2023 chuyen de luyen thi lớp 10 mon toan phần 1

CHUYÊN ĐỀ VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN 9
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc hai số học
 Căn bậc hai số học của số thực a khơng âm là số khơng âm x mà
 Với

.

Phép tốn tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương.
Với hai số a, b không âm, thì ta có:

.

2. Căn thức bậc hai
 Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi
là căn thức bậc hai của A,
còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

xác định (hay có nghĩa) khi
.
 Hằng đẳng thức
3. Chú ý
 Với

.

thì:
.



.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà khơng dùng máy tính.
a)
c)

và 3;

b)
và

;

d)

và

;
và 2.


Giải
Tìm cách giải. Khi so sánh hai số

và

khơng dùng số máy tính, ta có thể:

 So sánh a và b
 So sánh
và
 Sử dụng kĩ thuật làm trội.
Trình bày lời giải
a) Ta có

nên

.

b) Xét
vì

nên

c)

,
suy ra

.

d) Ta có

.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
a)

;

b)

;

c)

.
Giải

Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:


có nghĩa khi


có nghĩa khi
Trình bày lời giải
a)
b)

có nghĩa khi
có nghĩa khi

.
và

.

c)

có nghĩa khi

và

.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
a)

;

b)

với
Giải

Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:
và lưu ý:
Trình bày lời giải
a) Ta có

.
b)

với

.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a)
b)

;
;

c)

.
Giải


a) Ta có:

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi

.

b) Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là

khi

.

c) Ta có:

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.
Khi

.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)

;

b)

.
Giải

Tìm cách giải. Thống nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối, ta sử dụng:


Trình bày lời giải
a) Ta có:

và
. Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi

hay

.

b) Ta có:

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi
Ví dụ 6: Cho

và

là các số hữu tỉ thỏa mãn

biểu thức

tức là

.

. Chứng minh rằng

là một số hữu tỉ.
Giải

 Ta có:
 Tương tự, ta có:

Từ (1) ,(2), (3) suy ra
.
Vì a, b là các số hữu tỉ nên

cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ.

Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có
kết quả cũng là một số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho

là các số thực thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi
nghĩ tới là chúng ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình


phương. Với suy nghĩ ấy, cũng như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng
suy luận:
Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc.
Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra:
mỗi căn thức chỉ cịn một biến.

, dùng phương pháp thế, để

Trình bày lời giải
Cách 1. Thay

vào (1) ta có:

Vế trái:

.
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra:

(do

thay vào (1) ta được:

)

. Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
C. Bài tập vận dụng
1.1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
c)
e)

;

b)
;

d)
.
Hướng dẫn giải – đáp số

;
;


a) Điều kiện để A có nghĩa là

.

b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là
và

cùng dấu

Trường hợp 1.
Trường hợp 2.
Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là

.

c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:

Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:

.

d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:

Vậy với

thì biểu thức D có nghĩa.

e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:
vậy khơng tồn tại x để biểu thức E có nghĩa.
1.2. a) Cho
Chứng minh rằng:

khác 0 thỏa mãn

.
.


b) Tính giá trị biểu thức:
.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Xét:

.

Mà
.
b) Áp dụng câu a, ta có:
nên:
Suy ra:

.

Thay k lần lượt 2,3,…, 199, ta được:
.
1.3. Tìm các số

thỏa mãn đẳng thức:

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
Mà

Nên đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi

;

.


1.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi:

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi

.

1.5. Cho ba số dương

thỏa mãn điều kiện:

và

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số
Từ
Mà
Ta có:
Tương tự, ta có:
Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có:

.

.


.
1.6. Cho

.

Tính giá trị biểu thức:

.
Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

Vậy

.

1.7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)

;

b)

;

c)

.
Hướng dẫn giải – đáp số

a)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi

và

b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi

và

c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi

.

hay
.

.


1.8. Giải phương trình:

.
Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

.
1.9. Giải phương trình:
a)
b)

;
.
Hướng dẫn giải – đáp số

a)

Trường hợp 1: Xét

phương trình có dạng:
.

Trường hợp 2: Xét

phương trình có nghiệm:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

vơ nghiệm.

.

b)

Ta có:
Vậy vế trái

.

Do vậy vế trái bằng vế phải khi:
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là:

.

1.10. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

.

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

.
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi

.
.


Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI
PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với

thì:

và ngược lại

Đặc biệt, khi

, ta có:

2. Với

thì

.
và ngược lại

3. Bổ sung
 Với

thì:

 Với
thì:
 Với
thì:
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a)
b)

(dấu “=” xảy ra
(dấu “=” xảy ra

hoặc
hoặc

).
).

;
.
Giải

a)

.

b)

.
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

.
Giải

Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
và
nên ta dùng tính chất giao hốn và thực hiện phép tính.
Trình bày lời giải


.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:

.
Giải

Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng

Ta cần biến đổi:

ta chú ý tới hằng đẳng thức

, do vậy ta xác định x và y thơng qua

. Chẳng hạn:

.

Trình bày lời giải
.
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:
Giải
Tìm cách giải. Đề bài chưa xuất hiện dạng
Ta cần biến đổi bài toán về dạng

.
và giải theo cách trên.

Trình bày lời giải
Ta có:

.
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:
Giải


Tìm cách giải. Với những bài tốn có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt
số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng
đẳng thức

sau đó dùng hằng

và giải như các ví dụ trên.

Trình bày lời giải
Ta có

.

Suy ra

.

Ví dụ 6: Rút gọn:
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng

.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng
nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C.

ta thường tính

sau đó

Trình bày lời giải
Xét

. Vì
Ví dụ 7: Cho

thỏa mãn

nên

.
. Chứng minh rằng:

.


Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trị như nhau. Phân tích từ kết luận để
có
Dễ thấy

, chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử
có chứa nhân tử

.

, do vậy phần cịn lại để xuất hiện nhân tử

chúng ta vận dụng
từ đó suy ra:
Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện:

.

- Trường hợp 1: Xét

.

- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:

Vì

.

Ví dụ 8: Tính giá trị

với

.
Giải

Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài tốn sẽ
phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài tốn có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính
tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra:
Ta có:

;

.


Xét

Từ đó tính được:
Xét
Suy ra:
.
Ví dụ 9: Cho

. Chứng minh đẳng thức:

Giải
Đặt vế phải là:
Ta có

Xét

Vì

nên

.

Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 10: Cho các số thực

thỏa mãn:

Chứng minh rằng:
Giải


Đặt

từ giả thiết ta có:

Nhân hai vế với

ta được

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

ta được

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:

Xét

Vậy

. Điều phải chứng minh.

C. Bài tập vận dụng
2.1. Tính:
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

.

2.2. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
a)
b)

;
.


Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có

.
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có
.
Vậy B là số tự nhiên.
2.3. Rút gọn biểu thức:
a)
b)

;
.
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có:
.
b) Ta có

.

2.4. Rút gọn các biểu thức:

a)

;


b)

.
Hướng dẫn giải – đáp số

a)

.

b)

.
2.5. So sánh:
a)

;

b)

;

c)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có
Vậy
b) Ta có

.