Chuyên đề 13 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn , chuyên đề luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 và ôn thi lớp 9 học sinh giỏi toán 9 có lười giải hay

Chuyên đề 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ


Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng:
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

 a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

Điều kiện a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 ; c1 ; c2 ; c3 không đồng thời bằng 0.
Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương
pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn. Đưa về hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn.


Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình
có dạng:
 a1 x1  b1 x2  ...  c1 xn  d1
 a x  b x  ...  c x  d
 2 1 2 2
2 n
2

......
 an x1  bn x2  ...  cn xn  d n

Điều kiện a1 ; a2 ;...; an ; b1; b2 ;...; bn ;...; c1; c2 ;...; cn không đồng thời bằng 0.
Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương
pháp thế, phương pháp cộng.
Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn
gọn.
B. Một số ví dụ
 x  y  z  11 (1)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2 x  y  z  5 (2)
3 x  2 y  z  14 (3)


Giải
Tìm cách giải. Phương trình bậc nhất ba ẩn. Ta có thể khử bớt một ẩn để
đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc
phương pháp thế:


Cách 1. Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình
hai ẩn x, y.




Cách 2. Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương
trình (2) và (3) ta cũng được hệ phương trình hai ẩn x, y.

Trình bày lời giải
Cách 1. Từ phương trình (1) và (2) ta có: x  2 y  6
Từ phương trình (2) và (3) ta có: x  3 y  9

 x  2 y  6
5 y  15
x  0


x  3y  9
x  3y  9
y  3

Từ đó ta có hệ phương trình: 

Thay vào phương trình (1) ta tính được z  8.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    0;3;8  .
Cách 2. Từ phương trình (1) ta được : z  11  x  y. Thay vào phương trình (2)
và (3) ta được :
 2 x  y  11  x  y  5
 x  2 y  6
 x  2 y  6
x  0




3 x  2 y  11  x  y  14
2 x  y  3
4 x  2 y  6
y  3

Thay vào phương trình (1) ta tính được z  8
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    0;3;8  .

3 x  y  z  22 (1)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  x  3 y  z  20 (2)
 x  y  3 z  18 (3)


Giải
Tìm cách giải. Ngồi cách giải như ví dụ 1. Quan sát đặc điểm các hệ số
của mỗi phương trình, ta nhận xét rằng nếu cộng từng vế của ba phương
trình, ta được phương trình mới có hệ số của ẩn giống nhau. Do vậy ta có
lời giải hay và gọn hơn.
Trình bày lời giải
Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được
5  x  y  z   60  x  y  z  12

(4)

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được:
 2 x  12  22
x  5


 2 y  12  20   y  4
 2 z  12  18
z  3



Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    5; 4;3  .

x y z
 4  3  12  1
Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình: 
x  y  z 1
 3 10 5

Có nghiệm  x; y; z  . Chứng tỏ x  y  z khơng đổi
(Thi HSG Tốn lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010)
Giải
x y z
 4  3  12  1 3 x  4 y  z  12 (1)

Cách 1: 
 x  y  z  1 10 x  3 y  6 z  30 (2)
 3 10 5

Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được:
7  x  y  z   18  x  y  z 

18
khơng đổi.
7

Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z  3x  4 y  12 (3). Thế vào phương trình
(2) ta được:
10 x  3 y  6.  3 x  4 y  12   30
 10 x  3 y  18 x  24 y  72  30
 28 x  21y  102  x 

102  21 y
28

Thay vào (3) ta có: z 
Xét x  y  z 

3.  102  21y 
49 y  30
 4 y  12  z 
28
28

102  21y
49 y  30 18
 y

khơng đổi.
28
28
7

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  2 y  3 z biết x, y, z không
 2 x  4 y  3z  8
3 x  y  3z  2

âm và thỏa mãn hệ phương trình: 

(Thi HSG Tốn lớp 9, TP. Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012)
Giải
 Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

mà chỉ có hai phương trình, do đó hệ phương trình có vơ số nghiệm. Suy
luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn cịn lại theo
tham số đó. Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z. Cũng từ đó biểu thức A viết


dưới dạng đa thức chứa z. Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định được
miền giá trị của z. Từ đó ta có lời giải sau:
 Trình bày lời giải
 2 x  4 y  8  3 z (1)
3 x  y  2  3 z (2)

Ta có: 

Từ (2) ta có: y  3z  2  3x. Thay vào phương trình (1) ta được:
2 x  4  3z  2  3 x   8  3z  x 
9
2

3
z
2

3
2

Do đó y  3z  2  z  2  z.
3
2 z  0
x


0


4

 3
Kết hợp với  y  0  2  z  0  0  z 
3
z  0
 2

z  0



(3)



Suy ra: A  x - 2 y  3z  z  2  2  z  3z  z  4.
2
2 
2

3

3

Kết hợp với (3) ta có: A 

15

15
15
z  4  .0  4  4
2
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi z  0, x  0, y  2;
C. Bài tập vận dụng
13.1. Giải hệ phương trình sau:
 2 x  y  3 z  4 (1)

a) 3x  2 y  2 z  3 (2)
5 x  4 y  9
(3)


 x  2 y  3 z  5  0 (1)

b) 2 x  5 y  4 z  3  0 (2)
3 x  4 y  2 z  7  0 (3)


(1)
x  y  2z  4

c) 2 x  3 y  3z  6 (2)
 x  3 y  4 z  6 (3)


Hướng dẫn giải – đáp số
4 x  2 y  6 z  8
 5x  4 y  1
9 x  6 y  6 z  9

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có 

Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình:
5 x  4 y  1
10 x  10
x  1


.

5 x  4 y  9
5 x  4 y  9
y 1

Thay vào phương trình (1) ta tính được z  1.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    1;1;1 .


b) Từ phương trình (1) ta có: x  2 y  3z  5 thay vào phương trình (2), (3) ta
được:
 2.  2 y  3 z  5   5 y  4 z  3  0
 y  2z  7
y  3



.

 2 y  7 z  8  z  2
3.  2 y  3 z  5   4 y  2 z  7  0

Từ phương trình (1) ta có: x  2.3  3.2  5  5.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    5;3; 2  .
c) Từ phương trình (1) ta có: x  4  y  2 z thay vào phương trình (2), (3) ta
được:
5 y  z  2
y 1
2.  4  y  2 z   3 y  3 z  6


.

4 y  2 z  10
 z  3
4  y  2 z  3 y  4 z  6

Từ phương trình (1) ta có: x  4  1  2.(3)  9.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z    9;1; 3  .
 2 x  y  z  t  11 (1)
 x  2 y  z  t  12 (2)

13.2. Giải hệ phương trình sau: 
 x  y  2 z  t  13 (3)
 x  y  z  2t  14 (4)

Hướng dẫn giải – đáp số
Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được:
5  x  y  z  t   50  x  y  z  t  10 (5)

Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:
 x  10  11
x  1
 y  10  12
y  2



.

 z  10  13
z  3
t  10  14
t  4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y; z; t    1; 2;3; 4  .
13.3. Giải hệ phương trình:
x  y  z  t  4
x  y  z  t  8

a) 
 x  y  z  t  12
 x  y  z  t  16

(1)
(2)

(3)
(4)

 x  y  z  t  8 (1)
 y  z  t  x  6 (2)

b) 
 z  t  x  y  4 (3)
t  x  y  z  2 (4)

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: 2.  x  y   12  x  y  6.


Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: 2.  x  y   28  x  y  14.
x  y  6
 x  10

 x  y  14
 y  4

Từ đó ta có hệ phương trình: 

Thay vào phương trình (1) và (3) ta được:
6  z  t  4
 z  t  2
 z  2


.


14  z  t  12
 z  t  2
t  0

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t    10; 4; 2;0  .
b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:
2  x  y  z  t   20  x  y  z  t  10 (*)

Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có:
10  2t  8
t  1
10  2 x  6
x  2



.


10

2
y

4
y

3



10  2 z  2
 z  4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t    2;3; 4;1 .
13.4. Giải hệ phương trình sau:
x  y  z  6
y  z t  9

a)  z  t  u  12
t  u  x  10

u  x  y  8

x  y  z  4
y  z t  5

b)  z  t  u  6
t  u  x  12

u  x  y  8

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

(1)
(2)

(3)
(4)
(5)

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được:
3  x  y  z  t  u   45  x  y  z  t  u  15 (6)

Từ (6) và (1) suy ra: 6  t  u  15  t  u  9
Thay vào (4) ta có: x  1
Thay vào (3) ta có: z  3
Thay vào (1) ta được: y  2
Thay x  1; z  3 vào (3) ta được: t  4
Thay z  3; t  4 vào (4) ta được: u  5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t ; u    1; 2;3; 4;5 .
b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được:


x  y  z  t  u  35 (6)

Từ phương trình (1) ta có: x  y  4  z
Từ phương trình (4) ta có: t  u  12  x
Thay vào phương trình (6) ta có: 4  z  z  12  x  35  x  19  2 z
Thay vào phương trình (1) ta có: 19  2 z  y  z  4  y  3z  15
Thay vào phương trình (2) ta có: 3z  15  z  t  5  t  4 z  20
Thay vào phương trình (3) ta có: z  4 z  20  u  6  u  5 z  26
Thay vào phương trình (4) ta có: 4 z  20  5 z  26  19  2 z  12  z  7
Từ đó ta tính được: x  19  2 z  5
y  3z  15  6
t  4.7  20  8

u  5.7  26  9

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t ; u    5;6;7;8;9  .
13.5. Giải hệ phương trình sau:
 x  3 y  5 z  3t  34
 x  y  2 z  t  13

a) 
 x  2 y  5 z  4t  36
 x  3 y  8 z  5t  51

 x  y  z  t  10
x  2 y  z  t  6

b) 
x  3y  z  t  6
 x  y  2 z  2t  13

(1)
(2)
(3)
(4)

(1)
(2)
(3)
(4)

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có: 2 y  3z  2t  21 (5)
Từ phương trình (1) và (3) ta có: y  t  2 (6)
Từ phương trình (1) và (4) ta có: 3z  2t  17 (7)
Từ phương trình (6)  y  t  2 thay vào phương trình (5) ta được:
2  t  2   3z  2t  21  3z  4t  25 (8)

Từ phương trình (7) và (8) ta có hệ phương trình :
3 z  2t  17
z  3

.

3 z  4t  25
t  4
 Từ đó ta tính được: y  t  2  4  2  2.
 Thay vào phương trình (1) ta có: x  3.2  5.3  3.4  34  x  1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t    1; 2;3; 4  .
b) Từ phương trình (1) và (2) ta có: y  2 z  4 (5)


Từ phương trình (1) và (3) ta có: 2 y  2t  4  y  t  2 (6)
Từ phương trình (1) và (4) ta có: 2 y  z  t  3 (7)
Từ phương trình (5)  y  2 z  4 thay vào phương trình (6):
2 z  4  t  2  t  2 z  2 thay vào phương trình (7) ta có:
2  2 z  4   z   2 z  2   3  z  3

Từ đó ta tính được: y  2.3  4  2; t  2.3  2  4.
Thay vào phương trình (1) ta có: x  2  3  4  10  x  1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z; t    1; 2;3; 4  .

13.6. Giải hệ phương trình:
 x  2 y 1 z



4
7
b)  3
 4 x  y  z  3

x y z
  
a)  5 7 3
 2 x  y  4 z  30

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Đặt

x y z
   k suy ra x  5k ; y  7 k ; z  3k
5 7 3

Mà 2 x  y  4 z  30 nên 10k  7k  12  30  15k  30  k  2
 x  5.2  10

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  y  7.2  14.
 z  3.2  6


b) Đặt

x  2 y 1 z

  k suy ra x  3k  2; y  4k  1; z  7k .
3
4
7

Mà 4 x  y  z  3 nên 4  3k  2    4k  1  7k  3  k  6.
 x  3.(6)  2  16

Suy ra  y  4.(6)  1  25 .
 z  7.(6)  42


Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z    16; 25; 42  .
Bài tập 1/68 SGK:
(1)
7 x  5 y  9
14 x  10 y  10 (2)

Cho hệ phương trình 

Tại sao khơng cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vơ nghiệm?
Bài tập 2a,c/68 SGK
2 x  3 y  1  x  11/ 7

x  2 y  3
y  5/ 7

a) 


1
2
9
2

 3 x  2 y  3
 x  8

c) 
1
3
1
 x y 
y   1
 3

4
2
6

Bài tập 3/68 SGK
Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt và 7 quả cam hết
17800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt và 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả
quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?
10 x  7 y  17800
 x  800



12 x  6 y  18000
 y  1400

Bài tập 5a/68 SGK
Yêu cầu hs nhắc lại cách giải hệ trên.
 x  3 y  2z  8
 x  3y  2z  8
x  3 y  2z  8



2 x  2 y  z  6    4 y  3 z  10    4 y  3 z  10
3 x  y  z  6
  8 y  5 z  18

z2




Kết quả: x=1, y=1, z=2.
4.1 Vận dụng vào thực tế (10’):
Bài tốn 1: Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng
cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được
2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng
được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. Lớp 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.

D. Lớp 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.
 x  y  z  128
 x  40


HD: Đáp án A. Giải hệ phương trình:
3x  2 y  6 z  476   y  43 .
4 x  5 y  375
 z  45


Bài tốn 2: Một nhóm học sinh gốm 3 bạn A, B, C bán hàng online các mặt hàng áo phông,
quần sooc, mũ lưỡi trai. Trong một ngày, bạn A bán được 3 áo, 2 quần và 1 mũ, tổng doanh
thu trong ngày là 310000 đồng. Bạn B bán được 2 áo, 3 quần và 2 mũ, tổng doanh thu trong
ngày là 330000 đồng. Bạn C bán được 4 áo, 1 quần và 2 mũ, tổng doanh thu trong ngày là
350000 đồng. Hỏi giá bán của mỗi áo, quần và mũ là bao nhiêu?
3x  2 y  z  310000
 x  60000


HD: 2 x  3 y  2 z  330000   y  50000
4 x  y  2 z  350000
 z  30000



1.2 Mở rộng, tìm tịi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (5’)
Bài tốn 1: Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài tốn “Trăm trâu trăm cỏ” sau
đây:
“Trăm trâu trăm cỏ

Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba


Lụ khụ trâu già
Ba con một bó”.
Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?
HD: Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, số trâu già là z (với x, y, z là những số nguyên
dương nhỏ hơn 100). Ta có hệ phương trình:
 x  y  z  100
 x  y  z  100



1
7 x  4 y  100
5 x  3 y  3 z  100

x  4
x  8


ĐS: Kết hợp điều kiện ta có ba nghiệm:  y  18 ;  y  11 ;
 z  78  z  81



 x  12

y  4 .

 z  84


Bài toán 2: Cho một mạch điện kín như hình vẽ. Biết R1  0, 25  ; R2  0,36  ; R3  0, 45  và
U  0, 6 V . Gọi I1 là cường độ dùng điện của mạch chính và I2; I3 là cường độ dịng điện của

hai mạch rẽ. Tính I1, I2, I3.
 I1  I 2  I 3
 I1  I 2  I 3  0


 0,36I 2  0, 45I 3  0
HD:  R2 I 2  R3 I 3
R I  R I  U
0, 25I  0,36I  0, 6
2 2
1
2
 11

36

 I1  35

20

ĐS:  I 2 
21

8


 I 3  105


I1

R1

I2
I3

R2
R3
U