Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (176.94 KB, 18 trang )

Tiểu luận lý thuyết nhóm
NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C
4v
1. Các yếu tố đối xứng
Nhóm C
4v
gồm các yếu tố E, C
4
, C
2
, C
4
-1
của nhóm C
4
và các phép phản xạ
gương
v
σ
,
v
σ
′
,
v
σ
′′
v
σ
′′′
qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu

là
v
σ
,
v
σ
′
,
v
σ
′′
,
v
σ
′′′
trong đó
v
σ
′
trực giao với
v
σ
và thu được từ
v
σ
sau khi thực hiện
phép quay
4
C
,

v
σ
′′′
trực giao với
v
σ
′′
và thu được từ
v
σ
′
sau khi thực hiện phép
quay
4
C
,
v
σ
′′
và
v
σ
′′′
là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng
v
σ
và
v
σ
′

(Hình 1).
Hình 1
HVTH: Trần Thị Phường 1
v
σ
′
x
v
σ
′′
v
σ
′′′
o
y
v
σ
o
Tiểu luận lý thuyết nhóm
2. Các phép đối xứng
Nhóm
v
C
4
là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng
đáy là một hình vuông. Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao
tuyến của các mặt phẳng gương
v
σ
,

v
σ
′
,
v
σ
′′
,
v
σ
′′′
với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục
Oz trùng với trục quay
4
C
, mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ,
chọn
v
σ
đi qua trục Ox và
v
σ
′
đi qua Oy . Như vậy các yếu tố đối xứng là trục
quay C
4
và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay
v
σ
,

v
σ
′
,
v
σ
′′
,
v
σ
′′′
.
Hình 2
Biểu diễn 3 chiều của nhóm:
Chọn trục quay trùng với trục Oz
 Trong phép quay
4
C
:
4
C
:





=→
−=→
=→

zzz
xyy
yxx
'
'
'
nên










'
'
'
z
y
x
=











−
100
001
010










z
y
x
(1)
HVTH: Trần Thị Phường 2
x
y
z
o
v
σ
′′

v
σ
′′′
v
σ
′
v
σ
Tiểu luận lý thuyết nhóm
⇒
Ma trận biến đổi của phép quay
4
C
là:
( )
[ ]
4
3
CD
=











−
100
001
010
 Trong phép quay
2
4
C
=
2
C
:
2
4
C
=
2
C
:





=→
−=→
−=→
zzz
yyy
xxx

'
'
'
nên










'
'
'
z
y
x
=











−
−
100
010
001










z
y
x
(2)
⇒
Ma trận biến đổi của phép quay
2
C
là:
( )
[ ]
2
3
CD

=










−
−
100
010
001
 Trong phép quay
3
4
C
=
1
4
C
−
:
3
4
C
=

1
4
C
−
:





=→
=→
−=→
zzz
xyy
yxx
'
'
'
nên











'
'
'
z
y
x
=










−
100
001
010











z
y
x
(3)
⇒
Ma trận biến đổi của phép quay
3
4
C
=
1
4
C
−
là:
( )
[ ]
1
4
3
−
CD
=











−
100
001
010
 Trong phép quay
4
4
C
:
4
4
C
:





=→
=→
=→
zzz
yyy
xxx
'
'

'
nên










'
'
'
z
y
x
=










100

010
001










z
y
x
(4)
⇒
Ma trận biến đổi của phép quay
4
4
C
=E là:
HVTH: Trần Thị Phường 3
Tiểu luận lý thuyết nhóm
( )
[ ]
4
4
3
CD

=










100
010
001
 Phép phản xạ gương
v
σ
:
v
σ
:





=→
−=→
=→
zzz

yyy
xxx
'
'
'
nên










'
'
'
z
y
x
=











−
100
010
001










z
y
x
(5)
⇒
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương
v
σ
là:
( )
[ ]
v
D

σ
3
=










−
100
010
001
 Các phép phản xạ gương
v
σ
′
:
v
σ
′
:






=→
=→
−=→
zzz
yyy
xxx
'
'
'
nên










'
'
'
z
y
x
=











−
100
010
001










z
y
x
(6)
⇒
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương
v
σ

′
là:
( )
[ ]
v
D
σ
′
3
=










−
100
010
001
 Phép phản xạ gương
v
σ
′′
:
v

σ
′′
:





=→
=→
=→
zzz
xyy
yxx
'
'
'
nên










'
'

'
z
y
x
=










100
001
010










z
y

x
(7)
⇒
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương
v
σ
′′
là:
( )
[ ]
v
D
σ
′′
3
=










100
001
010
 Phép phản xạ gương

v
σ
′′′
:
HVTH: Trần Thị Phường 4
Tiểu luận lý thuyết nhóm
′′′
v
σ
:





=→
−=→
−=→
zzz
xyy
yxx
'
'
'
nên











'
'
'
z
y
x
=










−
−
100
001
010











z
y
x
(8)
⇒
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương
′′′
v
σ
là:
( )
[ ]
v
D
σ
′′′
3
=











−
−
100
001
010
Trong đó mặt phẳng gương
v
σ
là mặt phẳng xOz và
v
σ
′
là mặt phẳng yOz
còn
v
σ
′′
và
v
σ
′′′
là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2).
3. Bảng nhân nhóm
Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3),
(4), (5), (6), (7) và (8) ta có:

EE =
2
C
2
C
=
v
σ
v
σ
=
v
σ
′
v
σ
′
=
v
σ
′′
v
σ
′′
=
v
σ
′′′
v
σ

′′′
= E (9)
E
4
C
=
4
C
E =
2
C
1
4
C
−
=
1
4
C
−
2
C
=
v
σ
v
σ
′′
=
v

σ
′
v
σ
′′′
=
v
σ
′′
v
σ
′
=
v
σ
′′′
v
σ
=
4
C
(10)
E
2
C
=
4
C
4
C

=
1
4
C
−
1
4
C
−
=
2
C
E =
v
σ
v
σ
′
=
v
σ
′
v
σ
=
v
σ
′′
v
σ

′′′
=
v
σ
′′′
v
σ
′′
=
2
C
(11)
E
1
4
C
−
=
4
C
2
C
=
2
C
4
C
=
1
4

C
−
E=
v
σ
v
σ
′′′
=
v
σ
′
v
σ
′′
=
v
σ
′′
v
σ
=
v
σ
′′′
v
σ
′
=
1

4
C
−
(12)
E
v
σ
=
v
σ
E =
4
C
v
σ
′′
=
2
C
v
σ
′
=
1
4
C
−
v
σ
′′′

=
v
σ
′
2
C
=
v
σ
′′
1
4
C
−
=
v
σ
′′′
4
C
=
v
σ
(13)
E
v
σ
′
=
4

C
v
σ
′′′
=
2
C
v
σ
=
1
4
C
−
v
σ
′′
=
v
σ
2
C
=
v
σ
′
E =
v
σ
′′

4
C
=
v
σ
′′′
1
4
C
−
=
v
σ
′
(14)
E
v
σ
′′
=
4
C
v
σ
′
=
2
C
v
σ

′′′
=
1
4
C
−
v
σ
=
v
σ
4
C
=
v
σ
′
1
4
C
−
=
v
σ
′′
E =
v
σ
′′′
2

C
=
v
σ
′′
(15)
E
v
σ
′′′
=
4
C
v
σ
=
2
C
v
σ
′′
=
1
4
C
−
v
σ
′
=

v
σ
1
4
C
−
=
v
σ
′
4
C
=
v
σ
′′
2
C
=
v
σ
′′′
E =
v
σ
′′′
(16)
Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng
nhân nhóm C
4v

như sau:
HVTH: Trần Thị Phường 5
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng1: Bảng nhân nhóm
C
4v
E C
4
C
2
C
4
-1
v
σ
v
σ
′
v
σ
′′
v
σ
′′′
E E C
4
C
2
C
4

-1
v
σ
v
σ
′
v
σ
′′
v
σ
′′′
C
4
C
4
C
2
C
4
-1
E
v
σ
′′′
v
σ
′′
v
σ

v
σ
′
C
2
C
2
C
4
-1
E C
4
v
σ
′
v
σ
v
σ
′′′
v
σ
′′
C
4
-1
C
4
-1
E C

4
C
2
v
σ
′′
v
σ
′′′
v
σ
′
v
σ
v
σ
v
σ
v
σ
′′
v
σ
′
v
σ
′′′
E C
2
C

4
C
4
-1
v
σ
′
v
σ
′
v
σ
′′′
v
σ
v
σ
′′
C
2
E C
4
-1
C
4
v
σ
′′
v
σ

′′
v
σ
′
v
σ
′′′
v
σ
C
4
-1
C
4
E C
2
v
σ
′′′
v
σ
′′′
v
σ
v
σ
′′
v
σ
′

C
4
C
4
-1
C
2
E
4. Sự phân lớp
Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta
có thể nghiệm lại rằng nhóm
v
C
4
có 8 yếu tố đối xứng {E, C
4
, C
2
,
1
4
C
−
,
v
σ
,
v
σ
′

,
v
σ
′
,
v
σ
′′
và
v
σ
′′′
} chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau:
Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố
đã cho.
Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C
4v
thì tất cả các yếu tố gag
-1
với mọi
yếu tố g của C
4v
tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a.
Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag
-1
đều trùng với E. Vậy
chính yếu tố đơn vị E là một lớp.
Lấy a là C
4
. Các yếu tố liên hợp với nó là:

4
C
4
C
1
4
C
−
=
4
C
;
1
4
C
−
4
C
(
1
4
C
−
)
-1
=
4
C
;
2

C
4
C
(
2
C
)
-1
=
1
4
C
−
(
2
C
)
-1
=
4
C
v
σ
4
C
(
v
σ
)
-1

=
v
σ
′′
(
v
σ
)
-1
=
v
σ
′′
v
σ
=
1
4
C
−
tương tự
v
σ
′
4
C
v
σ
′
=

v
σ
′′′
v
σ
′
=
1
4
C
−
v
σ
′′
4
C
v
σ
′′
=
v
σ
′
v
σ
′′
=
1
4
C

−
v
σ
′′′
4
C
v
σ
′′′
=
v
σ
v
σ
′′′
=
1
4
C
−
HVTH: Trần Thị Phường 6
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố
4
C
và
1
4
C
−

tạo thành một lớp liên hợp
Nếu lấy a là
2
C
:
4
C
2
C
(
4
C
)
-1
=
1
4
C
−
(
4
C
)
-1
=
2
C
1
4
C

−
2
C
(
1
4
C
−
)
-1
=
4
C
(
1
4
C
−
)
-1
=
2
C
v
σ
2
C
(
v
σ

)
-1
=
v
σ
′
(
v
σ
)
-1
=
v
σ
′
v
σ
=
2
C
tương tự
v
σ
′
2
C
v
σ
′
=

v
σ
v
σ
′
=
2
C
v
σ
′′
2
C
v
σ
′′
=
v
σ
′′′
v
σ
′′
=
2
C
v
σ
′′′
2

C
v
σ
′′′
=
v
σ
′′
v
σ
′′′
=
2
C
Như vậy,
2
C
là một lớp.
Nếu chọn a là
v
σ
. Các yếu tố liên hợp với nó là
4
C
v
σ
(
4
C
)

-1
=
v
σ
′′′
1
4
C
−
=
v
σ
′
1
4
C
−
v
σ
(
1
4
C
−
)
-1
=
v
σ
′′

(
1
4
C
−
)
-1
=
v
σ
′
v
σ
v
σ
(
v
σ
)
-1
= E(
v
σ
)
-1
=
v
σ
v
σ

′
v
σ
v
σ
′
=
2
C
v
σ
′
=
v
σ
v
σ
′′
v
σ
v
σ
′′
=
1
4
C
−
v
σ

′′
=
v
σ
′
v
σ
′′′
v
σ
v
σ
′′′
=
4
C
v
σ
′′′
=
v
σ
′
Như vậy, hai yếu tố
v
σ
và
v
σ
′

tạo thành một lớp liên hợp.
Nếu chọn a là
v
σ
. Các yếu tố liên hợp với nó là
4
C
v
σ
′′
(
4
C
)
-1
=
v
σ
(
1
4
C
−
)
-1
=
v
σ
′′
1

4
C
−
v
σ
′′
(
1
4
C
−
)
-1
=
v
σ
′
(
1
4
C
−
)
-1
=
v
σ
′′′
v
σ

v
σ
′′
(
v
σ
)
-1
=
4
C
(
v
σ
)
-1
=
v
σ
′′′
v
σ
′
v
σ
′′
v
σ
′
=

1
4
C
−
v
σ
′
=
v
σ
′′′
v
σ
′′
v
σ
′′
v
σ
′′
=E
v
σ
′′
=
v
σ
′′
v
σ

′′′
v
σ
′′
v
σ
′′′
=
2
C
v
σ
′′′
=
v
σ
′′
HVTH: Trần Thị Phường 7
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố
v
σ
′′
và
v
σ
′′′
tạo thành một lớp liên hợp.
Vậy có năm lớp các yếu tố liên hợp là:
C

1
= {E}, C
2
= {C
4
, C
4
-1
}, C
3
= {C
2
}, C
4
= {
v
σ
,
v
σ
′
} và C
5
={
v
σ
′′
,
v
σ

′′′
}
Nhóm
v
C
4
với thí dụ là phân tử IF
5
.
5. Bảng đặc biểu
Trong biểu diễn hai chiều ta tìm được:
( )
[ ]
E
2
χ
= 2;
( )
[ ]
2
2
C
χ
= -2
( )
[ ]
3
2
C
χ

=
( )
[ ]
4
2
C
χ
=
( )
[ ]
5
2
C
χ
= 0
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C
4v
thể hiện trên bảng 2.
Bảng 2
C
4v
C
1
= {E} C
2
= {C
2
} C
3
={C

4
,C
4
-1
}
C
4
={
v
σ
,
v
σ
′
} C
5
={
v
σ
′′
,
v
σ
′′′
}
A
1
1 1 1 1 1
A
2

1 a
1
b
1
c
1
d
1
A
3
1 a
2
b
2
c
2
d
2
A
4
1 a
3
b
3
c
3
d
3
A
5

2 -2 0 0 0
Ta có hệ thức chuẩn hóa của đặc biểu
( )
( )
( )
( )
αβ
βα
δχχ
hnCC
iii
i
=
∑
*
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
21
χχ
∑
= 1 + a

1
+2 b
1
+ 2c
1
+ 2d
1
= 0
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
22
χχ
∑
= 1 +
2
1
a
+ 2
2
1
b

+2
2
1
c
+2
2
1
d
= 8
⇒
a
1
= b
1
=1; c
1
= d
1
= -1
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C
4v
viết lại trên bảng 3.
HVTH: Trần Thị Phường 8
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng 3
C
4v
C
1
= {E} C

2
= {C
2
} C
3
={C
4
,C
4
-1
}
C
4
={
v
σ
,
v
σ
′
} C
5
={
v
σ
′′
,
v
σ
′′′

}
A
1
1 1 1 1 1
A
2
1 1 1 -1 -1
A
3
1 a
2
b
2
c
2
d
2
A
4
1 a
3
b
3
c
3
d
3
A
5
2 -2 0 0 0

Tương tự
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
31
χχ
∑
= 1 + a
2
+2 b
2
+ 2c
2
+ 2d
2
= 0
( )
( )
( )
( )
ii
A

i
i
A
nCC
*
32
χχ
∑
= 1 + a
2
+2 b
2
- 2c
2
- 2d
2
= 0
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
33
χχ

∑
= 1 +
2
2
a
+ 2
2
2
b
+2
2
2
c
+2
2
2
d
= 8
⇒
a
2
= c
2
=1; b
2
= d
2
= -1
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C
4v

viết lại trên bảng 4.
Bảng 4
C
4v
C
1
= {E} C
2
= {C
2
} C
3
={C
4
,C
4
-1
}
C
4
={
v
σ
,
v
σ
′
} C
5
={

v
σ
′′
,
v
σ
′′′
}
A
1
1 1 1 1 1
A
2
1 1 1 -1 -1
A
3
1 1 -1 1 -1
A
4
1 a
3
b
3
c
3
d
3
A
5
2 -2 0 0 0

( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
41
χχ
∑
= 1 + a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
+ 2d
3
= 0
( )
( )
( )
( )
ii
A
i

i
A
nCC
*
42
χχ
∑
= 1 + a
3
+ 2b
3
- 2c
3
-2d
3
= 0
HVTH: Trần Thị Phường 9
Tiểu luận lý thuyết nhóm
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
43

χχ
∑
= 1 + a
3
- 2 b
3
+ 2c
3
- 2d
3
= 0
( )
( )
( )
( )
ii
A
i
i
A
nCC
*
44
χχ
∑
= 1 +
2
3
a
+ 2

2
3
b
+2
2
3
c
+2
2
3
d
= 8
⇒
a
3
= d
3
=1; b
3
= c
3
=-1.
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C
4v
viết lại trên bảng 5.
Bảng 5
C
4v
C
1

= {E} C
2
= {C
2
} C
3
={C
4
,C
4
-1
}
C
4
={
v
σ
,
v
σ
′
} C
5
={
v
σ
′′
,
v
σ

′′′
}
A
1
1 1 1 1 1
A
2
1 1 1 -1 -1
A
3
1 1 -1 1 -1
A
4
1 1 -1 -1 1
A
5
2 -2 0 0 0
Ta viết lại bảng đặc biểu của nhóm C
4v
hoàn chỉnh như sau
Bảng 6: Bảng đặc biểu của nhóm C
4v
Biểu
diễn
C
1
=
{E}
C
2

=
{C
2
}
C
3
=
{C
4
,C
4
-1
}
C
4
=
{
v
σ
,
v
σ
′
}
C
5
=
{
v
σ

′′
,
v
σ
′′′
}
Hàm cơ bản
(A
1
) 1 1 1 1 1 z; z
2
; x
2
+y
2
(A
2
) 1 1 1 -1 -1 R
z
(B
1
) 1 1 -1 1 -1 x
2
- y
2
(B
2
) 1 1 -1 -1 1 xy
(E) 2 -2 0 0 0 (x,y); (xz,yz)
6. Biểu diễn hạ cảm

vh
CO
4
↓
Từ bảng đặc biểu của nhóm O
h
(Bảng 7) ta thấy rằng nhóm O
h
có 10 lớp
{E, 3C
4
2
, 6
4
C
, 6
2
C
, 8C
3
, I, 3IC
4
2
, 6I
4
C
, 6I
2
C
, 8IC

3
}
Vậy khi hạ cảm các lớp của nhóm O
h
và nhóm C
4v
sẽ tương ứng như sau:
HVTH: Trần Thị Phường 10
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng 7
Mặc dù T là biểu diễn tối giản của G, biểu diễn hạ cảm
vh
CO
4
↓
, nói chung
là biểu diễn khả quy. Do đó, bài toán đặt ra là tìm biểu thức khai triễn biểu diễn
hạ cảm
vh
CO
4
↓
thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản của nhóm C
4v
Số lần biểu diễn tối giản
( )
α
T
chứa trong T của nhóm G được tính bằng công
thức:

hoặc
( )
( ) ( )
q
q
qq
CCh
N
m
χχ
α
α
∑
=
*
1
Bảng 8. Bảng đặc biểu của nhóm O
h
được viết tương ứng vơi C
4v
HVTH: Trần Thị Phường 11
O
h
E 3C
4
2
6
4
C
6

2
C
8C
3
I 3IC
4
2
6I
4
C
6I
2
C
8IC
3
↓
↓
↓
↓
↓
C
4v
E
2
C
4
C
v
σ
v

σ
′′
O
h
E
(E
3C
4
2
3C
2
6
4
C
6
4
C
3IC
4
2
3
v
σ
6I
2
C
6
v
σ
′′

)
A
1g
1 1 1 1 1
A
2g
1 1 -1 1 -1
E
g
2 2 0 2 0
T
1g
3 -1 1 -1 -1
T
2g
3 -1 -1 -1 1
A
1u
1 1 1 -1 -1
A
2u
1 1 -1 -1 1
E
u
2 2 0 -2 0
T
1u
3 -1 1 1 1
T
2u

3 -1 -1 1 -1
( )
( ) ( )
( )
( )
χχχχ
αα
α
,
1
*
≡=
∑
∈
gg
N
m
Gg
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Ta viết lại bảng đặc biểu của C
4v

Bảng 9
C
4v
C
1
={E} C
2
={C

2
} C
3
={C
4
,C
4
1
}
C
4
={
v
σ
,
v
σ
′
} C
5
={
v
σ
′′
,
v
σ
′′′
}
A

1
1 1 1 1 1
A
2
1 1 1 -1 -1
A
3
1 1 -1 1 -1
A
4
1 1 -1 -1 1
A
5
2 -2 0 0 0
 A
1g
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4

A
4
+ m
5
A
5
Với:
m
1
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
m
2
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
m
4
=
8
1

[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
m
5
=
8
1
[1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0
Vậy A
1g
= A
1
HVTH: Trần Thị Phường 12
Tiểu luận lý thuyết nhóm
 A
2g
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A

4
+ m
5
A
5
Với:
m
1
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1
m
4
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0

m
5
= =
8
1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A
2g
= A
3
 A
1u
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5

A
5
Với:
m
1
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m
3
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m
4
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m
5
=

8
1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A
1u
= A
2
 A
2u
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:

m
1
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
HVTH: Trần Thị Phường 13
Tiểu luận lý thuyết nhóm
m
4
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
m
5
=
8

1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A
2u
= A
4
 E
g
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:
m

1
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2 + 2.1.0] = 1
m
2
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).2 + 2.(-1).0] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.2 + 2.(-1).0] = 1
m
4
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).2 + 2.1.0] = 0
m
5
=
8
1
[1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
Vậy E

g
= A
1
+ A
3
 E
u
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:
m
1

=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.(-2) + 2.1.0] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).(-2) + 2.(-1).0] = 1
m
3
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.(-2) + 2.(-1).0] = 0
m
4
=
8
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).(-2) + 2.1.0] = 1
m
5
=
8
1
[1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
Vậy E
u

= A
2
+ A
4
 T
1g
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:
m
1
=

8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
HVTH: Trần Thị Phường 14
Tiểu luận lý thuyết nhóm
m
2
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m
3
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m
4
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m
5
=
8
1
[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T

1g
= A
2
+ A
5
 T
2g
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:
m
1

=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
m
4
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
m
5
=
8
1
[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T
2g

= A
4
+ A
5
 T
1u
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
Với:
m
1
=

8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
m
2
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
m
4
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
m
5
=
8
1
[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T
1u
= A

4
+ A
5
 T
2u
= m
1
A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
HVTH: Trần Thị Phường 15
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Với:
m
1

=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
m
3
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1
m
4
=
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0
m
5
=
8
1
[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy: T
2u

= A
3
+ A
5
Tóm lại biểu diễn hạ cảm
vh
CO
4
↓
như sau:
Bảng 10
A
1g
= A
1
T
1u
= A
4
+ A
5
A
2g
= A
3
T
2u
= A
3
+ A

5
E
g
= A
1
+ A
3
E
u
= A
2
+ A
4
T
1g
= A
2
+ A
5
A
1u
= A
2
T
2g
= A
4
+ A
5
A

2u
= A
4
7. Biểu diễn tích
Bảng 11. Bảng đặc biểu của biểu diễn tích trực tiếp
A
1
⊗
A
2
1 1 1 -1 -1
A
1
⊗
A
3
1 1 -1 1 -1
A
2
⊗
A
3
1 1 -1 1 -1
A
3
⊗
A
3
1 1 1 1 1
A

3
⊗
A
4
1 1 1 -1 -1
A
4
⊗
A
4
1 1 1 1 1
A
4
⊗
A
5
2 -2 0 0 0
A
5
⊗
A
5
4 4 0 0 0
 A
1
⊗
A
2
= m
1

A
1 +
m
2
A
2
+ m
3
A
3
+ m
4
A
4
+ m
5
A
5
m
i
đựơc tính từ công thức:
HVTH: Trần Thị Phường 16
Tiểu luận lý thuyết nhóm
( )
( )
( )
( )
aa
N
m

kj
i
AA
a
A
i
⊗
∑
=
χχ
*
1
khi đó:
m
1
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m
2
=
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m
3
=
8
1

[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m
4
==
8
1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m
5
=
8
1
[1.1.2 + 1. 1(-2)] = 0
Vậy A
1
⊗
A
2
= A
2

Tương tự
 A
1
⊗
A
3
= m
1
A