Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 8 Tính vỏ trụ tròn

Chương 8
TÍNH VỎ TRỤ TRÒN
Chương này giới thiệu các phương trình và các công thức cơ bản của lý
thuyết mô men, lý thuyết bán mô men, ổn định và cách tính vỏ trụ tròn trong một
số trường hợp thường gặp trong tính toán thiết kế.
8.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MÔ MEN ĐỐI
VỚI VỎ TRỤ TRÒN
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r
, chiều dày
δ
trong hệ tọa độ trụ với tọa độ cong
x
α =
và
β = ϕ
. Tham số Lame của vỏ trụ tròn:

1A =
và
B r const
= =
.
8.1.1. Phương trình cân bằng
Hệ phương trình cân bằng của vỏ trụ tròn được suy từ hệ phương trình cân
bằng theo lý thuyết mô men tổng quát (5.39) có dạng:
1
1
0
N S
r rp

x
∂ ∂
+ + =
∂ ∂ϕ
(8.1a)
2
2 2
0
NS
r Q rp
x
∂∂
+ + + =
∂ ∂ϕ
(8.1b)
1 2
2 3
0
Q Q
r N rp
x
∂ ∂
+ − + =
∂ ∂ϕ
(8.1c)
2
2
0
MH
r rQ

x
∂∂
+ − =
∂ ∂ϕ
(8.1d)
1
1
0
MH
r rQ
x
∂∂
+ − =
∂ϕ ∂
(8.1e)
8.1.2. Phương trình hình học
Các phương trình hình học của vỏ trụ tròn được suy từ phương trình hình
học theo lý thuyết mô men tổng quát (5.9)
÷
(5.14) có kể đến các tham số hình
học của vỏ trụ tròn có dạng, [16]:
1
u
x
∂
ε =
∂
(8.2a)
2
1 v w

r r
∂
ε = +
∂ϕ
(8.2b)
1v u
x r
∂ ∂
γ = +
∂ ∂ϕ
(8.2c)
156
2
1
2
w
x
∂
χ = −
∂
(8.2d)
2
1 1v w
r r r
 
∂ ∂
χ = −
 ÷
∂ϕ ∂ϕ
 

(8.2e)
2
1 1
2
w v
r x x
 
∂ ∂
χ = − +
 ÷
∂ ∂ϕ ∂
 
(8.2f)
8.1.3. Phương trình vật lý
Các phương trình vật lý được suy từ các phương trình vật lý theo lý thuyết
mô men tổng quát (5.41) có kể đến các tham số hình học của vỏ trụ tròn, có
dạng:
( )
1 1 2
2 2
1
1 1
E E u v w
N
x r r
 
 
δ δ ∂ ∂
= ε + µε = +µ +
 

 ÷
−µ −µ ∂ ∂ϕ
 
 
(8.3a)
( )
2 2 1
2 2
1
1 1
E E v w u
N
r r x
 
δ δ ∂ ∂
= ε + µε = + + µ
 ÷
−µ −µ ∂ϕ ∂
 
(8.3b)
( ) ( )
1
2 1 2 1
E E u v
S
r x
 
δ δ ∂ ∂
= γ = +
 ÷

+µ +µ ∂ϕ ∂
 
(8.3c)
( )
2 2
1 1 2
2 2 2
w v w
M D D
x r
 
 
∂ µ ∂ ∂
= χ +µχ = − + − +
 
 ÷
∂ ∂ϕ ∂ϕ
 
 
(8.3d)
( )
2 2
2 2 1
2 2 2
1w v w
M D D
x r
 
 
∂ ∂ ∂

= χ + µχ = − µ + − +
 
 ÷
∂ ∂ϕ ∂ϕ
 
 
(8.3e)
( ) ( )
2
1 1
1 1
2
w v
H D D
r x x
 
∂ ∂
= −µ χ = − −µ −
 ÷
∂ ∂ϕ ∂
 
(8.3f)
Trong các công thức trên
D
là độ cứng trụ:


( )
3
2

12 1
E
D
δ
=
−µ

(8.4)
8.2. TÍNH VỎ TRỤ TRÒN CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG TRỤC THEO
LÝ THUYẾT MÔ MEN
Khảo sát vỏ trụ tròn thẳng đứng chịu áp lực thủy tĩnh, hình 8-1. Tải trọng
tác dụng lên vỏ:
1 2
0p p= =
,
( )
3
p l x
= γ −
với
γ
là trọng lượng riêng chất lỏng.
Do hệ đối xứng trục và chịu tải trọng đối xứng trục nên:
- Các đạo hàm theo biến
ϕ
bằng không;
- Chuyển vị
v
và mô men theo phương vòng
2

M
bằng không;
157
- Lực trượt
S
bằng không;
- Lực cắt
2
Q
và mô men xoắn
H
bằng không.
Như vậy, khi vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục, các thành phần nội lực
khác không là:
1
N
,
2
N
,
1
Q
và
1
M
.
Hình 8-1. Vỏ trụ tròn chịu áp lực thủy tĩnh.
Các phương trình cân bằng được suy ra từ các phương trình cân bằng tổng
quát của vỏ trụ tròn (8.1), chú ý là với các nhận xét trên thì các phương trình
(8.1b) và (8.1d) đồng nhất bằng không.

Từ (8.1a):
1
0
dN
dx
=
(1)
Từ (8.1c):
1 2
3
dQ N
p
dx r
− = −
(2)
Từ (8.1e):
1
1
0
dM
Q
dx
− =
(3)
Từ (1) rút ra
1
N const=
không phụ thuộc biến
x
và

ϕ
, xuất hiện khi vỏ
chịu tải trọng phân bố dọc theo chu vi vỏ, có giá trị bằng ngoại lực.
Kết hợp (2) và (3):
2
1 2
3
2
d M N
p
dx r
− = −
(4)
Thừa nhận hệ số Poisson
0µ =
, nên:
2
2
1
1
E v w u w
N E
r r x r
 
δ ∂ ∂
= + +µ = δ
 ÷
−µ ∂ϕ ∂
 
(8.5)

2 2 2
1
2 2 2 2
w v w w
M D D
x r x
 
 
∂ µ ∂ ∂ ∂
= − + − + = −
 
 ÷
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂
 
 
(8.6)
Thay (8.5) và (8.6) vào (4), nhận được:
158
4
4
3
4
4
p
d w
w
dx D
+ β =
(8.7)
trong đó:

( )
2
4
4
2
1
3 1
4
E
r D r
δ
β = = −µ
δ
(8.8)
Phương trình (8.7) có dạng phương trình dầm chịu uốn trên nền đàn hồi
biến dạng cục bộ. Nghiệm tổng quát của nó có dạng
1 0
w w w= +
(8.9)
với:
1
w
- nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất;
0
w
- nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất.
1. Xác định nghiệm riêng
1
w
: Trong trường hợp vỏ trụ tròn chịu áp lực thủy

tĩnh, ở vùng xa biên (đáy) vỏ, trạng thái nội lực, biến dạng là trạng thái phi mô
men. Do đó, nghiệm riêng được chọn theo lý thuyết phi mô men.
Theo lý thuyết phi mô men, từ (6.6a):
( )
2 3
.
r
N r p rp r l x
ϕ
= = = γ −
Từ phương trình vật lý (6.7b) theo lý thuyết phi mô men, với
0µ =
:
( )
( )
2 2 1 2
1 1
l x r
N N N
E E E
γ −
ε = −µ = =
δ δ δ
(5)
Từ phương trình hình học (6.7b) theo lý thuyết phi mô men:
2
1 v u w w
cos
r r r r
∂

ε = + ϑ+ =
∂ϕ
(6)
Cân bằng (5) và (6), rút ra:
( )
2
1
r l x
w
E
γ −
=
δ
(8.10)
Từ (8.10) có nhận xét: chuyển vị pháp tuyến
w
tỉ lệ với khoảng cách
( )
l x
−

nên khi biến dạng, ở vùng xa biên tường vỏ thẳng.
2. Xác định nghiệm tổng quát
0
w
: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
thuần nhất (8.7) có dạng:
( ) ( )
0 1 2 3 4
x x

w e D cos x D sin x e D cos x D sin x
β −β
= β + β + β + β
(8.11)
Nghiệm tổng quát của bài toán theo (8.9):
( ) ( ) ( )
2
1 0 1 2 3 4
x x
r
w w w e D cos x D sin x e D cos x D sin x l x
E
β −β
γ
= + = β + β + β + β + −
δ
(8.12)
Từ (8.5) và (8.12):
159
( ) ( ) ( )
2 1 2 3 4
x x
w E
N E l x r e D cos x D sin x e D cos x D sin x
r r
β −β
δ
 
= δ = γ − − β + β + β + β
 

(8.13a)
Từ (8.6) và (8.12):
( ) ( )
2
2
1 2 1 4 3
2
2
x x
d w
M D D e D cos x D sin x e D cos x D sin x
dx
β −β
 
= − = − β β − β + − β + β
 
(8.13b)
( ) ( )
{
3
1
1 2 1 2 1
2
x
dM
Q D e D D cos x D D sin x
dx
β
= = − β − β − + β + 
 

( ) ( )
}
3 4 4 3
x
e D D cos x D D sin x
−β
+ + β + − β 
 
(8.13c)
Các hằng số tích phân
1 4
D D÷
xác định từ 04 điều kiện biên:
- Tại
0x
=
biên ngàm:
0
dw
w
dx
= =
- Tại
x l=
biên tự do:
2
1
2
0

d w
M D
dx
= − =
và
3
1
3
0
d w
Q D
dx
= − =
Có thể đơn giản hóa nghiệm bài toán (giảm số lượng hằng số tích phân) từ
nhận xét về qui luật biến thiên của trạng thái nội lực theo khoảng cách từ điểm
khảo sát đến biên vỏ. Từ hình 8-1 có nhận xét:
- Hàm chứa
x
e
β
hay
x
e
λ
(
π
β =
λ
) với các hằng số tích phân
1

D
và
2
D
tắt
nhanh từ biên trên xuống biên dưới (ngược chiều trục
x
). Do đó, nếu tìm nội lực
ở biên dưới thì có thể xem
1 2
0D D= =
và chỉ tìm hằng số tích phân
3
D
và
4
D
.
- Hàm chứa
x
e
−β
hay
x
e
−λ
với các hằng số tích phân
3
D
và

4
D
tắt nhanh từ
biên dưới lên biên trên (cùng chiều trục
x
). Do đó, nếu tìm nội lực ở biên trên thì
có thể xem
3 4
0D D= =
và chỉ tìm hằng số tích phân
1
D
và
2
D
.
8.3. PHÂN TÍCH NGHIỆM VỎ TRỤ TRÒN
Trong nhiều trường hợp cần tìm nghiệm bài toán vỏ trụ tròn chịu tải trọng
tổng quát dưới dạng giải tích, khi đó việc giải bài toán phức tạp hơn trường hợp
chịu tải trọng đối xứng trục vì nghiệm phụ thuộc cả biến
x
dọc theo trục vỏ và
phụ thuộc cả biến
ϕ
theo phương vòng.
Dưới đây, từ phân tích nghiệm phương trình đặc trưng của phương trình vi
phân cân bằng thuần nhất của vỏ trụ tròn, dẫn ra cách xác định nghiệm gần đúng.
8.3.1. Phương trình cân bằng
Hệ phương trình cân bằng của vỏ trụ tròn có thể được dẫn về 3 phương
trình biểu diễn qua các thành phần chuyển vị: chuyển vị

u
dọc trục vỏ, chuyển vị
v

tiếp tuyến theo phương vòng và chuyển vị
w
theo phương pháp tuyến, [21].
160
Hệ phương trình vi phân cân bằng thuần nhất do Flugge đưa ra có dạng:
( )
''
1
1
2
u k u
−µ
+ +
&&
'
1
2
v
+µ
&
' ''' '
1
2
w k w w
−µ
 

µ − −
 ÷
 
&&
(8.14)
'
1
2
u
+µ
&
( )
''
1
1 3
2
v k v
−µ
+ +
&&
''
3
2
w kw
−µ
−
& &
' ''' '
1
2

u k u u
−µ
 
µ − −
 ÷
 
&&
''
3
2
v kv
−µ
−
& &
( )
4
2w k w w w
+ ∇ + +
&&
trong đó:
r
- bán kính vỏ trụ;
2
2
12
k
r
δ
=
- tỉ số bậc hai chiều dày và bán kính vỏ;

x
- tọa độ dọc theo trục vỏ;
( )
'
*
- dấu phảy là đạo hàm riêng theo biến
x
;
ϕ
- tọa độ theo phương vòng;
( )
*
&
- dấu chấm là đạo hàm riêng theo biến
ϕ
, theo phương vòng;
4
∇
- toán tử vi phân
( ) ( )
2
4 2 2 '' '''' ''
2w w w u w w w
∇ = ∇ ∇ = + = + +
&& && &&&&
Hệ phương trình (8.14) có dạng tương tự như phương trình của V.Z
Vlatxop.
Hệ phương trình vi phân thuần nhất theo lý thuyết mô men kỹ thuật, đầu
tiên do Donnell đưa ra có dạng (8.15):
''

1
2
u u
−µ
+
&&
'
1
2
v
+µ
&
'
w
µ
(8.15)
'
1
2
u
+µ
&
''
1
2
v v
−µ
+
&&
w

&
'
uµ
v
&
4
w k w
+ ∇
Hệ phương trình (8.15) so với (8.14) đã bỏ qua các thành phần
k
so với đơn
vị và cả bỏ qua cả các thành phần nhân với
k
so với các thành phần khác đơn vị.
Từ hệ 03 phương trình (8.14) bằng cách khử các chuyển vị
u
,
v
có thể dẫn
về 01 phương trình đạo hàm riêng cấp 8 biểu diễn qua chuyển vị
w
. Nếu bỏ qua
các thành phần chứa
k
so với đơn vị, nhận được phương trình đạo hàm riêng cấp
8 biểu diễn qua chuyển vị
w
:
( )
( )

( )
2
2
2 4 '''''' '' '' ''''
1
1 2 1 0w w w w w
k
−µ
+∇ ∇ − −µ − − + =
&&&& &&
(8.16)
161
Donnell đưa ra dạng đơn giản nhất:
2
8 ''''
1
0w w
k
−µ
∇ + =
(8.17)
Sự khác nhau giữa (8.16) và (8.17) ở thành phần thứ nhất và bỏ qua thành
phần giữa. Phương trình (8.17) cho kết quả không chính xác nên Donnell hiệu
chỉnh về dạng:
2
8 ''''
1
2 0w w w w
k
−µ

∇ + + + =
&&& &&
&&& &&
(8.18)
Các tác giả khác cũng đơn giản hóa (8.16) về dạng (8.18). Trong (8.18), so
với (8.16) đã bỏ qua đạo hàm riêng bậc chẵn theo biến
x
r
α =
so với đạo hàm
riêng bậc chẵn theo biến
ϕ
. Điều đó về phương diện vật lý là bỏ qua độ cong dọc
trục vỏ so với độ cong theo phương vòng.
Xét 02 trường hợp:
1. Trường hợp 1: Từ (8.16) nếu trong đạo hàm hợp bỏ qua đạo hàm theo phương
dọc trục theo biến
x
r
α =
so với đạo hàm theo phương vòng theo biến
ϕ
, sẽ nhận
được phương trình cân bằng theo lý thuyết bán mô men:
2
''''
1
2 0w w w w
k
−µ

+ + + =
&&&& &&& &&
&&&& &&& &&
(8.19)
Phương trình này là dạng đơn giản nhất của lý thuyết bán mô men, với biến
dạng
ϕ
ε
theo phương vòng và góc trượt
γ
trong mặt trung bình bằng không.
Khi vỏ chịu tải trọng đối xứng trục, thay
( ) ( )
,
n
w x w x cosn
ϕ = ϕ
vào (8.19),
sau khi biến đổi nhận được phương trình vi phân thường:
( )
( )
4
4
4
4 0
n
n n
d w x
w x
dx

+ α =
(8.20a)
với:
( )
( )
2
4 4 2
4 2
4 1
1
n
k
n n
r
α = −
−µ
(8.20b)
2. Trường hợp 2: Ngược lại, trong đạo hàm hợp bỏ qua đạo hàm riêng bậc chẵn
theo biến
ϕ

(theo phương vòng) so với đạo hàm riêng theo biến
α
(theo phương
dọc trục), từ (8.16) nhận được:
2
'''''''' '''''' ''''
1
1 0w w w
k

 
− µ
+ µ + + =
 ÷
 
(8.21)
Phương trình này có thể khai triển thành 02 phương trình:
162
- Phương trình thứ nhất bài toán vỏ giải như bài toán dầm:
''''
0w
=
(8.22)
- Phương trình thứ hai là bài toán hiệu ứng biên (chương 7):
2
'''' ''
1
1 0w w w
k
 
−µ
+µ + + =
 ÷
 
(8.23)
Khi vỏ chịu tải trọng đối xứng với trục, thay
( ) ( )
,
n
w x w x cosn

ϕ = ϕ
vào
(8.23), nhận được phương trình vi phân thường với biến
.x r
= α
:
( ) ( )
( )
4 2
2
4 2 2 4
2 1 1
1 0
n n
n
d w x d w x
n
w x
dx r dx r k
 
−µ
+ + + =
 ÷
 
(8.24)
Nếu trong ngoặc đơn bỏ qua giá trị đơn vị so với
2
1
k
−µ

(hoàn toàn thỏa
mãn đối với vỏ mỏng) và bỏ qua cả thành phần giữa (biểu thị ảnh hưởng của lực
trượt) sẽ nhận được phương trình của bài toán vỏ đối xứng trục:
( )
( )
4
4
4
4 0
n
n
d w x
w x
dx
+ β =
(8.25a)
Với:
( )
2
2
4
4 2 2
12 1
1
4
kr r
−µ
−µ
β = =
δ

(8.25b)
Từ phân tích trên thấy rằng, với điều kiện nhất định về kích thước vỏ (chiều
dài, tỉ số giữa bán kính và chiều dày vỏ) và dạng tải trọng, bài toán vỏ trụ tròn có
thể được khai triển thành 3 bài toán độc lập, ví dụ với vỏ trụ tròn chứa chất lỏng,
hình 8-2:
Hình 8-2.
- Bài toán thứ nhất - phương trình (8.22), bài toán vỏ giải như bài toán dầm,
hình 8-2b.
- Bài toán thứ hai: phương trình (8.23) biểu thị hiệu ứng biên, hình 8-2b.
- Bài toán thứ ba: phương trình (8.19) lý thuyết bán mô men biểu thị uốn
theo phương vòng, hình 8-2c.
Nghiệm tổng quát của bài toán nhận được bằng phương pháp chồng nghiệm
từ nghiệm của các bài toán trên.
163
8.3.2. Phân tích phương trình đặc trưng
Xét bài toán vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng, chuyển vị pháp được tìm
dưới dạng:
( )
n
n
w w x cosn= ϕ
∑
(8.26)
thay (8.26) vào (8.14)
÷
( 8.19), (8.23) nhận được phương trình vi phân thường.
Phương trình đặc trưng tương ứng có bậc 8 với
( )
x
r

n
w x e
λ
=
, có dạng tổng
quát:
8 6 4 2
0A B C D H
λ − λ + λ − λ + =
(8.27)
Phương trình đặc trưng của (8.14)
÷
( 8.19), (8.23) khác nhau chỉ các hệ số
A
,
B
, C,
D
,
H
.
Bảng 8-1, trang 225, đưa ra các hệ số của một số tác giả, [21].
Nghiệm phương trình đặc trưng (8.27) có dạng:
1,2,3,4
.a i b
λ = ± ±
5,6,7,8
.c i d
λ = ± ±
(8.28)

Từ phương trình tổng quát Flugge, nghiệm phương trình đặc trưng:
khi
50
r
=
δ
và
2n
=
:
1,2,3,4
9,304 8,881.i
λ = ± ±

5,6,7,8
0,194 0,187.i
λ = ± ±
(1)
khi
50
r
=
δ
và
10n
=
:
1,2,3,4
14,74 6,542.i
λ = ± ±

5,6,7,8
5,629 2,528.i
λ = ± ±
(2)
khi
500
r
=
δ
và
2n
=
:
1,2,3,4
28,81 28,68.i
λ = ± ±
5,6,7,8
0,604 0,601.i
λ = ± ±
(3)
khi
500
r
=
δ
và
10n
=
:
1,2,3,4

30,57 27,12.i
λ = ± ±
5,6,7,8
1,821 1,617.i
λ = ± ±
(4)
Từ phân tích giá trị số thấy rằng, giá trị
1,2,3,4
λ
khác với
5,6,7,8
λ
và giá trị
1,2,3,4
λ
lớn hơn
5,6,7,8
λ
. Sự khác nhau giữa chúng càng lớn khi tỉ số
r
δ

càng lớn và
n
càng nhỏ nên trong trường hợp này, phương trình đặc trưng được khai triển
thành 2 phương trình độc lập với nhau tương ứng với nghiệm lớn (bài toán hiệu
ứng biên) và nghiệm nhỏ (lý thuyết bán mô men).
1. Nghiệm lớn (bài toán hiệu ứng biên) tương ứng với phương trình đặc trưng:
( )
4 4 2

0A B C
λ λ − λ + =
(8.29)
Từ (8.29) suy ra:
4 2
0A B C
λ − λ + =
(8.30)
khi
0B
→
(tương ứng với việc bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt), dẫn đến dạng:
4
0
C
A
λ + =
(8.31)
164
chú ý đến (8.25.b):
4
4
C
A
= β
(8.32)
tương ứng với bài toán hiệu ứng biên, xem phương trình (7.8). Đồng thời cũng từ
(8.29), suy ra
4
0

λ =
sẽ tương ứng với bài toán vỏ giải như dầm.
2. Nghiệm nhỏ (lý thuyết bán mô men) có phương trình đặc trưng:
4 2
0C D H
λ − λ + =
(8.33)
Khi bỏ qua ảnh hưởng của
ϕ
ε
và
γ
tương ứng với
0D
→
, phương trình
(8.33) có dạng:
4
0
H
C
λ + =
(8.34)
tương ứng với (8.20a) và với (8.20b):
4
4
n
H
C
= α

(8.35)
So sánh giá trị (1), (2), (3), (4) với nghiệm phương trình đặc trưng của
phương trình (8.31) - bài toán hiệu ứng biên và nghiệm phương trình đặc trưng
của phương trình (8.34) - lý thuyết bán mô men:
Với nghiệm lớn tương ứng với bài toán hiệu ứng biên, gần đúng theo
(8.25):
( )
( )
( )
2
2
4
1,2,3,4
2
4
2
3 1
1
1 1
4
i i
k
r
−µ
−µ
λ = ± ± = ± ±
δ
(8.36)
và với nghiệm nhỏ tương ứng với bài toán lý thuyết bán mô men theo (8.20):
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2 4 2
4 2
4
4
5,6,7,8
2 2 2
1
1 1 1
4 1 48 1
n n
k
n n i i
r
δ −
λ = − ± ± = ± ±
−µ −µ
(8.37)
khi
50
r
=
δ
và
2n
=

:
1,2,3,4
9,06 9,06.i
λ = ± ±
5,6,7,8
0,191 0,191.i
λ = ± ±
(5)
khi
50
r
=
δ
và
10n
=
:
1,2,3,4
9,06 9,06.i
λ = ± ±
5,6,7,8
5,49 5,49.i
λ = ± ±
(6)
khi
500
r
=
δ
và

2n
=
:
1,2,3,4
28,66 28,66.i
λ = ± ±
5,6,7,8
0,604 0,604.i
λ = ± ±
(7)
khi
500
r
=
δ
và
10n
=
:
1,2,3,4
28,66 28,66.i
λ = ± ±
5,6,7,8
1,73 1,73.i
λ = ± ±
(8)
So sánh (1) với (5), (2) với (6), (3) với (7), (4) với (8) giữa nghiệm chính
xác và nghiệm gần đúng thấy rằng, sự đơn giản hóa bằng các nghiệm gần đúng
có thể sử dụng cho vỏ mỏng với tải trọng đối xứng trục, được khai triển ra chuỗi
165

Fourie với số lượng thành phần khai triển nhỏ.
Trong trường hợp này, bài toán vỏ giải theo lý thuyết bán mô men độc lập
với bài toán hiệu ứng biên nên có thể sử dụng phương pháp chồng nghiệm để tìm
nghiệm tổng quát của bài toán, [21].
8.4. LÝ THUYẾT BÁN MÔ MEN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trường hợp tải trọng là hằng số và
vỏ đặt trên gối tựa theo suốt chiều dài thì
có thể tính vỏ trụ tròn như một vành tròn
có chiều rộng bằng đơn vị, hình 8-3.
Trong trường hợp tải trọng phân
bố không đều hoặc trên các biên dọc có
liên kết tùy ý, khi tính toán cần xét đến
biến dạng theo phương vòng.
Theo lý thuyết bán mô men, giá trị mô men uốn
1 x
M M
=
, mô men xoắn
H

và lực cắt
1 x
Q Q=
rất nhỏ so với các thành phần nội lực còn lại nên có thể bỏ qua
trong tính toán, hình 8-4.
Mô hình tính toán vỏ trụ tròn
theo lý thuyết bán mô men gồm
tập hợp vô số các dải phân tố chịu
uốn theo phương vòng được liên
kết với nhau bằng các liên kết

thanh 02 đầu khớp, hình 8-4.
Sự truyền lực giữa các dải
qua các liên kết thanh nằm trong
mặt cong nên theo phương dọc chỉ
tồn tại lực trượt
S
, lực dọc
1 x
N N=
, còn theo phương vòng
tồn tại các thành phần nội lực: lực dọc
2 s
N N
=
, lực trượt
S
, mô men uốn
2 s
M M
=
, lực cắt
2 s
Q Q
=
, hình 8-4.
Dưới đây xét nghiệm gần đúng trong trường hợp
vỏ chịu tải trọng đối xứng như tải trọng gió, áp lực thủy
tĩnh trong bình chứa chất lỏng, tải trọng từ gối đỡ tác
dụng lên vỏ, hình 8-5, [20].
8.4.1. Các phương trình cơ bản

166
Hình 8-3.
Hình 8-4.
Hình 8-5.
Vỏ được xét trong hệ tọa độ trực giao với biến
x
dọc trục vỏ và biến
s
là
chiều dài cung theo phương vòng. Bài toán được giải trên cơ sở tìm nghiệm của
phương trình thuần nhất (tương ứng với vùng không chịu tác dụng của tải trọng).
Ảnh hưởng của tải trọng được kể đến trong điều kiện biên, nghiệm được tìm
trong một số khoảng theo vị trí và dạng của tải trọng.
Khảo sát cân bằng nội lực
trong phân tố vỏ, hình 8-6. Hệ
phương trình vi phân thuần nhất có
dạng:
0
x
N
S
x s
∂
∂
+ =
∂ ∂
(8.38a)

0
s s

N Q
S
s x r
∂
∂
+ − =
∂ ∂
(8.38b)
0
s s
Q N
s r
∂
+ =
∂
(8.38c)
s
s
M
Q
s
∂
=
∂
(8.38d)
Hệ 04 phương trình (8.38) có
05 ẩn số là:
x
N
,

S
,
s
N
,
s
Q
,
s
M

nên phải sử dụng thêm điều kiện
biến dạng. Dẫn hệ phương trình (8.38) về 01 phương trình như sau:
Khử
S
và
s
Q
nhận được:

2 4 2
2 4 2
1
0
x s s
N M M
r
x s r s
∂ ∂ ∂
+ + =

∂ ∂ ∂
(8.39)
Phương trình (8.39) có 02 ẩn nên sẽ thành lập thêm 01 phương trình biến
dạng. Các thành phần biến dạng:
x
u
x
∂
ε =
∂
(8.40)
s
v w
s r
∂
ε = −
∂
(8.41)
u v
s x
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
(8.42)
s
v w
s r s
∂ ∂
 
χ = +

 ÷
∂ ∂
 
(8.43)
Đạo hàm bậc hai (8.43) theo biến
x
:
167
Hình 8-6.
2
3 4
2 2 2 2
1
s
v w
x r x s x s
∂ χ
∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(8.44)
Giả thiết:
0
s
γ = ε =
(8.45)
Từ (8.41), (8.42) và (8.43) suy ra:
2
3 3
2 2 2

1 1 1
x
v u
r x s r x s r s
∂ ε
∂ ∂
= − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
4
4 5 5
2 2 2 3 4 4
x
w v u
r r r
x s x s x s s
∂ ε
∂ ∂ ∂
= = − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Thay vào (8.44) nhận được phương trình liên tục biến dạng:
4 2 2
4 2 2
1
0
x x s
r
s r s x
∂ ε ∂ ε ∂ χ
+ + =
∂ ∂ ∂

(8.46)
Biến dạng
x
ε
và
s
χ
có thể biểu diễn qua nội lực theo định luật Hook:
( )
2
1
x x s
E
N
δ
= ε + µε
−µ
(8.47)

( )
2
1
s s x
E
N
δ
= ε + µε
−µ
(8.48)
( )

2 1
E
S G
δ
= δγ = γ
+µ
(8.49)
( )
s s x
M D
= − χ + µχ
(8.50)
Theo lý thuyết bán mô men, bỏ qua độ cong uốn dọc trục vỏ:
0
x
χ =
(a)
nên
( )
3
2
12 1
s s s
E
M D
δ
= − χ = − χ
−µ
(8.51)
Từ giả thiết (8.45) và định luật Hook (8.47) suy ra:

s x
M M= µ
s x
N N= µ
Chú ý đến (a) và (8.45), từ (8.47) và (8.51):
2
1
x x
N
E
−µ
ε =
δ
( )
2
3
12 1
s s
M
E
−µ
χ = −
δ
Thay vào (8.46), sau khi biến đổi:
2 4 2
2
2 2 4 2
12
0
s x x

M N N
r
r
x s s
∂ ∂ ∂
− − =
δ ∂ ∂ ∂
(8.52)
Như vậy, hệ phương trình cơ bản xác định nội lực theo lý thuyết bán mô
men với giả thiết (a) và (8.45) gồm 02 phương trình:
- Phương trình (8.39) biểu thị điều kiện cân bằng;
168
- Phương trình (8.52) biểu thị điều kiện biến dạng.
Giải hệ 02 phương trình trên sẽ đơn giản trong các vùng có biến dạng đối
xứng hoặc phản đối xứng.
Xét trường hợp vỏ chịu tải trọng đối xứng với chuyển vị
w
và nội lực
s
M
,
x
N
là hàm của biến
x
và
ϕ
có dạng:
( ) ( )
2

,
x xn
n
N x N x cosn
∞
=
ϕ = ϕ
∑
(8.53)
( ) ( )
2
,
s sn
n
M x M x cosn
∞
=
ϕ = ϕ
∑
(8.54)
( ) ( )
2
,
n
n
w x w x cosn
∞
=
ϕ = ϕ
∑

(8.55)
Thay (8.53) vào (8.39) và (8.52), sau khi biến đổi nhận được phương trình
xác định thành phần
xn
N
thứ
n
có dạng:
( )
2
2 4 2
4
4 6
1
0
12
xn
xn
n n
d N
N
dx r
δ −
+ =
(8.56)
Biểu diễn lực dọc qua ứng suất:
xn
xn
N
σ =

δ
, sau khi biến đổi, (8.56) có dạng:
4
4 0
IV
xn n xn
a
σ + σ =
(8.57a)
trong đó:

( )
2
2
4 2
4
6
1
48
n
a n n
r
δ
= −
(8.57b)
Phương trình (8.57a) có dạng tương tự như phương trình dầm trên nền đàn
hồi nên nghiệm được xác định theo phương pháp thông số ban đầu. Nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân thuần nhất (8.57) có dạng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' " '''

2 3
0 0 0 0
x x x
xn xn x xn xn xn
n n n
B C D
x A
a a a
σ = σ + σ + σ +σ
(8.58a)
Đạo hàm (8.58a), nhận được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' " '"
2
0 0 0 0 4
x x
xn xn x xn xn xn n x
n n
B C
x A a D
a a
σ = σ + σ +σ −σ
(8.58b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'' '' '" 2 '
0 0 0 4 0 4
x
xn xn x xn xn n x xn n x
n
B

x A a C a D
a
σ = σ +σ −σ −σ
(8.58c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
''' ''' 3 ' 2 ''
0 0 4 0 4 0 4
xn xn x xn n x xn n x xn n x
x A a B a C a D
σ = σ − σ − σ − σ
(8.58d)
Với:
.
x n n
A cha x cosa x=
(8.59a)
169
( )
1
. .
2
x n n n n
B cha x sina x sha x cosa x
= +
(8.59b)
1
.
2
x n n
C sha x sina x

=
(8.59c)
( )
1
. .
4
x n n n n
D cha x sina x sha x cosa x
= −
(8.59d)
Ý nghĩa vật lý của các thông số ban đầu
( )
0
xn
σ
,
( )
,
0
xn
σ
,
( )
"
0
xn
σ
,
( )
'''

0
xn
σ
tại
0x
=
sẽ được xác định trong phần sau, xem (8.75)
÷
(8.77).
Dưới đây thiết lập các biểu thức của nội lực
sn
M
,
sn
Q
,
sn
N
,
sn
S
và
n
w
qua
( )
xn
x
σ
. Thay (8.53) và (8.54) vào (8.39), nhận được:

( ) ( )
'' 3 '' 3
2 2 2 2
1 1
xn xn
sn
N r r
M
n n n n
σ δ
= − = −
− −
(8.60)
Từ (8.41), (8.43) và (a), chuyển vị pháp tuyến xác định bằng công thức:
( ) ( )
'' 5 '' 5
2 2
2 2 2 2
1 1
xn xn
n
N r r
w
Dn n Dn n
σ δ
= − = −
− −
(8.61)
Lực cắt và lực dọc được xác định từ (8.38):
( ) ( )

'' 2 '' 2
2 2
1 1
xn xn
sn
N r r
Q
n n n n
σ δ
= − = −
− −
(8.62)
'' 2 '' 2
2 2
1 1
xn xn
sn
N r r
N
n n
σ δ
= =
− −
(8.63)
Lực trượt xác định từ phương trình thứ nhất của (8.38):
' '
n xn xn
r r
S N
n n

δ
= = σ
(8.64)
Từ phân tích nghiệm của (8.57) với các giá trị
n
, khi
1n
=
thì nội lực
x
N

theo (8.53) và
s
M
theo (8.54) tương ứng với trường hợp tính vỏ như dầm. Trong
trường hợp này, nhận được:

( )
1 1
2
x x
M x
cos cos
r
σ = σ ϕ = ϕ
π δ
(8.65)
trong đó
( )

M x
mô men uốn của vỏ tính
như dầm.
Ứng suất trượt với
1n
=
do lực cắt
gây ra xác định bằng công thức, hình 8-
7:
170
Hình 8-7. Ứng suất trượt.
( )
( )
,1
1
x
Q x
dM x
sin
sin
r dx r
ϕ
τ = = ϕ
π δ π δ
(8.66)
với
( )
( )
,1x
dM x

Q x
dx
=
là lực cắt của vỏ tính như dầm.
Ứng suất tiếp do lực trượt
n
S
gây ra, được xác định từ (8.64):
'
xn xn
r
n
τ = σ
(8.67)
Mô men uốn
1s
M
, lực cắt
1s
Q
và lực dọc
1s
N
tác dụng trên tiết diện theo
phương vòng tương ứng với
1n
=
là nội lực của vành tròn có chiều rộng đơn vị
chịu tác dụng của tải trọng. Giá trị của mô men uốn
1s

M
, lực cắt
1s
Q
và lực dọc
1s
N
với các dạng tải trọng cho trong bảng 8-2, trang 226.
Chuyển vị pháp tuyến
w
cũng như nội lực trong vỏ theo phương vòng bằng
tổng chuyển vị và nội lực của vỏ (tương ứng
2n
≥
) và chuyển vị, nội lực của
vành tròn (tương ứng
1n
=
).
8.4.2. Phân tích điều kiện biên
Khi phân tích điều kiện biên sẽ sử dụng thế năng biến dạng đàn hồi xét cho
trường hợp tổng quát của liên kết và tải trọng. Ảnh hưởng chính của nội lực đến
khả năng chịu lực của vỏ trong trạng thái bán mô men là lực dọc
x
N
và mô men
uốn
s
M
. Do đó, thế năng biến dạng đàn hồi của vỏ có dạng, [20]:

2 2
1 1
2 2 2
x s
s
s
L L
M
U dV dV
E EJ
σ
= +
∫ ∫
( )
( )
2
2
''
3
1,
2
2 2
2 2
1
2 2
1
xn
xn s
n n
s

L
M x
r r
cos cosn d M r cosn d dx
E r EJ
n n
∞ ∞
= =
 
 
 
σ
δ
 
 ÷
= ϕ + σ ϕ ϕ + − δ ϕ ϕ
 ÷
 
 ÷
π δ
−
 
 
 
∑ ∑
∫ ∫ ∫
Ñ Ñ
(8.68)
Các biểu thức trong ngoặc vuông có ý nghĩa như sau:
- Biểu thức thứ nhất là ứng suất dọc trục vỏ do mô men uốn

( )
M x
tương
ứng với
1n =
, tính vỏ như dầm;
- Biểu thức thứ hai là ứng suất dọc trục vỏ do lực dọc
( )
,
x
N x
ϕ
tương ứng
với
2n
≥
;
- Biểu thức thứ ba là ứng suất vỏ do mô men uốn
( )
1,
,
s
M x
ϕ
tương ứng với
1n
=
, tính vỏ như vành tròn chiều rộng đơn vị;
- Biểu thức thứ tư là ứng suất vỏ do mô men uốn
( )

,
s
M x
ϕ
tương ứng với
2n
≥
171
.
Trong trường hợp vỏ được gia cường bằng vành tròn có độ cứng hữu hạn
k
J
, thế năng biến dạng của vành được gây ra do ngoại lực tác dụng trong mặt
phẳng của vành và do ứng suất trượt
'
xn
σ
từ vỏ tác dụng lên vành. Thế năng biến
dạng của vành được xác định bằng công thức, [20]:
( )
2
'
3
2 2
2
1
2
1
xn
r r e

n
k
U M r k cosn rd
EJ
n n
∞
=
 
σ
 ÷
= − δ ϕ ϕ
 ÷
−
 
∑
∫Ñ
(8.69)
Trong ngoặc đơn, biểu thức thứ nhất là mô men uốn của vành do tải trọng
tác dụng lên vành, biểu thức thứ hai là mô men do lực trượt từ vỏ tác dụng lên
vành. Trong biểu thức (8.69), hệ số lệch tâm
2
1
e
e
k n
r
 
= +
 ÷
 

xuất hiện khi mặt
trung bình của vỏ không trùng với trục của vành tăng cứng.
Do biến dạng của vành và vỏ là như nhau nên từ nguyên lý Castigliano,
thành phần thứ n phải thỏa mãn:
'' '
s
r
xn xn
U
U
∂
∂
=
∂σ ∂σ
(8.70)
Thay (8.68), (8.69) vào (8.70), nhận được:
( )
2 2
'' '
3
1
s e s e
xn xn ns nk
k k
n n
J k J k
J r J
−
 
σ − σ = φ − φ

 ÷
π δ
 
(8.71)
với:
1,ns s
M cosn d
φ = ϕ ϕ
∫
Ñ
(8.72)
Mô men uốn
1,s
M
là mô men của vành tròn chiều rộng đơn vị do tải trọng tác
dụng lên vỏ, tương ứng
1n
=
.
nk r
M cosn d
φ = ϕ ϕ
∫
Ñ
(8.73)
với
r
M
là mô men uốn của vành do tải trọng tác dụng lên vành.
Xét một số trường hợp đặc biệt:

1. Độ cứng uốn
s
J
của vỏ nhỏ so với độ cứng
k
J
của vành hoặc xem chuyển vị
hướng tâm của vành bằng không, nghĩa là
s
J
/
k
J
=0, từ (8.71):

( )
2 2
''
3
1
xn ns
n n
r
−
σ = φ
π δ
(8.74)
Nếu tải trọng tác dụng lên vỏ bằng không thì
1,
0

s
M
=
và từ (8.72), (8.74) suy ra:
''
0
xn
σ =
(8.75)
172
So sánh với (8.61), điều kiện (8.75) tương ứng với chuyển vị hướng tâm

0w =
.
Nếu đạo hàm bậc 2
"
xn
σ
tương ứng với chuyển vị
w
thì đạo hàm bậc 3
'"
xn
σ
tương
ứng với góc xoay
'
w
. Như vậy, tại vị trí vỏ liên kết ngàm và bỏ qua chuyển vị
xoắn của vành thì:

" '"
0
xn xn
σ = σ =
(8.76)
Từ biểu thức lực trượt (8.64), khi tại biên tự do không có tải trọng tác dụng:
'
0
xn xn
σ = σ =
(8.77)
Biên tựa khớp khi tại biên không có tải trọng tác dụng:

"
0
xn xn
σ = σ =
(8.78)
2. Xét sự thay đổi của lực trượt với tải trọng đường
( )
p ϕ
có dạng trên hình 8-5.
Khảo sát điều kiện cân bằng phân tố vỏ tại
vị trí tải trọng đường tác dụng, hình 8-8:
0
s
N d prdδ ϕ+ ϕ =
(8.79)
0
s

dN
Srd d
d
∆ ϕ+ δ ϕ =
ϕ
(8.80)
Suy ra:
s
r
N p= −
δ
(8.81)
s
dN
S
d r
δ
∆ =
ϕ
(8.82)
Thay (8.81) vào (8.82):
dp
S
d
∆ = −
ϕ
(8.83)
Tải trọng đường đối xứng
( )
p ϕ

được khai triển dưới dạng chuỗi Furie có dạng:
( )
n
n
p p cosnϕ = ϕ
∑
(8.84)
Gia số lực trượt khai triển:
n
n
S S sinn
∆ = ∆ ϕ
∑
(8.85)
Thay (8.84) vào (8.83) và so sánh với (8.85), rút ra:
n n
S np
∆ =
(8.86)
Từ (8.64), gia số đạo hàm bậc nhất do tải trọng đường có dạng:
2
'
xn n
n
p
r
∆σ =
δ
(8.87)
Dạng tổng quát của biểu thức này nhận được từ phương trình (8.71).

173
Hình 8-8.
Mô men uốn của vành gây ra do thành phần thứ
n
của tải trọng đường
n
p cosn
ϕ
:
2
2
1
n
r
p r
M cosn
n
= ϕ
−
(8.88)
Thay biểu thức này vào (8.73), sau khi tích phân:
2
2
1
n
nk
p
r
n
φ = π

−
(8.89)
Thay (8.89) vào (8.71) nhận được biểu thức gia số của lực trượt:
( )
2 2
2
' "
2 2 3
1
k n k
xn xn ns
s e e s e
n n
J p n J
J k r k J k r
−
∆σ = σ + − φ
δ π δ
(8.90)
Trong trường hợp đặc biệt, khi
1
e
k
=
và
0
k
J =
(vỏ không có vành tăng
cứng), biểu thức (8.90) trở về dạng (8.87) tương ứng chỉ xét điều kiện cân bằng.

Sự thay đổi lực trượt được sử dụng trong phương pháp thông số ban đầu
không chỉ cho vỏ trụ tròn trơn mà cả cho vỏ được gia cường bằng vành tăng cứng
chịu tải trọng đường và cả trong trường hợp vỏ chịu tải trọng liên tục.
8.4.3. Xác định hàm
ns
φ
,
nk
φ
và
n
p
Hàm
ns
φ
,
nk
φ
theo (8.72), (8.73) và
n
p
theo (8.84) với các dạng tải trọng có
thể được xác định bằng 02 phương pháp:
- Phương pháp thứ nhất là tích phân trực tiếp (8.72), (8.73) từ
1s
M
,
r
M
.

- Phương pháp thứ hai là sử dụng trực tiếp (8.89), khi đó cần biết thành
phần
n
p
khai triển tải trọng ra chuỗi Furie.
Dưới đây sẽ minh họa bằng 02 ví dụ tính hàm
ns
φ
bằng cách tích phân trực
tiếp (8.72) từ
1s
M
và xác định
n
p
.
Thí dụ 1: Xác định
ns
φ
đối với vỏ chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều,
trường hợp 5, bảng 8-2. Sử dụng phương pháp thứ nhất tích phân trực tiếp (8.72).
Thay mô men
1s
M
vào (8.72), nhận được:
/2
2
1
0
9

12 . 10
6 2
ns s
qr
M cosn d sinn cos cosn d
π

 
φ = ϕ ϕ = π− ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ+

 ÷
π
 

∫ ∫Ñ
( )
2
/2
3
12 6 10
2
sin sin cos cos d
π
π
 
+ π − ϕ ϕ− π ϕ − ϕ− π ϕ ϕ
 ÷
 
∫
Sau khi tích phân:

( ) ( )
2
2 2
6
2
1 4
ns
qr n
sin
n n n
π
φ =
− −
cho
1n
≠
,
2n
≠
174
Sử dụng qui tắc Lopitan với
2n
=
:
2
2
8
s
qr
π

φ =
Thí dụ 2: Xác định
n
p
từ việc khai triển tải trọng ra chuỗi Furie. Hàm tải trọng
bất kỳ
( )
q ϕ
khai triển ra chuỗi Furie có dạng:
( )
0
2
n n
n n
p
q p cosn p sinn
ϕ = + ϕ+ ϕ
∑ ∑
(1)
trong đó:
( )
0
1
p q d
π
−π
= ϕ ϕ
π
∫
(2)

( )
1
n
p q cosn d
π
−π
= ϕ ϕ ϕ
π
∫
(3)
( )
1
n
p q sinn d
π
−π
= ϕ ϕ ϕ
π
∫
(4)
Thành phần đối xứng khi khai triển tải trọng ra chuỗi Furie có dạng (8.84).
Xét ví dụ cho trường hợp tải trọng đối xứng, trường hợp 7, bảng 8-2. Tải trọng
tác dụng trong khoảng
( )
,
−ϑ ϑ
có dạng:
( )
2Q
q cos

rA
ϑ
ϕ = ϕ
(5)
Với
Q
là hợp lực của tải trọng và:
2 2A sin
ϑ
= ϑ+ ϑ
. Thay (5) vào (2) xác
định được hệ số thứ nhất của chuỗi:
( )
0
0 0
2 4 4Q Q
p q d cos d sin
rA rA
ϑ ϑ
ϑ ϑ
= ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϑ
π π π
∫ ∫
Từ (3) xác định được hệ số thứ hai của chuỗi:
( )
0 0
2 4
n
Q
p q cosn d cos cosn d

rA
ϑ ϑ
ϑ
= ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ
π π
∫ ∫
( ) ( )
0
2
1 1
Q
cos n cos n d
rA
ϑ
ϑ
= + ϕ + − ϕ ϕ 
 
π
∫
Sau khi tích phân nhận được:
n
Q
p
r
=
π
với
1n
=
( ) ( )

1 1
2
1 1
n
sin n sin n
Q
p
rA n n
ϑ
− ϑ + ϑ
 
= +
 
π − +
 
với
1n
≠
Tải trọng
( )
q
ϕ
theo biểu thức (5) dưới dạng khai triển ra chuỗi Furie:

( )
( ) ( )
2
1 1
2 2
1 1

n
sin n sin n
Q Q Q
q sin cos cosn
rA r rA n n
∞
=
ϑ ϑ
+ ϑ − ϑ
 
ϕ = ϑ+ ϕ+ + ϕ
 ÷
π π π + −
 
∑
(6)
Trong công thức (6): thành phần thứ nhất không phụ thuộc
n
và
ϕ
, biểu thị
tải trọng đường phân bố liên tục theo phương vòng ; thành phần thứ hai là tải
175
trọng tác dụng lên vỏ tính như dầm (
1n
=
), hình 8-2b ; thành phần thứ ba với
2,3, n =
biểu thị tải trọng tác dụng lên vỏ tương ứng hình 8-2c.
Hàm

ns
φ
,
n
p
tương ứng với một số dạng tải trọng cho trong bảng 8-2, trang 226.
8.5. TÍNH VỎ TRỤ TRÒN CHỊU TẢI TRỌNG ĐƯỜNG THEO LÝ
THUYẾT BÁN MÔ MEN
8.5.1. Vỏ dài hữu hạn
Xét bài toán vỏ trụ hai đầu tựa
khớp, hình 8-9, chịu tải trọng
đường
( )
p ϕ
tại
x a
=
. Tải trọng đối
xứng được khai triển dưới dạng
chuỗi Furie có dạng:
( )
2
n
n
p p cosn
∞
=
ϕ = ϕ
∑
(8.91)

Khi không xét tải trọng tác dụng liên tục trên vỏ, theo (8.72)
0
ns
φ =
và do
xét vỏ trơn không có vành tăng cứng nên
0
k
J =
. Khi đó, tại vị trí tác dụng tải
trọng
x a=
, tải trọng đường được thay thế bằng gia số lực trượt xác định theo
(8.87) bằng công thức:
2
'
n
xn
p n
r
∆σ =
δ
(8.92)
Gốc tọa độ được chọn ở đầu trái. Hai đầu vỏ là liên kết khớp nên điều kiện
biên có dạng:
( ) ( )
''
0 0 0
xn xn
σ = σ =

(8.93a)
( ) ( )
''
0
xn xn
l l
σ = σ =
(8.93b)
Nghiệm tổng quát được xác định theo (8.58a) với
( ) ( )
''
0 0 0
xn xn
σ = σ =
. Trong
khoảng
0 x a
≤ ≤
, nghiệm có dạng:
( ) ( ) ( )
' '"
3
0 0
x x
xn xn xn
n n
B D
x
a a
σ = σ + σ

(8.94)
Hai thông số ban đầu
( )
'
0
xn
σ
,
( )
'''
0
xn
σ

được xác định từ điều kiện (8.93) tại
x l
=
.
Trong khoảng
a x l
≤ ≤
, có thể sử dụng biểu thức (8.94) với bổ sung 01
thành phần tương ứng
( )
'
0
xn
σ
là
'

xn
∆σ
tại
x a=
với biến
( )
x a
−
. Từ (8.58a) và
(8.58c):

176
Hình 8-9. Vỏ trụ tròn hai đầu tựa khớp.
( ) ( ) ( )
2
' '''
3
0 0
x x n x a
xn xn xn
n n n
B D n p B
x
a a r a
−
σ = σ + σ +
δ
(8.95a)
( ) ( ) ( )
2

'' ''' '
0 4 0 4
x n x a
xn xn n xn x n
n n
B n p D
x a D a
a r a
−
σ = σ − σ −
δ
(8.95b)
Chú ý đến (8.93), tại
x l
=
:
( ) ( )
2
' '''
2
0 0
l n
xn l xn l a
n
D n p
B B
a r
−
σ + σ = −
δ

(8.96a)
( ) ( )
2
' 2 ''' 2
0 4 0 4
n
xn n l xn l n l a
n p
a D B a D
r
−
−σ +σ =
δ
(8.96b)
Giải hệ phương trình (8.96) nhận được các thông số ban đầu:
( )
2
'
2 2
4
0
4
n l l a l l a
xn
l l
n p B B D D
r B D
− −
+
σ = −

δ +

( )
2
''' 2
2 2
0 4
4
n l l a l l a
xn n
l l
n p D B B D
a
r B D
− −
−
σ = −
δ +
(8.97)
Thay các thông số ban đầu vào (8.58), (8.60) đến (8.64) và chú ý đến (8.53)
÷
(8.55) sẽ xác định được chuyển vị và nội lực của vỏ.
Tại vị trí tác dụng của tải trọng,
x a=
, từ (8.94) và (8.95), sau khi biến đổi:
( )
( ) ( )
2
2 2
4 4

1
4
a l l a l l a a l l a l l a
n
xn
n l l
B B B D D D D B B D
n p
a
a r B D
− − − −
+ + −
σ = −
δ +
(8.98)
( )
( ) ( )
2
"
2 2
4 4
4
a l l a l l a a l l a l l a
n
xn n
l l
B D B B D D B B D D
n p
a a
r B D

− − − −
− − + 
 
σ =
δ +
(8.99)
Nếu biết
( )
xn
a
σ
và
( )
''
xn
a
σ
, từ (8.60) và (8.61) xác định được mô men uốn
sn
M
,
xn
w
tại
x a=
. Chú ý đến (8.53), (8.54), (8.55) và (8.60), (8.61) ứng suất
( )
x
a
σ

, mô men uốn
( )
s
M a
và chuyển vị
( )
w a
tương ứng với
2n ≥
tại vị trí tác
dụng của tải trọng
x a=
, được xác định theo (8.100a,b,c):
( )
( ) ( )
2
2 2
2
4 4
1
,
4
a l l a l l a a l l a l l a
n
x
n
n l l
B B B D D D D B B D
n p
a cosn

r a B D
∞
− − − −
=
+ + −
σ ϕ = − ϕ
δ +
∑
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
4
, 4
1 4
a l l a l l a a l l a l l a
n n
s
n
l l
B D B B D D B B D D
p a
M a r cosn
n B D
∞
− − − −
=
− − +
ϕ = ϕ

− +
∑
( )
( )
( ) ( )
4
2
3 2 2
2
2
4
48
,
' 4
1
a l l a l l a a l l a l l a
n n
n
l l
B D B B D D B B D D
p a
r
w a cosn
E B D
n
∞
− − − −
=
− − +
ϕ = ϕ

δ +
−
∑
Bằng cách tương tự, xét trường hợp vỏ liên kết ngàm 02 đầu, ví dụ khi ở hai
đầu vỏ được liên kết với vành tăng cứng, hình 8-10. Sử dụng điều kiện biên
( )
''
0
xn
l
σ =
và
( )
'''
0
xn
l
σ =
, thông số ban đầu được xác định bằng công thức:
177
( )
2
2
1
0
n l l a l a l
xn
n l l l
n p C D C D
a r C B D

− −
−
σ = −
δ −

( )
2
'
2
0
n l l a l a l
xn
l l l
n p C C D B
r C B D
− −
−
σ = −
δ −
Chú ý đến (8.53), (8.54), (8.55) và (8.60), (8.61) ứng suất, mô men và
chuyển vị tại
x a=
, được xác định theo (8.101a,b,c):
( )
( ) ( )
2
2
2
1
,

a l l a l l a a l l a l l a
n
x
n
n l l l
A C D D C B C C B D
n p
a cosn
r a C B D
∞
− − − −
=
− + −
σ ϕ = − ϕ
δ −
∑
( )
( ) ( )
2
2 2
2
, 4
1
a l l a l a l a l l a l l a
n n
s
n
l l l
C D C D C D B D C C
p a

M a r cosn
n C B D
∞
− − − −
=
− + −
ϕ = ϕ
− −
∑
( )
( )
( ) ( )
4
2
3 2
2
2
48
,
'
1
a l l a l l a a l l a l l a
n n
n
l l l
C D C C D D B D C C
p a
r
w a cosn
E C B D

n
∞
− − − −
=
− + −
ϕ = ϕ
δ −
−
∑

Với
'
E
là mô đun đàn hồi qui đổi :
'
2
1
E
E =
−µ
(8.101d)
Trong trường hợp hai đầu tự do, hình 8-11, sử dụng điều kiện biên:
( ) ( )
'
0 0 0
xn xn
σ = σ =

( ) ( )
'

0
xn xn
l l
σ = σ =
Thông số ban đầu:

( )
2
''
2
0
n l a l l a l
xn n
l l l
n p A D B C
a
r C B D
− −
−
σ =
δ −

( )
2
''' 2
2
0
n l a l l a l
xn n
l l l

n p B B A C
a
r C B D
− −
−
σ =
δ −
Tại
x a=
:
( )
( ) ( )
2
2
2
1
,
a l l a l l a a l l a l l a
n
x
n
n l l l
C C B D A D C A B B
n p
a cosn
r a C B D
∞
− − − −
=
− + −

σ ϕ = − ϕ
δ −
∑

(8.102a)
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
, 4
1
4
a l a l l a l a l a l l a l
n n
s
n
l l l
A B C A D B A C B B
p a
M a r cosn
n
C B D
∞
− − − −
=
− + −
ϕ = ϕ

−
−
∑
(8.102b)
178
Hình 8-11. Vỏ trụ tròn hai đầu tự do
Hình 8-10. Vỏ trụ tròn hai đầu ngàm
( )
( )
( ) ( )
( )
4
2
3
2
2
2
48
,
'
4
1
a l l a l l a a l l a l l a
n n
n
l l l
A C B D A B C A B B
p a
r
w a cosn

E
C B D
n
∞
− − − −
=
− + −
ϕ = ϕ
δ
−
−
∑

(8.102c)
8.5.2. Vỏ dài bán vô hạn và vỏ dài vô hạn
Trong thực tế thường gặp trường hợp vị trí tác dụng của tải trọng rất gần
với biên vỏ nên khoảng cách giữa các tải trọng rất lớn, ví dụ như bình chứa trụ
tròn đặt trên 02 gối tựa, hình 8-12.
Phản lực gối tựa có vị trí tác dụng rất gần với đáy nên cần phải xét đến ảnh
hưởng độ cứng cuả đáy đến nội lực của
vỏ.
Nghiệm của bài toán được giải
bằng cách sử dụng (8.100), (8.101),
(8.102) với
l a
>>
, biểu hiện toán học
là tìm giới hạn
( )
l a

− → ∞
với trường
hợp liên kết biên vỏ là khớp, là ngàm
hoặc tự do.
Trường hợp liên kết biên vỏ là khớp,
hình 8-13:
( )
2
'
0
n
a a
n
xn n
n p
e cosa a
r
−
σ = −
δ
(1)
( )
2
''' 2
0 2
n
a a
n
xn n n
n p

a e sina a
r
−
σ = −
δ
(2)
thay vào (8.58), tại vị trí tác dụng của tải trọng
x a=
:
( ) ( )
2
1
2
n
xn a a a a
n
n p
a D B
r a
σ = − ξ + ϑ
δ
(3)

( )
2
''
1
4
2
n

xn n a a a a
n p
a a B D
r
 
σ = − ξ − ϑ
 ÷
δ
 
(4)
Chú ý đến (8.53)
÷
(8.55) và (8.60), (8.61) ứng suất, mô men và chuyển vị tại
x a=
xác định theo (8.103.a,b,c):
( ) ( )
2
2
1
, 2
n
x a a a a
n
n
n p
a D B cosn
r a
∞
=
σ ϕ = − ξ + ϑ ϕ

δ
∑
(8.103a)
( )
2
2
2
1
, 4
1 2
n n
s a a a a
n
p a
M a r B D cosn
n
∞
=
 
ϕ = ξ − ϑ ϕ
 ÷
−
 
∑
(8.103b)
179
Hình 8-12.
H
ình 8-13.
( )

( )
4
2
3
2
2
48 1
,
' 2
1
n n
a a a a
n
p a
r
w a B D cosn
E
n
∞
=
 
ϕ = ξ − ϑ ϕ
 ÷
δ
 
−
∑
(8.103c)
Tương tự cho vỏ đầu liên kết ngàm, hình 8-14:
( )

2
1
0
n
a a
n
xn n
n
n p
e sina a
a r
−
σ =
δ

( ) ( )
2
'
0
n
a a
n
xn n n
n p
e sina a cosa a
r
−
σ = − +
δ
Tại vị trí tác dụng của tải trọng:

( ) ( )
2
1
n
xn a a a a
n
n p
a B A
a r
σ = − ϕ − ξ
δ
(8.104a)

( ) ( )
2
''
4
n
xn n a a a a
n p
a a C D
r
σ = − ξ − ϕ
δ
(8.104b)
Ứng suất, mô men và chuyển vị tại vị trí tác dụng của tải trọng
x a=
:

( ) ( )
2
2
1
,
n
x a a a a
n
n
n p
a B A cosn
r a
∞
=
σ ϕ = − ϕ − ξ ϕ
δ
∑
(8.105a)

( ) ( )
2
2
2
, 4
1
n n
s a a a a
n
p a
M a r C D cosn

n
∞
=
ϕ = ξ − ϕ ϕ
−
∑
(8.105b)

( )
( )
( )
4
2
3
2
2
48
,
'
1
n n
a a a a
n
p a
r
w a C D cosn
E
n
∞
=

ϕ = ξ − ϕ ϕ
δ
−
∑
(8.105c)
Khi đầu vỏ liên kết tự do, hình 8-15, thành phần thứ
n
:

( ) ( )
2
1
2 2
n
xn a a a a
n
n p
a C D
a r
σ = − ϑ − ψ
δ
(8.106a)

( )
2
''
1 1
4
2 2
n

xn n a a a a
n p
a a A B
r
 
σ = − ϑ − ψ
 ÷
δ
 
(8.106b)
Ứng suất, mô men và chuyển vị tại vị trí tác dụng của tải trọng tại
x a
=
:
180
Hình 8-15.
Hình 8-14.