Chuyên đề: Hướng phát triển một bài toán

Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
Lời nói đầu
Phát triển t duy cho học sinh trong việc học hình là công việc cần thiết của
các thày cô giáo . Nhng con đờng đi đến đích thì lại thật là gian nan , khó nhọc .
Đối với học sinh lớp 8 , một khối lợng kiến thức hình thật là nặng với các em .
Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh các loạị tứ giác , Các bài toán về định
lý Ta lét , tam giác đồng dạng Hình học không gian dù mới làm quen song khá
phức tạp . Vậy con đờng hình thành t duy thế nào đây ?
Trong quá trình tự học, tự bồi dỡng hay trong quá trình dạy học , tôi
luôn luôn định hớng cho các em cách t duy thông qua phân tích một bài toán rồi
từ đó tìm ra phơng pháp giải quyết nó trong các trờng hợp cụ thể , trong một
hình vẽ cụ thể . Rồi từ đó hớng dẫn cách tổng quát hoá các bài bằng cách làm
lỏng một vài giả thiết rồi xem kết quả ra sao ? Các bài toán mới chắc chắn làm
cho các em thích thú khi có lời giải trong tay .
Con đờng hình thành bài toán tổng quát là nh thế đấy ! Sau đây là nội
dung chuyên đề : hớng phát trển một bài toán hình học lớp 8 , hy vọng sẽ
giúp cho các bạn đồng nghiệp. các em học sinh có cách nhìn thoáng hơn với
bộ môn hình học.
Hớng phát triển của một bài toán hình học
Con đờng đi đến bài toán tổng quát đối với môn hình học rất gian nan bởi
tính chặt chẽ của nó . Chỉ cần thay đổi nhỏ thôi trong giả thiết chắc chắn lời giải
sẽ khác .Thậm chí đi đến bế tắc . Thế nhng , muốn vợt qua chớng ngaị vật lớn
cần phải có những bớc nhảy vọt qua những vật cản nhỏ . Sự tự tin , sáng tạo sẽ
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 1
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
giúp bạn vợt qua đấy ! Khi bạn cha bằng lòng với một kết quả của một bài toán
hình thì bạn thử nghĩ xem : Nếu mình làm lỏng một chi tiết thì kết quả của nó
có gì sáo trộn không? Hãy dũng cảm tấn công vào một hệ thức hình học hay một
phơng pháp chứng minh nó , chắc chắn bạn sẽ gặt hái đợc những kết quả khá thú
vị . Bài toán 51 trang 130 sách bài tập toán 8 là một ví dụ nh vậy .
Bài toán 1 : (bài 51 trang 130 sách bài tập toán 8 )

Cho ABC nhọn với ba đờng cao AA
1
, BB
1
,CC
1
. Gọi H là trực tâm của tam
giác đó .
CMR :
)1(1
1
1
1
1
1
1
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Giải : gọi S
HBC
= a , S
HAC
= b , S
HAB
= c và S

ABC
= x
Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm ở miền trong tam giác .
Bởi thế ta có : S
HBC
+ S
HAC
+ S
HAB
= S
ABC

hay a +b+c=x . Dễ thấy :

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
=
++
=++==
====
x
cba
CC
HC
BB
HB
AA
HA
CC
HC
x
c
CC
HC
S
S
BB
HB
x
b
BB
HB
S

S
AA
HA
x
a
AA
HA
S
S
ABC
HAB
ABC
HAC
ABC
HBC
*) H ớng phát triển :
Với H là trực tâm ABC thì ta có hệ thức (1) . Nếu thay đổi giả thiết : trực
tâm H bằng trọng tâm G thì hệ thức (1) còn đúng không ? Ta đi tới bài toán 2 .
Bài toán 2 :
Cho ABC với ba đờng trung tuyến AA
1
, BB
1
,CC
1
. Gọi G là trọng tâm
của tam giác đó .
CMR :
1
1

1
1
1
1
1
=++
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Giải :
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 2
A
B
1
B
C
A
1
C
1
H
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
Cách 1 : ( Dựa vào tính chất trọng tâm G )
Do G là trọng tâm của ABC nên :
3
1
1

1
1
1
1
1
===
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Bởi thế :
1
1
1
1
1
1
1
=++
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Cách 2 : Gọi AN là đờng cao của ABC . GM là đờng cao của GBC.
Khi đó :
x

a
AN
GM
=
( cùng đáy BC )
Vì GM//AN ( cùng vuông góc với BC )
nên
x
a
AA
GA
AA
GA
NA
GM
==
1
1
1
1
á
(Định lý Talet)
Tơng tự ta cũng có :
x
c
CC
GC
x
b
BB

GB
==
1
1
1
1
,

Suy ra :
1
1
1
1
1
1
1
=
++
=++=++
x
cba
x
c
x
b
x
a
CC
GC
BB

GB
AA
GA

*) H ớng phát triển : Trong cách chứng minh thứ 2 , ta không hề nhắc đến dữ
kiện của giả thiết đó là : Trọng tâm G . Phải chăng đây là lỗ hổng" của bài toán
và để ý trong cách chứng minh hệ thức (1) ta đi đến bài toán tổng quát .
Bài toán 3: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các
cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A
1
, B
1
, C
1
. CMR :
)1(1
1
1
1
1
1
1
=++
CC
MC
BB
MB
AA
MA
*/ H ớng dẫn : chứng minh tơng tự nh bài toán 2 ( cách 2 )

*) H ớng phát triển : Quan sát kỹ phơng pháp chứng minh công thức (1) ở bài
toán 2 ta thấy : tỉ số khoảng cách từ M đến BC và từ A đến BC phụ thuộc vào các
diện tích tam giác nhận các khoảng cách các khoảng cách đó làm đờng cao . Bởi
thế dễ dàng tấn công vào công thức (1) để có hệ thức mới .
Bài toán 4: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các
cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A
1
, B
1
, C
1
. CMR :
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 3
A
B C
B
1
C
1
A
1
G
N
M
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học

)6(
2
9
)5

)5(9)4)4(
2
3
)3
)3(6)2)2(2)1
111
1
1
1
1
1
1111
111111
++
++++
++=++
MC
CC
MB
BB
MA
AA
MC
CC
MB
BB
MA
AA
MC
MC

MB
MB
MA
MA
MC
MC
MB
MB
MA
MA
CC
MC
BB
MB
AA
MA
H ớng dẫn giải :
1) Ta có
x
cb
AA
MA
x
ax
AA
MAAA
x
a
AA
MA +

=

=

=
11
11
1
1

Tơng tự :
x
ba
CC
MC
x
ca
BB
MB +
=
+
=
11
;


2
)(2
111
=

++
=
+
+
+
+
+
=++
x
cba
x
cb
x
ca
x
cb
CC
MC
BB
MB
AA
MA

2) Từ
x
a
AA
MA
=
1

1
và
a
cb
MA
MA
x
cb
AA
MA +
=
+
=
11
Tơng tự :
c
ba
MC
MC
b
ca
MB
MB +
=
+
=
11
,
Nhờ bất đẳng thức Côsi ta có :

6222
111
=++






++






++






+=
+
+
+
+
+
=++

c
b
b
c
c
a
a
c
b
a
a
b
c
ba
b
ca
a
cb
MC
MC
MB
MB
MA
MA
3) Từ phơng pháp chứng minh câu 2 , ta đợc :

cb
c
MC
MC

ca
b
MB
MB
cb
a
MA
MA
+
=
+
=
+
=
111
,,
Nhờ bất đẳng thức Nasơnít , ta có :
2
3
111

+
+
+
+
+
=++
ac
c
ac

b
cb
a
MC
MC
MB
MB
MA
MA
*/ Các bất đẳng thức (4) ,(5) chứng minh tơng tự nhờ các bất đẳng thức (2), (3).
*/ Với các bất đẳng thức trên dấu = xẩy ra M là trọng tâm của ABC
*/ H ớng phát triển :
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 4
A
C
1
B
1
M
C
B A
1
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
- Sự lật đi, lật lại các tỉ số trong hệ thức (1) giúp ta có những hệ
thức mới . Trấn tĩnh lại : quan sát phơng pháp chứng minh hệ thức (1) ta đi tới
bài toán 5 .
Bài toán 5 : Tìm tập tập điểm M nằm trong ABC sao cho : S
MAB
+ S
MAC

= S
MBC

(Bài 23 trang 123 SGK Toán 8 - Tập 1)
Giải :
Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho S
MAB
+S
MAC
= S
MBC

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=++
+=+=
CC
MC
BB

MB
AA
MA
Do
CC
MC
BB
MB
AA
MA
S
S
S
S
S
S
ABC
MAC
ABC
MAB
ABC
MBC

Bởi thế
2
1
1
1
=
AA

MA
sử dụng kết quả bài toán 2, ta có : khoảng cách từ M đến cạnh
BC bằng khoảng cách từ A đến BC . Vậy M thuộc đoạn thẳng song song với BC
cách BC một khoảng bằng1/2 đờng cao hạ từ A xuống BC. Hay M thuộc đờng
trung bình EF của ABC.
*/ H ớng phát triển : Cách chứng minh bài 5 là sự kết hợp giữa hệ thức (1) với
mối quan hệ diện tích của một tam giác bằng tổng hai tam giác còn lại . Nh vậy
nếu điểm M trong tam giác chia thành ba tam giác sao cho một tam giác có diện
tích bằng k lần tổng diện tích hai tam giác còn lại . Khi đó phơng pháp chứng
minh có gì thay đổi không ? Ta đi tới bài toán 6 .
Bài toán 6 : Cho ABC , hãy chỉ ra tập hợp của điểm M nằm trong tam giác đó
sao cho :
S
MBC
= k. (S
MAB
+S
MAC
)
Giải : Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho S
MBC
= k. (S
MAB
+S
MAC
)
Khi đó ta có :
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 5
A
B C

C
1
B
1
A
1
M
E F
A
B C
C
1
B
1
A
1
M
E F
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học

1
11
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=








==++








+=

+

=
k
k
AA
MA
AA
MA
k
AA
MA
CC
MC
BB
MB
AA
MA
Do
CC
MC
BB
MB
k
AA
MA
S
Sk
S

Sk
S
S
ABC
MAC
ABC
MAB
ABC
MBC

Vậy M thuộc đờng thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng
1+k
k
đờng cao hạ từ A xuống BC . Giới hạn : đoạn thẳng EF ( E , F là giao của đờng
thẳng d với cạnh AB,AC )
*/ H ớng phát triển : Dễ thấy từ phơng pháp chứng minh ở bài toán 2 ta thấy rõ
: Nếu S
MAB
= S
MAC
= S
MBC
thì
3
1
1
1
1
1
1

1
===
CC
GC
BB
GB
AA
GA
và M phải là trọng tâm của
tam giác .
Và ta có bài toán 7 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S
MAB
= S
MAC
= S
MBC
Tiếp tục tấn công vào hệ thức ta có bài toán tổng quát hơn .
Bài toán 8 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S
MAB
= 2 . S
MAC
= 3 . S
MBC

Giải :
Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho S
MAB
= 2 . S

MAC
= 3 . S
MBC

11
6
6
236
1
3
1
2
1
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
32
32
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
++
=
++
==

++
=++=++
==

=

=
AA
MA
AA
MA
AA
MA
AA
MA
AA
MA
CC
MC
BB
MB
AA
MA
Do
CC
MC
BB
MB

AA
MA
S
S
S
S
S
S
ABC
MAC
ABC
MAB
ABC
MBC
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 6
A
B C
C
1
B
1
A
1
M
d
2
d
1
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
Vậy M thuộc đờng thẳng (d

1
) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng
bằng
11
6
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC .
Tơng tự ,ta cũng có
11
3
1
1
=
BB
MB
Vậy M thuộc đờng thăng (d
2
) song song với cạnh
AC cách AC một khoảng bằng
11
3
đờng cao hạ từ B xuống AC.
Vậy điểm M chính là giao của (d
1
) và (d
2
) .
Nhận xét : Thuật toán không thay đổi khi ta thay đổi tỉ số giữa các tam giác .
Bởi thế ta đi tới bài toán tổng quát .
Bài toán 9 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S

MAB
= k . S
MAC
= m . S
MBC
( với k , m R
+
)
Giải :
Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho S
MAB
= k . S
MAC
= m . S
MBC

mkkm
km
km
mkkm
mk
AA
MA
mkAA
MA
AA
MA
mAA
MA
kAA

MA
CC
MC
BB
MB
AA
MA
Do
CC
MC
m
BB
MB
k
AA
MA
S
Sm
S
Sk
S
S
ABC
MAC
ABC
MAB
ABC
MBC
++
=

++
=
++
==






++
=++=++
==

=

=
1
11
1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d
1
) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng
bằng
mkkm
km
++
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC .
Tơng tự ,ta cũng có
mkkm
m

BB
MB
++
=
1
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d
2
) song song với
cạnh AC cách AC một khoảng bằng
mkkm
m
++
đờng cao hạ từ B xuống AC.
Vậy điểm M chính là giao của (d
1
) và (d
2
)
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 7
A
B C
C
1
B
1
A
1
M
d

2
d
1
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
H ớng phát triển : Trong việc chứng minh hệ thức (1) có một giả thiết rất quan
trọng đó là : điểm M nằm trong tam giác ABC . Bây giờ ta làm "lỏng" giả thiết
này nhé ! Khi M nằm ngoài tam giác thì hệ thức (1) còn đúng không ? Chắc
chắn bạn thấy ngay không có hệ thức (1) nhờ phơng pháp chứng minh nó . Thế
nhng sẽ có hệ thức khác mà cách chứng minh nó có nét tơng tự nh nh cách
chứng minh hệ thức (1). Ta đi tới bài toán 10 :
Bài toán 10 : Cho điểm M nằm ngoài ABC, giả sử M thuộc phần mặt phẳng
giới hạn bởi các cạnh CB , cạnh AB và AC kéo dài . Gọi các giao điểm của AM ,
BM , CM với các cạnh CB , AC , AB lần lợt là A
1
, B
1
, C
1
.
Chứng minh rằng :
1
AA
MA
CC
MC
BB
MB
1
1
1

1
1
1
=+
Gợi ý : hình vẽ trong bài này có 4 trờng hợp xẩy ra nhng cách chứng minh lại
cho ta một kết quả . Mời các bạn giải quyết nhé !
Sau đây là 4 hình vẽ cho 4 trờng hợp , ở đó: d
1
// AB; d
2
// AC
( gianh giới chia ra 4 miền )
(1) (2)
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 8
A
B C
A
1
M
C
1
B
1
d
1
d
2
B
1
A

B C
C
1
M
d
2
d
1
A
1
Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học
(3) (4)
Chú ý : Loại trừ các điểm M nằm trên đờng thẳng d
1
, d
2
Tiểu kết
Vì thời gian viết chuyên đề này không nhiều bởi vậy tôi xác định viết nó
trong 2 năm . Hy vọng năm học tới sẽ giải quyết bài toán 10 và phát trển nó. Rất
mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp .
Xin trân trọng cám ơn !
Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 9
A
B
C
C
1
A
1
M

d
1
d
2
B
1
C
1
C
B
A
B
1
M
d
1
d
2
A
1