CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 8 CỰC HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.82 KB, 46 trang )
Ngày tháng năm 2006
Phân thức đại số
tính chất Cơ BảN - RúT GọN - QUI ĐồNG MẫU
THứC
A. Mục tiêu:
- HS nắm vững định nghĩa, tính chất cơ bản của phân
thức, cách rút gọn phân thức, qui đồng mẫu thức nhiều phân
thức.
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày các dạng
toán xét xem hai phân thức có bằng nhau hay không, rút gọn và
qui đồng mẫu nhiều phân thức.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
- HS: Ôn tập về phân thức: định nghĩa, tính chất cơ bản,
rút gọn, qui đồng mẫu nhiều phân thức.
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết:
(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV
uốn nắn, củng cố và hệ thống lại kiến thức)
1. Định nghĩa phân thức đại số:
- H? Nêu định nghĩa phân thức đại số.
- Trả lời: Phân thức đại số là biểu thức dạng
A
B
( A, B: Đa thức; B
0)
A: Tử ( Tử thức, tử số); B: Mẫu (Mẫu thức, mẫu số)
Mỗi đa thức là một phân thức có mẫu số bằng 1.
2. TXĐ của phân thức:
- H? TXĐ của phân thức một biến là gì? TXĐ của phân thức hai
biến là gì? Biểu thức nguyên xác định với những gía trị nào của
biến.
- Trả lời:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
1
. TXĐ của phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm
cho MS 0.
. Tập xác định của
),(
),(
yxB
yxA
là {(x,y)\ B(x,y) 0}
. Biểu thức nguyên xác định với mọi gía trị của biến.
3. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau:
- H? Nêu định nghĩa hai phân thức bằng nhau.
- Trả lời: Hai phân thức
A
B
và
C
D
gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C
- H?
B
A
= 0 khi nào.
- Trả lời:
B
A
= 0
0
0
A
B
=
4. gía trị của một phân thức đại số:
- H? gía trị của một phân thức đại số đợc xác định nh thế nào?
- Trả lời: gía trị của một phân thức đại số có thể đợc xác định
bởi gía trị các chữ có mặt trong phân thức đó (khi đó việc tính
số của biểu thức đợc đa về việc thực hiện các phép tính về số
hữu tỉ), cũng có thể đợc xác định bởi hệ thức giữa các chữ có
mặt trong biểu thức( trong trờng hợp này ta sử dụng phép biến
đổi đồng nhất đa về trờng hợp 1.)
Chú ý:
- Cần rút gọn phân thức (nếu có thể) trớc khi tính số trị của nó.
- Khi tính số trị của PTĐS biết hệ thức liên hệ giữa các chữ có
mặt phân thức ấy, ta có thể biến đổi thành phân thức mới chỉ
chứa một chữ bằng phơng pháp thế.
- Để so sánh số trị của PTĐS hoặc tìm GTNN, GTLN của một PTĐS
ta thờng quy về việc so sánh các phân thức có cùng mẫu hoặc
cùng tử.
5. Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
- H? Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số.
- Trả lời: . Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một
đa thức khác 0 thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã
cho.
. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử
chung của chúng thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã
cho.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
2
B
A
=
BC
AC
=
:
:
A D
B D
(C; D: Đa thức; C 0: D là nhân tử chung của A
và B)
6. Quy tắc đổi dấu:
- H? Nêu qui tắc đổi dấu.
- Trả lời: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta đ-
ợc một phân thức mới bằng phân thức đã cho.
B
A
=
B
A
= -
B
A
= -
B
A
.
7 Chú ý:
. Mọi phân thức có hệ số hữu tỷ đều viết đợc dới dạng PTĐS có
TT; MT là những đa thức có hệ số nguyên.
. Hai BTĐS bằng nhau trên tập S nếu chúng có cùng giá trị với mọi
giá trị của biến lấy trên S.
9. Rút gọn PT:
a. định nghĩa :
- H? Rút gọn phân thức là gì?
- Trả lời: Rút gọn phân thức đại số là biến đổi phân thức ấy
thành phân thức mới đơn giản hơn và bằng phân thức đai số đã
cho.
b. Qui tắc:
- H? Nêu qui tắc rút gọn phân thức
- Trả lời:. Phân tích tử, mẫu thành nhân tử (nếu cần).
. Chia tử, mẫu cho nhân tử chung.
10. Qui đồng mẫu.
a. Định nghĩa:
- H? Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức là gì?
- Trả lời: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các
phân thức đó thành các phân thức mới lần lợt bằng các phân thức
đã cho và có cùng mẫu thức.
MTC: Là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân
thức đã cho (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những
số nguyên dơng thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng)
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
3
với các luỹ thừa có mạt trong các mẫu, mỗi luỹ thừa lấy số mũ cao
nhất.
b. Qui tắc:
- H? Nêu qui tắc qui đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Trả lời: . Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm MTC.
. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng
ứng.
II. Bài tập:
(Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS
làm tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý
dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV
chữa bài, chốt cách làm)
Rút gọn các phân thức đại số:
a) A =
1
1
354045
203040
++++
++++
aaa
aaa
; b) B =
)
4
1
30) (
4
1
4)(
4
1
2(
)
4
1
29) (
4
1
3)(
4
1
1(
444
444
+++
+++
c) C =
365
1413121110
22222
++++
d) D =
148
1513119
2222
+++
H ớng dẫn
a) A =
1
1
5
+
a
b) Cách 1: Vì a
4
+
4
1
= (a
2
+
2
1
)
2
- a
2
= (a
2
+ a +
2
1
)( a
2
- a +
2
1
)
và a
2
+ a +
2
1
= (a + 1)
2
- (a + 1) +
2
1
B =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
(1 1 )(1 1 )(3 3 )(3 3 ) (29 29 )(29 29 )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
(2 2 )(2 2 )( 4 4 )(4 4 ) (30 30 )(30 30 )
2 2 2 2 2 2
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
=
1861
1
2
1
3030
2
1
11
2
=
+
+
Cách 2: áp dụng a
4
+ 1 = [ a (a-1) +
2
1
][ a (a+1) +
2
1
]
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
4
Cách 3: B =
)460) (48)(44(
)458) (46)(42(
444
444
+++
+++
áp dụng n
4
+ 4 = [ (n -1)
2
+ 1][ (n +1)
2
+ 1]
Tơng tự ta có B
1
=
)
4
1
100) (
4
1
4)(
4
1
2(
)
4
1
99) (
4
1
3)(
4
1
1(
444
444
+++
+++
=
20201
1
C =
365
)212()112(12)112()212(
22222
++++++
=
2
5.12 10
365
+
=
2
2.5(2.6 1)
5.73
+
=
2.5.73
5.73
= 2;
D = 7.
Rút gọn các phân thức đại số sau:
a.
12
18
24
24
+
+
=
aaa
aa
A
c.
)4103) (411)(47)(43(
)4101) (49)(45)(41(
4444
4444
++++
++++
=
C
b.
)()()(
)()()(
224224224
222
bacacbcba
bacacbcba
B
++
++
=
d.
95 99
9 199
=
D
(TSvà MS có n
chữ số 9)
H ớNG DẫN :
a.
)1)(1(
)1)(1(
22
22
++
+
=
aaaa
aaaa
A
=
1
1
2
2
++
+
aa
aa
( Với
1
2
+ aa
0)
b. TT = (a - b)(b - c)(c - a)
Thay a,b,c bởi a
2
, b
2
,c
2
đợc MT = (a
2
- b
2
)( b
2
- c
2
)( c
2
- a
2
)
ĐS:
))()((
1
accbba
B
+++
=
a b, b c; c a
c. n
4
+ 4 = (n
2
+2)
2
- (2n)
2
= [n(n-2) +2][ n(n+2) +2] ĐS:
1
103.105 2
C =
+
d. C
1
: Rút gọn cho 1 99 9 (n chữ số 9)
C
2
:
1
1
2(10 )
2.10 1 1
2
1
10 5 5
10(10 )
2
n
n
n
n
D
+
= = =
Tìm thơng của phép chia A = a + a
2
+ + a
100
cho B =
1002
1
11
aa
a
+++
(có thể thay 100 bởi n)
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
5
H ớNG DẫN :
A= a
101
.B
A: B = a
101
.
* Cho A = 1 + x
4
+ x
8
+ + x
4k
; B = 1 + x
2
+ x
4
+ + x
2k
.
Tính
B
A
.
H ớNG DẫN :
A =
1
1
4
14
x
x
k
; B =
1
1
2
22
+
x
x
k
B
A
=
1
1
2
22
+
+
+
x
x
k
.
Tìm tập xác định và tìm giá trị của biến để mỗi BT sau
có giá trị bằng 0:
A =
32
1
2
23
+
++
xx
xxx
; B =
22
)1()3(
)(
+++
+
yx
yx
;
2
2
4
3 10
x
C
x x
=
+
;
2 2
( 2) ( 1)
x y
D
x y
=
+ +
H ớng dẫn
* Tìm tập xác định, tìm tập tất cả các giá trị của biến để MT
0
* Tìm giá trị của biến để BT bằng 0 Tìm giá trị của biến để
0
TT o
MT
=
* Cho 4a + b = 0. Tính P =
ba
ba
+
2
2
.
H ớNG DẫN :
Cách 1: Thay b = - 4a vào P hoặc a = -
4
1
b
Cách 2: P =
ba
ba
+
2
2
=
bba
bba
++
+
4
34
=
b
b3
= -3
Cách 3: + Nếu b = 0, GT a = 0 P không xác định.
+ Nếu b 0 P =
2. 1
2. 1
a
b
a
b
+
=
0,25.2 1
0,25.2 1
+
= - 3
Cách 4: P =
)4(2
)4(2
baba
baba
++
++
=
a
a
2
6
= - 3
Cách 5: P =
ba
ba
24
24
+
=
bba
bba
++
+
4
34
= -
b
b3
= - 3.
III. H ớng dẫn học ở nhà:
* Cho: 3a
2
+ 3b
2
= 10ab (b > a > 0) Tính P =
ba
ba
+
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
6
C
1
: P
2
=
abba
abba
2
2
22
22
++
+
=
abba
abba
633
633
22
22
++
+
=
abab
abab
610
610
+
=
4
1
Mà P < 0
Vậy P = -
2
1
C
2
: Biểu thị b theo a rồi tính P.
* Cho
a
x
=
b
y
=
c
z
0. Rút gọn A =
2
222222
)(
))((
czbyax
cbazyx
++
++++
( Có thể mở rộng biểu thức đối với nhiều tỉ số bằng nhau)
H ớng dẫn:
C
1
: Đặt
a
x
=
b
y
=
c
z
= k x = ak; y = bk; z = ck thay vào A = 1
C
2
: GT xb = ya; yc = zb thay vào đáp số.
C
3
: TT = ( ax.
a
x
+ yb.
b
y
+ cz.
c
z
)( ax.
x
a
+ yb.
y
b
+ cz.
z
c
)
C
4
: GT
2 2 2
x y z
ax by cz
= =
=
czbyax
zyx
++
++
222
= k;
2 2 2
a b c
ax by cz
= =
=
2 2 2
a b c
ax by cz
+ +
+ +
=
k
1
Nhân từng vế hai đẳng thức
* Viết A = (x
2
- x +1)( x
4
- x
2
+1) ( x
8
- x
4
+1) ( x
16
- x
8
+1)
B = (x
2
-x +1)(x
4
- x
2
+1)(x
8
- x
4
+1) (x
24
- x
12
+1)
dới dạng phân thức mà tử là những đa thức dạng chính tắc
trong đó đa thức. mẫu bậc 2.
H ớng dẫn
A =
1
1
2
1632
++
++
xx
xx
* Cho abc=1;
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
222
222
++=++
Chứng minh trong a, b, c có 1 số bằng bình phơng của số
còn lại.
H ớNG DẫN :Cách 1: Đặt
++=++
=
===
zyx
zyx
zyx
z
a
c
y
c
b
x
b
a
111
1
;;
222
x = 1 hoặc y = 1 hoặc
z = 1 đpcm.
*********************************
Ngày tháng năm 2006
các phép tính về phân thức đại số
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
7
A. Mục tiêu:
- HS nắm vững các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức,
các tính chất của các phép tính trên phân thức.
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn
đạt các dạng toán rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
- HS: Ôn tập về các phép tính trên phân thức.
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết:
(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV
uốn nắn, củng cố và hệ thống lại kiến )
1. Quy tắc cộng phân thức đại số:
- H? Nêu qui tắc cộng hai phân thức.
* Trả lời: .Cộng hai phân thức cùng mẫu: Muốn cộng hai phân thức
có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu
thức:
M
BA
M
B
M
A
+
=+
rút gọn
. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: Muốn cộng hai
phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi
cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm đợc.
2. Tính chất của phép cộng:
- H? Nêu các tính chất của phép cộng phân thức.
* Trả lời: phép cộng phân thức có các tính chất sau:
. Giao hoán.
. Kết hợp.
. Cộng với 0.
3. Định nghĩa phân thức đối:
- H? Nêu định nghĩa về phân thức đối.
* Trả lời: Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng
bằng 0.
4. Quy tắc trừ phân thức đại số:
- H? Nêu qui tắc trừ phân thức.
* Trả lời: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng phân thức
với phân thức đối của phân thức :
)(
D
C
B
A
D
C
B
A
+=
5. Quy tắc nhân phân thức:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
8
- H? Nêu qui tắc nhân phân thức.
* Trả lời: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau,
các mẫu thức với nhau.
.=
6. Tính chất phép nhân:
- H? Nêu các tính chất của phép nhân phân thức.
* Trả lời: Phép nhân các phân thức có các tính chất sau:
. Giao hoán.
. Kết hợp.
. Nhân với 1.
. Phân phối đối với phép cộng.
7. Định nghĩa phân thức nghịch đảo:
- H? Nêu định nghĩa về phân thức nghịch đảo.
* Trả lời: Hai phân thức đợc gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích
của chúng bằng 1.
8. Quy tắc chia:
- H? Nêu qui tắc chia phân thức.
* Trả lời: Muốn chia phân thức cho phân thức ta nhân phân thức
với phân thức nghịch đảo của :
1
: .( )
A C A C
B D B D
=
(
0)
9. định nghĩa biểu thức hữu tỉ:
- H? Nêu định nghĩa về biểu thức hữu tỉ.
* Trả lời: Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc một dãy các
phép toán cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức.
10. Chú ý: Khi làm tính trên phân thức, ta chỉ việc theo các qui
tắc của các phép toán mà không cần quan tâm đến gía trị của
biến. Nhng khi làm những bài toán
liên quan đến gía trị của phân thức thì trớc hết phải tìm điều
kiện của biến để gía trị của phân thức đợc xác định. Nếu tại
gía trị của biến mà gía trị của một phân thức đợc xác định
thì phân thức ấy và phân thức rút gọn có cùng gía trị.
II. Bài tập:
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm
tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần
cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa
bài, chốt cách làm.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
9
* Tính
88
7
44
3
22
84211
ba
a
ba
a
ba
a
baba
A
+
+
+
+
+
+
+
+
=
H ớNG DẫN :
Tính từ trái sang phải: ĐS:
1616
15
16
ba
a
* Tính
))((
1
))((
1
))((
1
222222
pmpnmnmpnpnmpmpnnpmmnpnm
B
+
+
+
+
+
=
H ớNG DẫN :
npmmnp +
22
= (p - m)(m + n + p)
thay p m n p đợc m
2
+ mp - n
2
- np =(m - n)(m + n + p)
ĐS: 0
* Rút gọn:
6316
1
3512
1
158
1
34
1
2222
+
+
+
+
+
+
+
=
aaaaaaaa
C
H ớNG DẫN :
)9)(1(
4
)9)(1(
)1()9(
2
1
9
1
7
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
1
2
1
)9)(7(
1
)7)(5(
1
)5)(3(
1
)3)(1(
1
aaaa
aa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
C
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
* Rút gọn:
[ ]
2
22
)1(
12
)3.2(
5
)2.1(
3
+
+
+++=
nn
n
D
hãy chứng minh D < 1
H ớNG DẫN :
2222
22
22
)1(
11
)1(
)1(
)1(
12
+
=
+
+
=
+
+
kkkk
kk
kk
k
22222222
)1(
)2(
)1(
1
1
)1(
11
3
1
2
1
2
1
1
1
+
+
=
+
=
+
+++=
n
nn
nnn
D
* Rút gọn
))()((
)()()(222
222
mppnnm
mppnnm
mppnnm
E
++
+
+
+
=
H ớNG DẫN :
Đặt m - n = a; n - p = b; p - m = c a + b + c = 0
0
)(
222
2222
=
++
=
++
+++=
cba
cba
cba
cba
cba
E
* Thực hiện phép tính:
z
yx
xyz
y
zx
xzy
x
zy
yzx
G
+
+
+
+
+
+
+
+
=
111
222
H ớNG DẫN :
áp dụng hằng đẳng thức
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
10
a
3
+ b
3
+ c
3
- 3a.b.c = (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
-ac - bc -ac)
và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh đợc G = x
2
+ y
2
+ z
2
-
xy - yz - xz
* Tính
)
3
2
1) (
18
2
1)(
10
2
1)(
4
2
1(
2
nn
H
+
++++=
H ớNG DẫN :
2
2
4 12 20 3 2 2.3.3.4 ( 1)( 2) 3( 1)
. .
6 10 15 3 1.4.2.5 ( 3) ( 3)
n n n n n
H
n n n n n
+ + + + +
= = =
+ + +
* Cho:
n
B
nn
nnn
A
1
3
1
2
1
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
+++=
+
++
+
+
=
Tính A: B
H ớNG DẫN :
Bn
n
nnn
n
n
nnnn
A
32
)1(
1
321
=+++=
++++=
Vậy A: B = n
* Tính
!1994
1993
!3
1
!2
1
+++=
A
H ớNG DẫN :
C
1
:
!1994
1
1
!1994
1993
!5
4
!4
34).23.1(
!1994
1993
!4
3
!3
23.1
==++
+
++
=+++
+
=
A
C
2
:
!1994
1
1
!1994
1
!3
1
!2
1
!2
1
!1
1
=++=
A
Chứng minh
mnmpmnp
npmnmpm
nm
mmn
nmnm
nnmm
339
3
96
352
2
2
22
2
22
22
+
+++
=
+
+
H ớNG DẫN :
Biến đổi VT và VP về
mn
nm
+
3
.
Rút gọn:
10821
1
5415
1
189
1
3
1
3
1
22222
++
+
++
+
++
+
+
+
=
aaaaaaaaaa
A
H ớng dẫn:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
11
)12)(3(
5
)12)(3(3
15
)
12
1
9
1
3
111
3
1
(
3
1
)12)(9(
1
)9)(6(
1
)6)(3(
1
)3(
1
)3(
1
+
=
+
=
+
+
++
+
+
=
++
+
++
+
++
+
+
+
=
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
A
* Chứng minh nN; n > 1; a
1
, a
2
, a
n
N khác nhau, lớn
hơn 1 thì
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1
n
a a a a
+ + + +
H ớNG DẫN :
Giả sử 2 a
1
< a
2
< < a
n
a
k
k+1
VT <
1
1
1
1
)1(
1
3.2
1
2.1
1
)1(
1
3
1
2
1
222
<
+
=
+
+++<
+
+++
nnnn
* Tính
))((
)(
1
)()(
))((
)(
1
)()(
))((
)(
1
)()(
222
bcac
ba
bc
bcc
ac
acc
cbab
ac
ab
abb
cb
cbb
caba
cb
ca
caa
ba
baa
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2233
3
2233
3
2233
3
))(()(
2
))(()(
2
))(()(
2
baba
bcac
ba
ba
cba
acac
abcb
ac
ac
bac
cbcb
caba
cb
cb
acb
B
++
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
=
H ớNG DẫN :
áp dụng hằng đẳng thức
a
3
+b
3
+ c
3
- 3a.b.c = (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
- ac - bc - ac) và sử
dụng phép toán hoán vị vòng quanh ta đợc A = B = 2(a+b+c)
Tính:
)
2
1
1) (
8
1
1)(
3
1
1(
)
1
1) (
3
1
1)(
2
1
1(
2
222
nn
D
n
C
+
+++=
=
H ớNG DẫN :
a.
2 2 2
1.3 2.4 ( 1)( 1) 1
.
2 3 2
n n n
C
n n
+ +
= =
b. Vì
)2(
)1(
2
1
1
2
2
+
+
=
+
+
nn
n
nn
nên
2
)1(2
+
+
=
n
n
D
* Cho
12
1
5
1
3
1
1
1).12(
1
)52(5
1
)32(3
1
)12(1
1
++++=
++
+
+
=
n
B
nnnn
A
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
12
Tính A: B
H ớNG DẫN :
áp dụng
)
2
11
(
2
1
)2(
1
knknknk
+=
B
n
nnn
nnnn
A
2
1
)
12
1
32
1
3
1
1(
2
1
3).32(
1
)32(3
1
1).12(
1
)12(1
1
=
+
+++=
+
+
+
+
=
Vậy A: B =
n2
1
* Tính
)
321
1
1) (
321
1
1)(
21
1
1(
n
S
++++
++
+
=
H ớNG DẫN :
+
+
=
2
)1(
1
1
2
3).31(
1
1)
3
1
1(
nn
S
2
2 5 9 ( 1) 2 4 10 18 2
. . . .
3 6 10 ( 1) 6 12 20 ( 1)
1.4 2.5 ( 1)( 2) 2
.
2.3 3.4 ( 1) 3
n n n n
n n n n
n n n
n n n
+ +
= =
+ +
+ +
= =
+
* Rút gọn:
)
)12(
4
1) (
25
4
1)(
9
4
1)(
1
4
1(
2
=
n
A
n
và chứng minh bằng quy nạp.
H ớNG DẫN :
C
1
: A
1
= 1 -
4 3 2.1 1
1 1 2.1 1
+
= =
A
2
3 4 5 2.2 1
(1 )
1 9 3 2.2 1
+
= = =
A
3
5 4 7 2.3 1
(1 )
3 25 5 2.3 1
+
= = =
Dự đoán A
n
12
12
+
=
n
n
* C/M:
kkkkk 2
1
2
1
1
1
2
1
12
1
4
1
3
1
2
1
1
++
+
+
+
=
+++
H ớNG DẫN :
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
13
VT
)
2
1
4
1
2
1
(2
2
1
4
1
3
1
2
1
1
kk
++++++++=
)
1
2
1
1(2
2
1
4
1
3
1
2
1
1
kk
++++++++=
VP
kkk
=++
+
+
+
=
2
1
2
1
1
1
*Cho
n
S
n
1
3
1
2
1
1
++++=
Chứng minh:
1
1
2
2
2
2
1
1
)
1
3
2
2
1
(
+
++
+
+=
+++=
nn
nn
nnS
n
n
nS
n
n
H ớNG DẫN :
a. Cách 1:
)
1
3
2
2
1
()1
1
( )1
3
1
)(1
2
1
()11(
n
n
n
n
nS
n
+++=
++++=
Cách 2:
=
++++=
)
1
1( )
3
2
1()
2
1
1(1
n
n
S
n
)
1
3
2
2
1
(
n
n
n
+++
b.
=+
=
+
==
=
nn
k
n
VPn
k
kn
k
kkn
k
nnS
11
.1
.
( )
* Chứng minh:
6
3
)!3(
3
)!2(
3
!4.2
3
!3.1
2
+
=
+
+++
nn
nnn
H ớNG DẫN :
Cách 1:
Dùng quy nạp
Cách 2:
+
+
=
++
=
+
=
=
n
kk
n
k
kk
kkkkkk
VT
1
1
1
3
)!2(
3
)!3(
3
)33()!2(
3
)2(
* Cho nN thì
2
1
1
11
+
+
+
+=
nnn
A
là số thập phân vô hạn tuần
hoàn.
H ớNG DẫN :
)2)(1(
263
2
++
++
=
nnn
nn
A
có mẫu chia hết cho 3, tử không chia hết cho 3.
* Chứng minh: 1.4+2.7+3.10+ +n.(3n+1) = n(n+1)
2
H ớNG DẫN :
Chứng minh quy nạp.
* Cho nN ; n 1. Chứng minh:
12
1
7
1
5
1
3
1
+
++++=
n
B
không là
số nguyên.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
14
H ớNG DẫN :
Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho 3
k
không vợt quá 2n + 1. Chọn
mẫu chung là 3
k
. B
1
(B
1
là tích các số nguyên tố khác 3 không vợt
quá 2n + 1 ) chỉ có một thừa số phụ duy nhất của phân thức
k3
1
không chia hết cho 3, còn mọi thừa số phụ khác đều chia hết
cho 3 Sau khi qua đồng mẫu ta mẫu chia hết cho 3, tử không
chia hết cho 3. B Z (đpcm).
III. H ớng dẫn học ở nhà :
* Chứng minh biểu thức:
))((
14
))((
14
))((
14
222
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
A
+
+
=
không phụ thuộc vào giá trị của biến.
H ớNG DẫN :
+
+
+
+
=
))((
1
))((
1
))((
1
))(())(())((
222
yzxzxyzyzxyxyzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
A
= 4 ( đpcm).
* Tính
))((
))((
))((
))((
))((
))((
abcb
cxcx
caba
cxbx
bcac
bxax
B
+
+
=
H ớNG DẫN :
B là đa thức bậc 2 biến x B -1 là đa thức bậc 2 biến x.
Mà B -1 nhận x = a; x = b; x = c là 3 nghiệm phân biệt B -1 là
đa thức 0
B = 1.
* Cho x.y.z = a. Tính
aazxz
az
yyz
y
axxy
x
A
++
+
++
+
++
=
1
H ớNG DẫN :
Giả thiết suy ra:
1
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
xyax
a
xxya
xy
axxy
x
xyzazxz
az
xxyxyz
xy
axxy
x
A
* Cho abc=1;
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
222
222
++=++
Chứng minh trong a, b, c có 1 số bằng bình phơng của số
còn lại.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
15
H ớNG DẫN :
Cách 1: Đặt
++=++
=
===
zyx
zyx
zyx
z
a
c
y
c
b
x
b
a
111
1
;;
222
x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 đpcm.
Cách 2: giả thiết
0))()((
222
=
bcabca
đpcm.
Ngày tháng năm 2006
: phơng trình ax + b = 0
A. Mục tiêu:
- HS nắm vững các khái niệm mở đầu về phơng trình nh
nghiệm của phơng trình, giải phơng trình, phơng trình tơng
đơng, phép biến đổi tơng đơng phơng trình, phơng trình
bậc nhất một ẩn, cách giải phơng trình a.x + b = 0
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn
đạt các dạng toán nh chứng minh hai phơng trình tơng đơng,
tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng, giải phơng
trình.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
- HS: Ôn tập về các khái niệm mở đầu về phơng trình nh
nghiệm của phơng trình, giải phơng trình, phơng trình tơng
đơng, phép biến đổi tơng đơng phơng trình, phơng trình
bậc nhất một ẩn, cách giải phơng trình a.x + b = 0
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết: (GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét,
bổ sung, GV uốn nắn, củng cố và hệ thống lại kiến thức)
I.1 M ở đầu về ph ơng trình :
1. Định nghĩa phơng trình một ẩn:
- H? Nêu định nghĩa phơng trình một ẩn.
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
16
- Trả lời: phơng trình một ẩn là phơng trình có dạng A(x) =
B(x) trong đó vế trái Ax) và vế phải B(x) là hai biểu thức của
cùng một biến x.
2. Định nghĩa nghịêm của phơng trình:
- H? Nghịêm của phơng trình là gì?
- Trả lời: Nghịêm của phơng trình là gía trị của biến mà tại
đó gía trị của hai vế bằng nhau.
. Chú ý: Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một
phơng trình. Phơng trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy
nhất của nó.
- Nghịêm kép: Hai nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm kép.
- Nghiệm bội k: k nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm bội k.
. Số nghiệm của phơng trình:
- H? Một phơng trình có thể có bao nhiêu nghiệm.
- Trả lời: Một phơng trình có thể có một nghịêm, hai
nghiệm, ba nghiệm,nhng cũng có thể không có nghiệm
nào. Phơng trình không có nghiệm nào gọi là phơng trình
vô nghiệm.
. Tập nghiệm của phơng trình:
- H? tập nghiệm của phơng trình là gì.
- Trả lời: Tập hợp tất cả các nghiệm của một phơng trình gọi
là tập nghiệm của phơng trình đó và thờng kí hiệu bởi S.
3. Giải phơng trình:
- H? Giải phơng trình là gì?
- Trả lời: Giải phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (hay
tìm tập nghiệm) của phơng trình đó.
4. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng:
- H? Nêu định nghĩa hai phơng trình tơng đơng.
- Trả lời: hai phơng trình tơng đơng là hai phơng trình có
cùng tập nghịêm.
Để chỉ hai phơng trình tơng đơng ta dùng kí hiệu
5. Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng phơng
trình:
- H? Nêu định nghĩa phép biến đổi tơng đơng phơng
trình
- Trả lời: Phép biến đổi tơng đơng phơng trình là phép
biến đổi từ một phơng trình thành một phơng trình tơng
đơng với nó.
6. Các phép biến đổi tơng đơng phơng trình:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
17
a. Qui tắc chuyển vế:
- H? Nêu qui tắc chuyển vế.
- Trả lời: Trong một phơng trình, ta có thể chuyển một hạng
tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b. Qui tắc nhân với một số (qui tắc nhân):
- H? Nêu qui tắc nhân với một số.
- Trả lời: Trong một phơng trình, ta có thể nhân cả hai vế
với cùng một số khác 0.
.Cũng có thể phát biểu qui tắc nhân nh sau: Trong một ph-
ơng trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác 0.
7. Định nghĩa phơng trình hệ quả: phơng trình (2) gọi
là hệ quả của phơng trình (1) khi mọi nghiệm của phơng
trình (1) đều là nghiệm của phơng trình (2)
8. Định nghĩa phép biến đổi hệ quả : là phép biến
đổi từ một phơng trình thành một phơng trình hệ quả của
nó.
9. Các phép biến đổi hệ quả:
a. Nhân cả hai vế của phơng trình với cùng một đa thức của
ẩn ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho.
b. Bình phơng (hay nâng cả hai vế lên luỹ thừa bậc chẵn)
ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho.
I.2. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa:
- H? Nêu phơng trình bậc nhất một ẩn.
- Trả lời: Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã
cho và a
0 gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn.
b. Cách giải phơng trình bậc nhất một ẩn:
- H? Nêu cách giải phơng trình bậc nhất một ẩn.
- Trả lời: Từ một phơng trình, dùng qui tắc chuyển vế hay
qui tắc nhân, ta luôn nhận đợc một phơng trình mới tơng
đơng với phơng trình đã cho.
. ax + b = 0
ax = - b
x = -
I.3. Cách giải ph ơng trình ax + b = 0
- Nếu a = b = 0 thì phơng trình nghịêm đúng với mọi x
- Nếu a = 0; b
0 thì phơng trình vô nghịêm.
II. Bài tập:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
18
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm
tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần
cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa
bài, chốt cách làm.
Chứng minh các phơng trình sau vô nghiệm
1.2x + 5 = 2 (x - 1)
2.= 0
3. 3x
2
+ 2
x
+ 1 = 0
H ớng dẫn:
Không có gía trị nào của x để gía trị của hai vế trong mỗi
phơng trình bằng nhau.
Chứng minh các phơng trình sau có vô số nghiệm
1. (x + 2)
2
= x (x + 4) + 4
2. y
2
- 2y = (y - 1)
2
- 1
H ớng dẫn:
Hai vế có gía trị bằng nhau tại mọi gía trị của biến.
Lập phơng trình có nghiệm là a) 3; b) -5; c) 1/2; d) -1
và 3
H ớng dẫn:
a) x - 3 = 0
b) x + 5 = 0
c) 2x - 1 = 0
d) (x + 1) (x - 3) = 0
Các cặp phơng trình sau có tơng đơng không?
a) x = 2 và x
2
= 4
b) 3x
2
+ 4 = 0 và
5x
= -3
c) x
2
+ x + = 0 và 6x + 3 = 0
d) x + 3 = 0 và (x + 3) (x
2
+ 2) = 0
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
19
H ớng dẫn:
a) Không; b) Có; c) Có; d) Có
(Dựa vào định nghĩa hai phơng trình tơng đơng)
Phơng trình sau là phơng trình bậc nhất một ẩn
A. 1 - 2y = 0 B. x
2
+ x = 0
C. 3x = 0 D. 0x
+ 0,5 = 0
E. 2x + 5y = 0 F. mx + 4 = 0
Câu nào đúng?
1.Chỉ có câu A là đúng.
2.Không có đáp án nào đúng.
3.A và C đúng.
H ớng dẫn:
Câu 3 đúng
Giải phơng trình: {[(x - 3) - 3] - 3} - 3 = 0(1)
H ớng dẫn:
(1)
x = 90
* Giải phơng trình: a
2
x + b = a (x + b) (1)
H ớng dẫn:
(1)
a (a - 1) x = (a - 1) b
Nếu a = b = 0 hoặc a = 1 thì phơng trình (1) nghịêm
đúng với mọi x
Nếu a = b
0 thì phơng trình (1) vô nghịêm
Nếu a
0; a
1 thì phơng trình (1) có một nghiệm x =
Tìm m để phơng trình: 5 (m + 3) (x + 1) - 4 (1 + 2x)
= 80 (1)
có nghiệm x = 2
H ớng dẫn:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
20
Thay x = 2 vào phơng trình ta tìm đợc m = 2/3
*Tìm m, n để phơng trình: a) 5 (x - 2m) = 12 (1 + mx)
(1)
b) - = 1 - (2)
có nghiệm duy nhất.
H ớng dẫn:
a) (1)
(5 - 2m) x = 12 + 10m
nên (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 5 - 13m
0
m
5/12
b) m
0; n
0; m
n
Tìm a để hai phơng trình sau tơng đơng:
a) (x + a) (a + 1) + (x - a) (a - 1) = 12 (1) và = (2)
b) + 1 = a và - = 2
H ớng dẫn:
a) (2)
x = 1 nên để hai phơng trình tơng đơng thì ph-
ơng trình (1) phảicó nghiệm duy nhất là x = 1
Để x = 1 là nghiệm của phơng trình (1) thì a = 3.
Khi a = 3 thì (1)
(3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12
phơng trình này có nghiệm duy nhất.
Vậy, hai phơng trình tơng đơng khi và chỉ khi a = 3
b) Đáp số: a = 4,5
Giải phơng trình: + = + (1)
H ớng dẫn:
(1)
( + 1) + (+ 1) = (+ 1) + (+ 1)
(x + 2010) (+ - - ) = 0
x = - 2010
Giải phơng trình: + + + + 4 = 0(1)
H ớng dẫn:
(1)
(+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) = 0
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
21
(416 - x) (+ + + ) = 0
x = 416
III. H ớng dẫn học ở nhà:
Giải phơng trình: - = - (1)
H ớng dẫn:
(1)
(+ 1) + ( + 1) - (+ 1) - (+ 1) = 0
x = -110
Giải phơng trình: + = + (1)
H ớng dẫn:
(1)
(- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0
x = 28
**************************************
Ngày tháng năm 2006
Tiết : phơng trình bậc cao
A. Mục tiêu:
- HS nắm vững các cách giải phơng trình bậc cao.
- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn
đạt dạng toán giải phơng trình bậc cao.
- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS.
B. Chuẩn bị:
- GV: + Giáo án.
+ Bảng phụ.
- HS: Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử, các cách
giải phơng trình bậc cao.
C. tiến trình dạy học:
I. Lí thuyết :
(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV
uốn nắn, củng cố và hệ thống lại kiến thức)
- H? Các cách giải phơng trình bậc cao:
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
22
- Trả lời:
. Cách 1: Đa về phơng trình tích rồi giải:
A(x) B(x) = 0
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
. Cách 2: Đặt ẩn phụ.
. Cách 3: Nhận xét gía trị hai vế.
II. Bài tập:
Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm
tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần
cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa
bài, chốt cách làm.
Giải phơng trình: x (3x - 7) = (1)
H ớng dẫn:
(1)
x (3x - 7) - (3x - 7) = 0
(x - 1) (3x - 7) = 0
S = {1; }
Giải phơng trình: x
2
- x - 6 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
(x - 3) (x + 2) = 0
S = {3; -2}
Giải phơng trình: 20x
2
- 9x + 1 = 0 (1
H ớng dẫn:
(1)
20x
2
- 5x - 4x + 1 = 0
5x(4x - 1) - (4x - 1) = 0
(4x - 1) (5x - 1) = 0
S = {; }
Giải phơng trình: 15x
2
+2x - 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
15x
2
+ 5x - 3x - 1 = 0
5x(3x + 1) - (3x + 1) = 0
(5x - 1) (3x + 1) = 0
S = {; - }
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
23
Giải phơng trình: x
2
+x + 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
(x + 0,5)
2
+ 0,75 = 0
Phơng trình vô nghiệm.
Giải phơng trình: 24x
-9x
2
- 18= 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
9x
2
- 24x + 18 = 0
(3x - 4)
2
+ 2 = 0
S =
Giải phơng trình: (x - 3) (x - 5) + 4 = 0
H ớng dẫn:
(1)
x
2
- 8x + 19 = 0
(x - 4)
2
+ 3 = 0
Nhận xét: Gía trị của vế trái luôn dơng với mọi x.
Phơng trình vô nghiệm.
Giải phơng trình: x (x - 6) + 10= 0
H ớng dẫn:
(1)
x
2
- 6x + 9 + 1 = 0
(x - 3)
2
+ 1= 0
Phơng trình vô nghiệm.
*Giải phơng trình: 6ax
2
+ 4ax - 9x - 6 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
(2ax - 3) (3x + 2) = 0
Nếu a = 0 thì S = {- }
Nếu a
0 thì S = {- ; }
Giải phơng trình: (x
2
+ x)
2
= 12 - 4(x
2
+ x) (1)
H ớng dẫn:
Đặt x
2
+ x = y ta đợc y
2
+ 4y - 12 = 0
y = - 6 hoặc y = 2
x
2
+ x + 6 = 0 hoặc x
2
+ x - 2 = 0
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
24
Giải phơng trình: (x
2
- 4x)
2
+ 2(x - 2)
2
= 43 (1)
H ớng dẫn:
Đặt x
2
- 4x = y ta đợc y
2
+ 2y - 35 = 0
y = - 7 hoặc y = 5
x
2
- 4x + 7 = 0 hoặc x
2
- 4x - 5 = 0
S = {- 1; 5}
*Giải phơng trình: (x
2
- 1)
2
= 4x + 1 (1
H ớng dẫn:
(1)
(x
2
- 1)
2
+ 4x
2
= 4x
2
+ 4x + 1
(x
2
+ 1)
2
- (2x + 1)
2
= 0
(x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x) = 0
x (x - 2) = 0
S = {0; 2}
*Giải phơng trình: (x
2
- 4)
2
= 8x + 1 (1)
H ớng dẫn:
(1)
(x
2
- 4)
2
+ 16x
2
= 16x
2
+ 8x + 1
S = {1; 3}
*Giải phơng trình: (y
2
- 1993)
2
- 7972y - 1 = 0 (1)
H ớng dẫn:
(1)
1994
1992
y
y
=
=
*Giải phơng trình: x
4
= 24x + 32 (1)
H ớng dẫn:
Thêm 4x
2
vào hai vế ta đợc (x
2
+ 2)
2
= (2x + 6)
2
Phơng trình vô nghiệm.
*Giải phơng trình: (x
2
- y)
2
= 4xy + 1 (1)
H ớng dẫn:
(1)
(x
2
- y)
2
+ 4x
2
y
2
= 4xy + 1+ 4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
2
- (2xy + 1)
2
= 0
1
1
x y
x y
= +
=
III . H ớng dẫn học ở nhà :
GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê
Thánh Tông
25
