng thức LƠGARÍT.
69
ĐKXĐ:
log f x xác định khi 0 a 1 .
f x 0
a
1. log a f x g x
1. log a x b x a b
f x ag x
2. log a x log a y x y
3. log a1 0
log aa 1
4. log aa
alog b b
2. log a f x log a f y
f x f y
a
3. log aa
5. log a m.n log a m log a n
log m m
4. b alog b
n m log n
5. log a m log a n log am.n
a
m
6. log a log a m log a n
n
7. log a x log a x
m
m
n
6. log a m log a n log a
1
log a x
log a c
log b c
log a b
8.
10.
1
log a b
log b a
10.
log a b. log b a 1
11.
log e x ln x
11.
ln x log ex
12.
log10 x log x lg x
12.
log x log10 x lg x
8.
9.
7.
log a x
9.
log a x log ax
1
log a x log a x
log a b . log b c log a c
2. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Thực hiện phép tính lơgarít.a. log a2 a
4
b. log 1 a
2
c. log
a3
1
3
a2
1
a
d. a
Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: 1. A log a a3 a 5 a 2. B log a a 3 a 2 5 a a
log
a
5
1
e. 3
a
log 1 2
a
a 5 a3 3 a 2
a4 a
3. log 1
a
log 2 log
1
3log 4 2
a
1
a
16
1
a
Bài 3: Rút gọn: 1. A 81
2. B 5
3. C 2
a
Bài 4: 1. Cho a log 2 5 , b log2 3 . Tính log 2 45 . 2. Cho a log3 5 , b log2 3 . Tính log3 100 .
log3 2 log
3
1
3log27 4
16
log5 4 2log
5
1
3log 2008 1
2
3. Cho a log 1 3 , b log2 5 . Tính log 2 0,3 .
2
Bài 5: 1. Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b. 2. Biết log214 = a. Tính log4932 theo a.
3. Biết log 2 5 a;log 2 3 b . Tính C log3 135 .
4. Biết log 27 5 a;log8 7 b;log 2 3 c . Tính D log6 35 .
1
Bài 6: Thu gọn biểu thức: 1. log(2 3 ) 20 log(2 3 ) 20 3. ln e ln
4. ln e 1 4 ln(e 2 . e )
e
Bài 7. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log a b 3;log a c 2 :
1. x a3b2 c
2. x
a4 3 b
c3
3. x
a 2 4 bc 2
3
ab 4 c
Bài 19. Thực hiện phép tính:
a. eln 2 eln 3 e2ln 3
1
1
b. ln e2 ln ln
e
e
d. log 0,1 log 0, 01 log 0, 001
e. log e
c. log10 log100 log1000
3ln 2
2
ln10log e ln100log e
3
70
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGA RÍT
1. Hàm số mũ.
y = ax; TXĐ: D=
Bảng biến thiên.
a>1
x
0
.
0
+
x
+
+
y
1
y
1
y
3
y
3
y=3x
2
2
1
1
x
-7 -16 -6 -15 -5 -14-4 -13-3 -12-2 -11-1 -10
-1
-9 1 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
Bảng biến thiên
-6
a>1
-7 0
x
0
y
-8
4
f(x)=(1/3)^x
-5
-6
+
+
-11
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
-1
y=x
-2
-2
-3
-3
a
-5
x /
a x .ln a
e
x /
ex
a
u /
au .ln a.u '
e
u /
eu .u '
-8 cơng thức tính đạo hàm.
4. Các
-4
x
log
-5
/
a
ln x
-7
-6
1
x.ln a
1
x
/
log u
/
ln u
u'
u.ln a
u'
u
a
/
-8
-9
-9
x
-11
-10 /
-12
-13
-14
-15
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lơgarít.
-7
-13
1
x
-93
y=x
2
-14 y=log3 x
-15
-6
-12
3
1
-4
y
4
-13
-111 -102
-10
x
y=3
-12
2
+
1
-9
-11
y
0
x -7 0
y -8 +
-10
3
-4 -15-3 -14-2 -13-1 -12
-1
-4
1
-9
f(x)=x
-5
-3
x 0
; D=(0;+)
-5 0 a 1
-4
y=logax, ĐK:
f(x)=ln(x)/ln(1/3)
3
-2
Đồ thị
2
-1
-3
2. Hàm số lgarit.
x
-1
-2
-6
+
Đồ thị
f(x)=(1/3)^x
0
x
.x 1
/
1
2 x
u
/
.u 1.u '
u
/
u'
2 u
-10 1
/
1
2
x
-11 x
-12
u.v
-13
-14
-14
-15
-15
/
u'
1
2
u
u
u u '.v u.v '
v2
v
'
/
u '.v u.v '
71
5. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau.
ex
1. y = x
2. y = e 2 x 1
e 1
5. y = log( 3 2x x 2 )
2x 3
1 x
3. y= ln x 2 3x 2 4. y = ln
x 2 x 2 3x
6. y = ln
2 x 2 3x 1
7. y = log2
1 3x
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau.
x
1. y = (x + 2).e
4. y = 2x -
ex 1
2. y = 1 2 .3 2015
ex
2014
3. y =
x 1
5. y = ln(x2 + 1)
6. y =
x
x
7. y = (1+x)lnx
8. y = x 2 .ln x 1
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1. y = x 1 e2 x 1
2. y x.e1cosx 2
ln x
x.e x
x
9. y = 3x.log3x+3
3. y 2 x 3x 4 x
4. y x 2 .ln x 1
5. y
ln x
x2
6. y = log 2 x log3 2 x
x2 9
7. y log3
x5
8. y 2x 2x.cosx
9. y ln x 3 ln 2 x
e x e x
x4
10. y x ln x 1
11. y log 2
12. y x x
e e
x4
Bài 4: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1. Cho hàm số y = esinx. Chứng minh rằng: y’cosx – ysinx – y’’ = 0.
2. Cho hàm số y = ln2x. Chứng minh rằng: x2.y’’ + x. y’ = 2
Bài 5: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
2
2
1. Cho hàm số y x.e
x2
2
. Chứng minh rằng: x. y ' 1 x 2 y .
2. Cho hàm số y x 1 e x . Chứng minh rằng: y ' y e x .
3. Cho hàm số y e4 x 2e x . Chứng minh rằng: y ''' 2 y ' 12 y 0 .
4. Cho hàm số y e x .sinx . Chứng minh rằng: y '' 2 y ' 2 y 0 .
72
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
----------9999--------1. Phương trình mũ cơ bản.
Hai dạng phương trình mũ cơ bản:
a x b x log a b
hay
a a x y
x
y
f x
a
hay
a
b f x log a b
f x
a
g x
f x g x
2. Các dạng phương trình mũ:
a. Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số, đưa về pt mũ cơ bản.
b. Dạng 2: Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình đại số.
c. Dạng 3: Lơgarít hóa hay lấy lơgarít hai vế.
3. Bài tập áp dụng.
a. Dạng 1 : Đưa phương trình về dạng cơ bản:
f x
f x
g x
a b f x log a b
a a f x g x hoặc
Bài 1: Giải các phương trình:
1
2.
3
1. (0,2)x-1 = 1
1
4.
2
7. 3
3 x 1
3
x2 2
2 4 3 x
x 2 5
9
5. 2
x 1
8. 5
3. 4x
x2 x 8
x x2 4
x
8 9
1 1
2 10.
9. .
2 2
27 4
Bài 2: Giải các phương trình:
x7
1 2 x
x2 6x
25
1
9 9
3
1.
(0,3)
3 x 2
1
52
x 1
3
11.
2
x7
9
.
4
52
x 1
x 1
2 3 x
27 x 3 81x 3
x 1
27
8
2
2. ex 2x 1 0.
4. 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9
x1
7. 2 2 2
3 3
Bài 2: Giải các phương trình:
x
x
x 1
6. 52 x 7 x 52 x.35 7 x.35 0
5. 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
x2
16 0
6.
5
2
x1
3 x 2
413x 0
1. 2
16 2 0
x 1
x
3. 5 6.5 3.5x 1 52
x
2
3x2
2. (1,5)
5 x 7
x1
8. 5 5
x
2
3
x 1
5x2 3x 3x1 3x2
1 2 x
3. 25 . eln x 1 1 0
5
x 2 2 x 3
2
1
4.
5. 2 x 3 x 2 4
6. ( 2 1)2 x3 2 1
7 x 1
7
7. (0,5) x7 .(0,5)12 x 2
8. 7 x 1 2 x
9. 3x.2 x1 72
b. Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa pt về phương trình đại số.
f x
Cách giải : Ta đặt t = ax, hoặc t a , điều kiện t > 0.
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1. 25x 6.5x 5 0 ( Đề thi TN 2009)
2. 31 x 31 x 10
3. 7 2 x 1 8.7 x 1 0 ( Đề thi TN 2011)
3. 3x 32 x 10
5. 4 x 1 6.2 x 1 8 0
6. 32 x 1 32 x 108
7. 8 2.4 2 2 0
x
x
x
8.
2
8x
3x 3
2 x
12 0
73
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1. 32 x 1 4.3x 1 27 0
2. 3x 3 x 2 8 0
3. 22 x 1 2 x 3 64 0
4. 2 x 3. 2 x 17 11
5. 81sin x 81cos x 30
6. (1 2) x 2.(1 2) x 3
2
7.
2
x
4 15
4 15
8
x
8.
Bài 3 :Giải các phương trình sau :
1. 4.9 x 12 x 3.16 x 0
3. 3.25x 2.49 x 5.35x
1
2.4 x
1
6x
2
3 2 3 4 0
x
x
2. 6.32 x 13.2 x.3x 6.22 x 0
4. 32 x 4 45.6 x 9.22 x 2 0
1
9x
6. 15.25x 34.15x 15.9x 0
2
5.
Bài 4: Giải các phương trình sau :
1. ( 2 1) x ( 2 1) x 2 2 ( ĐH Khối B - 2007).
2. 3.8x 4.12 x 18x 2.27 x 0 (ĐH Khối A - 2006).
2
2
3. 2x x 22 x x 3 ( ĐH Khối D - 2003 )
2
2
4. (7 4 3)cosx ( (7 4 3))cosx 4 (Luật HN1998).
5. (5 21) x 7.(5 21) x 2 x3 ( ĐHQG HN D1997)
6. 9sin x 9cos x 10 ( ĐH SP HN 1999)
7. 8x 18x 2.27 x ( ĐHQG HN 1997)
8. 125x 50 x 23 x1 ( ĐH QGHN B 1998).
2
2
Bài 5: Giải các phương trình sau:
1. 32x
2
2 x 1
28.3x
2
x
9 0
2. 22x
2
4 x2
4.22 x x
2
1
20
2 x x2
3. 9
x 2 x 1
10.3
x2 x 2
1 0
5. 32x+1 22 x 1 5.6 x 0
1
4. 9
2.
3
3
6. 23x+1 7.22 x 7.2x 2 0
x 2 2 x
c. Dạng 3: Phương pháp lơgarit hóa.
Bài 1: Giải các phương trình.
3
2
2
1. 2x.3x 1
2. 5x .3x 1
Bài 3: Giải các phương trình.
2
4.
5
4 x 1
1
7
3. 7 x .8x 1 .
4
3x2
5
x
5. 5x.3x 1
6. 3x.8 x 2 6
2
NÂNG CAO
A 0
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
.
B 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1. 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2
2
2. 2 x x 4.2 x x 2 2 x 4 0
3. 12.3 x 3.15 x 5 x 1 20
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy
nhất(thường là sử dụng công cụ đạo hàm).
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì
phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). Do đó nếu tồn tại x0
74
(a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C.
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một
hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong
khỏang (a;b). Do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x) = g(x).
Bài 1: Giải các phương trình sau:
x
2. 2x = 1+ 3 2
1. 3x + 4x = 5x
x
1
3. 2x 1
3
4. 2 x 3 x
x
1
1
5. x
2
2
x
6. 3 5 2 x .
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1. 25 x 2(3 x ).5 x 2 x 7 0
3. 3.4x (3x 10).2x 3 x 0
2. 3.25 x 2 (3 x 10).5 x 2 3 x 0
4. 9x 2( x 2).3x 2 x 5 0
BÀI TẬP ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2x
x
25
3. 5.
4
x
3 x 3
5
7.
2
3 x 3
4. 4.54x 29.22x.32x 25.2 2x 0 .
2 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1. 3x 3x 2 3x 1 log3 81 0.
3.
3
2x
2.
2 32x 32x 1 2 0
2
4.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
2
2
2
1. 25 2 x x 1 9 2 x x 1 34.15 2 x x
3. 6.92 x
2
x
13.62 x
2
x
6.42 x
2
x
2
x
1
3. 5
5
x
4.
6.
x 3
2 2 x log2 4 0.
3x
2 23x log2 8 0
2
2
6. 3.16 x 2.81 x 5.36 x
2
x
3 x
x
4. 25 x 10 x 22 x1
0
7. 6.9 13.6 6.4 0
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1. 4 x-1 0,5
2
2
2. 3.16 x 1 2.81x 1 5.36 x 1
5. 32 x 4 45.6 x 9.2 2 x 2 0
2
x
2x
16
4
2. 3. 7. 4 0 .
9
3
1. 36 2 .3 6 0.
x
8. 2 x 1 (2 x 3x1 ) 9 x 1
62
2. 3x+4 5x 3 3x 5x 2.
x
1
.
125
1
2
1
4 2x 2 2x
1
2
1
x
5-25 1 25x
4. 23x .3x 23x 1.3x 1 192.
1
3
1
5 52 x
3 52 x
5.
7.
3
2
4
1x
-x
1+3
3
3
75
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
1. Phương trình lơgarit cơ bản.
loga x b x ab
hay log a f(x) b f(x) a b
loga x loga y x y
hay log a f(x) log a g(x) f(x) g(x)
2. Các dạng phương trình lơgarít.
a. Dạng 1: Đưa về cùng cơ số, đưa về phương trình lơgarít cơ bản.
b. Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số.
c. Dạng 3: Mũ hóa.
3. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. log 2 x 2 4
Bài 2: Giải các phương trình sau:
2. log 2 x 2 3x 4
1. log3 x log9 x log27 x 1
2. log2 log 4 x 2 log8 x 2
3. log 2 x 2 log2 x 1
4. log 3 x log3 x 1
5. log 4 x log2 3 x 2
6. log2 x 2 +log2 x 3 =5
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. log 4 x log2 4x 1
3. log8 x 2 log2
x
2
4
5. 4log 4 4x 2 log 4 8x 3
Bài 4: Giải các phương trình sau:
2. 3log9 x 3log3 3x 1
4. 2log2 2x 3log2
8
2
x
5. log2 4x 2 log 4 2x 3log2
2
0
x
1. log 2 x 3 log 2 x 1 log 2 5
2. log 2 x 3 log2 x 1 3
3. log 2 x log 2 x 1 1
4. ln x+1 ln x 3 ln x 7
Bài 5: Giải các pt sau:
1. log 2 2x 4 1 log 2 1 x
2. log2 2 3x 2 log 2 1 2x
3. log3 2x log3 4 2x 3
4. log3 2x 2 log3 4 2x 4
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1. log2 3x 1 log2 x 1 2
3. ln 4x+2 ln x 1 ln x
5. log2 2 x 2 1 log2 2 x 4
2. log5 x 6 log5 x 2 log5 x
4. log2 4.3x 6 log2 9 x 6 1
6. log3 3x 9 log3 3x 3 1
Bài 7: Giải các pt sau:
1. log22 x log2 x 2 1 0
1. log32 x log3 x 3 log3 x 5 0
3. 2log22 x 14.log 4 x 3 0
4. 2log32 x 14 log9 x 3 0
5. log22 x 2 log2 4x 5 0
6. log32 x 3log3 9x 8 0
7. 2log22 x 3log2
Bài 8: Giải các pt sau:
x
11 0
4
8. 2log32 x 3log3
x
11 0
9
76
1. 4.log 24 x log 2 x 2 1 0
3. 2.log 21 x 3log 2
2
2. 8.log 24 x log 2 x 3 1 0
x
11 0
4
4. 4.log 24 x 3log 2 8x 11 0
Bài 9: Giải các phương trình sau:
5
0
2
3. log2x 64 log x 16 3
1. log3 x log x 3
2. log 7 7x log 7x 7 2 0
4. 3log x 4 2 log 4x 4 3log16x 4 0
2
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1
2
1
4-logx 2 log x
1
2
3.
1
5-lgx 1 lg x
3
2
4
1+logx 3l ogx 3
2
9
13
4.
7-lnx 11 ln x 12
1.
2.
Bài 11: Giải các phương trình sau:
1. log2 8 2x x
2. log3 54 3x x
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1. log2 3x 8 2 x
2. log2 9 2 x 3 x
3. log 7 6 7 x 1 x
4. log2 3.2 x 1 2x 1
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1. log 2 x.log 2 2 x 2 0
2. log 3 x.log 3 3 x 2 0
3. log 2 x.log 2 2 x log 2 x log 2 4 x
4. lnx.lne2 x ln x ln e 2 x
Bài 14: Giải các phương trình sau:
1. 2log 2 2 x 2 log 1 9 x 1 1
2
3. 2log 3 4 x 3 log 1 2 x 3 2
2. 2log 3 x 1 log
3
2 x 1 2
4. log 3 3x 1 .log 3 3x 2 9 2
3
5. log 3 3 1 .log 3 3x 1 3 6
x
6. 2log 3 4 x 3 log 1 2 x 3 2
3
7. 2 log 2 x 1 log 4 x log 2
1
0
4
9. log 32 x log 32 x 1 5 0
8. log 3 ( x 2).log 5 x 2 log 3 x 2 .
10. 2-log 3 x log 9 x 3
1
1
1 log 3 x
Bài 15: Giải các phương trình sau:
1. 22log3 x .5log3 x 400
x-1
3. 3 .5
2
x
2 x2
2
5. 8 2
15
3 x 3
x
12 0
Bài 16: Giải các phương trình sau:
1. lg 3x 2 4 x lg 200 lg 2 x.
2. 2
2log3 x 1
log3 x 1
.5
400
4. 22x-1.4 x 1 64.8 x 1
x
6. 5 .8
x1
3
500
2. lg2+lg 4 x-2 9 1 lg 2 x 2 1 .
3. log 2 4 x 1 x log 2 2 x 3 6 .
4. log3 9 x 9 x log3 28 2.3x .
5. lg5+ x-2 lg 0,2 lg 26 5x 1 .
6. log 2 4 x 4 x log 2 2 x 1 3 .
Bài 17: Giải các phương trình sau:
77
1. x+lg 1+2
x
x lg 5 lg 6.
2.
1.
3x
1
4. log3 log9 x 9 x 2x
2
3. log 2 4.3x 6 log 1 9 x 6 1.
2
5. 3
log3 lg x
log 2 9 2 x
6. log3 1 log3 2 x 7 1
lg x lg 2 x 3.
7. 2x.log 2 x 2 2 4x 4 log 4 x.
8. 3x.log3 x 2 6x log 27 x 3 .
BÀI TẬP ƠN TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƠGA RÍT
------------------------------9999-----------------------------Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) log2 x ( x 1) 1
b) log2 x log2 ( x 1) 1
c) log2 ( x 2) 6.log1/8 3 x 5 2
d) log2 ( x 3) log2 ( x 1) 3
e) log4 ( x 3) log4 ( x 1) 2 log4 8
f) lg( x 2) lg( x 3) 1 lg 5
g) 2 log8 ( x 2) log8 ( x 3)
2
3
h) lg 5 x 4 lg x 1 2 lg 0,18
i) log3 ( x 2 6) log3 ( x 2) 1
k) log2 ( x 3) log2 ( x 1) 1/ log5 2
l) log4 x log4 (10 x ) 2
m) log5 ( x 1) log1/5 ( x 2) 0
n) log2 ( x 1) log2 ( x 3) log2 10 1
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) log3 x log
3
x log1/3 x 6
o) log9 ( x 8) log3 ( x 26) 2 0
b) 1 lg( x 2 2 x 1) lg( x 2 1) 2 lg(1 x )
c) log4 x log1/16 x log8 x 5
d) 2 lg(4 x 2 4 x 1) lg( x 2 19) 2 lg(1 2 x )
e) log2 x log4 x log8 x 11
f) log1/2 ( x 1) log1/2 ( x 1) 1 log1/
g) log2 log2 x log3 log3 x
h) log2 log3 x log3 log2 x
i) log2 log3 x log3 log2 x log3 log3 x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
b) log3 (3x 8) 2 x
c) log7 (6 7 x ) 1 x
d) log3 (4.3 x 1 1) 2 x 1
e) log2 (9 2 x ) 5
f) log2 (3.2 x 1) 2 x 1 0
g) log2 (12 2 x ) 5 x
h) log5 (26 3x ) 2
i) log2 (5x 1 25x ) 2
k) log4 (3.2 x 1 5) x
l) log
1
(5 x 1 25 x ) 2
m) log
6
3
v. log 2 4.3x 6 log 2 2 9 x 6 1
2
n. log 2 2 x 1 .log 4 2 x1 2 1
(7 x)
k) log2 log3 log4 x log4 log3 log2 x
a) log2 (9 2 x ) 3 x
log5 (3 x )
2
(6 x 1 36 x ) 2
1
5
u. log 5 1 . log 5
5
w.
x
25
x 1
5 1
log 5 5 x 2 . log 2x 5 1
Bài 4: Giải các phương trình sau:
78
a) log32 x log32 x 1 5 0
c) log x 2 log4 x
b) log2 x 3log2 x log1/2 x 2
2
7
0
6
d) log21 4 x log2
2
e) log2 x 3log2 x log1/2 x 0
2
g) log5 x log x
f) log x 2 16 log 2 x 64 3
1
2
5
i) 2 log5 x 2 log x
x2
8
8
h) log7 x log x
1
5
1
2
7
k) 3 log2 x log2 4 x 0
l) 3 log3 x log3 3 x 1 0
m) log2 3 x 3 log2 x 4 / 3
n) log2 3 x 3 log2 x 2 / 3
o) log22 x 2 log4
p) log22 (2 x ) 8log1/4 (2 x) 5
q) log25 x 4 log25 5 x 5 0
r) log x 5 log x 5 x
t)
9
log 2x 5
4
1
0
x
s) log x 2 3 log9 x 1
1
2
1
4 lg x 2 lg x
u) log2 x x 2 14 log16 x x 3 40 log4 x x 0
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
x
a
ax
ax
ax
a
ay
ay
ay
y
Các công thức:
x y , khi a>1, cùng chiều.
x y,
x y,
x y,
khi 0
khi 0
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
x 2 3 x 4
1. 3
1
2.
2
9
2 x 3
1
0
4
3
3.
2
2 x 2 3 x
2
0
3
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1. 2x+1 16 2 x +8
2. 2x+1 9.2 x 2 x 2 14 2
3. 2x .3x 1 2 x 1.3x 180
4. 2 x.5x 1 2 x 1.5x 10x 17
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
2x+
1
2
1. 9 6.32 x 9
3. 42x 22 x 2 3 0
2. e2x 2e x 3
4. 2x 2 x 3
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
x
1.
x
4
2
5. 6 0
9
3
x
x
1
1
3. 2 3 1
4
2
Bài 5: Giải các phương trình sau:
2. 52x 522 x 26
x
1
1
4. 3 1 4
9
3
x
79
1. 9x 4 x 2.6 x
2. 9.9x 25.12 x 16.16 x 0
3. 62x 3x.4 x 6.22 x
4. 52 .32x 32.52 x 34.15x
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1.
3.
2x 2
>0
2x 2
3x 3 3x 27
2x 4
0
2.
22x 5.2 x 4
0
7 x 72
4.
5x 5
>0
32x 2.3x 1
Bài 7: Giải các phương trình sau:
1. 32x
2
2 x 1
28.3x
2
x
9 0
2. 22x
2
4 x2
4.22 x x
2
2 x x
3. 9
x 2 x 1
10.3
x2 x 2
1 0
5. 32x+1 22 x 1 5.6 x 0
1
20
2
1
4. 9
2.
3
3
6. 23x+1 7.22 x 7.2x 2 0
x 2 2 x
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGA RÍT
Các cơng thức
log a y x y , khi a>1, cùng chiều.
log a x
log a x log a y x y , khi 0
log a x log a y x y , khi 0
Bài 1: Giải các bất phương trinh sau:
1. log 1 3x 7 2
2. log 3 x 2 2 x 1 0
3. ln 2x-3 ln 5 6 x
2
4. lg x 2 3 x 7 lg x 2 10
Bài 2: Giải các phương trình sau:
5. log 2x-4 log 4 6 x
1. log3 x log9 x log 27 x 1
2. log 4 x log2 x 2 log2 8
3. log 2 x 2 log 2 3 x 1 log 2 32
4. log 3 x 2 log3 3 x 2 log 4 16
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. log 4 x 1 log2 4x
2. 3log 1 x 3log3 3x log 1 2
9
3. 2 log 2
x
log 4 x 4 2 log 4 16 3log 1 x
4
2
5. lnx 2 +2lnex-lne3 x lne
Bài 4: Giải các phương trình sau:
2
4. 2lgx 3lg100x 2 2 lg10x 2
6. 3logx 3log10x 2 log100 2 log100x
1. log 2 x 3 log 2 x 1 log 2 5
2. log2 x 3 log 2 x 1 3
3. log 2 x log 2 x 1 1
4. ln x+1 ln x 3 ln x 7
Bài 5: Giải các pt sau:
80
1. log 1 2x 4 1 log 1 1 x
2
2. log 2 2 3x
2
3
3. log 1 2x 2 log 1 4 2x
3
4. log
3
Bài 6: Giải các phương trình sau:
2
1
log 2 1 2x
2
3
2x 2 log 2 4 2x 2
1. log 2 x 3 log 2 x 1 log 2 5
2. log2 x 3 log 2 x 1 3
3. log 2 x log 2 x 1 1
4. ln x+1 ln x 3 ln x 7
Bài 7: Giải các pt sau:
1. log 1 2x 4 1 log 1 1 x
2
2. log 2 2 3x
2
3
3. log 1 2x 2 log 1 4 2x
3
4. log
3
Bài 8: Giải các pt sau:
2
1
log 2 1 2x
2
3
2x 2 log 2 4 2x 2
1. log 22 x 1 log 2 x 2
2. 4log 92 x log3 x 3 log3 x 5
3. log 2 x log 2 x 3 2
4. 2log 2 x 4 3log10x
5. log2 x 10 log100 x 6 0
6. lg2 x 2 lg x3 8 0
7. ln 2 x ln x 2 3 0
8. 2ln 2 x 3ln e2 x ln e 0
Bài 9: Giải các phương trình sau:
1. log3 x log x 3
5
0
2
2. log 7x log x 7 log 7 49
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1.
1
2
1
4-log 2 x 2 log 2 x
2.
3. log2 x log x 2 log 2 4
1
2
1
5-lgx 1 lg x
Bài 11: Giải các phương trình sau:
1. log2 8 2x x
2. log3 18 3x x
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1. log3 3x 8 2 x
3. log7 6 7 x x 1
2. log2 9 2 x x 3
4. log2 3.2 x 1 1 2x
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1. log 2 x.log 2 2 x 2
2. log3 x.log 3 3x 2
3. log 2 x.log 2 2 x log 2 x log 2 4 x
4. lnx.lne 2 x ln x ln e 2 x
Bài 14: Giải các bất phương trình
log 2 x 3l ogx+3
1
1.
log x 1
3. log 2 x 64 log x2 16 3
3x 1 3
16
4
4
8
32
4. log 42 ( x) log 21 9.log 2 2 4 log 21 x
3
x
2
2
2. log 4 (3x 1).log 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
-------------------------------------Giải các hệ phương trình sau.
log( x 2 y 2 ) 1 log8
x y 11
1.
2.
log2 x log2 y 1 log2 15
log( x y ) log( x y) log 3
81
3 x .2 y 972
3.
log 3 ( x y ) 2
x y 25
4.
log2 x log2 y 2
4
x
y
3 3
6.
9
x y 3
3 x 3 y 4
5.
x y 1
2 x 5 x y 7
7. x 1 x y
2 .5 5
x 2 y 2 3
8.
log3 ( x y ) log5 ( x y ) 1
log 2 x log 2 y log 2 ( xy)
9. 2
log ( x y ) log x. log y 0
3log x 4 log y
10.
(4 x) log 4 (3 y ) log 3
y 1 log2 x
12. y
x 64
log 27 xy 3 log 27 x. log 27 y
14.
x 3 log 3 x
log 3 y 4 log y
3
4 log 3 xy 2 ( xy) log 3 2
11. 2
x y 2 3x 3 y 12
9 x 2 4 y 2 5
13.
log5 (3x 2 y) log3 (3x 2 y) 1
Một số đề thi đại học về phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ và logarit trong thời
gian gần đây.
1
1
2
1.(KD năm 2007) Giải bất phương trình: log 1 2x 2 3x 1 log 2 x 1
2
2
2
2.(K A năm 2007) Giải bất pt: (log x 8 log 4 x )log 2
2
3.(K A năm 2007) Giải phương trình : log4 (x 1)
1
x
2
2x 0 . ĐS :
x 2
1
log2x 1 4
1
log2 x 2
2
4. (KD năm 2007) Giải phương trình: 23x 1 7.2 2 x 7.2 x 2 0 .
2
5. (KB năm 2007) Giải phương trình : log 3 x 1 log 3 2 x 1 2
4
1
1 log3 x
8
7. (KA năm 2007) Giải bất pt : 2log3 4 x 3 log 1 2 x 3 2 .ĐS : x 3
3
3
6. (KB năm 2007) Giải phương trình: 2 log3 x log9 x 3
8. (KB năm 2007) Giải phương trình :
x
2 1
x
2 1 2 2 0 . ĐS : x 1
1
0 . ĐS : x log 2 3
4.2 x 3
10. (KA năm 2006) Giải bất phương trình : log x 1 2x 2 . ĐS : 2 3 x 0
9. (KD năm 2007) Giải pt: log 2 4 x 15.2 x 27 2 log 2
11. (KA năm 2006) Giải phương trình: log x 2 2log 2x 4 log
12. (KB năm 2006) Giải pt : log
2x
8 . ĐS : x 2
x 1 log 1 3 x log8 x 1 0 . ĐS : x
3
2
2
1 17
2
82
13. (KB năm 2006) Giải pt: 9 x
2 x 1
10.3x
2 x 2
1 0 . ĐS : x 0, x 1, x 2
14. (KD năm 2006) Giải pt: log3 (3x 1) log3 (3x 1 3) 6 . ĐS : x log3 10, x log3
15. (KD năm 2006) Giải phương trình: 2(log 2 x 1) log 4 x log 2
28
27
1
1
0 . Đs : x 2, x
4
4
5
2
16. (KA năm 2008) Giải pt : log 2 x 1 2 x 2 x 1 log x 1 2 x 1 4 . ĐS : x , x 2 .
4
2
4 x 3
x x
17. (KB năm 2008) Giải bất phương trình : log0,7 log6
ĐS :
0.
x4
x 8
18. (KD năm 2008) Giải phương trình log 1
2
2 2 x 1
x 2 3x 2
0 ĐS :
x
2 x 2 2 2
19. (KD năm 2011) Giải pt log 2 8 x 2 log 1
1 x 1 x 2 0 . ĐS : x=0.
2
83
