Phương pháp số giải các bài toán khí động lực học nhiều chiều
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 86 trang )
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
1
PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG
LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU
——————————————————
Chủ biên Godunov Sergey Konstantinovich
Dịch bởi nhóm VnCFD Research Group
NHÀ XUẤT BẢN “KHOA HỌC”
MATXCƠVA 1976
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
2
Lời giới thiệu
Cuốn sách của tác giả Godunov S.K. mang tên “PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU”. Khi dịch sang tiếng
Việt chúng tôi quyết định đổi tên thành “KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC TÍNH TOÁN
GODUNOV, LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG” cho phù hợp với bản chất nội dung
của nó.
Cuốn sách này là một tài liệu giá trị, như một chuyên đề trình bày phương
pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải
cho rất nhiều dạng bài toán thường gặp trong động lực học chất khí, động lực học
khí quyển và nhiều lĩnh vực khác của ngành cơ học chất lưu.
Bên cạnh những vấn đề cổ điển, một đòi hỏi mới đặt ra cho phương pháp
tính là phương pháp phải đảm bảo được tính “thích ứng” với những “đặc thù” của
từng dạng bài toán cụ thể. Từ đó nảy sinh ra các vấn đề như sử dụng lưới chuyển
động, khớp sóng xung kích, các dạng điều kiện biên khác nhau, … Tất cả những
yêu cầu trên, cả cổ điển và hiện đại, đều được trình bày cụ thể trong cuốn sách này.
Cuốn sách là tài liệu bổ ích cho đông đảo bạn đọc đến từ nhiều lĩnh vực
khoa học khác nhau, dành cho các nghiên cứu sinh, sinh viên chuyên ngành
phương pháp tính và ứng dụng phương pháp tính vào các bài toán môi trường chất
lưu liên tục.
Các phương pháp tính hiện đại kết hợp với sự phát triển công nghệ tính toán
đã và đang chứng minh thế mạnh và tương lai ưu thế của CFD. Các vấn đề được
trình bày trong cuốn sách rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng, là nền tảng triết
lý để am hiểu phương pháp. Thấy được tầm quan trọng này, nhóm chúng tôi quyết
định chuyển thể nội dung sang tiếng Việt để đông đảo bạn đọc có thể tiếp cận được
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
3
nó. Hi vọng rằng, với những nổ lực của chúng tôi, các bạn sẽ có trong tay cuốn tài
liệu vô cùng quý báu này.
Do hạn chế về mặt thời gian và đặc thù công việc các thành viên của nhóm,
thời gian đầu chúng tôi chưa thể dịch toàn vẹn cuốn sách. Những vấn đề được xem
là quan trọng cũng như cơ bản nhất được ưu tiên trình bày trước.
Bạn đọc quan tâm có thể đề nghị chúng tôi dịch các bài, các chương còn lại.
Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện hơn về mặt nội dung từ phía bạn đọc được
chúng tôi đón nhận và biết ơn.
VnCFD Research Group
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
4
Phụ lục
Lời tác giả
Phần I. Cơ sơ lý thuyết
Chương I. Xây dựng sơ đồ sai phân cho các hệ phương trình hyperbol tuyến tính
Bài 1. Âm học một chiều
Bài 2. Sơ đồ sai phân
Bài 3. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ
Bài 4. Các ví dụ minh họa lời giải bằng phương pháp số
Bài 5. Sơ đồ cho bài toán hỗn hợp
Bài 6. Nghiên cứu độ chính xác của sơ đồ trên biên
Bài 7. Âm học hai chiều
Bài 8. Tính ổn định của sơ đồ hai chiều cho âm học
Bài 9. Sơ đồ tường minh một chiều cho hệ hyperbol bất kì
Bài 10. Sơ đồ tường minh hai chiều cho hệ hyperbol bất kì
Bài 11. Các sơ đồ sai phân không tường minh
Chương II. Các hệ hyperbol tựa tuyến tính hai biến
Bài 12. Động lực học khí một chiều không ổn định
Bài 13. Phân rã gián đoạn
Bài 14. Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều
Bài 15. Các dạng điều kiện biên cho các bài toán một chiều
Bài 16. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ một chiều
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
5
Bài 17. Minh họa sơ đồ một chiều cho các bài toán không ổn định
Bài 18. Dòng chảy siêu âm hai chiều không ổn định
Bài 19. Bài toán “tương tác hai dòng chảy siêu âm phân bố đều”
Bài 20. Các ví dụ minh họa độ chính xác của sơ đồ ổn định
Bài 21. Sơ đồ không tường minh một chiều cho các bài toán tựa tuyến tính
Chương III. Xây dựng các sơ đồ sai phân cho các bài toán nhiều chiều
Bài 22. Các định luật bảo toàn và các phương trình động lực học khí
Bài 23. Lưới chuyển động và các phương pháp đơn giản nhất để tạo lưới
chuyển động
Bài 24. Các công thức sơ đồ cho các bài toán hai chiều không ổn định
Bài 25. Tính ổn định và chọn giá trị “bước” thời gian
Bài 26. Sơ đồ cho các dòng chảy siêu âm không gian không ổn định
Bài 27. Sơ đồ cho các dòng chảy không gian
Chương IV. Lời giải các bài toán động lực học khí trong các hệ tọa độ cong bất kì
Bài 28. Hệ thống hóa các phương pháp mô tả bức tranh dòng chảy
Bài 29. Hệ tọa độ không ổn định để khớp các biên di động. Chọn tham số
Bài 30. Các phương trình động lực học chất khí ở dạng định luật bảo toán
cho hệ tọa độ cong tuyến tính
Bài 31. Tính toán tọa độ các điểm biên trong quá trình di chuyển
Bài 32. Phương trình cho xây dựng lưới
Bài 33. Hoàn thiện các thuật toán xây dựng lưới trên máy
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
6
Bài 34. Hệ phương trình sai phân cho các bài toán động lực học khí không
ổn định trong hệ tọa độ cong tuyến tính cục bộ
Bài 35. Tính toán các đại lượng thủy động trên lớp trung gian
Bài 36. Một số điểm lưu ý về nguyên tắc tái xây dựng phương pháp
Phần II. Minh họa các tính năng của phương pháp tính
Chương V. Các bài toán động lực học khí không ổn định
Bài 37. Nhiễu xạ sóng xung kích trên vật thể hai chiều
Bài 38. Tương tác sóng xung kích hình cầu với mặt phẳng
Bài 39. Nổ vật thể không đối xứng cầu
Bài 40. Một số bài toán động lực học khí không ổn định trong kênh dẫn
Bài 41. Truyền sóng xung kích trong một trường khí dẫn trong ống tròn khi
có từ trường
Bài 42. Tính toán va đập của các bản kim loại
Chương VI. Tính toán các dòng chảy hỗn hợp bằng phương pháp thiết lập
Bài 43. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval hai chiều
Bài 44. Các dòng chảy hỗn hợp trong lưới phẳng
Bài 45. Giãn nở quá tới hạn của luồng khí vào không gian rộng
Bài 46. Va chạm “chuẩn” của luồng siêu âm với tường
Bài 47. Chảy bao các vật thể phẳng và đối xứng trục
Bài 48. Chảy bao vật thể không gian với vận tốc gần âm
Bài 49. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval không gian
Chương VII. Các dòng siêu âm ổn định
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
7
Bài 50. Chảy phẳng và chảy đối xứng trục của khí lý tưởng
Bài 51. Dòng chảy trong phần không gian giãn của các ống phun không gian
Bài 52. Giãn nở khuyết của các luồng khí thoát ra từ ống phun với mặt cắt
đầu ra không tròn
Bài 53. Tương tác hông của các luồng siêu âm đối xứng trục với các mặt rắn
Bài 54. Chảy bao vật thể nón
Bài 55. Chảy bao các vật thể đuôi nhọn với vận tốc siêu âm
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
8
CHƯƠNG I. XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL TUYẾN TÍNH
BÀI 1. ÂM HỌC MỘT CHIỀU
Phương trình âm học một chiều. Các định luật bảo toàn. Lời giải tổng quát
và lời giải khi có điều kiện biên. Bài toán về phân rã gián đoạn.
Đầu tiên chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân mô tả sự lan truyền sóng
âm phẳng
1
.0
,0
1
2
00
0
x
u
c
t
p
x
p
t
u
(1.1)
Trong đó
u
— vận tốc môi trường truyền sóng,
p
— áp suất trong môi
trường đó (hay chính xác hơn, là các dao động nhỏ của vận tốc và áp suất so với
giá trị của chúng trong môi trường ổn định, những dao động này được gây ra bởi
sự truyền sóng âm trong môi trường đó). Các hằng số
00
,c
phụ thuộc vào từng
môi trường:
0
— mật độ của môi trường,
2
0
c
đặc trưng cho độ nén của môi
trường.
Lấy tích phân hệ (1.1) theo một miền bất kỳ với biên
trên mặt phẳng biến
tx,
và chuyển sang dạng tích phân đường, ta được:
.0
,0
0
2
0
0
udtdx
c
p
pdtudx
(1.2)
1
Để tìm hiểu thêm về phương trình âm học, có thể tìm hiểu thêm ở quyển [88], bài 63 hoặc hai chương đầu
của quyển [76].
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
9
Tích phân đầu tiên tương ứng với định luật bảo toàn động lượng, tích phân
thứ hai — định luật bảo toàn khối lượng. Ngoài ra chúng ta có thể nhận được đinh
luật bảo toàn năng lượng bằng cách sau. Trong hệ (1.1), nhân phương trình đầu với
u
0
, phương trình sau với
2
00
cp
, sau đó lấy tổng theo hai vế ta có được:
.0
22
2
00
22
0
pu
xc
pu
t
(1.3)
Tương tự như trên, ta thu được đẳng thức tích phân, nó sẽ được gọi là định
luật bảo toàn năng lượng sóng âm
2
.
.0
22
2
00
22
0
pudtdx
c
pu
(1.4)
Quay trở lại hệ (1.1), qua một vài biến đổi không mấy phức tạp thì chúng ta
có thể đưa hệ về dạng đơn giản hơn, về sau này ta sẽ gọi nó là dạng chính tắc. Có
thể thu được dạng chính tắc bằng cách sau, nhân phương trình thứ hai với
00
1 c
,
sau đó lấy phương trình thứ nhất cộng và trừ đi phương trình vừa nhận được, ta thu
được hai phương trình dưới đây:
.0
,0
00
0
00
00
0
00
c
p
u
x
c
c
p
u
t
c
p
u
x
c
c
p
u
t
(1.5)
Nếu ký hiệu
,,
0000
Z
c
p
uY
c
p
u
(1.6)
thì hệ (1.5) sẽ chuyển về dạng đơn giản sau
2
Về định luật bảo toàn năng lượng trong âm học, có thể xem bài 64 trong [88] hoặc chương 4 của [76].
Vấn đề này cũng được thảo luận trong [114] tr 249-256.
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
10
,0,0
00
x
Z
c
t
Z
x
Y
c
t
Y
(1.7)
Từ đó ta có được
tcxgZtcxfY
00
,
,
trong đó
f
và
g
— là các hàm khả vi bất kỳ.
Từ (1.6) ta thu được lời giải tổng quát cho hệ phương trình (1.1):
.
2
,
2
1
00
00
00
tcxgtcxf
c
p
tcxgtcxfu
(1.8)
Các đại lượng
ZY,
trong (1.6) được gọi là các bất biến Riemann. Công thức
tcxf
c
p
u
0
00
chỉ ra rằng, đại lượng
00
c
p
uY
không đổi dọc theo
đường thẳng
consttcx
0
, tức là đồ thị hàm số
)(xY
chuyển dịch sang phải với
vận tốc
0
c
trong suốt quá trình. Tương tự, đại lượng
00
c
p
uZ
không đổi dọc
theo đường thẳng
consttcx
0
, đồ thị của nó di chuyển sang trái với cùng vận
tốc đó. Điều này giải thích tại sao mà người ta gọi
0
c
là vận tốc lan truyền sóng âm
trong môi trường hay vận tốc âm thanh. Các đường thẳng
00
c
dt
dx
consttcx
trên mặt phẳng
tx,
được gọi là các đường đặc trưng
của hệ (1.1).
Công thức cho
pu,
trong (1.8) chỉ là lời giải tổng quát cho hệ (1.1), để thu
được nghiệm duy nhất, ta cần đưa thêm vào (1.1) điều kiện đầu và điều kiện biên.
Ví dụ, nếu như ta có điều kiện đầu như sau
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
11
)()0,(),()0,(
00
xpxpxuxu
(1.9)
Trên đoạn
III
xxx
, cần chọn hàm
f
và
g
sao cho thỏa mãn các đẳng
thức
.)()(
2
)(
,)()(
2
1
)(
00
0
0
xgxf
c
xp
xgxfxu
Từ đó ta có
00
0
0
00
0
0
)(
)()(,
)(
)()(
c
xp
xuxg
c
xp
xuxf
Nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (1.9) sẽ có dạng sau
.
2
)()(
2
)()(
),(
,
2
)()(
2
)()(
),(
0000
00
0000
00
00000000
tcxutcxu
c
tcxptcxp
txp
c
tcxptcxptcxutcxu
txu
(1.10)
Chúng ta có thể giải thích sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của hệ
(1.1) trong miền
ABM
thông qua những lập luận tương đối đơn giản. Đoạn
AB
nằm trên trục
x
, trên đó chúng ta đặt điều kiện đầu; đoạn
AM
tương ứng với họ
những đường đặc trưng
consttcx
0
xuất phát từ điểm biên bên trái
I
xx
;
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
12
đoạn
BM
tương ứng với họ những đường đặc trưng
consttcx
0
xuất phát từ
điểm biên bên phải
II
xx
.
Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng các hàm
f
và
g
phải khả vi để
pu,
trong
công thức (1.10) thỏa mãn hệ (1.1). Nhưng nếu như điều kiện đầu của chúng ta
không khả vi thì điều gì sẽ xảy ra?
Để đi sâu hơn vào điều này, ta xét bài toán đơn giản dưới đây. Cho rằng tại
thời điểm
0t
điều kiện đầu (1.9) có dạng
I
I
pxpuxu )(,)(
00
khi
*
xx
, (1.11)
II
II
pxpuxu )(,)(
00
khi
*
xx
,
Trong đó
I
u
,
I
p
,
II
u
,
II
p
— là các hằng số bất kỳ, chúng thỏa mãn ít nhất
một trong các bất đẳng thức
III
uu
hoặc
III
pp
, hoặc đồng thời cả hai.
Đưa hệ (1.1) về dạng chính tắc (1.5) và sử dụng tính không đổi của bất biến
Riemann
00
c
p
uY
dọc theo đường đặc trưng
consttcx
0
và bất biến
00
c
p
uZ
dọc theo đường đặctrưng
consttcx
0
(hình 1.2).
Tại vùng I ta có
,,
00000000
c
p
u
c
p
u
c
p
u
c
p
u
do đó
ppuu ,
.
Tương tự, tại vùng II
,,
00000000
c
p
u
c
p
u
c
p
u
c
p
u
ta thu được
ppuu ,
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
13
Có thể hiểu rằng, vùng I và II là nơi không xảy ra tương tác giữa hai sóng
đến nên các giá trị
pu,
được bảo toàn.
Cuối cùng, ta xét vùng III các đại lượng
pu,
được xác định từ phương trình
.,
00000000
c
p
u
c
p
u
c
p
u
c
p
u
Như vậy, lời giải của bài toán trên được biểu diễn dưới dạng sau:
ppuu ,
nếu
,
0
*
tcxx
ppuu ,
nếu
,
0
*
tcxx
,
22
00
c
ppuu
u
22
00
uu
c
pp
u
nếu
,
0
*
0
*
tcxxtcx
(1.12)
Các hàm
),(),,( txptxu
gián đoạn dọc theo hai đường
*
0
xtcx
và
,
*
0
xtcx
chúng được tạo thành từ gián đoạn tại điểm
*
xx
. Căn cứ vào đặc
điểm này, ta có thể gọi bài toán một cách quy ước là bài toán về phân rã gián
đoạn. Nếu hiểu theo nghĩa thông thường, các hàm
),(),,( txptxu
không thể được
coi là nghiệm của hệ (1.1) vì chúng thậm chí không liên tục. Vì vậy mà ta gọi
chúng là nghiệm mở rộng cho bài toán về phân rã gián đoạn. Một bằng chứng
thuyết phục cho thấy ích lợi của việc sử dụng khái niệm này được đưa ra bởi lập
luận dưới đây. Ta làm “trơn ” điều kiện đầu (1.11) như sau. Thay đổi chúng trong
một khoảng nhỏ
,
**
xxx
sao cho điều kiện đầu
)(|),(|
00
xppxuu
tt
khả vi và sai khác một lượng nhỏ so với điều kiện
(1.11), tức là
.|)()(|,|)()(|
00
dxxpxpdxxuxu
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
14
Khi đó, ta có thể xây dựng nghiệm “cổ điển” cho bài toán. Bây giờ ta cho
0
và xem xét dãy nghiệm của bài toán. Dễ thấy rằng, khi
rất bé thì đồ thị
của nghiệm sẽ không khác biệt so với đồ thị của nghiệm mở rộng.
Khái niệm về nghiệm mở rộng được đưa ra bởi S.L.Sobolev.
BÀI 2. SƠ ĐỒ SAI PHÂN
Xấp xỉ điều kiện đầu, xây dựng nghiệm từ kết quả giải tích của bài toán
phân rã gián đoạn, giá trị trung bình và các định luật bảo toàn, công thức sai
phân, xây dựng sơ đồ sai phân theo phương pháp đường đặc trưng.
Để tìm lời giải số cho các bài toán chứa phương trình vi phân đạo hàm riêng,
chúng ta cần phải thay thế các hàm số liên tục bằng tập hợp các điểm rời rạc.
Để đơn giản, chúng ta chia miền tính toán thành các lớp theo tọa độ không
gian nhờ các điểm
j
x
với khoảng chia bằng nhau và bằng
h
, tức là
hxx
jj
1
với mọi chỉ số nguyên
j
. Đối với bài toán chúng ta đang xét, tại thời điểm ban đầu
0t
, vận tốc
u
và áp suất
p
ở các điểm nằm trong ô lưới giới hạn bởi các nút lưới
1j
x
,
j
x
là hằng số với giá trị tương ứng là
2/12/1
,
jj
pu
. Trên giao diện (mặt tiếp
xúc) giữa hai ô lưới liên tiếp bất kì sẽ xuất hiện hiện tượng phân rã gián đoạn mà ta
đã xét trong bài 1. Kết quả là tại mỗi nút lưới sẽ xuất hiện các sóng âm lan truyền
về bên trái và bên phải với vận tốc
0
c
(Hình 2.1).
Hình 2.1 — Cấu trúc nghiệm của bài toán phân rã gián đoạn
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
15
Theo công thức (1.12) thì tại lân cận điểm
j
x
chúng ta có các công thức sau:
2/12/1
,
jj
ppuu
trong miền I:
tcxxtcx
jj 001
2/12/1
,
jj
ppuu
trong miền II:
tcxxtcx
jj 010
22
22
2/1
2
1
00
2/12/1
00
2/12/12/12/1
j
j
jj
j
jjjj
j
uu
c
pp
Pp
c
ppuu
Uu
trong miền III:
tcxxtcx
jj 00
.
Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm giá trị của
pu,
tại thời điểm
t
và kí hiệu giá
trị của chúng trong khoảng giữa hai điểm
jj
xx ,
1
lần lượt là
2/1j
u
và
2/1j
p
, chú ý
chỉ số
2/1j
được đưa lên trên nhằm phân biệt với giá trị của hàm tại thời điểm
trước
0t
. Để tính các giá trị trung bình
2/12/1
,
jj
pu
, chúng ta tiến hành các
bước sau. Đầu tiên, ta tìm các hàm
,*,,* xpxu
là các hàm hằng trên từng
đoạn. Tại thời điểm đang xét, các điểm gián đoạn của
,*,,* xpxu
sẽ là
những nơi mà sóng âm sinh ra từ phân rã gián đoạn ở thời điểm ban đầu truyền tới.
Sau khi tiếp được các hàm này, ta tiến tìm giá trị trung bình của chúng trong từng
khoảng
jj
xx ,
1
theo các công thức sau:
j
j
j
j
x
x
jj
j
x
x
jj
j
dxxp
xx
p
dxxu
xx
u
1
1
.,*
1
,,*
1
1
2/1
1
2/1
Nghiệm gần đúng thu được theo công thức
2/12/1
,,,
jj
pxpuxu
,
với
jj
xxx
1
, lại là các hàm hằng từng đoạn. Nhưng dạng gần đúng này lại tiện
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
16
sử dụng hơn so với nghiệm chính xác vì các điểm gián đoạn giữ nguyên vị trí tại
j
x
như ở thời điểm đầu.
Thực ra, để tính
2/12/1
,
jj
pu
ta không nhất thiết phải tính các giá trị chính
xác
,*,,* xpxu
mà có thể sử dụng trực tiếp các công thức sau:
,
,
1
1
2
00
2
1
2/1
1
0
2
1
2/1
jj
j
j
jj
j
j
UUc
h
pp
PP
h
uu
(2.2)
trong đó
jj
PU ,
là giá trị thu được trong quá trình phân rã gián đoạn tại các điểm
j
xx
và được tính như sau:
;
22
,
22
2/12/1
00
2/12/1
00
2/12/12/12/1
jjjj
j
jjjj
j
uu
c
pp
P
c
ppuu
U
(2.3)
tương tự cho các giá trị
11
;
jj
PU
tại điểm
1
j
xx
. Thật vậy, áp dụng công thức
thứ nhất của các định luật bảo toàn (1.2)
0
0
dt
p
udx
cho hình chữ nhật giới
hạn bởi các đường thẳng
ttxxxx
jj
,0,,
1
(xem Hình 2.2)
Hình 2.2 — Miền lấy tích phân
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
17
,ta được:
0
1
0
,,
1
0,,
1 1
dttxptxpdxxudxxu
jj
x
x
x
x
j
j
j
j
(2.4)
Tại thời điểm
0t
, giá trị của
txu ,
là hằng số và bằng
2/1j
u
. Trên mặt
bên phải và bên trái của ô lưới đang xét,
txp ,
nhận các giá trị hằng tương ứng là
1j
P
và
j
P
ít ra là cho đến khi các giá trị này không bị sóng âm xuất phát từ các nút
lưới lân cận làm thay đổi. (theo tính chất của bài toán về phân rã gián đoạn). Do đó
(2.4) có thể viết lại như sau:
1
0
2/1
1
,*
jjj
x
x
PPhudxxu
j
j
. (2.5)
Giả sử giá trị trung bình của
),(
xu
trong khoảng
jj
xxx
1
bằng
2/1j
u
,
thay nó vào công thức (2.5) và lấy tích phân, ta sẽ thu đuợc công thức thứ nhất của
(2.2).
Tương tự, để chứng minh công thức thứ hai của (2.2) chúng ta sử dụng tích
phân
0
2
00
udtcpdx
(công thức thứ hai của (1.2)).
Nhận thấy rằng sự gián đoạn xảy ra khi
0t
tại điểm
j
xx
sẽ dịch chuyển
với vận tốc
0
c
(sang trái và sang phải), tại thời điểm
0
2c
h
t
chúng gặp nhau ở điểm
chính giữa của
j
x
và
1j
x
, va chạm vớinhau và hình thành sóng mới, sau đó một
khoảng thời gian
0
2c
h
t
chúng sẽ quay lại
j
x
và
1j
x
, có nghĩa rằng trong khoảng
thời gian
000
22 c
h
c
h
c
h
thì
jj
PU ,
sẽ không đổi. Từ đó áp dụng công thức (2.2)
chúng ta sẽ tính được các giá trị
2/12/1
,
jj
pu
.
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
18
Áp dụng các công thức (2.2), (2.3) ở trên, chúng ta sẽ tìm được giá trị gần
đúng của các hàm
pu,
khi
t
. Cũng tương tự cho các thời điểm tiếp theo
,3,2
tt
Từ bây giờ ta sẽ quy ước quá trình chuyển trạng thái bài toán từ
thời điểm
1
n
tt
đến thời điểm
n
tt
sẽ gọi là “tính toán một bước”. Chú ý là
khoảng thời gian
(bước thời gian) có thể khác nhau ở các bước khác nhau do
nhiều lý do, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm sau. Các giá trị ứng với thời điểm
1
n
tt
sẽ
được gọi là các giá trị của “lớp dưới” và được kí hiệu bằng các chỉ số dưới, còn các
giá trị ứng với thời điểm
1nn
tt
— các giá trị của “lớp trên” và được kí hiệu
bởi các chỉ số trên.
Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng sơ đồ sai phân cho bài toán ban đầu
bằng cách áp dụng các bất biến Riemann trong công thức (1.6):
0000
,
c
p
uZ
c
p
uY
.
Hình 2.3 — Bất biến Riemann theo các đường đặc trưng
Sử dụng tính chất hằng của các bất biến này dọc theo các đường đặc trưng để lấy
nội suy tuyến tính theo giá trị của chúng ở các điểm lân cận tại “lớp dưới”, ta thu
được các công thức tính giá trị gần đúng của chúng ở “lớp trên” như sau (xem Hình
2.3):
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
19
2
2/102/10
2/1
2/302/10
2/1
1
1
j
j
j
jj
j
Z
h
cZ
h
cZ
Y
h
cY
h
cY
(2.6)
Biểu diễn các giá trị
ZY ,
thông qua các hàm
pu,
theo công thức (1.6),
đồng thời thay các chỉ số tương ứng sẽ được:
00
2/1
2/10
00
2/1
2/10
00
2/1
2/1
00
2/3
2/30
00
2/1
2/10
00
2/1
2/1
1
1
c
p
u
h
c
c
p
u
h
c
c
p
u
c
p
u
h
c
c
p
u
h
c
c
p
u
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Hay chúng ta sẽ thu được công thức cho các giá trị lớp trên
2/12/1
,
jj
pu
tương ứng
là:
00
2/32/12/12/1
00
2/12/12/12/1
2
002/1
2/1
2/32/1
00
2/32/1
2/12/1
00
2/12/1
0
2/1
2/1
22
22
22
22
1
c
ppuu
c
ppuu
c
h
pp
uu
c
pp
uu
c
pp
h
uu
jjjj
jjjj
j
j
jjjj
jjjj
j
j
(2.7)
BÀI 3. TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ
GODUNOV
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
20
Kiểm tra tính xấp xỉ của sơ đồ sai phân khi không có điều kiện biên. Nghiên
cứu tính ổn định của sơ đồ sử dụng phương pháp Fourier. Bất đẳng thức ‘năng
lượng’. Kết luận về điều kiện ổn định cho trường hợp miền tính toán vô hạn.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sơ đồ Godunov xấp xỉ phương trình âm học (1.1). Để
thuận tiện ta các phương trình (2.7) và viết lại chúng như sau:
.0
2
2
2
,0
2
2
2
1
2/32/12/1
0
2/32/1
2
00
2/1
2/1
2/32/12/1
0
2/32/1
0
2/1
2/1
h
ppp
c
h
uu
c
pp
h
uuu
c
h
ppuu
jjjjjj
j
jjjjjj
j
(3.1)
Giả sử rằng
),(),,( txptxu
khả vi đến bậc hai, áp dụng khai triển Taylor cho các
hạng tử trong các công thức (3.1) tại lân cận điểm
01
),(
2
1
ttxxx
jj
, ta có:
).(
22
2
),(
2
),(
2
2
2
2/32/12/1
2/3
2/1
2
2
2/1
2/1
ho
x
uh
h
uuu
ho
x
p
h
pp
o
t
u
t
u
uu
jjj
j
j
j
j
Như vậy phương trình thứ nhất trong (3.1) có thể viết dưới dạng:
),(
22
1
2
2
0
2
2
0
ho
x
u
c
h
t
u
x
p
t
u
(3.2)
tương tự đối với phương trình thứ hai ta có
).(
22
2
2
0
2
2
2
00
ho
x
p
c
h
t
p
x
u
c
t
p
(3.3)
Nếu như đạo hàm bậc hai của các hàm
),(),,( txptxu
giới hạn, thì khi
0,0 h
vế phải các phương trình (3.2), (3.3) tiến tới không. Vì thế có thể kết
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
21
luận rằng sơ đồ sai phân đang xét xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1). Các phần
dư có bậc một theo
h
và
điều này có nghĩa là khi giảm bước
và
h
bao nhiêu
lần thì sai số của lời giải giảm cũng khoảng chừng ấy lần.
Kết luận:
1. Sơ đồ sai phân mà ta xét ở trên (được gọi là sơ đồ Godunov) xấp xỉ hệ
phương trình âm học (1.1).
2. Bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân Godunov là bậc một.
Từ các phương trình (1.1) ta có thể loại bỏ đạo hàm bậc hai theo thời gian ở
vế phải của (3.2), (3.3):
.
,
11
2
2
2
0
2
00
2
00
2
2
2
2
2
0
00
2
2
x
p
c
t
u
x
c
x
u
c
tt
p
x
u
c
t
p
xx
p
tt
u
Khi đó sơ đồ Godunov có thể xấp xỉ với độ chính xác bậc hai (trường hợp
1
0
h
cCu
) hệ phương trình âm học
.1
2
,1
2
1
2
2
00
2
00
2
2
00
0
x
p
h
cc
h
x
u
c
t
p
x
u
h
cc
h
x
p
t
u
(3.4)
Hệ (3.4) được gọi là xấp xỉ vi phân bậc nhất. Ở đây giá trị
0
*
/ch
đóng vai trò
đặc biệt quan trọng. Mặc dù sơ đồ sai phân chúng ta đang xét xấp xỉ với phương
trình âm học, tuy nhiên không thể tính toán với
0
/ch
vì khi đó sơ đồ không ổn
định.
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
22
Khái niệm “tính ổn định” có thể được hiểu đơn giản là lời giải sai phân thu
được dựa trên điều kiện ban đầu giới hạn sẽ bị giới hạn trong suốt thời gian tính
toán mà không phụ thuộc vào bước
(lớn hay nhỏ). Có thể chỉ ra rằng, đối với sơ
đồ ổn định thì sai số của lời giải cuối cùng do làm tròn trong suốt quá trình có bậc
xấp xỉ với sai số ở mỗi bước tính toán.
Đặc biệt quan trọng, có thể chỉ ra rằng nếu như sơ đồ sai phân xấp xỉ phương
trình vi phân và ổn định thì khi giảm các bước
h
và
, lời giải tính toán thu được
sẽ hội tụ về lời giải phương trình vi phân.
Ngược lại, trong trường hợp sơ đồ không ổn định sai số làm tròn tăng không
giới hạn sẽ dẫn tới tràn bộ nhớ máy tính khi tính toán.
Để khảo sát tính ổn định của sơ đồ chúng ta có thể sử dụng phương pháp
phổ Fourier. Biểu diễn nghiệm phương trình (3.1) dưới dạng
.
,
*
2/1
2/1
*
2/1
2/1
j
j
j
j
eppp
euuu
Ở đây
,,,
**
pu
— các đại lượng không đổi,
i
— đơn vị ảo. Chúng ta thu được
hệ phương trình tuyến tính cho
**
, pu
:
.0
2
2
1
2
,0
2
1
2
2
1
*
0
*2
00
*
0
*
0
p
ee
c
h
u
ee
c
h
p
ee
h
u
ee
c
h
iiii
iiii
Hệ có nghiệm khi định thức của hệ bằng không, tức là
,0
)cos1(1sin
sin
1
)cos1(1
00
00
CuiCuc
iCu
c
Cu
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
23
ở đây
hcCu /
0
. Phương trình có nghiệm
sin)cos1(1
2,1
iCuCu
.
(3.5)
Dễ thấy rằng
.
2
sin)1(41sin)cos1(1
222
2
2,1
CuCuCuCu
Khi
10 Cu
ta có
,1
2
sin)1(410,1)1(40
2
CuCuCuCu
do
đó
1
2,1
với mọi
.
Trường hợp
1Cu
, tồn tại các giá trị
mà khi đó
1
2,1
. Ví dụ như
ta có
112)1(41)(
2,1
CuCuCu
, nếu như
1Cu
.
Kết luận:
1. Sơ đồ ổn định khi
1/
0
hcCu
. Với
1/
0
hcCu
— sơ đồ không ổn
định.
Cu
là một đại lượng không thứ nguyên, gọi là số Courant.
Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng cách đánh giá
nghiệm sai phân trong chuẩn năng lượng.
Giá trị của
2/12/1
,
jj
pu
trên một lớp thời gian
constt
tạo thành hàm-
vector trên lưới. Trong không gian hàm-vector trên lưới này, chúng ta đưa ra chuẩn
j
jj
j
jj
jj
ZYh
c
pu
hpu
2
2/1
2
2/10
2
00
2
2/1
2
2/1
02/12/1
4
1
22
,
,
trong đó
Y
và
Z
— các bất biến Riemann:
.,
0000
c
p
uZ
c
p
uY
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
24
Để khảo sát tính ổn định trong chuẩn năng lượng, cần chứng minh rằng khi
1/
0
hcCu
ta có bất đẳng thức:
2/12/1
2/12/1
,,
jj
jj
pupu
.
Để chứng minh điều này, áp dụng định luật bảo toàn năng lượng sóng âm, từ
phương trình (1.1) ta thu được phương trình (1.3):
.0)(
22
2
00
22
0
pu
xc
pu
t
Bây giờ ta cần chứng minh rằng khi
1/
0
hc
thì bất đẳng thức sau đúng:
11
2
00
2
2/1
2
2/1
0
2
00
2
2/1
2
2/1
0
2222
jjjj
jj
jj
UPUP
hc
pu
c
pu
, (3.7)
nếu như các đại lượng được tính theo công thức (2.2), (2.3). Bất đẳng thức (3.7)
chính là dạng tương đương sai phân của phương trình vi phân (1.3).
Từ định nghĩa bất biến Riemann ta có:
00
2/1
2/12/1
00
2/1
2/12/1
,
c
p
uZ
c
p
uY
j
jj
j
jj
,
phương trình (2.3) đối với các đại lượng “lớn” có thể viết lại thành
).(
222
),(
2
1
22
2/12/1
00
2/12/1
00
2/12/1
2/12/1
00
2/12/12/12/1
jj
jjjj
j
jj
jjjj
j
ZY
c
uu
c
pp
P
ZY
c
ppuu
U
(3.8)
Khi đó, bất đẳng thức (3.7) có thể viết lại như sau:
2
2/1
2
2/3
2
2/1
2
2/100
2
2/1
2
2/10
2
2/1
2
2/1
0
jjjjjj
jj
ZYZYc
h
ZYZY
(3.9)
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
25
Bất đẳng thức này là hệ quả hiển nhiên của hai bất đẳng thức sau:
,1
,1
2
2/10
2
2/10
2
2/1
2
2/30
2
2/10
2
2/1
jj
j
jj
j
Zc
h
Zc
h
Z
Yc
h
Yc
h
Y
(3.10)
cơ sở lập luận với điều kiện bổ sung
1/
0
hcCu
ta sẽ dẫn ra ngay sau đây. Từ
định nghĩa bất biến Riemann ta có:
.1
,1
2/102/10
2/1
2/302/10
2/1
jj
j
jj
j
Zc
h
Zc
h
Z
Yc
h
Yc
h
Y
Để chứng minh (3.10) cần chứng minh khi
10 Cu
từ đẳng thức
CubaCuc )1(
thu được bất đẳng thức
222
)1( CubaCuc
. Điều này là
hiển nhiên, bởi vì:
22222
2
2
)1())(1()1()1( CubaCubaCuCuCubaCuCubaCuc
(3.11)
Các bất đẳng thức (3.9) và (3.7) đã được chứng minh. Cộng các vế của (3.7)
tương ứng với hệ số
j
chạy từ
1'J
tới
"J
:
"
1'
11
"
1'
2
00
2
2/1
2
2/1
0
"
1'
2
00
22/122/1
0
)(
222
)(
2
)(
J
Jj
jjjj
J
Jj
jj
J
Jj
jj
UPUP
hc
pu
c
pu
Từ đây ta có:
)(
222
)(
2
)(
''""
"
1'
2
00
2
2/1
2
2/1
0
"
1'
2
00
22/122/1
0 JJJJ
J
Jj
jj
J
Jj
jj
UPUP
c
pu
h
c
pu
h
(3.12)
