chuyên đề 16 phương trình bậc 2 và công thức nghiệp, tài liệu luyện thi toán vào lớp 10 và ôn thi học sinh giỏi toán lớp 9 có lời giải và phương pháp hay

Chương 4.

HÀM SỐ

Y = AX 2 ( A ≠ 0 )

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Chuyên đề 16.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM

A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa.
Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có
dạng: ax 2 + bx + c = 0 trong đó x : ẩn số.
a, b, c ( a ≠ 0 ) : là hệ số
2. Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai
2
Xét phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) và biệt thức ∆ = b 2 − 4ac

 Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

 Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −

b
2a

 Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
2
Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a và c trái dấu tức là ac < 0 thì

∆ = b 2 − 4ac > 0 . Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Cơng thức nghiệm thu gọn
2
Đối với phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) và b = 2b ′, ∆ ′ = b ′2 − ac

 Nếu ∆ ′ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

−b′ + ∆′
−b′ − ∆′
; x2 =
a
a

 Nếu ∆ ′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −

b′
a

 Nếu ∆ ′ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai số thực a; b không âm thỏa mãn 18a + 4b. ≥ 2013 . Chứng minh rằng

phương trình sau ln có nghiệm: 18ax 2 + 4bx + 671 − 9a = 0
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013)
Giải


Tìm cách giải. Để chứng minh phương trình ax 2 + bx + c = 0 ln có nghiệm, nếu
chưa có điều kiện gì của a . Ta cần xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Xét a = 0 , chứng tỏ phương trình bx + c = 0 có nghiệm
Trường hợp 2. Xét a ≠ 0 , chứng tỏ ∆ ≥ 0 (hoặc ∆ ′ ≥ 0 )
Trình bày lời giải
 Xét a = 0 , từ giả thuyết suy ra 4b ≥ 2013 ⇒ b ≠ 0 nên phương trình 4bx + 671 − 9a = 0
ln có nghiệm
 Xét a ≠ 0
2
2
2
Ta có: ∆ ′ = 4b − 18a ( 671 − 9a ) = 4b − 12078a + 162a

= 4b 2 − 6a.2013 + 162a 2 ≥ 4b 2 − 6a ( 18a + 4b ) + 162a 2
⇒ ∆ ′ = 4b 2 − 24ab + 54a 2 = ( 2b − 6a ) + 18a 2 ≥ 0
2

Suy ra phương trình ln có nghiệm
Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x 2 + ax + b = 0 và x 2 + cx + d = 0 . Trong đó
ac > 2 ( b + d ) . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Giải
Tìm cách giải. Những bài tồn chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc
hai có nghiệm ta chứng minh ít nhất một trong hai ∆ không âm. Tức là chứng minh
∆1 + ∆ 2 ≥ 0
Trình bày cách giải

2
2
Xét ∆1 = a − 4b; ∆ 2 = c − 4d

Suy ra ∆1 + ∆ 2 = a 2 − 4b + c 2 − 4d > a 2 + c 2 − 2ac = ( a − c ) ≥ 0
2

∆1 + ∆ 2 ≥ 0 . Vậy ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau đây có ít nhất một
nghiệm chung: x 2 + mx + 4 = 0 (1) và x 2 + 4 x + m = 0 (2)
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010)
Giải
Tìm cách giải. Để giải dạng tốn này, ta gọi x0 là nghiệm chung của hai phương
trình, thì x0 thỏa mãn cả hai phương trình. Từ đó ta được hệ phương trình, sau đó:
 Khử x02
 Tìm x0 hoặc tìm m (có bài biểu thị x0 theo m )
 Thử lại với m tìm được, rồi kết luận
Trình bày cách giải


 x02 + mx0 + 4 = 0
Gọi m là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:  2
 x0 + 4 x0 + m = 0
Suy ra ( m − 4 ) x0 + 4 − m = 0 ⇔ ( m − 4 ) ( x0 − 1) = 0
 Với m = 4 . Hai phương trình có dạng x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇔ x = −2
Vậy hai phương trình có nghiệm chung là x = −2
 Với x0 = 1 thay vào phương trình (1) hoặc (2) ta được m = −5 . Với m = −5 thì phương
trình (1) là x 2 − 5 x + 4 = 0 có nghiệm x = 1; x = 4 , thì phương trình (2) là x 2 + 4 x − 5 = 0 có
nghiệm x = 1; x = −5 . Do đó hai phương trình có nghiệm chung là x = 1 . Vậy với
m ∈ { 4; −5} thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Ví dụ 4: Giải phương trình x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0 , biết rằng a; b là các số hữu tỉ và 1 + 2 là
một nghiệm của phương trình
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011)
Giải
Tìm cách giải. Những dạng toán trên ta cần xác định a và b trước. Khi thay
x = 1 + 2 vào phương trình, ta lưu ý rằng a, b là các số hữu tỉ nên vận dụng tính
chất: Nếu x, y , p là các số hữu tỉ mà x p + y = 0 , trong đó p khơng phải là bình
phương của số hữu tỉ thì x = y = 0
Trình bày cách giải
Ta có: x = 1 + 2 là một nghiệm của phương trình nên:

(1+ 2)

3

(

+ a 1+ 2

)

2

(

)

+ b 1+ 2 +1 = 0

⇔ ( 2a + b + 5 ) 2 + ( 3a + b + 8 ) = 0

 2a + b + 5 = 0
 a = −3
⇔
Vì a; b là số hữu tỉ nên 
3a + b + 8 = 0
b = 1
Thay vào phương trình, tra được:
x −1 = 0
x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) = 0 ⇔  2
 x − 2x − 1 = 0

{

Giải ra, ta được tập nghiệm của phương trình là: S = 1;1 − 2;1 + 2

}

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 − xy trong đó x; y là các số thực thỏa
mãn x 2013 + y 2013 = 2..x1006 . y1006 (1)
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013)
Giải


Trường hợp 1: Nếu x = 0 thì y = 0 (hoặc ngược lại) suy ra P = 1
Trường hợp 2: Xét x ≠ 0; y ≠ 0
1006

1006

Chia hai vế của (1) cho x

1006

x
Đặt  ÷
 y

1006

 y
=t⇒ ÷
x

.y

1006

x
ta được: x  ÷
 y

1006

 y
+ y ÷
x

=2

1
= ⇒ x.t 2 − 2t + y = 0

t

Đây là phương trình bậc hai đối với t . Xét ∆ ′ = 1 − xy
Để tồn tại x; y tức là tồn tại t thì ∆ ′ ≥ 0 ⇒ 1 − xy ≥ 0; P ≥ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi t là nghiệm kép của phương trình
1006

x
1
1
1 − xy = 0 ⇔ x = ⇒ t = ⇔  ÷
y
x
 y

=

1
1
⇔ x 2012 =
x
x

⇔ x =1⇔ y =1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0. Khi x = y = 1
C. Bài tập vận dụng
2
16.1. Cho phương trình 4 x − 2 ( a + b ) x + ab = 0 (1) ( a; b là tham số)

a) Giải phương trình (1) với a = 1; b = 2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi a; b
Hướng dẫn giải – đáp số

(

)

2
a) Với a = 1; b = 2 phương trình có dạng: 4 x − 2 x 1 + 2 x + 2 = 0

(

Xét ∆ ′ = 1 + 2
x1 =

)

2

(

− 4 2 = 1− 2

(

1+ 2 − 1− 2
4

)=

)

2

>0

(

)

1+ 2 + 1− 2
2
1
; x2 =
=
2
4
2

b) Xét ∆ ′ = ( a + b ) − 4ab = ( a − b ) ≥ 0 với mọi a; b
2

2

Vậy phương trình ln có nghiệm
16.2. Cho a, b, c, d là các số thực a 2 + b 2 < 1 . Chứng minh rằng phương trình:

(a

2

+ b2 − 1) x 2 − 2 ( ac + bd − 1) x + c 2 + d 2 − 1 = 0 ln có hai nghiệm.

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005)
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét ∆ ′ = ( ac + bd − 1) − ( a 2 + b 2 − 1) ( c 2 + d 2 − 1) (*)
2

+ Do a 2 + b 2 < 1 ⇒ a 2 + b 2 − 1 < 0
Nếu c 2 + d 2 ≥ 1 ⇒ c 2 + d 2 − 1 ≥ 0 ⇒ ∆ ≥ 0


Nếu c 2 + d 2 < 1 . Đặt u = 1 − a 2 − b 2 ; v = 1 − c 2 − d 2
(Điều kiện 0 < u ≤ 1;0 < v ≤ 1 )
Xét 4∆ ′ = ( 2 − 2ac − 2bd ) − 4uv
2

= ( a 2 + b 2 + u + p 2 + d 2 + v − 2ac − 2bd ) − 4uv
2

2

2
2
2
2
= ( a − c ) + ( b − d ) + u + v  − 4uv ≥ ( u + v ) − 4uv = ( u − v ) ≥ 0



⇒ ∆ ′ ≥ 0 . Vậy phương trình ln ln có nghiệm
16.3. Cho phương trình ax 2 + bx + 1 = 0 với a; b là các số hữu tỉ. Tìm a; b biết x =

5− 3
5+ 3

là nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải – đáp số
3 (
=

5− 3

Ta có: x = 5 −
5+ 3

(

a 4 − 15

)

2

(

5−3

)

2

= 4 − 15 là nghiệm của phương trình nên:

)

+ b 4 − 15 + c = 0 ⇔ ( 31a + 4b + 1) − ( 8a + b ) 15 = 0

31a + 4b + 1 = 0
a = 1
⇔
Do a và b là các số hữu tỷ nên: 
8a + b = 0
b = −8
16.4. Với giá trị nào của b

thì hai phương trình

2011x 2 + bx + 1102 = 0

(1) và

1102 x 2 + bx + 2011 = 0 (2) có nghiệm chung.
(Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010)
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có:
 2011x02 + bx0 + 1102 = 0
1102 x02 + bx0 + 2011 = 0
⇔



2
2
1102 x0 + bx0 + 2011 = 0
909 x0 = 909
1102 x02 + bx0 + 2011 = 0 ( 1)
⇔
( 2)
 x0 = ±1
Với x0 = 1 thay vào phương trình (1) ta được b = −3113
Với x0 = −1 thay vào phương trình (1) ta được b = 3113
Thử lại:
 Với b = −3113 , thì phương trình (1) là 2011x 2 − 3113 x + 1102 = 0 có nghiệm x = 1; x =
và phương trình (2) là 1102 x 2 − 3113 x + 2011 = 0 có nghiệm là x = 1; x =
chung là x = 1

1102
2011

2011
, nghiệm
1102




b = 3113 ,

Với

x = −1; x = −

x = −1; x =

1102
2011

thì

phương

trình

(1)

là

2011x 2 + 3113 x + 1102 = 0

và phương trình (2) là 1102 x 2 + 3113 x + 2011 = 0

có

nghiệm

có nghiệm là

−2011
, nghiệm chung là x = −1
1102

Vậy với b = ±3113 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung
16.5. Tìm số ngun a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung
x 2 + ax + 8 = 0 (1) và x 2 + x + a = 0 (2)
Hướng dẫn giải – đáp số
 x02 + ax0 + 8 = 0 ( 1)
Đặt x0 là nghiệm chung của ai phương trình, ta có:  2
, ta có:
 x0 + x0 + a = 0 ( 2 )
Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được:

( a − 1) .x0 + 8 − a = 0 ⇔ ( a − 1) .x0 = a − 8

(*)

Với a − 1 = 0 ⇔ a = 1 thì từ (*) không tồn tại x0 nên điều kiện a ≠ 1
Từ phương trình (*) ta có: x0 =

( a − 8)
2
( a − 1)

2

+

a −8
thay vào phương trình (2) ta được:
a −1

a −8
+ a = 0 ⇔ a 3 − 24a + 72 = 0
a −1

⇔ ( a + 6 ) ( a 2 − 6a + 12 ) = 0 (**)
Ta có: a 2 − a + 12 = ( a − 3) + 3 > 0 nên (**) ⇔ a + 6 = 0 ⇔ a = −6
2

Với a = −6 thì phương trình (1) là x 2 − 6 x + 8 = 0 có nghiệm x1 = 2; x2 = 4
Phương trình (2) là x 2 + x − 6 = 0 có nghiệm x1 = 2; x2 = −3 nên hai phương trình có
nghiệm chung x = 2
Vậy với a = −6 thì hai phương trình có nghiệm chung là x = 2
16.6. Cho hai phương trình x 2 + mx + n = 0 và x 2 − 2 x − n = 0 . Chứng minh rằng với mọi
giá trị của m và n , ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010)
Hướng dẫn giải – đáp số
 Phương trình x 2 + mx + n = 0 có ∆1 = m 2 − 4n
 Phương trình x 2 − 2 x − n = 0 có ∆ 2 = 4n + 4


Suy ra: ∆1 + ∆ 2 = m 2 + 4 > 0 với mọi m, n . Do đó trong hai số ∆1 , ∆ 2 ln có ít nhất một
∆ khơng âm. Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho ln có ít nhất một
phương trình có nghiệm
c > 0
16.7. Chứng minh rằng với điều kiện 
2
( a + c ) < ab + bc − 2ac
thì phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ln có nghiệm
(Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn giải – đáp số

Xét các trường hợp sau:
 Nếu a = 0; b ≠ 0 thì phương trình ln có nghiệm duy nhất x = −

c
b

 Nếu a = 0; b = 0 thì c 2 < 0 vơ lí
 Nếu a ≠ 0 từ ( a + c ) < ab + bc − 2ac ⇒ −2ac > ( a + c ) − b ( a + c )
2

2

Xét ∆ = b 2 − 4ac > b 2 + 2 ( a + c ) − 2b ( a + c ) = ( a + c − b ) + ( a + c ) ≥ 0
2

2

2

Vậy ∆ > 0 , phương trình ln có hai nghiệm
Tóm lại, phương trình ln có nghiệm
2
2
16.8. Cho phương trình ẩn x tham số m : x − 2 ( m + 1) x − ( m + 2m − 3) = 0 . Xác định m để

phương trình có hai ngiệm x1 ; x2 sao cho:
2008 < x2 < x1 < 2013
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010)
Hướng dẫn giải – đáp số
2

Ta có: ∆ ′ = ( m + 1) − ( m + 2m − 3) = 4
2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = m + 3; x2 = m − 1
Phương trình có hai nghiệm:
 x = m + 3 < 2013
2008 < x2 < x1 < 2013 ⇔  1
⇔ 2009 < m < 2010
 x2 = m − 1 > 2008
16.9. Chứng minh rằng phương trình:

(x

2

+ ax + b − 1) ( x 2 + bx + a − 1) = 0 ln có nghiệm với mọi giá trị của a và b

(Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007)
Hướng dẫn giải – đáp số
 x 2 + ax + b − 1 = 0 ( 1)
2
2
x
+
ax
+
b
−
1
x

+
bx
+
a
−
1
=
0
⇔
 2
(
)(
)
 x + bx + a − 1 = 0 ( 2 )


Ta có ∆1 = a 2 − 4b + 4; ∆ 2 = b 2 − 4a + 4
Suy ra ∆1 + ∆ 2 = ( a − 2 ) + ( b − 2 ) ≥ 0 với mọi a; b do đó có ít nhất một trong hai giá trị
2

2

∆1 ; ∆ 2 khơng âm. Vậy phương trình ban đầu ln có nghiệm với mọi giá trị của a và
b

II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN
Bài 1:

Giải phương trình

a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;

∆ = 51

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

− (−49) − 51
− (−49) + 51
= −1 ; x2 =
= 50
2
2

+ Lời giải 2:

Ứng dụng của định lí Viet

Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = −
+ Lời giải 3:

− 50
= 50
1

∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601

Theo định lí Viet ta có :
 x1 + x2 = 49 = (−1) + 50
 x = −1
⇒ 1

 x1.x2 = 49 = −50 = (−1).50  x2 = 50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = −

− 50
= 50
1

b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
∆ = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;

∆=4

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:


x1 =

−2 3+4
−2 3−4
= 1 ; x2 =
= −( 7 + 4 3 )
2(2 − 3 )
2( 2 − 3 )

+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ =
∆’ = ( 3 )2 - (2 -

3;c=–2– 3)

3 )(– 2 – 3 ) = 4;

∆=2

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

− 3+2
− 3−2
= 1 ; x2 =
= −(7 + 4 3 )
2− 3
2− 3

+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 -

3)=0

Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = −

−2− 3
= −(7 + 4 3 )
2− 3

*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng cơng thức và tính tốn
* Bài tương tự:

Giải các phương trình sau:

1. 3x2 – 7x - 10 = 0

5. x2 – (1+ 2 )x +

2

2. x – 3x + 2 = 0

2 =0

6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0

2

3. x – 4x – 5 = 0

7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0

2

4. 3x – 2 3 x – 3 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải

Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u + v = -42 và u.v = - 400

b) u - v = 5 và u.v = 24

c) u + v = 3 và u.v = - 8

d) u - v = -5 và u.v = -10

2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3:

Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai)

3

2

a) x + 3x – 2x – 6 = 0;

b)

2x
x2 − x + 8
=
x + 1 ( x + 1)( x − 4)

c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2; d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x +
⇔x = - 2 ; x =

2 )(x -

2 )(x + 3) = 0

2;x=-3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x =
b) Giải phương trình

2;x=-3

2x
x2 − x + 8
=
(2)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)

Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x 2 = 8
(thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
Nên: t1 =
Với t =

− (−3) + 23 13
= (thoả mãn t ≥ 0) ;
2 .5
5

t2 =

− (−3) − 23
= −2 (loại)
2.5

13
13
13
⇔ x2 =
⇔x = ±
5
5
5

Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = −

13
; x2 =
5

13
5

d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = −

1
3

t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – 1 = 0
∆1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =

−1− 5

−1+ 5
; x2 =
2
2

1
1
t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
3
∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm


Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =
* Bài tương tự:

−1 − 5
−1 + 5
; x2 =
2
2

Giải các phương trình sau:

1. x3+3x2+3x+2 = 0

7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0

2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2

1
1


8.  x +  − 4 x +  + 3 = 0
x
x



2

3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0

9.

5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6.

x+2
6
+3 =
x−5
2− x

x
x +1
− 10.
=3

x +1
x

Bài 4: Cho phương trình x2 +

3x-

5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .

Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A=

1
1
+ ;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

C=

1
1
+ 2;
2
x2
x2

D = x13 + x23

Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ;
A=

x1.x2 = − 5

x + x2
1
1
− 3 1
+
= 1
=
=
15 ;
x2
x2
x1 .x 2
− 5 5

B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3 ) 2 − 2(− 5 ) = 3 + 2 5
x12 + x 22 3 + 2 5 1
= (3 + 2 5 ) ;
C= 2 2 =
x1 .x 2
(− 5 ) 2 5
D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− 3 )[3 + 2 5 − (− 5 )] = −(3 3 + 3 15 )
* Bài tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .

Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1
1
+
2
2 ;
x2
x2

A=

1
1
+ ;
x2 x2

E=

6 x12 + 10 x1 x 2 + 6 x 22
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 22
;
F
=
5 x1 x 23 + 5 x13 x 2
4 x1 x 22 + 4 x12 x 2

B = x12 + x22 ;

C=

D = x13 + x23

LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài tốn tổng qt)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:


1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 =

−b
c
; P = x1.x2 = )
a
a

* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại
tốn này
Bài 2:

Giải phương trình (giải và biện luận): x2 - 2x + k = 0 ( tham số k)

Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vơ nghiệm
Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vơ nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Bài 3:

Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Giải


3
(là nghiệm)
2

a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥

2
3

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥

2
thì phương trình có nghiệm
3
3
(là nghiệm)
2

b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =

Khi đó x =

−

2
(thoả mãn m ≠ 1)
3

1
1
=−
=3
2
m −1
−1
3

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
Với m =

3
2

2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

3
4
3
1
-1= − ≠ 0)
4
4

−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
1
Theo đinh lí Vi - et ta có: x1.x2 = m − 1
−
4
Vậy m =

3
và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài tốn trở nên phức tạp vàhọc
sinh thường hay sai sót)
Bài 4:

Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải

2

1
15
a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– 3 – m ) =  m −  +
2
4

’

2

2

15
1

> 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
Do  m −  ≥ 0 với mọi m;
4
2

⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2(m − 1) < 0

m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0
 m ≥ 3

3

2
m
−
3
≥
0
m≥

2




⇔
⇔
⇔
2
 m ≤ 0

m
≤
0



m ≤ 0

3
2m − 3 ≤ 0
 m ≤
2

Vậy m ≥

3
hoặc m ≤ 0
2

e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
Theo định lí Viet ta có: 

 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6
⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = −
Vậy x1 = −

8 + x2
1 + 2 x2

1
( x2 ≠ − )
2

Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số)

8 + x2
1 + 2 x2


a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 +

1
1
; y 2 = x2 +
với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên
x2
x1

Giải
a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔
⇔
⇔
⇔m=2
m − 1 = 1
m = 2
P = 1
Vậy m = 2
b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1 + x2 = −2
 2 x1 + 2 x2 = −4  x1 = 5
 x1 = 5
⇔
⇔
⇔
Từ (1) và (3) ta có: 
3 x1 + 2 x2 = 1 3 x1 + 2 x2 = 1
 x1 + x2 = −2  x2 = −7
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm

d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi đó: y + y = x + x +
1

2

1

y y = (x +
1

2

1

2

1
x

)( x +
2

2

1
x1
1
x

+

1

= x1 + x2 +

x2

)= xx +

1

1

2

1
xx
1

x1 + x2
x1 x2

+ 2 = m −1+
2

⇒ y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -

= −2 +

1
m −1

−2
m −1

+2=

=

m

2m
1− m

(m≠1)

2

m −1

(m≠1)

2m
m2
.y +
= 0 (m≠1)
1− m
m −1

Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính tốn và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này


b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
*) CMR: A = 8m2 – 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0

a) C/m phương trình ln có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y1 + y2 = x1 + x2 và

y1
y2
+
=3
1 − y 2 1 − y1

7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x2 thoả mãn :
 x1

 x2

2

2


x 
 +  2  > 7

 x1 

8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m

* Tìm m sao cho x1 − x 2 ≥ 2
Dạng: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m − 1 ) x + m 2 − 3 m = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình : x 2 − ( 2 m − 1 ) x − 4 m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.


Bài 3: Tìm m để phương trình : ( 2 m − 1 ) x 2 − 2( m + 4 ) x + 5 m + 2 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x 12 + x 22 = 2 x 1 x 2 + 16.
Bài 4: Tìm m để phương trình: ( m − 1 ) x 2 − 2 mx + m + 1 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 x2 5
+
+ = 0.
x 2 x1 2
Bài 5: Tìm m để phương trình:

mx 2 − ( m − 4 ) x + 2 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

2( x 12 + x 22 ) − 5 x 1 x 2 = 0.
Bài 6: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m − 2 ) x + m + 5 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 10.
Bài 7: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m − 2 ) x − 2 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 8.
Bài 8: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m + 3 ) x + 3m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 10.
Bài 9: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m − 2 ) x − 4 m + 5 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x1 x2
+
= 1.
x2 x1

Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m + 2 ) x 2 − ( 2 m − 1 ) x + m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 =
2x2.
Bài 11: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m + 1 ) x + 4 m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5.
DẠNG: lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m + 2 ) x 2 − 2( m − 1 ) x + 3 − m = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2 − 2( m − 1 ) x + m − 3 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x 1,
x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m − 3 ) x 2 − 2( m − 1 ) x + m − 5 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( 4 m − 3 ) x 2 − 3( m + 1 ) x + 2 m + 2 = 0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2 − ( 2 m + 1 ) x + m 2 + m − 1 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m − 1 ) x 2 − 2( m + 1 ) x + m = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x1, x2 không phụ thuộc vào m.