Chuyên đề 25 phát triển tư duy toán luyện thi tuyển sinh lớp 10 và ôn thi học sinh giỏi toán 9 bằng phương trình vô tỉ

1

NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
CHỦĐỀ 26 TOÁN 9-PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Ta gọi phương trình vơ tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là các
phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ.
A.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪA
Ví dụ 1. Giải phương trình
3 + 2x - 3 = x

(1)

Giải
Điều kiện xác định của phương trình là 2x - 3 ³ 0
(2)
Tách riêng căn thức ở một vếđược

2x - 3 = x - 3 .

(3)

x - 3³ 0

Ta phải có

(4)

Với điều kiện (4) thì
Û 2x - 3 = (x - 3)2

(3)

(5)

Û 2x - 3 = x2 - 6x + 9 Û x2 - 8x + 12 = 0 Û (x - 2)(x - 6) = 0
Û x1 = 2; x2 = 6

Giá trị
x2 = 6

.

x1 = 2

không thoả mãn (4), loại.

thoả mãn (2) và (4), là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6 .
Nhận xét
a)
Nếu không đặt điều kiện x - 3 ³ 0ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm
của (1). Chú ý rằng từ (3) suy ra được (5) nhưng từ (5) chỉ suy ra được (3) với điều
kiện x - 3 ³ 0.
b)
Có thể bình phương hai vế của (1) với điều kiện x ³ 0 (điều kiện này đã cóở
2x - 3 ³ 0), nhưng lời giải khơng ngắn gọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế.
Ví dụ 2. Giải phương trình
x - 1-

5x - 1 = 3x - 2 .

Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x ³ 1.

(1)

x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 .

Chuyển vế, ta có

(2)

Bình phương hai vếđược
x - 1 = 5x - 1+ 3x - 2 + 2 15x2 - 13x + 2 .

Rút gọn thánh

2 - 7x = 2 15x2 - 13x + 2 .

Đến đây có hai cách giải

(3)
(4)


2

Cách 1. Với điều kiện 2 - 7x ³ 0

(5)

Û 4 - 28x + 49x2 = 4(15x2 - 13x + 2)

Thì (4)

(6)

Û 11x2 - 24x + 4 = 0

Û (11x - 2)(x - 2) = 0 Û x1 =

Giá trị

x1 =

2
;x = 2
11 2
.

2
11 không thoả mãn (1), loại.

Giá trị x2 = 2 khơng thoả mãn (5), loại.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Cách 2. Ta phải có 2 - 7x ³ 0 (5) tức là

x£

2

7 , điều này trái với (1). Vậy phương trình

đã cho vơ nghiệm.
Cách giải khác. Xem Ví dụ 57.
Ví dụ 3. Giải phương trình
3

2x + 1 + 3 x = 1.

(1)

Giải: Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
2x + 1 + x + 33 x(2x + 1).( 3 2x + 1 + 3 x) = 1

ta được
thay

3

.

2x + 1 + 3 x = 1 vào (2) ta có

3x + 1 + 33 x(2x + 1) = 1

(3)

Û

(4)

3

(2)

x(2x + 1) = - x

Û x(2x + 1) = - x3 Û x(2x + 1+ x2) = 0
Û x(x + 1)2 = 0 Û x1 = 0;x2 = - 1

Thử lại:
x2 = - 1

x1 = 0

.

thoả mãn (1).

khơng thoả mãn (1), loại.

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0 .
Nhận xét
a)
Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3)
không tương đương. Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) khơng suy ra được (2). Do
đó sau khi tìm được các nghiệm của (3) là 0 và - 1 , phải thử các giá trịđó vào (1)
để chọn ra nghiệm của (1).
b)

Cách giải khác: Xem các Ví dụ 56 và 59.
B.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI.
Ví dụ. Giải phương trình
x +2 x - 1 + x - 2 x - 1 = 2

(1)


3

Giải: Điều kiện x ³ 1. Biến đổi
x - 1 + 2 x - 1 + 1 + x - 1- 2 x - 1 + 1 = 2

Û

x - 1 + 1+ | x - 1 - 1|= 2

Û

x - 1+ | x - 1 - 1|= 1.

Nếu x > 2 thì (2) Û
khoảng đang xét.

(2)

x - 1+ x - 1- 1= 1 Û

Nếu 1 £ x £ 2 thì (2) Û

x - 1 + 1-

x = 1 Û x - 1 = 1 Û x = 2 , không thuộc

x - 1 + 1 = 2 , vô số nghiệm 1 £ x £ 2.

Kết luận: 1 £ x £ 2.
Chú ý: Sau khi biến đổi đến (2), có thể viết (2) dưới dạng
|1-

x - 1 |= 1-

x- 1

Và chú ý đến bất đẳng thức | A |³ A với điều kiện xảy ra dấu “=” là A ³ 0 được
1-

x- 1³ 0Û

x - 1 ³ 1Û x ³ 2.

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có 1 £ x £ 2.
C.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 1. Giải phương trình
3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2

(1)

2

Giải:Điều kiện x + 7x + 7 ³ 0 .

Đặt
(1)

x2 + 7x + 7 = y ³ 0 thì x2 + 7x + 7 = y2 .
Û 3y2 - 3 + 2y = 2 Û 3y2 + 2y - 5 = 0 Û (y - 1)(3y + 5) = 0

Û y =-

5
3 (loại), y = 1.

x2 + 7x + 7 = 1 Û x2 + 7x + 6 = 0 Û (x + 1)(x + 6) = 0.
2
Các giá trị x = - 1, x = - 6 thoả mãn x + 7x + 7 ³ 0 , do đó là nghiệm của (1).
2
Nhận xét:Cách đặt ẩn phụ x + 7x + 7 = y làm cho phương trình được chuyển về
dạng hữu tỉ.

Ví dụ 2. Giải phương trình
3

2x + 1 + 3 x = 1.

Bằng cách đặt
Giải: Đặt

3

3

2x + 1 = a, 3 x = b rồi tìm a và b .

2x + 1 = a, 3 x = b thì 2x + 1 = a3, x = b3 nên

a3 - 2b3 = 2x + 1- 2x = 1.
3
3
Cần tìm a và b thoả mãn a + b = 1 và a - 2b = 1.

Ta có

a3 - 2(1- a)3 = 1 Û a3 - 1- 2(1- a)3 = 0


4

Û (a - 1)(a2 + a + 1) + 2(a - 1)3 = 0
Û (a - 1)[(a2 + a + 1) + 2(a - 1)2 ] = 0 .
2
2
Dễ thấy a + a + 1 + 2(a - 1) > 0 nên a = 1. Suy ra b = 0.

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.
D.PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vơ tỉđược thể hiện dưới nhiều
dạng:
I.Chứng tỏ rằng phương trình vơ nghiệm vì có một vế ln nhỏ hơn vế kia
Ví dụ 1. Giải phương trình

x - 1-

5x - 1 = 3x - 2

(1)

Bằng cách chứng tỏ rằng với điều kiện xác định của phương trình, có một vế của
phương trình ln nhỏ hơn vế kia.
Giải
Điều kiện để xác định của (1) là x ³ 1. Với điều kiện này thì x < 5x , do đó
x - 1 < 5x - 1 suy ra vế trái của (1) là số âm, cịn vế phải khơng âm. Phương trình

vơ nghiệm.
II.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 1. Giải phương trình
3x2 + 6x + 7 + 5x2 + 10x + 14 = 4 - 2x - x2

(1)

Giải
3(x + 1)2 + 4 + 5(x + 1)2 + 9 ³

Vế trái

4+ 9= 5

.

4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 £ 5.

Vế phải

Vậy hai vế của (1) đều bằng 5, khi đó x = - 1.
Kết luận: x = - 1.
III.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1. Giải phương trình
3

2x + 1 + 3 x = 1

(1)

Bằng cách chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Giải: Ta thấy x = 0 nghiệm đúng phương trình (1).
Với x > 0 thì

3

x + 1 > 1, 3 x > 0 nên vế trái của (1) lớn hơn 1.

Với x < 0 thì

3

x + 1 < 1, 3 x, 0 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 1.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
IV.Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ 1. Giải phương trình
x

3x - 2

+

3x - 2
=2
x

.

(1)


5

Giải: Điều kiện:

x>

2
3.

(2)

a b
+ ³ 2
Ta có bất đẳng thức b a
với a > 0,b > 0 , xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b .

Với

x>

2
2
3 thì (1) Û x = 3x - 2 Û x - 3x + 2 = 0 Û (x - 1)(x - 2) = 0

Û x1 = 1; x2 = 2

đều thoả mãn (2)

Phương trình có hai nghiệm là x = 1;x = 2 .
BÀI TẬP LUYỆN
Giải các phương trình
x +3-

1. a)

x - 4 = 1;

c)

10 - x + x + 3 = 5;

e)

x - 1-

x - 1 = 1;

b)

x +2 x - 1 + x - 2 x - 1 = 2;

c)

x + 6x - 9 + x - 6 x - 9 = 6 .

x2 - 4x + 4 + x2 - 6x + 9 = 1;

3.a)
b)

x + 4 - 4 x + x + 9 - 6 x = 1;

c)

x + 6- 4 x + 2 + x + 11- 6 x + 2 = 1;

d)

x + 2 - 4 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1;

4.

a)

x + x + 1- x = 1;
x2 - x = x - 1;

b)

1-

c)

x2 + 6 = x - 2 x2 - 1 ;

d)

2x2 + 8x + 6 + x2 - 1 = 2x + 2 ;

e*)

x - 7 + 9 - x = x2 - 16x + 66 .

5. a)
b)
c)
d)

4x + 1 -

d)

x + 1 = 2.

x- 2 x- 1-

2. a)

15 - x + 3 - x = 6 ;

b)

2x - 1 + x - 2 = x + 1 ;

3x + 15 -

4x + 17 = x + 2 ;

x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x2 - 3x + 5) = 4 - 2x

;

x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5 .

6. a)

2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 -

x + 2 = 1+ 2 x + 2 ;

3x + 4 = 1 ;


6

2x2 - 9x + 4 + 3 2x - 1 = 2x2 + 21x - 11 .

b)

7. * a)
b)

x- 1
=3
x- 2
;

1- x + x2 - 3x + 2 + (x - 2)
x +2
=- 3
x- 2
.

(x - 2)(x + 2) + 4(x - 2)
2+ x

2-

+

2 + 2+ x

8. * a)

2-

x

2-

x

x

;

=8

x

2+

= 2

x

2+
2+
.
.
.
2+

b)
9. a)

3

x
1+ 1+ x

(vế trái có 100 dấu phân thức).

3

x + 1 + 7 - x = 2;

b)

3
3
c) 1 + x - 16 = x + 3 ;

10.
c)

3

a)

c)

a)

3

3

x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.

12. *

4

x +3-

b)

3

3

6- x = 1.

2 - x + x - 1 = 1;

x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x ;

(x + 1)2 + 3 (x - 1)2 + 3 x2 - 1 = 1

3

b)

3

24 + x + 12 - x = 6 ;

3

13.

25 + x + 3 3 - x = 4 ;

x - 2 + x + 1 = 3.

11.
b)

3

d)

3

3

7- x -

3

x- 5

3

7- x + x - 5

* a)

4

;

= 6- x

.

1- x2 + 4 1 + x + 4 1- x = 3;

1- x + 4 2 - x = 4 3 - 2x .

HƯỚNG DẪN
1.a) Chuyển vế được

x + 3 = 1+ x - 4 .

Bình phương hai vế. Nghiệm x = 13 .
15 - x = 6-

b) Chuyển vế được

3- x .

Bình phương hai vế. Nghiệm x = - 1.
c) Bình phương hai vế. Nghiệm 1 và 6 .
d) Nghiệm x = 20 (chú ý rằng x = 0 không là nghiệm).
e)

x - 1 = 2 + x + 1 . Vế phải lớn hơn vế trái, phương trình vơ nghiệm.

2. a) Chuyển vế được

x - 2 x - 1 = 1+ x + 1 .


7

Bình phương hai vế. Nghiệm x = 1 .
1
£ x£ 1
b) Bình phương hai vế. Nghiệm 2
.
3
£ x£ 3
2
c) Bình phương hai vế. Nghiệm
.

3. a) Đưa về dạng
| x - 2| + | 3 - x |= 1

(1)

Áp dụng bất đẳng thức | A |³ A , ta có | x - 2|³ x - 2,| 3 - x |³ 3 - x nên
| x - 2| + | 3 - x |³ 1.

(2)

Do (1) nên phải xảy ra dấu " = " ở (2), tức là x - 2 ³ 0 và 3 - x ³ 0.
Nghiệm 2 £ x £ 3.
b) Đặt

x = y . Đưa về dạng | y - 2| + | 3 - y |= 1. Nghiệm 4 £ x £ 9 .

c) Đặt

x + 2 = y . Đưa về dạng | y - 2| + | 3 - y |= 1. Nghiệm 2 £ x £ 7 .

d) Đặt

x - 2 = y . Đưa về dạng | y - 2| + | 3 - y |= 1. Nghiệm 6 £ x £ 11.

4. a) Chuyển vế được

x + 1- x = 1-

Nghiệm x = 0 (chú ý loại

x=

x , rồi bình phương hai vế.

16
25 ).

25
b) Nghiệm 16 .

c) Vế trái lớn hơn x , vế phải không lớn hơn x . Phương trình vơ nghiệm.
d) Điều kiện x ³ 1 hoặc x = - 1. Bình phương hai vế rồi rút gọn
2 2(x + 1)2(x + 3)(x - 1) = x2 - 1

ta có

8(x + 1)2(x + 3)(x - 1) = (x + 1)2(x - 1)2 Û (x + 1)2(x - 1)(7x + 25) = 0
x =-

25
7 loại. Nghiệm x = ±1 .

e) Vế trái
A = x - 7 + 9- x

Þ A2 = 2 + 2 (x - 7)(9 - x) £ 2 + (x + 7) + (9 - x) = 4

, do đó A £ 2.

2
Vế phải B = (x - 8) + 2 ³ 2 .

Theo đề bài, A = B nên A = B = 2 . Do đó x - 7 = 9 - x và x = 8 . Vậy x = 8 , thoả mãn
phương trình đã cho.
5. a) Điều kiện: x ³ 2

(1)

Bình phương hai vế được
2x - 1+ x - 2 + 2 2x2 - 5x + 2 = x + 1 Û

2x2 - 5x + 2 = 2 - x .


8

Phải có x £ 2 .

(2)

Từ (1) và (2) ta có x = 2. Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho.
Nghiệm x = 2.
b) Điều kiện x ³ - 2.
3x + 15 = x + 2 + 4x + 17 .

Chuyển vế được

Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x £ - 2.
Do đó x = - 2 . Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho.
c) Do x ³ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2 , vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2 .
Suy ra hai vế bằng 2 , khi đó x = 1 , thoả mãn phương trình.
d) Điều kiện x ³ - 1. Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x £ - 1.
Nghiệm x = - 1.
6. a) Đặt
Ta có

2x + 3 + x + 2 = y, 2x + 2 -

x +2 = z.

(1)

y2 - z2 = 1+ 2 x + 2, y + z = 1 + 2 x + 2 .

Suy ra y - z = 1. Từ đó z = x + 2

(2)

Từ (1) và (2) tính được x .
Nghiệm x = 2 (chú ý loại giá trị x = - 1).
2
b) Đặt 2x - 9x + 4 = a ³ 0,2 - x ³ 0 nên x £ 1. Ta có

1- x + (x - 1)(x - 2)- | x - 2|.

Û

1- x + (x - 1)(x - 2) -

Û

1- x = 3. Nghiệm x = - 8 .

x- 1
=3
x- 2
.

(x - 1)(x - 2) = 3

x +2
³ 0Û x £ - 2
b) Điều kiện x - 2
hoặc x > 2 .

Đặt

(x - 2).

x +2
=y
x- 2

(1)

2
Thì y = (x - 2)(x + 2)

(2)

2
Ta có y + 4y + 3 = 0 nên y1 = - 1, y2 = - 3 . Do y < 0 nên từ (1) suy ra

x <2

(3)

2
Với y = - 1, thay vào (2) được x - 4 = 1. Do x < 2 nên x = - 5 .
2

Với y = - 3, thay vào (2) được x - 4 = 9. Do x < 2 nên x = - 13 .

Nghiệm là - 5, - 13 .
7. a) Điều kiện 0 £ x £ 4 . Đặt

2 + x = a ³ 0, 2 -

x = b ³ 0.


9
2
2
Ta có ab = 4 - x,a + b = 4 . Phương trình là

a2
2 +a

b2

+

2- b

= 2

Þ a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2(2 - b 2 + a 2 - ab)
Þ

2(a2 + b2 - 2 + ab) - ab(a - b) = 2(a - b)

Þ

2(2 + ab) = (a - b)(2 + ab) (chú ý a2 + b2 = 4 ).

Do ab+ 2 ¹ 0 nên a - b = 2 .
Bình phương hai vế được
a2 + b2 - 2ab = 2 Þ 2ab = 2 Þ ab = 1 Þ

4- x = 1.

Tìm được x = 3 , thử lại đúng.
b) Ta xét
x
1+ 1+ x

2+

=

x(1- 1 + x )
= 1+ x - 1
1- (1+ x)

x
1+ 1 + x
x

2+

= 2 + ( 1+ x - 1) = 1 + 1+ x

,
=

x

,

x
1 + 1+ x

= 1+ x - 1

1 + 1+ x

,…
1+ x - 1 = 8 . Nghiệm x = 80 .

Cuối cùng ta được

8. a) Cách 1. Lập phương hai vế, áp dụng hàng đẳng thức
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ,

Ta được

x + 1+ 7 - x + 33 (x + 1)(7 - x).2 = 8

.

Đưa về (x + 1)(7 - x) = 0 , được x1 = - 1, x2 = 7 , thoả mãn phương trình đã cho.
x + 1 = a, 3 7 - x = b . Ta có a + b = 2 và a3 + b3 = 8 . Đưa về 3a2 - 6a = 0 .
x1 = - 1, x2 = 7

Cách 2. Đặt
Nghiệm
b) Đặt

3

Nghiệm
c) Đặt

3

Nghiệm

3

.

x + 3 = a, 3 3 - x = b . Ta có a + b = 4 và a3 + b3 = 28 . Đưa về a2 - 4a + 3 = 0 .
x1 = - 24, x2 = 2

.

x + 3 = a, 3 x - 16 = b . Ta có a - b = 1 và a3 - b3 = 19 . Đưa về a2 - a - 6 = 0 .
x1 = - 11, x2 = 24

.

x + 3 = a, 3 6 - x = b. Ta có a - b = 1 và a3 + b3 = 9 . Đưa về
(b - 1)(2b2 + b + 8) = 0 được b = 1. Nghiệm x = 5 .

d) Cách 1. Đặt

Cách 2.

3

3

x +3-

3

6- x = 1 Û

3

x + 3 + 3 x - 6 = 1.


10

Hãy chứng tỏ rằng x = 5 là nghiệm duy nhất.
9. a) Đặt

3

24 + x = a, 12 - x = b . Ta có a + b = 6, a3 + b2 = 36 với b ³ 0 .

3
2
Thay b = 6 - a vào a + b = 36 và rút gọn được a(a - 3)(a + 4) = 0 .

Với a = 0 ta được x = - 24 . Với a = 3 ta được x = 3 . Với a = - 4 ta được x = - 88 .
b) Đặt

3

2 - x = a, x - 1 = b. Ta có a + b = 1,a3 + b2 = 1 với b ³ 0 .

Đưa về a(a - 1)(a + 2) = 0 . Nghiệm là 1;2;10 .
c) Đặt

3

x - 2 = a, x + 1 = b . Ta có a + b = 3,b2 - a3 = 3 với b ³ 0 .

2
Đưa về (a - 1)(a + 6) = 0 . Nghiệm x = 3 .

10. a) Lập phương hai vế. Nghiệm là
b) Đặt

3

0; ±

5
2 .

x + 1 = a, 3 x - 1 = b . Ta có

a2 + b2 + ab = 1

(1)

a3 - b3 = 2

(2)

Từ (1) và (2) ta có a - b = 2. Thay b = a - 2 vào (1) ta được a = 1. Nghiệm x = 0 .
c) Cách 1. x = - 2 nghiệm đúng phương trình.
Với x + 2 ¹ 0 , chia hai vế cho
3

Đặt

3

x + 2.

x +1
x+3
= a, 3
=b
3
3

x +2
x +2
. Giải a + b = 2, a + b = - 1 , vô nghiệm.

Cách 2. Đặt

3

x + 2 = y . Chuyển vế

3

y3 - 1 + 3 y3 + 1 = - y .

Lập phương được
y3 - 1+ y3 + 1+ 3.3 y6 - 1.(- y) = - y3 Û y3 = y.3 y6 - 1 .

Với y = 0, có nghiệm x = - 2 .
2
6
6
3 6
Với y ¹ 0, có y = y - 1 . Lập phương hai vế được y = y - 1, vô nghiệm.

Cách 3. Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x < - 2, x > - 2 , phương trình
vơ nghiệm, xem bảng dưới đây
x

3

x <- 2

<- 1

<0

<1

<0

x >- 2

>- 1

>0

>1

>0

x +1

3

x +2

3

x +3

Vế
trái

7 - x = a, 3 x - 5 = b . Ta có a3 + b3 = 2,a3 - b3 = 12 - 2x , do đó vế phải của
a - b a3 - b3
a3 - b3
=
2 .
2 . Phương trình đã cho trở thành a + b
phương trình đã cho là

11. Đặt

3

3
3
Vì a + b = 2 nên


11

a - b a3 - b3
=
Þ (a - b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 - b3)
a + b a3 + b3
.

Do a + b ¹ 0 nên
(a - b)(a2 - ab + b2) = (a - b)(a2 + ab + b2) .

Từ a = b ta được x = 6 .
Từ ab = 0 ta được x = 7; x = 5 .
12. a) Đặt 1 + x = a ³ 0,1- x = b ³ 0 . Ta có
a +b = 2
4

(1)

ab + 4 a + 4 b = 3

Theo bất đẳng thức Cô-si
3=

a. b + 1. a + 1. b £

= a + b + 1£

(2)
mn £

m+n
2 , ta có

a + b 1+ a 1+ b
+
+
2
2
2

1+ a 1 + b
a +b
+
+1=
+2= 3
2
2
2
.

Phải xảy ra đẳng thức, tức là a = b = 1. Do đó x = 0 .
b) Đặt

4

1- x = a ³ 0, 4 2 - x = b ³ 0 . Điều kiện

x £ 1.

(1)

Ta có
a + b = 4 a4 + b4 Û (a + b)4 = a4 + b4 Û 2ab(2a2 + 3ab + 2b2) = 0 .
2
2
Nếu a > 0,b > 0 thì 2a + 3ab + 2b > 0. Do đó a = 0 hoặc b = 0.

Suy ra x = 1 hoặc x = 2. Loại x = 2 vì trái với điều kiện (1).
Nghiệm x = 1 .

------------------------------------///-----------------------------------