Về đại số tuyến tính của ma trận k fibonacci

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐINH THỊ HƢƠNG

VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA MA TRẬN
K-FIBONACCI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐINH THỊ HƢƠNG

VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA MA TRẬN
K-FIBONACCI
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2021

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại
học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên
cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến cô giáo TS.
Nguyễn Thu Hằng. Cô đã tận tâm, tận lực dành nhiều thời gian hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm
luận văn. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cơ.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể các thầy cơ trong Khoa Toán–
Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng
dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và
hoàn thành luận văn.
Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong
thời gian làm luận văn.
Tác giả
Đinh Thị Hương

i


Bảng các ký hiệu

Fn

dãy Fibonacci

Mn

tập các ma trận vuông cấp n

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

Fn

ma trận Fibonacci

Qn

ma trận Fibonacci đối xứng

F(k)n

ma trận k-Fibonacci

Q(k)n

ma trận k-Fibonacci đối xứng

Ωn
 
n
 
k

ma trận ngẫu nhiên kép
tổ hợp chập k của n

ii


Mục lục

Bảng các ký hiệu

ii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Sự phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng . . . . . .

9

1.4

Dãy k–Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Ma trận k–Fibonacci, ma trận k–Fibonacci đối xứng . . . 14

2 Về Đại số tuyến tính của ma trận của dãy k–Fibonacci
2.1

17

Sự phân tích của các ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci
đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Giá trị riêng của các ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci
đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

iii


Mở đầu
Dãy số Fibonacci được Leonardo Pisano Bogollo, một nhà tốn học
người Ý, cơng bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci qua các
bài toán: Bài toán con thỏ và Bài toán số các cụ tổ của một con ong
đực. Ngày nay, người ta biết đến rất nhiều các hiện tượng và quy luật tự
nhiên được phân bố theo quy tắc của dãy Fibonacci.
Ta biết rằng dãy Fibonacci thoả mãn quy tắc Fn+2 = Fn+1 + Fn . Công
thức của dãy Fibonacci tuy đơn giản nhưng chứa đựng nhiều các tính
chất vừa đẹp đẽ, đầy bí ẩn và bất ngờ trong toán học và cả tự nhiên. Dãy
Fibonacci lý thú đến mức có hẳn Tạp chí The Fibonacci Quarterly
chỉ xuất bản các kết quả nghiên cứu liên quan đến dãy Fibonacci và các
dãy tổng qt hố của nó.
Ngồi việc nghiên cứu dãy Fibonacci, người ta cũng quan tâm đến
các mở rộng của nó. Một số các mở rộng điển hình là dãy k–Fibonacci,
dãy Lucas, dãy k–Lucas cũng mang đến rất nhiều các kết quả thú vị và
các ứng dụng của chúng cũng rất nhiều. Khái niệm về dãy k–Fibonacci
được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1960 (xem [2]). Tuy nhiên, vào năm
2007, Facol và Plaza đưa ra định nghĩa khác của dãy k–Fibonacci và ứng
dụng nó vào việc nghiên cứu bài tốn phân vùng 4 tam giác có cạnh lớn
nhất. Dãy k–Fibonacci là dãy Fibonacci khi k = 2 nếu xét theo định
nghĩa của [2] và k = 1 nếu xét theo định nghĩa Facol và Plaza trong [1].
Do đó, từ các kết quả của dãy Fibonacci người ta có thể mở rộng lên

cho dãy k–Fibonacci. Ngược lại, từ việc nghiên cứu các tính chất của
1


2

dãy k–Fibonacci, ta cũng có thể suy ra các tính chất của dãy Fibonacci
bằng đặc biệt hố. Trong tồn bộ luận văn này chúng tơi tìm hiểu dãy
k–Fibonacci theo nghĩa của [2].
Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu một số tính chất và trình bày
lại các kết quả về dãy k–Fibonacci và một số ứng dụng của nó. Các kết
quả chính trong luận văn được viết dựa trên các tài liệu tham khảo [3],
đồng thời được tham khảo thêm các tài liệu [4] và [6].
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chúng tơi trình bày lại một số tính chất cơ bản của dãy Fibonacci,
dãy k–Fibonacci. Nghiên cứu về những ma trận liên kết với hai dãy này.
Đồng thời trình bày lại, mà khơng chứng minh một số kết quả về sự phân
tích của ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng.
Chương 2. Về Đại số tuyến tính của ma trận của dãy k–
Fibonacci
Chương này chúng tôi dành để trình bày lại các kết quả về dãy k–
Fibonacci. Chúng tơi nghiên cứu về những sự phân tích ma trận k–
Fibonacci và ma trận k–Fibonacci đối xứng như: Sự phân Cholesky, ma
trận nghịch đảo, giá trị riêng và các chặn của nó.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày lại định nghĩa và một số tính

chất cơ bản, quan trọng của dãy Fibonacci, ma trận Fibonacci, ma trận
Fibonacci đối xứng. Vì dãy k–Fibonacci là dãy số tổng quát của dãy
Fibonacci nên dựa vào các tính chất đã biết của dãy Fibonacci và các
ma trận chúng tôi đưa ra các định nghĩa, các tính chất về với dãy k–
Fibonacci và các ma trận liên kết với dãy k–Fibonacci nhằm phục vụ cho
các chứng minh của chương sau. Tất cả các kết quả của chương này đều
nằm trong các tài liệu tham khảo [3, 4] hoặc [6].

1.1

Dãy Fibonacci

Trước hết chúng tôi nhắc lại về dãy Fibonacci quen thuộc.
Định nghĩa 1.1. Dãy Fibonacci, ký hiệu là (Fn )n∈N , được định nghĩa
bởi công thức truy hồi sau đây:



F1 = 1



F2 = 1




Fn = Fn−1 + Fn−2 , với mọi n > 2.

(1.1)

Ta gọi Fn là số hạng thứ n của dãy Fibonacci. Nói cách khác ta có dãy
Fibonacci là dãy số sau đây.
(F0 = 0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
3


4

Nhận xét 1.2. Từ hệ thức truy hồi (1.1) của dãy Fibonacci ta có
Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0,
với mọi n

2. Do đó ta có phương trình đặc trưng
λ2 − λ − 1 = 0.

(1.2)

Phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm là:
√
√
1− 5
1+ 5
, λ2 =
.
λ1 =
2
2
Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.1) là:
Fn = c1 λn1 + c2 λn2 ,

trong đó C1 , C2 là các hằng số tự do.
Với F0 = 0, F1 = 1 ta có


c1 + c2 = 0,

c1 λ1 + c2 λ2 = 1,
hay

1


c1 = √ ,
5
1


c2 = − √ .
5
Chúng ta có ngay kết quả sau.
Bổ đề 1.3. Dãy Fibonacci được cho bởi công thức
√
√
1+ 5 n
1− 5 n
) −(
)
(
2
2

√
Fn =
.
5
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại một số tính chất đẹp về tổng của các số
hạng của dãy Fibonacci sẽ dùng cho các chứng minh của chương sau.


5
n

Bổ đề 1.4. Cho (Fn )n∈N là dãy Fibonacci. Khi đó ta có
i=1

Fi2 = Fn Fn+1 .

Chứng minh. Với mọi i > 0 ta có Fi+1 = Fi + Fi−1 . Ta suy ra
Fi = Fi+1 − Fi−1 với mọi i > 0. Nói cách khác,
Fi2 = Fi Fi+1 − Fi−1 Fi .
Khi đó ta có
F11 + F22 + . . . + Fn2 = (F1 F2 − F1 F0 ) + (F2 F3 − F1 F2 )+
. . . + (Fn Fn+1 − Fn−1 Fn ) = Fn Fn+1 .

Đặc biệt, ta có cơng thức đẹp như sau.
Bổ đề 1.5. Cho (Fn )n∈N là dãy Fibonacci. Khi đó với n

1 ta có

n−1



2
n−k−1
 = Fn .

k
k=0
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp như sau.
• Với n = 1 ta có
1−1 


  
2
0
1−0−1
1−k−1
=

.
F1 = 1 =   = 
k=0
0
k
0
Vì vậy với n = 1 ta có Đẳng thức (1.3) là đúng.
• Với n = 2 ta có
2−1 

  


2
2−k−1
1
2−0−1

.
=
F2 = 1 =   = 
k=0
0
0
k
Vì vậy với n = 2 ta có Đẳng thức (1.3) là đúng.

(1.3)


6

• Ta giả sử rằng với n > 2 là một số chẵn ta có
n

−1 
2
n−k−1

 = Fn , và
k
k=0

n

−1 
2
n−k−2

 = Fn−1
k
k=0

là đúng.
• Ta phải chứng minh
n


2
n−k+1

 = Fn+2 , và
k
k=0

n


2
n−k

 = Fn+1 .

k
k=0

Ta chứng minh đẳng thức
n


2
n−k
 = Fn+1 .

k
k=0
là đúng.
Thật vậy, ta có
n
n
  
 

−1 
n
2
2
n−
n
n−k
n−k
= +
 +  n 2



0
k
k
k=0
k=1
2
n

−1 
2
n−k

+1
=1+
k
k=1
n

 

−1
2
n−k−1
n−k−1

+
 +1
=1+

k
k−1
k=1
n
n


−1 
−1 
2
2
n−k−1
n−k−1

+

+1
=1+
k
k−1
k=1
k=1

(1.4)


7

n
n



−1 
−1 
2
2
n−k−1
n−k−2

+

+1
=1+
k
k−1
k=1
k=0
n
n




−1 
−1 
2
2
n−k−1
n−k−2
n−2


+

+1
+
=
k
k−1
0
k=1
k=0
n
n




−1 
−1 
2
2
n−2
n−k−1
n−k−2
+

+


=

0
k
k−1
k=1
k=0


n
n − ( − 1) − 2

+
n2
−1
2
n
n


−1 
−1 
2
2
n−k−1
n−k−2
+



=
k−1

k−1
k=0
k=0
= Fn + Fn−1 = Fn+1 .
Chứng minh một cách tương tự ta có đẳng thức
n


2
n−k+1
 = Fn+2 .

k
k=0

Ví dụ 1.6. Ta có
           
11
10
9
8
7
6
F12 =   +   +   +   +   +   = 144.
0
1
2
3
4
5

 
n
Chú ý rằng vì   = 0 nếu và chỉ nếu k > n. Do đó Bổ đề 1.5 cịn
k
có thể phát biểu dưới dạng sau.


8

Bổ đề 1.7. Cho (Fn )n∈N là dãy Fibonacci. Khi đó với n


n
n−k

 = Fn .
k
k=0

1.2

1 ta có

Sự phân tích ma trận

Chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về sự phân tích ma trận thành
tổng trực tiếp và sự phân tích Cholesky của các ma trận.
Ta gọi tập tất cả các ma trận vuông cấp n là Mn . Cho A ∈ Mn , nếu
A có thể viết dưới dạng


A11


A22

A=


O
trong đó Aii ∈ Mni , i = 1, 2, . . . , k và

O





,



Akk
ni = n, thì A được gọi là ma trận

khối dọc theo đường chéo. Khi đó ta ký hiệu A = A11 ⊕ A22 ⊕ . . . ⊕ Akk
và ta nói A là tổng trực tiếp của các ma trận A11 , A22 , . . . , Akk .
Cho A ∈ Mn là ma trận thực, A là ma trận đối xứng nếu A = AT ,
trong đó AT là ma trận chuyển vị của ma trận A.
Định nghĩa 1.8. Ma trận đối xứng A gọi là xác định dương (nửa xác
định dương) nếu xT Ax > 0 (xT Ax

0), với mọi véctơ x ∈ Rn , x = 0 và

xT là chuyển vị của x.
Nhận xét 1.9. Cho A ∈ Mn là ma trận. Khi đó ta có các khẳng định.
1) Ma trận A là xác định dương (nửa xác định dương) nếu dạng toàn
phương tương ứng của chúng là xác định dương (nửa xác định
dương).


9

2) Ma trận A là xác định dương (nửa xác định dương) thì các phần tử
nằm trên đường chéo chính của A là các số dương (không âm).
3) Ma trận A là xác định dương (nửa xác định dương) thì các giá trị
riêng của A là dương (không âm).
Định nghĩa 1.10. Ma trận đối xứng, xác định dương A gọi là có phân
tích Cholesky nếu A = L.LT , trong đó L là ma trận tam giác dưới với
các phần tử trên đường chéo khơng âm.
Ta có chú ý rằng, với A là ma trận đối xứng thì phân tích Cholesky
là duy nhất.
Ví dụ 1.11. Cho ma trận đối xứng, xác

4
12

A=
 12 37
−16 −43

định dương

−16

−43
.
98

Khi đó ta có phân tích Cholesky của ma trận A là:



2 0 0
2 6 −8



 0 1 5  .
A=
6
1
0



−8 5 3
0 0 3

1.3

Ma trận Fibonacci, ma trận Fibonacci đối xứng

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại các kiến thức về hai ma trận
liên kết với một dãy Fibonacci cho trước đó là: Ma trận Fibonacci và ma
trận Fibonacci đối xứng cùng một số các kết quả đã có về sự phân tích
và giá trị riêng của hai ma trận này. Các kết quả được trình bày chủ yếu
đến từ tài liệu tham khảo [4]


10

Định nghĩa 1.12. Cho dãy Fibonacci (Fn )n∈N . Ma trận Fibonacci, ký
hiệu là Fn = [fij ]n×n , là ma trận vuông cấp n được xác định như sau:


Fi−j+1 với i − j + 1 0
fij =

0
với i − j + 1 < 0.
Nhận xét 1.13. Từ Định nghĩa 1.12 ta thấy fii = F1 = 1, với mọi
i = 1. . . . , n. Nếu i < j thì fij = 0. Nếu i > j thì fij = 0.
Ví dụ 1.14. Ma trận Fibonacci cấp

1 0

1 1


F5 = 

2 1

3 2


5 tương ứng là ma trận sau.

0 0 0

0 0 0


1 0 0
.

1 1 0


5 3 2 1 1

Định nghĩa 1.15. Cho dãy Fibonacci (Fn )n∈N . Ma trận Fibonacci đối
xứng, ký hiệu là Qn = [qij ]n×n , là ma trận vng cấp n được xác định
như sau:

qij = qji =





i

k=1

Fk2

với i = j


q
i,j−2 + qi,j−1

với i + 1 ≤ j,

trong đó q10 = 0. Khi đó ta có q1j = qj1 = Fj và q2j = qj2 = Fj+1 .
Ví dụ 1.16. Ma trận Fibonacci

1

1


Q5 = 
2

3


đối xứng cấp 5 là ma trận sau.


1 2 3 5

2 3 5 8


3 6 9 15
.

5 9 15 24


5 8 15 24 40


11

Chúng tơi trình bày lại một số kết quả về sự phân tích ma trận của
ma trận Fibonacci và Fibonacci đối xứng.
Gọi In là ma trận đơn vị cấp n. Ta ký hiệu



1 0 0
1





S0 = 

1 1 0 , S−1 = 0
1 0 1
0

các ma trận

0 0

1 0
,
1 1

và Sk = S0 ⊕Ik , k = 1, 2, . . . , Fn = [1]⊕Fn−1 , G1 = In , G2 = In−3 ⊕S−1 ,
và với k

3 thì Gk = In−k ⊕ Sk−3 . Khi đó ta có các kết quả.

Bổ đề 1.17. [4, Bổ đề 2.1] Fk Sk−3 = Fk , với mọi k

3.

Định lý 1.18. [4, Định lý 2.2] Ma trận Fibonacci có thể được phân tích
thành Fn = G1 G2 . . . Gn .


F1

F
 2
Nếu gọi ma trận vuông Cn =  .

 ..


0 ...
1 ...
..
. ...

Fn 0 . . .
Định lý 1.19. [4, Định lý 2.3] Với n


0

0

thì ta có
.. 
.

1

2 ta có

Fn = Cn (I1 ⊕ Cn−1 )(I2 ⊕ Cn−2 ) . . . (In−2 ⊕ C2 ).
Ma trận Fibonacci đối xứng có sự phân tích Cholesky như sau.
Định lý 1.20. [4, Định lý 2.9] Cho n

1 là một số nguyên dương. Khi

đó phân tích Cholesky của ma trận Qn là Qn = Fn FnT .
Về giá trị riêng của ma trận Fibonacci đối xứng, chúng tơi trình bày
lại một số kết quả.
Mệnh đề 1.21. [4, Hệ quả 3.1] Cho λ1 , . . . , λn là các giá trị riêng của


12

ma trận Qn . Khi đó ta có










λ1 + . . . + λn =












n
n − i


i=1
i


n
n − i


i=1
i

2

−1

nếu n là lẻ

2

nếu n là chẵn.

Mệnh đề 1.22. [4, Bổ đề 3.5] Cho k = 2, 3, . . . , n. Khi đó ta có λk
1
.

3(k − 1)

1.4

Dãy k–Fibonacci

Trong phần này, chúng tơi trình bày dãy k–Fibonacci cùng một số tính
chất của dãy. Dãy k–Fibonacci là một sự mở rộng của dãy Fibonacci. Bên
cạnh một số tính chất tương tự như dãy Fibonacci, dãy k–Fibonacci cịn
có thêm các tính chất đẹp khác nữa. Trong suốt phần này ta gọi k

2 là

một số nguyên dương. Khi đó ta có định nghĩa như sau (hiểu theo nghĩa
trong [2]).
Định nghĩa 1.23. Cho k

2, dãy k–Fibonacci, ký hiệu là {g(k)n }n∈N ,

là một dãy được xác định thông qua hệ thức truy hồi như sau.



g(k)1 = . . . = g(k)k−2 = 0,



g(k)k−1 = g(k)k = 1,





g(k)n = g(k)n−1 + g(k)n−2 + . . . + g(k)n−k , với mọi n > k 2.
Ta gọi g(k)n là số hạng k–Fibonacci thứ n của dãy.
Ví dụ 1.24.
1) Nếu k = 2 thì dãy 2−Fibonacci chính là dãy Fibonacci thông thường.


13

2) Nếu k = 3 thì ta có dãy 3−Fibonacci như sau:
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, . . .
3) Nếu k = 7 thì ta có dãy 7−Fibonacci như sau:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, . . .
4) Theo [6] ta có ví dụ về dãy k–Fibonacci trong Tổ hợp như sau.
Cho hai số nguyên dương n và k sao cho n

k. Khi đó số cách

biểu diễn n thành một tổng có thứ tự của các số 1, 2, . . . , k là một dãy
k–Fibonacci. Lưu ý là số cách biểu diễn của 0 được coi là 1.
Thật vậy, giả sử ta gọi bn là số các cách biểu diễn. Chúng ta chỉ cần
xét số hạng cuối trong tổng có thứ tự của 1, 2, . . . , k. Không mất tính
tổng qt ta có thể giả sử n = Ai + ai , trong đó Ai = n − i và ai là số
hạng cuối cùng với i = 1, 2, . . . , k.
Nếu i = 1 thì A1 = n − 1 và a1 = 1. Do đó số các cách biểu diễn của
A1 là bn−1 .
Nếu i = 2 thì A1 = n − 2 và a2 = 2. Do đó số các cách biểu diễn của
A2 là bn−2 .
Cứ tiếp tục như vậy nếu i = k thì Ak = n − k và ak = k. Do đó số các

cách biểu diễn của Ak là bn−k .
Tóm lại ta có bn = bn−1 + bn−2 + . . . + bn−k . Do đó dãy {bi } là dãy
1, 1, 2, 4, . . .
với số hạng tổng quát là bn = g(k)n+2 , là số hạng thứ n + 2 của dãy
k–Fibonacci. Chẳng hạn khi k = 3 ta có
b0 = 1;
b1 = 1 với các cách biểu diễn là 1;
b2 = 2 với các cách biểu diễn là 1 + 1, 2;
b3 = 4 với các cách biểu diễn là 1 + 1 + 1, 1 + 2; 2 + 1, 3;


14

b4 = 7 với các cách biểu diễn là 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2; 1 + 2 + 1, 2 +
1 + 1, 2 + 2, 1 + 3, 3 + 1.
..
.
bn = g(3)n+2 .

1.5

Ma trận k–Fibonacci, ma trận k–Fibonacci đối xứng

Tiếp theo, chúng tơi trình bày về các ma trận liên kết với một dãy
k–Fibonacci cho trước
Ma trận đầu tiên mà chúng tôi quan tâm là ma trận k–Fibonacci cấp
n, được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.25. Cho dãy k−Fibonacci {g(k)n }n∈N . Ma trận vuông
k–Fibonacci cấp n, ký hiệu là F(k)n := [f (k)ij ]n×n được xác định là:



gi−j+1 với i − j + 1 0
f (k)ij =

0
với i − j + 1 < 0,
trong đó gn = g(k)n+k−2 .
Nhận xét 1.26.

1) Chú ý rằng f (k)n1 = gn và mỗi cột của ma trận

F(k)n là một véctơ gồm các số k–Fibonacci. Vì vậy mà ma trận k–
Fibonacci rất hữu ích trong việc tìm các số hạng của dãy k–Fibonacci
(từ số thứ nhất cho đến số thứ n). Chẳng hạn trong Ví dụ 1.27 ta
có thể thấy rõ điều đó.
2) Ta thấy f (k)ii = g1 = g(k)k−1 = 1, với mọi i = 1, . . . , n.
3) Với j > i ta có i−j +1

0. Nếu i−j +1 = 0 ta có g0 = g(k)k−2 = 0.

Nếu i−j +1 < 0 hiển nhiên ta có f (k)ij = 0. Do vậy ta có f (k)ij = 0
với mọi j > i.


15

4) Với i > j ta giả sử i = j + t, với t

1. Ta suy ra i − j + 1 = t + 1

2.

Do đó fij = gt+1 = g(k)t+1+k−2 = g(k)t−1+k .
Nếu t + 1 = 2, hay t = 1 thì ta có fj+1,j = g2 = g(k)t−1+k = g(k)k =
1.
Nếu t + 1

3 thì ta có

fij = gt+1 = g(k)t−1+k = g(k)t−2+k + g(k)t−3+k + . . . + g(k)t−1 .
5) Ma trận k–Fibonacci là ma trận có định thức bằng 1, do đó nó khả
nghịch.
Ví dụ 1.27. Ma trận cấp 6 tương ứng với dãy 3−Fibonacci
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, . . .
là ma trận


1


1

2

F(3)6 = 
4


7


0 0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
2 1 1 0
4 2 1 1

13 7 4 2 1





0

0

.
0


0

1

Ma trận thứ hai liên kết với một dãy k−Fibonacci cho trước gọi là
ma trận k−Fibonacci đối xứng, ký hiệu là Q(k)n và được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 1.28. Ma trận k−Fibonacci đối xứng Q(k)n := [q(k)ij ]n×n
trong đó các phần tử của ma trận được xác định là:

k


 q(k)i,i−t + g1 với i = j,
q(k)ij = q(k)ji = t=1
k


 q(k)i,j−t với i + 1 ≤ j,
t=1

trong đó q(k)ij = 0 với j ≤ 0.


16
k

q(k)i,i−t thì

Nhận xét 1.29. Từ Định nghĩa 1.28 ta thấy nếu q(k)ii =
t=1

ma trận Q(k)n là ma trận khơng. Vì vậy, chúng ta phải xác định
k

q(k)ii =

q(k)i,i−t + g1 .
t=1

Khi đó chúng ta thấy rằng với
j

1, q(k)1j = q(k)j1 = gj ;

với
j

2, q(k)2j = gj−1 g1 + gj g2 ;

và
q(k)3j = gj−2 g1 + gj−1 g2 + gj g3 .
Do đó, bằng quy nạp trên i, i ≤ j, ta thấy rằng
q(k)ij = gi gj + gi−1 gj−1 + . . . + g2 gj−i+2 + g1 gj−i+1 ,
trong đó gt = g(k)t+k−2 .
Đặc biệt,
i

gt2 .

q(k)ii = gi gi + gi−1 gi−1 + . . . + g1 g1 =
t=1

Ví dụ 1.30. Với dãy 3−Fibonacci
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, . . .
ma trận 3−Fibonacci đối xứng

1



1

2

Q(3)6 = 
4


7

13

là
1

2

4
6



7

13

11




20 

37 

.
72 


130

240

2

3

3

6 11 20

6 11 22 39
11 20 39 71
20 37 72 130


Chương 2
Về Đại số tuyến tính của ma trận
của dãy k–Fibonacci
Mục đích của chương này nhằm giới thiệu một số tính chất về Đại số
tuyến tính của ma trận của dãy k–Fibonacci, k–Fibonacci đối xứng như:

sự phân tích thành tổng trực tiếp của các ma trận đặc biệt, phân tích
Cholesky, đưa ra ma trận nghịch đảo, đánh giá và đưa ra các chặn trên
hoặc dưới của các giá trị riêng, . . . Các kết quả chính của chương này
được chúng tơi trình bày dựa theo tài liệu tham khảo [3].

2.1

Sự phân tích của các ma trận k–Fibonacci, k–Fibonacci
đối xứng

Trong suốt phần này ta ký hiệu ma trận In là ma trận đơn vị cấp n
và Lk là ma trận tam giác dưới

1


1

1

Lk = 
1

 ..
.

1

cấp k có dạng:
0 0 0 ...

1 0 0 ...
0 1 0 ...
0
..
.

0
..
.

1 ...
..
. ...

0 0 0 ...
17


0


0

0

.
0

.. 
.


1


18

Nhận xét 2.1. Trước hết ta định nghĩa hai ma trận như sau.


Lk+1 O
 , t = 1, 2, . . . .
St := Lk+1 ⊕ It = 
O It


1
O
.
F(k)n := [1] ⊕ F(k)n−1 = 
O F(k)n−1

(2.1)

(2.2)

Tiếp theo ta đặt các ma trận
G1 = In ;

In−2
G2 = In−2 ⊕ L2 = 

O

In−3
G3 = In−3 ⊕ L3 = 
O

O
L2
O
L3


;

;

...

Gk = In−k ⊕ Lk = 

In−k O

Gk+1 = In−k−1 ⊕ Lk+1

O


;

Lk



In−k−1 O
,
=
O
Lk+1

và với mọi k + 2 ≤ t ≤ n ta có

Gt = In−t ⊕ St−k−1 = 

In−t

O

O

St−k−1


.

Đặc biệt, ta có
S0 = Lk+1 và Gn = Sn−k−1 .

(2.3)

Khi đó ta có kết quả đầu tiên về sự phân tích của ma trận F(k)n dưới
đây.

Bổ đề 2.2. Với k + 1 ≤ t ≤ n ta có F(k)t St−k−1 = F(k)t .


19

Chứng minh. Ta chứng minh Bổ đề bằng quy nạp theo k + 1 ≤ t ≤ n.
❼ Với t = k + 1, theo Nhận xét 2.1 ta có

F(k)k+1 S0 = F(k)k+1 Lk+1 = F(k)k+1 .
❼ Với t

k + 2, theo Nhận xét 2.1 ta có




1
O
,
F(k)t = .[1] ⊕ F(k)t−1 = 
O F(k)n−1
và
St−k−1 = Lk+1 ⊕ It−k−1



Lk+1
O
.
=

O It−k−1

Do đó từ phép nhân ma trận và định nghĩa của ma trận k–Fibonacci ta
có







1
O
L
O
  k+1
 = (aij )t×t ,
F(k)t St−k−1 = 
O F(k)t−1
O It−k−1
trong đó
a11 = 1, a12 = · · · = a1t = 0.
Từ Nhận xét 1.26 ta thấy:
• Với i

2 ta có aij = fii = 1.

• Với i

2 và i < j thì aij = 0.

• Với i

2 và i > j thì ai1 = fi−1,1 + fi−1,2 + . . . + fi−1,i−1 ; ai2 =

fi−1,1 , . . . , ai,i−1 = fi−1,i−2 .
Do đó ta suy ra F(k)t St−k−1 = F(k)t .
Ví dụ 2.3. Nếu k = 3 và t = 6 thì ta có


20


1


0

0

F(3)6 S2 = 
0


0

0

0 0 0 0
1 0 0 0

1 1 0 0
2 1 1 0
4 2 1 1
7 4 2 1


0
1


0 1


0
 1


0
 1


0
 0
1
0

0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

0 0 0 1





1
 
 
0  1
 

0
 2
=

0
 4
 

0
 7

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
2 1 1 0
4 2 1 1





0

0


0


0


13 7 4 2 1 1

= F(3)6 .
Tiếp theo chúng ta có kết quả sau đây.
Định lý 2.4. Ma trận k–Fibonacci F(k)n có thể phân tích thơng qua các
ma trận Gt , với 1 ≤ t ≤ n như sau:
F(k)n = G1 G2 . . . Gn .
Chứng minh. Định lý được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.2.
Tiếp theo chúng tơi xét đến một sự phân tích thành tổng khác của
ma trận k–Fibonacci F(k)n . Trước hết chúng tôi đưa ra ma trận sau.
Ma trận C(k)n = [c(k)ij ]n×n được xác định như sau:




gi với j = 1



c(k)ij = 1
với i = j




0
trong các trường hợp khác,
hay ma trận C(k)n = [c(k)ij ]n×n có dạng

g1 0 . . .

g 1 . . .
 2
C(k)n =  . .
 .. .. . . .

gn 0 . . .


0

0

.
.. 

.

1

Khi đó, bằng những tính tốn đơn giản, chúng ta có kết quả về sự phân
tích của k–Fibonacci F(k)n qua các ma trận C(k)n = [c(k)ij ]n×n như sau.