chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc 2 chuyên đề luyện thi tuyển sinh lớp 10 và ôn học sinh giỏi toán lớp 9 có ví dụ và lời giải chi tiết

CHỦ ĐỀ 1. RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN CHỨA CĂN BẬC 2
DẠNG 1.RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ
Loại 1:Đa Thức Đơn Giản Chứa Căn, Dễ Dàng Đặt Thừa Số Chung
M  45  245  80
CÂU 1.Rút gọn
Gỉai
M  45  245  80

 32.5  7 2.5  4 2.5
3 57 54 5 6 5
Câu 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A  2015  36  25
Gỉai
Có A  2015  36  25 = 2015 + 6 – 5 = 2016
Câu 3. Rút gọn biểu thức : A  5 8  50  2 18
Gỉai
A  5 8  50  2 18 = 5.2 2  5 2  2.3 2  10 2  5 2  6 2  (10  5  6) 2  9 2
Câu 4Rút gọn biểu thức : A  27  2 12  75
Gỉai
A  27  2 27  75  3 3  4 3  5 3  6 3
Câu 5.Rút gọn biểu thức: A= 12  27  48
Giải.
A  12  27  48  2 3  3 3  4 3  3
B  2 3  3 27  300
Câu6.Rút gọn biểu thức:
Gỉai
B  2 3  3 27  300
 2 3  3 32.3  102.3
 2 3  3.3. 3  10 3
 3
A  3 2  4 18
Câu 7.Rút gọn biểu thức:

Gỉai
A  3 2  4 9.2

A  3 2  12 2
A  15 2
Câu 8.Rút gọn các biểu thức sau:
A  2 3  4 27  5 48
Giải.
A  2 3  4 27  5 48  2 3  12 3  20 3  10 3
Câu 9.Rút gọn các biểu thức sau : M  (3 50  5 18  3 8) 2
Gỉai
1


M  (3 50  5 18  3 8) 2
 (15 2  15 2  6 2) 2
 6 2. 2  12
Câu 10.Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Giải.
A  (2 3  5 27  4 12) : 3
 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3
 5 3 : 3  5
Câu 11.Rút gọn các biểu thức sau: A  125  4 45  3 20  80
Giải.
A  5 5  12 5  6 5  4 5  5 5
Câu 12. Rút gọn biểu thức sau 2 9  25  5 4
Gỉai
2 9  25  5 4
=5+6-10
=1

2 32  5 27  4 8  3 75
Câu 13.
Gỉai
2 32  5 27  4 8  3 75

 2 42.2  5. 32.3  4. 2 2.2  3. 52.3
 8 2  15 3  8 2  15 3
=0
2
2
2
Câu 14.Rút gọn biểu thức: A  2 3.5  3. 3.2  3.3
Giải.

a ) A  2 3.52  3 3.22  3.32  2.5. 3  3.2. 3  3 3
 10 3  6 3  3 3  7 3

Câu 15. Tính: A  2 5  3 45  500
Giải.
A  2 5  3 45  500  2 5  3.3 5  10 5  5
M  (3 50  5 18  3 8) 2
Câu 16.Rút gọn các biểu thức sau :
Gỉai
M  (3 50  5 18  3 8) 2
 (15 2  15 2  6 2) 2
 6 2. 2  12
Câu 17. Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Giải.
2

A  (2 3  5 27  4 12) : 3
 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3
 5 3 : 3  5
Câu 18.Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
A  (2 3  5 27  4 12) : 3

 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3
 5 3 : 3  5
Câu 19.Rút gọn các biểu thức sau: A  3  12  27
Gỉai

A  3  22.3  32.3  3  2 3  3 3  2 3
B  20  45  2 5
Câu20. Rút gọn:
Gỉai
B  22.5  32.5  2 5  2 5  3 5  2 5  5
A  3( 27  4 3)
Câu21.Rút gọn biểu thức
Gỉai
A  3( 27  4 3)  81  4 9  9  4.3  21
LOẠI 2:ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG

B  (2  3) 2  3
Câu 1.Tính
Gỉai
Có B= | 2  3 |  3  2  3  3  2(Do 2> 3)
N  62 5  62 5
Câu2. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai

N  62 5  62 5
 5  2 5 1  5  2 5 1
 ( 5  1)2  ( 5  1)2
| 5  1|  | 5  1| 5  1  5  1  2
A  7  2 10  20 

1
8
2

Câu 3.Rút gọn các biểu thức:
Giải.
1
A  7  2 10  20 
8
2
1
 ( 5  2) 2  2 5  .2 2
2
| 5  2 | 2 5  2  5  2  2 5  2( Do 5  2  0)
3 5
3


B  (3 2  6) 6  3 3
Câu 4. Rút gọn biểu thức sau :
Gỉai

B  (3 2  6) 6  3 3  (3  3) 12  6 3

 (3  3) | 3  3 | (3  3)(3  3)  9  3  6
Câu 5. Rút gọn biểu thức sau B  ( 5  1) 6  2 5
Gỉai
b) B  ( 5  1) 6  2 5  ( 5  1) ( 5  1) 2
 ( 5  1) | 5  1|
 ( 5  1)( 5  1)
 5 1  4
A  7  2 10  20 

1
8
2

Câu 6. Rút gọn các biểu thức:
Gỉai
1
A  7  2 10  20 
8
2
1
 ( 5  2) 2  2 5  .2 2
2
| 5  2 | 2 5  2  5  2  2 5  2( Do 5  2  0)
3 5
B  (3 2  6) 6  3 3
Câu 7. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

B  (3 2  6) 6  3 3  (3  3) 12  6 3
 (3  3) | 3  3 | (3  3)(3  3)  9  3  6

P
Câu 8. Tính giá trị của biểu thức:
Gỉai
42 3
P

1 3





3 1
1 3

2



3 1
1 3

Câu 9.Rút gọn biểu thức:
Gỉai
b) A 

A

1

2 3
2 3

2
2

2 3
2 3
42 3
42 3



2
2
4
4

1
( ( 3  1) 2  ( 3  1) 2 )
2
1
1
 (| 3  1|  | 3  1|)  ( 3  1  3  1)  1
2
2


4

42 3
1 3


Câu10. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
21
B
2
21

2
15

2





42 3  62 5



2

3 1 5 1  3
3 5



2



B  21

 
2

3



2 3  62 5

42 3  62 5





2

  6
2

2 3  3 5



2

 15 15

2

3  1  5  1  15 15

 15 15  60

LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN
THỨC, QUY ĐỒNG
 PP QUY ĐỒNG

A

1
1
2 2 6


3 1
3 1
2

Câu 1 .Rút gọn biểu thức
GIẢI
3 1 3 1
2(2  3) 2 3

A


2 3  32 3  2
3 1
( 3  1)( 3  1)
2
1
1
b) B 

3 7 3 7
Câu 2. Rút gọn biểu thức :
Gỉai

1
1
6
6



3
2
97
3  7 3  7 32  7
5
P
2 5
5 2

Câu 3. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
5
P
2 5
5 2
5  2 5( 5  2)
5  10  4 5


52
5 2
B



5 5  10 5( 5  2)

5
52
52

Câu 4. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
P  5 2 5 2  2 5

P

Câu 5. Rút gọn biểu thức sau

1
1

5 2
52

B

1
1

3 2
3 2

Gỉai
B

1
1
3 2
3 2



3 2
3 2
3 2
3 2

 3 2 3 2 2 3

5




PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG

Câu 1. Rút gọn biểu thức :

P  ( 3  1)

3 3
2 3

Gỉai
3 3
3( 3  1) ( 3  1)( 3  1) 3  1
 ( 3  1)


1
2
2
2 3
2 3
2
1
 . 18
Câu 2. Tính: 2  2 3
Giải.

2
1
2
9.2
2( 2  1) 3 2
 18 



3
1 2
3
22 3
1 2
P  ( 3  1)

2 2
 2  2 2  2  2
1
PP LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG


Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Giải.
2
B
 28  54
7 6


B

2
 28  54
7 6

2( 7  6)
 7.4  9.6
( 7  6)( 7  6)

2 7 2 6
2 7 3 6
76
 2 7 2 6 2 7 3 6


5 6
CÂU 2: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:
Gỉai
1
8  10
2 1
2(2  5)
A



 2  1  2  1
1
2 1 2  5

2 5
CÂU 3.Cho A  3  1; B  3  1 . Tính giá trị của biểu thức
rút gọn hoặc biến đổi thích hợp
GIẢI
Ta có:

6

A

A  B; A.B;

1
8  10

2 1 2  5

A 2
; A  B2
B
bằng cách


A  B  ( 3  1)  ( 3  1)  2 3
AB  ( 3  1)( 3  1)  ( 3) 2  12  3  1  2
A
3 1
( 3  1) 2
42 3




 2 3
B
2
3  1 ( 3  1)( 3  1)
A2  B 2  ( A  B ) 2  2 AB  (2 3) 2  2.2  12  4  8

Câu 4.Rút gọn biểu thức:
Gỉai
P

2







3 1



3 1



3 1

P

3 3  3 

Câu 5. Rút gọn biểu thức :
Giải.
2
B
 28  54
7 6


2



B

2
3
 27 
3 1
3

 2

3 1
3 1

3  3 1 2 3  1 3

2
 28  54
7 6

2( 7  6)
 7.4  9.6
( 7  6)( 7  6)

2 7 2 6
2 7 3 6
76
 2 7 2 6 2 7 3 6


5 6

Câu6. Rút gọn biểu thức sau:
Giải.
5 5
5
3 5
A


52
5 1 3  5


A

5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

(5  5)( 5  2)
5( 5  1)
3 5(3  5)


( 5  2)( 5  2) ( 5  1)( 5  1) (3  5)(3  5)

5  5 9 5  15

4
4
5  5  9 5  15
 3 5 5
4
 3 5 552 5
 3 5 5

 5
LOẠI 4 KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HĐT TRONG CĂN
7

Câu 1.Cho biểu thức :
Gỉai
6
M
 | 2  3 |  75
2 3

M

6
 (2  3) 2  75
2 3
. Rút gọn M.

 6(2  3)  2  3  5 3  14

Câu 2. Rút gọn biểu thức

1
 74 3
2 3

A

Gỉai
1
 74 3
2 3
1

1

 44 3 3 
 (2  3) 2
2 3
2 3
A



1
2 3
2 3
 2 3 
 2 3 
2 3  4
1
2 3
(2  3)(2  3)

Câu 3. Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức:
Giải.
Ta có

A  ( 5) 2  22 

(2  3) 2
32

 54

A

2 3
 1  ( 1)  2
32

2 3

1 4  2 3
Câu 4.Thu gọn biểu thức
Giải.
2 3
2 3
a) A 

1 4  2 3 1 4  2 3



2 3

2 3



1  3  2.1. 3  1 1  3  2.1. 3  1
2 3
1  ( 3  1) 2



2 3
1  ( 3  1) 2



2 3
2 3

1 3 1 1 3 1



2 3 2 3

2 3 2 3

(4  4 3  3)  (3  4 3  3)
4 1
14

1
 14


8

A  ( 5  2)( 5  2) 



2 3
1 4  2 3

74 3
32


2 3

A



74 3
Câu 5.Rút gọn biểu thức :
Giải.
2 3
2 3
A

74 3
74 3
Rút gọn biểu thức



2 3
(2  3)

74 3

2 3



2

2 3

(2  3) 2

2 3 2 3

2 3 2 3

 (2  3) 2  (2  3) 2
 ( 3  2  2  3)(2  3  2  3)
8 3
A
Câu 6: Rút gọn biểu thức sau:
3 34
34

2 3 1
52 3

A




3 34
34

2 3 1
52 3

3


 2 3

 

3  4 2 3 1
2

1



  2 3

3 4 52 3
52

2

22  11 3
26  13 3

11
13

 2 3  2 3
42 3
42 3

2
2
2
2 
1 

3 1 
3 1 

2

1

3 1  3 1
2
1

.( 2)   2
2














B  3 85  62 7  3 85  62 7
Tính
giá
trị
biểu
thức:
Câu 7.
GIẢI

B  3 85  62 7  3 85  62 7
3
3
Đặt a  85  62 7 ; b  85  62 7  a  b  B
Mặt khác:

9

a 3  b3  (85  62 7)  (85  62 7)  170
ab  3 85  62 7 3 85  62 7  3 852  (62 7) 2  3 19683  27
Ta có:
B 3  ( a  b)3  a 3  b3  3ab(a  b)
 170  3.27.B
 B3  81B  170  0
2
 (B 2)(B
 22B4 3
85)  0
14
0

 B  2
Vậy B=2
RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ
A  ( a  2)( a  3)  ( a  1) 2  9a với a  0
Rút
gọn
biểu
thức
VÍ DỤ.
Gỉai
( a  2)( a  3)  a  a  6
( a  1)2  a  2 a  1

A  a  a  6  ( a  2 a  1)  3 a
A= -7
 PP ÁP DỤNG HĐT

M

(a  b) 2  ( a  b) 2
ab
với ab ≠ 0

Câu 1.Rút gọn biểu thức
Gỉai
(a  b) 2  ( a  b) 2 (a  b  a  b)(a  b a  b) 2a.2b
M


4
ab
ab
ab
1 a a
1 a 2
P(
 a ).(
)
1 a
1 a
Câu 2.Rút gọn biểu thức:
(với a  0;a  1)
Gỉai
Với a  0 a  1 ta có:
1 a a
1 a 2

P(
 a ).(
)
1 a
1 a
2

 (1  a )(1  a  a 2 )


1 a

 a 


 (1  a )(1  a ) 
1

a



1
 (1  a ) 2 .
1
(1  a ) 2

Câu 3.Rút gọn biểu thức B  x  1  2 x  2  1  x  2 với 2 ≤ x < 3
Gỉai
B

10

x  1  2 x  2  1  x  2 với 2 ≤ x < 3


B  ( x  2  1)2  1  x  2 | x  2  1| 1  x  2
  x  2 11 x  2  2
(Vì 2 < x < 3 => x  2 – 1 < 0)
2 xx
1
x 2
A(

) : (1 
)
x
x

1
x

1
x

x

1
Câu 4.Rút gọn biểu thức:
với x ≥ 0, x ≠ 1

Giải.
2 xx
1
x 2
A(

) : (1 
)
x
x

1
x

1
x

x

1
a)
với x ≥ 0, x ≠ 1
 2 xx
x  x  1  x  x  1  ( x  2)
 


3
3
:

x  x 1
 ( x ) 1 ( x ) 1 


2 x  x  x  x 1
x  x 1
.
( x  1)( x  x  1) x  x  1  x  2



2 x  x  x  x 1
( x  1)( x  1)

x 1
( x  1)( x  1)
1

x 1
Câu 5


x x 1 x 1

x 1
x  1 (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1
Cho biểu thức
khi x  2016  2 2015
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

A

 x   1   x 1  x  1  x  x  1 
A

x 1
x 1
 x  1  x  1
x  x  1   x  1
x


3



x 1

2

x 1

A 1 

x





x 1

x 1

x 1

1
x 1

Ta có x  2016  2 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có

x  2015  2 2015  1 

A 1 



2

2015  1  x  2015  1

1
2015

Câu 6.Cho biểu thức:
Rút gọn D.
11



D  (1  x ) 2 . x  1  2 x

. Thay vào biểu thức A – 1 ta được:


D  ( x  1) 2 . ( x  1) 2
| x  1| .( x  1)
-

Nếu

x  1  0  x  1  D  ( x  1)( x  1)  x  1

-

Nếu

x  1  0  0  x  1  D  ( x  1)( x  1)  1  x

Q(

1
2 x  x 1 x

)(

)
x 1 x 1
x 1

x  x ( với x>0;x  1)

LH CÂU 33. Cho biểu thức
1) Rút gọn biểu thức Q .
2) Tìm các giá trị của x để Q 1.
GIẢI

1) (1,0 điểm)
Với điều kiện x  0 và x  1, ta có

x 1
2   x ( x  1)
1 x 
Q  

.





x 1
x (1  x ) 
 ( x  1)( x  1) x  1  
 x 1
2 
1
 

.( x 

)


x
 x 1 x 1 
 x 1   x 1 
x 1
 
.




x
 x 1   x 
2) (0,5 điểm) Với x  0 và x  1, ta có
Do đó
x 1
Q  1 
 1
x

Q

x 1
x

 x  1   x
 2 x  1
1

 x  (TM )
4
1
x
4 thì Q= -1
Vậy với

PP ÁP DỤNG QUY ĐỒNG
1
1
B

1 x 1 x
1. Rút gọn biểu thức :


Câu
Gỉai
(1  x)  (1  x) 2 x
B

(1  x)(1  x) 1  x 2

Câu 2.Rút gọn biểu thức:
12

B

4
2

x 5


x  1 với x ≥ 0, x ≠ 1
x 1 1 x


Gỉai
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
4
2
x 5
B


x 1
x 1 1 x


4( x  1)
2( x  1)
x 5


( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)



4( x  1)  2( x  1)  ( x  5)
( x  1)( x  1)

x 1

( x  1)( x  1)
1
x 1
Vậy B =


1
x 1

B

Câu 3.Rút gọn biểu thức:
x
2 x
1
B


x  1 ( x  1)( x  1)
x 1
B

x

2 x
1


x 1 x 1
x  1 với x  0 và x  1


x ( x  1)  2 x  ( x  1) x  x  2 x  x  1

( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)

x  2 x 1
( x  1) 2
B


( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)

x 1
x 1

x x
x 1

x  1 .Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Câu 5.Cho biểu thức G = x  1
Điều kiện x  0 và x  1
G

x x
x 1



x 1
x 1

x ( x  1) ( x  1)( x  1)

 x  ( x  1)  1
x 1
x 1

Câu 6.Cho biểu thức:
Có
P


P

2 x 2 x

x 1
x  1 điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P

(2  x )( x  1) (2  x )( x  1)

( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)

( x  x  2)  ( x  x  2) 2 x

x 1
x 1

Câu 9.Rút gọn biểu thức
Với x  0 và x  4 ta có:

13

A(

x
2
x4

):
x 2
x 2
x  2 với x  0 và x  4


A(
(

x
2
x4

):
x 2
x 2
x 2

x ( x  2)
2( x  2)
x2

).
( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) x  4

x2 x 2 x 4 x 2
.
( x  2)( x  2) x  4
1

x 2


x 2
x4



1
1
x 2

)
x 2
x 2
x với x > 0 và x ≠ 4..Rút gọn biểu thức
Câu 10.
1

1
x 2
B(

)
x 2
x 2
x
B(



( x  2)  ( x  2) x  2
.
( x  2)( x  2)
x
2 x ( x  2)



x ( x  2)( x  2)
( x  0; x  4)

2



x 2

Câu 11.Rút ngắn biểu thức:

1
1
a 1
P(

):
a 1
a  1 a 1
ĐK: a  0; a  1

P(

1
1
a 1

):
a 1
a  1 a 1

a  1  ( a  1) a  1
:
( a  1)( a  1) a  1
2 a 1

.
a 1 a 1
2

a 1



Câu 12.Rút gọn các biểu thức sau:
B(


1
x 2



1
x 2

x 2

)

x

( x  2)  ( x  2) x  2
.
( x  2)( x  2)
x



2 x ( x  2)

x ( x  2)( x  2)

( x  0; x  4)
14



2
x 2

B(

1

x 2

1
x 2
)
x 2
x với x > 0 và x ≠ 4.


a 1
a 1

a 1
a  1 (với a  R, a  0 và a  1).Rút gọn biểu thức A.

A

Câu 13: Cho biểu thức

Giải.
a 1
a  1 ( a  1) 2  ( a  1) 2 a  2 a  1  a  2 a  1 4 a
A




a 1
a 1
a 1
a 1
a 1
1
1
1
B(

):
(x  0; x  1)
x 1
x x x
Câu 15. Rút gọn biểu thức :
B(


1
1
1


):

x 1
x x x

x  ( x  1) x  x
.
1
x ( x  1)

1
x x
.
1
1
x x
Q(

1

x 4

1
x 4
)
x 4
x

Câu 16. Rút gọn các biểu thức:
Giải.

x 4 x 4
x 4
2 x
x 4
Q
.

.
( x  4)( x  4)
x
( x  4)( x  4)
x
2

x 4
1 x 1
Q  (1 
).
x

1
x với x > 0, x  1.
Câu 17.Rút gọn các biểu thức:
 x  1  x  1 1
2 x 1
2
Q

.


(0  x  1)
.
x 1 x
x 1
 ( x  1)  x
P(

1
1

)( x x  x)
x
x 1
với x>0

Câu 18.Rút gọn biểu thức:
1
1
P(

)( x x  x)
x
x 1
Với x > 0 có



x 1 x
.x ( x  1)
x ( x  1)

1
.x.( x  1)  x
x ( x  1)

Câu 19.Cho biểu thức:
Rút gọn P

15

P(

1
1
a 1
a 2

):(

)
a 1
a
a 2
a  1 Với a>0;a  1;a  4


P(

1
1
a 1

a 2

):(

)
a 1
a
a 2
a 1



a  a  1  ( a  1)( a  1) ( a  2)( a  2) 
:


a ( a  1)  ( a  2)( a  1) ( a  2)( a  1) 




1
( a  2)( a  1)
a 2
.

a ( a  1) (a  1)  (a  4)
3 a

3

4
12


( x  0; x  4)
x

4
x

2
x

2
Câu 20.Rút gọn biểu thức:
3
4
12
B


( x  0; x  4)
x

4
x

2
x


2
Rút gọn biểu thức:
B

3( x  2)  4( x  2)  12
( x  2)( x  2)
=
7 x  14
= ( x  2)( x  2)
7( x  2)

(
x

2)(
x

2)
=

Câu 21.Rút gọn biểu thức
Với x  0 và x  1 ta có:
A(

A(

7
x 2

3 x

1
x 1

 3).
x 1
x 1
x  2 với x ≥ 0 và x ≠ 1

3 x
1
x 1

 3).
x 1
x 1
x 2



3 x ( x  1)  ( x  1)  3( x  1)( x  1) x  1
.
( x  1)( x  1)
x 2



3 x  3 x  x  1  3x  3 x  1
.
x 1
x 2

2( x  2) x  1
.
x 1
x 2
2

x 1
Câu 22. Cho biểu thức
 4 x
8x   x  4
1 
P  

:




 
x 
 2 x 4 x   x2 x
với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 Rút gọn P
GIẢI
Ta có:


16

 4 x
8x   x  4
1 
P  

:




 
x 
 2 x 4 x   x2 x


4 x .(2  x )  8 x
x  4  ( x  2)
:
(2  x )(2  x )
x ( x  2)



4 x  8 x
2 x 2
:
(2  x )(2  x ) x ( x  2)
4 x



2 x
2x

x 1
P

.

Vậy
Câu 23.

x ( x  2)
2 x 2

2x
x 1

1   a 1
a 2
 1
P



: 
a 1
a   a 2
a 1 


 . Rút gọn biểu thức P
Cho biểu thức
GIẢI
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
a  ( a  1) ( a  1)( a  1)  ( a  2)( a  2)
P
:
a ( a  1)
( a  2)( a  1)
1
(a  1)  (a  4)
1
( a  2)( a  1)
:

.
3
a ( a  1) ( a  2)( a  1)
a ( a  1)



a 2
3 a
Câu 24.Rút gọn các biểu thức sau:
1
1
3 a
N (


):
( a  0; a  4)
a 2
a 2 a4
GIẢI
1. Ta có:


N (


1
1
3 a

):
a 2
a 2 a4

a 2 a 2 a4
.
( a  2)( a  2) 3 a

2 a a4
.
a4 3 a
2

3
CÂU 25.



 3 x 3 x
36 
x 5
Q  


:
( x  0; x  9; x  25)

3 x 3 x x 9 
3 xx


a/ Rút gọn
17


b/ Tìm x để Q < 0
GIẢI
a) Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:
 3 x 3 x
36 
x 5
Q  


:



 3 x 3 x x 9  3 x  x

(3  x )2  (3  x )2  36 3 x  x

.
(3  x )(3  x )
x 5


(9  6 x  x )  (9  6 x  x) x (3  x )
.
(3  x )(3  x )
x 5



(12 x  36)(3  x ) x
12 x

(3  x )(3  x )( x  5)
x 5

b) Với x > 0 thì 12 x  0
Do đó
12 x
Q  0 
 0  x  5  0  0  x  25
x 5
Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔ 0  x  25, x  9

Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9}
**Câu 26.Cho biểu thức A:
2
3
5 x 7
2 x 3
A(


):
( x  0; x  4)
x  2 2 x  1 2 x  3 x  2 5 x  10 x
Rút gọn biểu thức A.
Với x>0;x  4 , biểu thức có nghĩa ta có:
2
3
5 x 7
2 x 3
A(


):
x  2 2 x  1 2 x  3 x  2 5 x  10 x


2(2 x  1)  3( x  2)  (5 x  7)
2 x 3
:
( x  2)(2 x  1)
5 x ( x  2)



2 x 3
5 x ( x  2)
.
( x  2)(2 x  1)
2 x 3



5 x
2 x 1


.
PP LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU
RỒI ĐƠN GIẢN HAY QUY ĐỒNG

P

x 2
2x  2

x2
2 xx 2
với x > 0, x  2

Câu 1.Rút gọn biểu thức
Với điều kiện đã cho thì

x 2
2( x  2)
x
2
P



1
2 x ( 2  x ) ( x  2)( x  2)
2 x
x 2

x yy x
Câu2.Chứng minh rằng:
18

xy

:

1
 x y
x y
; với x>0;y0 và x  y


x yy x
xy

:

1

x y

xy ( x  y )
xy

B

.( x  y )  x  y

a b b a
a b

ab
a b

Câu 3. Rút gọn biểu thức:
a b b a
a b
ab ( a  b ) ( a  b )( a  b )
B



ab
a b
ab

a b
B  a  b  a  b  2 a với a,b, là số dương.

a  a 
a 5 a 
A   3 
3



a  1 
a  5 


Câu 4. Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0, a ≠ 25

a  a 
a 5 a 
A   3 

3 


a 1  
a  5 

với a ≥ 0, a ≠ 25

a ( a  1)  

a ( a  5) 
  3 
3





a 1 
a  5 


 (3  a )(3  a )
 9 a
 a  a  a  a 
P  1 

 1  1  a 
,
a

1


 với a ≥ 0; a ≠ 1
Câu 5. Rút gọn biểu thức:
Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có
2

a ( a  1)  

a ( a  1) 
P  1 
 1 
  1 a 1 a  1 a  1 a
a 1  
1 a 




Câu 6. Rút gọn biểu thức:

M (





 

a a
a a
 1)(1 
)
a 1
1  a với a  0; a  1

a a
a a
 1)(1 

)
a 1
1  a với a  0; a  1
a ( a  1)
a ( a  1)
(
 1)(1 
)
a 1
1 a
M (

 ( a  1)(1  a )
 1 a
Câu 7. Rút gọn biểu thức:

M (

a a
a a
 1)(1 
)
a 1
1  a với a  0; a  1

a a
a a
 1)(1 
)
a 1

1  a với a  0; a  1
a ( a  1)
a ( a  1)
(
 1)(1 
)
a 1
1 a
M (

 ( a  1)(1  a )
 1 a
Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi):
19


 a a   a2 a 
P   1 
. 1 

a 1 
a  2 


với a  0; a  1
 a a   a2 a 
P   1 

. 1  a  2 


a

1


 với a  0; a  1

a ( a  1)
a ( a  2)
)(1 
)
a 1
a 2
 (1  a )(1  a )
 (1 

 12  ( a )2  1  a

2
1
1

):
x4
x 2
x 2
Câu 9.Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
x  0
x  0

 

x  4
ĐKXD:  x  4  0
P(

P(

2

x4

1
1
2 x 2
):

.( x  2) 
x 2
x  2 ( x  2)( x  2)

x
x 2

x
3

x 2 2
 2 x  3 x  6  x  6  x  36(TM )
P

3

2

1
x
1

):
x 1 x 1
x 1
Câu 10.Cho biểu thức
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
Giải.
x  0

Điều kiện  x  1
x 1 x
1
1
x 1
A
:

.

1
( x  1)( x  1) x  1 ( x  1)( x  1)
1

4
P

x 2 x4
Câu 11.Cho biểu thức
A(

1
x 1

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
Giải.
ĐKXĐ : x 0 , x  4 (0,5 đ)
Rút gọn:
1
4
x 24
x 2
P



x  2 x  4 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
1

x 2
(

20

P(

x 1
1

)( x  3)
x 9
x 3
.Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

Câu 12.Cho biểu thức
Giải.
x 1
1
P(

)( x  3)
x9
x 3
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9


x 1
x 3
P

 ( x  3)
 ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) 




x  1  ( x  3)
( x  3)( x  3)
4

.( x  3)

x 3

P(

Câu 13.Cho biểu thức
Chứng minh rằng P  x  3
P(

x 1
2
x 4

).( x  1 
)
x 2 x4
x
(với x > 0 và x ≠ 4).

x 1
2
x 4


).( x  1 
)
x 2 x4
x

 ( x  1)( x  2)
2   ( x  1) x
x 4
 

.





x4
x4
x
x 




x3 x x4
.
x4
x



x ( x  3)
x

 x 3

Câu 14.Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì
Với x  0 và x  1 ta có
x
1
x
1
x x 1




x 1 x  x
x 1
x ( x  1)
x ( x  1)


x 1
( x  1)( x  1)


x ( x  1)
x ( x  1)

Câu 15.Rút gọn biểu thức:
Ta có:

21

x
1


x 1 x  x

x 1
x

A

x
x  2x

x  1 x  x Với x > 0; x ≠ 1.

x 1
x


A


x
x  2x



x 1 x  x

x
x  2x

x 1
x ( x  1)

x
x  2x


x ( x  1)
x ( x  1)

x (x  2 x  1)
x ( x  1)

( x  1) 2
 x 1
x 1
Kế t luận: A  x  1


A

x
x  2x


x  1 x  x Với x > 0; x ≠ 1.

Câu 16. Rút gọn biểu thức:
Ta có:
x
x  2x
x
x  2x
A



x 1 x  x
x 1
x ( x  1)
x
x  2x


x ( x  1)
x ( x  1)




( x  1) 2
x 1

x (x  2 x  1)

x ( x  1)

 x 1

Câu 17. Cho biểu thức

P

P(

x2
1
x 1

).
x2 x
x 2
x  1 với x > 0 và x khác 1

x 1
x

Chứng minh rằng
x2 x
x  1 ( x  1)( x  2)
x 1
P(
).
(
).


x ( x  2)
x 1
x ( x  2)
x 1

Q

x 1
x

x 1 5 x  2

x  4 với x>0, x  4. Rút gọn biểu thức Q.
x 2

Câu 18. Cho biểu thức
Giải.
x  1 5 x  2 ( x  1)( x  2)  5 x  2
Q


x4
x 2
x4
Với


x 3 x  25 x 2 x 2 x
x ( x  2)




x4
x4
( x  2)( x  2)

B

x
x 2

x 1 2 x 1

x
x  x . Rút gọn biểu thức B.

Câu 19. Với x > 0, cho biểu thức
Giải.
( x  1)( x  x )  (2 x  1) x x x  2 x
1
B

 1

x (x  x )
x xx
x 1
Câu 20: Rút gọn các biểu thức
3 3

a ) P  ( 3  1)
2 3
22

x 2
x 1


b) Q  (

1
1
2

)(1 
)
x 2
x 2
x với x>0 và x khác 4

Giải.

a ) P  ( 3  1)

3 3

3( 3  1)

 ( 3  1)



( 3  1)( 3  1) 3  1

1
2
2

2 3
2 3
1
1
2
x 2 x 2
x 2
b) Q  (

)(1 
)(
)(
)
x 2
x 2
x
( x  2)( x  2)
x
(

2 x
x 2

)(
)
( x  2)( x  2)
x

Câu 21. Rút gọn biểu thức

2
x 2

B

x  12
6 x  36



6
x 6 x

( x  0 va x  36)

Với x>0 và x khác 36
B
B=

x  12
6
x  12
6




0,5
6 x  36 x  6 x 6( x  6)
x ( x  6)
x ( x  12)  6.6 x  12 x  36

0,5
6 x ( x  6)
6 x ( x  6)

( x  6) 2
x 6
B=

0,5
6 x ( x  6)
6 x
1
1
x

)
2
x  1 ( x )  x x  1 với x>0 và x  1

C (

Câu 22. Rút gọn:

C (

x
1
x

)
x ( x  1)
x ( x  1) x  1
x ( x  1)

x ( x  1)( x  1)

C

1
x 1

Câu 23. Rút gọn biểu thức
x > 0 và x khác 4 có
P(
(


1
2
x

)
x  2 x  2 x x  2 với x > 0; x ≠ 4.

1
2
x

)
x 2 x2 x x 2

x
2
x

)
x ( x  2)
x ( x  2) x  2
x 2
x
.

x ( x  2) x  2

1
x 2

Câu 24. Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A.

23

P(

A(

x 2
x 2
x

):
x  2 x 1 x 1
x  1 với x > 0 và x khác 1.


A(

x 2
x 2
x

):
x  2 x 1 x 1
x 1

 x 2
 x 1
x 2
 A  


2
. x

(
x

1)
(
x

1)(
x

1)


 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1)  x  1
 


2
2
. x
 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) 


x  x  2 x  2  ( x  x  2 x  2) x  1
.
( x  1) 2 ( x  1)
x

2 x
x 1

.
2
( x  1) ( x  1)
x
2

x 1
2
Vậy A= x  1


Câu 25. Cho biểu thức:
Với x  0; x  4 ta có:
P

P

x  x 2 x 1 x  6 x  4


x4
x 2
x 2
với x  0; x  4 .Rút gọn biểu thức P.

x  x 2 x 1
x6 x 4


x 2

x  2 ( x  2)( x  2)



( x  x )( x  2)  (2 x  1)( x  2)  x  6 x  4
( x  2)( x  2)



x x  2x  x  2 x  2x  4 x  x  2  x  6 x  4
( x  2)( x  2)



x x  2x  x  2
( x  2)( x  2)





x( x  2)  x  2
( x  1)( x  2)

( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
x 1

x 2

x 1
Vậy với x  0; x  4 thì P= x  2
Câu 26. Rút gọn biểu thức:
Giải.

B(

x
x 1
x 6
x2


):(
 1)
x 2
x 2 x4
x 2

Đặt ĐK x khác 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp

24


x
x 1
x 6
x2



):(
 1)
x 2
x 2 x4
x 2

B(


  x 2
x( x  2)
( x  1)( x  2)
x 6
x 2
 


:




 
x  2 
 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)   x  2
 x x  2 x  ( x x  2 x  x  2)  ( x  6)  x  2  ( x  2)
 

:
( x  2)( x  2)

x 2


4x  8
x 2
.
4
( x  2)( x  2)
x2

x 2


 x x  1 x x  1  2( x  2 x  1)
A  

:
x 1
x x
x x 


Câu 27. Cho biểu thức:
(với x > 0 và x ≠ 1)
Rút gọn biểu thức A
Giải.
 ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) 
2( x  1) 2
A


:

x ( x  1)
x ( x  1)

 ( x  1)( x  2)

 x  x  1 x  x  1  2( x  1)
 


:
x
x
x 1




2 x
x 1
.
x 2( x  1)
x 1
x 1



Câu28. Cho biểu thức:
Rút gọn A.

A


A

x 1 1
1
:(

)
x x
x
x  1 với x > 0;x  1
2

x 1 1
1
:(

)
x x
x
x 1
2

x 1
x 1  x
:(
)
x( x  1)( x  1)

x ( x  1)

1
x ( x  1)
.
1
x( x  1)
1

x


Câu 29. Cho biểu thức
Rút gọn P
Giải.
Rút gọn P
25

P

4
3
6 a 2


a  1 (với a  0 và a  1)
a 1
a 1