ĐỀ đáp án số 12

ĐỀ ƠN TẬP SỐ 12
Câu 1.

[ NB] Tính lim

2n  3.5n
.
4.3n  5n

3
A.  .
4
Câu 2.

Câu 3.

B. 3 .

 x2  4

[ TH] Cho hàm số f  x    x  2
k khi

A. k  2 .
B. k  0 .
[ TH] Cho hình chóp S.ABCD có
phẳng đáy. Diện tích tam giác SBC

Câu 5.

Câu 6.

D. 

2
.
5

. Tìm k để hàm số liên tục trên tập

.

x2

C. k  2 .
D. k  4 .
đáy là hình vng cạnh a , cạnh SA  2a và vng góc với mặt
bằng

B.

[ NB] Tính đạo hàm của hàm số y  x3  2 x 2  2 tại điểm x0  2 .
A. y  x0   1 .

Câu 7.

khi x  2

1
.
4

a2 5
a2 5
a2 3
.
C.
.
D.
.
4
2
2
[ TH] Đạo hàm của hàm số y  cos 4 x  sin 4 x là
A. y  2sin 2 x .
B. y  4cos3 x  4sin 3 x .
C. y   sin 2 x .
D. y  2 sin 2 x .
[ TH] Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC , ABD , ACD là các tam giác vuông tại A . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. BCD là tam giác nhọn.
B. BCD là tam giác vuông.
C. AB   BCD  .
D. AC   BCD  .
A. a 2 3 .

Câu 4.

C.

B. y  x0   4 .

C. y  x0   7 .

D. y  x0   2 .

[VD] Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a và AB  x . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB, CD . Biết rằng  ACD    BCD  và  ABC    ABD  . Khi đó x
bằng

a 3
2a 3
a
2a
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 8. [TH] Cho hình chóp tam giác dều S.ABC có AB  a và chiều cao của hình chóp
a
bằng
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đã cho bằng
6
A. 30 .
B. 60 .

C. 45 .
D. 90 .
Câu 9. [ NB] Tính đạo hàm của hàm số y  sin x  2 cos x
A. y  cos x  2sin x .
B. y   cos x  2sin x .
C. y  cos x  2sin x .
D. y   cos x  2sin x .
Câu 10. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Biết SA  SC và SB  SD . Tìm
khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. SA   ABCD  .
B. SC   ABCD  .
C. SB   ABCD  .
D. SO   ABCD  .
A.

Câu 11. [ TH] Tính lim

x 

x2  1
.
3  2x

1
1
1
A.  .
B. .
C.  .
D. .

2
3
2
3
2
2
Câu 12. [ TH] Cho hàm số f  x   4 x  6 6 x  3m x  5 . Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f   x   0 có nghiệm là

C. 4 .

A. 7 .
B. 5 .
5
Câu 13. [ TH] Cho f  x    x  2  . Tính f   3 .
1

D. 6 .


A. 20 .
B. 20 .
C. 27 .
D. 27 .
Câu 14. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SA .
Mặt phẳng  MBD  vng góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A.  SBC  .

B.  SAC  .

Câu 15. [ NB] Tính lim

x 

1
3
.
C.  .
D.  .
2
2
[ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của AC , BD , MN . Tìm khẳng định
đúng trong các khẳng định sau.
1
2
A. AI  AB  AC  AD .
B. AI  AB  AC  AD .
3
3
1
1
C. AI  AB  AC  AD .
D. AI  AB  AC  AD .
4
2
5 2
[ TH] Cho hàm số f  x   2 x   3  2 . Phương trình f   x   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
x 3x
A. 3.
B. 2.

C. 1.
D. 4.
1
1
[ TH] Cho hàm số f  x  
. Tính f    .
x  2  2x
2
A. 24.
B. 16.
C. 48.
D. 32.



[ NB] Cho hình lăng trụ ABC.A B C có các mặt bên là các hình chữ nhật. Tính
AB.CC  AC.BB  BC.AA .
2
2
2
A.  AA  .
B. 3  AA  .
C. 2  AA  .
D. 0 .
B.




Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

D.  ABCD  .

1  3x
.
2x  3

A. 3 .

Câu 16.

C.  SBD  .




Câu 20. [ TH] Tính lim

x 












x2  2 x  3  x .

A. 2 .

C. 1 .

B. 0 .

D.  .

Câu 21. [ TH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB  a và ABC  30 . Biết SA   ABC  .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .
a
a 3
A. .
B. a .
C.
.
D. a 3 .
2
2
 
 
Câu 22. [ TH] Cho f  x   cos3x . Tính f      f    .
 3
2

A. 3 .
B. 3 .
C. 0.
D. 6.
1 2x
Câu 23. [ TH] Tìm đạo hàm y  của hàm số y 
.
1 x
x2
1  3x
A. y 
.
B. y 
.
2
2
2 1  x  1  2 x
1  x  1  2 x
x2
x2
C. y 
.
D. y 
.
2
2
2 1  x  1  2 x
1  x  1  2 x
Câu 24. [ VD] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B và AB  3, BC  4 . Biết

 SBC    ABC  và

SB  2 3, SBC  30 . Tính khoảng cách từ B đến  SAC  .

7
3 7
6 7
5 7
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
14
7
12
Câu 25. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. SA  SB  SC  SD  4SO .
B. SA  SB  SC  SD  0 .
A.

2


Câu 26.
Câu 27.

Câu 28.
Câu 29.

C. SA  SB  SC  SD  0 .
D. OA  OB  OC  OD  0 .
[TH] Cho hình lập phương
ABCD.ABCD . Góc giữa hai vectơ BD và BC bằng
A. 60 .
B. 120 .
C. 45 .
D. 90 .
2
3
2n  4 
 1
[ TH] Tính lim  2
 2
 2
 ...  2
.
n 4
n 4 n 4 n 4
1
A. .
B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
2
4n  1

[NB] Tìm lim
.
n2
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 4 .
2
[TH] Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y  2 x  3x  5 . Gọi d là tiếp tuyến của  P  tại giao
điểm của  P  với trục Oy . Khi đó d có hệ số góc bằng

A. 1 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 3 .
3
Câu 30. [TH] Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  2 x tại điểm có hồnh độ bằng 1 .
A. y  6 x  4 .
B. y  6 x  8 .
C. y  6 x  4 .
D. y  6 x  8 .
Câu 31. [TH] Cho lim un  5, lim vn  13 và lim  un  kvn   2007 . Khi đó k bằng

2002
.
B. 398 .
5
Câu 32. [TH] Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lim  x3  3x    .
A.

C.

2007
.
13

D. 154 .

B. lim  x3  3x    .

x 

x 

C. lim  x  3x   3 .

D. lim  x3  3x   1 .

3

x 

x 

1
Câu 33. [ TH] Trong mặt phẳng Oxy , cho đồ thị  C  : y  x 3  x  1 . Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm
3
 0;1 . Góc giữa d và trục Ox bằng
A. 45 .

B. 60 .
C. 120 .
D. 135 .
Câu 34. [ NB] Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của CD . Tìm
đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau.
A. MA  MB  MC  3MG .
B. MA  MB  MC  3MD .
C. MA  MB  MC  3MD .
D. MA  MB  MC  3MG .
1
Câu 35. [ TH] Cho hàm số y 
. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
3cos 2 3 x
A. y  3 y.tan 3 x .
B. y  6 y.cos 3x .
C. y  6 y.cot 3 x .
D. y  6 y.tan 3 x .
Câu 36. [ NB] Cho lim un  3 ; lim vn  2 . Khi đó lim  un  vn  bằng
B. 1 .

A. 5 .

D. 1 .

C. 5 .

 3 
; .
 2 

Câu 37. [ TH] Cho hàm số y  sin 2 x . Phương trình y '  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  
A. 6 .
Câu 38. [ NB] Tính lim
x 3

2x  7
.
x3

A.  .

B. 7 .

C. 3 .

B.  .

C. 0 .

Câu 39. [ TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào có đạo hàm là y ' 
A. y 

x  cos x
.
sin x

B. y  x.cot x .

D. 4 .

sin 2 x  2 x
là.
2sin 2 x

C. y  x.tan x .

3

D. 2 .

D. y 

x
.
sin x


Câu 40. [ NB] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  BCD ' A ' vng góc với mặt phẳng nào
trong các mặt phẳng dưới đây?
A.  ADD ' A ' .
B.  ABB ' A ' .
C.  ABCD  .
D.  BCC ' B ' .
Câu 41. [ TH] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y 
A. y 

2

 x  1

3

.

B. y 

4

 x  1

3

2
.
x 1
C. y 

.

2

 x  1

3

D. y 

.

4

 x  1

3

.

Câu 42. [ TH] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vng góc với các mặt đáy.
C. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành là hình hộp đứng.
D. Độ dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
x 2  ax  b
 1 khi đó a  b bằng
Câu 43. [ TH] Cho a , b là các số thực thỏa mãn lim
x 2
x2
A. 5 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 44. [ TH] Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc và OA  a , OB  2a , OC  a 3 .
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  .

2a 3
2a 57
2a 19
.
B.
.

C.
.
19
19
19
Câu 45. [ TH] Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn là  ?
A.

D.

a 7
.
19

n
n
2
2n
2
3
A. un    .
B. un     .
C. un 
.
D. un 
.
1  3n
3  n2
 3
2

Câu 46. [ VD] Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên tập
. Đặt g  x   f  x   f  3x  . Biết g  1  1 và

g   3  3 . Tính đạo hàm của hàm số f  x   f  9 x  tại x  1 .
A. 8 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 10 .
Câu 47. [ VD] Cho đồ thị  C  y  f  x  , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm có hồnh độ x  1 là
đường thẳng y  2 x  5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3 . f  x  tại điểm có hồnh độ x  1
có phương trình là
A. y  3x  4 .
B. y  7 x  10 .
C. y  7 x  4 .
D. y  3 x  1 .
Câu 48. [ VD] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Biết SA vng góc với mặt
phẳng  ABCD  và SA  a 2 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Tính góc tạo
bởi đường thằng SD và mặt phẳng  AHK 
A. 60 .

B. 30 .

C. 45 .

D. 90 .

Câu 49. [ TH] Đạo hàm của hàm số y  x  4 x  5 là
x2
2x  4
A. y 

.
B. y 
.
2
2
x  4x  5
x  4x  5
x2
x5
C. y 
.
D. y 
.
2 x2  4 x  5
2 x2  4 x  5
P  x  2
P  x  2
 2 . Tính lim
Câu 50. [ VD] Cho đa thức P  x  thỏa mãn lim
x 3
x 3
x 3
 x2  9 P  x   2  1
2



A.

1

.
6

B.

1
.
12

C.

4

1
.
9



D.

2
.
9


1.B
11.D
21.A
31.D

41.D

2.D
12.B
22.A
32.B
42.A

3.C
13.B
23.A
33.A
41.B

4.D
14.B
24.C
34.D
44.B

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.B
15.C
16.C
25.C
26.A
35.D
36.A
45.A

46.D

7.C
17.D
27.D
37.A
47.C

8.A
18.B
28.B
38.A
48.A

9.C
19.D
29.D
39.B
49.A

10.D
20.C
30.C
40.B
50.C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

[ NB] Tính lim

3
A.  .
4

2n  3.5n
.
4.3n  5n
1
.
4
Lời giải

B. 3 .

C.

D. 

2
.
5

n

Câu 2.

2
  3
n

n
2  3.5
03
5
Ta có: lim n n  lim   n

3.
4.3  5
4.0  1
3
4.    1
5
 x2  4
khi x  2

[ TH] Cho hàm số f  x    x  2
. Tìm k để hàm số liên tục trên tập
k khi x  2

A. k  2 .
B. k  0 .
C. k  2 .
D. k  4 .
Lời giải
TXĐ của hàm số: D  .
Nếu x  2 thì hàm số liên tục trên   ; 2  và  2;    .

Vậy để hàm số liên tục trên tập
Ta có:
f  2  k

.

thì hàm số phải liên tục tại x  2 .

 x  2  x  2   lim x  2  4
x2  4
 lim

 .
x 2
x 2 x  2
x 2
x 2
x2
Để hàm số liên tục tại x  2 thì f  2   lim f  x   k  4 .
lim f  x   lim

x2

Câu 3.

Vậy với k  4 thì hàm số đã cho liên tục trên tập .
[ TH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh SA  2a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Diện tích tam giác SBC bằng
a2 5
a2 5
a2 3
A. a 2 3 .
B.

.
C.
.
D.
.
4
2
2
Lời giải

5


 BC  AB  gt 
 BC   SAB  .
Ta có: 
BC

SA
SA

ABCD





Mà SB   SAB  nên suy ra BC  SB , hay tam giác SBC vuông tại B .
1
1

1
a2 5
2
2
.
SB.BC 
SA2  AB 2 .BC 
2
a

a
.
a

 
2
2
2
2
[ TH] Đạo hàm của hàm số y  cos 4 x  sin 4 x là
A. y  2sin 2 x .
B. y  4cos3 x  4sin 3 x .
C. y   sin 2 x .
D. y  2sin 2 x .
Lời giải
Cách 1:
Xét hàm số y  cos4 x  sin 4 x   cos2 x  sin 2 x  .  cos2 x  sin 2 x   cos2 x  sin 2 x  cos 2 x
Ta có: SSBC 
Câu 4.

y   sin 2 x.  2 x   2sin 2 x.
Cách 2:
Xét hàm số y  cos 4 x  sin 4 x
y  4cos3 x.  cos x   4sin 3 x.  sin x    4cos3 x.sin x  4sin 3 x.cos x
y   4sin x cos x.  sin 2 x  cos 2 x   2.(2sin x cos x)  2sin 2 x .

Câu 5.

[ TH] Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC , ABD , ACD là các tam giác vuông tại A . Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A. BCD là tam giác nhọn.
B. BCD là tam giác vuông.
C. AB   BCD  .
D. AC   BCD  .
Lời giải

Gọi độ dài các cạnh AB  a , AC  b , AD  c .
Xét tam giác ABC , ABD , ACD vuông tại A , theo định lý Py- ta- go ta có :

BC  AB 2  AC 2  a 2  b2 , CD  AC 2  AD 2  b2  c 2 , BD  AB 2  AD2  a 2  c 2 .
Xét tam giác BCD , theo định lý cosin ta có :
BD2  CD2  BC 2 a 2  c 2  b2  c 2  a 2  b2
c2
cos D 


 0,
2.BD.CD
2. a 2  c 2 . b2  c 2
a 2  c 2 . b2  c 2

BD2  BC 2  CD2 a 2  c2  a 2  b2  b2  c 2
a2
cos B 


0,
2.BD.BC
2. a 2  c 2 . a 2  b2
a 2  c2 . a 2  b2
6


BC 2  CD2  BD2 a 2  b2  b2  c 2  a 2  c 2
b2


0
2.BC.CD
2. a 2  b2 . b2  c 2
a 2  b2 . b2  c 2
Từ đó suy ra các góc B , C , D là các góc nhọn hay tam giác BCD là tam giác nhọn.
[ NB] Tính đạo hàm của hàm số y  x3  2 x 2  2 tại điểm x0  2 .
cos C 

Câu 6.

A. y  x0   1 .

B. y  x0   4 .

C. y  x0   7 .
Lời giải

D. y  x0   2 .

Xét hàm số y  x3  2 x 2  2
y  x0   3x0 2  4 x0  y  2   3.22  4.2  4 .
Câu 7.

[VD] Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a và AB  x . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB, CD . Biết rằng  ACD    BCD  và  ABC    ABD  . Khi đó x
bằng
A.

a 3
.
3

B.

a
.
3

C.

2a 3
.
3

D.

2a
.
3

Lời giải
A

M

a

x

B

a

a

D
y

a

N

C

Đặt CD  y .
Ta có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD .
Mà tam giác BCD cân tại B  BN  CD , tam giác ADB cân tại A  DM  AB .
 ACD    BCD  và  ABC    ABD 

 ACD    BCD   CD,  ABC    ADB   AB
Suy ra BN   ACD   BN  AN , DM   ABC   DM  CM
Suy ra ANB  CMD  90 .
Ta có các tam giác BNC vuông tại N , AND vuông tại N và tam giác DMB , tam giác CMB vuông
y2
x2
tại M, suy ra : AN 2  BN 2  a 2 
và CM 2  DM 2  a 2 
4
4
2


x2 
y 
Mà ANB  90  x 2  2  a 2   ; CMD  90  y 2  2  a 2   .
4 
4 



4a 2
2a 3
x
.

3
3
[TH] Cho hình chóp tam giác dều S.ABC có AB  a và chiều cao của hình chóp
a
bằng
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đã cho bằng
6
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Lời giải
Suy ra x 2  y 2 

Câu 8.

7


S

A

C
G

I
B

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều suy ra

a
SG là đường cao của hình chóp và SG  .
6
S.ABC là hình chóp tam giác đều nên góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
Ta xét góc giữa mặt bên  SBC  và mặt đáy  ABC  .
Gọi





I là trung điểm của BC   SBC  , ABC   SIA .

Xét tam giác SGI vuông tại G suy ra tan SIG 

SG
.
GI
a

1
1 a. 3 a 3
a
1

Mà GI  AI  .
, SG   tan SIG  6 
 SIG  30 .
6
3

3 2
6
a 3
3
6

Câu 9.

[ NB] Tính đạo hàm của hàm số y  sin x  2 cos x
A. y  cos x  2sin x .
B. y   cos x  2sin x .
C. y  cos x  2sin x .
D. y   cos x  2sin x .
Lời giải
Ta có: y   sin x  2cos x   cos x  2sin x .

Câu 10. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Biết SA  SC và SB  SD . Tìm
khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. SA   ABCD  .
B. SC   ABCD  .
C. SB   ABCD  .
D. SO   ABCD  .
Lời giải
S

A

D
O

B

C

Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD .
Do SA  SC nên tam giác SAC cân tại S  SO  AC (1)
Do SB  SD nên tam giác SBD cân tại S  SO  BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO   ABCD  .
8


Câu 11. [ TH] Tính lim

x 

x2  1
.
3  2x

1
A.  .
2

B.

1
.
3

C.  .

D.

1
.
2

Lời giải
1 

1
1
1
x 2 1  2 
x 1 2
x 1 2
 1 2
x 1
 x 
x  lim
x  lim
x  1  1 .
Ta có: lim
 lim
 lim
x  3  2 x
x 
x

x


x

3
3  2x
3  2x
3  2x
2 2
2
x
3
2
2
Câu 12. [ TH] Cho hàm số f  x   4 x  6 6 x  3m x  5 . Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2

f   x   0 có nghiệm là

A. 7 .

C. 4 .
Lời giải

B. 5 .

D. 6 .

Ta có:
f   x   12 x 2  12 6 x  3m 2
f   x   0  12 x 2  12 6 x  3m 2  0  4 x 2  4 6 x  m 2  0



f   x   0 có nghiệm khi   0  2 6



2

 4m2  0  24  4m2  0   6  m  6 .

nên m 2,  1, 0,1, 2 .
Vậy có 5 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
5
Câu 13. [ TH] Cho f  x    x  2  . Tính f   3 .
Do m

A. 20 .

B. 20 .

C. 27 .
Lời giải

D. 27 .

4
4
f   x   5  x  2  .  x  2   5  x  2  .

3
3
f   x   5.4  x  2   x  2   20  x  2  .

Vậy f   3  20.13  20
Câu 14. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SA .
Mặt phẳng  MBD  vng góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A.  SBC  .

B.  SAC  .

C.  SBD  .
Lời giải

D.  ABCD  .

Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a suy ra S.ABCD là hình chóp đều.
Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra O là tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  .

BD  AC (do ABCD là hình vng)
BD  SO (do SO   ABCD  )
9


 BD   SAC  .
Mà BD   MBD    MBD    SAC  .

1  3x
.
x  2 x  3

Câu 15. [ NB] Tính lim
A. 3 .

B.

1
.
2

3
C.  .
2
Lời giải

D.  .

1
3
1  3x
3
x
lim
 lim
 .
x  2 x  3
x 
3
2
2

x
Câu 16. [ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của AC , BD , MN . Tìm khẳng định
đúng trong các khẳng định sau.
1
2
A. AI  AB  AC  AD .
B. AI  AB  AC  AD .
3
3
1
1
C. AI  AB  AC  AD .
D. AI  AB  AC  AD .
4
2
Lời giải

















1
AM  AN .
2
1
Vì M là trung điểm của AC  AM  AC .
2
1
Vì N là trung điểm của BD  AN  AB  AD .
2
11
1
1

Vậy AI   AC  AB  AD   AB  AC AD .
22
2
 4
5 2
Câu 17. [ TH] Cho hàm số f  x   2 x   3  2 . Phương trình f   x   0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
x 3x
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Lời giải
5 2
5 2

Với x  0 , ta có: f   x   2  2  4 , suy ra f   x   0  2  2  4  0 .
x
x
x
x
t

2

1
2
 1 .
t

,
t

0
2
t

5
t

2

0

Đặt
  , ta được phương trình

t 
x2
 2
Vì I là trung điểm của MN  AI 













10


1
2
2 x
.
2
x
2
1
1 1
Với t  , ta có: 2   x   2 .

2
x
2
1
1
Câu 18. [ TH] Cho hàm số f  x  
. Tính f    .
x  2  2x
2
A. 24.
B. 16.
C. 48.
D. 32.
Lời giải
1 1
1
 .
Với x  0, x  1 , ta có: f  x   
2  1 x x 
1 1
1
1 2
2
1
1

Suy ra f   x   
và

f

x



 3.




2
3
3
2
3
2  1  x 
x 
2  1  x  x  1  x  x
1
Do đó f     16 .
2
Câu 19. [ NB] Cho hình lăng trụ ABC.ABC có các mặt bên là các hình chữ nhật. Tính
AB.CC  AC.BB  BC.AA .
2
2
2
A.  AA  .
B. 3  AA  .
C. 2  AA  .
D. 0 .
Lời giải

Với t  2 , ta có:

C

B

A

B'

C'

A'

Vì các mặt bên của hình lăng trụ là hình chữ nhật nên đây là hình lăng trụ đứng.
Suy ra: AB  CC, AC  BB ', BC  AA .
Do đó: AB.CC  AC.BB  BC. AA  0.
Câu 20. [ TH] Tính lim

x 

A. 2 .





x2  2 x  3  x .

Ta có: lim

x 





D.  .

C. 1 .
Lời giải

B. 0 .

x 2  2 x  3  x  lim

x 

3
2x  3
x
 lim
1.
2
x 
2 3
x  2x  3  x
1  2 1
x x
2

Câu 21. [ TH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB  a và ABC  30 . Biết SA   ABC  .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .
a
a 3
A. .
B. a .
C.
.
2
2
Lời giải

11

D. a 3 .


Gọi D là trung điểm của BC , vì tam giác ABC cân tại A suy ra AD  BC .
Mặt khác: SA   ABC   SA  AD
 AD  SA
Khi đó: 
 AD  BC

1 a
Suy ra d  SA, BC   AD  AB.sin 30  a.  .
2 2
 
 
Câu 22. [ TH] Cho f  x   cos3x . Tính f      f    .

 3
2
A. 3 .
B. 3 .
C. 0.
D. 6.
Lời giải
3
 
 
Ta có f   x   3sin 3x . Suy ra f      f     3sin     3sin
3 .
2
 3
2
1 2x
Câu 23. [ TH] Tìm đạo hàm y  của hàm số y 
.
1 x
x2
1  3x
A. y 
.
B. y 
.
2
2
2 1  x  1  2 x
1  x  1  2 x
x2

x2
C. y 
.
D. y 
.
2
2
2 1  x  1  2 x
1  x  1  2 x
Lời giải

1  2 x . 1  x   1  2 x . 1  x 
Ta có y 
2
1  x 





 1  x 
y 
y 

 1 2x
1 2x
2
1  x 

1  x  1  2 x

1  x 

2

1  2x

. Vậy y 

x2

1  x 

2

12x

.

Câu 24. [ VD] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB  3, BC  4 . Biết

 SBC    ABC  và
A.

7
.
6

SB  2 3, SBC  30 . Tính khoảng cách từ B đến  SAC  .
B.

3 7
.
14

C.
Lời giải

12

6 7
.
7

D.

5 7
.
12


Xét tam giác SBC có: SC 2  BS 2  BC 2  2 BS .BC.cos 30
2
3
SC 2  2 3  42  2.2 3.4.
 4  SC  2 .
2
Nhận thấy: BC 2  SB 2  SC 2  BSC vng tại S .
Ta có  SBC    ABC  theo giao tuyến là BC .





Kẻ SH  BC suy ra SH   ABC  .



2 3
SB.SC 2 3.2
BS 2
Trong tam giác vuông BSC có: HS 

 3 , HB 

BC
4
BC
4
2
2
SC
2
HC 
  1.
BC
4
Khi đó: d  B,  SAC    4.d  H ,  SAC   .



2

 3 và

Kẻ HE  AC và HK  SE .
 AC  HE
Ta có: 
 AC   SHE 
 AC  SH
 HK  SE
Khi đó: 
 HK   SAC  , suy ra d  H ,  SAC    HK .
 HK  AC
HE AB
HC. AB
1.3
3

Mà sin ACB 
 HE 

 .
HC AC
AC
32  42 5
Vậy d  B,  SAC    4.d  H ,  SAC    4 HK  4.

6 7
.

7
HE  HS
Câu 25. [ TH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. SA  SB  SC  SD  4SO .
B. SA  SB  SC  SD  0 .
C. SA  SB  SC  SD  0 .
D. OA  OB  OC  OD  0 .
Lời giải

Ta có:
13

HE.HS
2

2




SA  SB  SC  SD  0

 SO  OA  SO  OB  SO  OC  SO  OD  0
 4SO  (OA  OB  OC  OD)  0

 4SO  0  0
 SO  0 (vơ lí)
Câu 26. [TH] Cho hình lập phương
ABCD.ABCD . Góc giữa hai vectơ BD và BC bằng

A. 60 .
B. 120 .
C. 45 .
D. 90 .
Lời giải



 



Vì BD//BD  BC , BD  BC , BD .
Do ABCD.ABCD là hình lập phương nên tam giác BDC là tam giác đều.




Vậy  BC , BD   60  .

 BC , BD  CBD  60 .

2
3
2n  4 
 1
Câu 27. [ TH] Tính lim  2
 2
 2
 ...  2

.
n 4
n 4 n 4 n 4
1
A. .
B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
2
Lời giải
Ta có:
2
3
2n  4 
 1
 1  2  3  ....  2n  4 
lim  2
 2
 2
 ...  2
  lim 

n 4
n2  4
n 4 n 4 n 4


5  2 

 (1  2n  4).(2n  4) 

 2  1  


2
n

5
.
n

2




n  n 
2
 lim 
 lim 
 2.
  lim
2
2
4
n

4
n

4



1 2
n


4n  1
Câu 28. [NB] Tìm lim
n2
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
1
4
4n  1
n 4.
Ta có: lim
 lim
2
n2
1
n
Câu 29. [TH] Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y  2 x 2  3x  5 . Gọi d là tiếp tuyến của  P  tại giao
điểm của  P  với trục Oy . Khi đó d có hệ số góc bằng
A. 1 .

B. 5 .

Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm.

C. 4 .
Lời giải
14

D. 3 .


Theo bài ra: M  Oy   P   x0  0 .
Ta có: y   4 x  3

 hệ số góc của tiếp tuyến d là: k  y  0   3 .
Câu 30. [TH] Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  2 x 3 tại điểm có hồnh độ bằng 1 .
A. y  6 x  4 .
B. y  6 x  8 .
C. y  6 x  4 .
D. y  6 x  8 .
Lời giải
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm.
Theo bài ra ta có: x0  1  y0  2
Mà: y  6 x  y 1  6

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M 1; 2  là: y  6  x  1  2  6 x  4 .
Câu 31. [TH] Cho lim un  5, lim vn  13 và lim  un  kvn   2007 . Khi đó k bằng
A.

2002
.
5

B. 398 .

C.

2007
.
13

D. 154 .

Lời giải
Ta có: lim  un  kvn   2007  lim un  lim kvn  2017  k lim vn  2017  lim un

2007  lim un 2007  5

 154
lim vn
13
Câu 32. [TH] Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lim  x3  3x    .
k 

B. lim  x3  3x    .

x 

x 

C. lim  x  3x   3 .

D. lim  x3  3x   1 .

3

x 

x 

Lời giải
3
3



3
Ta có: lim  x3  3x   lim x3 1  2    (Vì lim x   và lim 1  2   1 ).
x 
x 
x 
x 
 x 
 x 
1
Câu 33. [ TH] Trong mặt phẳng Oxy , cho đồ thị  C  : y  x 3  x  1 . Gọi d là tiếp tuyến của
3
 0;1 . Góc giữa d và trục Ox bằng
A. 45 .

B. 60 .

C. 120 .
Lời giải

 C  tại điểm

D. 135 .

1 3
x  x  1  y  x 2  1  y  0   1.
3
Góc giữa d và trục Ox bằng   arctan y  0   arctan1  45 .
y

Câu 34. [ NB] Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của CD . Tìm
đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau.
A. MA  MB  MC  3MG .
B. MA  MB  MC  3MD .
C. MA  MB  MC  3MD .
D. MA  MB  MC  3MG .
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì MA  MB  MC  3MG  M  .

1
. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
3cos 2 3 x
A. y  3 y.tan 3 x .
B. y  6 y.cos 3x .
C. y  6 y.cot 3 x .
D. y  6 y.tan 3 x .

Lời giải
1
1 2
 tan 3 x
Ta có: y 
3cos 2 3 x 3
2 tan 3 x
1
 y  6 y.tan 3 x .
 y 
 6 tan 3 x.
2
cos 3 x
3cos 2 3 x

Câu 35. [ TH] Cho hàm số y 

15


Câu 36. [ NB] Cho lim un  3 ; lim vn  2 . Khi đó lim  un  vn  bằng
B. 1 .

A. 5 .

lim  un  vn   lim un  lim vn  3  2  5 .

D. 1 .

C. 5 .

Lời giải

 3 
; .
 2 

Câu 37. [ TH] Cho hàm số y  sin 2 x . Phương trình y '  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  
A. 6 .

B. 7 .

D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

1
1
1  cos 2 x   y '  .  2sin 2 x   sin 2 x .
2
2

y '  0  sin 2 x  0  2 x  k  x  k  k   .
2
3

 3 
 k    3  k  2 . Suy ra: k  3; 2; 1;0;1; 2 .
Do x    ;   nên 
2

2
 2 
2x  7
Câu 38. [ NB] Tính lim
.
x 3 x  3
A.  .
B.  .
C. 0 .
D. 2 .
2
Ta có: y  sin x 

Lời giải


Ta có: lim  2 x  7   13  0 , lim  x  3  0 , x  3  x  3  0 .
x 3

x 3

2x  7
  .
Vậy, lim
x 3 x  3
Câu 39. [ TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào có đạo hàm là y ' 
A. y 

x  cos x
.

sin x

B. y  x.cot x .

sin 2 x  2 x
là.
2sin 2 x

C. y  x.tan x .

D. y 

x
.
sin x

Lời giải

x  cos x
sin x
(1  sin x).sin x  ( x  cos x).cos x sin x  sin 2 x  x.cos x  cos 2 x 1  sin x  x.cos x
 y'


.
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
B. y  x.cot x
1

sin 2 x  x
1
cos
x
x
sin
x
.cos
x

x
sin 2 x  2 x


2
 y '  cot x  x.   2  
 2 


.
2
2
sin x
sin x
2sin 2 x
 sin x  sin x sin x
C. y  x.tan x
1
sin 2 x  x
1

sin
x
x
sin
x
.cos
x

x
sin 2 x  2 x


2
 y '  tan x  x.  2  




.
2
2
2
cos x x
cos x
2cos 2 x
 cos x  cos x cos x
x
sin x  x.cos x
 y' 
D. y 

.
sin x
sin 2 x
Câu 40. [ NB] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  BCD ' A ' vng góc với mặt phẳng nào
A. y 

trong các mặt phẳng dưới đây?
A.  ADD ' A ' .
B.  ABB ' A ' .

C.  ABCD  .
Lời giải

16

D.  BCC ' B ' .


Ta có: ABCD.A ' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật

 BC  AB

 BC   ABB ' A '   BCD ' A '   ABB ' A ' .
BC

BB
'

Câu 41. [ TH] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y 
A. y 

2

 x  1

3

.

B. y 

4

 x  1

3

2
.
x 1
C. y 

.

2

 x  1

3

.

D. y 

4

 x  1

3

.

Lời giải
u
 1 
Áp dụng công thức     2 ,  u  0 
u
u

2.  2  x  1 x  1 


4

Ta có: y 
.

;
y



2
2
4
3
 x  1
 x  1
 x  1
 x  1
Câu 42. [ TH] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng là hình lăng trụ đều.
B. Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vng góc với các mặt đáy.
C. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành là hình hộp đứng.
D. Độ dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
Lời giải
Theo định nghĩa hình lăng trụ đều thì “Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều”
nên đáp án A sai.
x 2  ax  b
 1 khi đó a  b bằng
Câu 43. [ TH] Cho a , b là các số thực thỏa mãn lim
x 2
x2
A. 5 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
 x  2  x  3  1
Ta có lim
x 2

x2
2
 x  ax  b   x  2  x  3  x 2  ax  b  x 2  5x  6  a  5; b  6  a  b  1.
2  x  1

2

Câu 44. [ TH] Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc và OA  a , OB  2a , OC  a 3 .
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  .
A.

2a 3
.
19

B.

2a 57
.
19

C.
Lời giải

17

2a 19
.
19

D.

a 7
.
19


Do tứ diện OABC là tứ diện vuông đỉnh O , gọi h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  .

1
1
1
1
1
1
1
19
2a 57
.



 2 2 2
h
2
2
2
2
2
h

OA OB OC
a 4a 3a 12a
19
Câu 45. [ TH] Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn là  ?
Ta có

n

n

3
A. un    .
2

2
B. un     .
 3

C. un 

2
.
1  3n

D. un 

2n
.
3  n2

Lời giải
n

3
Ta có : lim      ( do dãy số có cơ số lớn hơn 1 ).
2
Câu 46. [ VD] Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên tập
. Đặt g  x   f  x   f  3x  . Biết g  1  1 và

g   3  3 . Tính đạo hàm của hàm số f  x   f  9 x  tại x  1 .
A. 8 .

B. 12 .

C. 15 .
Lời giải

D. 10 .

Do g  x   f  x   f  3x   g   x   f   x   3 f   3x  ,

g  1  1  1  f ' 1  3 f '  3 1 .
g   3  3  3  f   3   3 f '  9   9  3 f   3   9 f '  9 

Câu 47.

2 .
Cộng vế với vế của 1 và  2  ta có 10  f  1  9 f   9  .
Đặt h  x   f  x   f  9 x   h  x   f '  x   9 f   9 x  .
Suy ra h 1  f ' 1  9 f   9   10 .

[ VD] Cho đồ thị  C  y  f  x  , biết tiếp tuyến của  C  tại điểm có hồnh độ x  1 là
đường thẳng y  2 x  5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3 . f  x  tại điểm có hồnh độ x  1
có phương trình là
A. y  3x  4 .

B. y  7 x  10 .

C. y  7 x  4 .
D. y  3 x  1 .
Lời giải
Tiếp tuyến của  C  tại điểm có hồnh độ x  1 là đường thẳng y  2 x  5 nên suy ra:

f  1  2 và f 1  3 .
Xét hàm số y  x3 . f  x  , ta có:
18


y 1  13. f 1  3

y  3x 2 . f  x   f   x  .x3 suy ra y 1  3. f 1  f  1 .1  7 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x  1 , y  3 và y 1  7 có dạng:

y  7  x  1  3  7 x  4 .
Câu 48. [ VD] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Biết SA vng góc với mặt
phẳng  ABCD  và SA  a 2 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Tính góc tạo
bởi đường thằng SD và mặt phẳng  AHK 
A. 60 .

B. 30 .

Ta có AK  SD

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

1

Mặt khác CD  SA; CD  AD

 CD   SAD   CD  AK

 2

Từ 1 và  2  suy ra AK   SCD  hay AK  SC
Tương tự
Lại có AH  SB
 3

**

Mặt khác CB  SA; CB  AB

 CB   SBC   CB  AH

 4

Từ  3 và  4  suy ra AH   SBC  hay AH  SC

**

Từ * và ** ta có SC   AHK 
Xét tam giác SAC vng tại A có SA  AC  a 2  SC  2a .
Gọi M là giao điểm của SC với  AHK  suy ra AM  SC hay SM  MC  a
Khi đó hình chiếu của SD lên  AHK  là MK .
Suy ra  SD,  AHK     SK ,  AHK    SKM .
Xét tam giác SAD vng tại A , ta có:

SD  SA2  AD2  2a 2  a 2  a 3 .
SA. AD a 2.a a 6
.


SD
3
a 3
Xét tam giác SAK vuông tại K , ta có:
AK 

19


2a 2 2a 3
.

3
3
Xét tam giác SMK vuông tại M , ta có:
SM

a
3
.
sin SKM 


SK 2a 3
2
3
SK  SA2  AK 2  2a 2 

Suy ra SKM  60 .
Câu 49. [ TH] Đạo hàm của hàm số y  x 2  4 x  5 là
x2
2x  4
A. y 
.
B. y 
.
2
2
x  4x  5
x  4x  5
x2
x5
C. y 
.
D. y 
.
2 x2  4 x  5

2 x2  4 x  5
Lời giải
x 2  4 x  5

x2
2

Ta có y  x  4 x  5  y 
.

2
2
2 x  4x  5
x  4x  5
P  x  2
P  x  2
 2 . Tính lim
Câu 50. [ VD] Cho đa thức P  x  thỏa mãn lim
x 3
x 3
x 3
 x2  9 P  x   2  1



1
2
.
D. .
9

9
Lời giải
P  x  2
 2 , nên ta chọn P  x   2   x  3 x  1 .
Cách 1: Vì P  x  là đa thức và thỏa mãn lim
x 3
x 3
Suy ra P  x   2  x 2  4 x  3  P  x   x 2  4 x  5 . Khi đó
A.

lim
x 3

1
.
6

x

B.

P  x  2

2

 9





P  x  2 1

1
.
12



 lim
x 3

 lim
x 3

C.

x

 x  3 x  1

2

 9

 x  3 





x2  4x  7  1
x 1



x2  4x  7  1



1
9

P  x  2
 2 , nên lim  P  x   2   0  lim P  x   2 .
x 3
x 3
x 3
x 3

Cách 2: Vì P  x  là đa thức và thỏa mãn lim
Khi đó

lim
x 3

x

2

P  x  2

 9





P  x  2 1

 lim
x 3

 lim
x 3

 2.

P  x  2

 x  3 x  3 

P  x  2
.lim
x  3 x 3  x  3 

1 1

18 9

20



P  x  2 1



1



P  x  2 1