(Tiểu luận) báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 đề tài dùng tổng tích phân riemann tính diện tích một địa phương trong thực tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN GIẢI TÍCH 1
ĐỀ TÀI
DÙNG TỔNG TÍCH PHÂN RIEMANN
TÍNH DIỆN TÍCH MỘT ĐỊA PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ

GVHD Ths. Nguyễn Thị Xuân Anh
ên: GVLTNNguyễn Thị Kiều Ân
GVBT:
Nhóm Lớp: L1516

Danh sách thành viên:
Họ tên

MSSV

1.

Lê Thị Quỳnh Sương

2212958

2.

Trần Nhật Huy

2211286

3.

Nguyễn Trần Đức Hùng

2211342

4.

Lê Phúc Hoàng

2211081

i

h


TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2022

ii

h


MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH ẢNH.........................................................................................iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU.......................................................................................iv
NỘI DUNG ĐỀ BÀI...................................................................................................1
TÓM TẮT...................................................................................................................2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................................3
1.Định nghĩa……...................................................................................................3
2. Các dạng của tổng Riemann...............................................................................4
3. Hàm sai số cuả tổng Riemann............................................................................4
CHƯƠNG II: GEOGEBRA........................................................................................6
1.Giới thiệu các lệnh Geogebra được sử dụng.......................................................6
2.Giải bài toán bằng sơ đồ khối........................................................................6
3.Ví dụ...................................................................................................................7
CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ KẾT UẬN..................................................................8
1. Kết quả……………………................................................................................8
2. Kết luận…………...............................................................................................10
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................11
PHẦN PHỤ LỤC.........................................................................................................12

iii

h


DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 …………...…………………………………………………………………3
Hình 2.1 …………...…………………………………………………………………7
Hình 2.2 …………...…………………………………………………………………7
Hình 3.1 …………...…………………………………………………………………9
Hình 3.2 …………...…………………………………………………………………10

iv

h

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1.……………………………………..…………………………………………6

v

h


NỘI DUNG ĐỀ BÀI
Dùng tổng tích phân Riemann tính diện tích 1 địa phương trong thực tế.
Tính diện tích phường Đơng Hồ, Dĩ An, Bình Dương theo hướng dẫn trong file “Hướng
dẫn BTL” ở Bkel với các yêu cầu dưới đây:
1/Tỉ lệ 0.5km=1đv
2/Diện tích thực tế để so sánh: 10.25 𝑘𝑚2

1

h


TĨM TẮT
Đề tài được giao
Tính diện tích 1 địa phương trong thực tế bằng tổng Riemann.
Hướng giải quyết bài tập


Ôn lại các kiến thức cần thiết trong chương 4 “PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ” của Giải Tích 1.



Tìm hiểu về phần mềm động Geogebra (các lệnh, các hàm symbolic và vẽ đồ
hoạ).



Giải quyết bài toán trên Geogebra.



Viết báo cáo bằng word và trình bày dưới dạng pdf.

Ý nghĩa của bài tốn
Bài tốn cho ta cái nhìn trực quan về việc tính diện tích địa phương bằng sự phân chia
các vùng thành các dạng hình (hình chữ nhật, hình thang, parabol, hoặc hình hàm bậc
ba) mà cùng nhau tạo thành những vùng giống với những vùng đã có được cơng thức
tính tốn, sau đó tính diện tích của mỗi vùng này, và cuối cùng cộng tất cả diện tích của
những vùng nhỏ này với nhau.
Mục đích của báo cáo


Báo cáo kết quả bài tập cho giảng viên.



Ghi chép lại quá trình giải quyết bài tập của cả nhóm.

2

h


CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
-Ta đều biết ứng dụng thường dùng nhất của tích phân là để tính diện tích. Trong phần
này, ta sẽ cùng đi qua một phương pháp dùng diện tích để tính gần đúng giá trị của
tích phân, gọi là tổng Riemann. Phương pháp này cực kì hữu hiệu khi ta cần tính tích
phân mà khơng biết chính xác hàm 𝑓(𝑥) , chỉ biết tập hợp gồm toạ độ các điểm 𝑥 và
𝑓(𝑥)trong một miền xác định.
-Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên đoạn [𝑎; 𝑏] (𝑎 < 𝑏). Chia đoạn [𝑎; 𝑏] thành n phần
nhỏ hữu hạn [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ], (𝑖 = 1, … , 𝑛) bởi những điểm
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 < … < 𝑥𝑛 = 𝑏
-Trên mỗi phần nhỏ này [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ] chọn bất kỳ một điểm 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ] và thành lập
tổng 𝜎 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓 (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 , với ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 > 0.
-Tổng 𝜎 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 được gọi là tổng tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn
[𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ], hay tổng Riemann. Nói cách khác, tổng Riemann là tổng diện tích của các
hình chữ nhật có bề ngang ∆𝑥𝑖 và chiều cao 𝑓 (𝑥𝑖∗ ) trên miền [𝑎; 𝑏]. Ta có thể dùng
𝑏

tổng Riemann để xấp xỉ giá trị của tích phân ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥.

Hình 1.1: Tổng Riemann cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 trong khoảng [−4;4] được chia thành 20
đoạn nhỏ, hay bước chia Δ𝒙𝒊 =0.2 và 𝑥𝑖∗ = (𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 )/2.

3

h

-Số hữu hạn 𝐼 ∈ 𝑅 được gọi là giới hạn của tổng tích phân 𝜎 khi λ→0,
(λ = max{Δxi , i = 1, … , n}) nếu như với mọi 𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, sao cho đoạn
[𝑎; 𝑏] bị chia thành những đoạn nhỏ với độ dài 𝛥𝑥𝑖 < 𝜀, có nghĩa là 𝜆 < 𝛿 , ln có
bất đẳng thức |σ − I| < ε không phụ thuộc vào cách chia đoạn [𝑎; 𝑏] thành những
đoạn nhỏ và cách chọn điểm 𝑥𝑖∗ trên những đoạn nhỏ [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ]. Lúc này ta viết
lim 𝜎 = 𝐼.
𝜆→0

- Nếu tổng tích phân 𝜎 có giới hạn hữu hạn khi λ→0, có nghĩa là lim 𝜎 = 𝐼 thì I là tích
𝜆→0

phân xác định của hàm số 𝑓(𝑥) trong khoảng [𝑎; 𝑏]. Trong trường hợp này những số a
và b trở thành cận trên và cận dưới của tích phân.
-Như vậy ta có tích phân Riemann
𝑏

𝑛

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 𝜎 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖
𝜆→0

𝜆→0

𝑎

𝑖=1

2. Các dạng của tổng Riemann:
Dựa vào cách chọn 𝑥𝑖∗ mà ta có thể chia tổng Riemann ra làm 3 dạng chính:

Tổng Riemann trái khi 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖−1 .
∗
 Tổng Riemann giữa khi 𝑥𝑖 = (𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 )/2.
∗
 Tổng Riemann phải khi 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 .
Ngồi ra, cịn một phương pháp tương tự tổng Riemann được gọi là quy tắc hình thang.
Thay vì sử dụng 𝑓(𝑥𝑖∗ ), ta thay bằng trung bình cộng của 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝑣à 𝑓(𝑥𝑖 ). Khi đó ta có


𝑏

𝑛

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑
𝑎

Tổng∑𝑛𝑖=1

𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑖=1

𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )
𝛥𝑥𝑖
2

𝛥𝑥𝑖 chính là tổng diện tích các hình thang có độ dài cạnh bên
là 𝛥𝑥𝑖 và độ dài hai đáy lần lượt là 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝑣à 𝑓(𝑥𝑖 ).
2

3. Hàm sai số của tổng Riemann:
Gọi 𝑀1 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓′(𝑥)| và 𝑀2 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓′′(𝑥)| trong khoảng [𝑎, 𝑏]. N: số khoảng chia
Khi đó:


Sai số của tổng Riemann trái

4

h


𝑏

𝑛

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓 (𝑥𝑖−1 )∆𝑥𝑖 | ≤
𝑖=1

𝑎

(𝑏 − 𝑎 )2
𝑀1
2𝑁

 Sai số của tổng Riemann phải
𝑏

𝑛

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 | ≤
𝑖=1

𝑎



(𝑏 − 𝑎 )2
𝑀1
2𝑁

Sai số của tổng Riemann giữa
𝑏

𝑛

(𝑏 − 𝑎 )3
𝑓 (𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )
| ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − ∑
∆𝑥𝑖 | ≤
𝑀2
2
12𝑁 2
𝑖=1

𝑎

Bên cạnh đó, ta cũng có sai số cơng thức hình thang
𝑏

𝑛

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓 (
𝑎

𝑖=1

(𝑏 − 𝑎 )3
𝑥𝑖 +𝑥𝑖−1
) ∆𝑥𝑖 | ≤
𝑀2
2
24𝑁 2

 Nhận xét: Từ 4 cơng thức sai số trên, ta có thể thấy cơng thức hình thang và
tổng Riemann giữa có thể xấp xỉ giá trị tích phân tốt hơn khi N→∞, do 2 công
thức này tỉ lệ nghịch với 𝑁 2 , trong khi sai số của tổng Riemann trái và phải chỉ
tỉ lệ nghịch với N.

5

h


CHƯƠNG II: GEOGEBRA
1.Giới thiệu các lệnh Geogebra được sử dụng:
Tên lệnh
Công cụ di chuyển

Các công cụ liên

quan đến đối tượng
điểm

Các công cụ liên
quan đến đoạn,
đường thẳng:

Các công cụ tạo mối
quan hệ hình học

Curve()

Ý nghĩa

Ví dụ

Khơng dùng để vẽ và khởi tạo hình mà
dùng để di chuyển hình, ta kéo thả
chuột lên đối tượng để di chuyển đối
tượng này
Dùng để tạo 1 điểm mới, điểm được
tạo có thể là điểm tự do trên mặt
phẳng hoặc điểm thuộc 1 đối tượng
khác (đường thẳng, đoạn thẳng)

Dùng để tạo đường, đoạn, tia qua 2
điểm cho trước

,

,

Dùng để tạo đường thẳng đi qua 1
điểm và vng góc với 1 đường hoặc
đoạn thẳng cho trước
Vẽ đồ thị của phương trình tham
số,với các hàm của y,x theo biến t,
điểm đầu và điểm cuối cho trước

m = curve(1.65,4.47+t,t,0,1.32)

Bảng 2.1 Các lệnh Geogebra cơ bản

2.Giải bài toán bằng sơ đồ khối:

6

h


Hình 2.1 Sơ đồ khối
3. Ví dụ:

Hình 2.2 Biểu đồ theo ví dụ.

7

h

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN
1. Kết quả:
Kết quả bài tốn thu được bằng :

Hình 3.1 Kết quả chạy được từ Geogebra
Link Geogebra: />8

h


*Nhận xét:
-Dựa vào hình 3.1 ta thấy diện tích đa giác: 10.915km2, diện tích theo phân hoạch:
10.757km2

Diện tích theo wikipedia.org: 10.46km2

Hình 3.2 Kết quả Wikipedia
*Nhận xét:
-Dựa vào hình 3.2 ta thấy rằng : diện tích thực theo wikipedia: 10.46km2
2. Kết luận
Qua đề tài lần này, nhóm 16 đã thu hoạch được rất nhiều kiến thức bổ ích:
-Giải được bài tốn, đặc biệt với đề tài nhóm đã nắm bắt được một số khái niệm cơ bản
của của tổng tích phân Riemann.
-Biết cách sử dụng cơng cụ Geogebra.
- Phân tích được bài tốn tính diện tích của địa phương bằng ứng dụng tổng tích phân
Riemann.
-Rèn luyện được kỹ năng làm việc nhóm.
-Biết được cách trình bày chuẩn của một bài báo cáo, bài tiểu luận.
- Nhóm đã hồn thành bài tốn của giáo viên giao cho với đề tài “tính diện tích của địa
phương bằng tổng riemann”.

9

h


- Kết quả đạt được trên Geogebra theo đúng với dự tính, và đồng thời đúng hình dáng
đồ thị so với các phần mềm khác.
 Đề tài này đã hỗ trợ xác định diện tích của địa phương. Với phương pháp sử dụng
phần mềm Geogebra có thể giúp thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán
tương tự mà không thể giải được bằng tay.

10

h


TÀI LIỆU THAM KHẢO
“Giáo trình Giải tích 1”

11

h


PHỤ LỤC

12

h