Tạp chí khoa học sử dụng những hệ thống đại số máy tính trong việc dạy và học đại số tuyến tính ở đại học

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 14, 2002
SỬ DỤNG NHỮNG HỆ THỐNG ĐẠI SỐ MÁY TÍNH
TRONG VIỆC DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ở ĐẠI HỌC
Trần Vui
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Nhiều nhà giáo dục toán học đã thừa nhận đại số tuyến tính là một môn học khó cả
về nhận thức lẫn khái niệm ([4] Jean-Luc Dorier, 2001). Có rất nhiều quan điểm tiếp
cận đổi mới cách dạy và học bộ môn này tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến thức và công
cụ làm việc của riêng từng giảng viên. Bài báo này đề cập đến một quan điểm sử dụng
những hệ thống đại số của máy tính (HTĐSMT: Computer Algebra System) trong việc
dạy và học đại số tuyến tính cơ sở. Hai ví dụ dưới dạng hoạt động toán học được đưa ra
minh họa với những mục đích sư phạm khác nhau. Những ví dụ này được mô tả theo sự
quan sát sinh viên trong quá trình làm việc trong môi trường HTĐSMT. Việc đánh giá
HTĐSMT ([3] Hillel J., 2001) như là một công cụ dạy học hiệu quả bộ môn sẽ được
nêu ra như một vấn đề cần được nghiên cứu trên đối tượng sinh viên và hoàn cảnh cụ
thể để có câu trả lời xác đáng.
1. Mối quan hệ của HTĐSMT với Đại số tuyến tính:
Cách đây hơn năm mươi năm HTĐSMT đã được sử dụng trong việc tính toán các
biểu thức bằng chữ đơn giản, chẳng hạn tính toán một vài đạo hàm ([2] Hillel J., 2000).
Nhưng chỉ đến những năm cuối của thập niên 70, khi những HTĐSMT có thể sử dụng
được cho máy tính cá nhân thì những yêu cầu về việc sử dụng HTĐSMT như là công cụ
để dạy và học mới được đặt ra. Ngày nay, ngay cả một số loại máy tính bỏ túi cũng có
những chức năng của HTĐSMT. Những phần mềm toán học hiện đại như Mathematica,
Maple đã được lập trình với những tính năng HTĐSMT phong phú. Càng ngày người ta
càng chấp nhận HTĐSMT có thể dùng được trong dạy học nhằm những mục đích khác
nhau, bằng những cách khác nhau tùy thuộc vào phong cách giảng dạy của từng giảng
viên. Công bằng mà nói, trong dạy học toán thì ở nhiều nước HTĐSMT đã được xem
13
như một phần của “hệ thống công cụ” bao gồm bài giảng, sách giáo khoa, cũng như
những bài toán giấy-bút truyền thống.
Không có gì ngạc nhiên khi phần lớn những ví dụ minh hoạ ứng dụng sư phạm với

sự hỗ trợ của HTĐSMT đều khai thác việc dạy các khái niệm về phép tính vi tích phân
và phương trình vi phân. Vì trong những ví dụ đó những tính năng về đồ thị, tính toán
bằng chữ, ký hiệu, và tính toán bằng số của HTĐSMT được tận dụng triệt để một cách
dễ dàng. Nhưng đối với đại số tuyến tính, dẫu sao việc ứng dụng HTĐSMT cũng khác
nhiều. Sinh viên thường gặp khó khăn trong cách tiếp cận có tính cấu trúc của bộ môn,
bởi vì với đa số sinh viên đây là môn học đầu tiên trong đó các đối tượng toán học được
xây dựng theo định nghĩa một cách hệ thống. Sinh viên cũng thường bị nhầm lẫn bởi sự
hợp nhất của ba loại ngôn ngữ được dùng để mô tả bộ môn (trừu tượng, hình học và đại
số). Để hiểu được các ngôn ngữ này liên quan với nhau như thế nào trong một tình
huống cụ thể đã cho thường làm cho sinh viên lúng túng ([4] Jean-Luc Dorier, 2001).
Trong khi HTĐSMT hỗ trợ một công cụ tốt để tính toán các ma trận và giải hệ phương
trình, nhưng lại không đưa ra được một phương tiện rõ ràng để giúp sinh viên hiểu được
các cấu trúc trừu tượng của lý thuyết tổng quát về không gian vector. Nhưng nếu chúng
ta chỉ dùng cho trường hợp cụ thể là không gian R
n
thì những hoạt động HTĐSMT có
thể được sử dụng theo nhiều cách khác nhau để giúp sinh viên hiểu và đánh giá cao tầm
quan trọng của môn học.
Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin có chức năng HTĐSMT giúp
sinh viên quan sát các hiện tượng toán học từ đó dự đoán được giả thuyết phù hợp cho
bài toán và rồi tìm cách chứng minh. Mô hình sau đây minh hoạ vai trò của HTĐSMT
trong dạy và học toán ([5] Tran Vui, 2001).
14
Công Nghệ Thông
Tin
HTĐSMT
Quan Sát
(Trực quan)
Giả Thuyết
(Dự đoán)

Định Lý
(Chứng minh)
Tư duy
Qui nạp
Tư duy
Suy diễn
2. Những hoạt động minh họa sư phạm:
M. Artigue ([1], 1999) chỉ ra rằng những cách tiếp cận có tính kiến tạo trong dạy
và học toán đã cho phép sinh viên có một cách nhìn mới về việc học, nó không phải chỉ
là việc truyền thụ đơn thuần các kiến thức toán học. Những điều mà một sinh viên có
thể học được thường bị hạn chế rất nặng nề bởi những khái niệm đã có ban đầu, bởi tình
huống đặt ra cho sinh viên và ngay cả bởi những công cụ mà sinh viên được sử dụng
trong những tình huống đó. Hai hoạt động mẫu sau đây minh họa những tình huống sư
phạm khi sinh viên học toán trong môi trường HTĐSMT.
Hoạt động 1: Đem lại những ngạc nhiên
Cho ma trận A tuỳ ý, khảo sát ảnh hưởng của việc tính toán liên tiếp các
lũy thừa của A.
Khi hỏi những sinh viên năm thứ nhất mới bắt đầu học giáo trình đại số tuyến tính
về các ma trận thoả A
2
= 0, thì câu trả lời của các sinh viên thường là A = 0 ([3] Hillel
J., 2001).
Dĩ nhiên điều đó không có gì đáng phải ngạc nhiên khi sinh viên vẫn còn giữ
những hiểu biết quen thuộc đã học về các tính chất của phép nhân các số thực. Tuy
nhiên khi học xong giáo trình nhập môn đại số tuyến tính, hy vọng sinh viên sẽ hiểu
được sâu sắc hơn các khái niệm và sẽ nhận ra rằng còn có các ma trận khác không vẫn
thỏa mãn phương trình trên.
Nhưng hiểu biết về các ma trận như vậy của sinh viên phần nào thiếu chính xác và
không đầy đủ. Hầu hết các sinh viên thường tin tưởng là những ma trận như vậy phải là
rất hiếm, và một ma trận có dạng







00
10
được xem như là một trong những ma trận tiêu
biểu để minh họa.
Hoạt động 1 là một trong những ví dụ về việc sử dụng khoa học công nghệ trước
hết nhằm mục đích tạo ra một sự ngạc nhiên. Trong trường hợp cụ thể này, yêu cầu sinh
viên dùng phần mềm Mathematica hoặc Maple để tính liên tiếp các lũy thừa của một ma
trận “lớn” A, được chọn một cách thận trọng như sau:
:= A



























12 8 13 -17 -24
-44 -12 0 32 36
-20 -22 26 50 -12
4 46 -26 -10 44
60 40 -13 -7 -16
Việc khám phá ra A
5
= 0 thoạt đầu sẽ làm cho sinh viên hoài nghi. Đôi khi, sinh
viên sẽ rà soát lại các tính toán một lần nữa chỉ để bảo đảm là sinh viên không phạm sai
15
lầm trong tính toán. Nhiều ví dụ khác cùng dạng như vậy sẽ nhanh chóng thuyết phục
được sinh viên đây là một hiện tượng toán học có lôgic.
Trên đây là một trong nhiều bài toán liên quan đến việc lấy lũy thừa liên tiếp của
một ma trận đặc biệt được chọn trước. Mục tiêu của những hoạt động như vậy rõ ràng
không phải để tính toán mà quan trọng hơn là để quan sát và thấy được những ma trận
trông phức tạp có thể có những tính chất thú vị. Những tính chất đó có thể được đặt tên
về sau (như lũy linh, giải được ). Nếu được giới thiệu sớm ở các lớp mở đầu đại số
tuyến tính, các hoạt động này sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn khác về các tính
chất phong phú của ma trận. Đương nhiên sinh viên sẽ thấy việc giáo viên chọn trước

ma trận A như trên là thiếu tự nhiên. Sinh viên sẽ tự đặt ra nhiều câu hỏi, chẳng hạn xây
dựng một ma trận lũy linh cấp 4
×
4 với các hệ số khác không. Khi đó hoạt động ban đầu
có thể được liên hệ với những hướng quan trọng của lý thuyết, ví dụ như tính đồng dạng
và những tính chất của ma trận mà bất biến qua đồng dạng.
Theo kinh nghiệm, sinh viên thường có suy nghĩ biến đổi ma trận chỉ theo một
hướng xuôi, đó là biến đổi một ma trận phức tạp về một ma trận có dạng đơn giản hơn
bằng cách dùng các phép đồng dạng hoặc tương đương hàng Nhưng người ta cũng có
thể làm “phức tạp” một ma trận đơn giản bằng cách thực hiện những biến đổi như trên
mà vẫn còn giữ được các tính chất chính yếu của ma trận, chẳng hạn tính lũy linh. Đó là
kỹ thuật mà các giảng viên thường dùng để tạo ra các ví dụ về ma trận không tầm
thường với những tính chất đặc biệt bằng cách tính toán ngược lại từ kết quả.
Hoạt động 2: Những khảo sát thăm dò
Cho một ma trận A và một vector v, khảo sát ảnh hưởng của việc lập lại tác động
của A lên v.
Trong giáo trình đại số tuyến tính nâng cao, khi trình bày dạng chính tắc Jordan,
sinh viên phải làm việc với những không gian các vector riêng tổng quát, tức là những
vector bị quy về vector không bằng một lũy thừa nào đó của phép biến đổi dạng ma trận
(A-
λ
I). Khái niệm vector riêng tổng quát chỉ là ý tưởng tác động lập lại của một ma trận
lên một vector. Một lần nữa, sinh viên thường có rất ít kinh nghiệm trong việc thao tác
các tác động lập lại. Vì thế sinh viên sẽ khó nhận ra được rằng, có một số vector có
những tính chất “đặc quyền” đối với một ma trận (chẳng hạn A
k
v = v hoặc A
k
v = 0, với
k

≥
1 nào đó). Sinh viên có khả năng nhận ra và nắm bắt các kiến thức mới này thông
qua các khảo sát toán học. Để chuẩn bị cho hoạt động 2, trước hết chúng ta cho phép
sinh viên sử dụng Mathematica hoặc Maple để khảo sát một vài khái niệm chưa được
trình bày ở trên lớp.
16
Tuổi thọ của v dưới tác động của A
Bắt đầu với một ma trận A, một vector khác không v có thể không “sống sót” dưới
tác động đầu tiên của A theo nghĩa Av = 0. Nó có thể sống sót dưới tác động đầu tiên
của A, nhưng lại không sống sót được dưới tác động thứ hai, tức là Av
≠
0, nhưng
A
2
v = 0, và cứ tiếp tục như vậy.
Đặt v
k
= A
k
v, v
0
= v. Nếu v
0

≠
0, nhưng v
1
= 0 ta nói v có tuổi thọ 1 đối với A.
Nếu v
1

≠
0, nhưng v
2
= 0 thì v có tuổi thọ 2 đối với A, và cứ tiếp tục như vậy.
Vector zero xem như có tuổi thọ 0 đối với A.
Ta nói v có tuổi thọ hữu hạn đối với A nếu tồn tại k sao cho v
k
= 0. Trong các
trường hợp khác ta nói v có tuổi thọ vô hạn.
Để tiến hành hoạt động 2, giảng viên cố gắng đưa ra nhiều ma trận và vector khác
nhau rồi yêu cầu sinh viên kiểm tra tuổi thọ. Ví dụ xét ma trận:
















−−−−−−
−−−−−−
−−

−−−−
−−−
=
3117111
641222
468333
234855
234588
N
Tìm tuổi thọ đối với N của những vector cột [1, 2, 1, 2, -1, 1], [-3, 0, -3, 2, -1, 1]
và [1, 1, 1, 1, 1, 1]. Yêu cầu sinh viên tự chọn những vector của riêng mình và tìm tuổi
thọ của chúng.
Hoạt động này có khả năng đưa đến nhiều câu hỏi có tính lý thuyết khi sinh viên
cố gắng tìm mối liên hệ giữa khái niệm mới với các khái niệm đã học, ví dụ về các
vector riêng, không gian không (nullspace) và các ma trận lũy linh. Nó cũng có thể dẫn
đến việc nghiên cứu khái niệm những đa thức tối tiểu của một vector v đối với một ma
trận A ([3] Hillel J., 2001).
3. Đánh giá HTĐSMT như một công cụ giáo dục:
Người ta thường thách thức những giảng viên sử dụng HTĐSMT như một công cụ
giáo dục phải đưa ra được những bằng chứng cụ thể để thuyết phục rằng họ đã thực sự
cải thiện chất lượng dạy và học hay không. Nhưng người ta lại thường không xét đến
trong hoàn cảnh cụ thể nào, chẳng hạn dùng cho ai, với mục đích gì, và cách đánh giá
hiệu quả của việc sử dụng lại không hoàn toàn rõ ràng. Ngay cả đối với một giảng viên
nào đó có sẵn trong đầu một mục đích giáo dục rõ ràng nhất định, thì việc thành công
hay thất bại cũng không thể phụ thuộc hoàn toàn vào việc sử dụng HTĐSMT trong dạy
và học. Sự thành công hay thất bại của việc dùng HTĐSMT tùy thuộc vào rất nhiều yếu
tố thực tế. Khi kết quả học tập của sinh viên được cải thiện theo chiều hướng tốt qua
17
việc sử dụng HTĐSMT, thì chúng ta cũng nên xem xét các yếu tố quan trọng khác tác
động đến thành công. Còn nếu gặp thất bại, thì chúng ta cũng nên xét xem liệu chúng ta

đã dùng HTĐSMT đúng với tình huống cụ thể chưa. Chúng ta cũng nên thừa nhận là,
trong thực tế vì lý do hạn chế thời gian lên lớp, trang thiết bị cần thiết chưa đủ, rồi có
những người mới sử dụng HTĐSMT phải chịu “lãng phí” thời gian để làm những việc
không có ý nghĩa lắm trong khảo sát toán học.
Khi đánh giá tính hiệu quả của HTĐSMT trong dạy học, chúng ta cần lưu ý đến
hai yếu tố quan trọng chính sau đây: mô tả tình huống dạy học cụ thể và những lựa chọn
sư phạm đi kèm với những hoạt động HTĐSMT.
4. Kết luận:
Chắc chắn khi mới bắt đầu làm quen với HTĐSMT, người sử dụng sẽ gặp nhiều
lỗi về cú pháp máy tính và những khó khăn về kỹ thuật khác. Nhưng với suy nghĩ thận
trọng, và kinh nghiệm giảng dạy, chúng ta sẽ tìm được nhiều hoạt động có khả năng thu
hút hầu hết sinh viên theo đuổi tìm tòi một ý tưởng toán học nào đó. Trong quá trình
tìm tòi, sinh viên có thể trở nên tò mò một cách toán học để rồi tổng quát hóa các ý
tưởng toán học và điều đó sẽ khẳng định vai trò của HTĐSMT trong dạy và học đại số
tuyến tính. Còn việc đánh giá tính hiệu quả của việc sử dụng HTĐSMT trong một tình
huống giáo dục cụ thể cần phải được nghiên cứu để có những kết luận thỏa đáng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Artigue M. The Teaching and Learning of Mathematics at the University Level.
Notices of the AMS, 1377-1385 (1999)
2. Hillel J. Computer Algebra Systems in the Learning and Teaching of Linear Algebra:
Some Examples. In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics
at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 371-380 (2001)
3. Hillel J. Modes of Description and the Problem of Representation in Linear Algebra.
In J-L Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra,Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 191-207 (2000)
4. Jean-Luc Dorier and Anna Sierpinski Research into The Teaching and Learning of
Linear Algebra. In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics
at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 255-273 (2001)
5. Tran Vui Investigating Geometry with the Geometer’s Sketchpad – A Conjecturing
Approach. SEAMEO RECSAM, Penang, Malaysia. (2001)

18
USING COMPUTER ALGEBRA SYSTEMS IN TEACHING AND LEARNING
OF LINEAR ALGEBRA AT UNIVERSITY LEVEL
Tran Vui
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
At the university level the introduction of technologies were seen as a means to renew
pedagogical practices. This article discusses one point of view of the use of Computer Algebra
Systems (CAS) in the teaching and learning of linear algebra. Two activities are given, each
with a different pedagogical purpose. With thought, care, and experience, there are activities
that can engage most students in a mathematical idea or confront them with unexpected results.
19