Phương pháp toạ độ trong không gian

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ………………… đôi một vuông góc với nhau với
các……………………tương ứng là
i, j,k
r
uurur

(
)
1ijk
=
==
r
rur
.
B. ;
()
123 1 2 3
aa; a; a aaiajak==⇔++
rurur
ur ur
u
Và M (x;y;z) ⇔
OM x.i
y
.
j
z.k=++

u
uuurrrr

C. Tọa độ véctơ
Đt : 0914449230 Email :
1

Cho
u (x; y; z), v (x'; y'; z')==
ruru
1.
xx'
uv
yy
'
zz'
=
⎧
⎪
=⇔ =
⎨
⎪
=
⎩
urur

2.
(
)
uv xx';

yy
';z z '±= ± ± ±
urur

3.
u(x;
y
;z)
α
ααα
=
ur

(
)
i1;0;0
r

(
)
j0;1;0
r

(
)
k0;0;1
r

O

y

z
4.
u.v x.x' y.y' z.z'=++
ur ur
x
5.
.uv uv0⊥⇔ =
urururur
222
uxyz=++
ur
6.
()
y
z'
y
'z; zx' z'x;x
y
'x'
y
yz zx xy
u,v ; ;
y' z' z' x' x' y'
⎛⎞
⎡⎤
=− − −
⎜⎟
⎣⎦

⎜⎟
⎝⎠
=
urur
7.
8. cùng phương ⇔
[u
u,v
ur ur
,v]= 0
urur
r

9.
()
cos u,v
u.v
u.v
=
uurur
rr
urur
.
D. Tọa độ điểm : cho A (x
A
; y
A
; z
A
), B (x

B
; y
B
; z
B
)
1.
BABABA
AB (x x ; y y ; z z )=− − −
ruuu
2.
22
BA BA BA
AB (x x ) (y y ) (z z )=−+−+−
2

3.G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đt : 0914449230 Email :
2

AB
G
xxx
x
3
++
=
C
;

AB
G
yyy
y
3
C
+
+
=
;
ABC
G
zzz
z
3
++
=

Đặc biệt : M là trung điểm AB:
AB AB AB
MMM
xx yy zz
x; ; z.
222
y
+++
===

5. A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ không cùng
AB, AC

uuur uuur
phương ⇔
AB, AC 0
⎡⎤
≠
⎣⎦
uuur uuuurr
khi đó diện tích tam giác ABC là S =
1
,
2
A
BAC
⎡⎤
⎣⎦
u
uuruuur

Bài tập 1 : trong hệ trục tọa độ Oxyz cho các vectơ :
rr r r r r u

ui2j,v3i5j5k,w2i3jk=− = + − = + −
r urrrr
a/ Tìm tọa độ các vectơ đó b/ tính cosin của góc
(
)
u, v
r
r
, ,

()

()
u, i
rr
k, v
rr
c/ Tính các tích vô hướng
u.v, u.w, v.w, u.
j
rr ruurruurr
rrruur
r

d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : ,
2u 4v 3we =−+ u5v2w
α
=+ −
u
rr r uur
,

31
muv
22
=− + −
uurrrr
w
uu
,

n3uv2i5
j
=− + − +
rrrrr
,
r3u5i3k
=
+−
r
rrr

Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ
)2;7;1();1;2;0();3;5;2( =−=−= cba
.
Tìm toạ độ các vectơ sau đây:
cbad 3
3
1
4 +−=
và
cbae 24 −−=

Bài tập 2 : Tìm toạ độ của vectơ x và y biết rằng
a)
02 =+ xa
và
)1;2;1( −=a
b)
ixa 42 =+
và

)1;2;0( −=a

bya 32 =+−
c)
bxa −=+ 2
, với
)1;4;5( −=a
;
)3;5;2( −=b


Soạn : Cho và
a(5;4;7)=−
r
x
r
x
a/ Tìm vectơ thỏa
y
0+=
rrr
b/ Tìm vectơ
y
r
thỏa
2y a
uur r
3b−=
r
Bài tập 3 : Phân tích vectơ

(
)
(
)
(
a/
)
(
)
u 4,0, 7 theoa 2,1,0 ,b 1,3, 2 ,c 2,4,3=− =− =−=
rr
(
rr

)
(
)
(
)
(
)
d 4,5, 1 theoa 2,4,1,b 3,0,3,c 1, 1, 1=− − = =− = − −
rrrr
b/
c/
(
)
(
)
(

)
(
)
m 3,2, 8 theoa 1,0, 2 ,b 2,1,3,c 4,3,5= − = − =− =−
uurrrr


d/
(
)
(
)
(
)
(
)
q 4, 12, 4 theo a 3, 7, 0 , b 2, 3,1 , c 3, 2, 4=− = − = − =
rrrr

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đt : 0914449230 Email :
3
k
r
Bài tập 4 : Viết dưới dạng
ijxyz++
rr
;
()
a1,0,2=−

r
11
b0,0,
3
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
r
;
(
)
c1,3,2
=
−
r
;
1 π
d2, ,
6
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
r

Bài tập 5 : Trong không gian Oxyz cho A(2;
−
3 ; 1), B(1;

−
1; 4) và C(
−
2; 1; 6)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
uuu uuu uuu uuu
b/ Tính các vectơ sau :
AB, AC, BC, 2AB 3AC 4BC+−
r r r r uuur uuur
uuur
c/ Tính:
()
2AB AC .BC−
uuur uuur
d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
MA 2MB
=
−
u
uuur uuur

e/ Tìm tọa độ điểm K sao cho :
KA 2KB 2CB−=
u
uur uuur uuur

f/ Tìm tọa độ điểm P sao cho :
PA 2PB 4PC 0
+
−=

rruuuruuuruuu

g/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài tập 6: Cho ba điểm: ;
)1;2;3(−A
)2;1;3(
−
B
;
)2;4;0(
−
C
.
CMR tam giác ABC cân
Bài tập 7 :
a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với
A(1; 0 ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; 5), D(1;
−
−
1; 1). Tìm tọa độ các
đỉnh còn lại
b/
Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với
A( 1; 2 ; 3), C(1; 4; 5) , B’( 3; 3;
− −
−
2), D’(5; 3; 2). Tìm tọa độ các
đỉnh còn lại
A
B

C
D
A'
B'
C'
D'
c/
Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(4;1;-2),
B’(4;5;10). C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài tập 8 : Tìm góc giữa hai vectơ sau:
)3;1;0(=b
)4;5;2(=a
a)
)1;3;4(=a
;
)3;2;1(−=b
b) ;
)3;0;6(=b
c)
)1;1;1( −=a
;
Bài tập 9:
a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: ;
)0;1;3(A
)1;4;2(
−
B

b/
Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai điểm: ;

)1;0
;1;2(B
;1(A
)1;1;2(
)2
c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách đều hai điểm:
−
A
)1;2;3(
;
−
−C

(ĐS : (4;0;0) )
Bài tập 10:
a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: ; ;
)1;1;1(A
B )0;1;1(−
)1;1;3(
−
C
.
b/
Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:
)1;1;2(
−
A
)4;3;1(B
)1;2;3(
; ;

−
−
C

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(ĐS :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0;
3
14
;
3
26
)
Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2).
1/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
2/ Tính cosin của 3 góc 3/ Tìm trên Ox điểm cách đều A và B.
ABCΔ
4/ Tìm trên Oz điểm cách đều C và B.
5/ Tìm trên mặt phẳng xOy điểm cách đều A, B, C.
Bài tập 11: cho với
()
AC 3, 2, 5=−
uuur
(

)
C1,0,3
. Tìm A
Bài tập 12: Cho điểm M( 3;4;7). Tìm tọa độ hình chiếu của M trên.
−
a/ Các trục tọa độ b/ Các mặt phẳng tọa độ
Bài tập 13: Cho tam giác ABC với
)1;2;0(
−
A
; ; .
)2;2;3(B
)2;1;4( −C
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A.
E. Hai vectơ cùng phương Cho
(
)
(
)
123 123
aa,a,a,b=b,b,b=
r
r

Đt : 0914449230 Email :
4
cùng phương ⇔ sao cho
a,b

rr
kR∃∈
ak.b=
r
r


3
12
123
a
aa
b
bb
⇔==

Ghi chú : ……………………………………………………………………….
(
)
(
)
(
)
a3,1,2,b 9,3,6,c6,2,1=− =− − =−
rr r
Ví dụ 1 :
a/ CMR là hai vectơ ngược hướng
a,b
rr
b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương

a
r
c
r
Giải :

a/ Vì
312
93 6
−
===−
−−
1
3
nên
1
a
3
=− b
r
r
suy ra
a
r
và
b
r
ngược hướng
b/ Vì
61

22
≠
và là hai vectơ không cùng phương
a
r
c
r
Ví dụ 2 : Cho ; ;
)4;1;3(−A
)6;3;2(B
)1;4;3(
−
C
.
a/ CMR A,B,C lập tam giác
b/ Tìm tọa độ điểm sao cho
)6;;( −yxM
AM, BC
u
uuuruuur
cùng hướng
Giải :
uuu
a/
() (
AB 5; 2;2 , AC 6; 5; 3==−
r uuur
)
−
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Vì
52
6
≠
−5
nên
và là hai vectơ không cùng phương
AB
uuur
AC
uuur
Suy ra ba điểm A, B, C
không thẳng hàng.
Vậy A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b/
()
(
)
AM 3; 1; 10 , BC 1; 7; 5xy=+ −− =−−
uuuuruuur

AM, BC
uuuuruuur
cùng hướng nghĩa là chúng cùng phương
3110
0
175
xy
+
−−

⇔
==>
−−

3
2
1
1
1
13
2
7
x
x
y
y
+
⎧
=
⎪
=−
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
=−
⎩
⎪
=

⎪
−
⎩
Vậy
(
)
M1;13;6
−
−−

Bài tập 14:

a/ Cho ; ; . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và
tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
)1;1;1(A
)5;0;14( −B
)1;3;2(C
b/ Cho ; ; . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và
tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
)5;2;5(A
)2;1;2( −B
)6;1;3(C
(ĐS : và )
)6;1;3(H )7;0;1('A
c/ Cho ; ;
)3;1;2( −A
)2;0;3( −B
)6;1;5(
−
−

C
. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên
BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
Đt : 0914449230
5
Email :
(ĐS : và )
)2;1;1(H
r
)1;3;0('A
Bài tập 15: Cho .
a 3i 2j,b (2;3; 1),c ( 2;4;2)=− = − =−
rrrr
rr
a/ Tìm sao cho ,
x
r
a.x 2=
b
.x 1
=
−
rr
,
cx
⊥
r
r

b/ Tìm tọa độ của: và

(a.3b)c
rrr
1
(2c)( a)b
5
r
⎡
⎤
−
⎢
⎥
rr

⎣
⎦
F. Tích có hướng và sự đồng phẳng
(
)
(
)
(
)
123 123 123
a a,a ,a , b b,b,b , c c,c,c===
rrr
Cho
+ cùng phương
a, b
rr
a, b 0

⎡⎤
r
=
⎣⎦
rr

a, b .c 0
⎡⎤
=
⎣⎦
r
rr
+ đồng phẳng
a, b, c
rrr
Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔
AB, AC, AD
u
uur uuur uuuur
không đồng phẳng
⇔
AB, AC .AD 0
⎡⎤
≠
⎣⎦
uuur uuur uuur

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đt : 0914449230 Email :
6

Và
A.BCD
1
V,
6
,
A
BAC AD
⎡⎤
=
⎣⎦
uuur uuur uuur
hoặc
BCD
1
VS.
3
= h

(h là chân đường cao hạ từ đỉnh A)
Bài tập 16: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ
a, b, c
r
r
r
biết:
a/ ;
a (1; 1;1)=−
r
b

(0;1;2)=
r
;
c (4; 2;3)=
r
b/ ;
a(1;2;1)=
r
b
(1; 2; 3)=−
r
;
c(2;6;1)=
r
c/ ;
a2i3k=−
r
rr
b
(1;3;5)=−
r
;
c4i2
j
k=− + +
r
r
rr

Soạn : d/

)4;3;4(=a
;
)2;1;2( −=b
;
)1;2;1(=c
.
e/
)5;2;4(=a
;
)3;1;3(=b
;
)1;0;2(=c
.
f/
)2;1;3( −−=a
;
)1;1;1(=b
;
)1;2;2(−=c
.
Bài tập 17:
a/ Tìm m để 3 vectơ ;
a(1;2;3=
r
)
b
(2;1;m)=
r
;
c(2;m;1= )

r
đồng phẳng
b/
CMR 3 vectơ ;
a (1;1; m )=
r
b
(1;1; m 1)
=
+
r
;
c (1; 1; m)=−
r
không đồng phẳng
với mọi m

Bài tập 18:
Xét tính đồng đẳng của 4 điểm sau:
a/ A(1;2;1), B(
–1;2;3), C(2;0; –2), D(0;1; –4)
b/ A(1;1;1), B(
–1;2;4), C(3;0; –2), D(–2;1;0)
Bài tập 19: ;
a (1; 1; 3)=−
r
b
(2;2; 5)=−
r

a/ Tính
a, b
⎡
⎣
⎤
⎦
rr
b/ Cho . Tìm m để
c (1; 1;2), x (m;m 2;m 2)=− = + −
rr
a, b 2 3
⎡⎤
=
⎣⎦
r
r
(ĐS : 0, -12/7)
Bài tập 20: Cho bốn điểm: ;
)1;1;1( −A
)2;1;3(
−
B
;
)4;2;1(
−
C
;
)9;6;5( −D
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.

c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
Bài tập 21: Cho bốn điểm: ;
)1;3;2(A
)2;1;4(
−
B
; ;
)7;3;6(C
)8;4;5( −−D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D
không đồng phẳng).
b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
c) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D.


GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
Đt : 0914449230 Email :
7
1. Phương trình mặt cầu tâm , bán kính R:
I(a; b; c)
Dạng chính tắc:
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−


Dạng khai triển:
222
222xyz axbyczd0

+
+− − − +=



I
R
(điều kiện để có mặt cầu : ………………………… )
Bán kính:
dcbaR −++=
222

B. Bài tập:
Ví dụ 3 :
Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình

222
x
y
z6x8
y
4z 2 0++−+−+=

Giải : so sánh với phương trình
222
x
y
z2ax2b
y
2cz d 0++− − − +=

Ta có suy ra mặt cầu có tâm I (3;
– 4;2)
2a 6 a 3
2b 8 b 4
2c 4 c 2
d2 d2
−=− =
⎧⎧
⎪⎪
−= =−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−=− =
⎪⎪
⎪⎪
==
⎩⎩
và bán kính
222
Rabcd916423=++−=++−=3

Bài tập 22: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) b)
0128
222
=++−++ yxzyx
04284
222

=−−++++ zyxzyx
c) d)
0442
222
=+−−++ zyxzyx
021536333
222
=−+−+++ zyxzyx
e) f)
043
222
=+−++ yxzyx
076
222
=−−++ zzyx
g) h)
086246
222
=−−+−++ zyxzyx
0246412
222
=+−+−++ zyxzyx
k) l)
07212126
222
=++−−++ zyxzyx
04248
222
=−++−++ zyxzyx
Bài tập 23: cho phương trình :

a/
()
(
)
222 2
x y z 2mx 4m 1y 2m 2z 7m 8 0 (1)++− + + − − + +=
0m4
.Xác định
tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt
cầu (S) có bán kính lớn nhất (ĐS :
<
<
m2
và
=
)
b/
()
(
)
222 2
xyz2m1x4m1y2mz7m70(1++− + + − + + −= )
.Xác định
tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu có bán kính bằng 3
(ĐS :
m32=− ± 3
)
)
c/ .Xác định tham số m để
222 2

xyz4mx4y2mzm4m0(1++− ++ + + =
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán
kính nhỏ nhất (ĐS : và
mR∀∈
m1/2
=
)
Ví dụ 4 : Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
Đt : 0914449230 Email :
8
a/ Tâm I(2; 2; –1), bán kính
22=R

b/ Tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)
c/ Qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(–3; 1; 6), D(3; –8; 0)
Giải :
☺a/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -1), bán kính
22=R

(S) :
()( )
(
)
2
)(
22
2 z−+
2
x2 y 1 22−+ +=

☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)
nên có bán kính
22 2
RIA 0== 1 4 17++=
với
(
)
IA 0;1;4=
u
ur

(S) :
()

(
2
y z1+−
222
)
22
x2 17−+ =

☺ c/ mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0)
R
A
I
gọi pt (S) :
x

y
z2ax2b
y
2cz d 0− − +=++−

Ta có
(
)
()
()
()
()
()
222
222
2
22
2
22
2214a4b2cd0
A2;2;1
3226a4b24cd0
B 3;2;2
3 1 6 6a 2b 12c d 0
C3;1;6
D3; 8;0
3806a16bd0
++−−−+=
∈
⎧

⎪
++−−− +=
∈
⎪
−+++−− +=
−∈
−∈
+− + − + + =
⎩
(S)
(S)
(S)
(S)
⎧
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
cd 0
24c d 0
12c d 0
d 0
+=
+=
+=
+=

94a4b2 (1)
17 6a 4b (2)
46 6a 2b (3)
73 6a 16b (4)
−−−
⎧
⎪
−−−
⎪
⇔
⎨
+−−
⎪
⎪
−+
⎩
Lần lượt trừ các vế tương ứng của phương trình
(1) cho các phương trình (2), (3), (4) ta có hệ :

2a 2c 8
10a 2b 10c 37
2a 20b 2c 64
+=
⎧
⎪
+
−=−
⎨
⎪
−−=

⎩

a1/2
b
7/2
/2c7
=
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=
⎩
thay vào (4) ta được
d14
=
−
Giải hệ này ta được :
Vậy phương trình (S) :
222
xyzx7y7z140++−+−−=
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(5;
–3; 7). bán kính R = 2.
b) Tâm I(3;
–2; 1) và qua điểm A(2; 1; –3).
c) Tâm I(4;
–4; –2) và đi qua gốc toạ độ.

d) Hai đầu đường kính là A(4;
–3; –3) và B(2; 1; 5).
e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2;
–5) và B(–4; 0; 7).
Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính
3=R
.
b) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
c) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu (S):
a/
(ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6),
B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1). (ĐS:
222
xyz2x3y8z130
+
++ +−−=
)
b/
(ĐH Văn Lang – 98) đi qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0).
c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 1); D (-2 ; 1 ; -1)
(ĐS : x
2
+ y
2
+ z
2
+

3
5
x +
3
5
y +
3
5
z -
3
8
= 0)
f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1).
Bài tập 26: Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a) ; . b)
)1,3,1( −−A
)5,1,3(−B
)5,2,6(
−
A
;
)7;0;4(
−
B
.
c) ; . d)
)4,2,1( −A
)2,4,3( −−B
)7,3,4(
−

A
; .
)3;1;2(B

Phần 3: Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0 với
0C B A
222
>++
Đt : 0914449230 Email :
9

);;( CBAn =
là vecto pháp tuyến của mp.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua
(
)
000
;; zyxM

và có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn =
có dạng:
n
r

0)()()(
000

=
−
+
−
+
− zzCyyBxxA



GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x

Đt : 0914449230 Email :
10
Ghi chú : ………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
z
B b
C

c
y

O
A
a
x
d) các trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = 0
+ nếu D = 0 : (P) : Ax + By + Cz = 0 thì (P) đi qua gốc O
+ Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Ozy) : x = 0
Ví dụ 5 : lập phương trình mp (P) trong các trường hợp sau :
a/ qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là
(
)
n 2;3;2
=
−−
r

b/ cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2)
c/ qua 3 điểm A(1; –2; 4), B(3; 2; –1), C(–2; 1; -3) không thẳng hàng
d/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7)
e/ qua ba điểm A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục

Ox, Oy, Oz
f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) :
2x 3y z 2013 0
−
−+ =

Giải : ☺ a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là
()
n 2;3;2=−−
r

Phương trình (P) :
()()
(
)
2 x 2 3 y 1 2 z 5 0 2x 3y 2z 9 0−− −− −=⇔ −−+=

☺b/ (P) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2)
nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn :
xy z
1x2yz2
21 2
0
+
+=⇔+−−=
−


☺c/ qua 3 điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng
nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là

A
B
C

()
()
AB 2; 4; 5
AC 3;3; 7
⎧
=−
⎪
⎨
=− −
⎪
⎩
uuur
uuur
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
suy ra vectơ pháp tuyến của (P) là
()
n AB,AC 13;29;18
⎡⎤
==−
⎣⎦
r
uuur uuur

vậy phương trình (P) cần tìm là :

(

)
(
)
(
)
13 x 1 29 y 2 18 z 4 0 13x 29y 18z 1 0−−+ +−−=⇔−+−+=

☺d/ Gọi M là trung điểm của AB thì M(–1;1;6)
Đt : 0914449230 Email :
11
(P) qua M(-1;1;6) và có VTPT là
(
)
AB 8;6;2=−
u
uur

hay cũng là một VTPT của (P)
(
n4;3;=−
r
)
1
vậy phương trình (P) cần tìm là :

()()()
4x 1 3y 1 1z 6 0 4x 3y z 13 0+− −+ − =⇔ − +− =
☺e/ hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz là
A
B

M
A
1
(-3;0; 0), A
2
(0; 2; 0), A
3
(0; 0; -4) nên (P) chính là mp đoạn chắn
vậy phương trình (P) cần tìm là :

xyz
14x6y3z12
32 4
0
+
+=⇔−++=
−−

☺f/ (P) song song với mp (R) :
2x 3y z 2013 0
−
−+ =

Nên (P) có phương trình :
(
)
2x 3y z D 0 D 2013−−+= ≠


()

A 1;2;2 (P):2x 3y z D 0∈−−+=
nên
() ( ) ( )
2. 1 3 2 2 D 0 D 6 2013−−+=⇔=≠
Vậy (P) :
2x 3y z 6 0−−+=
Bài tập 27: Viết phương trình mặt phẳng:
1/ Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(−=n
.
2/ Đi qua M(1;
–3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(=n
.
3/ Đi qua M(1; 3;
–2) và vuông góc với trục Oy.
4/ Đi qua M(1; 0; 5) và vuông góc với trục Ox.
5/ Đi qua điểm M(1; 3;
–2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; –3)
và M
2
(1; –4; 1).
6/ Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3;
–1; 0), C(2; 1; 1)

7/ Đi qua M(1; 3;
–2) và song song với mặt phẳng 2x – y + 3z + 4 = 0.
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x
– 3y + 2z + 13 = 0.
8/ Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
9/ Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ
(
)
1;1;3 −=u
và
()
1;2;1 −=v
.
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
10/ Qua A(-2; 4; 1) và có cặp vectơ chỉ phương
(
)
2;5;3 −=a
và
(
)
3;4;1 −=b

11/ Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
(
)
4;1;3 −−=a
.
12/ Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
13/ Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).

14/ Qua A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
15/ Chứa tam giác ABC với A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0).
16/ Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
17/ Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x
– y + 3z – 1= 0.
18/ Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
19/ Chứa Ox và qua M(4; 1; 2).
20/ Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng
(R) 2x - y + 3z + 4 = 0.
21/ Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
22/ Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
23/ Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 và
(P
2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
24/ Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y – z – 2 = 0 và
(P
2
): x - y - z - 3 = 0.
25/ Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
26/ Qua A( 1; 0; 2), song song với
(
)
1;3;2=a
và vuông góc với mặt phẳng
(T) : 2x - y - 5z = 0.

27/ Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ
(Oxy), (Oyz), (Ozx).
28/ Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0.
Bài tập 28: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:
a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6).
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).
e) M
1
M
2
với M
1
(2; 3; -4), M
2
(4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).
Bài tập 29: Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và
vuông góc với cạnh đối diện.
a/ Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) .
b/ Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).
Bài tập 30: Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:
a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).
b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
Đt : 0914449230 Email :
12
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0).
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
f) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Đt : 0914449230 Email :
13
(P) : đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x

Chú ý :
……………….……………… ………………
……………… ……………… ………………

z
x
A
y
C
O
B b
Ví dụ 6 :
lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A,B,C có tọa độ dương sao cho thể tích tứ diện O.ABC nhỏ nhất
Giải :
O.ABC
1a.b.c
VOA.OB.OC

66
==
,
xyz
(P): 1
abc
+
+=

()
123
M1;2;3 (P) 1
abc
∈⇔++=
và a,b,c là các số dương
Áp dụng BĐT C.S :
33
123 123 6 abc
3 13 27 V27
6
≥ ⇔ ≥

abc abc abc
++≥ ⇔≥ ⇔
Nên
min
123
a3
1
1231

abc
V27 b6
c9
123
abc3
abc
⎧
=
⎧
⎪⎪
=
⎨⎨
⎪⎪
++=
⎪
= ⇔ ⇔===⇔
==
=
⎩
xyz
(P): 1
369
++=
Vậy
⎪
⎩
Ví dụ 7 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại các điểm A,B,C có tọa độ là số dương sao cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện O.ABC là I(1;1;1)
Giải : từ trung điểm E của AB ta dựng trục d của

tam giác vuông OAB và d//Oz. Từ trung điểm M của OC
dựng trục của OC cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
z
x
y
O
I
E
A
B
d
M
C
hình chóp O.ABC và
abc
I;;
222
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Mặt khác theo giả thiết I(1;1;1)
nên
abc
1abc
222
===⇔===2

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

xyz
(P): 1 x y z 2 0
222
+ + =⇔++−=

Bài tập 31:
a/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C
tọa độ dương sao cho OA = 2OB = 3OC
(ĐS :
xyz
(P): 1
14 7 14
+
+=
)
b/ Lập phương trình mp (P) song song với (R) x + y + z + 2 = 0 và (P) cắt Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc O sao cho thể tích tứ diện O.ABC bằng 1/6
(ĐS :
(P): x y z 1 0 x y z 1 0
+
++=∨++−=
)
c/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(
– 1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A,B,C tọa độ dương sao cho OA = OB = OC
(ĐS :
(P): x y z 5 0
+
+−=
)

d/ Lập phương trình mp (P) qua M(2;1;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C tọa
độ dương sao cho ABC là tam giác đều
(ĐS :
(P): x y z 7 0
+
+−=
)
e/ Lập phương trình mp (P) qua M(-6;10;-1), cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 và
cắt Oz tại điểm có cao độ là 3
f/ Lập phương trình mp (P) qua G(1;3;2) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C
khác O sao cho ABC nhận G là trọng tâm
(ĐS :
(P): 6x 2y 3z 18 0
+
+−=
)
Bài tập 32: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a/ Qua A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3), C(2; 0;
– 1) và có tâm nằm trong mp(Oxz)
b/ Qua A(1;
– 4; 2), B(1; 1; – 3), C(2; 3; 2) và có tâm nằm trong mp(Oxy)
c/
(D – 2004) Qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và có tâm nằm trong
mp (P): .
xyz20++−=
B. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song.
1. Khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) Ax + by + Cz + D = 0 là:
);;(
000

zyxM
Đt : 0914449230
14
Email :

.
D
222
000
CBA
CzByAx
MHd(M,(P))
++
+++
==

VD :





M
H
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN


2. Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia
Đt : 0914449230 Email :

15

()()
()
(
)
(
)
d P,Q dM,Q=



3. Vị trí của hai điểm và đối với mặt phẳng (P):
);;(
AAA
zyxA
);;(
BBB
zyxB
M
P
Q
- Nếu
0)).(( >
+
+
+
+++ DCzByAxDCzByAx
BBBAAA
thì A và B nằm

về cùng một phía của (P):.
- Nếu
0)).((
<
+
+
+
+++ DCzByAxDCzByAx
BBBAAA
thì A và B nằm
về hai phía của (P):.
Bài tập 33: Tính khoảng cách từ một điểm đến mp(P):
a/ A(2; 0; 1), (P):
xyz20
+
+−=
. b/ B(–2; 3; 0), (P):
2x y 3z 1 0++ +=
.



Bài tập 34: Tính khoảng cách từ mp(Q) đến mp(P):
(P): và (Q):
4x 3y 5z 8 0+−−= 4x 3y 5z 12 0
+
−+=
.
Bài tập 35: Cho mặt phẳng
)(

α
: 2x – 3y + z – 7 = 0
và các điểm M(0; 2;
– 1), N(2; 1; 8), P(– 1; – 3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với
)(
α
. b) Hai điểm nào khác phía đối với
)(
α
.
Ví dụ 8 : Tìm điểm M trên Oz cách đều điểm A(2;3;4) và (P) :
2x 3y z 17 0++−=
Giải : Vì nên M(0; 0; m);
MOz∈
(
)
AM 2;3;4 m=−
u
uuur

M cách đều điểm A(2;3;4) nên ta có
(
)
(
)
AM d M, P=

()
2

23
2
m17
23 4m
14
m6m90 m3
−
⇔++−=
⇔−+=⇔=

Vậy :
M(0;0;3)
Bài tập 36:
a/ Tìm điểm trên trục Oy cách đều hai mp (P):
xyz10
+
−+=

M
A
và (Q): (ĐS :
xyz50−+−=
(
)
M0; 3;0−
)
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b/ Tìm điểm trên trục Ox cách mp (P):
2x y 2z 3 0
+

−+=
là 1
c/ Tìm điểm trên trục Oy cách đều điểm A(2;4;3) và mp (R):
2x y 3z 17 0++ − =
(ĐS :
(
)
M0;3;0
)
Bài tập 37: Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x
– 2y + 3z + 1 =0 và 2x – y + 3z + 5 = 0.
b) 6x
– 2y + z + 1 = 0 và 6x – 2y + z – 3 = 0.
Soạn : c) 2x – y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y – z – 1 = 0.
d) 4x
– y + 8z + 1 và 4x – y + 8z + 5 = 0.
e) 2x
– y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y – z – 1 = 0.
Đt : 0914449230 Email :
16
f) 3x + 6y
– 3z + 7 = 0 và x + 2y – z + 1 = 0.
4. Tiếp diện
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R và mp (P)
(P) là tiếp diện của m/c (S)

⇔
(
)

(
)
dI,P R=

H là

Và (P)
Ví dụ 9 : lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) :
x2y2z110+−+=
Giải : (P) chính là tiếp diện của (S) và

()
()
()
2
22
22211
RdI,P 3
12 2
−+ − +
==
++−
=
nên (S) :
()()()
222
x2 y1 z1 9
+
+− +− =

Bài tập 38: Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x – y – 3z + 1 = 0.
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y
–7z +42 = 0.
c) Tâm K(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y
– 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0
tại điểm M(1; 1;
–3).

Ví dụ 10 : (S) : . Viết phương trình tiếp
222
xyz6x4y2z3++−−+−=0
diện của mặt cầu (S) tại điểm A(3; 6; -2). (CĐKT ĐN -2000)
(S) có tâm I(3;2;-1) và bán kính R =
17
.
Tiếp diện (P) đi qua A
ru
và có pháp vectơ
()
nIA 0;4;1== −
ur
I
A
R
P
I

H
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(P) :
()()()
0x 3 4y 6 1z 2 0 4y z 26 0−+ −− +=⇔ −− =
Đt : 0914449230 Email :
17
Bài tập 39: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )
a) Tiếp xúc với mặt cầu: tại điểm M(– 1; 3; 0).
24)2()1()3(
222
=++−+− zyx
05426
222
=++−−++ zyxzyx
49)2()3()1(
222
=−+++− zyx
222
xyz2x4y6z20
b) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(7;
– 1; 5).
Bài tập 40: Viết pt mặt phẳng
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
022222
222
=−−−−++ zyxzyx
và song song với mp: 3x
– 2y + 6z + 14=0.

b) Tiếp xúc với mặt cầu:
011246
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với mp: 4x +3z
– 17 = 0.
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
0442
222
=+−−++ zyxzyx
và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
+
+− − −−=
d) ĐH GTVT 98. tiếp xúc với mặt cầu (S):
và song song với mặt phẳng (Q): 4x + 3y
– 12z + 1=0.
C. Vị Trí tương đối của hai MP
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
Và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
1.
''''
)//()(
D
D
C
C
B
B
A
A

QP ≠==⇔

2.
''''
)()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP ===⇔≡

3.
(P) .CC'BB'AA'(Q) 0
=
+
+⇔⊥

4.
''
)()(
B
B
A
A
QP ≠⇔∩
hoặc

'' C
C
B
B
≠
hoặc
'' C
C
A
A
≠

Bài tập 41: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y
– 7z – 4 = 0.
b) x
– 2y + z + 3 = 0; 2x – y + 4z – 2 = 0.
c) x + y + z
– 1 = 0; 2x + 2y – 2z + 3 = 0.
d) 3x
– 2y –3z + 5 = 0; 9x – 6y -9z - 5 = 0.
e) x
– y + 2z + 4 = 0; 10x – 10y + 20z + 40 = 0.
f) 5x + 6y
– 3z + 8 = 0; –5x + 6y – 12 = 0.
g) 2x
– 2y – 4z + 5 = 0; 5x – 5y – 10z + 25/2 = 0.
h) 3x
– 4y + 3z + 6 = 0; 3x – 2y + 5z – 3 = 0.
Bài tập 42: Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:

a) 2x
– 7y + mz + 2; 3x + y – 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y – 7z – 1 = 0.
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0.
d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
Bài tập 43: Xác định m, n,
λ
để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my
– 2z – 7 = 0; nx + 7y – 6z + 4 = 0.
b) 5x
– 2y + mz – 11 = 0; 3x + ny + z – 5 = 0.
c) 2x + my + 3z
– 5 = 0; nx – 6y – 6z + 2 = 0.
d) 3x
– y + mz – 9 =0; 2x + ny + 2z – 3 = 0.
Bài tập 44: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3;
– 2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y – 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x
– 5y + z – 7 = 0.
c) Qua M(2;
– 3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 6z – 14= 0 và khoảng cách từ O
đến (P) bằng 5


e) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 5z + 1= 0 và khoảng cách từ M(–1;
3; 1) đến (P) bằng 3

Soạn : a) Qua M(3; – 2;–7) và song song với mặt phẳng 2x + y – 3z + 5 = 0.
b) Qua M(1; 4;
– 2) và song song với mp (Oxz).
Bài tập 45:

a/ Viết ptmp (P) qua A(2;0;0) , B(0;3;0) và cách gốc O một khoảng bằng 6/7
ĐS :
3x 2y 6z 6 0
+
±−=

b/ (P) : ; (Q) :
xyz30++−= xyz10
−
+−=
. Viết pt mp (R) vuông góc với (P)
và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
(ĐH Khối D – 2010)
Đt : 0914449230 Email :
18
yz10
−

c/ A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và mp (P) :
+=
x2y2z10x8y4z110
.
Xác định b, c biết mp (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC)
bằng 1/3. (ĐS : b = c = 1)
(ĐH Khối B – 2010)

d/ A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1), D(0; 3; 1). Viết pt mp (P) đi qua A,B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
(ĐH Khối B – 2009)

e/ Lập pt mp (P) qua điểm A(5; 2; 0) đồng thời khoảng cách từ B(6; 1; –1) đến
(P) bằng 1 và khoảng cách từ C(0; 5; 4) đến (P) bằng 3.
f/ Viết ptmp (P) qua A(–1; 1; 1) , B(3; 0; 2) và khoảng cách từ C(1; 0; –2) đến
(P) bằng 2. ĐS :
−+=∨++−=

+
Chú ý : Cách nhận biết. …………………………
………………………………………………………………………………………




GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 4: Phương trình đường thẳng
A. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng d :
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
(Q) 0''''
)( 0
DzCyBxA

PDCzByAx
là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương :
(P) (Q)
un,n
⎡⎤
=
⎣⎦
r uuur uuur
Đt : 0914449230
19
Email :







2. Phương trình tham số:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx

0
0
0
P
Q
d
là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương
);;(
0000
zyxM
(
)
ua; b; c=
r

3. Phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−

là đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương

);;(
0000
zyxM
(
)
ua; b; c=
r

(
)
u1; 2; 4=−
r
VD : viết ptđt (d) qua M(5;3; –1) và có VTCP là
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Bài tập 46:Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:
a/ b/ c/
⎩
⎨
⎧
=+−+
=−+−
032
04332
zyx
zyx
⎩
⎨

⎧
=−++
=+−+
0626
07433
zyx
zyx
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
02
01
y
zx
Soạn : a/ b/ c/
⎩
⎨
⎧
=−++
=+−+
01
032
zyx
zyx
⎩
⎨
⎧
=+−

=−+−
063
05
yx
zyx
⎩
⎨
⎧
=−+
=−++
01
012
zx
zyx
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 47: Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng trong
các trường hợp sau:

a) Qua (2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương
).5;3;1(−=a


soạn : a/ Qua (–2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương
).4;1;0(=a

b) Qua M(2; 0;
–1)và song song với đường thẳng AB với A(2; 3; –1) và B(1; 2; 4).
c) Qua hai điểm A(3; 1;
–5) và B(2; 1; –1).

soạn : b/ Qua hai điểm A(1; 2; –7) và B(1; 2; 4).
c/ Qua hai điểm A(
–2; 1; 3) và B(4; 2; –2).
d/ Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
e/ Qua hai điểm A(1;
–1; 0) và B(0; 1; 2).
d) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y =
– 4t, z = 5 + 3t.
e) Qua (2; 0;
–5) và song song với đường thẳng (d):
.
3
2
2
5
0
1 −
=
−
+
=
−
zyx

f) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
g) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
i) Qua A(1; 3;
–1) và song song với vectơ
).1;2;1( −=a

j) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ.
k) Qua A(1; 4;
–2) và song song với đường thẳng .
⎩
⎨
⎧
=−−−
=+++
01253
03226
zyx
zyx
l)
(ĐH Thùy Sản 1998) Qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng
(d) .
⎩
⎨
⎧
=+−+
=−+−
0323
0723
zyx
zyx
m) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường
thẳng d’:
32
1
14

x
t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=− +
⎩
.
n) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(
–1;0;2) và song song với đường
thẳng d’:
32
13
14
x
t
yt
zt
=− −
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=− −

⎩
.
Bài tập 48: Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau.
b) Viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q).
Đt : 0914449230 Email :
20
Bài tập 49 :
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a/ A(1; 3; 2) , B(1; 2; 1) , C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số đường thẳng (d)
đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).

(ĐS : (d): x = 1 + t, y = 2, z = 2)
b/
(Cao Đẳng 2009) Cho tam giác ABC với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và có trọng
tâm G(0; 2;
–1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt
phẳng (ABC).
Bài tập 50 :

a/ (ĐH Thủy lợi 96) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có
phương trình: và song song với hai đường
thẳng:
222
x y z 10x 2y 26z 113 0++− ++ − =
⎧
−
+−+
⎪
== −

⎨
−
⎪
⎩
x= 7+3t
y1 z13x5
: , d': y= 1+2t
232
z=8
d
.
b/ (
ĐHBK HN 98). Cho đường thẳng d:
x12t
y2t
z3t
=
+
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
và mp(P): 2x – y – 2z +1=0.
Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng
(P) bằng 1.
c/ (

ĐH Khối A – 2005) . Cho đường thẳng d:
x1 y3 z3
121
−
+−
==
và mp (P):
2x
+ y – 2z + 9=0. Tìm tọa độ các điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mặt phẳng (P) bằng 2. (ĐS: I(
–3; 5; 7), I(3 ; –7; 1))
Đt : 0914449230
21
Email :
0
0
0
=+
⎧
⎪
x
xat
=
+
⎨
⎪
=+
⎩
yy
bt

zz ct
. Ghi chú : Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
Cần nhớ:
+ Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
(
)
+ Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
000
Mx at;y bt;z ct++
.
+
d/ (CĐ Kinh Tế - 2007) . Cho đường thẳng d:
x3 y1 z5
212
−
−−
==
và mp (P):
x
+ y – z – 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mặt phẳng (P) bằng
3
.
e/ (
ĐH Khối D – 2007) . Cho đường thẳng d :
x1 y2 z
112
−
+
=

=
−
và A(1; 4; 2),
B(
–1; 2; 4). Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho
2
MA MB
2
+
nhỏ nhất
f/ (
Cao Đẳng 2008). Cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d:
xyz
112
1
−
==
−

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ M
thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O.
g/ (
Cao Đẳng 2010). Cho đường thẳng d:
xy1z
211
−
=
=
−

và
mp (P): 2x
– y + 2z –2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với
(P). Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng
(d): x = 1 + t, y =
– t, z = 2 – t và cách mp (Q) : 2x – 2y + z + 1 = 0 một khoảng là 1
k/
(soạn) Tìm điểm A thuộc d:
12
2
3
xt
y
t
zt
=
+
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
sao cho khoảng cách từ A đến
(P): 2x
– y – 2z + 1=0 bằng 1.
l/ Tìm điểm M thuộc

()
−++
Δ==
−
x1 y2 z1
:
21 3
sao cho
AM 35=

với A(2;
–5; –6). ĐS : M(1; –2; –1) và M(5; 0; –7)
m/ Cho M(2;1;4) và d:
. Tìm H thuộc d sao cho MH ngắn nhất.
1
2
12
xt
y
zt
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
t
n/

(soạn) Cho M(–2;3;1) và d:
xt
y53t
z42t
=−
⎧
⎪
=
+
⎨
⎪
=
+
⎩
. Tìm N thuộc d sao cho MN=
11
.
B. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho mp
)(
α
có vectơ pháp tuyến
(
)
nA; B; C=
r
đường thẳng (d) có vectơ chỉ
phương
()
ua; b; c=

r
1.
0) =++=⇔⊂ CcBbAau.n((d)
α
và
).()(
α
∈→
∈
∀
MdM

2.
0)// =++=⇔ CcBbAau.n((d)
α
và
).()(
α
∉→
∈
∀
MdM

3.
0.)()( ≠++=⇔∩ CcBbAaund
α
.
Cách khác: Giải hệ phương trình của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
1. Hệ vô nghiệm
).//()( Pd⇔

2. Hệ có nghiệm duy nhất
).()(
α
∩
⇔
d

3. Hệ có vô số nghiệm
).()(
α
⊂⇔ d

Bài tập 51 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
Đt : 0914449230 Email :
22
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a) (d):
1
1
3
9
4
12 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x + 5y – z – 2 = 0.
b) (d):
34

3
2
11
zyx
=
−
=
+
; (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0.
c) (d):
3
4
2
1
8
13 −
=
−
=
− zyx
; (P): x + 2y – 4z + 1 = 0.
d) (d): x = 2t, y = 1
– t, z = 3 + t; (P): x + y + z – 10 = 0.
e) (d):
4
5
1
4
5
7 −

=
−
=
− zyx
; (P): 3x – y + 2z – 5 = 0.
f) (d): ; (P): 5x
– z – 4 = 0.
⎩
⎨
⎧
=−+−
=+++
062
016753
zyx
zyx
g) (d): ; (P): y + 4z + 17 = 0.
⎩
⎨
⎧
=+++
=−++
05
010632
zyx
zyx
h) (d): x = 2t, y = 1
– t, z = 3 + t; (P): x + y + z – 10 = 0.
Bài tập 52 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các truờng hợp sau :
a/ Chứa đường thẳng d:

x12t
y
2t
z3t
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩
và song song đường thẳng d’:
x1t
y22
z3
t
=
−
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
.
b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d:
x12t

y2t
z3t
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩
biết A(1;2;3), B(1;
–2; –3).
c/ Chứa hai đường thẳng d:
x12t
y2t
z3t
=
−
⎧
⎪
=
+
⎨
⎪
=
−
⎩
và d’:
x1t
y

22t
z3
=
−
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
.
d/ qua M(2; 3;
–1) và chứa đường thẳng
()
−
+
Δ= =
xy2z1
:
31 1

(ĐS : x
– 2y – z + 3 = 0)

Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Gọi H là giao điểm của d và (P).
Đt : 0914449230 Email :
23

GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
=+
⎧
⎪
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎪
⎩
xx at
yy bt
zz ct
Giải hpt tìm t x, y, z H.
⇒ ⇒
Bài tập 53 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1/ d: và mp(P): 2x + y + 2z=0.
1
3
2
xt
y
zt
=+

⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=+
⎩
t
2/ d:
12 4
93
1
x
t
y
zt
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
t
và mp(P): 3x + 5y – z – 2=0.
3/ d:
23
122
xyz++

==
−
và mp(P): 2x + y – z – 5 = 0.
4/ d:
21
23
1
5
x
yz−+
==
−
−
và mp(P): 2x + y + z – 8 = 0.
Đt : 0914449230 Email :
24
Soạn : a/ d:
2
12
2
x
t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪

=−
⎩
và mp(P): x + 2y – 2z – 9 = 0.
b/ d:
31
211
3
x
yz++−
==
và mp(P): x + 2y – z + 5 = 0.
Bài tập 54 :
a/ (ĐH Tài Chính KT – 1995) chứng tỏ rằng đường thẳng
nằm trong mặt phẳng : 4x
– 3y + 7z – 7 = 0
5x 3y 2z 5 0
2x y z 1 0
−+−=
⎧
⎨
−−−=
⎩
b/
(ĐH Khối D – 2003) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng
. Tìm k để d
k
vuông góc mp (P) : x – y – 2z + 5 = 0.
k
x3kyz20
(d ):

kx y z 1 0
+−+=
⎧
⎨
−++=
⎩
(ĐS : k = 1)
Bài tập 55 : Các dạng nâng cao
a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;
–1;0), vuông góc và cắt
đường thẳng (d) :
(ĐH Thương Mại – 2000)
5x y z 2 0
xy2z10
+++=
⎧
⎨
−+ +=
⎩
GV. Nguyễn Vũ Minh HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b/
1
x2 y2 z1
(d ):
341
−+
==
−
,
2

x7 y3 z9
(d ):
12 1
−
−−
==
−
,
3
x1 y3 z2
(d ):
32
++−
==
−−1
.
Lập phương trình đường thẳng cắt d
1
, d
2
và song song với d
3
(ĐH GTVT – 2000)
c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và
vuông góc với mp (P) : x
– 2y + z + 5 = 0. (ĐH Văn Lang – 97)
1
x2z0
(d ):
3x 2y z 3 0

−=
⎧
⎨
−+−=
⎩
(ĐS : 11x – 2y – 15z –3 = 0)
d/ Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng
và
(ĐH XDHN – 94)
1
2x z 1 0
(d ):
xy40
−−=
⎧
⎨
+−=
⎩
2
3x y 2 0
(d ):
yz20
+−=
⎧
⎨
−−=
⎩
(ĐS :
x1 y5 z
():

13
−−
Δ==
0
)
e/ Lập phương trình đường thẳng qua M(0;1; 1), vuông góc với đường thẳng
1
x1 y2 z
(d ):
31
−+
==
1
và cắt đường thẳng
2
xyz20
(d ):
x10
+
−+=
⎧
⎨
+=
⎩
(ĐHYD HN – 98)
(ĐS :
xy1z
():
11
1

2
−
−
Δ= =
−
−
)
f/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d:
24
224
xyz
xyz
0
0
−
+−=
⎧
⎨
+
−+=
⎩
và
d’:
1
2
12
x
t
y
zt

=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
t
. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’ .
(ĐS: (P): 2x
– z = 0 ). (ĐH Khối A – 2002)
g/
(ĐH Khối D – 2009) Cho đường thẳng d:
x2 y2 z
111
+
−
==
−
và
mp(P): x + 2y
– 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và
vuông góc với d.


h/ (ĐH Khối A – 2007) Cho hai đường thẳng
xy1z2
d:
211

−
+
==
−
,
d’:
. Viết phương trình đường thẳng
x12
y1t
z3
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩
t
Δ
vuông góc với mặt phẳng (P) và
cắt cả hai đường thẳng d và d’
k/
(ĐH Khối D – 2006) Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d:
Đt : 0914449230 Email :
25