BÀI TOÁN xác ĐỊNH CƯỜNG độ điện TRƯỜNG(N)

CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG GÂY
BỞI VẬT MANG ĐIỆN
Bài tốn 1.
Một dây thẳng dài L tích điện đều với mật độ điện dài

> 0. M là điểm nằm trên đường

thẳng chứa dây và cách đầu dây gần nhất một đoạn a. Xác định véctơ cường độ điện trường
do dây gây ra tại điểm M.
Hướng dẫn:
r
O

⃗

M

x

x

dq
L

a

Chọn trục Ox như hình vẽ.
Chia dây thành những đoạn nhỏ, mỗi đoạn có chiều dài dx. Mỗi đoạn này mang một điện
tích

= .

Cường độ điện trường do phần tử dq có tọa độ x gây ra tại điểm M có độ lớn :
.

=
trong đó

=

+

−

Cường độ điện trường do cả dây gây ra tại M:
⃗=

⃗
( â )

Cường độ điện trường do các phần tử dq trên dây gây ra tại M đều có chiều cùng chiều với
trục Ox nên ⃗ có:
- chiều cùng chiều với trục Ox
- độ lớn:
=

.

=
( â )

( â )

=

. .
( + − )

Bài toán 2.
Một dây thẳng dài L tích điện đều với mật độ điện dài

> 0. M là điểm nằm trên đường

trung trực của dây và cách dây một đoạn a. Xác định véctơ cường độ điện trường do dây gây
ra tại điểm M.
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, trong đó O là trung điểm của dây.


Chia dây thành những đoạn nhỏ có chiều dài dx. Mỗi đoạn mang một điện tích

= .

Cường độ điện trường do phần tử dq có
y

tọa độ x gây ra tại điểm M có độ lớn :
=
trong đó

=√

⃗

⃗

.
⃗

+

M

Cường độ điện trường do cả dây gây ra

r

tại M:
a
⃗=

dq

⃗
O

( â )

x

x

Phân tích mỗi vectơ ⃗ thành hai thành phần:
- ⃗ nằm trên trục Oy
- ⃗ vng góc với trục Oy
Suy ra:
⃗=

⃗=
( â )

Do sự đối xứng của các vecto

⃗ +
( â )

⃗
( â )

⃗ qua trục Oy nên các vectơ

khác nhau tạo thành những cặp vectơ trực đối, suy ra:
⃗ =0
( â )

Vậy
⃗=

⃗=
( â )

⃗
( â )

Do đó: cường độ điện trường ⃗ tổng hợp có:
- phương là trục Oy, và cùng chiều với trục Oy
- độ lớn:
=
( â )

Từ hình vẽ, ta có:

=

.

Trong đó
=
Thay vào:

=

√

+

⃗ gây bởi các phần tử dq


/

. . .
( + )

=
/

/

Có thể tính tính phân trên bằng cách đổi biến như sau:
Từ hình vẽ:

= .

Lấy vi phân hai vế:
= .

cos

Suy ra:
=

.

.

=

.(

+

)

Thay:
=

/2

=

+

2

Ta được kết quả:
=

.
+

2

Bài toán 3.
Một dây mang điện tích điện đều với mật độ điện dài

> 0. Dây được uốn thành một cung

tròn tâm O, bán kính R, chắn ở tâm một góc α. Xác định véctơ cường độ điện trường do dây
gây ra tại tâm O.
Hướng dẫn

dl

y

dφ

Chọn trục Ox có phương trùng với phân
giác của góc O như hình vẽ.
Chia dây thành những đoạn nhỏ có chiều dài
giới hạn bởi hai bán kính hợp với trục Ox
các góc

và

Mỗi đoạn

+

⃗

.

mang một điện tích

x

O

= .

Cường độ điện trường do phần tử dq xác
định bởi góc

gây ra tại điểm O có độ lớn :
=

trong đó

=

.

⃗
⃗


Cường độ điện trường do cả dây gây ra tại O:
⃗=

⃗
( â )

Phân tích mỗi vectơ

⃗ thành hai vectơ:

-

⃗ nằm trên trục Ox

-

⃗ vng góc với trục Ox

Suy ra:
⃗=

⃗=

⃗ +

( â )

( â )

⃗
( â )

⃗ gây bởi các phần tử dq khác nhau tạo thành những cặp vectơ

Do đối xứng, các vectơ
trực đối nên:

⃗ =0
( â )

Vậy
⃗=

⃗=
( â )

⃗
( â )

Suy ra: cường độ điện trường ⃗ tổng hợp có:
- phương là trục Ox, và ngược chiều với trục Ox
- độ lớn:
=
( â )

Từ hình vẽ, ta có:
Và

=

.

= .

=> =

.

.

=

( â )

Kết quả:
=

2

.

2

.


Bài tốn 4.
Một dây tích điện đều với mật độ điện dài λ > 0. Dây được uốn thành một vịng trịn tâm O,
bán kính R. Xác định véctơ cường độ điện trường và điện thế do dây gây ra tại điểm M trên
trục của dây và cách tâm O một đoạn h.
Hướng dẫn
Chia dây thành những đoạn nhỏ có chiều dài

. Mỗi đoạn

mang một điện tích

Cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại

⃗

điểm M có độ lớn :
=
trong đó

=√

⃗

.
⃗

M

+ℎ

Cường độ điện trường do cả dây gây ra tại M:
⃗=

h

r

⃗
( â )

Phân tích mỗi vectơ

= .

O

⃗ thành hai vectơ:

-

⃗ nằm trên trục của vịng dây

-

⃗ vng góc với trục vòng dây

dq

Suy ra:
⃗=

⃗=
( â )

Do đối xứng, các vectơ

⃗ +
( â )

⃗
( â )

⃗ gây bởi các phần tử dq khác nhau tạo thành những cặp vectơ

trực đối nên:

⃗ =0
( â )

Vậy
⃗=

⃗=
( â )

⃗
( â )

Suy ra: cường độ điện trường ⃗ tổng hợp có:
- phương là trục vịng dây, có chiều hướng ra xa tâm O
- độ lớn:


=
( â )

=

Từ hình vẽ, ta có:

.

Và
=

=> =

.

=

( â )

( â )

ℎ
+ℎ

√

. . ℎ.
( +ℎ )

/

=

. .ℎ
+ℎ )

(

.

/

( â )

Kết quả:
=

. .ℎ
+ℎ )

(

/

.2

Bài tốn 5.
Một đĩa trịn (là một khối trụ rất mỏng) bán kính R tích điện đều trên bề mặt với mật độ điện
mặt

> 0. Xác định cường độ điện trường do đĩa tròn gây ra tại điểm M nằm trên trục của

đĩa và cách tâm O của đĩa một khoảng h.
Giải
⃗
⃗
dr
⃗

M

h

O

′

α

x

r

O

r

dq

Chia đĩa tròn thành những diện tích nhỏ dA như hình vẽ. Mỗi diện tích dA được giới hạn
bởi các đường tròn tâm O với bán kính r và (r + dr), và các bán kính hợp với trục Ox các
góc

và

+

.

Mỗi diện tích có độ lớn

=

. .

và mang một điện tích:

Cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại điểm M có độ lớn :
=

.
( )

= .

= . .

.

.


trong đó

=√

+ℎ

Cường độ điện trường do cả đĩa trịn gây ra tại M:
⃗=

⃗
(đĩ )

Phân tích mỗi vectơ

⃗ thành hai vectơ:

-

⃗ nằm trên trục của đĩa

-

⃗ vng góc với trục của đĩa

Suy ra:
⃗=

⃗=
(đĩ )

⃗ +
(đĩ )

⃗
(đĩ )

⃗ gây bởi các phần tử dq khác nhau tạo thành những cặp vectơ

Do đối xứng, các vectơ
trực đối nên:

⃗ =0
(đĩ )

Vậy
⃗=

⃗=
(đĩ )

⃗
(đĩ )

Suy ra: cường độ điện trường ⃗ tổng hợp có:
- phương là trục đĩa trịn, có chiều hướng ra xa tâm O
- độ lớn:
=
(đĩ )

Từ hình vẽ, ta có:

=

.

Và
=

ℎ
ℎ
=

′ √ +ℎ

Suy ra:
=

.

Cường độ điện trường tổng hợp tại M:

=

. . . . .ℎ
( +ℎ ) /


=> =
(đĩ )

. . . . .ℎ
= . . ℎ.
( +ℎ ) /

.
+ℎ )

(

/

.

Kết quả:
= . . 2 . 1 −

ℎ
√

+ℎ

Lưu ý: Trong hệ tọa độ cực, một điểm
M trong mặt phẳng Oxy được xác định
bởi hai giá trị r và

y
M

như hình vẽ bên.
r

Xét trong tồn mặt phẳng, khoảng biến
thiên cho r và

φ

là:

:0 → ∞ à :0 → 2

O

x