toán cấp 3 - phương pháp giải hệ phương trình đại số

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Hệ đối xứng loại 1:
* Có dạng:



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến đổi hệ theo x+y và x+y
Đặt S = x + y và P = xy
• Biến đổi hệ theo S, P và giải hệ tìm hai ẩn đó
• Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X
2
– SX + P = 0 để tìm x, y
• Chú ý: với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y
Ví dụ 1. Giải hệ
a.
2 2
5
6
x xy y
x y xy
+ + =



+ =

b.
2 2
4 4 2 2
7
21
x xy y
x y x y

+ + =


+ + =


c.
3
3
9
5
x y
x y

+ =


+ =



Giải:
a. Hệ
5
( ) 6
x y xy
xy x y
+ + =

⇔

+ =

Đặt
s x y
P xy
= +


=

Hệ trở thành
2
5
5 5
6 (5 ) 6
5 6 0
P S
S P P S

SP S S
S S
= −
+ = = −

 
⇔ ⇔
  
= − =
− + =
 

2
5
3
2
3
3
2
S
P S
P
S
S
S
P

=

= −




=
 

⇔ ⇔
=



=




=
 

=



* Với
2
3
S
P
=



=

ta có
2
3
x y
xy
+ =


=

suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
2 3 0 ( )X X PTVN− + =
* Với
3
2
S
P
=


=

ta có
3
2
x y

xy
+ =


=

suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
=

− + = ⇔

=

Do đó,
1
2
x
y
=


=


hoặc
2
1
x
y
=


=

Vậy nghiệm của hệ là
(1;2), (2;1)
.
b. Hệ
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
7 7 ( ) 7
( ) 21 (7 ) 21 49 14 21
x xy y x xy y x y xy
x y x y xy x y xy x y x y
  
+ + = + + = + − =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ − = − − = − + − =
  
  
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 1 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2
2 2
2 2 2 2
( ) 7
( ) 7 ( ) 9
2 2
49 14 21
x y xy
x y xy x y
xy xy
xy x y x y

+ − =
 
+ − = + =

⇔ ⇔ ⇔
  
= =
− + − =

 

3
3
2
3
3

2
2
x y
x y
xy
x y
x y
xy
xy

+ =


+ =
 

=
 


⇔ ⇔
+ = −



+ = −



=



=



* Với
3
2
x y
xy
+ =


=

ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
=

− + = ⇔

=


Do đó,
1
2
x
y
=


=

hoặc
2
1
x
y
=


=

* Với
3
2
x y
xy
+ = −


=


ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
= −

+ + = ⇔

= −

Do đó,
1
2
x
y
= −


= −

hoặc
2
1
x
y
= −



= −

Vậy nghiệm của hệ đã cho là
(1;2),(2;1),( 1; 2),( 2; 1)− − − −
.
c. Điều kiện:
0, 0x y≥ ≥
Đặt
2 3
6 3
2 3
6 3
0 ;
0 ;
u x u x u x
v y v y v y
 
= ≥ = =
 
⇒
 
= ≥ = =
 
 
Hệ trở thành
3 3 3
2 2 2
9 ( ) 3 ( ) 9

5 ( ) 2 5
u v u v uv u v
u v u v uv
 
+ = + − + =
 
⇔
 
+ = + − =
 
 
Đặt
0
0
S u v
P uv
= + ≥


= ≥

Hệ trở thành
3 3
3
2 2
2
3 9 15 18 0
3 9
5 5
2 5

2 2
S PS S S
S PS
S S
S P
P P
 
− = − + =

− =
  
⇔ ⇔
  
− −
− =
= =

 
 
3
2
2
3
3 33
15 18 0
2
5
3 33
( )
2

2
5
2
S
S
S S
S
P
S l
S
P




=


− +


=

− + =


 
⇔ ⇔

 

−
− −
=

 
=





−

=


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 2 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
* Với
3 2S P
= ⇒ =
ta có
1
2
3
2
2
1

u
v
u v
uv
u
v

=



=
+ =



⇔


=
=




=



Suy ra

6
6
6
6
1
1
2
64
64
2
1
1
x
x
y
y
x
x
y
y


=


=







=
=

 

⇔


=
 

=





=



=




* Với
3 33 11 3 33

( )
2 4
S P l
− + −
= ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ là
(1;64), (64,1)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


(x, y ∈ R).
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012)
Giải:
Cách 1:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1

2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


Đặt t = -x
Hệ trở thành
3 3 2 2
2 2
3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y

+ + + − + =


+ + + =


. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3 2 3 2
2 2

3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22
1 1 1
2 ( )
2 2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
 
− + − − = − + − − =
 
⇔
 
− + = = + −
 
 
3 2
2
3
2 6 45 82 0
4
1 1
( )
2
2 2
S S S
P
P S S
S

+ + + =


=
 
⇔ ⇔
 
= + −
 
= −


. Vậy nghiệm của hệ là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
Cách 2:

3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x x x y y y
x y

− − + = + −



− + + =


. Đặt u = x
1
2
−
; v = y +
1
2
Hệ đã cho thành
3 2 3 2
2 2
3 45 3 45
( 1) ( 1) ( 1)
2 4 2 4
1
u u u v v v
u v

− − = + − + − +



+ =

Xét hàm f(t) =
3 2

3 45
2 4
t t t− −
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t− −
< 0 với mọi t thỏa t≤ 1
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 3 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1)
2
+ v
2
= 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒
0
1
v
u
=


=


hay

1
0
v
u
= −


=

⇒ Hệ đã cho có nghiệm là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
.
II. Hệ đối xứng loại 2:
1. Hệ đối xứng loại 2 là hệ có dạng
( )
( )



=
=
)2(0;
)1(0;

xyg
yxf
2. Cách giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được pt dạng



=
=
⇔=−
0);(
0));()(
yxg
yx
yxgyx
Ví dụ 1. Giải hệ







=−
=−
y
x
xy
x
y

yx
4
3
4
3
Giải:
Điều kiện:
0;0 ≠≠ yx
Hệ





=−
=−
⇔
)2(43
)1(43
2
2
xxyy
yxyx
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
( )( )



−−=
=

⇔=++−
4
04
xy
xy
yxyx
* Với y = x thay vào (1) ta được



−=⇒−=
=⇒=
⇔=+
22
)(00
02
2
yx
lyx
xx
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được
22044
2
−=⇒−=⇔=++ yxxx
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2.Giải hệ:






=−+
=−+
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy
2 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
(*)
3 25 10 10 10 0
3 5
3 25 10 3 25 10
x x
y y
y x
y x x x y x y x y
x y
x y y x y y
≤ ≤
 
 


≤ ≤
− = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + − − + + − =
− = −

 

 
− = − + − = − +
 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 4 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
( ) ( )
2
5 (1)
5 (2)
9 0 (3)
3 25 10 (4)
x
y
x y x y
y x x
≤



≤

⇔

− + − =


− = − +

Ta có



=−+
=
⇔
09
)3(
yx
yx
*Với x=y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
=+−⇔=−++− yyyyy



=⇒=
=⇒=
⇔

44
)(77
yx
lyx
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được






+
=⇒
−
=
+
=
⇔=+−
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx

xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:
Đặt





−=
−=
3
3
xv
yu
với
0,0 ≥≥ vu





+=
+=
⇒
3
3
2
2
vx

uy

Hệ trở thành





=+
=+
⇔





=++
=++
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
( )
2 2
0 ( )( ) ( ) 0u v u v u v u v u v− − − = ⇔ − + − − =
( )( )



−=
=
⇔=−+−⇔
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được



−=
=⇒=
⇔=−+
)(2
11
02
2
loaiv
uv
vv

Ta có hệ:



=
=
⇔





=−
=−
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:






−

=
−
=
+
−=⇒
+
=
⇔=−−⇔=−+
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 5 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
III. Hệ phương trình đẳng cấp:

Xét hệ đẳng cấp bậc hai:





=++
=++
2
2
22
2
2
1
2
11
2
1
dycxybxa
dycxybxa
Cách giải:
+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không.
+ Với x
≠
0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t. giải t suy ra x, y.
Cách khác:
+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng
0
22
=++ cybxyax

+ Đặt x = ty, khi đó pt trở thành



=++
=
⇔=++
0
0
0)(
2
22
cbtat
y
cbtaty
• Xét y = 0 thay vào hệ tìm x
• Xét
0
2
=++ cbtat
tìm nghiệm (nếu có) sau đó tìm được x,y.
Ví dụ 1. Giải hệ:





=++
=++
222

932
22
22
yxyx
yxyx
Giải
Cách 1.
Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
Với x
≠
0 đặt y = tx ta được




−=
−=
⇔=
++
++
⇒





=++
=++
3
8

2
2
9
22
123
2)22(
9)123(
2
2
22
22
t
t
tt
tt
ttx
ttx
Với t=-2 ta có:



−=−=
==
2;1
2;1
yx
yx
Với t=-
3
8

ta có:






=−=
−==
17
8
;
17
3
17
8
;
17
3
yx
yx
Cách 2: Hệ đã cho tương đương với
031416
1891818
18642
22
22
22
=++⇒






=++
=++
yxyx
yxyx
yxx
Đặt y=tx ta có:
0
016143
0
0)31416(
2
22
=⇔



=++
=
⇔=++ x
tt
x
ttx
hoặc t=-2 hoặc
t=-
3
8

Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 6 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Với x=0 hệ trở thành:





=
=
2
3
2
2
u
u
hệ vô nghiệm
Với t=-2 ta có:



−=−=
==
2;1
2;1
yx
yx
Với t=-

3
8
ta có:






=−=
−==
17
8
;
17
3
17
8
;
1
3
yx
yx
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm





=−

=+−
43
4
2
22
xyx
myxyx

Giải:
Ta có x=0 không thỏa hệ
Đặt y=tx ta có:
2 2
2
2
(1 4 )
1 4
1 3 4
(1 3 ) 4
x t t m
t t m
t
x t

− + =
− +

⇒ =

−
− =



Xét hàm số
t
tt
xf
31
41
)(
2
−
+−
=
ta có:
3
1
0
)31(
123
)(
2
2
'
≠∀<
−
−+−
= t
t
tt
tf

Bảng biến thiên
t
∞−

3
1

∞+
f
/
(t) - +
f(t)
∞+

∞+



∞−

∞−

Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng
4
m
y =
luôn cắt đồ thị hàm số
t
tt
xf

31
41
)(
2
−
+−
=
tại hai điểm có hoành độ
21
3
1
tt <<
khi đó phương trình
1
1
2
31
2
31
4
t
x
t
x
−
±=⇔
−
=
suy ra
1

1
31
2
t
t
y
−
±=
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm.
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 7 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
IV. Phương pháp thế, cộng đại số:
1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:



=+−
=++
)2(3
)1(72
22
yxxy
yxx
Giải:
* Khi
1
−=

x
thay vào hệ ta được



=
=
31
6
2
y
không thỏa hệ
* Khi
1
−≠
x
, từ
1
3
)2(
+
+
=⇒
x
x
y
Thay vào (1) ta được:
7
1
3

2
2
2
=






+
+
++
x
x
xx
( )
( )
025721
23
=−++−⇔ xxxx











−
−
=⇒
−−
=
+
+
=⇒
+−
=
−=⇒−=
=⇒=
⇔



=−++
=
⇔
171
179
4
173
171
179
4
173
12
21

02572
1
23
yx
yx
yx
yx
xxx
x
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:

( ) ( )








−
−−−









+
++−
−−
171
179
;
4
173
,
171
179
;
4
173
,1;2,2;1
Ví dụ 2: Cho hệ:



=−+
=−+
)2(0
)1(0
22
aayx
xyx

a/ Giải hệ khi a=1
b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt
c/ Gọi (x

1
,y
1
); ( x
2
,y
2
) là các nghiệm của hệ đã cho
Chứng minh rằng: (x
2
- x
1
)
2
+ ( y
2
–y
1
)
2

≤
1
Giải:
Từ (2)
⇒
x=a-ay thay vào (1) ta được
0)12()1(
222
=−+−−+ aayaaya

(3)
a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y
2
-y=0




=⇒=
=⇒=
⇔
2
1
2
1
10
xy
xy
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;0), (
2
1
;
2
1
)
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 8 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
b/ Hệ có 2 nghiệm phân biệt

)3(⇔
có 2 nghiệm phân biệt
3
4
0
0
01
2
<<⇔



>∆
≠+
⇔ a
a
c/ Khi
3
4
0 << a
thì hệ có 2 nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
)
trong đó y

1
,y
2
là nghiệm của (3) nên thỏa mãn







+
−
=
+
−
=+
1
1
)12(
2
2
21
2
21
a
aa
yy
a
aa

yy
lại có



−=
−=
22
11
ayax
ayax

Khi đó,
( ) ( )
[ ]
1
1
)12(
1
1
34
4)()1()(
2
2
2
2
21
2
21
22

12
2
2112
≤
+
−
−=
+
−
=−++=−+−=−
a
a
a
aa
yyyyayyayayyy
Ví dụ 3. Giải hệ:





=+
−=
xyyx
xxy
6
)9(
22
333

Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành:
0
0
0
2
3
=⇔





=
=
y
y
y

*Khi
0
≠
x
,
Hệ
3 3
3 3
2
( ) 9
( ) 3 ( ) 9 ( ) 21

( ) 6 ( ) 6
6
y
y y y
x
x y x x
x
x x x
y y
y
y x y x
xy
x x
x

 
− =
+ − + = + =

 
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
+ = + =
+ =
 

 


1
3
2
2
y
x
x
x
x
y

=
+ =


⇔ ⇔
 
=


=

Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 4. Giải hệ
( )






+=−
+=−
)2(133
)1(28
22
33
yx
yyxx
Giải:
Từ (2)
( )
23
22
+=⇒ yx
(3)
Thay vào (1) ta được:
( )
3
28
2
23
x
yyyxx =+=−
( )





−

=
=
⇔=−−⇔
x
x
y
x
xyxx
243
0
0243
2
2
* Với x = 0 vào (3) ta được
02
2
=+y
Vô nghiệm
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 9 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
* Với
x
x
y
243
2
−
=

thay vào (3) ta được:
086421313
24
=+− xx









=⇒−=
−=⇒=
−=⇒−=
=⇒=
⇔
13
78
13
96
13
78
13
96
13
13
yx
yx

yx
yx
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:
( ) ( )








−








−−
13
78
;
13
96
,
13
78

;
13
96
,1;3,1;3
Ví dụ 5. Giải hệ:





−=+
−=−
yxxy
xyxy
22
233
Giải:
Hệ đã cho
( )
( )





−=+
−=++−
⇔
)2(
)1(

22
222
yxxy
xyxxyyxy
Thay (2) vào (1) ta được:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 0
( 2 1) 0 ( 2 1) 0
0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 1
1
y x x y xy y x xy y xy x xy x y y x
y xy xy x y y
y y x xy x y xy y x x
y
y y x x y x y x x
y x
− − + = − ⇔ − + − + − = −
⇔ − + + − − =
 
⇔ − + + − − = ⇔ − − − + =
 

=

 

 
⇔ − − − = ⇔ − − + ⇔ =
  
 

= −

* Với y = 0 thay vào (2) ta được x = 0 hoặc x = 1
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (0; 0), (1; 0).
* Với
1x
=
thay vào (2) ta được y = 0 hoặc y = -1.
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (1; 0), (1; -1)
* Với
1y x= −
thay vào (2) ta được
0 1
1 0
x y
x y

= ⇒ = −

= ⇒ =

Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm: (0;-1), (1; 0)
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1)
Ví dụ 6. Giải hệ sau:
4 3 2 2

2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +


+ = +


( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2008)
Giải:
Hệ đã cho
2 2
2
( ) 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x xy x
x xy x

+ = +

⇔

+ = +


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 10 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Từ (2)
2
3 3
2
x
xy x⇒ = + −
thay vào (1) ta được:
2
2 4 3 2 3 2
3 3 2 9 12 48 64 0 ( 12 48 64) 0
2
x
x x x x x x x x x x x
 
+ + − = + ⇔ + + + = ⇔ + + + =
 ÷
 
3 2
0
0
4
12 48 64 0
x
x
x
x x x
=

=


⇔ ⇔


= −
+ + + =


* Với x = 0 thay vào (2) ta được 0 = 6
Suy ra hệ vô nghiệm.
* Với x = - 4
17
4
y⇒ =
Vậy nghiệm của hệ là
17
4;
4
 
−
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Giải hệ:
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1 (1)
1 (2)

x y x y x x
xy x x

+ + + = − +


+ + =


Giải:
Ta có
2
(2) ( 1) 1x y x⇔ + = −
* Với x = 0 thay vào hệ thấy không thỏa hệ.
* Với
0x ≠
ta có
2
1
1
x
y
x
−
+ =
Thay vào (1) ta được:
2 2
2 2
1 1
( )( ) 3 4 1

x x
x x x x
x x
− −
+ = − +
2
( 1)(2 2 4) 0x x x x⇔ − + − =
0 ( )
1 1
5
2
2
x l
x y
x y


=

⇔ = ⇒ = −


= − ⇒ = −


Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau
2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)

x y y x y
x y x y

+ + + =


+ + − =


( ĐỀ DỰ BỊ TSĐH KHỐI A NĂM 2006)
Giải:
Từ (1)
2
1 4 ( )x y y y x⇒ + = − +
thay vào (2) ta được
(4 ( ))( 2) (4 ( ))( 2) 0
((4 )( 2) 1) 0
0
(4 )( 2) 1 0
y y y x y x y y y x y x y
y y x y x
y
y x y x
− + + − = ⇔ − + + − − =
⇔ − − + − − =
=

⇔

− − + − − =


* Với y = 0 thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm.
* Với
(4 )( 2) 1 0 (4 ( ))( 2) 1 0y x y x x y y x− − + − − = ⇔ − + + − − =
(*)
Đặt t = x + y, (*) trở thành (4 – t)( t – 2) – 1 = 0
3t⇔ =
Suy ra x + y = 3
3y x⇒ = −
thay vào (1) ta được
2
1 (3 )3 4(3 )x x x+ + − = −
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 11 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2
1 2
2 0
2 5
x y
x x
x y
= ⇒ =

⇔ + − = ⇔

= − ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ là

(1;2), ( 2;5)−
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình sau
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x

+ = −


− + = −


Giải:
* Thay x = 0 vào hệ ta thấy x = 0 không thỏa hệ.
* Với
0x
≠
từ (1)
3
2
49
3
x
y
x
+
⇒ = −

(*) thay vào (2) ta được
3
2 2 3 2
49
8 8 17 24 ( ) 2 51 49
3
x
x xy y y x x x x
x
+
− − = − ⇔ + = + −
2 2
2
24 ( 1) ( 1)(2 49 49) ( 1)(24 2 49 49) 0
1
2 49 49
24
xy x x x x x xy x x
x
x x
y
x
⇔ + = + + − ⇔ + − − + =
= −


⇔
+ −

=



+ Khi x = - 1 thay vào (*) ta được
4y = ±
+ Khi
2
2 49 49
24
x x
y
x
+ −
=
thay vào (*) ta được
2
2 3
4 3 2
2 49 49 49
4 4 45 94 49 0
24 3
x x x
x x x x
x x
 
+ − +
= − ⇔ + + + + =
 ÷
 
2 2
( 1) (4 4 49) 0 1 4x x x x y⇔ + − + = ⇔ = − ⇒ = ±

Vậy nghiệm của hệ là
( 1; 4), ( 1;4)− − −
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
3 2 3
2
5 3 2
2 1
x xy y x y
x xy

+ − = −


+ =


Giải :
Hệ
( )
3 2 3
2
5 3 2 .1 (1)
1 2 (2)
x xy y x y
x xy

+ − = −

⇔


= +


Thay (2) vào (1) ta được x
3
– 7xy
2
+ 3x
2
y + 3y
3
= 0 (3)
* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm
* Với
0y ≠
ta có
(3)
3 2
( ) 3( ) 7 3 0 (4)
x x x
y y y
⇔ + − + =
Đặt t = x/y phương trình (4) trở thành
t
3
+ 3t
2
– 7t + 3 = 0
1
2 7

2 7
t
t
t
=


⇔ = − +


= − −

Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (
1 1
;
3 3
), (
1 1
;
3 3
− −
)
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 12 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Với t =
2 7− −
hệ có nghiệm là
2 7 1 2 7 1

( ; ), ( ; )
7 7
7 2 7 7 2 7
+ +
− −
+ +
Với t = - 2 +
7
hệ có nghiệm là
7 2 1 7 2 1
( ; ); ( ; )
7 7
7 2 7 7 2 7
− −
− −
− −
2. Phương pháp cộng đại số:
Ví dụ 1. Giải hệ







=−
=−
y
x
xy

x
y
yx
4
3
4
3
Giải:
Điều kiện:
0;0 ≠≠ yx
Hệ





=−
=−
⇔
)2(43
)1(43
2
2
xxyy
yxyx
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
( )( )




−−=
=
⇔=++−
4
04
xy
xy
yxyx
* Với y = x thay vào (1) ta được



−=⇒−=
=⇒=
⇔=+
22
)(00
02
2
yx
lyx
xx
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được
22044
2
−=⇒−=⇔=++ yxxx
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2. Giải hệ:






=−+
=−+
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy







+−=−
+−=−
≤
≤
⇔






−=−
−=−
⇔
2
2
10253
10253
5
5
53
53
(*)
yyx
xxy
y
x
yx
xy
( )( )







+−=−
=−+−
≤
≤

⇔







+−=−
=−++−−
≤
≤
⇔
)4(10253
)3(09
)2(5
)1(5
10253
01010
5
5
2
2
22
xxy
yxyx
y
x
yyx
yxyxyx

y
x
Ta có



=−+
=
⇔
09
)3(
yx
yx
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 13 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
*Với x=y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
=+−⇔=−++− yyyyy



=⇒=
=⇒=
⇔
44
)(77
yx

lyx
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được






+
=⇒
−
=
+
=
⇔=+−
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:

Đặt





−=
−=
3
3
xv
yu
với
0,0 ≥≥ vu





+=
+=
⇒
3
3
2
2
vx
uy

Hệ trở thành






=+
=+
⇔





=++
=++
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
( )
0

22
=−−− vuvu
( )( )



−=
=
⇔=−+−⇔
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được



−=
=⇒=
⇔=−+
)(2
11
02
2
loaiv
uv
vv
Ta có hệ:




=
=
⇔





=−
=−
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:






−
=
−

=
+
−=⇒
+
=
⇔=−−⇔=−+
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:





=++−−

−=+−−
2
1
2334
123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Giải:
Hệ đã cho
⇔





=++−−
−=+−−
)2(146682
)1(123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
( )
02213
22
=+++− xxyxy

(*)
12
2
+−=∆ xx
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 14 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x
* Với
1+= xy
thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)
* Với y = 2x thay vào (1) ta được:






−=⇒
−
=
+=⇒
+
=
22
2
22
22
2

22
yx
yx
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:








+
+
22;
2
22
và








−
−
22;
2

22
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
1 1 4
6 4 6
x y
x y

+ + − =

+ + + =

Giải:
Điều kiện: x
≥
-1, y
≥
1
Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
1 6 1 4 10
6 1 4 1 2
x x y y
x x y y

+ + + + − + + =


+ − + + + − − =


1 6 1 4 10

5 5
2
6 1 4 1
x x y y
x x y y

+ + + + − + + =

⇔

+ =

+ + + + + −

Đặt u=
1 6x x
+ + +
, v =
1 4y y
− + +
.
Ta có hệ
10
5 5
2
u v
u v


+ =


+ =


⇔
{
5
5
u
v
=
=
⇒
{
3
5
x
y
=
=
là nghiệm của hệ
Ví dụ 5. Giải hệ sau:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y

+ + =



+ =


Giải:
Điều kiện:
0, 0x y≥ ≥
Hệ
2 2
2 2 2 16 (1)
2 16 (2)
x y xy
x y xy

+ + =

⇔

+ + =


Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 0 2 2x y x y x y x y+ − − = ⇔ + = +
2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 0x y x y x y y x⇔ + = + ⇔ − = ⇔ =
Thay vào phương trình (2) ta được x = 2, suy ta y = 2
Vậy nghiệm của hệ là (2; 2)
Ví dụ 6. Giải hệ sau:
2 2

2 2
1 1 18 (1)
1 1 2 (2)
x x y x y x y y
x x y x y x y y

+ + + + + + + + + =


+ + + − + + + + − =


Giải:
Điều kiện:
2
1 0x x y+ + + ≥
,
2
1 0y x y+ + + ≥
Trừ (1) và (2) ta được:
8 8x y y x+ = ⇒ = −
thay vào (1) ta được
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 15 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2 2
9 16 73 10x x x+ + − + =
2 2
16 73 10 9x x x⇔ − + = − +

2 2 2
2
2 2
16 73 100 20 9 9
9
5 9 4 9
4
25( 9) 16 72 81
x x x x
x
x x
x x x
⇒ − + = − + + +

≥ −

⇔ + = + ⇔


+ = + +

2
9
9
4
4
4
4
9 72 144 0
x

x
x
x
x x


≥ −
≥ −
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
 
=
− + =


suy ra y = 4 (thỏa mãn hệ)
Vậy nghiệm của hệ là (4; 4)
V. Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ bằng cách nhóm các hạng tử , sử dụng hằng đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
* ( ) 2 * ( ) 2a b a b ab a b a b ab+ = + − + = − +

Ví dụ 1. Giải hệ



=++
=+++
12)1)(1(

8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ đã cho



=++
=+++
⇔
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
+=
+=
yyv
xxu
Hệ trở thành



=
=
⇔




=
=+
6
2
12
8
v
u
uv
vu
hoặc



=
=
2
6
v
u
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2;3,3;2,2;2,2;2,1;3,3;1,2;1,1;2 −−−−−−−−
Ví dụ 2. Giải hệ:






=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
Giải:
Hệ
⇔





=+−−
=+−+
3)4(2)3(3
143
22
22
yyxx
yxyx
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 16 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

Đặt: u=
xx 3
2
=
và v=y
2
+4y
Hệ trở thành:







−=
±
=
=
±
=
⇔





=+
=−−
⇔




=
=
⇔



=−
=+
4;
2
133
0;
2
133
04
013
0
1
322
1
2
2
yx
yx
yy
xx
v

u
vu
vu
Ví dụ 3. Giải hệ:







−=+++
−=++++
)2(
4
5
)21(
)1(
4
5
24
232
xxyyx
xyxyyxyx
(TS K A 2008)
Giải:
Ta có: (2)
⇔
4
5

)(
4
5
2
22224
−=++⇔−=+++ xyyxyxxyyx
Ta tìm cách biến đổi (1) về pt có chứa
yx +
2
và
xy
Ta có (1)
4
5
)1(
22
−=++++⇔ yxxyyx
Đặt
yxu +=
2
và
xyv =
hệ trở thành








−=−=
−==
⇔







−=+
−=++
2
3
;
2
1
4
5
;
4
5
4
5
2
vu
vou
vu
uvvu
Với u=0, v=-

4
5
ta có hệ







−=
=
⇔





−=
=+
3
3
2
16
25
4
5
4
5
0

y
x
xy
yx
Với u=-
2
3
,
2
1
−=v
ta có hệ:





−=
=
⇔





−=
=−+
⇔








−=
=+−
2
3
1
2
3
032
2
3
0
2
1
2
3
2
y
x
x
y
xx
x
y
x
x

Ví dụ 4. Giải bất phương trình
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1

− + =


− + =


( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
Hệ đã cho ⇔

− + + =


− + + =


2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
Đặt u = − x
2
+ xy, v = x
3

y
(I) thành
= − +
 
= =
 
 + =
⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = − =
 
 
 
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1
v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 17 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2 2
4 2
3 3
y x y 0

x xy 0 x xy 1
x 1 x 1(vn)
x y 1 x y 0
 
= =
 
− + = − + =
   
∨ ⇔ ∨
   
= = −
 
= =
 
 
 

= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
x 1 x 1
y 1 y 1
Ví dụ 5. Giải hệ



=++

=+++
12)1)(1(
8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ



=++
=+++
⇔
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
+=
+=
yyv
xxu
Hệ trở thành



=

=
⇔



=
=+
6
2
12
8
v
u
uv
vu
hoặc



=
=
2
6
v
u
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2;3,3;2,2;2,2;2,1;3,3;1,2;1,1;2 −−−−−−−−
Ví dụ 6. Giải hệ:






=−+
=−+
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy
2 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
(*)
3 25 10 10 10 0
3 5
3 25 10 3 25 10
x x
y y
y x
y x x x y x y x y
x y
x y y x y y
≤ ≤

 
 

≤ ≤
− = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + − − + + − =
− = −

 

 
− = − + − = − +
 
( ) ( )
2
5 (1)
5 (2)
9 0 (3)
3 25 10 (4)
x
y
x y x y
y x x
≤


≤


⇔

− + − =


− = − +

Ta có



=−+
=
⇔
09
)3(
yx
yx
*Với x = y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
=+−⇔=−++− yyyyy



=⇒=
=⇒=
⇔
44

)(77
yx
lyx
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 18 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được






+
=⇒
−
=
+
=
⇔=+−
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199

2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy
Đặt





−=
−=
3
3
xv
yu
với
0,0 ≥≥ vu





+=
+=
⇒
3

3
2
2
vx
uy

Hệ trở thành





=+
=+
⇔





=++
=++
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2

vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
( )
0
22
=−−− vuvu
( )( )



−=
=
⇔=−+−⇔
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được



−=
=⇒=
⇔=−+
)(2
11

02
2
loaiv
uv
vv
Ta có hệ:



=
=
⇔





=−
=−
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:







−
=
−
=
+
−=⇒
+
=
⇔=−−⇔=−+
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
+ =


+ =

.
Giải
Đặt
S , Px y xy= + =
, Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï

=
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç
ï ï
î - =
÷
ç
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì
= + = = =

ï ï ï ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = = =
ï ï ï ï
î î î î
.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
− = −


− =

.
Giải
Đặt
, , t y S x t P xt= − = + =
, Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =ï ï

ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 19 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1

4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


.
Giải
Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷

ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
+ + + =
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
ï
î
Đặt
1 1 1 1

S x y , P x y
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è øè ø
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷

ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
= =ï
ï
ç ç
÷ ÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í
æ öæ ö
ï ï ï
=
- =
÷ ÷
ç ç
ï ï ï
îî
+ + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è øè ø

ï
î
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ì
ï
ï
+ =
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï
î
+ =
ï
ï
ï

î
.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y

+ + =


+ =


.
Giải
Điều kiện
, 0x y ≥
. Đặt
0t xy= ≥
, ta có:
2
xy t=
và
(2) x y 16 2t+ = -Þ
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û

Suy ra:
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình :
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy

− + =


− + = −


Giải:
*Hệ đã cho
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1

− = −

⇔

− − = −


x xy x y

x y x xy
*Đặt
2
3
x xy u
x y v

− =


=


,
Hệ trở thành
2
1
1
0
1
=

= −

⇔
 
=
− = −



u
u v
v
v u
hoặc
2
3
u
v
= −


= −

*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) .
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
3
3( ) ( ) 7
( )
1
2 3
x y x y
x y
x
x y

+ + − + =


+



+ =

+

Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 20 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
Điều kiện:
0x y+ ≠
Hệ đã cho
2
2 2
2
2
3
1
3( ) ( ) 7
3 ( ) 13
( )
1
1
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
x y x y

x y x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y


 
+ + + − =
+ + + − =


 ÷
+
 
+
 
⇔
 
 
+ + + − =
+ + + − =
 
+

+

Đặt

1
u x y
x y
v x y

= + +

+


= −

Hệ trở thành
2 2
2
3 13
1
3
u
u v
v
u v
=

+ =

⇔
 
=
+ =



Ta có
1
2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y

+ + =
+ = =
 

+
⇔ ⇔
  
− = =
 

− =

Ví dụ 13. Giải hệ
3
3
2 3

1 3
82
y x
x y

− + =


+ =


Giải:
Điều kiện:
0x ≥
Đặt
3
3
0 à 1u x v v y= ≥ = −
Ta có
2 2 4
3 3 3 3
1 1
x u x u
y v y v
 
= =
 
⇔
 
− = = +

 
 
Hệ đã cho trở thành
4 3
3 (1)
81 (2)
u v
u v
+ =


+ =

Từ
(1) 3v u⇒ = −
thay vào (2) ta được
4 3
(3 ) 81u u+ − =
4 3 2 3 2
9 27 54 0 ( 3)( 2 15 18) 0u u u u u u u u− + − − = ⇔ − + + + =
3 2
3 0
3 0
2 15 18 0 ( )
u
u v
u u u VN
− =

⇔ ⇔ = ⇒ =


+ + + =

Khi đó ta có
3
3
3
9
1
1 0
x
x
y
y

=
=


⇔
 
=

− =


Vậy nghiệm của hệ là ( 9; 1).
Ví dụ 14. Giải hệ
4
4

1 1
1 1
x y
y x

+ − =


+ − =


Giải:
Điều kiện:
1
1
x
y
≥


≥

Đặt
4
4
1 0
1 0
u y
v x


= − ≥


= − ≥


Suy ra,
4
4
1
1
y u
x v

= +


= +


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 21 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Khi đó hệ trở thành
4 4 4
4 8 7
0
0 0 ( 1) 0
v u u v u v

u v v v v v
  
+ = = − = −
  
⇔ ⇔
  
+ = + = + =
  
  
4
0
0 ( )
0
1 ( )
u v
u
v n
v
v l

= −
=


⇔ ⇔
=

 
=




= −


Suy ra
4
4
1 0
1
1
1 0
y
y
x
x

− =
=


⇔
 
=

− =


Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).
Ví dụ 15. Giải hệ

5 2 7
2 5 7
x y
x y

+ + − =


− + + =


Giải:
Điều kiện:
2, 2x y≥ ≥
Đặt
2
2
2
2
,
2
2
u x
x u
suy ra
y v
v y


= −

= +
 
 
= +
= −




Hệ trở thành
2 2 2 2
2 2
2 2
7
7 7 7 7 14 42 (1)
7
7 7 7 7
14 42 (2)
u
v u v u v u u
v
u v u v
u v v
≤


 
+ + = + = − − + =
  
⇔ ⇔

  
≤
+ + = + = −
  
 

− + =

Lấy (1) trừ (2) và cộng (1) cho (2) vế theo vế ta được
2 2
2( )( ) 14( ) 0
2 2 14 14 0
3
3
3
( )
2( ).3 14( ) 0 0
2
3 3 3
( )
2
v u v u v u
v u u v
u v
u v
u n
v u v u v u
u v u v
v n
− + − − =


− + − =

⇔
 
+ =
+ =



=

− − − = − =
 

⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + =
 

=


Suy ra,
3 17
2
2 4
3 17
2
2 4

x x
y y
 
− = =
 
 
⇔
 
 
− = =
 
 
Vậy nghiệm của hệ là
17
4
17
4
x
y

=




=


Ví dụ 16. ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

3 2
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y x xy m
x y
x x y m

− + + =

∈

+ − = −


¡
Giải:
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 22 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Hệ
⇔

2
2
( )(2 )
( ) (2 ) 1 2
x x x y m

x x x y m

− − =


− + − = −


Đặt
2
1
( )
4
2 ( )

= − ≥ −



= − ∈

¡
u x x u
v x y v
Hệ thành :
2
(1 2 )
1 2
(2 1)
v m u

u v m
uv m
u u m u
= − −
+ = −


⇔
 
=
− + = +


2
1 2
(1)
2 1
v m u
u u
m
u
= − −


⇔

− +
=

+


Đặt f(u) =
2
1
,
2 1 4
u u
u
u
− +
≥ −
+
; f
/
(u) =
2
2
2 2 1
(2 1)
u u
u
− − +
+
;
f
/
(u)=0
1 3
2
u

− −
⇔ =
(loại) hoặc
1 3
2
u
− +
=
u
1
4
−
1 3
2
− +
+ ∞
f
/
(u) + 0 −
f(u)
2 3
2
−
5
8
−
– ∞
Vậy hệ có nghiệm
(1)⇔
có nghiệm thuộc

1 2 3
;
4 2
m
−
 
− +∞ ⇔ ≤
÷

 
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1

− + =


− + =


(I)
( ĐỀ DỰ BỊ 2 KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
(I) ⇔

− + + =



− + + =


2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
Đặt u = − x
2
+ xy, v = x
3
y
(I) thành
= − +
 
= =
 
 + =
⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = − =
 
 
 
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1

v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
2 2
4 2
3 3
y x y 0
x xy 0 x xy 1
x 1 x 1(vn)
x y 1 x y 0
 
= =
 
− + = − + =
   
∨ ⇔ ∨
   
= = −
 
= =
 
 
 

= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 

x 1 x 1
y 1 y 1
Ví dụ 18. Giải hệ
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y

− + − + =


+ + − =


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 23 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
2) (2) ⇔
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0

− + − =



− + − + + − − =


x y
x y x
.
Đặt
2
2
3

− =

− =

x u
y v

Hệ trở thành
2 2
4
. 4( ) 8

+ =

+ + =

u v
u v u v
⇔

2
0
=


=

u
v
hoặc
0
2
=


=

u
v

⇒
2
3
=


=

x
y

;
2
3
= −


=

x
y
;
2
5

=


=


x
y
;
2
5

= −


=



x
y
2. Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho
một biểu thức hoặc chia hai phương trình của hệ:
Ví dụ 1. Giải hệ:





=+
−=
xyyx
xxy
6
)9(
22
333

Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành:
0
0
0
2
3
=⇔






=
=
y
y
y

*Khi
0≠x
,
Hệ



=
=
⇔





=
=+
⇔








=+
=+
⇔







=+
=+−+
⇔







=+
=−
⇔
2
1

2
3
6)(
21)(
6)(
9)(3)(
6
9)(
33
2
33
x
x
y
x
y
x
x
y
xy
x
x
y
x
y
xy
x
y
xyx
x

y
x
y
xy
x
x
y
vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =

∈

+ + =

¡
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2009)
Giải:
*Với y = 0 hệ vô nghiệm
* y ≠ 0 hệ ⇔
2
2
x 1
x 7
y y
x 1

x 13
y y

+ + =



+ + =



Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 24 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Đặt a =
1
x
y
+
; b =
x
y
⇒
2 2
2
1 x
a x 2
y y
= + +

⇒
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
⇔
{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =
⇔
{
a 4
b 3
=
=
hay
{
a 5

b 12
= −
=
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

+ =



=



hay
1
x 5
y
x
12
y

+ = −




=



⇔
{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN) ⇔
x 1
1
y
3
=



=



hay
{
x 3
y 1
=
=
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
+ + − =



+ − + =


(x, y ∈ R)
( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2009)
Giải:
ĐK : x ≠ 0
Hệ phương trình tương đương :
2 2 2
2
2
x(x y 1) 3

x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
+ + =

+ + =


⇔
 
+ + =
+ + =



ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:

2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2


+ = + = + =  = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∨
    

+ = + − = = = =
 





Vậy
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
x 2 x 1 x 1
x 2

+ = + = =
= −
  

∨ ⇔ ∨
   
= = =
  

=

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2
2 2
1

2 2
2 2
x x
y
y y x y

+ − =



− − = −

Giải :
Điều kiện :
Hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

+ − − =


⇔



+ − − =


Đặt
1
u x
v
y
=



=


Hệ trở thành
2
2
2 2 0 (1)
2 2 0 (2)
u u v
v v u

+ − − =


+ − − =



Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 2 2 0 0u v u v u v u v− + − = ⇔ − + − =
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 25 WWW.ToanCapBa.Net