K2pi net GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG KIẾM hợp BÍCH

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP SONG KIẾM HỢP BÍCH
(Cẩm nang ôn thi đại học!)
TG: Ngô Viết Văn
Trong tác phẩm “Thần điêu đại hiệp” của Kim
Dung, Dương Quá và Long Nữ hành tẩu giang hồ
vô đối vì họ có tuyệt học song kiếm hợp bích do
Vương Trùng Dương Chân Nhân phái Toàn Chân
và Tổ Sư Bà phái Cổ Mộ sáng lập để lại. Bất cứ ai
muốn học kiếm pháp này cần biết kiếm pháp Toàn
Chân và Cổ Mộ, sự kết hợp “vi diệu”của Ngọc Nữ
kiếm pháp và Toàn Chân kiếm pháp. Giác ngộ
được sự kết hợp này là đạt đến đỉnh của võ học.
Trên ba khía cạnh của song kiếm hợp bích, tôi đề
xuất đến một phương pháp giải hệ phương trình đại
số trong những đề thi đại học gần đây là tạo PT
đơn giản từ PT(1) hoặc từ PT (2) hoặc từ PT (1) và
(2).
 TỪ MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ CHO
PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN
“Một tay xây dựng cơ đồ
Bấy lâu bể Sở sông Ngô tung hoành”

VD1: (ĐH B 02)








)2(2
)1(
3
yxyx
yxyx
ĐS: (1;1), (3/2; 1/2)
Sau khi ĐK, ta nâng luỹ thừa sáu hai vế phương
trình (1) để ra PT tích đơn giản: x = y; x = y + 1 thế
vào (2) là giải được hệ phương trình.
Như vậy bằng phương pháp luỹ thừa hai vế ta đã
tạo ra phương trình (1) đơn giản. Ta hãy xem một
cách khác để tạo phương trình đơn giản.

VD2: (Học viên Kỹ Thuật Quân Sự)








)2(3
)1(12
22
22
xyyx
yyx

ĐS(-1; 2), (2; -1)….
Từ phương trình (1) ta phân tích thành nhân tử để
ra phương trình tích đơn giản: y = 1 + x và y = 1-x,
nhớ là
22
)1(12  yyy
.
Như vậy ta dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để tạo
PT tích và từ đó tạo PT đơn giản, sau đó thế vào (2)
để tìm nghiệm. Ta hãy tìm cách khác để tạo PT đơn
giản từ PT(1).

VD3: (ĐH D 2008)

22
xy x y x 2y (1)
x 2y y x 1 2x 2y (2)

   


   


ĐS: (5; 2).
ĐK; từ PT (1) người ta đã khéo léo tách -2y
2
để
tạo thành 6 số và chia làm ba cặp, đặt nhân tử chung
và ra PT tích.

Ta không khéo được như thế thì giải PT bậc 2
ẩn y để có y = -x; y = (x + 1)/2 và thế vào PT (2).
Một cách khác để tạo ra PT đơn giản là quy đồng
MS và rút gọn.

VD 4: (ĐH A 2003)








)2(12
)1(
11
3
xy
y
y
x
x
ĐS (1; 1)….
Ta thấy nếu thế (2) vào (1) thì PT bậc thật lớn, ta
ĐK, quy đồng MS (1) ra PT tích đơn giản:
)
1
1)((
xy

yx 
= 0. Hay x = y; xy = -1 và thế vào (2).
Nếu bạn không muốn phân tích thành nhân tử PT
(1) thì có thể giải PT bậc 2 ẩn x ta cũng được x = y
và x = 1/y

VD5:(ĐH D 02)

3x 2
x x 1
x
2 5y 4y (1)
42
y (2)
22










ĐS: (0; 1) và (2; 4)
Để ý rằng PT (2) sẽ rút gọn thành: y = 2
x
và thế
vào PT (1) và được PT mũ khá đơn giản.

Chúng ta sẽ dùng logarit để rút gọn.

VD 6: (ĐH A 2004)








)2(1
1
log)(log
)1(25
4
4
1
22
y
xy
yx
ĐS: (3;4).
Từ PT (2), ta ĐK, đổi cơ số, dồn lại:
1/ 4
yx
log 1 y 4x /3
y

  

và thay vào (2).
VD7:(ĐH B05)








)2(3log)9(log3
)1(121
3
3
2
9
yx
yx
ĐS (11), (2;2)
Ta ĐK, và từ (2) biến đổi cùng cơ số, dồn lại,
được:
yxxy 
33
loglog
, thế vào (1) được PT
khá gọn.

 TỪ HAI PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ CHO
PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN
“Trai anh hùng gái thuyền quyên

Phỉ nguyền sánh phƣợng đẹp duyên cƣỡi rồng”

VD 8: (ĐH B 08)







)2(662
)1(922
2
2234
xxyx
xyxyxx
ĐS(-4; 17/4)
Nhận thấy (1) có thể biến thành bình phương của
tổng và lúc đó có thể thế (2) vào khá gọn.







2/33
92)(
2
22

xxxy
xxyx



VD 9: (ĐH B 03)












)2(
2
3
)1(
2
3
2
2
2
2
y
x

x
x
y
y
ĐS: (1;1)
Nhận thấy VT > 0 nên ĐK x, y > 0. Quy đồng MS
và lấy (1) trừ (2) ra 3xy + x + y = 0 (VN) và x = y
thay vào (1) hoặc (2).
Như vậy nếu tạo PT mới từ (1) và (2) thì thay vào
(1) hoặc (2). Còn tạo PT mới từ (1) thì phải thay
vào (2).
Cũng có khi chia hai PT cho nhau để tao PT đơn
giản. Sau đó kết hợp với một trong hai PT đều được
VD 10:








)2(
)1(1
2255
33
yxyx
yx
ĐS: (0;1), (1;0)
Lấy (2) chia (1) rồi nhân chéo ta được:

))((
332255
yxyxyx 
rút gọn ta được: (x +
y) = 0 không thoả (1), xy = 0

x = 0 hoặc y = 0
và thế vào (1).
Với PT đối xứng loại 2 người ta thường trừ hai PT
để tạo PT đơn giản. Với PT đối xứng loại 1 người ta
hay biến đổi cả hai PT ra tổng và tích và đặt
S = x + y; P = xy, (S
2

4P) để ra PT đơn giản.

 TỪ HAI PHƢƠNG TRÌNH + ĐẶT ẨN PHỤ
CHO PT ĐƠN GIẢN
“Bốn bề bát ngát mênh mông
Khéo tay gặp gỡ cũng trong chuyển vần”
VD11 (ĐH Bách Khoa)








65

20
33
22
yx
xyyx
ĐS (1;4), (4;1)
Biến đổi thành tổng và tích cả hai PT:





65)(3)(]3))[((
20)(
32
yxxyyxxyyxyx
yxxy

Rồi đặt ẩn phụ được SP = 20, S
3
-3SP = 65 có S = 5
và P = 4, từ đó tìm được x,y.
Không phải PT đối xứng loại 1 nào cũng dễ dàng
biến đổi thành tổng và tích, khi đó đặt ẩn phụ khéo
là một vấn đề.
VD12: (CĐ SP)









4
282
22
yx
xyyx
ĐS (2;2)
Xem ra đối xứng loại 1 thì rõ ràng rồi mà biến
thành tổng và tích để đặt ẩn phụ cho gọn thì hơi
ngại! Đặt
vyux  ;
sẽ được u + v = 4 và thế
vào PT còn lại
282)(2)216(
22
 uvuvuv

và được uv = 4 Vậy u = v = 2 dẫn đến x = y = 4.
VD13:






12)1()1(
7

22
yyxx
yyxx
ĐS: (1;4), (4;1)….
Đặt: u = x
2
+ x ; v = y
2
+ y ta được u + v = 7 và
uv = 12
VD 14 (ĐHSP)








)2(38923
)1(143
22
22
yxyx
yxyx
ĐS:










0;
2
133
,…
Nhận thấy có thể đặt ẩn phụ u = x
2
-3x, v = y
2
+ 4y
cho ta PT khá đơn giản u + v = 1 và 3u - 2v = 3.
Bây giờ ta sẽ giải một số hệ PT mà trước khi đặt ẩn
phụ phải biến đổi rất khéo.
VD 15 (ĐH A 08)








)2(4/5)21(
)1(4/5
24
232

xxyyx
xyxyyxyx
ĐS:(1;-3/2)
Nhận thấy (2) có thể biến đổi một phần thành bình
phương một tổng:
4/5)(
22
 xyyx
. Còn (1)
VT có 5 đại lượng tách thành hai nhóm có dư theo
các đại lượng (2):
4/5)(
22
 xyyxxyyx
,
ta đặt
vxyuyx  ;
2
sẽ được: u + uv + v = -5/4
và u
2
+ v = -5/4.
VD 16 (ĐH B 09)
2 2 2
xy x 1 7y
(x,y )
x y xy 1 13y
  




  

ĐS: (3;1), (1/3; 1)
Thấy y = 0 không là nghiệm của hệ, chia hai vế
của PT (1) cho y và PT (2) cho y
2
và đặt
x + 1/y = u; x/y = v ta được: u + v = 7 và u
2
-v = 13.
Thật là phu xướng phụ tòng! Hài hoà vô cùng!
VD 17 (ĐH D 09)

2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
   



   


ĐS: (1;1), (2; -3/2)
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm, nên chia hai vế
của PT thứ nhất cho x và đặt x + y = u; 1/x = v ta

được: u-3v + 1 = 0 và u
2
-5v
2
+ 1 = 0

 GIẢI TOÁN CÓ THƯỞNG (10-11-12)
Giải hệ PT







023
)()(8
23
444
xy
yxyx

Các bạn hãy gửi bài về Thầy giáo Ngô Viết Văn
nhé!

1) Hệ số của
2n
x
là M =
nnn

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12 


Để ý:
2
2 3 n 2 4 2n
1 1 1 1 1 1 1
2M
2 2 2 2 2 2 2

        





Vậy M =
n

nn
2
2
2.3
22.32 
.
2) ĐK:
5x 
.
22
5 14 9 20 5 1      x x x x x

22
5 14 9 5 1 20       x x x x x

Bình phương:
 
 
 
 
22
2 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x       

Đặt
2
45
, 0.
4
xx
tt

x



Ta được:
2
3
2 5 3 0 1,
2
t t t t     
. Vậy PT có nghiệm
5 61
,8
2
xx


.
3) PT x
3
+ 2mx
2
+ (m + 3)x + 4 = x + 4






(*)022

0
2
mmxx
x

Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B, C
thì pt (*) có 2 n
0
phân biệt khác 0
2
2
431
);(
2
);2();1;(
020.20
0'
















dMd
m
m
mm

Ta có: dt
28);(.
2
1
 dMdBCMBC

Nên: BC =
25616
2
28.2
2
 BC

Gọi x
B
, x
C
là nghiệm của pt (*) ta có:
BC
2
= (x
B
–x

C
)
2
+ (y
B
–y
C
)
2
= 2(x
B
+ x
C
)
2
-8x
B
x
C

Mà x
B
+ x
C
= -2m, x
B
x
C
= m + 2
Nên: 2(-2m)

2
- 8(m + 2) = 256
)/(
2
1371
mtm

