Cơ sở vật lý máy gia tốc

Cở sở vật lý của máy gia tốc hạt
I. Một số khái niệm về động học chùm hạt tích điện.
II. Một số khái niệm về quang học chùm hạt tích điện.
III. Chuyển động của hạt trong điện trường.
IV. Chuyển động của hạt trong từ trường.
I. Một số khái niệm về động học chùm hạt tích điện
(Particle Dynamics)
I.1. Tính chất của các hạt tích điện
Ở đây chúng ta quan tâm chủ yếu tới hai loại hạt là electron và các ion ,
chúng là những hạt đơn giản, bền. Hai đại lượng đặc trưng cho chúng
là khối lượng và điện tích.
- Electron là hạt cơ bản với khối lượng rất nhỏ và điện tích âm.
- Ion là một tập hợp của proton, nơtron và các electron. Nguyên tử của
các đồng vị hydo chỉ có 1 electron, do đó các ion liên quan như proton,
đơtron, và triton không có electrron. Các ion này là các hạt nhân trần
(bare) bao gồm 0, 1 hoặc 2 nơtron.
- Ký hiệu Z chỉ nguyên tử số của một ion hoặc số electron trong nguyên
tử trung hòa. Ký hiệu Z* thường chỉ số electron bị tước khỏi nguyên tử
để tạo thành ion. Số khối A là số các nucleon trong nguyên tử. Khối
lượng nguyên tử phần lớn tập trung ở hạt nhân và xấp xỉ bằng Am
p
,
trong đó m
p
là khối lượng protron.
Z* : số electron bị bứt khỏi nguyên tử để tạo thành ion.
Bảng 1: Tính chất của một số hạt tích điện
I.2. Định luật Newton về chuyển động
- Điện tích của một hạt xác định độ lớn trong tương tác của nó với lực
điện từ.
- Khối lượng ghi nhận lực cản trong sự thay đổi vận tốc. Trong cơ học

Newton khối lượng là hằng số độc lập với chuyển động.
Hình 1: Vị trí và vectơ vận tốc
của hạt trong hệ tọa độ Đề các
- Khối lượng Newton còn gọi là khối
lượng nghỉ (rest mass) được ký
hiệu: m
e
đối với electron, m
p
đối với
proton, m
0
đối với hạt nói chung.
- Trong hệ tọa độ Đêcac, x được
viết như sau:
),,( zyxX

- Tốc độ của hạt là :
Định luật thứ nhất của Newton phát biểu rằng: hạt chuyển động theo
một đường thẳng nếu không có lực nào tác động lên chúng.
Xu hướng chống lại chuyển động thẳng được gọi là xung lượng, p,
- Xung lượng là tích của khối lượng hạt và tốc độ:
- Định luật thứ hai của Newton xác định lực F qua phương trình:
- Ta có thể viết :
Với mỗi thành phần lực riêng các thành phần vận tốc trong các
hướng x,y,z được xác định bởi các phương trình khác nhau.
dtdXdtdzdtdydtdxvvvv
zyx
/)/,/,/(),,( 
Fdtdp


/
),,(
0 zyx
pppvmp


zzyyxx
FdtdpFdtdpFdtdp  /,/,/
 Động năng:
- Động năng là năng lượng gắn với chuyển động của hạt.
- Mục đích của các máy gia tốc hạt là truyền cho hạt một động năng lớn.
Động năng T được thay đổi khi có tác động của một lực. Lực tác động lên
một hạt đứng yên không làm thay đổi động năng T do đó hạt cần phải
chuyển động.
- Sự thay đổi của động năng phụ thuộc vào lực như sau:
dx là sự thay đổi của vị trí hạt.
- Trong máy gia tốc lực tác động là ưu tiên theo một hướng. Với sự gia tốc
dọc theo trục z ta có:
- Giả sử khối lượng của một hạt không đổi theo vận tốc ta có :

 FdxT


 dtdtdzFdzFT
zz
)/(

 2/)/(
2

00 zzz
vmdtdtdvvmT
- Khi một lực tác động lên một hạt, thế năng U có thể được xác định,
tổng của động năng và thế năng của hạt (T+U) là một hằng số và
được gọi là năng lượng toàn phần (total energy).
- Nếu lực tác động theo trục z, U=U(z) , giả sử : ta có :
0/



tU
- Mối liên hệ giữa thế năng và lực :
trong đó  là toán tử nabla:
Thế năng của hạt rất có ý nghĩa trong các máy gia tốc tĩnh điện. Các hạt
ở trạng thái tĩnh trong nguồn được xem như có thế năng U cao. Thế
năng được chuyển thành động năng khi các hạt chuyển động qua cột
gia tốc. Nếu biết thế năng U(x,y,z), có thể tính toán được các lực hội tụ
và gia tốc tác động lên hạt .
)/)(/()/(
0
dtdzzUdtdvvm
zz

UFzUF
z






,/
zuyuxu
zyx










///
I.3. Các công thức tương đối tính
Chuyển động của các hạt có năng lượng cao được mô tả bởi các định luật
tương đối tính.
trong đó: m
0
là khối lượng nghỉ của hạt, q điện tích hạt, v: vận tốc hạt,
E: điện trường, B: từ trường
- Xung lượng p (MeV/c) được xác định như sau :
p = mv = m
0
v = m
0
c
- Khối lượng tương đối tính của hạt: m = m
0


- Vận tốc tương đối tính:
c
v


c là vận tốc ánh sáng = 310
8
m/s
- Hệ số Lorentz:
2
1
1




- Phương trình chuyển động tương đối tính:
 
)(
0
BvEqvm
dt
d
dt
dp


- Khối lượng nghỉ của một hạt :
E
o

= m
o
c
2
trong đó: m
0
là khối lượng nghỉ của hạt.
- Năng lượng toàn phần: E (MeV)
E = E
0
+ T
T là động năng của hạt.
2
2
0
2
0
1




cm
cmE
- Động năng của hạt (phần năng lượng gắn với chuyển động của hạt):
T=(m - m
0
)c
2
= m

0
c
2
(-1)
- Mối liên hệ giữa xung lượng và năng lượng:
EE
c
v
ETEpc


2
0
2
0
)(
42
0
222
cmcpE 
- Với v<<c :
2
2
2
1
c
v


2

0
2
1
vmT 
Hạt siêu tương đối tính ( v ≈ c) : E ≈ T ≈ pc
Ở điều kiện tương đối tính một sự thay đổi nhỏ của vận tốc dẫn đến
một sự thay đổi lớn về năng lượng.
22
2
0
/1 cv
cm
E


I.4. Chuyển động của hạt tương đối tính trong hệ tọa độ trụ
Các chùm hạt có đối xứng trụ thường hay gặp trong các máy gia tốc hạt.
Hình 2. Mối quan hệ giữa hệ tọa
độ trụ và tọa độ đêcac.
Hình 2 cho thấy mối liên hệ của các phương trình trong hệ tọa độ đêcac
với tạo độ trụ có một gốc tọa độ và trục z chung:
Chuyển động dọc theo trục z được mô tả giống nhau trong cả hai hệ tọa
độ: dp
z
/dt = F
z
Chúng ta xem xét các phương trình trong mặt phẳng (r,0).
Trong hệ tọa độ đêcac, phương trình chuyển động theo trục x là:
Từ hình 2 ta có:
zzryrx




,sin,cos


)/(tan,
122
xyyxr



xx
Fdtdp /





sincos,sincos FFFppp
rxrx




Ta có:
Các phương trình chuyển động của hạt trong hệ tọa độ trụ là :
Các số hạng trong ngoặc hiệu chỉnh đối với hệ tọa độ trụ.
Lực hướng tâm là :



sincos)/cos(sin)/()/(sincos)/( FFdtdpdtdpdtdpdtdp
rrr

]/[/ dtdpFdtdp
rr




]/[/ dtdpFdtdp
r




rvmforcelCentigfuga /
2
0



I.5. Trường điện từ của các hạt tích điện
- Các hạt tích điện chịu ảnh hưởng của điện trường và từ trường, động học chùm
hạt là kết quả của sự tương tác này. Để mô tả tương tác của trường điện từ và diễn
biến của các hạt tích điện mà chúng ta muốn thay đổi hướng chuyển động, hội tụ
chùm hạt cũng như duy trì chúng , chúng ta sử dụng hệ các phương trình
Maxwell. Đây là một bộ 4 phương trình vi phân mô tả tính chất trường điện từ và
mối liên hệ với mật độ dòng và mật độ điện tích:
Định luật Gauss:

Định luật Gauss với từ
trường:
Phương trình Maxwell-
Faraday:
Định luật Ampe
(hiệu chỉnh bởi Maxwell)
:
0


 E
0



B
E: cường độ điện trường [V/m] 
0
: độ từ thẩm = 4 10
-7
[CV
-1
m
-1
]
B: cảm ứng từ [T] 
0
: hằng số điện môi = 8.854 10
-12
[V s A

-1
m
-1
]
: mật độ điện tích [C/m
3
] c: vận tốc ánh sáng = 2.99792458 10
8
m/s
J: mật độ dòng [A/m
2
]
t
B
E



t
E
JB



000

- Điện trường của một điện tích điểm tại khoảng cách R:
2
0
4

1
)(
R
q
RE
r


Cường độ điện trường tỷ lệ với điện tích hạt và giảm theo bình phương
khoảng cách.
- Trường của chùm hạt tích điện:
Nhiều hạt tích điện chuyển động dọc theo một hướng gọi là chùm hạt,
chùm hạt này tạo ra một điện trường và một từ trường.
Điện trường tại khoảng cách r của một chùm hạt tích điện đồng nhất có
bán kính R là:










Rrfor
r
R
Rrforr
rE

r
2
0
0
0
0
2
2
)(




Cảm ứng từ là:










Rrfor
r
R
j
Rrforrj
rB

2
00
00
2
1
2
1
)(



Cảm ứng từ tăng tuyến tính theo cường độ chùm hạt và giảm theo
khoảng cách r bên ngoài chùm hạt.
Trong thực tế chùm hạt không hoàn toàn đồng nhất, trong hầu hết
các trường hợp phân bố của chùm ở dạng Gaussian.
I.6. Chuyển động của hạt tích điện trong trường điện từ
Lực Lorentz:
- Đối với hạt có điện tích q chuyển động với vận tốc v trong điện từ trường (E,B), lực
Lorentz được biểu diễn như sau:
- Quỹ đạo của các hạt tích điện có thể bị ảnh hưởng bởi trường điện từ thông qua
lực Lorentz. Trong vật lý gia tốc: điện trường có tác dụng gia tốc hạt, từ trường điều
khiển hướng chuyển động của hạt.
- Lực Lorentz không những được áp dụng để điều khiển hướng chuyển động của
hạt mà còn được sử dụng để hội tụ chùm hạt.
- Lực Lorentz có hai thành phần có nguồn gốc từ điện trường E và từ trường B. Với
các hạt tương đối tính ta thấy lực do từ trường 1 T tương đương với lực do điện
trường 300MV/m. Thực tế rất khó khăn để tạo ra một điện trường 3 MV/cm, do đó
đối với các chùm hạt tương đối tính việc điều khiển và hội tụ chùm hạt hầu hết dựa
vào từ trường.
)( BvEqF 

trong đó:
F: lực tác dụng lên hạt; q: điện tích hạt
E: véc tơ điện trường; B: véc tơ từ trường
c: tốc độ ánh sáng; v: véc tơ vận tốc hạt.
(1.1)
- Máy gia tốc cung cấp năng lượng cho hạt tích điện, do đó tăng xung lượng
của chúng. Để làm việc đó cần phải có một điện trường dọc theo hướng của
xung lượng ban đầu:
eE
dt
dp

- Quá trình uốn cong được thực hiện bởi một điện trường vuông góc với mặt
phẳng của quỹ đạo hạt. Bán kính uốn cong  tuân theo hệ thức:

B
e
p

- Quá trình hội tụ là chức năng thứ hai của từ trường, trong đó hiệu ứng uốn
cong được sử dụng để tạo cho các hạt chuyển động gần với trục, do đó
tăng mật độ dòng.
- Lực điện trường tác động lên hạt có hướng trùng với hướng của điện trường.
- Lực tác dụng của từ trường có hướng vuông góc với vectơ vận tốc hạt và
vectơ từ trường.
(1.2)
(1.3)
Phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường:
Hạt tương đối tính có xung lượng hạt : p = m
0

v
- Phương trình chuyển động được mô tả bởi hệ thức sau:






 v
dt
dv
cdt
dv
m
dt
dp
F


3
0
- Lực song song với hướng chuyển động của hạt:
dt
dv
m
dt
dp
||
3
0

||


- Lực vuông góc với hướng chuyển động của hạt:
dt
dv
m
dt
dp



0
Các công thức (1.5) và (1.6) cho thấy sự khác nhau về động học của
chuyển động hạt bị chi phối bởi hướng của lực Lorentz, đặc biệt là đối với
các hạt tương đối tính. Sự khác nhau giữa gia tốc song song và gia tốc
thẳng góc sẽ tác động rất lớn tới việc thiết kế máy gia tốc.
(1.4)
(1.5)
(1.6)
II. Một số khái niệm về quang học chùm hạt tích điện
(Beam Optics)
II.1. Điều khiển chùm hạt (particle beam guidance)
- Để điều khiển chùm hạt có điện tích e dọc theo một quỹ đạo xác định, từ
trường được sử dụng để làm lệch hạt được xác định bởi sự cân bằng của
lực hướng tâm và lực Lorentz:


0
2

0
 Bvekvm

trong đó k là vectơ độ cong của quỹ đạo:
yx
yx
k
,
,
1


và 
x,y
là bán kính uốn cong của quỹ đạo:
- Bán kính uốn cong trong từ trường :
B
E
ec


1
- Tần số góc của chuyển động hạt là:
B
E
ec
L
2



(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
- Độ cứng từ (rigidity) của chùm được định nghĩa như sau:
e
p
B 

Độ cứng từ thường được sử dụng để chuẩn hóa cường độ nam châm:
)(
998
.
2
10
)( GeVETmB


- Độ uốn cong :
)(
)(
2998.0)(
1
1
GeVE
TB
m




- Đối với ion :
)/(
)(
2998.0)(
1
1
uGeVE
TB
A
Z
m



E là năng lượng toàn phần trên một nucleon.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
II.2. Hội tụ chùm hạt (particle beam focussing)
- Tương tự như tính chất của ánh sáng, chùm hạt luôn có xu hướng phân
tán, để giữ cho chùm hạt không bị phân tán dọc theo đường truyền đòi hỏi
phải có các thiết bị hội tụ.
- Từ trường có tác dụng làm lệch hạt một góc tỷ lệ với khoảng cách r tính
từ trục của thiết bị hội tụ sẽ đóng vai trò như một thấu kính hội tụ.
- Trong kỹ thuật gia tốc thiết bị thích hợp nhất để hội tụ chùm hạt là nam
châm tứ cực (quadrupole magnet).
- Góc lệch  đặc trưng cho tính chất hội tụ chùm hạt tích điện bởi từ
trường B


được định nghĩa như sau:
grl
E
e
lB
E
el




trong đó l là chiều dài quãng đường hạt chuyển động trong từ trường,
g = dB

/dr là gradient trường B

. Để có được tính chất hội tụ đòi hỏi
sự phụ thuộc tuyến tính của cả từ trường B

và chiều dài nam châm
vào khoảng cách r.
(2.9)
- Trong động học chùm hạt, khả năng hội tụ, k, được định nghĩa như sau:
g
E
ec
g
p
e
k



- Tiêu cự của thiết bị hội tụ từ là:
klf 
1
- Trong thực tế hệ số k là:
)(
)/(
2998.0)(
2
GeVE
mTg
mk



- Đối với Ion :
)(
)/(
2998.0)(
2
GeVE
mTg
A
Z
mk



Hình 3. Nguyên lý hội tụ

(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
III. Chuyển động của hạt trong điện trường đồng nhất
III.1. Điện trường dọc đồng nhất
-
+
E
x
-e
Hình 4: Chuyển động của hạt tích điện
trong điện trường dọc
Khi không có mặt của từ trường:
B = 0; E
y
= E
z
= 0; E
x
= E
Phương trình chuyển động của hạt:
eE
dt
dv
mF 
eEv
mv
dt
d










2
2
(3.1)
(3.2)
Lực của điện trường có thể biểu diễn qua gradient của điện thế :
dx
d
E


(3.3)
dt
d
e
mv
dt
d











2
2
0
2
2











e
mv
dt
d
conste
mv



2
2
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Biểu thức (3.6) thực chất là định luật bảo toàn năng lượng với mv
2
/2 là
động năng hạt, e là thế năng của hạt.
Nếu hiệu điện thế: U=
1
- 
2
Hạt được gia tốc giữa hai điện cực có hiệu điện thế U, sự thay đổi động
năng của hạt là:
2
2
2
1
2
2
mvmv

(3.7)