ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ

MỤC LỤC
Chương 1. Đạo hàm và vi phân hàm một biến 1
1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. Ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. Công thức Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Vi phân - Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 2. Tích phân bất định 5
2.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 3. Tích phân xác định 11
3.1. Định nghĩa - Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.2. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3. Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4. Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2. Tích phân suy rộng đối với hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 4. Hàm nhiều biến số 19
4.1. Định nghĩa - Giới hạn - Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.1. Các tập con của không gian IR
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.2. Định nghĩa hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.3. Hàm điểm. Biểu diễn hình học của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.4. Hàm n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.5. Định nghĩa giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
4.1.6. Tính liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.3. Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1. Tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.2. Tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.3. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 5. Tích phân đường và tích phân mặt 35
5.1. Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1. Đường cong trong R
n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai . . . . 39
5.1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1. Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2. Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.3. Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.4. Liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo
ii
CHƯƠNG I
Đạo hàm và vi phân hàm một biến
(Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
*) Mục tiêu
- Hiểu khái niệm về đạo hàm và vi phân cấp một, đạo hàm và vi phân cấp cao, các định lý
cơ bản của hàm khả vi.
- Biết ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng.
- Vận dụng lý thuyết về đạo hàm và vi phân của hàm số vào làm các bài tập áp dụng
.
1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.
Cho hàm số y = f (x) xác định trong một khoảng (a, b) chứa điểm x
0
. Nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn
lim
x→x

0
f(x) − f (x
0
)
x − x
0
∈ IR
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f tại x
0
và được kí hiệu là f

(x
0
)
Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x
0
.
Hàm f được gọi là khả vi trên khoảng (a, b) nếu f khả vi tại mọi điểm của khoảng (a, b).
Cho hàm số f : [x
0
, b) → R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
∆x→0
+
f(x
0
+ ∆x) −f (x
0
)
∆x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại x
0
, kí hiệu là f

+
(x
0
).
Tương tự, xét hàm số f : (a, x
0
] → R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
∆x→0
−
f(x
0
+ ∆x) −f (x
0
)
∆x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại x
0
, kí hiệu là f

−
(x
0
).
1.1.2. Tính chất
1) Nếu đặt ∆x = x − x

0
thì biểu thức định nghĩa trở thành
lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
= f

(x
0
)
Khi đó ∆y = f (x
0
+ ∆x) −f(x
0
) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm
x
0
.
2) Điều kiện cần để hàm f khả vi tại x
0
là f liên tục tại đó.
Chú ý: Nếu f liên tục tại x
0
thì chưa chắc f khả vi tại điểm đó.
3) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) chứa điểm x

0
. Nếu f khả vi tại x
0
thì
f(x
0
+ h) − f(x
0
) = f

(x
0
)h + 0(h) (0.1)
trong đó 0(h) → 0 khi h → 0, là một vô cùng bé bậc cao hơn h khi h → 0.
1.1.3. Ý nghĩa
1
1) Ý nghĩa cơ học: Vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t
0
bằng đạo
hàm của quãng đường tại điểm t
0
, tức là
v(t
0
) = lim
t→t
0
s(t) − s(t
0
)

t − t
0
= s

(t
0
)
2) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì hệ số góc của tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M
0
(x
0
, f(x
0
)) bằng đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
.
Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm x
0
là
y −f(x
0
) = f

(x
0
)(x − x
0

)
1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lí 1.1.
Cho f (x), g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a, b) và hàm khả vi tại x
0
∈ (a, b). Khi
đó các hàm f ± g; cf (với c bất kì thuộc R); f.g và
f
g
(nếu g(x
0
) = 0) là các hàm khả vi tại x
0
và ta có:
a)(f ± g)

(x
0
) = f

(x
0
) ± g

(x
0
)
b)(cf)


(x
0
) = cf

(x
0
)
c)(f.g)

(x
0
) = f

(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g

(x
0
)
d)

f
g



(x
0
) =
f

(x
0
)g(x
0
)−f(x
0
)g

(x
0
)
g
2
(x
0
)
.
Định lí 1.2.
Cho các hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R. Giả sử f khả vi tại x
0
∈ (a, b) và g khả vi
tại y
0
= f(x
0

) ∈ (c, d). Khi đó hàm hợp g ◦ f khả vi tại x
0
và
(g ◦f)

(x
0
) = g

[f(x
0
)] .f

(x
0
)
Định lí 1.3.
Giả sử rằng
1) Hàm số f : (a, b) → R liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng (a, b).
2) f có đạo hàm f

(x
0
) = 0 tại x
0
∈ (a, b)
Khi đó hàm ngược g = f
−1
của hàm fcó đạo hàm tại điểm y
0

= f(x
0
) và g

(y
0
) =
1
f

(x
0
)
.
1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp
1.3. Đạo hàm cấp cao
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao
Giả sử f : (a, b) → R là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó ta xác định hàm f

: (a, b) → R
x → f

(x).
Định nghĩa 1.2.
Nếu tại x
0
∈ (a, b) hàm f

: (a, b) → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f


tại x
0
là đạo hàm
cấp hai của hàm f tại x
0
và kí hiệu là f

(x
0
) : f

(x
0
) = (f

)

(x
0
).
Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x
0
còn gọi là khả vi cấp hai tại điểm đó.
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp (n −1) của f trên (a, b), khi đó có xác định hàm
f
(n−1)
: (a, b) → R
x → f
(n−1)
(x)

2
Nếu hàm f
(n−1)
khả vi tại x
0
∈ U thì ta gọi đạo hàm của hàm f
(n−1)
tại x
0
là đạo hàm cấp n
của f tại x
0
và kí hiệu là f
(n)
(x
0
) : f
(n)
(x
0
) = (f
(n−1)
)

(x
0
). Hàm f có đạo hàm cấpn tại x
0
còn
gọi là khả vi cấp n tại điểm đó. Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f.

Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f.
Đạo hàm bên phải và bên trái được định nghĩa một cách tương tự.
1.3.2. Công thức Leibniz
Giả sử f, g : (a, b) → R là hai hàm có đạo hàm cấp n trên (a, b). Ta có công thức Leibniz sau
đây về đạo hàm cấp n của tích f.g:
(f.g)
(n)
(x) =
n

k=0
C
k
n
f
(k)
(x)g
(n−k)
(x).
Ta chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
1.4. Vi phân - Ứng dụng
Định nghĩa 1.3.
Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm tại x
0
∈ (a, b). Ta gọi ánh xạ tuyến tính df(x
0
) :
IR → IR xác định bởi df(x
0
)(h) = f


(x
0
)h, ∀h ∈ R là vi phân của hàm số f(x) tại x
0
.
Từ định nghĩa của đạo hàm và vi phân ta có:
• f(x
0
+ h) − f(x
0
) = df(x
0
)(h) + O(h)
trong đó O(h) là vô cùng bé cấp cao hơn h khi h → 0. Nếu f

(x
0
) = 0 ta có
f(x
0
+ h) − f(x
0
) ∼ df(x
0
)(h), h → 0.
• Các quy tắc của phép tính vi phân tương tự như các quy tắc tính đạo hàm.
• Kí hiệu h = ∆x, vi phân của hàm khả vi y = f (x) tại x được viết lại dưới dạng dy =
df(x) = f


(x)∆x. Nếu f(x) = x thì f

(x) = 1, khi đó dy = dx = 1∆x = ∆x và do đó vi
phân của hàm y = f(x) có thể viết là
dy = f

(x)dx
Công thức này đúng cả khi x là hàm của biến độc lập khác.
• Nếu f

(x
0
) = 0 ta có
f(x
0
+ h) − f(x
0
) ∼ df(x
0
)(h), h → 0.
Do đó, ta có thể ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng.
*)Vi phân cấp cao
Cho hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm liên tục đến cấp n trên khoảng (a, b).
Định nghĩa 1.4.
Ta gọi biểu thức d(df) là vi phân cấp hai của hàm f, kí hiệu là d
2
f : d
2
f = d(df).
Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d(d

n−1
f), kí hiệu là d
n
f:
d
n
f = d(d
n−1
f)
Chú ý: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một.
*) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7]
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3
1.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1) y = (1 + 4x
3
)(1 + 2x
2
) 4) y = ln(sin
2
x)
2) y = cot
2
(5x) 5) y =

x +

x +
√
x

3) y =

1+x
1−x
6) y =
2x
2
−1
x
√
1+x
2
1.2. Tìm đạo hàm của hàm số:
y = f(x) =

x
2
sin
1
x
nếu x = 0
0 nếu x = 0.
1.3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1) y = sin(lnx) 4) y = e
cosx
sinx)
2) y = ln(x +
√
1 + x
2

) 5) y = e
x
ln(sinx)
3) y = ln(lnx) 6) y = x|x|
1.4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1) y = x
1
x
2) y = e
x
x
3) y = x
x
2
1.5. Chứng minh rằng hàm số y = e
x
sinx thỏa mãn y

− 2y

+ 2y = 0
1.6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1) y = xe
x
2) y = sin
2
x
3) y =
x
2

1−x
4) y =
1
x(1−x)
4) y =
1
x
2
−3x+2
1.7. Tính đạo hàm cấp cao của các hàm số sau
1) y = x
2
e
2x
, tính y
(8)
2) y = x
2
sin(2x), tính y
(50)
1.8. Tính d
n
y nếu y = x
n
e
x
.
4
CHƯƠNG II
Tích phân bất định

(Số tiết: 04 (Lý thuyết: 02 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
* Mục tiêu
- Hiểu khái niệm về nguyên hàm và tích phân bất định, các tính chất của nguyên hàm và tích
phân bất định.
- Biết nguyên hàm của các hàm cơ bản, các phương pháp tính nguyên hàm, tính nguyên hàm
của một số dạng hàm cơ bản như: hàm hữu tỉ, biểu thức chứa căn thức, hàm lượng giác
- Áp dụng được được lý thuyết vào việc giải các bài tập.
2.1. Định nghĩa - Tính chất
2.1.1. Nguyên hàm
Định nghĩa 2.1.
Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn
hay vô hạn trong tập số thực). Nếu có hàm số F xác định trên U sao cho F

(x) = f (x), ∀x ∈ U
thì F được gọi là một nguyên hàm của f trên khoảng U .
* Nhận xét.
Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U thì F (x) + C với C là một hằng số
tùy ý cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x)
trên khoảng U đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số tùy ý.
2.1.2. Tích phân bất định
Định nghĩa 2.2.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được gọi là tích phân bất
định (không xác định) của hàm f trên U và ký hiệu là

f(x)dx
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U thì ta có:

f(x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý.
2.1.3. Tính chất
1) d



f(x)dx

= f(x)dx
2)

df(x) = f (x) + C
3) Với α, β là hai số thực bất kỳ

[αf(x) + βg(x)] dx = α

f(x)dx + β

g(x)dx
4) Nếu

f(t)dt = F (t) + C thì

f(ax + b)dx =
1
a
F (ax + b) + C, (a = 0)
2.2. Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp
2.2.1. Các phương pháp tính tích phân bất định
a) Phép đổi biến trong tích phân bất định
- Trước hết ta có nhận xét: Nếu

g(t)dt = G(t) + C
thì


g [ϕ(x)] ϕ

(x)dx = G [ϕ(x)] + C
trong đó g(t), ϕ(x) và ϕ

(x) là những hàm số liên tục.
Điều đó có nghĩa là G [ϕ(x)] là nguyên hàm của hàm f(x) = g [ϕ(x)] ϕ

(x).
- Từ nhận xét trên ta có thể đưa một tích phân cần tính về một tích phân có thể tính được
dễ dàng hơn bằng một phép đổi biến.
- Giả sử cần tính tích phân

f(x)dx
trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
f(x)dx = g [ϕ(x)] ϕ

(x)dx
Nếu biết

g(t)dt = G(t) + C
thì ta thực hiện phép thế biến t = ϕ(x) (phải trở về biến cũ khi nhận được tích phân cần tính).
- Ngược lại để tính tích phân

f(x)dx ta có thể làm phép thay biến x = ϕ(t), trong đó ϕ(t)
là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng (α, β) nào đó. Khi đó

f(x)dx =


f [ϕ(t)] dϕ(t) =

f [ϕ(t)] ϕ

(t)dt.
- Nếu đối với hàm
g(t) = f [ϕ(t)] ϕ

(t)
có thể tính được

g(t)dt = G(t) + C khi đó thay t = ϕ
−1
(x) = ω(x) thì sẽ nhận được

f(x)dx = G[ω(x)] + C.
Ví dụ 2.1. Tính

sin
3
xdx
b) Công thức tích phân từng phần
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm khả vi liên tục. Khi đó, ta có công thức tích phân từng
phần:

udv = uv −

vdu
Chú ý: Trong thực hành ta có thể sử dụng công thức tính tích phân từng phần dưới dạng:


uv

dx = uv −

vu

dx
Ví dụ 2.2. Tính tích phân

√
x
2
+ adx, trong đó a là hằng số dương
6
2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản
2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản
a) Tích phân hàm hữu tỷ
*) Tích phân các phân thức đơn giản
Các biểu thức sau được gọi là các phân thức đơn giản:
I)
A
x − a
II)
A
(x − a)
k
, k = 2, 3, ···
III)
Mx + N
x

2
+ px + q
IV )
Mx + N
(x
2
+ px + q)
m
, (m = 2, 3, ···)
trong đó a, A, M, N, p, q là các hằng số thực, p
2
− 4q < 0.
Ta có:
I)

A
x − a
dx = A.ln |x − a| + c
II)

A
(x − a)
k
dx =
A
1 − k
.
1
(x − a)
k−1

+ c, k = 2, 3, ···
III)

Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
M
2
ln(x
2
+ px + q) +
2N − M p

4q −p
2
arctg
2x + p

4q −p
2
+ c
IV )

Mx + N
(x
2
+ px + q)
m

dx =
M
2

2tdt
(t
2
+ a
2
)
m
+

N −
Mp
2


dt
(t
2
+ a
2
)
m
với t = x +
p
2
, trong đó các tích phân ở vế phải có thể tính được.
*) Tích phân của các phân thức hữu tỷ chính quy

Biểu thức
P (x)
Q(x)
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x mà bậc của P(x) bé hơn bậc của
Q(x), được gọi là phân thức hữu tỷ chính quy.
Ta đã biết, mỗi phân thức hữu tỷ chính quy
P (x)
Q(x)
có thể phân tích thành tổng của một số hữu
hạn các phân thức đơn giản.
Như vậy, tích phân

P (x)
Q(x)
dx được phân tích thành tổng các tích phân của các phân thức đơn
giản.
*) Tích phân của hàm phân hữu tỷ
Biểu thức
P (x)
Q(x)
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức được gọi là hàm phân hữu tỷ. Một hàm
phân hữu tỷ
P (x)
Q(x)
bao giờ cũng được biểu diễn dưới dạng:
P (x)
Q(x)
= E(x) +
P
1

(x)
Q
1
(x)
trong đó E(x) là một đa thức còn
P
1
(x)
Q
1
(x)
là một phân thức hữu tỷ chính quy. Nếu
P (x)
Q(x)
đã là một
hàm phân hữu tỷ chính quy thì E(x) = 0.
Do đó

P (x)
Q(x)
dx =

E(x)dx +

P
1
(x)
Q
1
(x)

dx
7
b) Tích phân của biểu thức chứa căn thức
Dưới đây ta sẽ xem R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ của các biến u và v, nói cách khác R(u, v)
là một biểu thức nhận được bằng những phép toán số học đối với u và v. Chẳng hạn
R(u, v) =
2uv + u
2
+ 2v
2
5u + u
3
v
2
còn
f(u, v) =
√
u + v + u
2
không phải là một biểu thức hữu tỷ, ta gọi đó là biểu thức vô tỷ.
*) Tính

R

x,
m

ax + b
cx + d


dx
trong đó a, b, c, d là các hằng số, m là số tự nhiên, ad − bc = 0, R(u, v) là một hàm hữu tỷ.
Để tính tích phân dạng đã cho, ta thực hiện phép đổi biến
t =
m

ax + b
cx + d
hay t
m
=
ax + b
cx + d
và x =
b − dt
m
ct
m
− a
khi đó tích phân đã cho được đưa về tích phân hàm hữu tỷ.
*) Tính

R

x,
√
ax
2
+ bx + c


dx
α) Nếu tam thức ax
2
+ bx + c có hai nghiệm thực x
1
, x
2
thì ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x −x
2
)
và
R

x,
√
ax
2
+ bx + c

= R

x, (x − x
1
)

a

x − x
2
x − x
1

= R
1

x,

x − x
2
x − x
1

Khi đó, tích phân được đưa về dạng đã xét trong mục trước. Để tính tích phân đó ta đổi biến
t =

x − x
2
x − x
1
β) Nếu tam thức ax
2
+ bx + c không có nghiệm thực và a > 0 thì ta đổi biến bằng cách đặt
t =
√
ax
2
+ bx + c + x

√
a( hoặc t =
√
ax
2
+ bx + c − x
√
a)
Cùng trong trường hợp này, khi c > 0 ta có thể đặt
√
ax
2
+ bx + c = xt ±
√
c.
c) Tích phân hàm lượng giác
Tính

R(cos x, sin x)dx trong đó R(u, v) là biểu thức phân hữu tỷ của u và v.
Bằng phép thế biến tổng quát
t = tg
x
2
, x ∈ (−π, π)
biểu thức R(cos x, sin x)dx được đưa về biểu thức vi phân của một hàm phân hữu tỷ. Ta có:
cos x =
1 − t
2
1 + t
2

, sin x =
2t
1 + t
, x = 2arctgt, dx =
2dt
1 + t
2
8
Khi đó,
R(cos x, sin x)dx = R

1 − t
2
1 + t
2
,
2t
1 + t

2dt
1 + t
2
Như vậy, tích phân

R(cos x, sin x)dx được đưa về tích phân của hàm hữu tỷ.
Trong một số trường hợp đặc biệt, phép đổi biến có thể đơn giản hơn:
1) R(−cos x, sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = sin x
2) R(cos x, −sin x) = −R(cos x, sin x) thì đặt t = cos x
3) R(−cos x, −sin x) = R(cos x, sin x) thì đặt t = tgx
*) Tài liệu học tập [2]; [4]; [1]; [7]

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Áp dụng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:
a)

(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)dx;
b)

√
1 + x
2
+
√
1 − x
2
√
1 − x
4
dx
c)

2
x+1
− 5
x−1
10
x
dx
d)

√

1 − sin 2xdx
e)

dx
1 − cos x
f)

dx
x
√
x
2
+ 1
g)

2
x
.3
x
9
x
− 4
x
dx
h)

x
2
(1 − x)
100

dx.
2.2. Chọn phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau:
a)

x
2
3
√
1 − xdx;
b)

x
2
√
1 − x
dx
c)

cos
5
x
√
sin xdx
d)

dx
√
1 + e
x
.

9
2.3. Áp dụng quy tắc tích phân từng phần, tính các tích phân sau:
a)

x
n
ln xdx(n = −1);
b)

xe
x
(x + 1)
2
dx
c)

xdx
cos
2
x
dx
d)

x
2
√
a
2
+ x
2

dx
e)

e
2x
sin
2
xdx.
2.4. Tính các tích phân sau:
a)

x
3
+ 1
x
3
− 5x
2
+ 6x
dx;
b)

x
2
+ 1
(x − 1)(x + 1)
2
dx
c)


dx
x
4
− 1
dx
d)

dx
x
4
+ 1
dx
e)

dx
(1 + x)(1 + x
3
)
.
2.5. Tính các tích phân sau:
a)

dx
4
√
1 + x
4
;
b)


dx
x +
√
x
2
− x + 1
c)

1 −
√
x + 1
1 +
3
√
x + 1
.
2.7. Tính tích phân:

a
1
sin x + b
1
cos x
a sin x + b cos x
dx
trong đó a
1
, b
1
, a, b là các hằng số, a

2
+ b
2
= 0.
2.9. Chứng minh rằng:

a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
a sin x + b cos x + c
dx =
= Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C

dx
a sin x + b cos x + c
trong đó A, B, C là những hằng số nào đó, a
2
+ b
2
= 0.
10
CHƯƠNG III
Tích phân xác định
(Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
*) Mục tiêu
- Hiểu khái niệm tích phân xác định, các điều kiện để một hàm khả tích.
-Biết được các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định.

- Biết khái niệm, các tính chất, cách tính tích phân suy rộng, mối liên hệ giữa hai loại tích
phân suy rộng.
- Vận dụng được lý thuyết giải quyết các bài tập, tính được độ dài cung, diện tích hình phẳng,
thể tích vật thể,
3.1. Định nghĩa - Các tính chất
3.1.1. Định nghĩa
Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực IR với hai đầu mút a, b (không nhất thiết a ≤ b)
và xét một cách chia đoạn ∆ thành các đoạn con ∆
i
với các đầu mút x
i−1
, x
i
bởi các điểm chia
tùy ý lần lượt là
a = x
0
, x
1
, ··· , x
n
= b
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆ và ký hiệu là T .
Gọi ∆x
i
= x
i
− x
i−1
.

Số d(T ) = max
i
|∆x
i
| = max
i
|x
i
− x
i−1
| được gọi là đường kính của phân hoạch T .
Gọi P (∆) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên ∆.
Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn ∆ có hai đầu mút là a, b, T ∈ P(∆) là một phân
hoạch với các điểm chia a = x
0
, x
1
, ··· , x
n
= b.
Trên mỗi đoạn con ∆
i
với hai đầu mút x
i−1
, x
i
ta lấy một điểm ξ
i
tùy ý và thành lập tổng
σ

f
(T, ξ) =
n

i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) =
n

i=1
f(ξ
i
)∆x
i
. (0.2)
Tổng σ
f
(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ∆ ứng với phân hoạch T và
điểm chọn ξ
1
, ξ
2
, ··· , ξ
n
với ξ

i
∈ ∆
i
, i = 1, 2, ··· , n. Khi phân hoạch T và điểm ξ thay đổi ta có
một họ không đếm được tổng tích phân {σ
f
(T, ξ)}.
Định nghĩa 3.1.
Ta nói họ tổng tích phân {σ
f
(T, ξ)} có giới hạn I ∈ R khi d(T ) → 0 nếu cho trước  > 0 bé
tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số δ() > 0 sao cho với mọi T ∈ P (∆) với d(T ) < δ và với mọi
cách lấy điểm ξ ta đều có |σ
f
(T, ξ) − I| < . Khi đó ta viết
lim
d(T )→0
σ
f
(T, ξ) = I
Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn ∆ với hai đầu
mút a, b và ký hiệu là
I =

b
a
f(x)dx
fđược gọi là hàm dưới dấu tích phân; a, b lần lượt được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra
• Tích phân


b
a
f(x)dx (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) dưới dấu tích phân và các cận
a, b mà không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là

b
a
f(x)dx =

b
a
f(t)dt
• Nếu f là hàm khả tích trên ∆ thì

b
a
f(x)dx = −

a
b
f(x)dx
• Đặc biệt

a
a
f(x)dx = 0, ∀a ∈ R.
Ví dụ 3.1. Tính
I =


1
0
x
2
dx
3.1.2. Các tính chất cơ bản
- Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] và α, β là các hằng số thực thì αf + βg cũng là một
hàm khả tích trên [a, b] và

b
a
[αf(x) + βg(x)] dx = α

b
a
f(x)dx + β

b
a
g(x)dx.
Đặc biệt

b
a
cdx = c(b − a).
- Giả sử f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] khi đó f.g cũng là hàm khả tích trên [a, b] .
- Giả sử f : [a, b] → R, khi đó
1) Nếu f khả tích trên [a, c] và [c, b] với a ≤ c ≤ b thì f khả tích trên [a, b] và

b

a
f(x)dx =

c
a
f(x)dx +

b
c
f(x)dx.
2) Nếu f khả tích trên [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn con [c, d] ⊂ [a, b] .
- Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f : [a, b] → R không thay đổi nếu ta thay đổi
giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm.
- Cho hàm f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó, nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈
[a, b], a < b thì

b
a
f(x)dx ≥

b
a
g(x)dx
Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], a < b thì

b
a
f(x)dx ≥ 0
- Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a < b) thì |f | cũng khả tích trên đoạn đó và






b
a
f(x)dx




≤

b
a
|f(x)|dx.
12
- Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a ≤ b) và giả sử m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì
m(b − a) ≤

b
a
f(x)dx ≤ M(b − a)
- (Định lí trung bình thứ nhất)
Giả sử f(x) liên tục trên [a,b],(a<b) . Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c sao cho

b
a
f(x)dx = f(c)(b − a)
3.1.3. Quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định

Định lí 3.1.
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì hàm số ϕ(x) =

x
a
f(t)dt có đạo hàm trên đoạn đó và ϕ

(x) =
f(x). Nói khác đi, ϕ(x) =

x
a
f(t)dt là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, b].
Công thức Newton-Leibniz
Giả sử f : [a, b] → R là một hàm liên tục.
Khi đó ta có công thức Newton-Leibniz sau:

b
a
f(x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a)
với F (x) là nguyên hàm của hàm f trong [a, b].
3.2. Phương pháp tính tích phân xác định
3.2.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định
Giả sử
I =

b

a
f(x)dx
trong đó f là một hàm liên tục trong đoạn [a, b].
Giả sử tồn tại một hàm ϕ : [α, β] → [a, b] sao cho:
a) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và khi ϕ biến thiên trong đoạn [α, β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến
thiên liên tục từ a đến b.
b) ϕ(t) có đạo hàm liên tục ϕ

(t) trong [α, β].
Khi đó ta có công thức

b
a
f(x)dx =

β
α
f [ϕ(t)] ϕ

(t)dt.
Đó là công thức đổi biến trong tích phân xác định.
3.2.2. Công thức tích phân từng phần
Giả sử u, v là các hàm khả vi liên tục trong đoạn [a, b].
Khi đó ta có công thức tích phân từng phần của tích phân xác định như sau:

b
a
uv

dx = uv|

b
a
−

b
a
u

vdx.
Ví dụ 3.2.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có

π
2
0
cos
n
xdx =

π
2
0
sin
n
xdx
13
Ví dụ 3.3. Tính các tích phân sau:
1)

a

0
√
a
2
− x
2
dx, (a > 0)
2)

e
1
e
|lnx|dx
3)

π
0
xsinx
1 + cos
2
x
dx
3.3. Ứng dụng của tích phân xác định
3.3.1. Tính diện tích hình phẳng
Cho miền D trong mặt phẳng tọa độ xOy được giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y =
0, y = f(x) (a < b) trong đó f(x) là một hàm không âm xác định trên [a, b], thì diện tích S
của hình phẳng D là:
S =

b

a
f(x)dx
Chú ý: Nếu một hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) và hai
đường cong lần lượt có phương trình y = f (x), y = g(x), trong đó f, g là hai hàm khả tích trên
[a, b] thì diện tích của nó được tính theo công thức
S =

b
a
|f(x) − g(x)|dx
3.3.2. Thể tích của vật thể tròn xoay
Cho hình thang cong được giới hạn bởi

a ≤ x ≤ b
0 ≤ y ≤ f(x)
trong đó f là hàm khả tích trên [a, b] (a < b).
Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay Ω có thể tích là
V (Ω) = π

b
a
f
2
(x)dx
3.4. Tích phân suy rộng
3.4.1. Tích phân suy rộng loại 1 (trong khoảng vô hạn)
a) Định nghĩa
Cho hàm số f : [a, +∞) → R khả tích trong mọi đoạn con hữu hạn [a, A], (A ≥ a) của khoảng
[a, +∞).
Đặt

F (A) =

A
a
f(x)dx, A ≥ a
Khi đó F (A) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
A→+∞
F (A) = lim
A→+∞

A
a
f(x)dx = I
14
thì giới hạn I được gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trong khoảng [a, +∞), kí hiệu là

+∞
a
f(x)dx
Khi đó, ta cũng nói tích phân suy rộng

+∞
a
f(x)dx hội tụ và hàm f(x) khả tích trên [a, +∞).
Nếu giới hạn trên không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì ta nói tích phân

+∞
a

f(x)dx phân kỳ.
Định nghĩa tương tự đối với tích phân hàm f(x) trong khoảng (−∞, a] và (−∞, +∞).
b) Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng
Định lí 3.2. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ)
Giả sử f(x) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞) khả tích trong mọi đoạn hữu hạn
[a, A], A ≥ a. Khi đó tích phân

+∞
a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi: với mọi  > 0, tồn tại số
A
0
= A
0
() > a sao cho với mọi A

, A

> A
0
, ta có:






A

A


f(x)dx





< 
Định lí 3.3.
Giả sử f (x) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞), khả tích trong mọi đoạn hữu hạn
[a, A], A ≥ a. Khi đó tích phân

+∞
a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tích phân

+∞
b
f(x)dx (với
b > a) hội tụ.
Định lí 3.4.
Giả sử các tích phân

+∞
a
f(x)dx và

+∞
a
g(x)dx hội tụ, α, β là các hằng số thực. Khi đó tích

phân

+∞
a
[αf(x) + βg(x)] dx cũng hội tụ và ta có:

+∞
a
[αf(x) + βg(x)] dx = α

+∞
a
f(x)dx + β

+∞
a
g(x)dx
c) Cách tính tích phân suy rộng
Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trong khoảng [a, +∞), F (x) là một nguyên hàm
của hàm f(x) trong khoảng này. Khi đó ta có:

+∞
a
f(x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|
+∞
a
Tương tự

a
−∞

f(x)dx = F (a) − F (−∞) = F (x)|
a
−∞

+∞
−∞
f(x)dx = F (+∞) − F (−∞) = F (x)|
+∞
−∞
.
Định lí 3.5.
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định trong khoảng [a, +∞), khả tích trong mọi đoạn con
hữu hạn [a, A], A > a và
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, +∞)
Khi đó
a) Nếu

+∞
a
g(x)dx hội tụ thì

+∞
a
f(x)dx cũng hội tụ và ta có:

+∞
a
f(x)dx ≤

+∞

a
g(x)dx
15
b) Nếu

+∞
a
f(x)dx phân kỳ thì

+∞
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Định lí 3.6.
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng [a, +∞), khả tích trong
mọi đoạn hữu hạn [a, A], A ≥ a và tồn tại giới hạn
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= k, 0 < k < +∞
Khi đó các tích phân

+∞
a
f(x)dx và

+∞
a
g(x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ.
3.4.2. Tích phân suy rộng đối với hàm không bị chặn

a) Định nghĩa
Giả sử f(x) là hàm xác định trong khoảng [a, b), (−∞ < a < b < +∞), không bị chặn trong
lân cận x = b.
Giả thiết rằng với mọi η > 0 đủ bé sao cho a < b − η < b, hàm f (x) khả tích trong đoạn
[a, b − η]. Khi đó
G(η) =

b−η
a
f(x)dx
là hàm xác định trong khoảng (0, b − a].
Ký hiệu hình thức
lim
η→+0
= lim
η→+0

b−η
a
f(x)dx =

b
a
f(x)dx
Ta gọi

b
a
f(x)dx là tích phân suy rộng , điểm b được gọi là điểm kỳ dị.
Nếu giới hạn lim

η→+0

b−η
a
f(x)dx tồn tại hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là tích phân suy rộng
loại 2 của hàm f(x) trong đoạn [a, b] và

b
a
f(x)dx hội tụ. Ngược lại, ta nói tích phân đó phân
kỳ.
Định nghĩa tương tự ta có:

b
a
f(x)dx = lim
η→+0

b
a+η
f(x)dx

b
a
f(x)dx = lim
η

→+0
η→+0


b−η

a+η
f(x)dx
b) Tiêu chuẩn hội tụ
Định lí 3.7.
Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng

b
a
f(x)dx hội tụ là: với mọi  > 0 tồn tại một số
δ = δ() để sao cho với mọi η, η

: 0 < η < δ, 0 < η

< δ, ta có






b−η

b−η
f(x)dx






< 
c) Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm.
Định lí 3.8.
Giả sử f (x), g(x) là các hàm xác định và không âm trong khoảng [a, b), thỏa mãn điều kiện
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b). Khi đó
16
Nếu tích phân

b
a
g(x)dx hội tụ thì tích phân

b
a
f(x)dx cũng hội tụ;
Nếu tích phân

b
a
f(x)dx phân kỳ thì tích phân

b
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Định lí 3.9.
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng [a, b). Khi đó nếu tồn tại
giới hạn:
lim
x→b−0

f(x)
g(x)
= k, 0 < k < +∞
thì các tích phân

b
a
f(x)dx,

b
a
g(x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ.
Định lí 3.10.
Giả sử f (x) là hàm số xác định trong khoảng [a, b) và trong lân cận của điểm x = b, hàm
f(x) có dạng:
f(x) =
ϕ(x)
(b − x)
α
Khi đó
a) Nếu 0 < α < 1 và 0 ≤ ϕ(x) ≤ M , trong đó M là hằng số dương thì tích phân

b
a
f(x)dx hội
tụ.
b) Nếu α ≥ 1 và ϕ(x) ≥ m > 0 thì tích phân

b
a

f(x)dx phân kỳ.
3.4.3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng
Giả sử hàm f(x) xác định trên đoạn [a, b], khả tích trên mọi đoạn [a + η, b], (0 < η < b − a)
và không bị chặn tại lân cận điểm x = a. Khi đó ta có:

b
a
f(x)dx = lim
η→0

b
a+η
f(x)dx
Bằng một phép đổi biến x = a +
1
y
ta sẽ đưa được tích phân của một hàm không bị chặn về
tích phân với cận vô hạn:

b
a
f(x)dx = lim
η→0

1
η
1
b−a
ϕ(y)dy =


+∞
1
b−a
ϕ(y)dy
*) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7]
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3.1. Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−l, l]. Chứng minh rằng:
a)

l
−l
f(x)dx = 2

l
0
f(x)dx nếu f(x) là hàm chẵn;
b)

l
−l
f(x)dx = 0 nếu f(x) là hàm lẻ.
17
3.2. Tính các tích phân sau:
a)

π
2
0
ln
1 + sinx

1 + cosx
dx
b)

l
−l
dx
(e
x
+ 1)
x
2
+ 1 = 0
c)

π
4
0
ln(1 + tanx)dx
3.3. Chứng minh rằng nếu hàm số f

(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì

b
a
xf

(x)dx = [bf

(b) − f (b)] − [af


(a) − f (a)]
3.4. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì

b
a
f(x)dx = (b − a)

1
0
f[a + (b − a)x]dx
3.5. Chứng minh rằng

π
0
xf(sinx)dx =
π
2

π
0
f(sinx)dx = π

pi
2
0
f(sinx)dx
3.6. Tính diện tích các hình phẳng được giới hạn bởi các đường tương ứng sau:
a)x
3

+ y
3
= 3axy;
b)x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
.
3.7. Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:
a)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, z =
c
a
x, z = 0;
b)
x

2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
3.8. Tính các tích phân sau đây:
a)

+∞
a
dx
x
2
, (a > 0);
b)

+∞
0
e
−ax
cos bxdx, (a > 0).

3.9. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
a)

+∞
1
x
m
1 + x
n
dx;
b)

+∞
A
dx

x(x − a)(x − b)
, (A > a > b > 0).
18
3.10. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
a)

1
0
ln x
√
1 − x
2
dx;
b)


+∞
0
cos x
2
dx.
CHƯƠNG IV
Hàm nhiều biến số
(Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
*) Mục tiêu
- Hiểu định nghĩa hàm hai biến, hàm n biến, giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến, khái
niệm và cách tính đạo hàm riêng;
- Hiểu định nghĩa, các tính chất và cách tính tích phân hai lớp, tích phân ba lớp
- Biết biểu diễn hình học của hàm hai biến, cách tính vi phân của hàm hai biến, tính tích
phân bội trong các trường hợp cụ thể và ứng dụng của tích phân bội trong việc tính thể tích,
diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong, khối lượng của vật thể.
- Biết đưa việc tính tích phân bội về tính tích phân xác định.
- Vận dụng được lí thuyết vào làm bài tập
4.1. Định nghĩa - Giới hạn - Tính liên tục
4.1.1. Các tập con của không gian R
n
Với n là một số nguyên dương, ký hiệu R
n
được dùng để chỉ tập hợp tất cả các bộ n số thực
(x
1
, x
2
, . . . , x
n

) và ta thường gọi R
n
là không gian (thực) n chiều. Khi bộ số thực (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
được đặt tên là P thì ta viết là:
P ((x
1
, x
2
, . . . , x
n
))
và gọi nó là một điểm trong không gian R
n
Cho hai điểm P ((x
1
, x
2
, . . . , x
n
)) và Q((y
1
, y
2
, . . . , y

n
)) trong R
n
, khoảng cách giữa hai điểm P, Q,
ký hiệu là d(P, Q) được định nghĩa bởi:
d(P, Q) =

(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ ··· + (x
n
− y
n
)
2
4.1.2. Định nghĩa hàm hai biến
Cho G ⊂ IR
2
. Mỗi ánh xạ f : G → R được gọi là một hàm hai biến xác định trên G và G
được gọi là miền xác định của hàm f. Ta ký hiệu miền xác định của f là D(f ).

Ví dụ 4.1. Hàm
f : B(0, 2) → R
(x, y) → f(x, y) =
1
√
4−x
2
−y
2
là một hàm hai biến xác định trên hình cầu mở tâm 0 bán kính 2 trong R
2
4.1.3. Hàm điểm. Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Trong mặt phẳng, mỗi điểm M được xác định bởi cặp có thứ tự hai số thực (x, y) ∈ IR
2
. Vì
thế, hàm hai biến f(x, y) có thể xem là hàm của điểm M (x, y):
f : M → f(M )
Với hệ tọa độ Oxyz, mỗi điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy cho ứng với một điểm P trong
không gian có tọa độ P (x, y, z) với z = f (x, y).
Khi M chạy khắp miền G ⊂ IR
2
, thì tập hợp các điểm P gọi là đồ thị của hàm z = f (x, y).
Miền xác định của hàm hai biến z = f(x, y) là một tập hợp phẳng nằm trong mặt phẳng
Oxy
Ví dụ 4 2.
Hàm số z =

1 − x
2
− y

2
có miền xác định là hình tròn đóng tâm tại gốc tọa độ O bán kính 1,
và có đồ thị là nửa mặt cầu tâm ở gốc tọa độ bán kính bằng 1 và nằm về phía z ≥ 0.
4.1.4. Hàm n biến
Cho G ⊂ IR
n
. Mỗi ánh xạ f : G → R được gọi là một hàm n biến xác định trên G và G
được gọi là miền xác định của hàm f. Ta ký hiệu miền xác định của f là D(f ).
Vậy, một hàm n biến là phép tương ứng n số thực (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ G với một số thực, kí hiệu
là z = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
Bộ n số thực (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) xem là một điểm trong không gian IR
n

nên hàm n biến có thể xem
là hàm điểm M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
4.1.5. Định nghĩa giới hạn
Ta nói rằng dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) ⊂ IR
2
dần tới điểm M
0
(x
0
, y
0
) ∈ IR
2
khi n → +∞ nếu
lim
n→+∞
x
n

= x
0
và lim
n→+∞
y
n
= y
0
.
Gọi ρ
n
là khoảng cách giữa các điểm M
n
và M
0
, thì ta có
ρ
n
= M
0
M
n
=

(x
n
− x
0
)
2

+ (y
n
− y
0
)
2
Do đó, dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) ⊂ IR
2
dần tới điểm M
0
(x
0
, y
0
) ∈ IR
2
khi n → +∞ khi và chỉ khi
lim
n→+∞
ρ
n
= 0.
Định nghĩa 4.1.
Cho hàm hai biến z = f(x, y) xác định trên một lân cận V nào đó của điểm M

0
(x
0
, y
0
) ∈ IR
2
và có thể không xác định tại M
0
. Ta nói z = f(x, y) tiến về L ∈ R (hay có giới hạn là L) khi
M(x, y) dần đến M
0
(x
0
, y
0
) nếu với mọi dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) ⊂ V ( khác điểm M
0
(x
0
, y
0
)) dần
tới điểm M

0
(x
0
, y
0
) khi n → +∞ ta có lim
n→+∞
f(x
n
, y
n
) = L. Khi đó ta viết
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f(x, y) = L
Hay có thể viết:
lim
x→x
0
y→y
0
f(x, y) = L
Tương tự như đối với hàm một biến, ta cũng có các định nghĩa giới hạn vô cùng và giới hạn ở
vô tận như sau:
lim
x→x

0
y→y
0
f(x, y) = +∞; −∞; ∞
Ví dụ 4.3.
Tính các giới hạn sau:
1.
lim
x→1
y→1
(x
2
+ 2y) = 3
2.
lim
x→0
y→0

1
x
2
+ y
2

= +∞
20
3.
lim
x→∞
y→∞


1
x
2
+ y
2

= 0
4.
lim
x→∞
y→∞

x
2
+ y
2
+ 2x

= +∞
5.
lim
x→0
y→0
x
2
y
x
2
+ y

2
= 0
Định nghĩa 4.2.
Ta nói rằng số thực L là giới hạn của hàm F (M) = f(x, y) khi điểm M dần tới điểm M
0
nếu với
mọi số  > 0 nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại số δ > 0 (chỉ phụ thuộc ) sao cho khi 0 < ρ = M
0
M < δ
thì f(M) − L < 
4.1.6. Tính liên tục của hàm hai biến
Giả sử hàm số z = f(x, y) = f(M) xác định trong miền G và M
0
(x
0
, y
0
) ∈ G. Hàm số z =
f(x, y) = f(M) được gọi là liên tục tại điểm M
0
(x
0
, y
0
) ∈ G nếu nó xác định tại đó và tồn tại
giới hạn
lim
x→x
0
y→y

0
f(x, y) = f (x
0
, y
0
)
Đặt ∆x = x − x
0
, ∆y = y − y
0
, ∆z = f(x, y) − f (x
0
, y
0
). Thế thì ∆z = f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) −
f(x
0
, y
0
). Ta gọi ∆x, ∆y là các số gia của các biến độc lập, còn ∆z là số gia toàn phần tương
ứng của hàm z. Khi đó, hàm z = f (x, y) được gọi là liên tục tại điểm M
0
(x
0
, y
0

) nếu nó xác định
tại đó và
lim
∆x→0
∆y→0
[f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) −f(x
0
, y
0
)] = 0
hay
lim
∆x→0
∆y→0
∆z = 0
Hàm z = f (x, y) = f (M) được gọi là liên tục trong miền G nếu nó liên tục tại mọi điểm M ∈ G.
Hàm z = f(x, y) được gọi là gián đoạn tại điểm M
0
(x
0
, y
0
) nếu nó không liên tục tại điểm đó
4.2. Đạo hàm và vi phân
4.2.1. Đạo hàm riêng
Cho hàm hai biến z = f(x, y). Đạo hàm riêng theo biến x tại điểm (x

0
, y
0
) là giới hạn (nếu có)
sau đây:
lim
x→x
0
f(x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
x − x
0
lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
đạo hàm riêng theo biến x được ký hiệu là

∂f
∂x
(x
0
, y
0
) hay f

x
(x
0
, y
0
). Ta còn có thể ký hiệu đạo
hàm riêng này bởi z

x
(x
0
, y
0
) hay
∂z
∂x
(x
0
, y
0
)
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x, y) tại (x

x
, y
0
) được định nghĩa tương tự bởi:
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = lim
y→y
0
f(x
0
, y) − f (x
0
, y
0
)
y −y
0
21
Nhận xét:
Dễ thấy rằng: f

x
(x
0
, y

0
) =
df(x, y
0
)
dx
|
x=x
0
Từ đó ta có thể tính đạo hàm riêng theo biến x tại (x
0
, y
0
) bằng cách coi y = y
0
là hằng số và
tính đạo hàm của hàm một biến f(x, y
0
) tại x = x
0
.
Tương tự, để tính đạo hàm riêng theo biến y tại (x
0
, y
0
) ta tính đạo hàm của hàm một biến
f(x, y
0
) tại y = y
0

(xem x = x
0
là hằng số)
Đối với hàm nhiều biến, ta cũng có định nghĩa tương tự
Ví dụ 4.4.
1. Cho z = x
2
y. Tính z

x
và z

y
Xem y như hằng số và tính đạo hàm theo biến x ta có z

x
= 2xy
Tương tự, xem x như hằng số và tính đạo hàm theo biến y ta có: z

y
= x
2
2. Cho hàm z = f(x, y) = x
y
, x > 0
Ta có:
∂f
∂x
(x, y) = yx
y−1

∂f
∂y
(x, y) = x
y
lnx
3. z = ln

tg
y
x

. Tính z

x
, z

y
, z

x
(4, Π)
Xem y như hằng số, ta có:
z

x
=
1
tan
y
x


tan
y
x


x
=
1
tan
y
x

1 + tan
2
y
x


y
x


x
=
1
tan
y
x


1 + tan
2
y
x


−y
x
2

=
−y
x
2
tan
y
x

1 + tan
2
y
x

⇒ z

x
(4, Π) =
−Π
4
2

tan
Π
4

1 + tan
2
Π
4

= −
Π
8
Xem x như hằng số, ta có:
z

y
=
1
tan
y
x

tan
y
x


y
=
1

tan
y
x

1 + tan
2
y
x

y
x


y
=
1
xtan
y
x

1 + tan
2
y
x

4. Tìm đạo hàm riêng theo các biến x, y, z của hàm z =

x
2
+ y

2
+ z
2
Ta có:
z

x
=
x

x
2
+ y
2
+ z
2
z

y
=
y

x
2
+ y
2
+ z
2
z


z
=
z

x
2
+ y
2
+ z
2
4.2.2. Đạo hàm riêng cấp cao
Các đạo hàm riêng z

x
, z

y
của hàm z = f(x, y) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 1. Đạo hàm
riêng cấp 2 của một hàm là đạo hàm riêng (cấp 1) của đạo hàm riêng cấp 1 của hàm đó. Hàm 2
biến z = f(x, y) có bốn đạo hàm riêng cấp 2 sau đây:
22
1.
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x


∂z
∂x

2.
∂
2
z
∂y
2
=
∂
∂y

∂z
∂y

3.
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
∂y

∂z
∂x

4.

∂
2
z
∂y∂x
=
∂
∂x

∂z
∂y

Tương tự ta cũng có định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn (nếu có).
Ví dụ 4.5.
1. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x
4
+ y
4
− 2x
3
y
3
. Ta có:
z

x
= 4x
3
− 4xy
3
z


y
= 4y
3
− 6x
2
y
2
z

xx
= 12x
2
− 4y
3
z

yy
= 12y
2
− 12x
2
y
z

xy
= −12y
2
z


yx
= −12y
2
z

x
3
= 24x
z
(4)
x
3
y
= 0
2. Cho hàm số:
f(x, y) =

xy
x
2
+ y
2
nếu (x, y) = (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
Tính các đạo hàm riêng:
∂f
∂x
(0, 0);
∂f
∂y

(0, 0)
Đối với hàm số này, ta không thể tìm đạo hàm riêng
∂f
∂x
;
∂f
∂y
rồi suy ra giá trị đạo hàm
riêng tại (0, 0), vì hai hàm
∂f
∂x
(x, y);
∂f
∂y
(x, y) không xác định tại (0, 0).
Do đó dùng định nghĩa ta tính các đạo hàm riêng như sau:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0) − f (0, 0)
x
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y) − f(0, 0)
y
= 0

4.2.3. Vi phân toàn phần
Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi tại (x
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần
∆z = f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) −f(x
0
, y
0
)
theo các số gia ∆x, ∆y của các biến x, y tại (x
0
, y
0
) có thể được viết dưới dạng
∆z = A.∆x + B.∆y + α(∆x) + β(∆y)
trong đó A, B là các hằng số (không phụ thuộc ∆x, ∆y) và α(∆x) → 0, β(∆y) → 0 khi
∆x → 0, ∆y → 0
Biểu thức A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân của hàm số f tại (x
0
, y
0
), ký hiệu là df(x
0
, y

0
).
23