Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 7 Hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng

Chương 7
HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN
TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến dạng,
nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu ứng biên trong trạng thái màng là hiệu
ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất hiện biến dạng uốn tắt
nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng biên như: tại liên kết ngàm,
liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…
Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn dưới
tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ trong một số
trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21].
7.1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
7.1.1. Các phương trình cơ bản
Khảo sát vỏ trụ tròn có đường
kính
d
chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục là áp lực pháp tuyến
( )
p x
,
tại đầu vỏ liên kết ngàm, hình 7-1.
Ở vùng xa biên ngàm, vỏ biến
dạng tự do và sau biến dạng có đường
kính
d d+ ∆
, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng.
Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn. Trong mục này sẽ xác định các
thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra.
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r

, chiều dày
δ
với tọa độ cong của đường kinh tuyến
(đường sinh)
xα =
và tọa độ cong của đường vĩ tuyến
β = ϕ
. Do vỏ chịu tải trọng đối
119
Hình 7-1.
xứng trục nên nội lực: lực trượt
0S
=
, lực cắt theo phương vòng
2
0Q Q
ϕ
= =
, mô men
xoắn
0H
=
. Các thành phần nội lực khác không là: theo phương dọc trục vỏ mô men
uốn
1 x
M M=
, lực cắt
1 x
Q Q=
và theo phương vòng

2
N N const
ϕ
= =
,
2
M M const
ϕ
= =
,
hình 7-2.
Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lên
phương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc
N
ϕ
lên phương pháp tuyến được biểu
diễn trên hình 7-2:
( )
. 0
x x x
Q rd Q dQ rd N dxd prd dx
ϕ
ϕ− + ϕ− ϕ+ ϕ =

Sau khi biến đổi, nhận được:
( )
x
N
dQ
p x

dx r
ϕ
+ =
(7.1)
và liên hệ vi phân:
x
x
dM
Q
dx
=
(7.2)
Từ (7.1) và (7.2), có 3 nội lực chưa biết là:
N
ϕ
,
x
Q
và
x
M
nên cần bổ sung một
phương trình bằng điều kiện biến dạng.
Nghiệm của bài toán nhận được đơn
giản hơn khi đưa vào biến mới là
chuyển vị theo phương pháp tuyến
w
. Khi
đó, không cần thiết lập thêm điều kiện biến dạng vì từ chuyển vị
w

có thể biểu diễn các
thành phần
x
M
,
x
dQ
dx
,
N
ϕ
trong các phương trình (7.1) và
(7.2) như đối với dầm có chiều rộng
1rdϕ =
, hình 7-3, với
độ cứng:
120
Hình 7-2.
Hình 7-3.
( )
3
2
12 1
E
K EJ
δ
= =
−µ
(7.3a)
Với dầm, có các liên hệ vi phân:

( )
4
4
d w
K p x
dx
= −
(7.3b)
3
3
x
d w
K Q
dx
=
(7.3c)

2
2
x
d w
K M
dx
=
(7.3d)
suy ra, thành phần thứ nhất của (7.1) có dạng:
4
4
x
dQ

d w
K
dx dx
=
(7.4)
Thành phần thứ hai chứa
N
ϕ
của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến
w
như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo phương
vòng
ϕ
ε
, hình 7-4, được xác định bằng công thức:
( )
2 2
2
r w r
s w
s r r
ϕ
π + − π
∆
ε = = =
π
(7.5)
với
s
và

s
∆
là chu vi và gia số chu vi vỏ trụ tròn trước và sau biến dạng.
Xét trường hợp lực dọc theo phương dọc trục
0
x
N =
. Theo lý thuyết đàn hồi:
N
E E
ϕ ϕ
ϕ
σ
ε = =
δ
, thay
ϕ
ε
từ (7.5) vào nhận được:
w
N E E
r
ϕ ϕ
= δε = δ
(7.6)
thay (7.4), (7.6) vào (7.1), sau khi biến đổi:
121
Hình 7-4.
( )
2

IV
E
Kw w p x
r
δ
+ =
(1)
chia cho
K
và đặt:
( )
2
4
2 2 2
12 1
4
E
Kr r
−µ
δ
β = =
δ
(7.7a)
với vật liệu thép
0,3µ =
nên
1,28
r
β =
δ

(7.7b)
chú ý đến (7.7a) thì phương trình (1) có dạng:
( )
4
4
IV
p x
w w
K
+ β =
(7.8)
Phương trình (7.8) có dạng của phương trình vi phân dầm chịu uốn trên nền đàn
hồi.
7.1.2. Các phương trình cơ bản có xét lực dọc và nhiệt độ
Xét trường hợp vỏ trụ tròn, ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến như đã
xét trong mục 7.1.1, vỏ còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và sự thay đổi nhiệt
độ.
Giới hạn xét trường hợp nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều dày vỏ, hình 7-5.
Nhiệt độ tại mặt trung bình:
0 0
0
1 2
2
s
t t
t
+
=
(7.9)
Gia số nhiệt độ

0
t∆
giữa mặt trong có nhiệt độ
0
1
t
và
nhiệt độ mặt ngoài
0
2
t
của vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −
(7.10)
Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình
khoảng cách
z
theo phương pháp tuyến:
122
δ
o
S
t
o
1
t
o
2

t
z
Hình 7-5.
0 0 0
Z
s
z
t t t= + ∆
δ
(7.11)
Tương tự như khi xét vỏ chịu tải trọng pháp tuyến, lực dọc
N
ϕ
và
x
dQ
dx
trong
(7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến
w
. Từ (7.5), khi kể đến sự thay đổi
nhiệt độ:
0
t s
w
t
r
ϕ
α + ε =
(

t
α
là hệ số dãn nở nhiệt) (7.12)
Từ lý thuyết đàn hồi:
( )
1
x
N N
E
ϕ ϕ
ε = −µ
δ
và chú ý đến (7.12), rút ra:
0
t s x
w
N E t N
r
ϕ
 
= δ − α + µ
 ÷
 
(7.13)
Biểu diễn thành phần thứ nhất
x
dQ
dx
của (7.1) qua chuyển vị
w

theo lý thuyết
dầm, với
ρ
là độ cong của dầm:
2
2
1 d w M
dx K
= =
ρ
(7.14)
Mô men
M
ở vế phải của (7.14) bằng tổng:
x t
M M M= +
(7.15)
với
x
M
là mô men gây ra do tải trọng, còn
t
M
là mô men gây ra do sự thay đổi nhiệt
độ.
Sự chênh lệch nhiệt độ
0
t∆
gây ra biến dạng:
0

. .
x t
z
t
ϕ
ε = ε = α ∆
δ
(7.16)
Từ lý thuyết đàn hồi, ứng suất do sự thay đổi nhiệt độ:
123
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2 2
1
1
1 1
t t
xt x
Ez t Ez t
E
ϕ
α ∆ α ∆
σ = ε + µε = +µ =
δ −µ
−µ δ − µ
(7.17)

Mô men uốn do nhiệt độ gây ra:
( )
/2
0
/2
1
t xt t
t
M zdz K
δ
−δ
∆
= σ = +µ α
δ
∫
(7.18)
Chú ý đến (7.15) và thay (7.18) vào (7.14):
( )
2 0
2
1
x t
d w t
K M K
dx
∆
= + +µ α
δ
, rút ra:
( )

2 0
2
1
x t
d w t
M K
dx
 
∆
= − +µ α
 
δ
 
(7.19)
Lực cắt
x
Q
xác định bằng công thức:
( )
( )
0
3
3
1
t
x
x
d t
dM
d w

Q K
dx dx dx
 
∆
+ µ α
 
= = −
δ
 
 
(7.20)
( )
( )
2 0
4
4 2
1
t
x
d t
dQ
d w
K
dx dx dx
 
∆
+ µ α
 
= −
δ

 
 
(7.21)
Thay (7.21), (7.13) vào (7.1) nhận được phương trình vi phân cân bằng của vỏ
trụ tròn chịu lực dọc trục, tải trọng pháp tuyến
p
và sự thay đổi nhiệt độ:
( )
2 0
0
4
4
4 2
1
4
x t s
t
d t
N E t
d w p p
w
dx K Kr Kr dx K
+
∆
δα
+µ
+ β = −µ − + α =
δ
(7.22)
Phương trình này có dạng như (7.8) chỉ khác thay

p
bằng
p
+
:
( )
( )
2 0
0
2
1
t
x t s
d t
K
N E t
p p
r r dx
+
∆
+µ α
µ δα
= − + +
δ
(7.23)
Giải phương trình (7.8) hoặc (7.22) xác định được chuyển vị pháp tuyến
w
. Từ
chuyển vị pháp tuyến
w

xác định được lực cắt
x
Q
theo (7.3c), mô men uốn
x
M
theo
124
(7.3d), lực dọc
N
ϕ
theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng
M
ϕ
được xác định
tương tự như (7.19) theo công thức:
( )
2 0
2
1
t
d w t
M K
dx
ϕ
 
∆
= µ − +µ α
 
δ

 
(7.24)
7.1.3. Nghiệm phương trình thuần nhất
Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đối xứng
trục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến còn
chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng (7.22). Có thể biểu
diễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung:
4
4
4
4
d w p
w
dx K
+
+ β =
(7.25)
Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng của nghiệm tổng quát phương trình vi phân
thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất.
Nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng, [21]:
* * * *
1 2 3 4
. . . .w A Y B Y C Y D Y= + + +
(7.26)
trong đó:
*
A
,
*
B

,
*
C
,
*
D
là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.
1
.Y cos x ch x= β β
( )
2
1
. .
2
Y ch x sin x sh x cos x= β β + β β
3
1
.
2
Y sin x sh x= β β
( )
4
1
. .
4
Y ch x sin x sh x cos x= β β − β β
(7.27)
Các hàm này có tính chất:
( )
4

3
dY
Y
d x
=
β
;
( )
3
2
dY
Y
d x
=
β
;
( )
2
1
dY
Y
d x
=
β
;
( )
1
4
4
dY

Y
d x
= −
β
(7.28a)
( )
1
0 1Y =
;
( ) ( ) ( )
2 3 4
0 0 0 0;Y Y Y= = =
(7.28b)
nên từ (7.26):
125
( )
* * * *
4 1 2 3
.4 . . .
dw
A Y B Y C Y D Y
d x
= − + + +
β
(7.29a)
( )
2
* * * *
3 4 1 2
2

.4 .4 . .
d w
A Y B Y C Y D Y
d x
= − − + +
β
(7.29b)
Chú ý đến (7.26), (7.28), (7.29) các hằng số tích phân được xác định tại
0x =
qua các thông số ban đầu:
( )
*
0A w=

( )
( )
*
0dw
B
d x
=
β

( )
( )
2
*
2
0d w
C

d x
=
β

( )
( )
3
*
3
0d w
D
d x
=
β
(7.30)
7.1.4. Tính vỏ trụ tròn ngắn - Phương pháp thông số ban đầu
Xét vỏ trụ tròn chịu tải trọng
p
+
, hình 7-6,
nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình vi
phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi
phân không thuần nhất có dạng (7.31):
( )
* * * *
1 2 3 4
4
. . . .
4
p

w x A Y B Y C Y D Y
K
+
β = + + + +
β
( )
( )
' * * * *
4 1 2 3
4 . . . .w x A Y B Y C Y D Yβ = β − + + +
( )
( )
( )
2 0
2 * * * *
3 4 1 2
2
4 . 4 . . . 1
x t
d w t
M x K K A Y B Y C Y D Y K
dx
∆
β = = β − − + + − −µ α
δ

( )
( )
3
3 * * * *

2 3 4 1
3
4 . 4 . 4 . .
x
dM d w
Q x K K A Y B Y C Y D Y
dx dx
β = = = β − − − +
(7.31a
÷
d)
Trong (7.31a) đã giả thiết
( )
p x const
+
=
và
4
β
xác định theo (7.7a), nên:
2
4
2
4
p p p r
E
K E
K
Kr
+ + +

= =
δ
β δ
(7.32)
126
Hình 7-6.
Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại
0x =
, hình 7-6,
với các thông số ban đầu:
( )
0
0w w=
( )
0
' 0 'w w=
( )
" 0
0 0
1
t
M K w t
+µ α 
= − ∆
 
δ
 

'''
0 0

.Q K w=
trong đó
0
M
,
0
Q
xác định từ (7.19) và (7.20). Thay các thông số ban đầu vào (7.31) và
với giá trị các hàm
1
Y
,
2
Y
,
3
Y
,
4
Y
tại
0x =
, nhận được các hằng số tích phân:

*
0
4
4
p
w A

K
+
= +
β
rút ra:
2
*
0
0 0
4
4
p
p r
A w w
K E
+
+
 
= − = −
 ÷
β δ
 

' *
0
.w B= β
rút ra:
* '
0
1

B w=
β
( )
2 * 0
0
1
t
M K C t
+µ α 
= β − ∆
 
δ
 
rút ra:
( )
* 0
0
2
1
1
t
K
C M t
K
+µ α 
= + ∆
 ÷
β δ
 
3 *

0
Q K D= β
rút ra:
*
0
3
1
D Q
K
=
β
Thay các hằng số tích phân vào (7.31), nhận được phương trình chuyển vị, nội
lực của vỏ ngắn theo (7.33):
( )
( )
( )
2
' 0
0 1 0 2 0 3 0 4 1
2 3
1
1 1 1
1
t
K
p r
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K E
+
+µ α 

β = + + + ∆ + + −
 
β β δ β δ
 

127
( )
( )
' ' 0
0 4 0 1 0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
4
t
K
p
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K K
+
+µ α 
β = − β + + + ∆ + +
 
β δ β β
 
( )
( )
( )
0
2 ' 0

0 3 0 4 0 1 0 2 3
2
1
1
4 4 1
t
x t
K
p t
M x K w Y K w Y M t Y Q Y Y K
+
+µ α 
∆
β = − β − β + + ∆ + + − +µ α
 
δ β β δ
 
( )
( )
3 2 ' 0
0 2 0 3 0 4 0 1 2
1
4 4 4
t
x
K
p
Q x K w Y K w Y M t Y Q Y Y
+
+µ α 

β = − β − β − β + ∆ + +
 
δ β
 
(7.33a
÷
d)
Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển vị
và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có thể áp
dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ. Dưới đây áp
dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường hợp:
1. Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải
trọng pháp tuyến
p
+
phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7.
Biên trái là ngàm nên:
( )
0 0w =

( )
'
0 0w =
(1)
Thông số ban đầu
0
M
,
0
Q

được xác định từ điều kiện biên phải tại
x l
=
:
( )
0w l =

( )
'
0w l =
(2)
Sử dụng (7.33) với điều kiện biên (1):
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0
0 3 0 4 1
2 3
1
1 1
1
t
K
p r
w x M t Y x Q Y x Y x
K K E
+
+µ α 

β = + ∆ β + β + − β
 
β δ β δ
 

( )
( )
( ) ( ) ( )
' 0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p
w x M t Y x Q Y x Y x
K K K
+
+µ α 
β = + ∆ β + β + β
 
β δ β β
 
Sử dụng điều kiện biên (2) tại
x l=
:
128
Hình 7-7.
( )

( ) ( ) ( )
( )
2
0
0 3 0 4 1
2 3
1
1 1
1
t
K
p r
M t Y l Q Y l Y l
K K E
+
+µ α 
+ ∆ β + β = − − β
 
β δ β δ
 
( )
( ) ( ) ( )
0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p

M t Y l Q Y l Y l
K K K
+
+µ α 
+ ∆ β + β = − β
 
β δ β β
 
Sau khi biến đổi và chú ý đến (7.32):
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
4 3 1
0
0
2 2 2
3 2 4
4 1
1
4 4
t
M
Y l Y l Y l
K
p p
M t Y l
Y l Y l Y l

+ +
β − β − β
+ µ α
+ ∆ = = β
δ β β − β β β
(3)
( )
( ) ( ) ( )
2 4
0
3
.
4
M
Y l Y l Y l
p
Q
Y l
+
 
β β β
= − +
 ÷
β β β
 
(4)
Thay các thông số ban đầu
0
M
,

0
Q
vào (7.33) nhận được phương trình chuyển vị
và nội lực theo chiều dài vỏ, ví dụ với mô men uốn và lực cắt:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4 2
1 3
2 2
3
.
4 4
M
x M
Y l Y l Y l Y x
p p p
M x Y l Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β β
β = β β − + + β
 ÷
β β β β β β
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

( ) ( )
2 4
4 1 2
3
.
.
4
M
x M
Y l Y l Y l
p p p
Q x Y l Y x Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β
β = − β β − + β + β
 ÷
β β β β β
 
(7.34a,b)
Xét quan hệ giữa chiều dài vỏ và mô men uốn
0
M
qua
( )
M
Y lβ
theo (3), [21], khi
chiều dài vỏ:

4lβ ≥
thì giá trị mô men uốn tại ngàm không thay đổi và giá trị
( )
2
M
Y lβ =
, nghĩa là nếu
4
l ≥
β
thì mô men uốn tại ngàm không phụ thuộc chiều dài vỏ
và có giá trị:
,
2
2
x max
p
M
+
=
β
(5)
129
Từ (7.34a), mô men uốn
( )
M x
tăng từ vị trí ngàm với
( ) ( )
2
0

4
M
p
M Y l
+
= β
β

đến giá trị max (phụ thuộc chiều dài vỏ
l
β
) sau đó tắt dần, khi ở khoảng cách
2xβ ≥
thì giá trị mô men không đáng kể.
Chú ý đến (7.7b) và
4 4
3,12
1,28
r
l r
δ
= = = δ
β
nên khi chiều dài vỏ
3,12l r> δ
có
thể xem là vỏ trụ dài và mô men uốn đạt giá trị lớn nhất tại ngàm:
,
2 2
0,306

2 2.1, 28
x max
p p r
M p r
+ +
+
δ
= = = δ
β
, ứng suất tương ứng:
,max
2
6
1,84
x
M
p r
+
σ = =
δ δ
.
Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ vị trí
liên kết ngàm, với khoảng cách:
2
1,56x r≥ = δ
β
ứng suất do uốn không đáng kể, có
thể tính như trạng thái màng.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp
chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo chu

vi có cường độ
F
, hình 7-8.
Điều kiện biên có dạng:
- tại
0x
=
:
( ) ( )
0 0 0w M= =
- tại
x l=
:
( ) ( )
0w l M l= =
Áp dụng phương pháp thông số ban đầu theo (7.33):

( ) ( ) ( ) ( )
'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
| / 2 |
I II
w x w Y x Q Y x FY x l
K K
β = β + β − β −β
β β β
(6)
( ) ( ) ( ) ( )

' '
0 1 0 3 3
2 2
1 1
| / 2 |
I II
w x w Y x Q Y x FY x l
K K
β = β + β − β −β
β β
(7)
130
Hình 7-8.
( ) ( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 | / 2 |
x I II
M x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
β β
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
2 '
0 3 0 1 1
4 | / 2 |
x I II
Q x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
(9)
Trong các công thức trên, ký hiệu

|
I
là vùng khảo sát với
x
có giá trị từ 0
đến
2
l
và ký hiệu
|
II
là vùng khảo sát với
x
có giá trị từ
2
l
đến
l
, hình 7-8. Các
phương trình (6)
÷
(9) chứa 02 thông số ban đầu chưa biết là
'
0
w
và
0
Q
, được xác định
từ điều kiện biên tại

x l=
:
( )
0w l =
và
( )
0M l =
. Từ phương trình (7) và (9):
( ) ( ) ( )
'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
/ 2w Y l Q Y l FY l
K K
β + β = β
β β β
( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 / 2K w Y l Q Y l FY l− β β + β = β
β β

rút ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
'
0

2 2 2
4 2
/ 2 / 2
4
Y l Y l Y l Y l
F
w
K Y l Y l
β β − β β
= −
β β + β
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4 2 2
0
2 2
4 2
4 / 2 / 2
4
Y l Y l Y l Y l
Q F
Y l Y l
β β + β β
=
β + β
Thay các thông số ban đầu này vào các phương trình (6)
÷
(9) nhận được phương
trình chuyển vị và nội lực tại điểm khảo sát
x

.
Mô men uốn có giá trị lớn nhất tại vị trí vành tăng cường,
2
l
x =
:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 4
2 2
4 2
8 / 2 / 2 / 2 4 / 2
/ 2
4
x F
Y l Y l Y l Y l Y l Y l
F F
M l Y
Y l Y l
β β β + β β − β
= =
β β + β β

131
Hàm
F
Y

phụ thuộc biến
l
β
, khi
4lβ >
giá trị
F
Y
không đổi và có giá trị bằng
0,25. Khi chiều dài vỏ
3l r> δ
mô men uốn không phụ thuộc vào chiều dài vỏ và có
giá trị:
4
x
F
M =
β
và tắt rất nhanh về hai phía.
7.1.5. Tính vỏ trụ tròn dài
Ở mục trên đã chỉ ra rằng, khi chịu tải trọng đối xứng trục, nội lực trong vỏ
không phụ thuộc chiều dài vỏ khi
3l r> δ
và hiệu ứng uốn chỉ xuất hiện trong vùng
tương đối hẹp với chiều rộng khoảng
1,56 rδ
, ngoài vùng này ứng suất do uốn tắt
nhanh và là ứng suất màng. Ví dụ vỏ có bán kính
1.000r mm
=

, chiều dày vỏ
10mm
δ =
thì giới hạn giữa vỏ dài và vỏ ngắn là
3 300l r mm= δ =
. Như vậy, vỏ thường gặp trong
thực tế có thể xét như vỏ trụ dài.
Khi tính vỏ trụ dài cũng xuất phát từ phương trình (7.25) với nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
( ) ( ) ( )
1 2 3 4
x x
w x e C sin x C cos x e C sin x C cos x
−β β
β = β + β + β + β
Ở khoảng cách lớn, chuyển vị
w
và góc xoay
'
w
tắt dần, bằng không nên hằng số
tích phân
3
C
,
4
C
bằng không. Do đó, nghiệm
w
có dạng:

( ) ( )
1 2
x
w x e C sin x C cos x
−β
β = β + β
(7.35)
Hai hằng số tích phân được xác định từ điều kiện
biên tại
0x =
, hình 7-9.
Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và
nghiệm riêng của phương trình vi phân không
thuần nhất, trong đó nghiệm riêng theo (7.31a) có
chú ý đến (7.32), có dạng:
132
Hình 7-9.
( ) ( )
2
1 2
x
p r
w x e C sin x C cos x
E
+
−β
β = β + β +
δ
(7.36)

với
p
+
xác định theo (7.23).
Giả sử tải trọng
p
+
là hằng số hoặc là hàm bậc nhất theo
x
, từ (7.36):
( ) ( )
2
1 2 1 2
x
dw dp r
e C C cos x C C sin x
dx dx E
+
−β
= β − β − + β + 
 
δ
(7.37a)
( )
2
2
2 1
2
2
x

d w
e C sin x C cos x
dx
−β
= β β − β
(7.37b)
( ) ( )
3
3
1 2 1 2
3
2
x
d w
e C C sin x C C cos x
dx
−β
= β − β + + β 
 
(7.37c)
tại
0x =
theo (7.19), (7.20):
( )
( )
2
0
0
2
0

1
t
d w
t
M K
dx
 
∆
= − + µ α
 
δ
 
(7.38a)
( ) ( )
( )
0
3
0
3
0 1
t
d t
d w
Q K
dx dx
 
∆
+µ α
 
= −

δ
 
 
(7.38b)
Chú ý đến (7.37), sau khi biến đổi, các hằng số tích phân xác định bằng công
thức:
( )
0
0
1
2 2
1
2 2
t
t
M
C
K
+µ α ∆
= − −
β β δ
(7.39a)
( )
( )
0
0
0 0
2
3 2 2
1

2 2 2
t
d t
Q M
C t
K K dx
 
∆
+ µ α
 
= + + ∆ −
β β β δ β
 
 
(7.39b)
thay (7.39) vào (7.36):
( ) ( )
( )
0
0
2 2
1
2 2
t
x
t
M
w x e cos x sin x
K
−β

 
+ µ α ∆
β = β − β + +
 
β β δ
 

133

( )
( )
0
2
0
3 3
1
2 2
t
x
d t
Q
p r
e cos x
K dx E
+
−β
 
∆
α +µ
 

+ β − +
β β δ δ
 
 
(7.40)
Ký hiệu:
( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ϕ β = β + β

( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ψ β = β − β
(7.41a,b)
( )
x
x e cos x
−β
ϑ β = β

( )
x
x e sin x
−β
ξ β = β
(7.41c,d)

Các đạo hàm của chúng:
( )
2
d
x
dx
ϕ
= − βξ β
( )
2
d
x
dx
ψ
= − βϑ β
(7.41e,f)
( )
d
x
dx
ϑ
= −βϕ β
( )
d
x
dx
ξ
= βψ β
(7.41g,h)
thì từ (7.40) nhận được phương trình chuyển vị, nội lực:

( )
( )
( )
0
0
2
1
1
2
t
K
w x M t x
K
+µ α 
β = + ∆ ψ β +
 
β δ
 

( )
( )
( )
0
2
0
3
1
1
2
t

d t
K
p r
Q x
K dx E
+
 
∆
+ µ α
 
+ − ϑ β +
β δ δ
 
 
( )
( )
( ) ( )
2
' 0
0
0
2
1
1
2
t
K
Q
r dp
w x M t x x

K K E dx
+
+µ α 
β = − + ∆ ϑ β − ϕ β +
 
β δ β δ
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
1
1
t
x
K
Q
M x M x t x x
+ µ α
β = ϕ β + ∆ ϕ β − + ξ β 
 
δ β

( ) ( )
( )
( )
0
0 0

1
2
t
x
K
Q x Q x M t x
+µ α 
β = ψ β − β + ∆ ξ β
 
δ
 
(7.42a
÷
d)
Từ đạo hàm bậc hai của phương trình (7.42a),
134
( )
( ) ( )
" 0
0
0
1
1
t
K
Q
w M t x x
K K
+µ α 
= + ∆ ϕ β + ξ β

 
δ β
 
(7.43)
theo (7.24), mô men uốn theo phương vòng:
( ) ( )
0
"
1
t
t
M x K w
ϕ
 
∆
β = µ − +µ α
 
δ
 
(7.44)
Thay
w
từ phương trình (7.42a) vào (7.13), lực màng theo phương vòng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0

0
2
0
0
0
1 1
2
t t
t s x
d t
K t K
Q
N x r M x x
dx
p r E t N
ϕ
+
 
 
∆
 
+µ α ∆ + µ α
 
 
β = β + ψ β + − ϑ β +
 
 
δ β βδ
 
 

 
 
 
+ − δα +µ
trong đó
p
+
xác định theo (7.23). (7.45)
Dưới đây sử dụng (7.42)
÷
(7.45) xét cho 02 trường hợp:
1. Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng
p
+
không đổi theo
chiều dài, hình 7-9. Tại
0x
=
vỏ liên kết ngàm nên
( ) ( )
'
0 0 0w w= =
, còn 02 thông số
ban đầu chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0
Q
.

Sử dụng 02 phương trình đầu của (7.42) tại
0x
=
với chú ý
( ) ( ) ( )
0 0 0 1ψ = ϑ = ϕ =
, nhận được 02 phương trình xác định 02 thông số ban đầu
chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0
Q
:
( )
2
0
0
0
2 2
1
1
0
2 2
t
K
Q
p r
M t
K K E

+
+µ α 
+ ∆ + + =
 
β δ β δ
 
( )
0
0
0
2
1
1
0
2
t
K
Q
M t
K K
+µ α 
− + ∆ − =
 
β δ β
 
Giải hệ phương trình, chú ý đến (7.32):
135
0
p
Q

+
= −
β
( )
0
0
2
1
2
t
K
p
M t
+
+ µ α
= − ∆
β δ
(7.46)
Thay (7.46) vào (7.42) và (7.44), (7.45) nhận được:
( ) ( )
2
1
p r
w x x
E
+
β = −ϕ β 
 
δ
(7.47a)

( ) ( )
2
'
p r
w x x
E
+
β = βξ β
δ
(7.47b)
( ) ( )
( )
0
2
1
2
t
x
K
p
M x x t
+
+µ α
β = ψ β − ∆
β δ
(7.47c)
( ) ( )
x
p
Q x x

+
β = − ϑ β
β
(7.47d)
( ) ( )
( )
0
2
1
2
t
K
p
M x x t
+
ϕ
+µ α
β = µ ψ β − ∆
β δ
(7.47e)
( ) ( )
0
1
2
t s
pr
N x p r x E t
+
ϕ
β = − ϕ β − δα +µ 

 
(7.47f)
p
+
xác định theo (7.23).
Các biểu thức (3), (4) của vỏ ngắn (mục 7.1.4) khi
3lβ ≥
với
( )
2
M
Y lβ =
và
( )
4
T
Y lβ = −
thì có dạng như vỏ
dài theo (7.47).
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng
phân bố
F
theo chu vi vỏ như đã xét đối với vỏ ngắn,
hình 7-10. Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng.
Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng
(7.42) và cần xác định 02 thông số ban đầu là
0
M
và
0

Q
. Lực cắt
0
Q
tại
0x =
được xác
136
Hình 7-10.
định trực tiếp từ phần phải, phần trái tại vị trí tác dụng tải trọng của vỏ trụ dài:
0
2
F
Q = −
.
Mô men uốn
0
M
tại
0x
=
được xác định từ điều kiện
( )
'
0w
, từ phương trình thứ hai của
(7.42):
0
0
2

1
0
2
Q
M
K K
− − =
β β
, thay
0
2
F
Q = −
vào phương trình trên và sau khi biến đổi:
0
4
F
M =
β
. Thay các thông số ban đầu là
0
M
và
0
Q
vào (7.42), (7.44) và (7.45) nhận
được:
( ) ( ) ( )
( )
( )

2 2
2
2 2
Fr Fr
w x x x x
E E
β β
β = ψ β − ϑ β = − ϕ β
δ δ
(7.48a)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
'
Fr Fr
w x x x x
E E
β β
β = ϕ β − ϑ β = ξ β
δ δ
(7.48b)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
4 2
x
F F

M x x x xβ = ϕ β − ξ β = ξ β
β β
(7.48c)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
x
F F
Q x x x xβ = − ψ β +ξ β = − ϑ β
(7.48d)
( ) ( )
x
M x M x
ϕ
β = µ β
(7.48e)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
2
2 2
N x Fr x x Fr x
ϕ
β = β ψ β − ϑ β = − βϕ β
(7.48f)
Hiệu ứng uốn có đặc trưng cục bộ, tắt nhanh. Khi
2xβ ≥
hay

2
1,56x r> > δ
β
tính từ vị trí tác dụng của tải trọng thì các giá trị chuyển vị, nội lực gây ra do uốn tắt
nhanh.
Dưới đây xét các bài toán hiệu ứng biên khi liên kết 02 vỏ trụ tròn; vỏ trụ tròn
với đáy là vỏ cầu, vỏ trụ tròn với đáy là vỏ xuyến, vỏ trụ tròn với chỏm cầu có vành
137
tăng cứng trên cơ sở phương pháp lực và các phương trình chuyển vị, nội lực của vỏ
trụ dài (7.42), [21].
7.2. HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN
Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2 vỏ trụ
tròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch nhiệt độ giữa
mặt trong và mặt ngoài vỏ.
7.2.1. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau
Xét 2 vỏ trụ tròn có bán kính, chiều dày vỏ trái
1
r
,
l
δ
và vỏ phải
2
r
,
p
δ
liên kết
với nhau, hình 7-11. Do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục và xem là vỏ trụ dài
nên khi chưa liên kết, vỏ có biến dạng tự do tương ứng với chuyển vị

l l
r w∆ =
ở vỏ trái
và và chuyển vị
2 p
r w∆ =
ở vỏ phải.
Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ
2 1
r r∆ = ∆ − ∆
là nguyên nhân gây nên biến dạng uốn
cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ. Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, sử dụng phương
pháp lực với hệ cơ bản và ẩn số
cơ bản trên hình 7-11.
Hệ phương trình chính tắc
theo phương pháp lực có dạng:

11 1 12 2 1
0
p
X Xδ + δ + ∆ =


21 1 22 2
0X Xδ + δ =
(7.49)
Khi xác định các hệ số
chính, hệ số phụ (
12 21
δ = δ

) và số
hạng tự do dùng công thức (7.42)
của vỏ dài và chú ý đến hình 7-12.
138
Hình 7-11.
Hệ số
11
δ
xác định bằng công thức:
11 l p
w wδ = +
với
l
w
,
p
w
là chuyển vị của vỏ
trái và vỏ phải tại vị trí liên kết
0x
=
do
0 1
1Q X= =
gây ra trên hệ cơ bản. Từ (7.42a),
3
1
2
l
l l

w
K
=
β
và
3
1
2
p
p p
w
K
=
β
nên:
11
3 3
1 1

2 2
l l p p
K K
δ = +
β β
Tương tự, với
0 2
1M X= =
:
12 21
2 2

1 1

2 2
l p
l l p p
w w
K K
δ = δ = − = −
β β

22
1 1

l l p p
K K
δ = +
β β
Sử dụng (7.42a):
2 2
1 2
1

p
l p
pr pr
E E
∆ = −
δ δ
Thay các hệ số chính, hệ số phụ và
số hạng tự do vào (7.49), giải hệ phương

trình xác định được các ẩn số cơ bản
1
X
và
2
X
. Sau đó sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ
xác định được chuyển vị và nội lực tại
điểm bất kỳ theo giá trị
xβ
, với vỏ trái
lấy
0 1
Q X=
,
0 2
M X=
, còn với vỏ phải
lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M

tại
0x =
của vỏ
trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm
dần về hai phía. Tính toán trên mới chỉ xét với tải trọng pháp tuyến
p
, nếu kể đến cả
lực dọc trục thì thay
p
bằng
p
+
, xác định theo (7.23):
x
N
p p
r
+
µ
= −
. Dưới tác dụng
của áp lực pháp tuyến
p
, lực màng
x
N
tác dụng dọc trục có giá trị bằng
2
x
pr

N =
139
Hình 7-12.
(bảng 6-1) nên
1
1
2 2
pr
p p p
r
+
µ
 
= − = − µ
 ÷
 
. Như vậy, khi vỏ chịu tác dụng của áp lực
pháp tuyến
p
và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2 đầu vỏ trụ) thì có thể sử
dụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp lực pháp tuyến
p
đã nêu trên,
nhân với hệ số
1
1
2
 
− µ
 ÷

 
.
7.2.2. Liên kết 2 vỏ có mặt trung bình lệch tâm nhau
Trong mục này xét trường hợp liên kết 2 vỏ trụ có chiều dày khác nhau và mặt
trung bình của 2 vỏ lệch tâm nhau với giá trị độ lệch tâm:
( )
1
2
l p
e = δ −δ
(7.50)
Ảnh hưởng của độ lệch tâm khi tính toán có thể thay thế bằng mô men uốn phân
bố đều theo chu vi vỏ đặt tại vị trí liên kết:
x
M N e=
(7.51)
Trong thực tế, giá trị độ lệch tâm
e
so với bán kính vỏ rất nhỏ nên trong tính
toán có thể xem:
l p
r r r= =
(với
l
r
,
p
r
là bán kính vỏ trái và vỏ phải) .
Nghiệm của bài toán nhận được bằng phương pháp chồng nghiệm của 2 bài toán:

1. Vỏ chịu áp lực pháp tuyến
p
, có kể ảnh hưởng của lực dọc trục
2
x
pr
N =
.
Nghiệm của bài toán này đã xét trong mục 7.2.1.
2. Vỏ chịu mô men uốn lệch tâm phân bố đều theo chu vi vỏ tại vị trí liên kết.
Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và các ẩn số cơ bản tương tự như trong
mục 7.2.1, chỉ khác các số hạng tự do.
Khi xác định
1e
∆
và
2e
∆
, mô men lệch tâm chỉ tác dụng
ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):
140
Hình 7-13.

1
2
2
e
l l
M
K

∆ =
β

2e
l l
M
K
∆ =
β
(7.52)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và
nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ
x
, với vỏ trái lấy
0 1
Q X=
,
0 2
M X=
còn với vỏ phải
lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men

x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải có bước nhảy bằng mô men
lệch tâm
M
, sau đó giảm dần về hai phía.
Ảnh hưởng của độ lệch tâm đến ứng suất uốn lớn hơn trường hợp liên kết 2
vỏ trụ tròn có cùng mặt trung bình.
7.2.3. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ
Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt
141
độ với nhiệt độ phía trong vỏ
0
1
t
và phía ngoài vỏ
0
2
t
với
giả thiết nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều
dày vỏ và
0 0
1 2
t t>
, hình 7-14. Bài toán được giải
tương tự như trong mục 7.2.1 chỉ khác số hạng
tự do

1t
∆
và
2t
∆
. Theo (7.9) và (7.10) nhiệt độ ở mặt
trung bình
0 0
0
1 2
2
s
t t
t
+
=
và gia số nhiệt độ giữa phía trong và phía ngoài vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −
.
Giá trị chuyển vị
1t
∆
được xác định theo (7.42a) với chú ý là ở vị trí liên kết,
hình 7-12, tại đầu trái dưới tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cùng chiều với
1
X
nên mang dấu dương, còn tại đầu phải chuyển vị ngược chiều với
1

X
nên mang
dấu âm và do sự thay đổi nhiệt độ nên
p
+
xác định theo công thức (7.23). Do đó:
( ) ( )
0 0
0 0
1
2 2
1 1
0
2 2
t t
t t s t s
l l p p
t t
r t r t
+ µ α ∆ +µ α ∆
∆ = + α − − α =
β δ β δ
(7.53)
Giá trị chuyển vị
2t
∆
được xác định theo (7.42b) với chú ý là nhiệt độ
0
s
t

không gây chuyển vị xoay, nên:
( )
0
2
1 1
1
t t
l l p p
t
 
∆ = +µ α ∆ +
 ÷
 ÷
β δ β δ
 
(7.54)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và
nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ
x
, với vỏ trái lấy
0 1
Q X=
,
0 2
M X=
còn với vỏ phải
lấy
0 1

Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm dần
về hai phía và có giá trị không đổi.
142
Hình 7-14.
Khi 2 vỏ có cùng bán kính, hiệu ứng biên chỉ xuất hiện khi có sự thay đổi nhiệt
độ
0
t∆
ở phía trong và phía ngoài vỏ. Ở cách xa vị trí liên kết, mô men uốn
có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ.
- Vỏ trái:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
l
x l t t

l
E
M K t t
δ
= + µ α ∆ = α ∆
δ −µ
- Vỏ phải:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
p
x p t t
p
E
M K t t
δ
= + µ α ∆ = α ∆
δ −µ
Chú ý đến (7.18) và (7.24), mô men uốn theo phương vòng cũng có giá trị bằng
mô men uốn theo phương dọc trục,
( )
0
2
6
2 1
x t

x
M E t
ϕ
α ∆
σ = σ = ± =
δ −µ
m
. Giá trị ứng suất của vỏ trái
và vỏ phải ở cách xa vị trí liên kết, không phụ thuộc bán
kính và chiều dày vỏ.
7.2.4. Vỏ trụ có vành tăng cường
Vỏ trụ có vành tăng cường là kết cấu thường
được sử dụng trong thực tế như khi vỏ chịu tác dụng của
tải trọng cục bộ tại gối tựa hoặc khi vỏ có thể bị mất ổn
định.
Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có
vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải
chịu tác dụng của tải trọng
p
+
. Vỏ trái và vỏ phải có bán
kính
r
, chiều dày vỏ trái
l
δ
, chiều dày vỏ phải
p
δ
.

Vành tăng cường có diện tích tiết diện
A
và mô men
quán tính độc cực (chống xoắn)
p
J
. Giả thiết chiều
143
Hình 7-15.