Ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM

ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA
TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC
TRONG BÀI TỐN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022


ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM

ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA
TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC
TRONG BÀI TỐN TỐI ƯU

Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Hồ Minh Toàn

THÁI NGUYÊN - 2022


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung
luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức
độ tương đồng 2%. Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã
nộp để bảo vệ trước hội đồng. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022
TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT

Đinh Thị Hồng Thương

i


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã
nhận được sự động viên khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình
của thầy cơ giáo, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp. Với lòng biết ơn sâu
sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô của Khoa Toán
- Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã cùng với tri thức quý báu và
tâm huyết của mình để truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong suốt quá
trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Hồ Minh Tồn đã tận tình hướng

dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả
năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn này.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái
Nguyên và được hỗ trợ một phần bởi Trung tâm quốc tế Đào tạo và
Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học, mã đề tài ICRTM02-2020.05. Trong
q trình nghiên cứu và hồn thiện luận văn, chắc chắn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của
quý thầy cơ và các bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2022
Tác giả

Đinh Thị Hồng Thương
ii


Danh mục các chữ viết tắt và
các
ký hiệu
SMP Strong moment problem - bài toán moment mạnh
MP

Moment problem - bài toán moment

PSD

Ma trận nửa xác định dương

SDP

Semi-definite programming - quy hoạch nửa xác định

3


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . .
iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số kí hiệu và kết quả về ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1. Các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. 3
1.1.2. Ma trận nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Tổng quan về bài tốn Moment và tổng bình phương . . . . . . . . . . .
5
1.2.1. Bài toán thứ 17 của Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2. Biểu diễn đa thức một biến dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3. Bài toán Moment một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.4. Điều kiện SMP và MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
1.3. Bài toán Monment trên tập nửa đại số compact . . . . . . . . . . . . . . .
13
Chương 2. Ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài toán
t1
ố6
4


2. Q
1. uy
2.
1.
2.
1.
2. T
2.
2. ối
T

1
6
1
7
2
0
2
42

3. ối K38

ế4

5


MỞ ĐẦU

Toán học là bản lề then chốt của mọi ngành khoa học và có ứng dụng
rộng rãi trong thực tiễn. Ngày nay có rất nhiều nhà tốn học tập trung
nghiên cứu phát triển các lý thuyết toán học, đặc biệt là lý thuyết tối ưu.
Cho g = {g1 , ..., gm } là một họ m đa thức n biến (x1 , ..., xn ) . Kí hiệu

K(g) là tập nghiệm thực của hệ bất phương trình đa thức
g1 (x) ≥ 0, ..., gm (x) ≥
0.
K(g) được gọi là tập nửa đại số đóng cơ sở ứng với họ g. K(g) là tập con
đóng của khơng gian Euclid n chiều.
Trong trường hợp tất cả các đa thức của họ g là bậc nhất và K(g) bị
chặn thì K(g) là đa diện lồi và bài tốn tìm giá trị cực trị của một đa
thức thực trên K(g) là bài toán quy hoạch tuyến tính. Trong trường hợp

K(g) là compact, nhờ định lý biểu diễn dương (Positivstellensat) của K.
Schmudgen và của M. Putinar, J.B. Lasserre đã xây dựng một dãy các
thuật tốn semidefinite programming để tìm các giá trị tối ưu của một
đa thức trên tập compact K(g). Trong trường hợp K(g) khơng bị chặn,
thì các định lý biểu diễn dương của Putinar và Schmudgen khơng phải lúc
nào cũng đúng, vì vậy thuật tốn của Lasserre nói trên chỉ tìm các cận
dưới (cận trên) của giá trị infimum (supremum, tương ứng) của một đa
thức trên K(g), nói chung trong nhiều ví dụ cho thấy thuật tốn đó chưa
tìm ra giá trị tối ưu . Có nhiều cách tiếp cận để khắc phục vấn đề trên.

Ví như trong [3], để tìm infimum của đa thức f trên tập không bị chặn
1


K(g), các tác giả chỉ ra rằng giá trị cần tìm đó bằng giá trị infimum của
f trên giao K(g) với tập K(r − f ). Nếu giả thiết thêm, tồn tại số
thực r để K(g, r − f ) là compact thì ta có thể tìm giá trị infimum theo
thuật toán xấp xỉ của Lasserre đề cập trên đây trên tập compact K(g, r

− f ). Ở một cách khác, các tác giả trong [11], thực hiện một số phép
biến đổi đơn thức có thể biến tập khơng bị chặn K(g)

thành

tập

compact và giá trị infimum vẫn không thay đổi. Khi đó ta có thể áp dụng
thuật tốn xấp xỉ Lasserre trên tập compact sau khi đổi biến. Ngồi ra,
cịn một số nỗ lực khác để tìm cực trị trên tập không bị chặn K(g), tuy
nhiên, tất cả các cố gắng trên đều có hạn chế là chỉ giải quyết một số
lớp tập khơng bị chặn K(g) (tức có nhiều giả thiết thêm). Vì vậy có thể
nói, trong trường hợp họ đa thức g bất kì thì bài tốn xây dựng thuật
tốn để tìm cực trị của một đa thức trên K(g) nói chung vẫn là bài tốn
mở.
Mục đích của đề tài là trình bày một số kết quả tiêu biểu về việc ứng
dụng của bài toán biểu diễn đa thức vào việc tìm cực trị của một đa thức
trên tập nửa đại số đóng K(g) thơng qua xấp xỉ Lasserre. Ngồi ra, chúng
tơi cũng trình bày tổng quan về Bài tốn Tổng bình phương và Bài tốn
Moment trên vành đa thức thực.
Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về ma trận xác định dương,
tổng quan về bài tốn Moment và tổng bình phương và bài toán Moment
trên tập nửa đại số compact.
Chương 2: Trình bày ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài
toán tối ưu, gồm bài toán quy hoạch nửa xác định, tối ưu tồn cục và tối
ưu có ràng buộc.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Một số kí hiệu thường dùng và các kết quả về biểu diễn đa thức dương
và bài tốn Moment được trình bày trong chương này. Ngồi định lý biểu
diễn dương cổ điển, các kết quả chính trong chương (các định lý biểu diễn
dương) được viết bởi K. Schmudgen [10] và M. Putinar [9] và được trình
bày lại trong các cuốn sách [5, 6]. Các kí hiệu và kết quả được trình bày
trong luận văn này dựa vào cuốn sách của M. Marshall [6]. Vì nội dung
chính của luận văn là tập trung trình bày lại ứng dụng của biểu diễn dương
đa thức vào bài toán tối ưu nên chúng tôi bỏ qua nhiều chứng minh và
độc giả có thể tìm chứng minh chi tiết trong các cuốn sách đề cập ở trên.

1.1.

Một số kí hiệu và kết quả về ma trận

1.1.1.

Các kí hiệu

- Z, Q, R và C lần lượt là kí hiệu của vành số nguyên, trường số hữu tỉ,
trường số thực và trường số phức.
- Z+ , Q+ , R+ lần lượt là kí hiệu của tập các số nguyên không âm, số
hữu tỉ không âm, số thực không âm.
- Với n ≥ 1, kí hiệu ngắn gọn vành đa thức R [x1 , ..., xn ] bởi R [x], x
là viết gọn cho n biến (x1 , ..., xn ) .
+ n

α

- Vớiα α = (α1 , ..., αn ) ∈ (Z ) , x := X
...X n
1

nX

α1
n

và |α| :=
bậc
i=1

α

của x .
3

αi là

- Với tập bất kì S ⊂ Rn , I(S) là ideal trong R [X] được xác định
như sau:

I(S) = {f ∈ R [X] | f (x) = 0, ∀x ∈
S}.
- Với tập bất kì S ⊂ Rn , Z(S) là tập các nghiệm của S :

Z(S) = {x ∈ Rn |f (x) = 0, ∀f ∈
S}.
1.1.2. Ma trận nửa xác định dương
Với x ∈ Rn ,ta coi x như là vectơ cột/ ma trân cột, ∥x∥ là chuẩn của
x,
q
∥x∥ := x21 + ... + xn2
Khi đó:

xT2 x = (x1 , ..., xn ) = x2 + ... + = ∥x∥ 2
x
1
n
và





 x1 x1 ... x1 xn 



xxT =  ... ... ... 


là ma trận vuông cấp n.
Mệnh đề 1.1. Cho A là ma trận thực đối xứng cấp n. Các mệnh đề sau
tương đương:
1. xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
2. Mọi giá trị riêng của A đều không âm.
3. Tồn tại ma trận vuông U cấp n sao cho A = U T U .
4. A là tổ hợp tuyến tính khơng âm của các ma trận có dạng xxT , x ∈
Rn .


Chứng minh. (1) ⇒ (2): Vì A đối xứng, nên các giá trị riêng của A đều là
số thực. Giả sử d là một giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng x. Do đó

Ax = dx nên xT Ax = xT dx = dxT x = d∥x
∥ . Vì xT Ax ≥ 0 và x = 0 nên
2

d ≥ 0.
(2) ⇒ (3): Vì A đối xứng, áp dụng Khai triển Phổ, A = C −1 DC
trong đó C là ma trận trực giao, C −1 = C T . D là ma trận đường chéo
và các phần tử trên đường chéo của D đều là các giá trị riêng của A (cả
trường hợp vô số giá trị), D = diag(d1 , ...dn ). Theo (2), di ≥ 0 ∀i,
nên

√ T√
√
√

D = D D với D := diag
,
...,
dn .
1
√
d
√ T√
−1
T
T
Do
D DC = U T U với U :=
√ đó, A = C DC = C DC = C
DC.
(3) ⇒ (4): A = v1 v1T + ... + n với v1 , ..., vn là các cột của U T .
vn v T
(4) ⇒ (1): Giả sử A = r1 v1 v1T + ... +
rm vm v T
m
xT Ax =

X
i=1

ri xT vi vi T x =

m
m
X

với ri ≥ 0. Nên:
2

ri vi T x ≥ 0.

i=1

Ma trận đối xứng thực A được gọi là ma trận nửa xác định dương nếu

A thỏa mãn một trong số các điều kiện tương đương của Mệnh đề 1.1. A
là xác định dương nếu xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0. Nếu A là xác
định dương thì các giá trị riêng của A đều dương và ma trận U trong
Mệnh đề

1.1.(3) khả nghịch.

1.2.

Tổng quan về bài tốn Moment và tổng bình
phương


Sự liên hệ giữa đa thức dương (không âm) và tổng bình phương của
đa thức là một câu hỏi trong nghiên cứu của Hilbert vào cuối thế kỉ XIX.
Hilbert nhận ra khơng phải mọi đa thức khơng âm đều có thể viết được
dưới dạng tổng bình phương của các đa thức. Điều này dẫn đến bài toán
thứ 17 của Hilbert, được công bố năm 1900, đặt câu hỏi mọi đa thức khơng
âm có thể viết được dưới dạng tổng bình phương của các hàm số hữu tỉ?

Đến năm 1927, bài toán trên đã được trả lời bởi E.Artin, người đã đặt nền
móng cho trường hình học đại số thực.
Trong mục này, chúng tơi chỉ tóm tắt một số kết quả về bài tốn
Moment và Tổng bình phương, và bỏ qua một số phần chứng minh. Độc
giả có thể đọc phần chứng minh trong tài liệu tham khảo [6].

1.2.1. Bài toán thứ 17 của Hilbert
Nếu2 f là một tổng bình phương, f = f 2 +...
+f
1

m

thìn f (x) ≥ 0 ∀x ∈
R .

Điều đó đặt ra câu hỏi rằng: Ngược lại có đúng hay khơng; f ≥ 0 trên Rn
có suy ra được f là một tổng bình phương trong R[x]? Hiển nhiên đúng
với n = 1, nhưng không đúng với n ≥ 2. Điều này được chứng minh một
cách rất hình thức bởi Hilbert vào năm 1888. Tuy nhiên, một phản ví dụ
lần đầu được đưa ra bởi Motzkin vào năm 1967. Đó là

m(x, y) = x2 y 4 + x4 y 2 − 3x2 y 2 +
1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x2 y 4 , x4 y 2 , 1 ta thu được m(x, y) ≥

0 với mọi số thực x, y . Tuy nhiên m khơng phải là tổng bình phương
trong R[x, y].
Bài toán 1.1. Bài toán thứ 17 của Hilbert : Trong Đại hội Toán học

năm
1900, Hilbert đã đưa ra giả thiết sau:
Với f bất kì thuộc R[x]. Nếu f ≥ 0 thì f có thể biểu diễn thành
tổng bình phương của các hàm số hữu tỉ.
Bài toán đã được khẳng định như sau:

• Đúng khi n = 1.
• Hilbert đã chứng minh với trường hợp n = 2.
• Artin đã chứng minh trong trường hợp tổng quát.


Cho họ g gồm m đa thức g1 , ..., gm trong R [x] . Mô-đun bậc hai sinh
bởi họ g được định nghĩa như sau:
n
o
X
2
Q (g1 , ..., gm ) := σ0 + σ1 g1 + ... + σm gm |σi ∈
R [x] .
Chú ý 1.1. Cho g1 , ..., gm là các đa thức thực và Q = Q (g1 , ..., gm ) .
Ta có:

• 1 ∈ Q,
• Q + Q ⊂ Q,
• f 2 Q ⊂ Q, ∀f ∈ R [x] .
Hơn nữa, tập nhỏ nhất Q′ ∈ R [x] mà thỏa mãn ba tiên đề trên là môđun bậc hai sinh bởi g1 , ..., gm .
Tiền thứ tự ứng với họ g, kí hiệu bởi T (g) = T (g1 , ..., gm ) , được
i

định nghĩa là mô-đun bậc hai sinh bởi tập tất cả các tích g 1 ...g im với ii ∈

{0; 1}.
Do đó,

1




T (g1 , ..., gm ) = 

X

0≤i1 ,...,im ≤1

m




σ(i1 ,...,im ) g1i1 ...gmim  ,

σ(i 1 ,...,i m ) ∈

X

Chú ý 1.2. Cho g1 , ..., gm là các đa thức thực và T = T (g1 , ..., gm )
như trên, ta có:

• 1 ∈ T,

• T + T ⊂ T,
• f 2 T ⊂ T, ∀f ∈ R [x] ,
• T T ⊂ T.

2

R [x] .


Hơn nữa, tập con nhỏ nhất T ′ ⊂ R [x] thỏa mãn các tiên đề trên là
tiền thứ tự sinh bởi g1 , ..., gm .


Tập hợp

K(g) := {x ∈ Rn | g1 (x) ≥ 0, . . . , gm (x) ≥ 0}
được gọi là tập nửa đại số đóng cơ sở. Tập nửa đại số cơ sở là tập nghiệm
của hệ (hữu hạn) bất phương trình đa thức. Tập nửa đại số là hợp hữu
hạn các tập nửa đại số cơ sở. Từ các định nghĩa của các kí hiệu Q =

Q(g), T = T (g) ta dễ dàng chứng minh được các bao hàm thức sau:
X
R[x]2 ⊂ Q ⊂ T ⊂ P os(K),
trong đó

P os(K) := {f ∈ R[x] | f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Định lý sau đây biểu diễn một đa thức dương trên tập nửa đại số.
Định lý 1.1. Giả sử g = (g1 , ..., gm ) là tập con hữu hạn của R[x], K

= K(g), T = T (g) xác định như trên và f ∈ R[x]. Khi đó ta có các

khẳng định sau:
i) f > 0 trên K ⇐⇒ tồn tại p, q ∈ T sao cho pf = 1 + q.
ii) f ≥ 0 trên K ⇐⇒ tồn tại số nguyên m ≥ 0 và p, q ∈ T sao
cho

pf = f 2m + q.
iii) f = 0 trên K ⇐⇒ tồn tại số nguyên m ≥ 0 sao cho −f 2m ∈ T.
iv) K = ∅ ⇐⇒ −1 ∈ T.

1.2.2.
dương

Biểu diễn đa thức một biến

Cho p(x) =

X

pi xi là một đa thức một biến trên R [x]. Nếu α là

nghiệm phức thì

0 = p(α) =

X

.

pi x−i = p (α)

Do đó liên hợp của nó α cũng là một nghiệm của p. Cùng với định lý cơ
bản của đại số, ta thu được phân tích đa thức p thành tích các nhân tử


bất khả quy như sau:

a(x − x1 )r1 ...(x − xk )rk (x − y1 )2 + b1 s1 ... (x − yt )2 + bt st ,

(1.2.1)

trong đó ri ≥ 0, si ≥ 0, x1 , ..., xk là các nghiệm thực đôi một phân biệt và

(x − yi )2 + bi

si

là các nhân tử bậc hai đôi một phân biệt (do đó bj > 0).

Chú ý các nhân tử tuyến tính hoặc nhân tử bậc hai có thể khuyết.
Theo trên, nếu K = K(g) thì

Q(g) ⊆ T (g) ⊆ P
os(K).
Trong trường hợp một chiều, ta có bao hàm thức ngược lại.
Mệnh đề 1.2.

(i) Nếu p ∈ P os(R) thì p là tổng hữu hạn các

bình phương trong R [x] .

(ii) Nếu p ∈ P os ([0, ∞]) thì tồn tại g0 , g1 ∈

X

R[x]2 sao cho

p(x) = g0 (x) +
xg1 (x).
(iii) Nếu p ∈ P os ([a, b]) thì tồn tại g0 , g1 ∈

X

R[x]2 sao cho

p(x) = g0 (x) + (b − x)(x − a)g1 (x)
b).

(a <

Chứng minh. (i) Suy ra từ công thức (1.2.1).

(ii) Cho 0 = p ∈ P os ([0, ∞)) ta cần chỉ ra p là một phần tử trong
mô đun bậc hai Q = Q(x). Xét biểu diễn (1.2.1) của p(x). Cho x −→

+∞, ta có a > 0. Hơn nữa, mọi nhân tử là tam thức bậc hai và các nhân
tử tuyến
tính mũ chẵn đều thuộc
chỉ

X

R[x]2 và do đó thuộc Q. Do đó ta chỉ cần

ra rằng mỗi nhân tử (x − xj )rj với các rj lẻ thuộc Q. Theo Chú ý1.1, giả
sử rằng rj lẻ thì xj ≤ 0. Do đó x − xj = (−xj ) + x ∈ Q và (x − xj )rj ∈

Q


(iii) Đầu tiên ta dễ dàng chỉ ra rằng mô đun bậc hai
Q = Q ({x − a, b − x}) = Q ({(x − a)(b −
x)})
Cho p không âm trên [0, 1] (bằng việc áp dụng ánh xạ tuyến tính từ

[a, b] −→ [0, 1] ta có thể giả sử [a, b] = [0, 1]).Ta cũng giả sử rằng
bậc


của p bé nhất bằng 1 và có số thực c sao cho f (c) > 0. Thì c lớn hơn 1
hoặc bé hơn 0. Nếu c lớn hơn, thì p có nghiệm d ∈ [1, c]. Ta có thể
viết f (x) = (d − x)g(x) trong đó g(x) là đa thức không âm trên [0, 1].
Bằng quy nạp g ∈ Q và thêm d − x ∈ Q, ta có f ∈ Q.

1.2.3.
chiều

Bài tốn Moment một

Bài tốn 1.2. Cho một phiếm hàm tuyến tính L : R[x] −→ R và một tập
con đóng K ⊂ Rn , khi nào tồn tại một độ đo Radon m có giá trên K

mà thỏa mãn
Z

L(f ) =
K

f (x)dm(x)
(1.2.2)

với f ∈ R[x]?

Phiếm hàm L có biểu diễn tích phân (1.2.2) được gọi là K -moment hay
hàm moment trên K. Trong trường hợp K = R thì ta gọi L là moment.
Định lý cổ điển sau trả lời trọn vẹn cho câu hỏi trên.
Định lý 1.2. (Định lý Haviland) Cho K là một tập con đóng của Rn và L
là một phiếm hàm tuyến tính trên R[x]. Các phát biểu sau là tương đương:
i) L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ P os(K).
ii) L là K -moment.
Kết hợp Định lý Haviland với các kết quả biểu diễn dương trong trường
hợp một chiều (Mệnh đề 1.2), ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.1. Một ánh xạ tuyến tính L : RX
[x] −→ R là hàm moment trên
[0, ∞) nếu L (σ0 + xσ1 ) ≥ 0 ∀ σ0 , σ1 ∈
R[x]2 .
Hệ quả 1.2. Ánh xạ tuyến tính L: R[x] −→ R là một hàm moment nếu
X
R[x]2 .
L(σ) ≥ 0, ∀ σ ∈
Hệ quả 1.3. Ánh xạ tuyến tính L : R[x] −→ R là hàm moment trên [0,
1]

nếu L (σ0 + xσ1 + (1 − x)σ2 ) ≥ 0 ∀ σ0 , σ1 , σ2 ∈

X

R[x]2 .


Để chứng minh hệ quả này ta cần chỉ ra rằng T (x, 1−x) = Q(x, 1−x)
=

Q(x(1 − x)). Sử dụng đẳng thức:
x(1 − x) = (1 − x)2 x + x2 (1 −
x).
1.2.4. Điều kiện SMP và MP
Cho K là một tập con đóng trong Rn . Định lý Haviland khẳng định
rằng một ánh xạ tuyến tính L : R[x] −→ R là K− moment nếu L ≥

0 trên P os(K). Tuy nhiên điều kiện L ≥ 0 trên P os(K) nói chung khó
kiểm tra (khơng có thuật tốn để kiểm tra nếu K khơng hữu hạn). Có rất
nhiều kết quả đẹp với bài toán Moment trong trường hợp n = 1.
Cho một tập con C của R[x], xét nón đối ngẫu

C ∨ := L|L : R[x] −→ R tuyến tính và L(p) ≥ 0, ∀p ∈ C
và

C ∨∨ := {f ∈ R[x]|L(f ) ≥ 0 ∀L ∈ C ∨ } .
Rõ∨ ràng C ⊂ C ∨∨ , C ∨ ⊂ nếu C2 ⊂ C1 và C ∨∨∨ = C ∨ .
C

1
2
Cho K ⊂ Rn . Với mỗi x ∈ K cố định, ta có ánh xạ tuyến tính:
Lx : R[x] −→ R, Lx (f ) = f (x), ∀f ∈ R[x].
Hơn nữa

• Lx thuộc P os(K)∨ ,
• P os(K) = P os(K)∨∨ .
Giả sử rằng C là tập con của R[x] và

K = K(C) := {x ∈ Rn |f (x) ≥ 0, ∀f ∈ C} .
Dễ dàng kiểm tra được


• C ⊂ P os(K).


• P os(K)∨ ⊂
C ∨.
• C ∨∨ ⊂ P
os(K).
Mệnh đề 1.3. Các điều kiện sau là tương đương:
i) C ∨ = P os(K)∨ .
ii) C ∨∨ = P os(K).
iii) Nếu L ⊂ C ∨ thì L là K− moment.
Chứng minh. Vì C ∨∨∨ = C ∨ và P os(K) = P os(K)∨∨ , nên có i
⇐⇒ ii
Áp dụng định lý Haviland ta có ii ⇐⇒ iii
Định nghĩa 1.1. Cho C là một tập con của R[x] (thường xét trường hợp

C là mô-đun bậc hai hữu hạn sinh hoặc tiền thứ tự hữu hạn sinh). Ta nói
C thỏa mãn tính chất (SMP) (viết tắt của từ strong moment problem)
nếu một (và do đó tất cả các) trong các điều kiện tương đương của Mệnh
đề1.2 thõa mãn.
Mệnh đề 1.4. Các phát biểu sau là tương đương;
∨

i) C ∨ ⊂ P os (Rn ) .
ii) C ∨∨ ⊃ P os (Rn ) .
iii) Nếu L ∈ C ∨ thì L là một hàm moment, tồn tại một độ đo Radon m
trên Rn thỏa mãn

L(f ) =

Z
Rn

f dm

(f ∈ R[x]) .

Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con của R[x]. Ta nói C thỏa
mãn tính chất (MP) (viết tắt của từ moment problem) nếu một (và do
đó tất cả) trong các điều kiện tương đương của mệnh đề 1.3 thỏa mãn.