TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014) MÔN GIẢI TÍCH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2001 – 2014
Môn Giải tích
Biên soạn L
A
T
E
X
Mai Mẫn Tiệp
Email

Homepage
maimantiep.wordpress.com
Lưu hành nội bộ
Cần Thơ, 2014
TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014)
MÔN GIẢI TÍCH
L
A
T
E
X by Mai Mẫn Tiệp
∗
Ngày 13 tháng 5 năm 2014
Lưu ý

a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút.
b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào.
c) Nếu đề thi có hai phần Giải tích cơ sở (Giải tích cổ điển) và Giải tích hàm
(Giải tích hiện đại) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi riêng.
d) Câu tô màu đỏ có thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất
mờ.
e) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học
Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ email
f) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn L
A
T
E
X của ebook này, nhưng
phải ghi rõ đội ngũ thực hiện.
Tài liệu
[1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán:
nguyenchiphuong.wordpress.com
[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ:
gs.ctu.edu.vn
∗
Email:
2
1 Giải tích, năm 2001
Câu 1 Cho hàm
u(x , y ) = lnsin
x

y
,
với x (t ) = 3t

2
, y (t ) =

t
2
+ 1. Tìm
du
dt
.
Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = y
3
−x
2
−2x y −x −2y.
Câu 3 Tính
I =
ˆ
AB
(x
2
+ y
2
)dl ,
với AB là
1
4
cung đường tròn tâm O , bán kính R nằm ở góc vuông thứ nhất.
Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi
∞


n=1
(n + 1)x
2n
(2n + 1)
.
Câu 5 Cho
T f =
ˆ
1
−1
t |t | f (t )dt , ∀ f ∈C
[−1;1]
.
Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ C
[−1;1]
vào . Tìm T .
Câu 6 Cho
D =

(x ; y ; z ): x
2
+ y
2
+ z
2
+ x y + y z + z x ≤1

.
Chứng minh rằng D compăc trong 

3
.
—————HẾT—————
3
2 Giải tích, năm 2002
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của
f (x , y ) = y
2
x + 2x
2
−4x y + 5x .
Câu 2 Tính
I =
¨
D
(x + 2y )(y −x )
2
dx dy,
biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường
y = x + 1, y = x + 4, x = −2y, x = −2y + 4.
Câu 3 Tính
I =
ˆ
C
(y + 2x e
y
)dx + (x + x
2
e
y

)dy,
với C là đường cong nối từ (1;0) tới (2;ln2).
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

−5y

+ 4y = e
x
.
Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau
có nghiệm duy nhất y ∈C
[0;1]
:
y (t ) =
ˆ
t
0
y (x ) cos(t − x )
2
dx .
Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong 
2
với
A =

(x ; y ): x
2
+
3

2
x y + y
2
≤1

.
—————HẾT—————
4
3 Giải tích, năm 2003
Câu 1 .
• Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến
f : D ⊂
n
→,
trong đó D là tập đóng giới nội.
• Áp dụng với f (x , y , z) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng.
Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞

n=1
(2x + 1)
n
2n.3
n
.
Câu 3 Tính
I =
¨
D


x
2
+ y
2
dx dy,
với D =

(x ; y ): x
2
+ y
2
≤2y

.
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

−6y

+ 9y = 3x
2
−1.
Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình
y (t ) =
ˆ
1
0
ds
1 + ( t − y (s ))
2

có nghiệm duy nhất y ∈C
[0;1]
.
Câu 6 Cho toán tử T : C
[−1;3]
→ với T f =
ˆ
3
−1
x (x −2)f (x ) dx , ∀ f ∈C
[−1;3]
.
a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục.
b) Tính T .
Câu 7 Trên không gian C
[a ,b ]
,a < b đặt


f


1
=
ˆ
b
a


f (t )



dt , f ∈C
[a ,b ]
.
a) Chứng minh rằng .
1
là một chuẩn.
b) Chứng mình rằng C
[a ,b ]
với chuẩn .
1
là không đầy đủ.
—————HẾT—————
5
4 Giải tích, năm 2004
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = (x
2
+ y
2
)e
−(x
2
+y
2
)
−(x
2
+ y

2
).
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L
I =
˛
L
x
2
y
2
dx + y x
3
dy,
với L tạo bởi x = 0, y =

x , y = x −2.
Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương
∞

n=1
a
n
hội tụ thì lim
n→∞
na
n
= 0.
Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân
y


−4y

+ 3y = x
2
+ 1
thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0) = 2, y

(0) = 10.
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp
A =

f ∈C
[0;1]
:


f


≤5 và
ˆ
1
0
f (x ) dx ≥2

là một tập mở trong C
[0;1]
, với



f


= max
0≤t ≤1


f (t )


.
Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn
x (t ) = 3t + 2
ˆ
2
0
arctan(t − x (s )) ds
có nghiệm x ∈C
[0;2]
.
—————HẾT—————
6
5 Giải tích, năm 2005, đợt 1
Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo p,q
+∞

n=1
n
p
n

q
+ sin
2
n
.
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L
I =
˛
L
x y
2
dx + 3y x
2
dy.
Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân
A = arcsin0,51 +
3

8,25.
Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi
∞

n=1
(−1)
n−1
(x −5)
n

n
.

Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
3y

+ y

−4y = e
2x
(x −1).
Câu 6 Cho
A =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x ≥0, x + y + z < 1

.
Chứng minh rằng A không mở, không đóng trong 
3
.
Câu 7 Đặt f (x ) = x
3
−2 và T x = x −
f (x )
f

(x )
.
a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂ (0;+∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂
D .
b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x

3
−2 = 0.
Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈C
[0;1]
thỏa mãn
f (t ) =
1
2
ˆ
1
0
f (s )arctan[2(t −s)] ds .
—————HẾT—————
7
6 Giải tích, năm 2005, đợt 2
Câu 1 .
a) Tính tích phân đường theo chiều dương của L
I =
˛
L
e
x y

(1 + x y )dx + x
2
dy

,
trong đó L là nửa đường elip
x

2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 với y ≤0, a > 0, b > 0.
b) Cho D =

(x ; y ): x
2
+ y
2
≤2y

, tính tích phân kép
I =
¨
D
(x + y )
2
dx dy.
Câu 2 .
a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân
A =
4

16,16 + sin(ln1,273).

b) Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0) đến đường cong y = x
2
bằng giá trị nhỏ
nhất của hàm số nhiều biến.
Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi
+∞

n=1
(−1)
n
(2x −4)
n
n.2
n
.
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
7y

+ y

−3y = x
2
+ 3x −2.
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trong C
[0;2]
B =

f ∈C
[0;2]
: f (x ) < 6, ∀ x ∈[0;2]


∩

f ∈C
[0;2]
:
ˆ
1
0
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈C
[0;2]
f (t ) = 30t + 3 + 5
ˆ
2
0
e
−[ t −f (s )]
2
ds.
—————HẾT—————
8
7 Giải tích, không rõ năm A ( Giải tích 2006)
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân
K =
˚
V
x y z dx dy dz ,

với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤ z ≤ x y .
Câu 2 (2,0 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y dl ,
với L là đường giao tuyến của các mặt z = 2−x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm A(0;1;0)
đến B (1;0;1).
Câu 3 (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = 2x
3
+ 12x y −6y
2
+ 3.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

+ 4y

+ 4y = 2e
2x
(x
2
+ 2x + 10).

Câu 5 (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C
[−3;3]
, với
A =

f ∈C
[−3;3]
:


f (x )


< 5, ∀ x ∈[0;1]

∩

f ∈C
[−3;3]
:
ˆ
1
0
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình
f

(t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )]

2
; f (0) = 1
có nghiệm f ∈C
[0;k]
thỏa mãn f

∈C
[0;k]
.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh
ρ(x , y ) =
d (x , y )
1 + d (x , y )
, ∀ x, y ∈ E
cũng là một khoảng cách trong E .
—————HẾT—————
9
8 Giải tích, năm 2006
Câu 1 Tính tích phân
I =
ˆ
2
0
ˆ

4−y
2
0
(4 − x
2

)
3
2
dx dy.
Câu 2 Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y dl ,
trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm
A(0;1; 0) đến B (1;0; 1).
Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ),
trên miền
D =

(x ; y ): 0 ≤ x ≤
3π
2
,0 ≤ y ≤
3π
2

.

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau
a) y

+ 4y

+ 4y = 2e
2x
(x
2
+ 2x + 10),
b) (x
2
+ y
2
+ x )dx + y dy = 0.
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C
[0;3]
. với
A =

f ∈C
[0;3]
:


f (x )


< 7, ∀ x ∈[0;3]


∩

f ∈C
[0;3]
:
ˆ
2
1
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình
f

(t ) = 4t + 3 + 5cos[f (t )]
2
; f (0) = 1
có nghiệm f ∈C
[0;k]
thỏa mãn f

∈C
[0;k]
.
Câu 7 Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh rằng với x , y ∈ E
thì
ρ(x , y ) =
d (x , y )
1 + d (x , y )
cũng là một khoảng cách trong E .

—————HẾT—————
10
9 Giải tích, năm 2007
Câu 1 (2,5 điểm). Tích phân bội
Cho một miền V giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x
2
và y = 1. Hãy
a) Biểu diễn miền V ,
b) Tính thể tích khối V ,
c) Tính tích phân bội ba I =
˚
V
(x + y )dx dy dz .
Câu 2 (1,0 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
(2x
2
−2y
2
)dx + (ln y −4x y ) dy ,
với L là đường nối hai điểm A(−1;1) và B (4; e ).
Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = (x −2) ln x y.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y

−6y


+ 9y = e
2x
(x
2
+ 5).
Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C
[0,1]
của tập hợp
A =

f ∈C
[0,1]
:
ˆ
1
0
f (t ) dt ≥4: f (0) = f (1) = 0

.
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với λ ∈

0;
1
8

, ta có thể chọn được M > 0 để
phương trình x = T x có nghiệm trong K
M
với
T x (t ) = λ +

ˆ
t
0
x
2
(s )ds (0 ≤t ≤2),
và K
M
=

x ∈C
[0,2]
: x ≤M

.
Câu 7 (1,0 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ
T f =
1
3

f (1) + f (0)

, f ∈C
[0,1]
là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C
[0,1]
. Tìm chuẩn của nó.
—————HẾT—————
11
10 Giải tích, năm 2009, đề số 02

Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kì
I =
ˆ
C
(x
2
+ y
2
)(x dx + y dy ).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
(x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
(x
2
− y
2
).
Hãy
• Tính diện tích của miền D ,
• Tính tích phân I =
¨
D
x y dx dy .
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = x
3
+ y
3
+ 3x y + 5.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân
y

−4y

+ 3y = x
2
+ 3x + 5,
thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y

(0) = 2.
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên C
[−1;1]
T f =
ˆ
0
−1
f (t ) dt −
ˆ
1
0
f (t ) dt , ∀ f ∈C
[−1,1]
,
và tính chuẩn của T .

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
f (t ) =
1
2
ˆ
t
0
e
−[ t −f (s )]
3
ds
có nghiệm duy nhất f ∈C
[0;1]
.
—————HẾT—————
12
11 Giải tích, không rõ năm B ( Giải tích 2010)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho miền D giới hạn bởi y = x
3
, y = x ≥0. Hãy
• Biểu diễn miền D ,
• Tính diện tích của D ,
• Tính I =
¨
D
(x
2
+ y
2
)dx dy .

Câu 2 (1,5 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
C
(4x
2
−4y
2
)dx + (ln y −8x y ) dy ,
với C = C
1
∪C
2
, mà
C
1
=

(x ; y ): 1 ≤ x ≤2, y (x ) = x
2

,
C
2
=

(x ; y ): 2 ≤ x ≤4, y (x ) = 8 −2x

.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau

f (x , y ) = −4x
3
+ 10x y + 2y
2
+ 10.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân
2y

−3y

+ y = e
2x
(x
2
−10),
thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y

(0) = 15.
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =

f ∈C
[0;1]
:


f (x )


< 6, ∀ x ∈[0;1]


∩

f ∈C
[0;1]
:
ˆ
1
0
f (x ) dx ≥5

không mở, không đóng trong C
[0;1]
.
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
f (t ) =
ˆ
1
0
e
−[ t −f (s )]
2
ds
có nghiệm duy nhất f ∈C
[0;1]
.
—————HẾT—————
13
12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường loại hai dọc theo C là các cạnh của tam

giác nối các đỉnh O (0;0), A(2;0), B(0; 2)
I =
ˆ
C
x
2
y (y dx + x dy ).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
D =

(x ; y ): π
2
≤ x
2
+ y
2
≤4π
2

.
Hãy
• Biểu diễn hình học miền D ,
• Tính tích phân I =
¨
D
sin

x
2
+ y

2
dx dy .
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = x
2
+ y
2
+ 3x y + 5.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình
x y

+ (1 −2x )y = x.
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =

f ∈C
[0,1]
: 10 ≥ min
x ∈[0,1]
f (x ) > 6

không mở, không đóng trong C
[0,1]
.
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
y

= x +
1
2

cos

x y (x )

; y (0) = 0
có nghiệm duy nhất y ∈C
[0,1]
.
—————HẾT—————
14
13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y −x y
và tập D =

(x ; y ) ∈
2
: 0 ≤ y ≤1, y ≤ x ≤

2y − y
2

.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D ,
b) Tính tích phân I =
¨
D
f (x , y ) dx dy .
Câu 2 Tính tích phân đường
I =

(3;2)
ˆ
(−2;1)
e
x −y

(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy

.
Câu 3 .
a) Giải phương trình vi phân y

=
y
2
x y − x
2
.
b) Giải phương trình vi phân

y +
2
x
2

dx +

x −
3
y

2

dy = 0 với điều kiện ban
đầu y (1) = 1.
II. Giải tích hàm
Câu 4 Cho không gian metric (X ,d ) và A ⊂ X . Đặt diam(A) = sup
x ,y ∈A
d (x , y ).
Chứng minh nếu A là tập compact thì tồn tại a , b ∈ A sao cho diam(A) = d (a , b ).
Câu 5 Chứng minh A =

f ∈C
[0,1]
: max
x ∈[0,1]
f (x ) ≤1

là tập đóng.
Câu 6 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi
Ax (t ) = x (t ) −x (1 −t ), với x ∈C
[0,1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
15
14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01

I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x , y ), z > 0, xác định bởi phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2
−2x + 4y −6 z −11 = 0.
Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳng O x y và giới hạn bởi mặt paraboloid
z = x
2
+ y
2
và mặt trụ x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0).
Câu 3 Tính tích phân mặt sau
I =
"
S
x z
2
dy dz + (x
2
y −z

3
)dz dx + (2x y + y
2
z )dx dy,
với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
(a > 0)
và z = 0. Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S.
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân

y +
2
x
2

dx +

x −
3
y
2

dy = 0, y (1) = 1.

b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình y

+3y

+2y = x (e
−x
−e
−2x
).
II. Giải tích hàm
Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ), (Y , ρ) và ánh xạ f : X → Y . Trên X ×Y ta
xét metric
d
∗

(x , y ),(x

, y

)

= d (x , x

) + ρ(y , y

), (x , y ),(x

, y

) ∈X ×Y ,

và xét tập hợp G =

x , f (x )

: x ∈ X

.
a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng.
b) Giả sử G là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục.
Câu 6 Chứng minh K =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x + y + z ≤1, x ≥−1, y ≥−2, z ≥−3

là tập compact.
Câu 7 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi
Ax (t ) = 2
t
.x (t ), với x ∈C
[0,1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
16
15 Giải tích, năm 2013, đợt 1, đề số 02

I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Cho hàm số f (x , y ) = xe
y
− y e
x
và điểm A(0;1).
a) Tính đạo hàm theo hướng D

i ={0;1}
f (A).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F (x , y ) = D

u={x ,y }
f (A), với x
2
+ y
2
= 1.
Câu 2 Cho D =

(x ; y ): 1 ≤ x ≤2,0 ≤ y ≤1

. Tính
I =
¨
D





y −
1
x




dx dy.
Câu 3 Tính tích phân đường
˛
(OmAnO )
dy arctan

y
x

− dx ,
trong đó OmA là cung y = x
2
và On A là một đoạn của đường y = x .
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân
y − x y

= 1 −x
2
y

.
b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình

y

+ y = x + 5 sin x .
II. Giải tích hàm
Câu 5 Cho A là tập compact và B là tập đóng trong không gian metric (X ,d ) sao
cho A ∩B = . Đặt d (A, B ) = inf
x ∈A,y ∈B
d (x , y ).
Chứng minh rằng d (A, B ) > 0.
Câu 6 Chứng minh F =

f ∈C
[0;1]
:
ˆ
1
0
f (t ) dt ≥0

là tập đóng.
Câu 7 Chứng minh K =

(x ; y ; z ) ∈
3
: |x |+ |y |+ z
2
≤5

là tập compact.
Câu 8 Cho toán tử A : C

[0;1]
→C
[0;1]
xác định bởi
Ax (t ) = (t
2
+ 1)x (t ), với x ∈C
[0;1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
17
16 Giải tích, năm 2013, đợt 2, đề số 03
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm
f (x , y ) = 2x
2
− y
2
− y
trên miền
D =

(x ; y ): x
2
+ y
2
≤1

.

Câu 2 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt
z = 5 −x
2
− y
2
và z = 4

x
2
+ y
2

.
Câu 3 Tính tích phân

C

x
2
+ y
2
dx + y

x y + ln

x +

x
2
+ y

2

dy,
trong đó C là đường tròn (x −1)
2
+ (y −1)
2
= 1.
Câu 4 Giải phương trình vi phân

x + e
x
y

dx + e
x
y

1 −
x
y

dy = 0,
với điều kiện ban đầu y (0) = 2.
II. Giải tích hàm
Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ) và A, B ⊂ X , A = , B = . Đặt
d (A, B ) = inf
x ∈A,y ∈B
d (x , y ).
Chứng minh rằng d (A, B ) = d (A, B ).

Câu 6 Chứng minh G =

f ∈C
[0;1]
:
ˆ
1
0
t .f (t )dt < 0

là tập mở.
Câu 7 Chứng minh K =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x + y + |z |≤1, x ≥−1, y ≥−2

là tập
compact.
Câu 8 Cho X , Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính.
Chứng minh A liên tục khi và chỉ khi A biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy.
—————HẾT—————
18
17 Giải tích chuyên ngành, năm 2014, đợt 1, đề số 03
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = x
2
+ y
2
trên hình tròn

D =


x −

2

2
+

y −

2

2
≤9

.
Câu 2 Tính tích phân
I =
¨
D

x +


y




dx dy,
trong đó D là hình tròn x
2
+ y
2
≤1.
Câu 3 Tính tích phân đường sau
ˆ
AB C A
2(x
2
+ y
2
)dx + (x + y )
2
dy,
trong đó ABC A là đường gấp khúc nối các điểm A(1; 1), B(2; 2),C (1; 3).
Câu 4 Tính tích phân mặt
¨
S
(x + y + z )dS,
trong đó S là mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, z ≥0.
Câu 5 Giải phương trình vi phân
(x + 1)(y


+ y
2
) = −y.
II. Giải tích hàm
Câu 6 Cho (X , d ) là không gian metric compact và f : X → X là ánh xạ liên tục
sao cho f (x ) = x , ∀ x ∈ X .
Chứng minh rằng tồn tại số  > 0 sao cho với mọi x ∈ X ta có d

x , f (x )

≥.
Câu 7 Cho X là không gian định chuẩn và Y là không gian con của X sao cho
Y ⊂S (x
0
, r ) (hình cầu mở tâm x
0
, bán kính r ).
Chứng minh rằng Y = {0}.
Câu 8 Cho toán tử A : C
[0;1]
→C
[0;1]
xác định bởi
Ax (t ) = e
t
.x (t
2
), với x ∈C
[0;1]

.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
19
18 Giải tích cơ sở, năm 2014, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cổ điển
Câu 1 Tìm m để hàm số sau đây liên tục trên toàn miền xác định của nó
f (x ) =



1 + cos x
(
x −π
)
2
,nếu x = π,
m ,nếu x = π.
Câu 2 Tìm cực trị của hàm số sau f (x , y ) = x
3
+ y
3
−3x y + 10.
Câu 3 Giải phương trình vi phân y

−7y

+ 6y = 74sin x .
Câu 4 Tính tích phân sau
¨

S
(x +y +z )dS, với S =

(x ; y ; z ): x
2
+ y
2
+ z
2
= 1,z ≥0

.
II. Giải tích hiện đại
Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ). Ta định nghĩa
d
1
(x , y ) =
d (x , y )
1 + d (x , y )
, x , y ∈ X .
a) Chứng minh d
1
là metric trên X .
b) Giả sử (X ,d ) đầy đủ, chứng minh (X ,d
1
) đầy đủ.
Câu 6 Chứng minh rằng các chuẩn sau đây trong không gian vectơ những hàm số
liên tục trên [a , b ] là tương đương
x 
1

=

ˆ
b
a
[
x (t )
]
2
dt

1
2
;x 
2
=

ˆ
b
a
f (t )
[
x (t )
]
2
dt

1
2
,

trong đó f là một hàm số liên tục xác định dương trên [a,b ].
Câu 7 Giả sử A là một tập con của không gian Hilber t. Chứng minh 〈A〉
⊥
= A
⊥
.
Câu 8 Cho các không gian định chuẩn (X
1
,.
1
) , (X
2
,.
2
) , (Y ,.
Y
) và các ánh xạ
tuyến tính liên tục A
k
: X
k
→ Y , k = 1, 2. Trên không gian định chuẩn tích X
1
×X
2
ta xét chuẩn (x
1
, x
2
) = x

1

1
+ x
2

2
, và xét ánh xạ A : X
1
×X
2
→ Y được xác
định bởi
A(x
1
, x
2
) = A
1
(x
1
) + A
2
(x
2
), ( x
1
, x
2
) ∈X

1
×X
2
.
Chứng minh A tuyến tính liên tục và A= max{A
1
|, A
2
}.
—————HẾT—————
20