Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

Lụứi Caỷm ụn
Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc
n thy giỏo hng dn PGS. TS. Trn Vui ó tn tỡnh
hng dn, giỳp tụi trong quỏ trỡnh lm khoỏ lun.
Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trong
khoa Toỏn trng HSP Hu ó tn tỡnh ging dy v
ch bo tụi trong sut 4 nm hc va qua.
Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trng
THPT Hai B Trng (c bit l t Toỏn) ó giỳp v
to iu kin thun li tụi tin hnh thc nghim s
phm phc v cho khoỏ lun.
Nhõn dp ny, tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh v
bn bố ó giỳp , ng viờn tụi yờn tõm hc tp v
hon thnh khoỏ lun ny.
Hu, thỏng 5 nm 2008
Sinh viờn
Bựi Th c
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu viết tắt
MỞ ĐẦU............................................................................................................5
I. Lý do chọn đề tài .......................................................................................5
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................6
III. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................6
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................6
V. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................6
CHƯƠNG 1........................................................................................................8
CƠ SỞ LÝ LUẬN..............................................................................................8
1. Tư duy toán học.........................................................................................8

1.1. Các mức độ của tư duy toán học.................................................................8
1.2. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán.............................................................11
2. Phương pháp giải quyết vấn đề .............................................................12
2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ ........................................................12
2.2. Các phương án GQVĐ cơ bản..................................................................14
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán.............................15
3.2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán ..........................................20
3.3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều
cách để tìm ra quy luật của một bài toán..........................................................23
3.4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật........................................27
Dãy số tam giác....................................................................................28
CHƯƠNG 2......................................................................................................35
PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG ........................................35
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...................................................................................35
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình
huống thực tế hàng ngày.............................................................................35
2
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán .......................38
2.1. Tìm quy luật của một dãy số....................................................................38
2.2. Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học..........45
2.3. Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật....................54
2.4. Bài toán tính tổng ....................................................................................56
2.5. Một số bài toán khác................................................................................58
CHƯƠNG 3......................................................................................................61
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM..........................................................................61
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm...........................................................61
1.1. Mục đích.................................................................................................61
1.2. Ý nghĩa....................................................................................................61
2. Quá trình thực nghiệm............................................................................61
2.1. Phương pháp thực nghiệm........................................................................61

2.2. Nội dung thực nghiệm..............................................................................62
2.3. Thu thập dữ liệu.......................................................................................62
3. Kết quả phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh.............................65
4. Kết luận sư phạm.....................................................................................72
KẾT LUẬN......................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................75
3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GQVĐ : Giải quyết vấn đề
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
SGK : Sách giáo khoa
THPT : Trung học phổ thông
4
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Một trong những bất cập lớn nhất của giáo dục Việt Nam hiện nay là chất lượng
đào tạo thấp, thiên về lý thuyết, thiếu thực tế và tính sáng tạo. Dạy học theo kiểu
áp đặt, truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh, khiến
các em có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật
toán bất di bất dịch, sẽ không còn chổ cho những ý tưởng mới, hay ít ra là cũng
không có cơ hội để những học sinh bình thường đưa ra những suy nghĩ, cách nhìn
mới của bản thân, sáng tạo mới có lẽ chỉ dành cho những thiên tài như Isacc
Newton … Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản
chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không
phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.
Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi
phương pháp dạy học truyền thống (lối truyền thụ tri thức áp đặt, một chiều từ
người dạy đến người học, người học tiếp thu một cách thụ động theo phương
thức tái hiện) đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức,

định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS tự
chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề
(GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Đây là
phương pháp dạy học mà chúng ta đang rất quan tâm. Tìm kiếm quy luật là một
phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó
là nghệ thuật của toán học (art of maths).
Nhiều lần, một nhà khoa học đã tiến hành các quan sát, khám phá ra các quy luật
và thiết lập các kết luận khoa học. Nhiều lần, các em học sinh (HS) đã tìm tòi,
khám phá ra các quy luật, giải được các bài tập không quen thuộc. Khi thực hiện
việc tìm kiếm một quy luật, tư duy của các em đã được rèn luyện và phát triển,
đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan
tâm nhiều để dạy cho HS.
5
Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm
quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tim kiếm quy luật, để
giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu
quả phương án này trong giải toán.
Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán
thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của
mình.
II. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật, vai trò và hiệu quả của nó trong
GQVĐ;
• Nghiên cứu sự phát triển tư duy toán của học sinh thông qua việc tìm kiếm quy
luật khi giải toán.
III. Đối tượng nghiên cứu
• Các tài liệu liên quan đến đề tài, SGK THPT;
• Các hoạt động thiết kế phục vụ cho việc tìm quy luật;
• HS và GV ở trường THPT.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu cơ sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy
luật khi giải toán;
• Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ;
• Nghiên cứu về khó khăn và thuận lợi của HS trong việc tìm quy luật khi giải
toán;
• Vận dụng cơ sở lý luận vào tìm quy luật để giải một số bài toán.
V. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
• Nghiên cứu nội dung và lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán;
• Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán.
6
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
• Thực hành giảng dạy;
• Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến;
• Nghiên cứu hoạt động.
VI. Cấu trúc khoá luận
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận
1. Tư duy toán học
2. Phương pháp giải quyết vấn đề
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán
Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình
huống thực tế hằng ngày
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm
2. Quá trình thực nghiệm
3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm
4. Kết luận sư phạm

Kết luận
7
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Polya (1887 - 1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng
có nhiều đóng góp cho giáo dục. Đặc biệt là những nghiên cứu của ông tập trung
nhiều vào phương pháp và các bước để giải quyết bài toán. Polya đã cho rằng
Euler là nhà Toán học vĩ đại nhất trong những nhà Toán học bởi vì Euler luôn
giải thích bằng cách nào ông tìm ra kết quả. Polya cũng thường nói với học sinh
mình rằng: “Tôi biết chứng minh của em là hoàn toàn đúng nhưng hãy giải thích
cho tôi bằng cách nào em đã tìm ra nó”. Điều này chứng tỏ Polya đặc biệt quan
tâm đến con đường để mỗi học sinh có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả
mà học sinh đó đưa ra. Tìm kiếm một quy luật là một con đường hiệu quả để HS
tiếp cận, giải quyết một bài toán. Một số người còn gọi đó là nghệ thuật của Toán
học. Đây là một phương án được quan tâm hàng đầu trong các phương án của
GQVĐ.
Vậy hiệu quả của phương án này như thế nào? Chúng ta tiến hành tìm quy luật
như thế nào? Thông qua quá trình tìm kiếm quy luật phát triển tư duy toán của
học sinh như thế nào? Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu và lần lượt trả lời những
câu hỏi này.
Trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề về tư duy toán và nhiệm vụ phát
triển tư duy toán của dạy học môn Toán hiện nay.
1. Tư duy toán học
1.1. Các mức độ của tư duy toán học
Hiện thực xung quanh có rất nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu thấu những cái
chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra được cái
bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư
duy. Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức ý
nghĩ con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ nóng hổi nhất của giai

đoạn lịch sử đó.
8
Tư duy được nảy sinh khi trong hoạt động thực tiễn xuất hiện một mục đích mới,
một vấn đề mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động quen thuộc
không đủ để giải quyết (những hoàn cảnh (tình huống) như thế gọi là hoàn cảnh
có vấn đề).
Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của HS để đạt đến một kết luận có cơ sở
từ những dữ liệu đã cho. HS phải đặt giả thuyết, những tính chất trừu tượng từ
những mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và lý
giải các kết quả đạt được. Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thành
những ý tưởng mới. Chúng ta cần phân biệt hai thuật ngữ “suy luận” và “tư duy”.
Suy luận được xem là một bộ phận của tư duy, nó nằm trên mức độ kiến thức hay
nhắc lại.
Các khối tư duy toán học được xếp theo mức độ từ thấp đến cao như hình vẽ dưới
đây:

Chúng ta chia tư duy thành bốn thành phần chính: nhắc lại, hiểu, phê phán, sáng
tạo. Giữa các mức độ tư duy có sự tương tác qua lại, mỗi mức độ tư duy sử dụng
rộng rãi những kỹ năng bên dưới nó. Ngay trong những mức độ của tư duy bậc
cao cũng đã có sự tương tác qua lại rất lớn giữa tư duy phê phán và tư duy sáng
tạo.
9
Suy luận
Bậc cao
Sáng
tạo
Phê phán
Hiểu
Nhắc lại
• Nhắc lại: bản chất dường như là tự động và phản xạ. Những phép tính nhẩm,

những công thức, những định lý, những thuật toán, … mà học sinh đã được học
sẽ được học sinh thu nhận và nỗ lực một cách có nhận thức để chuyển vào bộ
nhớ. Việc gọi lại một sự kiện cơ bản hoặc thể hiện một thuật toán gọi là tư duy
nhắc lại. Khu vực gọi ra được mở rộng một cách thường xuyên khi cá nhân xúc
tiến quá trình học tập của mình.
• Hiểu: đây là loại tư duy cơ bản, gồm việc hiểu các khái niệm toán và nhận ra
sự áp dụng của chúng vào giải toán, vào thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: Ta có khái
niệm: “Trung bình điều hoà của hai số là nghịch đảo của trung bình cộng của hai
nghịch đảo của hai số đã cho”. Từ khái niệm này HS hiểu rằng trung bình điều
hoà của hai số a và b là
ba
ab
ba
h
+
=
+
=
2
2
11
1
Và nhận ra sự áp dụng của công thức này là để tính vận tốc trung bình của hai
vận tốc trên cùng một đoạn đường. Xét các vận tốc
1
v
,
2
v
tương ứng với các

thời gian
1
t
,
2
t
trên cùng một đoạn đường s. Khi đó vận tốc trung bình trên toàn
bộ các đoạn đường đi được là:
2121
21
11
222
vvv
s
v
s
s
tt
s
+
=
+
=
+
.
Đó chính là trung bình điều hoà.
• Phê phán: là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của tình
huống hoặc bài toán. Các kỹ năng của tư duy phê phán bao gồm:
- tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn;
- thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán;

- nhớ và kết hợp với thông tin đã học.
Bản chất của tư duy phê phán là phân tích và phản ánh. Đây là loại tư duy đóng
vai trò quan trọng trong giải toán của người học, giúp người học đọc hiểu được
bài toán.
10
• Sáng tạo: là tư duy có tính khởi đầu, hiệu quả và sản sinh ra một sản phẩm
phức tạp. Tư duy sáng tạo có tính phát minh, trực giác và tưởng tượng. Các kỹ
năng của tư duy sáng tạo bao gồm:
- tổng hợp các ý tưởng;
- tổng quát các ý tưởng;
- áp dụng các ý tưởng.
1.2. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán
Chúng ta đang đổi mới cách dạy học toán từ thụ động một chiều sang dạy học
tích cực hoá nhằm phát triển tư duy toán học. Lớp học toán được chuyển đổi từ
mô hình dạy học truyền thống với thầy giáo làm trung tâm sang dạy học lấy HS
làm trung tâm. Đây là một sự chuyển đổi tích cực, hy vọng về một nền giáo dục
phát triển của Việt Nam trong tương lai.
Nhiệm vụ của người giáo viên (GV) là mở rộng trí tuệ cho HS chứ không phải là
làm đầy trí tuệ cho các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Việc mở rộng
trí tuệ cho học sinh đòi hỏi GV phải biết cách dạy cho HS tự suy nghĩ để GQVĐ
mà HS gặp phải trong quá trình học và trong cuộc sống.
Thông qua dạy học GQVĐ, giáo viên sẽ dạy học sinh suy luận. Những chương
trình toán thí điểm hiện nay chú trọng đến những nhu cầu dạy những kỹ năng “tư
duy bậc cao” bao gồm tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy
học theo phương pháp giải quyết vấn đề và khảo sát toán học. Chúng ta dạy cho
HS biết con đường mà kiến thức toán được thiết lập, chứ không chỉ là nội dung
của các kiến thức toán mà những nhà toán học đã thiết lập được.
Ví dụ: không phải chúng ta dạy HS chứng minh tổng của n số tự nhiên liên tiếp là
2
)1(

+
nn
mà chúng ta dạy HS đi tìm tổng của n số tự nhiên liên tiếp. Tức là
chúng ta đang dạy HS tư duy. Chúng ta luôn mong muốn những kỹ năng tư duy
bậc cao này được phát triển thông qua việc dạy GQVĐ theo cả hai khía cạnh.
Thứ nhất là giải quyết vấn đề như là một đối tượng của dạy học và thứ hai là sử
dụng nó như là một phương pháp dạy học GQVĐ thông qua tất cả các hoạt động
dạy học.
11
Tư duy sáng tạo, tư duy phê phán và tư duy GQVĐ là tất cả các khía cạnh học tập
của HS. Chúng sẽ trở thành một phần chính trong hoạt động dạy học hằng ngày
của chúng ta. Chúng ta phải làm cho lớp học toán phản ánh được yêu cầu này về
hiểu biết toán và năng lực toán. Năng lực toán phải bao gồm khả năng “khám
phá, đặt giả thuyết và suy luận logic cũng như khả năng sử dụng các phương
pháp toán học khác nhau một cách có hiệu quả để giải quyết các bài toán không
quen thuộc trước đó”. Phát triển và rèn luyện cho HS những kỹ năng suy luận và
GQVĐ sẽ là nhiệm vụ chính mà các GV toán phải thường xuyên thực hiện trong
lớp học toán.
Tóm lại, dạy có hiệu quả là dạy như thế nào để làm cho HS hiểu thế nào là Toán
học và có tư duy toán học để phát triển.
2. Phương pháp giải quyết vấn đề
2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ
Trong những năm gần đây, phương pháp GQVĐ đã trở thành một trong những
phương pháp chính được sử dụng để dạy học môn Toán ở tất cả các bậc học tại
nhiều nước trên thế giới. Hội đồng những người hướng dẫn bộ môn Toán của Mỹ
(The National Counsil of Supervisors of Mathermatics) đã khẳng định rằng “Học
phương pháp để giải quyết bài toán là mục đích chính của việc học Toán”.
Trong giáo dục toán người ta thường dùng các thuật ngữ như câu hỏi, bài tập, bài
toán (vấn đề). Các thuật ngữ này được phân biệt như sau:
• Câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến

thức hoặc trí nhớ;
• Bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để cũng cố
những kỹ năng và thuật toán đã được học trước đó;
• Bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức đã
được học trước đó để giải. Khi đứng trước một bài toán HS không thấy được
ngay các phương pháp hoặc con đường thu được lời giải.
12
Để trả lời một câu hỏi, giải một bài tập, thường học sinh giải quyết dựa trên
những kinh nghiệm sẵn có, có thể đó là dạng toán mà học sinh đã gặp, đã làm, bài
toán đã được cung cấp thuật toán sẵn. Nhưng khi gặp dạng toán mới (bài toán)
yêu cầu sử dụng những phân tích hợp lý để đi đến kết quả thì học sinh sẽ gặp
phải trở ngại và rơi vào thế bị động. GQVĐ là một phương pháp giúp học sinh
khắc phục được điều này. Mục đích chính của phương pháp này là hướng dẫn và
rèn luyện học sinh lúc đứng trước một tình huống phải biết phân tích và tư duy
một cách linh hoạt để tìm ra con đường tốt nhất để giải quyết.
Về cơ bản, GQVĐ là quá trình tìm tòi “phương án” (strategy) để giải bài toán
không quen thuộc. Phương án khác với thuật toán (algorithm). Có phương án tốt
chưa chắc đã giải đúng. Còn thuật toán nó có tính chất quy trình giải toán
(procedure), nếu áp dụng đúng bảo đảm có lời giải đúng.
Quá trình GQVĐ thách thức đối với người học, đến đây người học phải thể hiện
tư duy toán của mình. Các bước để giải một bài toán (vấn đề):
1. Đọc hiểu bài toán;
2. Lên phương án giải toán;
3. Giải toán;
4. Xem lại (kiểm tra, mở rộng bài toán).
Trong tác phẩm nổi tiếng của George Polya là: “How to solve it” đã giới thiệu
những phương pháp GQVĐ rất hiệu quả. Phương pháp của Polya được gọi với
một thuật ngữ chung là “hueristics” (GQVĐ bằng cách đánh giá kinh nghiệm và
tìm lời giải qua thử nghiệm). Polya cũng từng nói rằng: “ Vấn đề của bạn có thể
là đơn giản nhất, nhưng nếu nó tạo cho bạn sự tò mò, mang lại những ý tưởng

sáng tạo và bạn giải quyết nó bằng năng lực bản thân thì điều đó sẽ đem lại
những kinh nghiệm cùng niềm vui của sự khám phá”.
Khi nói đến GQVĐ chúng ta cần phải hiểu rằng:
- Đối với học sinh, đó chính là phương pháp để hình thành con đường tiếp cận bài
toán;
- Đối với giáo viên, GQVĐ lại mang ý nghĩa của một phương pháp dạy học mới.
13
Tìm quy
luật
Làm
ngược
Xét trường hợp
đặc biệt
Minh họa
bằng hình vẽ
Đoán và thử
thông minh
Liệt kê khả năng
có thể
Chứng minh
bằng phản
chứng
Tổng quát
hóa
Suy luận
lôgic
Phương
án GQVĐ
Hai khía cạnh này liên quan chặt chẽ với nhau bởi vì với phương pháp truyền
thống học sinh khó có thể hình thành và rèn luyện GQVĐ. Chính vì vậy, phương

pháp GQVĐ cần được tồn tại và phát triển trong một môi trường dạy học GQVĐ
tạo ra. Để làm được điều này, giáo viên phải là người đi đầu, phải đưa ra những
vấn đề với nhiều cách giải quyết linh hoạt để minh họa cho những phương pháp
GQVĐ. Sau đó, giáo viên sẽ đưa ra những vấn đề mở rộng để chứng tỏ sức mạnh
của phương pháp này. Học sinh phải thật sự kiên nhẫn bởi vì đối với học sinh bắt
đầu quá trình GQVĐ cũng có nghĩa là bắt đầu quá trình của những khám phá.
2.2. Các phương án GQVĐ cơ bản
Muốn GQVĐ thì trước tiên, học sinh phải đọc hiểu vấn đề và thăm dò để lựa
chọn phương án giải. Đây là giai đoạn khó và quan trọng nhất. Có nhiều phương
án cụ thể trong giải quyết vấn đề. Việc chọn phương án phù hợp với học sinh là
cần thiết. Trong phần này chúng ta quan tâm đến mười phương án thường được
sử dụng ở bậc phổ thông trong những tình huống toán và cuộc sống. Trong lớp
học toán những phương pháp này sẽ cung cấp đan xen để giải quyết các tình
huống có vấn đề nảy sinh trong bản thân chương trình toán.
Các phương án GQVĐ:
Trong mười phương án này, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu phương án tìm
kiếm quy luật. Thông qua việc giải một số bài toán bằng phương án tìm kiếm một
14
Nhìn theo một
cách khác
quy luật, chúng ta sẽ phân tích quá trình tìm kiếm để thấy được hiệu quả của
phương án này trong GQVĐ và thấy được sự phát triển tư duy thông qua việc tìm
kiếm quy luật. Hơn nữa, qua đây chúng ta tích luỹ thêm kinh nghiệm của việc sử
dụng phương án này nói riêng và kinh nghiệm giải toán nói chung.
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán
Có những bài toán thiết lập bởi một quá trình lặp đi lặp lại nhưng với kết quả là
bất biến theo một nghĩa nào đó. Trong thực tế luôn xảy ra một quá trình lặp lại và
phổ biến theo một quy luật nào đó. Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm những bất
biến trong quá trình hoặc những kết quả hội tụ của quá trình đó. Chúng ta có thể
gọi công việc này là tìm kiếm quy luật trong giải toán.

Ví dụ 3.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau:
3; 6; 13; 24; 39; …
Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp
của dãy số đã cho tạo thành dãy số thứ
hai: 3; 7; 11; 15; … Các sai khác giữa
các số hạng liên tiếp của dãy số thứ hai
này tạo thành dãy số: 4; 4; 4; ...
Đến đây thì ta đã tìm được một sự bất biến, đó là một dãy hằng, số hạng thứ tư
của dãy thứ ba này là 4. Do đó số hạng tiếp theo của dãy thứ hai là 19 (=15 + 4).
Do đó, số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 58 (= 39 + 19).
Như vậy, điều quan trọng để giải quyết bài toán này là tìm ra sai khác thứ hai là
một dãy hằng, tức là tìm ra bất biến. Mỗi dãy số có thể đều tồn tại một bất biến
tiềm ẩn đang nằm đâu đó, chúng ta hãy đi tìm kiếm bất biến đó. Một cách suy
luận tương tự như thế chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác.
Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trong
quan sát, sự nhảy cảm dự đoán và kiểm tra của chúng ta. Từ những kinh nghiệm
đã trải qua trong tính toán và các bài toán tương tự, từ khả năng liên hệ bài toán
tương tự với điều kiện mới, vv…
Chúng ta xét một ví dụ khác:
Ví dụ 3.2: Cho trước số tự nhiên n. Hãy tìm tổng của các số tự nhiên 1; 2; …; n.
15
4
444
1915
1173
5839
24136
3
Ta ký hiệu
n

S
là tổng phải tìm, nghĩa là:
nS
n
++++=
...321
(3.2).
Mục đích của chúng ta là tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên, công thức
đó giúp ta tính nhanh gọn hơn là phải thực hiện các phép cộng trong tổng.
Bây giờ, ta sẽ tính tổng
n
S
từ đẳng thức (3.2) với một vài số tự nhiên liên tục,
chẳng hạn bắt đầu từ 1. Kết quả thu được ở bảng sau:
n 1 2 3 4 5 6
n
S
1 3 6 10 15 21
Chúng ta cố gắng tìm ra quy luật với bảng trên, mỗi số tự nhiên ở hàng trên trong
bảng cho tương ứng với các số ở hàng dưới. Từ bảng trên ta nhận thấy một quy
luật: tích của hai số liên tục ở hàng trên bằng hai lần số đầu tiên tương ứng ở
hàng dưới. Thật vậy:
1221
×=×
;
3232
×=×
;
6243
×=×

;
10254
×=×
;
15265
×=×
. Như vậy, ta đã tìm ra quy luật với các trường hợp riêng 1; 2; 3; …
Mở rộng quy luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ ta đưa ra giả thuyết
thích hợp với quy luật vừa tìm được:
2
)1(
+
=
nn
S
n
.
Để chứng minh công thức này ta dùng phương pháp quy nạp.
Để tìm một quy luật chúng ta cần so sánh và đối chiếu. Chúng ta phải so sánh để
tìm nét đặc trưng tồn tại trong các phần tử của tập hợp chứa quy luật. Còn phép
đối chiếu để tìm ra những yếu tố thay đổi. Quy luật có thể xuất hiện ở nhiều
dạng: quy luật của các số, quy luật của hình học, quy luật của từ ngữ, vv …
Như chúng ta đã nói “tìm kiếm quy luật” là một bài toán thách thức khả năng tư
duy của chúng ta. Đòi hỏi chúng ta phải biết phân tích, so sánh, đối chiếu, suy
đoán, … Chúng ta phải có trực giác, sự trải nghiệm, … tức chúng ta phải có tư
duy và ở đây quan trọng là tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và tư duy giải quyết
vấn đề. Thật sự thì cũng không có một quy trình nào thật cụ thể cho quá trình tìm
kiếm quy luật. “Quy luật từ trên trời rơi xuống” và chúng ta phải đi tìm. Tuy
nhiên, chúng ta có thể đưa ra ở đây một số cách mà chúng ta thường làm để tìm
16

kiếm một quy luật ẩn chứa trong bài toán.
3.1.Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất
Nhiều bài toán khi xuất phát giải ta không biết bắt đầu từ đâu, trong những
trường hợp đó người ta thường nghiên cứu bài toán dưới những trường hợp đặc
biệt. Nghiên cứu, phân tích trên những trường hợp đặc biệt của bài toán, chúng ta
có thể phát hiện ra quy luật của một số yếu tố trong bài toán và từ đó gợi ý cho ta
khẳng định của bài toán hoặc hé mở một cách giải trong trường hợp tổng quát.
Cách này được vận dụng nhiều trong quy nạp toán học để tìm giả thiết quy nạp.
Ví dụ 3.1.1: Giả sử ta đã có công thức:
2
)1(
..321
+
=++++
nn
n
(3.1.1).
Ta đi tìm công thức tính tổng của n bình phương đầu tiên:
1
2
+ 4
2
+ 9
2
+ … + n
2
.
Chúng ta hãy phát hiện một tính chất song trùng nào đó giữa 2 tổng sau đây và
xét chúng đồng thời:
n 1 2 3 4 5 6 …

1 + 2 +…...+n 1 3 6 10 15 21 …
1
2

+2
2

+..... +n
2
1 5 14 30 55 91 …
Hai dòng cuối cùng quan hệ với nhau ra sao? Ta hãy thử nghiên cứu tỷ số của
chúng:
n 1 2 3 4 5 6

n
n
+++
+++
...21
...21
222
1
5
3

7
3

9
3

11
3

13
3
.
Nếu ta viết các tỉ số dòng thứ hai như sau:
3
3
;
5
3
;
7
3
;
9
3
;
11
3
;
13
3
.
Thì ta sẽ phát hiện ra quy luật, nảy sinh giả thuyết rằng:
3
12
...21

...21
222
+
=
+++
+++
n
n
n
.
Sử dụng công thức (3.1.1) ta phát biểu giả thuyết dưới dạng:
17
6
)12)(1(
...21
222
++
=+++
nnn
n
(3.1.2).
Công thức này đúng trong trường hợp n = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Tiếp tục thử với trường
hợp n = 7 thì vẫn đúng. Ta chứng minh được công thức (3.1.2) bằng phương pháp
quy nạp như sau:
+ n = 1: hiển nhiên đúng.
+ Giả sử công thức (3.1.2) đúng với trường hợp n = k. Ta chứng minh nó vẫn
đúng trong trường hợp n = k + 1. Thật vậy, ta có:
[ ]
[ ]
6

1)1(2)2)(1(
6
)1(6)12()1(
)1(
6
)12)(1(
)1(...21
2
2222
++++
=
++++
=
++
++
=
+++++
kkk
kkkk
k
kkk
kk
Như vậy, công thức (3.1.2) đúng trong trường hợp n = k + 1. Vậy ta đã chứng
minh được công thức (3.1.2).
Ví dụ 3.1.2: Hãy tìm số dương n và
1
a
,
2
a

, …,
n
a
nguyên dương thoả:
∑
=
=
n
i
i
a
1
1000
và tích
1
a
.
2
a
…
n
a
lớn nhất có thể.
Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ
liệu để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn. Trong bài toán này, chúng
ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho
1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau:
Bảng 3.1.2
∑
=

n
i
i
a
1
2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
Các
i
a
1
a
=
2
1
a
=
3
1
a
=
4
1
a
=
2
2
a
=
2

1
a
=
2
2
a
=
3
1
a
=
3
2
a
=
3
1
a
=
3
2
a
=
4
1
a
=
2
2
a

=
2
3
a
=
1
a
=
2
2
a
=
3
3
a
=
1
a
=
3
2
a
=
3
3
a
=
18
3 3 3
Công việc này mất khá nhiều thời gian. Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trường

hợp tích lớn nhất thoã mãn:
• Không có
i
a
nào lớn hơn 4;
• Không có
i
a
nào bằng 1;
• Tất cả các
i
a
có thể đổi thành 2 hoặc 3 (vì
224
×=
và
224
+=
);
• Nhiều nhất có 2
i
a
bằng 2 (vì
33222
×<××
và
33222
+=++
).
Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích

lớn nhất của chúng ta cần phải là 3
332
×
2
2
.
Trong bước đầu của quá trình phân tích một bài toán, việc xem xét kết quả khi
thay đổi các biến từ các giá trị bé đến giá trị cực, giá trị tối đa là hữu ích. Điều
này giúp chúng ta hiểu sâu thêm bài toán bởi vì một kết luận là đúng thì nó cũng
phải đúng trong trong các trường hợp đặc biệt. Một bài toán sẽ đơn giản hơn khi
chúng ta xét các trường hợp đặc biệt.
Chúng ta hãy xét một ví dụ khá thú vị sau đây:
Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích
bằng 5. Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1.
Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán. Tuy nhiên
đây không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình. Chúng ta
hãy quan sát một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán:
19

Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong
của hình đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác. Bây giờ chúng ta hãy cố
gắng tìm biểu thức liên hệ giữa A, N, T.
N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau:
N 12 10 8 6 4
T 0 1 2 3 4
A 5 5 5 5 5
Chúng ta tìm được quy luật với bảng trên như sau:
1
2
−+=

T
N
A
.
Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn
bài toán. Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường
hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn.
3.2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán
Ví dụ 3.2.1: (Tam giác Pascal)
Kí hiệu
0,n
S
;
1,n
S
;
2,n
S
là những tổng cách ba phần tử trong hàng thứ n của
tam giác Pascal.
0,n
S
bắt đầu từ phần tử thứ nhất bên trái,
1,n
S
bắt đầu phần tử
thứ 2 và
2,n
S
bắt đầu từ phần tử thứ 3 tương ứng. Hãy nghiên cứu dãy số tạo ra

và tính giá trị của
1,100
S
?
Ta bắt đầu từ trường hợp với chỉ số thấp với hy vọng tìm được mẫu chung tổng
quát đó. Trong Bảng 3.2.1, những phần tử không gạch dưới là thuộc tổng
0,n
S
;
20
một gạch dưới là
1,n
S
; hai gạch dưới là
2,n
S
. Ba cột bên phải chỉ ra rằng trong
mọi trường hợp của n ta đều có hai cột bằng nhau, còn cột thứ 3 hoặc là lớn hơn
(dấu +) một đơn vị hoặc là nhỏ hơn (dấu -) một đơn vị. Ta cũng thấy rằng phần tử
không bằng sẽ thay đổi theo vòng tròn 6 lần. Như vậy, từ mẫu trong dòng ban đầu
ta sẽ phát hiện ra phần tử khác hai phần tử kia ở n bằng 8 là ở cột giữa và nhỏ
hơn 2 phần tử kia.
Bảng 3.2.1
Tam giác Pascal
n
0,n
S

1,n
S

2,n
S
1
1 1
1 2
1
1 3
3
1
1 4
6
4 1
1 5
10
10 5
1
1 6
15
20 15
6
1
1 7
21
35 35
21
7 1
0 1
+
0 0

1 1 1 0
-
2 1 2
+
1
3 2
-
3 3
4 5 5 6
+
5 11 10
-
11
6 22
+
21 21
7 43 43 42
-
Ta nhận thấy:
0,n
S
+
1,n
S
+
2,n
S
= 2
n
.

Và vì 100 = 6 x 16 + 4 nên ta phát hiện ra ngay trên phần tử không bằng ở cột thứ
ba (
2,100
S
) và lớn hơn hai số kia 1 đơn vị.
Như vậy:
0,100
S
=
1,100
S
=
2,100
S
- 1
và
0,100
S
+
1,100
S
+
2,100
S
= 2
100
.
Suy ra:
1,100
S

=
3
12
100
−
.
Ví dụ 3.2.2: Xét S là một tập và * là một phép toán 2 ngôi trên S thoả mãn 2 luật:
i) x * x = x với tất cả x
∈
S;
21
ii) (x * y) * z = (y * z) * x với tất cả x, y, z
∈
S.
Hãy chỉ ra rằng: x * y = y * x với mọi x, y
∈
S.
Lời giải: Trong lời giải ngắn gọn dưới đây, để đưa đến kết quả cuối cùng thì phải
qua các bước biến đổi nhỏ. Công việc này được mô tả như là việc tìm kiếm quy
luật (nguyên tắc của quy luật là vòng tự nhiên của nhân tố trong điều kiện thứ
hai).
Ta có, với tất cả x, y
∈
S thì
x * y = (x * y) * (x * y)
= [(y * (x * y)] * x
= [(x * y) * x] * y
= [(y * x) * x] * y
= [(x * x) * y] * y
= (x * y) * y

= (y * y) * x
= y * x.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
22
3.3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có
nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán
Ví dụ 3.3.1: Một tập gồm n phần tử (phân biệt) có bao nhiêu tập con (khác
nhau)?
Lời giải 1: Chúng ta bắt đầu từ các tập chứa lần lượt 0; 1; 2; 3; … phần tử. Kết
quả được thể hiện ở trong Bảng 3.3.1.1.
Mục đích xây dựng bảng này là để tìm ra công thức cho trường hợp tổng quát.
Trong trường hợp này chú ý, khi n = 3 dòng thứ nhất là các tập con của tập {x
1
;
x
2
}, sau đó ở dòng thứ hai, ta có tập con được xây dựng bằng cách thêm vào các
tập con ở dòng trên một phần tử x
3
. Đây là chìa khoá trong ý tưởng để cho phép
chúng ta tiếp tục với các giá trị của n cao hơn. Ví dụ, khi n = 4 các tập con của
tập S = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
} là 8 tập con của tập {x

1
, x
2
, x
3
} (Bảng 3.3.1.1) thêm x
4
vào
mỗi tập con trong 8 tập con trên ta được thêm 8 tập con nữa. Vậy một tập có 4
phần tử có tất cả 16 tập con (= 2
4
). Theo quy luật này ta có số tập con (phân biệt)
của tập gồm n phần tử là 2
n
.
Bảng 3.3.1.1
23
Lời giải 2: Với mỗi n, kí hiệu A
n
là số tập con (phân biệt) của một tập với n phần
tử. Xét S là tập có n + 1 phần tử và x là một phần tử của S. Lúc đó, tồn tại tương
ứng 1 - 1 giữa các tập con của S mà không chứa x và các tập con của S mà chứa x
(một tập con T không chứa x của S đặt tương ứng với tập T
∪
{x}). Như vậy, tất
cả các dạng tập con tạo bởi S \ {x} là những tập hợp tạo bởi n phần tử. Vì vậy,
trong trường hợp này: A
n+1
= 2 A
n.

Đẳng thức này đúng với n = 0; 1; 2; 3; … Kết hợp với kết quả hiển nhiên là A
0
= 1, đưa đến A
n
= 2
n
(A
n
= 2

A
n-1
= 2
2
A
n-2
= … = 2
n
A
0
= 2
n
).
Lời giải 3: Một cách khác là liệt kê có hệ thống các tập con bằng cách lập một
hình nhánh cây (nhị phân). Trường hợp n = 3 và tập S = {a; b; c} ta có cây như
Hình vẽ 3.3.1. Mỗi nhánh của cây tương ứng với một tập con khác nhau của S
(dấu gạch dưới phần tử là không tính phần tử đó vào tập hợp trong nhánh này).
Cây được xây dựng ba tầng tương ứng với ba phần tử trong S. Mỗi phần tử của S
đều có hai khả năng: hoặc là nằm trong tập con hoặc không nằm trong tập hợp
con và như vậy chia làm hai nhánh vì mỗi phần tử ta phải đều xem xét ngang

nhau nên số nhánh gấp đôi lên. Vì vậy, với 4 tập gồm 3 phần tử, số nhánh bằng
2
×
2
×
2 = 8. Cho nên tập gồm n phần tử số nhánh là: 2
×
2
×
…
×
2 = 2
n
.
Vì vậy, với một tập với n phần tử thì có 2
n
tập con.
Hình vẽ 3.3.1
Tập con
c
{ }
cba ;;
n Các phần tử
của S
Các tập con của S Số các tập
con của S
0
1
2
3

Không có
x
1
x
1
; x
2
x
1
; x
2
; x
3
φ
φ
; {x
1
}
φ
; {x
1
}; {x
2
}; {x
1;
x
2
}
φ
; {x

1
}; {x
2
}; {x
1
; x
2
};
{x
3
}; {x
1
; x
3
}; {x
2
; x
3
}; {x
1
;

x
2
; x
3
}
1
2
4

8
24
b
c
{ }
ba;
a
c
{ }
ca;
b
c
{ }
a
c
{ }
cb;
b
c
{ }
b
a
c
{ }
c
b
c {
φ
}
Lời giải 4: Giả sử chúng ta liên kết các tập con theo số phần tử:

Ví dụ, khi S = {a; b; c; d}, các tập con là:
Số các phần tử Các tập con của S Số các tập con
0
1
2
3
4
φ
{a}; {b}; {c}; {d}
{a; b}; {a; c}; {a; d}; {b; c}; {b; d}; {c; d}
{a; b; c}; {a; b; d}; {a; c; d}; {b; c; d}
{a; b; c; d}
1
4
6
4
1
25