HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SAP 2000
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.44 MB, 111 trang )
SAP2000
Email:
1
1
Đại cương về
phương pháp phần tử hữu hạn
1.1. Khái niệm về phương pháp Phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp
số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một ẩn hàm chưa biết trong miền xác
định V của nó. Tuy
nhiên, FEM không
tìm dạng xấp xỉ của
ẩn hàm trên toàn
miền V của kết cấu
mà chỉ tìm trong
từng miền con V
e
.
Chính vì vậy mà
FEM có thể áp dụng
cho rất nhiều bài
toán kỹ thuật và
nhất là đối với bài
toán kết cấu, trong
đó ẩn hàm cần tìm
có thể được xác
định trên các miền
phức tạp với nhiều
điều kiện biên khác nhau.
Như vậy, đối với FEM miền tính toán V được thay thế bởi một số hữu hạn các miền
con V
e
được gọi là phần tử. Các phần tử này chỉ được nối với nhau bởi các điểm định
trước trên biên gọi là nút. Trong phạm vị mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ theo
một dạng phân bố xác định nào đó. Các hệ số của hàm xấp xỉ được gọi là các tham số hay
các tọa độ tổng quát. Các tham số này lại được biểu diễn qua giá trị của hàm (và có thể
cả đạo hàm của nó) tại vị trí các điểm nút trên phần tử. Các giá trị tại nút được gọi là bậc
tự do của phần tử và được xem là các ẩn số cần tìm của bài toán. Như vậy các hệ số của
hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, do vậy nó rất dễ thỏa mãn điều kiện biên của bài
toán. Đây cũng chính là ưu điểm nổi bật của FEM so với các phương pháp khác.
Để có thể nghiên cứu cụ thể FEM, ta cần thống nhất một số ký hiệu và làm quen với
các khái niệm sau:
+ Phần tử (element) là các miền con thuộc miền V của trên cấu. Do yêu cầu của
phương pháp, miền V phải được rời rạc hóa thành các phần tử.
Hình H-1.2 – Mô hình phần tử hữu hạn của hệ dàn không gian
SAP2000
Email:
2
+ Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên phần tử mà thông qua các
nút này mà các phần tử được nối với nhau tạo thành một miền liên tục.
+ Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm
theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử.
+ Vectơ chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
(hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập
hợp tất các bậc tự do của các nút thuộc về phần tử đó.
+ Vectơ chuyển vị nút kết cấu
{
}
q
(hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) chính là tập
hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút trong kết cấu.
+ Vectơ các tham số
{
}
a
(hay vectơ các tọa độ tổng quát) là các tham số của hàm
xấp xỉ. Theo FEM, các tham số này sẽ không được tính trực tiếp mà sẽ được biểu diễn
qua vectơ chuyển vị nút của phần tử.
+ Các khái niệm hàm dạng
[
]
N
(shape function), ma trận độ cứng
[
]
K
(stiffness
matrix), vectơ tải
{
}
P
(load vector)… sẽ được trình bày khi thành lập các phương trình cơ
bản của FEM.
Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu, người ta chia làm 3 mô
hình sau đây:
(i) Mô hình tương thích biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Ẩn số
là các chuyển vị và đạo hàm của nó được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên
cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange hay nguyên lý thế năng toàn phần dừng.
(ii) Mô hình cân bằng biễu diễn dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội lực bên trong
phần tử. Ẩn số là các lực tại nút đựơc xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở
nguyên lý biến phân Castigliano hay nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng.
(iii) Mô hình hỗn hợp biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng
suất trong phần tử. Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Ẩn số được
xác định từ hệ phương trình thành lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Helinge.
Trong ba mô hình trên thì mô hình tương thích được dùng rộng rãi hơn cả. Hai mô
hình còn lại chỉ sử dụng hiệu quả trong một số bài toán. Phần mềm SAP2000 sử dụng mô
hình tương thích để phân tích kết cấu.
1.2. Hàm xấp xỉ
1.2.1. Lựa chọn hàm xấp xỉ
Như đã trình bày ở trên, các ẩn hàm cần tìm được xấp xỉ hóa trên mỗi phần tử. Như
vậy việc lựa chọn hàm xấp xỉ phải mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi
phần tử. Thông thường hàm xấp xỉ hay được chọn ở dạng đa thức. Hàm xấp xỉ cũng có
thể sử dụng dạng lượng giác.
Ưu điểm của hàm xấp xỉ dạng đa thức:
+ Đa thức khi được xem là tổ hợp tuyến tính các đơn thức thì tập hợp các đơn thức
thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính.
+ Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán đạo hàm và tích phân.
+ Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ.
Ví dụ:
Trong bài toán 1-D, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức như sau:
SAP2000
Email:
3
(
)
xaaxu
21
+
=
(xấp xỉ tuyến tính)
(
)
2
321
xaxaaxu ++=
(xấp xỉ bậc 2)
(
)
3
4
2
321
xaxaxaaxu +++=
(xấp xỉ bậc 3)
Nếu chọn hàm xấp xỉ bậc n thì ta có:
[ ]
[ ]
{ }
a)x(P
a
a
a
a
x xx1xa xaa)x(u
1n
3
2
1
n21n
n21
=
=+++=
+
−
M
Bài toán 2-D:
[ ]
[ ]
{ }
a)y,x(P
a
a
a
a
a
a
xyyxyx1xyayaxayaxaa)x(u
6
5
4
3
2
1
22
6
2
5
2
4321
=
=+++++=
Bài toán 3-D:
[
]
{
}
a)z,y,x(P)z,y,x(u
=
(1.1)
[
]
)z,y,x(P
được gọi là ma trận các đơn thức.
{
}
a
được gọi là vectơ các tham số (hay vectơ tọa độ tổng quát).
1.2.2 Chọn bậc của đa thức xấp xỉ
Về nguyên tắc, nếu chọn bậc của đa thức xấp xỉ càng cao thì kết quả xấp xỉ càng
chính xác. Tuy nhiên, đa thức được chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây:
(i) Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức là:
+ Liên tục trong phạm vi phần tử. Điều này đương nhiên thỏa mãn nếu chọn hàm
xấp xỉ ở dạng đa thức.
+ Bảo đảm tồn tại trạng thái đơn vị trong phần tử và các đạo hàm riêng của nó đến
bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi (Xem lại phương pháp biến phân của Lý thuyết
đàn hồi).
(ii) Đa thức xấp xỉ được chọn không làm mất tính đẳng hướng hình học:
+ Để đáp ứng yêu cầu này, ta có thể chọn dạng các đa thức từ tam giác Pascal (bài
toán 2-D) hay từ tháp Pascal (bài toán 3-D). Đối với xấp xỉ của bài toán 1-D thì yêu cầu
này tự nhiên thỏa mãn.
SAP2000
Email:
4
Hình H-1.2 – (a) Tam giác Pascal - (b) Tháp Pascal
Thí dụ:
Với bài toán 2-D, muốn dùng hàm xấp xỉ đến bậc 2, ta sẽ lấy các số hạng đến tầng
thứ 2 của tam giác Pascal, khi đó hàm xấp xỉ sẽ là:
xyayaxayaxaa)y,x(u
6
2
5
2
4321
+++++=
Với bài toán 3-D, hàm xấp xỉ bậc 2 sẽ được lấy đến tầng thứ 2 của tháp Pascal:
xzazyaxyazayaxazayaxaa)z,y,x(u
1098
2
7
2
6
2
54321
+++++++++=
(c) Số tham số trong vectơ
{
}
a
phải bằng số bậc tự do của phần tử
{
}
e
q
:
+ Yêu cầu này cần được đảm bảo, như thế mới có thể nội suy đa thức xấp xỉ theo
giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút. Muốn tăng bậc của đa thức xấp xỉ lên, ta cũng
phải tăng số bậc tự do của phần tử lên, ta sẽ có được các phần tử bậc cao.
1.3. Hàm dạng
Vectơ các bậc tự do
{
}
e
q
của phần tử (hay vectơ chuyển vị nút phần tử) là tập hợp
tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử. Các bậc tự do này chính là ẩn số cần tìm của
bài toán khi phân tích theo phương pháp phần tử hữu hạn.
Sau khi lựa chọn hàm xấp xỉ, chúng ta phải biểu diễn các đa thức xấp xỉ theo vectơ
chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
. Ta nói rằng, các đa thức này được nội suy theo
{
}
e
q
. Thực
chất là ta phải đảm bảo rằng giá trị của đa thức xấp xỉ (hay đạo hàm của nó) tại các điểm
nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng bậc tự do của phần tử. Hay nói cách khác, nếu ta
thay thế tọa độ các điểm nút trên phần tử vào trong hàm xấp xỉ thì phải cho giá trị đúng
bằng chuyển vị nút. Trong trường hợp tổng quát, nếu phần tử có r nút, ta có:
{ }
e
q
)rnode(u
)2node(u
)1node(u
≡
SAP2000
Email:
5
Ta thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ, thực hiện đồng nhất và biểu diễn theo
(1.1), ta có:
{ }
[ ]
{ } { }
e
rrr
222
111
rrr
222
111
qaAa
)]z,y,x(P[
)]z,y,x(P[
)]z,y,x(P[
)z,y,x(u
)z,y,x(u
)z,y,x(u
)rnode(u
)2node(u
)1node(u
≡=
=
=
(1.2)
Trong đó
[
]
A
là ma trận vuông kích thước bằng số bậc tự do của phần tử và chỉ
chứa tọa độ các điểm nút của phần tử.
Từ (1.2) ta có:
{
}
[
]
{
}
e
1
q.Aa
−
=
(1.3)
Thay (1.3) vào (1.1), ta có:
{
}
[
]
{
}
[
]
[
]
{
}
[
]
{
}
ee
1
e
qNq.A)z,y,x(Pa)z,y,x(P)z,y,x(u ===
−
(1.4)
Trong đó :
[
]
[
]
[
]
1
Az)y,P(x,N
−
=
(1.5) được gọi là ma trận các hàm nội suy hoặc ma
trận các hàm dạng. Thực chất là ma trận
[
]
N
dùng để biểu diễn các hàm xấp xỉ theo vectơ
chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
hay nội suy theo
{
}
e
q
. Nhìn vào biểu thức (1.4), có thể thấy,
chuyển vị của các điểm bên trong phần tử được tính theo các chuyển vị nút của phần tử
bằng ma trận các hàm dạng
[
]
N
. Đối với bài toán kết cấu, các thành phần của ma trận
[
]
N
biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các chuyển vị nút bằng đơn
vị.
Thí dụ 1-1: Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục
có 2 nút (hình H-1.3).
Do thanh chỉ chịu kéo (nén)
nên mỗi nút chỉ có một bậc tự do
là chuyển vị theo phương chịu kéo
(nén). Do vậy vectơ chuyển vị nút
sẽ là:
{
}
{
}
{
}
T
ji
T
e
21
e
u,uq,qq ==
Do vectơ chuyển vị nút chỉ
có hai thành phần, do đó ta chỉ có thể xấp xỉ hàm chuyển vị đến bậc 1 (chứa 2 tham số):
( )
[ ] [ ]
{ }
a)x(P
a
a
x1xaaxu
2
1
21
=
=+=
Để biểu diễn chuyển vị xấp xỉ trên theo
{
}
e
q
, ta thực hiện thay tọa độ các điểm nút
vào
)x(u
và thực hiện đồng nhất, ta có:
[ ]
{ } { }
e
2
1
21
1
qaA
a
a
L1
01
Laa
a
)Lx(u
)0x(u
)2node(u
1) (nodeu
≡=
=
+
=
=
=
=
Như vậy
[ ] [ ]
−
=⇒
=
−
L
1
L
1
01
A
L1
01
A
1
Từ (1.5) ta có ma trận các hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén):
Hình H
-
1.
3
SAP2000
Email:
6
Hình H-1.4
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]
)x(N)x(N
L
x
L
x
1
L
1
L
1
01
x1A)x(PN
21
1
e
=
−=
−
==
−
Cuối cùng ta có thể xấp xỉ
)x(u
theo vectơ chuyển vị nút phần tử như sau:
[ ]
{ }
21
2
1
e
q
L
x
q
L
x
1
q
q
L
x
L
x
1qN)x(u +
−=
−==
Thí dụ 1-2: Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử dầm chịu uốn 2 nút (H-1.4).
Đối với dầm chịu uốn, mỗi nút
có 2 bậc tự do là thành phần chuyển
vị thẳng góc với dầm
)x(v
và góc
xoay
dx
dv
=θ
. Như vậy, vectơ bậc tự
do của phần tử sẽ là:
{
}
{
}
{
}
T
jjii
T
4321
e
,v,,vq,q,q,qq θθ==
Do vậy, hàm xấp xỉ chuyển vị
)x(v
có thể xấp xỉ đến bậc 3 (chứa 4
tham số):
[ ]
[ ]
{ }
a)x(P
a
a
a
a
xxx1xaxaxaa)x(v
4
3
2
1
323
4
2
321
=
=+++=
Hàm xấp xỉ góc xoay:
[ ]
=++==θ
4
3
2
1
22
432
a
a
a
a
x3x210xa3xa2a
dx
dv
)x(
Để biểu diễn chuyển vị và góc xoay xấp xỉ trên theo
{
}
e
q
, ta thực hiện thay tọa độ
các điểm nút vào
)x(v
và
)x(
θ
và thực hiện đồng nhất, ta có:
[ ]
{ } { }
e
4
3
2
1
2
32
2
432
3
4
2
321
2
1
2
2
1
1
qaA
a
a
a
a
L3L210
LLL1
0010
0001
La3La2a
LaLaLaa
a
a
)Lx(
)Lx(v
)0x(
)0x(v
==
=
++
+++
=
=θ
=
=θ
=
Như vậy
[ ] [ ]
−
−−−
=⇒
=
−
2323
22
1
2
32
L/1L/2L/1L/2
L/1L/3L/2L/3
0010
0001
A
L3L210
LLL1
0010
0001
A
SAP2000
Email:
7
Ma trận các hàm dạng được xác định như sau:
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ]
4321
2323
22
32
1
NNNN
L/1L/2L/1L/2
L/1L/3L/2L/3
0010
0001
xxx1A)x(PN =
−
−−−
==
−
Trong đó:
3
3
2
2
1
L
x
2
L
x
31N +−=
;
2
32
2
L
x
L
x
2xN +−=
;
3
3
2
2
3
L
x
2
L
x
3N −=
;
2
32
4
L
x
L
x
N +−=
Hàm chuyển vị được nội suy qua vectơ các bậc tự do của phần tử:
[
]
{
}
44332211
e
qNqNqNqNqN)x(v
+
+
+
=
=
1.4. Các phương trình cơ bản của FEM
1.4.1. Ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử
Bài toán kết cấu giải giải bằng FEM theo mô hình tương thích tức là ta chọn ẩn cơ
bản là chuyển vị. Sau khi tìm được chuyển vị, ta mới tìm tiếp các thành ứng suất, biến
dạng. Chuyển vị được xấp xỉ hóa bằng các đa thức xấp xỉ và được nội suy qua vectơ
chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
:
{
}
[
]
{
}
e
e
qNu
=
Theo phương trình Cauchy của Lý thuyết đàn hồi (xem thêm bài tập 1 ở phần bài
tập cuối chương), ta có thể tính được các thành phần biến dạng:
{
}
[
]
{
}
[
]
[
]
{
}
[
]
{
}
ee
ee
qBqNu
=
∂
=
∂
=
ε
(1.6)
Trong đó:
[
]
[
]
[
]
NB
∂
=
được gọi là ma trận tính biến dạng. (1.7)
Để tính ứng suất của các điểm thuộc phần tử, ta áp dụng định luật Hooke. Nếu bỏ
qua thành phần ứng suất và biến dạng ban đầu, ta có:
{
}
[
]
{
}
ee
D
ε
=
σ
(1.8)
Thay (1.6) vào (1.8), ta được:
{
}
[
]
[
]
{
}
[
]
{
}
ee
e
qSqBD
=
=
σ
(1.9)
Trong đó:
[
]
[
]
[
]
BDS
=
được gọi là ma trận tính ứng suất. (1.10)
Để tìm được phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng các
nguyên lý biến phân Lagrange (tương tự như các phương pháp Ritz và Galerkin trong
phương pháp biến phân). Thế năng toàn phần của phần tử sẽ là:
{ }( ) { } { } { } { } { } { }
∫∫∫
−−σε=∏
eee
S
e
T
V
e
T
V
e
T
ee
e
dSupdVugdV
2
1
u
(1.11)
Thay các kết quả từ (1.5), (1.6) và (1.9) vào (1.11), ta sẽ biểu diễn được thế năng
của phần tử theo chuyển vị nút
{
}
e
q
, cụ thể:
{ }( ) { }
[ ] [ ][ ]
(
)
{ } { }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ }
∫∫∫
−−=∏
eee
S
e
T
V
e
T
V
e
TT
e
e
e
dSqNpdVqNgdVqBDBq
2
1
u
(1.12)
Có thể viết gọn dưới dạng:
SAP2000
Email:
8
{ }( ) { }
[ ]
{ } { } { }
e
T
ee
e
T
e
e
e
PqqKq
2
1
u −=∏
(1.13)
Trong đó:
[
]
[
]
[
]
[
]
∫
=
e
V
T
e
dVBDBK
gọi là ma trận độ cứng phần tử. (1.14)
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
∫∫
+=
ee
S
e
T
V
e
T
e
dSpNdVgNP
gọi là vectơ tải phần tử. (1.15)
Để ý phép tính ma trận độ cứng (1.14) và do
[
]
D
là ma trận đối xứng nên
[
]
e
K
cũng
là ma trận đối xứng.
1.4.2. Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể
Giả sử rằng kết cấu được chia thành N phần tử bởi R nút. Số bậc tự do của mỗi nút
là s. Mỗi phần tử có r nút.
Như vậy:
+ Số bậc tự do của phần tử sẽ là ne = r x s.
+ Số bậc tự do của cả hệ sẽ là n = R x s.
Vectơ chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
sẽ có kích thước (ne x 1)
Vectơ chuyển vị nút tổng thể
{
}
q
sẽ có kích thước (n x 1)
Thực chất,
{
}
e
q
là một thành phần của
{
}
q
, do đó giữa hai vectơ chuyển vị nút phần
tử và tổng thể sẽ có mối quan hệ với nhau theo biểu thức:
{
}
[
]
{
}
qLq
e
e
=
(1.16)
Trong đó:
[
]
e
L
(ne x n) gọi là ma trận định vị
phần tử. Ma trận này cho thấy hình ảnh sắp xếp của
{
}
e
q
trong
{
}
q
.
Thí dụ 1-3: Hãy biểu diễn vectơ chuyển vị nút
{
}
e
q
của các phần tử theo vectơ chuyển vị nút
{
}
q
của kết cấu dàn phẳng như trên hình H-1.6.
Kết cấu gồm N = 6 phần tử, tổng số nút R = 4
nút, mỗi nút có s = 2 bậc tự do là 2 thành phần
chuyển vị trong mặt phẳng dàn, mỗi phần tử có r = 2
nút. Như vậy, vectơ
{
}
q
sẽ có tất cả R x s = 4 x 2 = 8
thành phần thành phần, cụ thể:
{
}
{
}
T
87654321
qqqqqqqqq =
Vectơ chuyển vị nút phần tử
{
}
e
q
sẽ có 2 x 2 = 4 thành phần và có thể tùy ý quan
niệm điểm đầu i và điểm cuối j của phần tử:
{
}
{
}
T
6521
1
qqqqq =
;
{
}
{
}
T
2143
2
qqqqq =
;
{
}
{
}
T
4387
3
qqqqq =
{
}
{
}
T
6587
4
qqqqq =
;
{
}
{
}
T
6543
5
qqqqq =
;
{
}
{
}
T
2187
3
qqqqq =
Ta biểu diễn vị trí sắp xếp của các
{
}
e
q
trong
{
}
q
bằng ma trận định vị
[
]
e
L
:
Hình H-1.6
SAP2000
Email:
9
{ }
=
8
2
1
1
q
q
q
00100000
00010000
00000010
00000001
q
M
{ }
=
8
2
1
2
q
q
q
00000010
00000001
00001000
00000100
q
M
{ }
=
8
2
1
3
q
q
q
00001000
00000100
10000000
01000000
q
M
{ }
=
8
2
1
4
q
q
q
00100000
00010000
10000000
01000000
q
M
{ }
=
8
2
1
5
q
q
q
00100000
00010000
00001000
00000100
q
M
{ }
=
8
2
1
6
q
q
q
00000100
00000010
10000000
01000000
q
M
Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ, trường chuyển vị thực phải làm cho thế
năng toàn phần của hệ đạt giá trị dừng (theo nguyên lý biến phân về chuyển vị). Do vậy,
ta cần thiết phải tìm được thế năng toàn phần của hệ, sau đó từ điều kiện dừng sẽ tìm ra
trường chuyển vị
{
}
u
.
Từ (1.13), ta có thế năng toàn phần của hệ được biểu diễn theo
{
}
q
:
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ } { }
[ ]
{ }
∏
∑∑
==
−=∏=
N
1e
e
T
e
ee
T
e
T
N
1e
e
qLPqLKLq
2
1
(1.17)
Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng:
=
∂
=
∂
=
∂
⇔=∂
∏
∏
∏
∏
0
q
0
q
0
q
0
n
2
1
M
hay viết gọn ở dạng ma trận:
{ }
0
q
=
∂
∂
∏
(1.18)
Thay (1.17) vào (1.18) và thực hiện đạo hàm riêng với biến số là bậc tự do tương
ứng, ta sẽ nhận được hệ phương trình:
[
]
{
}
{
}
0PqK
=−
(1.19)
Trong đó:
[
]
[ ] [ ] [ ]
∑
=
=
N
1e
ee
T
e
LKLK
gọi là ma trận độ cứng tổng thể (2.20)
{
}
[ ]
{ }
∑
=
=
N
1e
e
T
e
PLP
gọi là vectơ tải tổng thể (1.21)
Phương trình (1.19) chứa ẩn hàm là các chuyển vị nút
{
}
q
. Tuy nhiên, khi ta áp dụng
các nguyên lý thế năng để thành lập phương trình này, ta chưa áp đặt điều kiện biên cho
SAP2000
Email:
10
hệ kết cấu. Do vậy ma trận
[
]
K
là suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Ta phải
đưa thêm vào các điều kiện biên để đảm bảo hệ là bất biến hình. Sau khi áp đặt điều kiện
biên cho
{
}
q
(áp đặt điều kiện biên tại các nút), phương trình (1.19) sẽ trở thành:
[
]
{
}
{
}
0PqK
***
=−
(1.22)
Phương trình (1.22) chính là hệ phương trình cơ bản của FEM.
Các nhận xét:
+ Ma trận
[
]
e
K
là đối xứng nên
[
]
*
K
cũng đối xứng.
+ Trong công thức (1.20) và (1.21), để xác định
[
]
K
và
{
}
P
ta dùng ma trận định vị
phần tử
[
]
e
L
, thực chất là sắp xếp các phần tử của
[
]
e
K
và
{
}
e
P
vào đúng vị trí của nó
trong
[
]
K
và
{
}
P
. Trong thực hành, ta không dùng công thức này mà sẽ dùng một ma trận
chỉ số để tiện lợi hơn trong quá trình ghép nối phần tử.
+ Về mặt cơ học, phương trình (1.22) biễu diễn điều kiện cân bằng của vật thể tại
các điểm nút của kết cấu.
Chú ý: đối với các nút có lực tập trung tại nút (thường gặp trong hệ dàn), ta phải kể
thêm các ngoại lực tập trung tại nút
{
}
n
P
vào vectơ tải
{
}
P
.
1.4.3. Ghép nối phần tử bằng ma trận chỉ số
Ma trận cứng và vectơ tải tổng thể có thể tính trực tiếp từ công thức (1.20) và
(1.21). Tuy nhiên, để tiện lợi ta dùng hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của
nút như sau:
1. Hệ thống chỉ số tổng thể: ta thực hiện đánh số thứ tự các bậc tự do trong tập hợp
các bậc tự do đang xét trong
{
}
q
. Chỉ số đánh từ 1, 2, 3, …, n = R x s.
2. Hệ thống chỉ số phần tử: ta thực hiện đánh số thứ tự các bậc tự do trong phần tử
{
}
e
q
. Chỉ số được đánh từ 1, 2, …, ne = r x s.
Ta lập ma trận chỉ số
[
]
b
sao cho với các thành phần
ij
b
chính là chỉ số tổng thể
tương ứng với bậc tự do thứ j của phần tử thứ i. Do vậy ma trận
[
]
b
sẽ có số hàng bằng số
phần tử N và số cột bằng số bậc tự do của phần tử ne.
Khi sử dụng ma trận chỉ số
[
]
b
để xây dựng ma trận cứng tổng thể
[
]
K
và vectơ tải
tổng thể
{
}
P
, ta cần nhớ rằng mỗi thành phần
e
ij
K
của ma trận cứng phần tử
e
K
được cộng
thêm vào phần tử
mn
K
của ma trận cứng tổng thể
[
]
K
với
ei
bm
=
và
ej
bn
=
. Tương tự,
mỗi phần tử
e
i
P
của vectơ
{
}
e
P
sẽ được cộng thêm vào phần tử
m
P
của
{
}
P
với
ei
bm
=
.
Thí dụ 1-4: Lập ma trận chỉ số của hệ dầm liên tục sau để xây dựng ma trận cứng
tổng thể
[
]
K
và vectơ tải tổng thể
{
}
P
(hình H.1-5).
Chỉ số cục bộ
Phần tử
Nút i
Nút j
(1) 1 2 3 4
(2) 3 4 5 6
(3) 5 6 7 8
q
1
1
2
q q
4
3
q q
5
6
q q
8
7
q
1 2 3
2 3 3
Hình 1
-
5
SAP2000
Email:
11
Ma trận chỉ số
[ ]
)3(
)2(
)1(
8765
6543
4321
b
=
Do mỗi phần tử dầm có 4 bậc tự do, nên ma trận cứng phần tử sẽ là:
[ ]
4
3
2
1
kdx
kk
kkk
kkkk
K
4321
1
44
1
34
1
33
1
24
1
23
1
22
1
14
1
13
1
12
1
11
1
=
[ ]
6
5
4
3
kdx
kk
kkk
kkkk
K
6543
2
44
2
34
2
33
2
24
2
23
2
22
2
14
2
13
2
12
2
11
2
=
[ ]
8
7
6
5
kdx
kk
kkk
kkkk
K
8765
3
44
3
34
3
33
3
24
3
23
3
22
3
14
3
13
3
12
3
11
3
=
;
{ }
4
3
2
1
P
P
P
P
P
1
4
1
3
1
2
1
1
1
=
;
{ }
6
5
4
3
P
P
P
P
P
2
4
2
3
2
2
2
1
2
=
;
{ }
8
7
6
5
P
P
P
P
P
3
4
3
3
3
2
3
1
3
=
Vectơ tải tổng thể gồm 8 thành phần, do vậy ma trận cứng tổng thể
[
]
K
có kích
thước là 8x8 và vectơ tải tổng thể
{
}
P
là 8x1. Thực hiện lắp ghép các ma trận theo hệ
thống chỉ số tổng thể và hệ thống chỉ số phần tử, ta có:
Ma trận độ cứng tổng thể:
[ ]
8
7
6
5
4
3
2
1
k
kkdx
kkkk
kkkkkk
kkkk
00kkkkkk
0000kkk
0000kkkk
K
87654321
3
44
3
34
3
33
3
24
3
23
3
22
2
44
3
14
3
13
3
12
2
34
3
11
2
33
2
24
2
23
2
22
1
44
2
14
2
13
2
12
1
34
2
11
1
33
1
24
1
23
1
22
1
14
1
13
1
12
1
11
+
++
+
++
=
Vectơ tải tổng thể:
{ }
8
7
6
5
4
3
2
1
P
P
PP
PP
PP
PP
P
P
P
3
4
3
3
3
2
2
4
3
1
2
3
2
2
1
4
2
1
1
3
1
2
1
1
+
+
+
+
=
SAP2000
Email:
12
1.5. Phép chuyển trục tọa độ
Khi thành lập các ma trận cứng phần tử
[
]
e
K
và vectơ tải phần tử
{
}
e
P
, chúng ta đã
sử dụng hệ tọa độ của phần tử. Hệ tọa độ này được gắn liền với mỗi phần tử sao cho việc
thiết lập các công thức trở nên đơn giản nhất. Hệ tọa độ này được gọi là hệ tọa độ địa
phương (local coordinate system).
Tuy nhiên trong thực tế, hệ kết cấu gồm nhiều phần tử khác nhau, nên các hệ tọa độ
địa phương cũng khác nhau và chuyển vị nút của mỗi phần tử sẽ khác nhau. Do vậy cần
có hệ tọa độ tổng thể dùng chung cho tất cả các phần tử trong hệ kết cấu. Hệ này được
gọi là hệ tọa độ tổng thể (global coordinate system).
Gọi hệ tọa độ địa phương là xyz, hệ tọa độ tổng thể là x’y’z’
Tất cả các ma trận cứng phần tử, vectơ tải phần tử sau khi được tính toán trong hệ
tọa độ địa phương được quy chiếu sang hệ tọa độ tổng thể theo công thức:
[
]
[
]
[
]
[
]
ee
T
ee
TKT'K
=
(1.23)
{
}
[
]
{
}
e
T
e
e
PT'P =
(1.24)
Trong đó
[
]
e
T
được gọi là ma trận biến đổi (transformation matrix) phụ thuộc vào vị
trí của phần tử đó trong kết cấu.
1.6. Trình tự phân tích bài toán theo FEM
Tóm lại, khi phân tích bài toán kết cấu theo FEM, chúng ta cần thực hiện theo trình
tự các bước sau đây:
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu
+ Phân chia hệ kết cấu thành các phần tử có dạng hình học đơn giản, nối với nhau
bởi các điểm nút.
+ Tiến hành đánh số theo hệ thống chỉ số phần tử và hệ thống chỉ số tổng thể.
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
+ Tùy theo loại phần tử mà chọn hàm xấp xỉ thích hợp
+ Nội suy hàm xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần tử
{
}
e
q
+ Tìm ma trận hàm dạng
[
]
N
, ma trận tính biến dạng
[
]
B
, ma trận tính ứng suất
[
]
S
.
Bước 3: Thiết lập ma trận cứng phần tử
[
]
e
K
và vectơ tải phần tử
{
}
e
P
+ Dùng các công thức (1.14) và (1.15) để xác định
[
]
e
K
và
{
}
e
P
.
Bước 4: Ghép nối các phần tử
+ Tiến hành ghép nối ma trận cứng tổng thể
[
]
K
và vectơ tải tổng thể
{
}
P
theo hệ
thống ma trận chỉ số
[
]
b
, cuối cùng đi đến hệ phương trình:
[
]
{
}
{
}
PqK
=
.
+ Áp đặt điều kiện biên của bài toán, kết quả nhận được hệ phương trình:
[
]
{
}
{
}
***
PqK
=
Đây chính là hệ thống phương trình để giải
Bước 5: Giải hệ phương trình đại số
[
]
{
}
{
}
***
PqK
=
Kết quả nhận được là vectơ chuyển vị nút tổng thể
{
}
*
q
Bước 6: Tìm ứng suất, chuyển vị và biến dạng của tất cả các phần tử.
SAP2000
Email:
13
1.7. Các thí dụ tính toán
1.7.1. Bài toán hệ thanh dàn
Giải hệ dàn phẳng cho sau đây theo phương pháp phần tử hữu hạn, cho biết các
thanh đứng và ngang có tiết diện F, các thanh xiên có mặt cắt ngang là
F
2
2
, các kích
thước hình học cho như hình H-1.6.
Hình H-1.6 (a) Sơ đồ kết cấu; (b) Rời rạc hóa kết cấu, đánh chỉ số bậc tự do
Thực hiện làm các bước như sau:
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu và đánh số nút, đánh số phần tử. Mỗi mắt dàn được
xem là một nút. Nút thứ i sẽ có 2 bậc tự do là (2i-1) và 2i.
Thiết lập ma trận chỉ số
[ ]
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
8765
4387
4365
4321
2187
2165
b
=
Chú ý rằng, việc xác định nút đầu và nút cuối của mỗi phần tử là tùy ý nhưng phải
tương ứng với việc xác định góc nghiêng α của mỗi phần tử. Để tiện cho việc tính toán,
ta sẽ tính sẵn các đại lượng của các phần tử trong bảng:
Phần tử Nút i Nút j
α
αα
α
c
2
s
2
cs L F EF/L
(1) 3 1 0 1 0 0 a F EF/a
(2) 4 1 45
o
1/2 1/2 1/2
a 2
F
2
2
EF/2a
(3) 1 2 -90
o
0 1 0 a F EF/a
SAP2000
Email:
14
(4) 3 2 -45
o
½ 1/2 -1/2
a 2
F
2
2
EF/2a
(5) 4 2 0 1 0 0 a F EF/a
(6) 3 4 -90
o
0 1 0 a F EF/a
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ và đi tính toán các ma trận
[
]
N
,
[
]
B
,
[
]
S
.
Đối với thanh chịu biến dạng dọc trục, ta đã xác định được hàm dạng:
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]
)x(N)x(N
L
x
L
x
1
L
1
L
1
01
x1A)x(PN
21
1
e
=
−=
−
==
−
Ma trận tính biến dạng sẽ được xác định:
[ ] [ ][ ]
−=
−=∂=
L
1
L
1
L
x
L
x
1
dx
d
NB
Ma trận tính nội lực trong hệ tọa độ tổng thể
[
]
[
]
[
]
ee
TBEF'S
=
, cụ thể:
[ ] [ ]
scsc
L
EF
sc00
00sc
L
1
L
1
EF'S
e
−−=
×
−=
Ta có thể thành lập ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử từ các công thức
(1.14) và (1.15).
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
−
−
=−
−
==
∫∫
11
11
L
EF
Fdx11
L
1
E
1
1
L
1
dVBDBK
L
0V
T
e
e
{ }
[ ]
{ }
∫∫
−
==
L
0
L
0
T
e
dx)x(p
L
x
L
x
1
dx)x(pNP
Ma trận cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể được xác định:
[ ] [ ] [ ] [ ]
−−
−−
=
×
−
−
×
==
2
2
22
22
ee
T
ee
sdx
csc
scss
csccsc
L
EF
sc00
00sc
11
11
L
EF
s0
c0
0s
0c
TKT'K
(1.25)
Với kí hiệu c = cosα, s = sinα, α là góc hợp bởi trục phần tử và trục x’.
Chú ý rằng, việc xác định nút đầu và nút cuối của mỗi phần tử phải tương ứng với
việc xác định góc nghiêng α của mỗi phần tử. Để tiện cho việc tính toán, ta sẽ tính sẵn
các đại lượng của các phần tử trong bảng:
Phần tử Nút 1 Nút 2
α
αα
α
c
2
s
2
cs L F EF/L
(1) 3 1 0 1 0 0 a F EF/a
(2) 4 1 45
o
1/2 1/2 1/2
a
2
F
2
2
EF/2a
(3) 1 2 -90
o
0 1 0 a F EF/a
SAP2000
Email:
15
(4) 3 2 -45
o
½ 1/2 -1/2
a
2
F
2
2
EF/2a
(5) 4 2 0 1 0 0 a F EF/a
(6) 3 4 -90
o
0 1 0 a F EF/a
Bước 3: Thiết lập các ma trận cứng phần tử và vectơ tải phần tử
Sử dụng công thức (1.25) để tính ma trận cứng phần tử, để tiện lắp ghép các ma trận
ta ghi các chỉ số của phần tử bên cạnh.
[ ] [ ]
4
3
8
7
2
1
6
5
0dx
01
000
0101
a
EF
'K'K
2165
4387
51
−
==
[ ] [ ]
8
7
6
5
4
3
2
1
1dx
00
101
0000
a
EF
'K'K
4321
8765
63
−
==
[ ]
2
1
8
7
1dx
11
111
1111
a4
EF
'K
2187
2
−−
−−
=
[ ]
4
3
6
5
1dx
11
111
1111
a4
EF
'K
4365
4
−
−
−−
=
Nhận thấy hệ dàn chỉ có các lực tập trung tại các mắt dàn, không có tải trọng phân
bố đều trên phần tử nên ta có:
{
}
{
}
{
}
{
}
0'P 'P'P
621
====
Vectơ các lực nút:
{ }
{ }
T
4433
n
VHVH00P0'P
8
7
6
5
4
3
2
1
−=
Các lực H
3
, V
3
, H
4
, V
4
chính là các phản lực chưa biết tại nút 3 và 4.
Bước 4: Thực hiện lắp ghép
[
]
e
'K
và
{
}
e
'P
theo ma trận chỉ số
[
]
b
, ta có:
Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể:
[ ]
8
7
6
5
4
3
2
1
5
15đx
405
0015
00115
041115
1100405
11040015
a4
EF
'K
87654321
−
−
−
−−−
−−−
−−−
=
{ }
8
7
6
5
4
3
2
1
V
H
V
H
0
0
P
0
'P
4
4
3
3
−
=
SAP2000
Email:
16
Áp đặt điều kiện biên tại các nút 3 và 4, ta có
0qqqq
8765
=
=
=
=
, ta được hệ
thống phương trình để giải bằng cách xóa đi các cột và hàng 5, 6, 7, 8 của ma trận độ
cứng tổng thể, và xóa đi các hàng 5, 6, 7, 8 của vectơ tải tổng thể, cuối cùng:
[ ]
4
3
2
1
5đx
15
405
0015
a4
EF
'K
4321
*
−
−
=
;
{ }
4
3
2
1
'q
'q
'q
'q
q
4
3
2
1
*
=
;
{ }
4
3
2
1
0
0
P
0
'P
*
−
=
Bước 5: Giải hệ phương trình
[
]
{
}
{
}
***
PqK =
, ta có:
{ }
−
−
−
=
=
25
5
30
6
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
q
4
3
2
1
*
chính là chuyển vị của các mắt dàn (nút 1 và 2).
Các vectơ chuyển vị nút của từng phần tử nhận được từ
{
}
'q
theo hệ thống chỉ số:
{ }
−
=
=
30
6
0
0
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
2
1
6
5
1
;
{ }
−
=
=
30
6
0
0
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
2
1
8
7
2
;
{ }
−
−
−
=
=
25
5
30
6
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
4
3
2
1
3
{ }
−
−
=
=
25
5
0
0
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
4
3
6
5
4
;
{ }
−
−
=
=
25
5
0
0
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
4
3
8
7
5
;
{ }
=
=
0
0
0
0
EF11
Pa
'q
'q
'q
'q
'q
8
7
6
5
6
Bước 6: Tính lực dọc trong các thanh dàn
Nội lực được tính toán theo ma trận tính nội lực
[
]
e
'S
, cụ thể:
[ ]
{ }
[ ]
P
11
6
30
6
0
0
EF11
Pa
0101
a
EF
'q'SN
1
1
1
=
−
×−==
[ ]
{ }
P
11
26
30
6
0
0
EF11
Pa
2
2
2
2
2
2
2
2
a2
EF
'q'SN
2
2
2
−=
−
×
−−==
[ ]
{ }
[ ]
P
11
5
25
5
30
6
EF11
Pa
1010
a
EF
'q'SN
3
3
3
−=
−
−
−
×−==
SAP2000
Email:
17
[ ]
{ }
P
11
25
25
5
0
0
EF11
Pa
2
2
2
2
2
2
2
2
a2
EF
'q'SN
4
4
4
=
−
−
×
−−==
[ ]
{ }
[ ]
P
11
5
25
5
0
0
EF11
Pa
0101
a
EF
'q'SN
5
5
5
−=
−
−
×−==
[ ]
{ }
[ ]
0
0
0
0
0
EF11
Pa
1010
a
EF
'q'SN
6
6
6
=
×−==
1.7.2. Bài toán hệ khung phẳng
Giải bài toán khung phẳng sau đây theo FEM (hình 1.7)
0
0
1
q'
q'
2
0
0
0
0
0
EJ=const
x'
y'
1
2
1
2 3
a
q
a
Hình 1.7
Bước 1: Thực hiện chia kết cấu thành 2 phần tử bởi các nút 1, 2, 3. Thực hiện đánh
chỉ số các bậc tự do. Thông thường đối với hệ khung phẳng, mỗi nút của kết cấu sẽ có 3
bậc tự do gồm: 2 chuyển vị theo phương x và y, 1 chuyển vị xoay trong mặt phẳng xy.
Như vậy, hệ thống sẽ có tất cả 3 × 3 = 9 bậc tự do. Tuy nhiên, đối với hệ khung ta chỉ
quan tâm đến chuyển vị thẳng góc với trục phần tử và chuyển vị xoay (phần tử dầm chịu
uốn) và bỏ qua thành phần biến dạng dọc trục (tương tự như trong Cơ học kết cấu, người
ta bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt so với ảnh hưởng của mômen uốn khi tính
chuyển vị).
Như vậy, nút 1 và nút 2 chỉ còn 1 chuyển vị xoay chưa biết. Tất cả các chuyển vị
thẳng của các nút đều bằng 0.
Ma trận chỉ số được thành lập như sau:
[ ]
)2(
)1(
000200
200100
b
=
Bước 2: Tìm ma trận
[
]
N
,
[
]
B
,
[
]
S
.
Từ mục 1.2 ta đã có ma trận các hàm dạng của phần tử dầm chịu uốn:
SAP2000
Email:
18
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ]
4321
2323
22
32
1
NNNN
L/1L/2L/1L/2
L/1L/3L/2L/3
0010
0001
xxx1A)x(PN =
−
−−−
==
−
Trong đó:
3
3
2
2
1
L
x
2
L
x
31N +−=
;
2
32
2
L
x
L
x
2xN +−=
;
3
3
2
2
3
L
x
2
L
x
3N −=
;
2
32
4
L
x
L
x
N +−=
Ma trận cứng phần tử được xác định:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
−
−
−
===
∫∫∫
2
22
3
L F
T
V
T
e
L4dx
L612
L2L6L4
L612L612
L
EJ
dxdFBBEdVBDBK
e
Khi xét trong hệ tọa độ tổng thể, ta có ma trận độ cứng phần tử:
[ ] [ ] [ ] [ ]
−
−
−
−
−−−−
==
2
2
2
22
22
22
ee
T
ee
L4
Lc6c12dx
Ls6cs12s12
L2Lc6Ls6L4
Lc6c12cs12Lc6c12
Ls6cs12s12Ls6cs12s12
TKT'K
Trong đó: c = cosα, s = sinα.,
[ ]
−
−
=
100000
0cs000
000100
0000cs
T
e
Để tiện cho việc tính toán, ta tính trước các số liệu của phần tử trong bảng:
Phần tử
Nút i Nút j
α
αα
α
c s c
2
s
2
cs EJ/L
3
(1) 1 2 90 0 1 0 1 0 EJ/a
3
(2) 2 3 0 1 0 1 0 0 EJ/a
3
Bước 3 : Sử dụng công thức để tính toán ma trận cứng phần tử
[ ]
2
0
0
1
0
0
a4
00dx
a6012
a20a6a4
00000
a6012a6012
a
EJ
'K
200100
2
22
3
1
−−−
=
SAP2000
Email:
19
[ ]
0
0
0
2
0
0
a4
a612dx
000
a2a60a4
a6120a612
000000
a
EJ
'K
000200
2
22
3
2
−
−
=
Lắp ghép thành ma trận cứng tổng thể:
[ ]
=
+
=
8dx
24
a
EJ
2
1
a4a4dx
a2a4
a
EJ
K
21
22
22
3
*
Để xác định nhanh vectơ tải phần tử
{
}
e
'P
, ta chỉ cần phân phối các lực trên phần tử
về nút, sau đó chiếu lên phương trục x’ và y’ (hệ tọa độ tổng thể). Cụ thể:
{ }
2
0
0
1
0
0
12
qa
0
2
qa
12
qa
0
2
qa
'P
2
2
1
−
=
{ }
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
'P
2
=
Hệ đã cho không có các mômen tập trung tại nút 1 và 2, nên
{
}
{
}
0P
n
=
. Chú ý rằng
tại các nút 1 và 3 vẫn tồn tại các lực nút là các phản lực tại các liên kết. Tuy nhiên các
phản lực này tương ứng với bậc tự do mang chỉ số 0 nên sẽ không xuất hiện trong
{
}
*
'P
.
Thực hiện lắp ghép vectơ tải phần tử, ta có:
{ }
−
=
−
=
1
1
12
qa
2
1
12
qa
12
qa
'P
2
2
2
*
Bước 4: Giải hệ thống phương trình
[ ]
{ } { }
−
=
⇔=
1
1
12
qa
'q
'q
82
24
a
EJ
'P'q'K
2
2
1
***
−
=
⇒
3
5
EJ
qa
168
1
'q
'q
3
2
1
Kết quả chính là chuyển vị xoay tại nút 1 và nút 2.
Bước 5: Tính toán nội lực
Xác định mômen trong phần tử. Chú ý đến góc nghiêng α của mỗi phần tử.
SAP2000
Email:
20
{ }
=
−
×
−
−−−
=
=
1
7
84
qa
3
0
0
5
0
0
EJ
qa
168
1
a40a6a20a6
a20a6a40a6
a
EJ
M
M
M
23
22
22
3
)1(
2
1
)1(
{ }
−
=
×
−
−−−
=
=
3
6
84
qa
0
0
0
3
0
0
EJ
qa
168
1
a4a60a2a60
a2a60a4a60
a
EJ
M
M
M
23
22
22
3
)2(
2
1
)2(
Biểu đồ mômen chính xác phải được hiệu chỉnh bằng cách “cộng thêm” biểu đồ
mômen M
0
khi xem các nút bị gắn cứng (hình H.1-8).
7
1
6
3
q
Μ Μ
o
Μ
3
7
7
6
Hình 1.8
SAP2000
Email:
21
2
Phần mềm phân tích kết cấu SAP2000
2.1. Giới thiệu phần mềm SAP2000
Bộ phần mềm SAP2000 được giáo sư Edward L. Wilson và các cộng sự (đại học
California, Berkeley, Mỹ) nghiên cứu lập ra dựa trên các phương pháp số và phương
pháp phần tử hữu hạn trong cơ học. Ban đầu, phần mềm này chỉ là các chương trình đơn
lẻ, chạy trên các máy tính lớn, phục vụ cho công tác nghiên cứu là chính.
Phiên bản đầu tiên của chương trình mang tên SAP (Structural Analysis Program)
ra đời vào năm 1970. Các phiên bản kế tiếp là SAP3, SAP-IV… Bộ phần mềm mang tính
thương mại đầu tiên là SAP80 (SAP-VI), được phát triển bởi công ty Computer &
Structure Inc – CSI.
SAP2000 (SAP-VII) là một bước đột phá của họ phần mềm SAP. SAP2000 đã tích
hợp các chức năng phân tích và thiết kế kết cấu thành một. Ngoài ra, ở SAP2000 còn
được bổ sung thêm các loại phần tử mẫu và khả năng phân tích kết cấu phi tuyến
(nonlinear). Toàn bộ các quá trình từ xây dựng mô hình kết cấu (pre-processing), thực
hiện phân tích (processing) đến biểu diễn kết quả (post-processing) đều có giao diện đồ
họa trực quan (visual graphics) dễ sử dụng. Do vậy phần mềm SAP2000 hiện nay đang
được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cũng như tính toán thiết kế công trình.
2.2. Các phiên bản chính của SAP2000
SAP2000 V7.42 có các phiên bản sau:
+ Phiên bản phi tuyến (Nonlinear Version) có khả năng phân tích các bài toán tĩnh,
động lực học, phi tuyến, thiết kế kết cấu bê tông, kết cấu thép… với bốn loại phần tử mẫu
khác nhau, số lượng nút của kết cấu là không giới hạn.
+ Phiên bản chuẩn (Standard Version) chỉ giải quyết được các bài toán có số lượng
nút tối đa khoảng 1500 nút, không phân tích được bài toán phi tuyến.
+ Phiên bản nâng cao (Plus Version) có khả năng tương tự như bản Nonlinear,
nhưng không phân tích được bài toán phi tuyến.
+ Phiên bản dùng cho học tập (Education Version) khả năng tương tự như bàn phi
tuyến, nhưng hạn chế số nút tối đa là 100 nút.
Với phiên bản SAP2000 V10 hiện nay, có 03 phiên bản:
+ Phiên bản BASIC có các tính năng tương tự như các phiên bản trước nhưng được
cải tiến ở phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính của FEM giúp chương trình
chạy nhanh hơn, bổ sung thêm các phần tử chỉ chịu kéo, phần tử thanh căng ứng suất
trước (post-tensioned tendon), phần tử shell có độ chính xác cao hơn, khả năng phân tích
động lực nhiều trường hợp tổ hợp trong cùng một lần chạy…
+ Phiên bản PLUS tương tự như BASIC nhưng được bổ sung khả năng phân tích về
cầu, phân tích miền tần số, phổ thời gian, tải trọng động đất…
SAP2000
Email:
22
+ Phiên bản ADVANCE bổ sung thêm các phần tử phi tuyến, phân tích phổ thời
gian phi tuyến bằng phương pháp chồng chất mô hình hoặc tích phân trực tiếp, phân tích
bài toán ổn định (buckling analysis)…
2.3. Khả năng phân tích kết cấu của SAP2000
Trong SAP2000 V7.42 người dùng có thể mô tả nhiều loại tải trọng khác nhau như
lực tập trung, lực phân bố đều hoặc hình thang, tải trọng do nhiệt độ, tải trọng do phổ gia
tốc, tải trọng điều hòa và tải trọng di động…
Các loại bài toán kết cấu mà SAP2000 có thể thực hiện gồm có:
+ Bài toán phân tích tĩnh (static analysis)
+ Bài toán tính tần số dao động riêng và các dạng dao động (modal analysis)
+ Bài toán tính đáp ứng độc lực học (response analysis) với tải trọng ngoài thay đổi
theo thời gian hay phổ gia tốc.
2.4. Cài đặt phần mềm SAP2000 (7.42)
Phần mềm SAP2000 chạy trên hệ điều hành WINDOWS 95/98/NT. Ngoài ra phiên
bản Plus và Nonlinear có khả năng chạy trên mạng WINDOWS NT (v3.5) và
NETWARE theo mô hình Client/Server. Để cài đặt trên mạng cần có thêm các driver cho
mạng kèm theo phần mềm.
Yêu cầu hệ thống:
+ Hệ điều hành WINDOWS 95/98/NT
+ Bộ nhớ RAM tối thiểu 12MB (nên có16MB)
+ Đĩa cứng còn trống tối thiểu 10MB (nên có 40MB)
+ Bộ xử lý (CPU): tối thiểu 486DX-4 (nên có Pentium 100)
+ Card đồ họa: VGA hay SVGA
+ Máy in, máy vẽ.
Người dùng cài đặt phần mềm SAP2000 theo hướng dẫn của nhà sản xuất.
2.5. Cấu trúc của SAP2000
Chương trình được cấu trúc dưới dạng file thực thi chương trình (Sap2000.exe), nó
sẽ lần lượt gọi các tập tin và hàm phụ trợ (*.DLL) trong quá trình thực hiện.
File dữ liệu của SAP2000 có phần mở rộng là *.SDB và *.S2K. Đối với file S2K,
người dùng có thể dùng một phần mềm soạn thảo để hiệu chỉnh.
Các file kết quả bao gồm *.EKO chứa thông tin về dữ liệu nhập vào, file .OUT chứa
tất cả các kết quả được xuất ra.
Các tập tin dạng .JOB lưu dữ liệu của SAP2000 dưới dạng nhị phân.
Các tập tin .DXF lưu dữ liệu mô hình kết cấu ở dạng của AUTOCAD.
SAP2000 hỗ trợ môi trường làm việc tương tự như một phần mềm CAD. Toàn bộ
quá trình xây dựng mô hình được thực hiện bằng các đối tượng điểm, đường thẳng, tam
giác… Sau khi các đối tượng này được gán các đặc trưng cơ lý riêng thì chúng trở thành
các phần tử của kết cấu
1
.
1
Đối với SAP90 trở về trước, người dùng phải tạo ra các loại nút, phần tử… sau đó nối chúng lại với nhau thành mô
hình kết cấu. Việc làm này gây tốn kém nhiều thời gian khai báo dữ liệu nhập vào.
SAP2000
Email:
23
2.6. Trình tự phân tích kết cấu bằng SAP2000
Khi thực hiện phân tích một bài toán kết cấu, người dùng thường thực hiện theo
trình tự các bước sau đây:
Xây d
ự
ng mô
hình k
ế
t c
ấ
u
Đị
nh ngh
ĩ
a các
nhóm v
ậ
t li
ệ
u
Kha
i báo các
đ
ặ
c tr
ư
ng h
ình
h
ọ
c và gán cho ph
ầ
n t
ử
Đị
nh ngh
ĩ
a các tr
ườ
ng h
ợ
p t
ả
i
và gán t
ả
i tr
ọ
ng cho ph
ầ
n t
ử
Đ
ị
nh ngh
ĩ
a các
t
ổ
h
ợ
p t
ả
i tr
ọ
ng
Khai báo các
đ
i
ề
u ki
ệ
n biên
Ch
ọ
n các thông s
ố
cho quá trình gi
ả
i
Th
ự
c hi
ệ
n gi
ả
i bài toán
Xem bi
ể
u di
ễ
n k
ế
t qu
ả
và xu
ấ
t k
ế
t qu
ả
Dùng các công cụ xây dựng
hình học hoặc lấy từ thư viện
kết cấu mẫu (Templates)
Define
→
→→
→
Materials…
Define
→
→→
→
Frame section…
Define
→
→→
→
Shell section…
Define
→
→→
→
Nllink properties…
Define
→
→→
→
Static loadcase…
Assign
→
→→
→
…
Define
→
→→
→
Load combination…
Assign
→
→→
→
Restraints…
Analyze
→
→→
→
Set Options…
Analyze
→
→→
→
Run…
Display
→
→→
→
Show…
Thi
ế
t k
ế
k
ế
t c
ấ
u
Design
→
→→
→
Steel/concrete…
Step 1
Step 2
Step 3
Step 4
Step 5
Step 6
Step 7
Step 8
Step 9
Step 10
SAP2000
Email:
24
3
Phân tích kết cấu với SAP2000
3.1. Bài thực hành số 1 - Hệ dàn
3.1.1. Các quy ước cơ bản
SAP2000 sử dụng ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực tổng quát (frame
element) cho các kết cấu dạng thanh. Đối với thanh dàn, do chỉ có thành phần lực dọc
xuất hiện trong các thanh và chịu biến dạng dọc trục nên ta chỉ cần khai báo duy nhất giá
trị diện tích tiết diện ngang (cross section area), các số liệu khác ta sẽ gán bằng 0.
Các tải trọng tác dụng lên thanh dàn chỉ tác dụng tại nút, do đó ta chỉ cần khai báo
các tải tập trung:
Assign →
→→
→ Joint static loads →
→→
→ Forces…
Chú ý, khi tính toán với SAP2000, hệ số tải
trọng bản thân của kết cấu sẽ mặc định là 1 và
chương trình sẽ tự động tính toán giá trị tải trọng bản
thân kết cấu. Điều này dẫn đến việc xuất hiện các
mômen uốn và lực cắt trong thanh dàn. Thông
thường với hệ dàn, người ta bỏ qua tải trọng bản
thân, hoặc quy đổi tải trọng tương đương về các mắt
dàn. Để loại bỏ điều này, chúng ta có thể thực hiện
02 cách sau đây:
Cách 1:
Gán các số liệu về trọng lượng của kết cấu bằng 0:
Define →
→→
→ Materials →
→→
→ Add New Material…
Cách 2:
Gán hệ số tải trọng bản thân (Self Weight Multiplier)
bằng 0:
Define →
→→
→ Static load cases…
SAP2000
Email:
25
Như đã phân tích ở chương 1, phần tử thanh dàn phẳng là một phần tử 2 nút, chịu
biến dạng dọc trục. Do vậy, khi xét trong hệ tọa độ tổng thể OXZ, mỗi nút chỉ có 02 bậc
tự do (Degree of Freedom – DOF) là các chuyển vị thẳng UX và UZ theo 2 trục tọa độ.
Nếu là dàn không gian thì mỗi nút sẽ có 03 bậc tự do là UX, UY và UZ. Như vậy trước
khi tiến hành giải bài toán hệ dàn ta phải khóa các bậc tự do không cần thiết.
Nếu là dàn phẳng trong mặt phẳng OXZ, ta sẽ đánh dấu các bậc tự do UX, UZ
Analyze →
→→
→ Set Options…
Nếu là dàn không gian, ta sẽ đánh dấu các bậc tự do UX, UY, UZ
Analyze →
→→
→ Set Options…
3.1.2. Các bài tập thực hành
Bài tập 1
P = 10KN, a = 5m, E = 2,1.10
4
KN/cm
2
.
Các thanh đứng và ngang có tiết diện là F
1
= 10cm
2
.
Các thanh xiên có tiết diện F
2
= 7,071 cm
2
.
Hệ số Poisson ν = 0,3.
Trình tự thực hiện:
Bước 1 : Mô tả hình học
Chọn hệ đơn vị KN-cm, File > New Model From Template > [Vertical Truss]
Lưu ý: Click [ ] ở mục Restraints như hình minh họa
