Đại số tổ hợp - Chương 2 Đại số 11

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
1

C
hương

2




HAI QUI TẮC CƠ BẢN



1. QUI TẮC CỘNG :
 Một công việc nào đó có thể thực hiện theo
một trong hai phương án
A hoặc B. Nếu
phương án A có
m
cách thực hiện , phương án B có
n
cách thực hiện và
không trùng với bất kì
cách nào trong phương án A
thì công việc đó có
m + n
cách thực hiện.


Tổng quát :
Một công việc có thể tiến hành theo một trong
k
phương án
1 2 3
, , ,
k
A A A A
. Phương án
1
A
có thể thực hiện theo
1
n
cách, phương án
2
A
có thể thực hiện theo
2
n
cách,…, phương án
k
A
có
thể thực hiện theo
k
n
cách.
Các phương án ở các cách không trùng nhau.

Khi đó công việc có thể thực hiện theo :
1 2 3

k
n n n n
   
cách.
Ví dụ :
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy. Cần chọn một
đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy
Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn.
Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn.
Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả:
3 + 2 = 5 cách chọn.
Ví dụ :
Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. Một thực khách cần chọn
đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
Thực khách có 3 phương án chọn :
Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn
Hoặc chọn bia : 4 cách chọn
Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn
Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 12 cách chọn 1 loại thức uống.
2. QUI TẮC NHÂN:
 Một công việc nào đó có thể bao gồm 2
công đoạn
A và B. Nếu công đoạn A có
m

cách
thực hiện và
ứng với mỗi cách đó
có
n
cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có
m.n
cách
thự hiện.

Tổng quát :

Một công việc nào đó có thể bao gồm
k

công đoạn

1 2 3
, , ,
k
A A A A
Nếu công đoạn
1
A
có
1
n

cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công đoạn
1

A
có
2
n
cách thực hiện công đoạn
2
A
, ứng
với mỗi cách trong công đoạn
2
A
có
3
n
cách thực hiện công đoạn
3
A
,…, ứng với mỗi cách trong
công đoạn
1
k
A

có
n
k
cách thực hiện công đoạn
k
A
.

Khi đó công việc có thể thực hiện theo :
1 2 3
. .
k
n n n n
cách.
TỔ HỢP
–
XÁC SUẤT
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
2

Ví dụ :
Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ Huế đến Sài Gòn có 4
cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ?
Giải
Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến hành theo 2 giai đoạn liên
tiếp nhau :

Giai đoạn 1 :
đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi (một trong 3 : hoặc máy bay, hoặc tàu hỏa,
hoặc ô tô).

Giai đoạn 2 :
từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn
thành giai đoạn 2.
Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả :
3.4 12


cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn.
Ví dụ :
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số
5, 6, 7, 8, 9 ?
Giải
Số cần lập có dạng :
1 2 3 1
,( 0)
a a a a

, để lập được số như thế ta thực hiện các giai đoạn sau :
Chọn
1
a
: chọn một trong 5 số 5, 6, 7, 8, 9 : có 5 cách chọn.
Chọn
2
a
:
1 2

doa a
ta chọn
2
a
từ 4 số còn lại ,với mỗi cách chọn
1
a
có 4 cách chọn
2

a
.
Chọn
3
a
: với mỗi cách chọn
2
a
có 3 cách chọn
3
a


1 2 3
a a a
 

Vậy theo nguyên tắc nhân có tất cả :
5.4.3 60

số thỏa yêu cầu bài toán.
3. NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ :
 Kí hiệu
A
là
số phần tử
trong tập hợp
A



Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A và B :

A B A B A B
    


Nguyên lí này được lí giải như sau :
do tập A và B có thể có phần chung do đó có thể có
phần tử được đếm đến 2 lần trong
A
và trong
B
nên cần trừ đi một lần trong
A B

.

Ví dụ :
Tập


, , ,1,2,6

A a b c
có 6 phần tử
6

A
,
Tập



, , ,7,0,6,9

B a c d
có 7 phần tử
7

B
,
A và B có chung 3 phần tử


, ,6 , 3
A B a c A B
   

Ta có :


, , , ,0,1,2,6,7,9
 
A B a b c d
có 10 phần tử,
6 7 3 10
        
A B A B A B

Ví dụ :
Có bao nhiêu xâu nhị phân ( xâu có thứ tự được thành lập từ 0, 1 ) có độ dài là 10

bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ?
Giải
Đặt A là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00.
B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11.


kết quả cần tính là :
A B A B A B
    

với
8
8
6
2 256
2 256
2 64
A
B
A B
 
 
  

256 256 64 448
A B A B A B
         
xâu nhị phân thỏa yêu cầu bài toán.

Đại số 11 – Chương II

NHĐ
3

Baøi 1.
Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy
cách chọn lấy 1 bông hoa?
Baøi 2.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ
được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách
chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như
nhau?
ĐS
: 36.
Baøi 3.
Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập
một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.
Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 4.
Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Cần chọn một người đàn ông và một người đàn bà phát biểu
ý kiến. Tính số cách chọn sao cho :
a) Hai người đó là vợ chồng
b) Hai người đó không là vợ chồng
Baøi 5.
Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng.
Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS
: a/ 35 b/ 29.
Baøi 6.

Một cô gái có 6 cái áo, 5 quần dài, 3 cái nón, 2 kẹp tóc, 3 đôi giày, 2 áo khoác; mỗi loại đều
khác nhau. Một bộ trang phục gồm : áo, quần, kẹp, giày, áo khoác; thời gian để thay một bộ trang
phục là 1 phút 30 giây. Hỏi cô có thể có tất cả bao nhiêu bộ trang phục và thời gian ngắn nhất để
thử chúng?
Baøi 7.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:
a/
,
x A y A
 
b/
{ , }
x y A

c/
, 6
x A y A vaø x y
   
.
ĐS
: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Baøi 8.
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
ĐS: a) 6
6
b) 6!

Baøi 9.

Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo
thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi).

ĐS: Số cần tìm có dạng:
abcba
 có 9.10.10 = 900 (số)

Baøi 10.
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS
: 15.
Baøi 11.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Gồm 2 chữ số?
b/ Gồm 2 chữ số khác nhau?
c/ Số lẻ gồm 2 chữ số?
d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS
: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24.
Baøi 12.
Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS
: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48.
Đại số 11 – Chương II

NHĐ
4

Baøi 13.
a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ
hơn 400?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong
khoảng (300 , 500).
ĐS
: a/ 35. b/ 24.
Baøi 14.
Hỏi tỉnh Tiền Giang có thể có tất cả bao nhiêu bảng số xe trên 50 phân khối ?
Baøi 15.
Một lớp có 40 học sinh đăng kí choi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu
lông. Có 30 em đang kí bóng đá, 25 em đang kí cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đang kí cà hai
môn?
Baøi 16.
Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giải Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không
gỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Toán lẫn Văn?



HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP


I. HOÁN VỊ :

Định nghĩa :
Cho tập A gồm
n

phần tử


1
n

. Mỗi kết quả của sự
sắp xếp thứ tự n phần
tử
của tập hợp A được gọi là một
hoán vị
của
n
phần tử đó.

Nhận xét :
Hai hoán vị của
n
phần tử chỉ khác nhau ở
thứ tự sắp xếp
. Chẳng hạn hai
hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau.

Số các hoán vị :
Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của n phần tử :



. -1 2.1 !
n
P n n n
 

- Qui ước :
0! 1

.

Ví dụ :
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi ?
Giải
Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất
cả
3
1.2.3 3! 6
P
  
cách sắp.
Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Ví dụ :
Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ?
Giải
Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là :
4
4! 24
P
 
(số).


Hoán vị vòng :
Cho tập A gồm
n
phần tử


1
n

. Mỗi kết quả của sự
sắp xếp thứ tự n
phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín
được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó.
-
Số hoán vị vòng của n phần tử là :


1
-1 !


n
P n
.


Ví dụ :
Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ?
Giải

Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều
nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các
hoán vị vòng không có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :
 
-1
!
-1 !
n
n
n P
n
 
.
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
5


Ví dụ :
Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?
Giải
Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không
thay đổi nên số đa giác là :


-1
-1 !
2 2
n
n

P

.
II. CHỈNH HỢP :

Định nghĩa :
Cho tập A gồm n phần tử


1
n

. Kết quả của việc lấy
k phần tử khác nhau
từ n phần tử
của tập hợp A và sắp xếp chúng
theo thứ tự
nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử.

Số các chỉnh hợp :
Kí hiệu
A
k
n
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử


1
k n

 

   
 
!
. -1 - 1
- !
k
n
n
A n n n k
n k
  

- Chú ý :
Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì
vậy :
n
n n
P A



Ví dụ :
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, … 9 ?
Giải
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ số khác nhau từ chín
chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5
của 9. Vậy có tất cả
5

9
120
A 
số

III. TỔ HỢP :

Định nghĩa :
Cho tập A có
n
phần tử


1
n

. Mỗi
tập con gồm k phần tử
của A được gọi
là một tổ hợp chập
k
của
n
phần tử đã cho.
- Chú ý :
Số
k
trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện
1
k n

 
.Tuy vậy tập hợp không
có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Số các tổ hợp :
Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập
k
của
n
phần tử


0
k n
 
, ta có :
 
!
! - !
k
n
n
C
k n k



Tính chất của các số
k
n
C
:



 
1
1 1
, 0
, 1 .
k n k
n n
k k k
n n n
C C k n
C C C k n


 
  
   

Ví dụ :
Cho tập



1,2,3,4,5
A

. Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A ?
Giải
Có tất cả
 
3
5
5!
10
3! 5 3 !
C
 

tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A.
Các tổ hợp đó là :





















1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 ; 2,3,4 ; 2,3,5 ; 3,4,5 ; 1,3,
4 , 1,3,5 ; 2,3,4 , 1,4,5
.
Ví dụ :
Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người.
a) Có bao nhiêu cách lập ?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu trong đó có 3 nam, 2 nữ ?
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
6

Giải
a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10. Vì vậy số đoàn đại biểu có thể có là :
5
10
10!
252
5!(10 - 5)!
C  
.
b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có
3
6

C
cách chọn
Chọn 2 người từ 4 người nữ : có
2
4
C
cách chọn
Theo nguyên tắc nhân có tất cả
3 2
6 4
. 120
C C 
cách lập đoàn.
IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP :
1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp
số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… ).
2.
Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :










Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là
sắp xếp có thứ

tự hay không
. Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta
đảo vị trí các phần tử trong đáp án , nếu :

Tạo nên đáp án mới

có thứ tự

chỉnh hợp

Không tạo nên đáp án mới

không có thứ tự

tổ hợp.
Ví dụ :
Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3 người để :
a) Phân công trực nhật lớp
b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.
Phân tích
Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C

Đối với câu a :
nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn
không thay đổi
so với tổ
ban đầu

tổ hợp

Đối với câu b :
theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được
chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so
với tổ ban đầu

chỉnh hợp.

Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp :

!
k k
n n
A k C

ta còn có thể giải bài toán
đếm bằng cách "
chọn và sắp
".
Lấy lại ví dụ ở trên :
Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để :
a) Phân công trực nhật lớp
b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.
Giải
a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có :
3
37
C
cách
Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất.
Vậy ta có tất cả : 1.

3
37
C
= 7770 (cách).
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
- Các phần tử chỉ xuất
hiện một lần.
-
Lấy ra hết n
phần tử để
sắp xếp.
- Các phần tử xếp
có thứ
tự.

- Các phần tử chỉ xuất
hiện một lần.
- Lấy ra
k phần tử trong
n phần tử
để sắp xếp.
- Các phần tử xếp
có thứ
tự.

- Các phần tử chỉ xuất
hiện một lần.
- Lấy ra
k phần tử trong n
phần tử

để sắp xếp.
- Các phần tử
xếp không
có thứ tự.

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
7

b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có :
3
37
C
cách
Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp.
Vậy ta có tất cả : 3!.
3
37
C
= 46620 (cách).
3. Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :


Tính trực tiếp
: tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra


Tính gián tiếp
: đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có
nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp. Cách

tính gián tiếp dựa trên nguyên lí
“ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm (phức tạp)
”.
Các từ cần lưu ý : “
có ít nhất 1
”, "
có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng
thời có mặt”, " bắt đầu bởi"…
Ví dụ :
Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao cho A không đứng cạnh B
Phân tích
Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5.

Nếu ta đếm trực tiếp :
xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ xuất hiện nhiều trường
hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn.

Nếu ta đếm gián tiếp :
đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem như A, B là
một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được
kết quả bài toán. Việc đếm gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều.
Giải

Xem A và B
như một chỗ
(xem phương pháp buộc), ta có
4! = 24
cách xếp. Nhưng A có thể đứng
bên trái hoặc bên phải B nên ta có
24.2 = 48

cách xếp A đứng cạnh B.
Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp
Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách.
4. Phương pháp tạo vách ngăn :
Khi bài toán yêu cầu sắp xếp hai hoặc nhều phần tử
không
đứng cạnh nhau
chúng ta có thể tạo ra các “vách ngăn” trước khi sắp xếp
Ví dụ :
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy không được đứng
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải
Trước hết ta xếp 6 học sinh thành hàng ngang : có 6! cách. Khi đó mỗi học sinh đóng vai trò
là một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí để xếp 2 thầy. Xếp 2 thầy vào 7 vị trí: có
7
2
A
cách.
Vậy có tất cả : 6!.
7
2
A
= 30240 cách.
5.Phương pháp buộc các phần tử :
Khi cần xếp 2 hay nhiều phần tử luôn đứng cạnh nhau ta
buộc chúng lại thành một nhóm và coi như là một phần tử.
Ví dụ :
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy luôn đứng cạnh
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải

Trước hết ta “buộc” 2 thầy lại và coi như một phần tử A. Xếp thứ tự trong nhóm A có :
2! cách.
Khi đó ta xếp thứ tự 6 học sinh và phần tử A thành một hàng, có : 7! Cách
Vậy theo qui tắc nhân có tất cả : 2!.7! cách.




Đại số 11 – Chương II
NHĐ
8

IV. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN :
1.

Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp.
* Bài toán 1 :
"Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ
để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? "

Lời giải 1 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
720
A 
cách
- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có
3
12

1320
A 
cách
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là :
720.1320 950400

cách
Lời giải 2 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
120
C 
cách
- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có
3
12
220
C 
cách
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là :
120.220 26400

cách

Lời giải 3 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
120

C 
cách
- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có
3
12
220
C 
cách
Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là :
120.220 26400

cách
Vì một đôi gồm 2 bạn ( 1 nam, 1 nữ ) nên chọn ra 1 bạn nam ( trong 3 bạn nam ) và một bạn
nữ ( trong 3 bạn nữ ) có : 3.3 = 9 cách.
Vậy có tất cả là :
3 3
10 12
9. . 9.120.220 237600
C C  
cách
Lời giải 4 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
120
C 
cách
- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có
3
12

220
C 
cách
Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là :
120.220 26400

cách
Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là số hoán vị 3 học sinh
nam hoặc 3 học sinh nữ ).
Vậy có tất cả là :
3 3
10 12
3!. . 6.120.220 158400
C C  
cách.
Phân tích
Lời giải 1 :
là
lời giải sai
vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh.

Lời giải 2 :

lời giải sai
chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán
chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi.

Lời giải 3 :

lời giải sai

nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam và nữ ( đề bài yêu cầu
chọn ra 3 đôi ).
Lời giải 4 :
là
lời giải đúng

2.

Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại :
* Bài toán 2 :
" Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E. Cần chọn ra 3 bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn "

Lời giải 1 :
- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn.
- Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn.
- Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn.
Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn.
Lời giải 2 :
- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn.
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
9

- Chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại : có
2
4
6
C

cách chọn.

Vậy ta có tất cả :
2
4
5. 5.6 30
C
 
cách chọn.
Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số cách chọn là :
3
5
10
C

cách.
Phân tích
Lời giải 1 : đây là
lời giải sai
, ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3 bạn trong khi đề bài
không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví dụ :
Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn
- Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là A,
B, C.
- Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là B,
A, C. Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên
kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng.

Lời giải 2 :
lời giải sai
, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác nhưng ở đây
ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai.

Lời giải 3 :
lời giải đúng
.

* Bài toán 3 :
"Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ra 6 học sinh sao cho có ít nhất
6 học sinh nữ được chọn ?"

Lời giải 1 : Tính trực tiếp :
- Trường hợp 1 : 2 nữ, 4 nam có :
2 4
15 30
C C
cách chọn.
- Trường hợp 2 : 3 nữ, 3 nam có :
3 3
15 30
C C
cách chọn.
- Trường hợp 3 : 4 nữ, 2 nam có :
4 2
15 30
C C
cách chọn.
- Trường hợp 4 : 5 nữ, 1 nam có :
5 1
15 30
C C
cách chọn.
- Trường hợp 5 : 6 nữ có :

6
15
C
cách chọn.
Vậy có tất cả :
2 4
15 30
C C
+
3 3
15 30
C C
+
4 2
15 30
C C
+
5 1
15 30
C C
+
6
15
C
= 5413695 cách chọn.

Lời giải 2 : Tính gián tiếp :
- Chọn 6 học sinh bất kì : có
6
45

C
cách chọn.
- Chọn 1 nữ, 5 nam : có
1 5
15 30
.
C C
cách chọn.
- Chọn 6 nam : có
6
30
C
cách chọn.
Vậy ta có tất cả :
6
45
C
- (
1 5
15 30
.
C C
+
6
30
C
) = 5413695 cách chọn.

Lời giải 3 :
- Bước 1 : chọn 2 nữ ( vì có ít nhất 2 nữ ) có

2
15
C
cách chọn.
- Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có
4
43
C
cách chọn.
Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ.
Vậy có tất cả :
2
15
C
.
4
43
C
= 12958050 cách chọn.
Phân tích
Lời giải 1 +2 :
đều là
lời giải đúng
.
Lời giải 3 :
là
lời giải sai
. Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn nhưng
trong lời giải mắc phải sai lầm. Chọn 2 bạn nữ và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết
quả lại sai.

Nguyên nhân sai lầm :
cách đếm bị trùng
:
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
10

Công việc chia thành hai công đoạn : Công đoạn 1 : chọn 2 nữ nữ không biệt thứ tự là đúng,
ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1; ứng với mỗi cách chọn ở Công đoạn 1 có
4
43
C
thực hiện Công
đoạn 2 nhưng trong khi thực hiện cách chọn đã bị trùng (do kết quả cuối cùng không phân biệt
thứ tự ).
Chẳng hạn :
- Giả sử 2 bạn nữ được chọn là A, B; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, F giả sử rằng trong 4
bạn vừa được chọn có bạn F là nữ. Vậy 6 bạn là : A, B, C, D ,E ,F.
- Giả sử trường hợp khác 2 bạn nữ được chọn là A, F; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, B. Vậy
6 bạn là : A, F, C, D ,E , B. Nhóm này trùng với nhóm ở trường hợp trên.




3.

Sai lầm 3 : Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp.
* Bài toán 4 :
“ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10
câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao

nhiêu đề kiểm tra ? ”
Giải

Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có
10
20
C
cách.

Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó).
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có
10
16
C
cách.
- Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có
10
13
C
cách.
- Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có
10
11
C
cách.
Vậy có tất cả


10 10 10 10
20 16 13 11

176541
C C C C   
đề kiểm tra.
Lời giải trên là đúng nhưng khi thay đổi đề một chút đôi khi ta phạm phải sai lầm là liệt kê
thiếu trường hợp khi dùng cách giải gián tiếp :

* Bài toán 5 :
“ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7
câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu đề kiểm tra ? ”

Lời giải 1 :


Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.


Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ trong 9 câu có
7
9
C
cách.
- Trường hợp 2 : chọn 7 câu trung bình có 1 cách.
- Trường hợp 3 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có
7

16
C
cách.
- Trường hợp 4 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có
7
13
C
cách.
- Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có
7
11
C
cách.
Vậy có


7 7 7 7 7
20 9 16 13 11
1 63997
C C C C C     
đề kiểm tra.


A-F C-D-E-B

A-F-C-D-E-B

A-B-C-D-E-F
C-D-E-F
A-B

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
11


Lời giải 2 :

Loại 1 : chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.



Loại 2 : chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có
7
16
C
cách.
- Trường hợp 2 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có
7
13
C
cách.
- Trường hợp 3 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có



7 7 7 7
20 16 13 11
64034
C C C C   
đề kiểm tra.
Lời giải 3 :

Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.


Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1 : 7 câu chọn ra chỉ có 1 loại :
7 7
9 7
C C

( là một loại dễ hoặc trung bình ).
- Trường hợp 2 : 7 câu chọn ra có đủ hai loại :
* Dễ và trung bình :


7 7 7
16 9 7
C C C
 
( trong 16 câu dễ và trung bình thì khi chọn ra 7 câu thì 7

câu đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc một loại )
* Dễ và khó :
7 7
13 9
C C


* Trung bình và khó :
7 7
11 7
C C


Vậy có


7 7 7 7 7
20 16 13 9 11
1 64071
C C C C C     
đề kiểm tra.
Phân tích

Lời giải 1 :
lời giải sai
, quên loại trừ các trường hợp có thể trùng nhau, ví dụ như ở Loại 2 : Trường
hợp 3 chứa cả Trường hợp 1 và Trường hợp 2 nên kết quả cuối cùng là không chính xác.
Lời giải 2 :
lời giải sai,
tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị trùng nhau, ví dụ ở Loại

2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị trùng nhau ( 7 câu toàn dễ đều xuất hiện trong 2
trường hợp).
Lời giải 3 : lời giải đúng.
Baøi 1.
Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp


, , , , ,
a b c d e f
mà phần tử cuối là a?
Baøi 2.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Baøi 3.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118.
Baøi 4.
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách
đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

ĐS: a) P

12
b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)
Baøi 5.
Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi
xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên
bi cùng màu ở cạnh nhau?
ĐS: 298598400.

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
12

Baøi 6.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
a/ Bạn C ngồi chính giữa?
b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a/ 24. b/ 12.
Baøi 7. Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: a/ 2.29!. b/ 28.29!.
Baøi 8.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết
rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?
ĐS: 4838400.

Baøi 9.
Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?

ĐS: a/ 86400. b/ 2903040.
Baøi 10.
Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi
nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560. b/ 120960.
Baøi 11.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này
bằng 9.
ĐS
: 18.
Baøi 12.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số
đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS
: 480.
Baøi 13.
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS
: 6840.
Baøi 14.
Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –
không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
ĐS:
2
4
A
= 12 vectơ

Baøi 15.
Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số
khác nhau?
ĐS: a)
6
10
A
= 10
6
b)
6
10
A
= 15120

Baøi 16.
Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng
chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi
vừa đủ số học sinh)
ĐS:
2
n
A
= 132  n = 12

Baøi 17.
Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).

b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá
quả số 4.
ĐS
: a/ 55440. b/ 120.
Baøi 18.
Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: Có
3 3
10 6
.
A A
cách
Baøi 19.
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
13

c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS
: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160.
Baøi 20.
Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

ĐS: a)

4
9
9.
A
b) Có 9
5
số

Baøi 21.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

ĐS: a) 6.
4
6
A
b)
3 3
5 5
6. 3.5
A A


c) Số gồm 5 chữ số có dạng:
abcde

 Nếu a = 5 thì có
4

6
A
số
 Nếu a  5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e  có 4 cách
chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại  có
3
5
A
cách chọn.
 Có
4 3
6 5
4.5.
A A

= 1560 số

Baøi 22.
Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345.
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS
: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480.
Baøi 23.
a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia
hết cho 3.
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong
các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong

đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
ĐS
: a/ 18. b/ 42000. c/ 13320.
Baøi 24.
Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS
: 4651200.
Baøi 25.
Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách
lấy được:
a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?

ĐS
: a/ 20. b/ 150.
Baøi 26.
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao
nhiêu cách làm như vậy?
ĐS
: 1200.
Baøi 27. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn
chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ
d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.

ĐS: a)
4
40
C

b)
1 3
25 15
.
C C
c)
2 2
25 15
.
C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
  
e)
4 4 4
40 25 15
C C C
 

Baøi 28.
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
14

một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó
hoa trong đó:

a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS
: a/ 112 b/ 150.
Baøi 29. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi.
Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và
1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

ĐS:  Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C 

 Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C


Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Baøi 30.
Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn
một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?

ĐS
: a/ 2974. b/ 15048.

(ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)

Baøi 31.
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai
học sinh khá.
ĐS
: 37
Baøi 32.
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào
đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

ĐS:  Số giao điểm:
2
( 1)
2
n
n n
C



 Số tam giác:
3
( 1)( 2)
6
n
n n n
C
 



Baøi 33.
Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo
thành?
ĐS: a)
2
10
C
b)
2
10
A
c)
3
10
C
d)
4
10
C

Baøi 34.
Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử?
Đs: 2
100

-5051
Baøi 35.
Một tổ bộ môn trường có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành
lập một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn, trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ?
Đs: 96460.










Đại số 11 – Chương II
NHĐ
15

MỘT SỐ CÔNG THỨC QUAN TRỌNG


Giai thừa :
 n! = 1.2.3…n
 n! = (n–1)!n

!
!
n
p

= (p+1).(p+2)…n (với n>p)

!
( )!
n
n p

= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)

 Tổ hợp, chỉnh hợp :

!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
     



!
!( )!
k
n
n
C
k n k






Đối với
k
n
A
điều kiện là:
k ,n
1 k n



 





Đối với
k
n
C
điều kiện là:
k ,n
0 k n




 



Tính chất:



0
1
1 1
1
1
1
n
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
C C
C C
C C C
n k
C C
k



 

 

 
 



Baøi 1.
Rút gọn các biểu thức sau:


 


 




 
7 !4 ! 8! 9!
A
10! 3! 5! 2!7 !
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 


 
 


 


 




 
6 ! 2! 6 !
D
5! 4! 7 !
C =
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m

 


ĐS: B =
2
3

; C = 20
Baøi 2. Rút gọn các biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5
7
A A
P P

B =
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
P A P A P A P A P P P P
   

C =
12 11
10 9
49 49
17 17
10 8
49 17
A A
A A
A A
 
 D =
2
5 4 3 2

5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
A
A A A A
 
  
 
 
 


ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
16

Baøi 3.
Tính: A =
23 13 7
25 15 10
3
C C C
 
B =
4 3 4 2
7 7 8 3
5 6 6

2
10 10 11
1
1
C C C A
P
C C C
  

  


ĐS: A = – 165, B = 4

Baøi 4.
Rút gọn các biểu thức sau:
S =
2 3
. .
n n n
n n n
C C C
P =
C C C
C
8 9 10
15 15 15
10
17
2 

ĐS: S =
3
(3 )!
( !)
n
n
P = 1
Baøi 5.
Giải phương trình:
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
 


ĐS: x = 2; x = 3
Baøi 6.
Giải các phương trình:
a) P
2
.x
2
– P
3
.x = 8 b)
1
1

1
6
x x
x
P P
P






ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Baøi 7.
Giải các phương trình sau:
a)
3
20
n
A n

b)
3 2
5
n n
A A

= 2(n + 15) c)
2 2
2

3 42 0.
n n
A A
  


ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6

Baøi 8.
Tìm n  N sao cho:
a)
2
4
1 3
210
.
n
n
n
P
A P




b) 2(
3 2
3
n n
A A


) = P
n+1
c)
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  


ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3

Baøi 9.
Giải các phương trình:
a/
10 9 8
9 .
x x x
A A A
 
b/
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P
  

c/
2 2

2
2 50
x x
A A
 
d/
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P

 


ĐS
: a/ x = 11. b/ x = 3; 4. c/ x = 5. d/ x = 8,
7, .
y y N
 

Baøi 10.
Giải các bất phương trình:
a)
4

4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
n n


 
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 


ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2  n  36

Baøi 11.
Giải các bất phương trình:
a)

3
1
4
3
1
1
14
n
n
n
C
P
A



 b)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
  
  


ĐS: a) đk: n  3, n
2

+ n – 42 > 0  n  6
b) đk: n  5, n
2
– 9n – 22 < 0  n = 6; 7; 8; 9; 10
Baøi 12.
Giải các phương trình và bất phương trình:
a/
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x

 
  
b/
3 2
14 .
x
x x
A C x

 

c/
5
5
2
336.

x
x
x
A
C


 d/
2
28
2 4
24
225
.
52
x
x
C
C


Đại số 11 – Chương II
NHĐ
17

e/
4 3 2
1 1 2
5
0.

4
n n n
C C A
  
  
f/
3
1
4
3
1
1
14
n
n
n
C
P
A



 .
g/
2 2
1
2 3 30.
x x
C A


 
h/
2 2 3
2
1 6
10.
2
x x x
A A C
x
  

ĐS
: a/ x = 5. b/ x = 5. c/ x = 8. d/ x = 7.
e/
5 10, .
n n N
  
f/
6, .
x n N
 
g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4.
Baøi 13.
Giải các hệ phương trình:
a)
1
1
126
720

x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P





 




b)
1 1
1
: : 6:5:2
y y y
x x x
C C C
 



c)
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C



 


 




ĐS: a)
5
7
x
y






b)
8
3
x
y





c)
17
8
x
y






Baøi 14.
Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
a/
2 5 90
5 2 80
y y
x x

y y
x x
A C
A C

 


 


b/
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A










ĐS
: a/ x = 5, y = 2. b/ x = 4, y = 8.
Baøi 15.
Chứng minh rằng:
a) P
n
– P
n–1
= (n–1)P
n–1
b)
1 2 2 1
( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
 
       

d)
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 

b/
1
1 1
.
k k k
n n n
A A k A

 
 
c/
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
 
  
 

Baøi 16.
Chứng minh các hệ thức sau:
a)
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C



 (k  p  n) b)
1
1
r r
n n
n
C C
r




Baøi 17.
Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C
  

  
b)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n

C C C C C
  

   
(3  k  n)

ĐS: Sử dụng tính chất:
1
1
k k k
n n n
C C C


 

Baøi 18.
Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k
n n n n n n
C C C C C C k
   

    
(4  k  n)
b)

1
1
1
p p
n n
n
C C
p




c)
2
2
( 1) ( 1)
k k
n n
k k C n n C


  
( 2 < k < n)

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
18


NHỊ THỨC NEWTON




1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b


 



2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T
k+1
=
k n k k
n
C a b

( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
k n k
n n
C C



5)
0
1
n
n n
C C
 
,
1
1
k k k
n n n
C C C



 


Nhận xét:
Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá
trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1

n n n
n n n
C x C x C

  

0 1
2
n n
n n n
C C C
   

(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n

n n n
C x C x C

   

0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C
    



Baøi 1.
Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong các đa thức sau :
a)
 









 
10
1

2
x
b)



8
3 2
x

Baøi 2.
Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa giảm dần của x trong các đa thức sau :
a)



10
1 6
x
b)



12
1 3
x
c)
 










 
20
1
3
x

Baøi 3.
Tìm
a) Số hạng thứ 4 trong khai triển



10
2
a x

b) Số hạng thứ 6 trong khai triển



9
1 2
x

c) Số hạng thứ 12 trong khai triển
 









 
15
2
2
x

Các số hạng được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần của x.
Baøi 4.
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
a)
10
4
1
x
x
 

 

 
b)
12
2
4
1
x
x
 

 
 
c)
5
3
2
1
x
x
 

 
 
d)
6
2
1
x
x
 


 
 


ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15


Baøi 5. a/ Tìm hệ số của
12 13
x y
trong khai triển
25
(2 3 ) .
x y


b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển
3 15
( ) .
x xy



ĐS: a)
13 12 13
25
3 .2 . .
C

b)
31 7 29 8
8 9
6435 . , 6435 . .
T x y T x y
  

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
19

Baøi 6.
a/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển
15
1
.
x
x
 

 
 

b/ Tìm số hạng chứa a
7
trong khai triển
12
3
2
3 2

.
64 3
a a
 

 
 

c/ Tìm số hạng giữa của khai triển
10
3
5
1
.
x
x
 

 
 

d/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
12
1
x
x
 

 
 

.
e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển
16
3
1
.
x
x
 

 
 


ĐS
: a/
5
6 15
.
T C

b/
7 30
924 .2 .
a


c/
15 30 15
16 30

. . .
T C x y


d/ 495. e/ 1820.

Baøi 7.
a/ Trong khai triển
4
1
n
a a
a
 

 
 
cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai
là 44. Tìm n.
b/ Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
 

 
 

tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x.
c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
 

 
 
là 97. Tìm hạng
tử của khai triển chứa x
4
.
ĐS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84. c/ n = 8; 1120x
4
.
Baøi 8.
Tính các tổng sau :
a)
    
0 1 2 6
6 6 6 6
.
S C C C C

b)
    

0 1 2 2011
2011 2011 2011 2011
.
S C C C C

c)
    
0 1 2 2011
2011 2011 2011 2011
.
S C C C C

d)
    
0 1 2 2 5 5
5 5 5 5
2 2 2 .
S C C C C

Baøi 9.
Tính các tổng sau:
a/
0 1 2
1
.
n
n n n n
S C C C C
    
b/

0 2 4
2

n n n
S C C C
   

c/
1 3 5
3

n n n
S C C C
   
d/
0 1 2 2
4
2 2 2 2 .
k k n n
n n n n n
S C C C C C
      

e)
    
0 1 2 2
2 2 2 2
.
n
n n n n

S C C C C


ĐS
: a/ 2
n
. b/ 2
n-1
. c/ 2
n-1
. d/ 3
n
. e)4
n

Baøi 10.
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x
2
+ 1)
n
bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số
tự nhiên) của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
ĐS
: a = 210.
Baøi 11.
Chứng minh các hệ thức sau:



          
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C

Baøi 12.
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
0 1 2 2
6 6 6 7
n n n
n n n n
C C C C
    
b)
17 0 1 16 1 17 17 17
17 17 17
3 4 .3 . 4 7
C C C   

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
20


ĐS: a) Khai triển (1+x)
n

=
0 1 2 2

n n
n n n n
C C x C x C x
   
; thay x = 6
b) Khai triển (3x+4)
17
; thay x = 1


XÁC SUẤT




1. Biến cố :
 Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
 Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  .
 Biến cố không: 
 Biến cố chắc chắn: 
 Biến cố đối của A:
\
A A



 Hợp hai biến cố: A  B

 Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)
 Hai biến cố xung khắc: A  B = 
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra
biến cố kia.

2. Xác suất :
 Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n


 0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0

Qui tắc cộng:
Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
 P(
A
) = 1 – P(A)

Qui tắc nhân:
Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)


Baøi 1.
Gieo một đồng tiền hai lần và gọi A là biến cố có ít nhất một lần xuất hiện là mặt sấp. Tính
n(), n(A).
Baøi 2.

Thảy ba con xúc xắc đồng chất, cùng kích thước. Gọi A là biến số ba mặt không giống nhau
(không cùng số nút). Tính n(), n(A).
Baøi 3.
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.

ĐS: a) n() = 36. n(A) = 5  P(A) =
5
36
b)
1
4
c)
3
4

Baøi 4.
Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.

ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17  P(AB)
2
7
25
C
b)
3

8
25
C

Baøi 5.
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
21

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a)

1
6
b)
1
6

Baøi 6.
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một
viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS:
5
8

Baøi 7.
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.

ĐS:
1
2

Baøi 8. Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người
thứ nhất là
3
5
, của người thứ hai là
1
2
. Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.
ĐS:
4
5

Baøi 9.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố
sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.
ĐS: a)
1
6
b)
1
6
c)

11
36
d)
25
36

Baøi 10.
Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
ĐS: a)
1
16
b)
1
4
c)
11
16

Baøi 11.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác
suất để lấy được:
a) ít nhất 2 bóng tốt b) Không bóng tốt.
Baøi 12.
Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học
sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 3 em. Tính xác suất để 3 em đó là học sinh giỏi.
Baøi 13.
Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy

ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
Baøi 14.
Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác
suất để 2 em đó cùng phái.
Baøi 15.
Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu
nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
Baøi 16.
Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên.
Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
22

a) Số đó là số lẻ.
b) Số đó chia hết cho 5
c) Số đó chia hết cho 9.
Baøi 17.
Thảy một con súc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố :
a) A: Tổng số nút hai lần là 8
b) B : Tổng số nút hai lần là một số chia hết cho 9.
c) Tổng số nút hai lần giống nhau.
Đs: a)
5
36
b)
1
9

c)
1
6

Baøi 18.
Thảy một con súc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố :
a) A: lần đầu là một nút lẻ, lần sau lớn hơn 2.
b) B: hai lần có tính chẵn lẻ khác nhau.
Đs: a)

1
3
b)
1
2

Baøi 19.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác
suất để lấy được :
a) Ít nhất hai bóng tốt
b) Ít nhất một bóng tốt
Đs: a)

7
11
b)
21
22

Baøi 20.

Trong một lớp học gồm 20 em trong đó có 6 em gỏi Toán, 5 em giỏi Văn, 4 em giỏi cả hai
môn. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra 2 em. Tính xác suất để hai em đó là học sinh giỏi.
Đs:
1
10

Baøi 21.
Một tổ có 6 em nam và 4 em nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác
suất đó để hai em khác phái?
Đs:
24
25

Baøi 22.
Hai cầu thủ cùng sút phạt đền. Mỗi người đá phạt đền với xác suất làm bàn của người thứ
nhất là 0.8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai biết xác suất cả hai cùng làm bàn là 0.56 và
xác suất để thủng lưới ít nhất một lần là 0.94?
Đs: 0.7