Tin gvb định hướng giảng dạy giải thuật và lập trình về quay lui và quy hoạch động cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

…………

TÊN SÁNG KIẾN:

ĐỊNH HƯỚNG GIẢNG DẠY
GIẢI THUẬT VÀ LẬP TRÌNH VỀ
QUAY LUI VÀ QUY HOẠCH ĐỘNG CƠ BẢN

Lĩnh vực
: Tin học
Nhóm thực hiện : Nguyễn Ngọc Thành
Nguyễn Trung Quyết
Nguyễn Mạnh Cường
Vũ Thị Phương
Đơn vị công tác: Trường THPT Gia Viễn B

Gia Viễn, tháng 5 năm 2022


MỤC LỤC
I. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG...............................................1
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.....................................................................1
1. Giải pháp cũ thường làm.............................................................1
2. Giải pháp mới cải tiến..................................................................2
III. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI........................................................2
1. Hiệu quả kinh tế..........................................................................2
2. Hiệu quả xã hội............................................................................3
IV. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG................................................3
PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ..........................................................................4

1. Lí do chọn sáng kiến....................................................................4
2. Mục đích của sáng kiến...............................................................5
3. Phạm vi nghiên cứu.....................................................................5
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................5
PHẦN II - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ..............................................................6
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN................................................................................6
1. Phương pháp quay lui..................................................................6
2. Phương pháp quy hoạch động.....................................................7
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN...........................................................................8
III. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.........................................8
1. Thuật tốn quay lui......................................................................8
1.1. Xây dựng giải thuật...............................................................8
1.2. Mơ hình giải thuật.................................................................9
1.3. Một số ví dụ cơ bản...............................................................9
1.3.1. Dạng 1 - tìm tất cả các nghiệm......................................9
1.3.1.1. Liệt kê các dãy nhị phân độ dài N............................9
1.3.1.2. Liệt kê các tập con k phần tử.................................10
1.3.1.3. Bài tốn phân tích số..............................................12
1.3.2. Dạng 2 - tìm một nghiệm..............................................14
Bài tốn máy rút tiền tự động ATM.....................................14
1.3.3. Dạng 3 – Tìm nghiệm tối ưu thỏa mãn điều kiện..........18
1.3.3.1. Tiền khách sạn.......................................................18
1.3.3.2. Dãy số....................................................................20
1.3.3.3. Tổng mảng.............................................................22
2. Thuật toán quy hoạch động.......................................................24


2.1. Bài toán quy hoạch.............................................................24
2.2. Phương pháp quy hoạch động.............................................25
2.3. Một số ví dụ cơ bản.............................................................27

2.3.1. Bài tốn dãy con đơn điệu tăng dài nhất......................27
2.3.2. Dãy con có tổng chia hết cho K....................................30
2.3.3. Bài toán cái túi..............................................................33
2.3.4. Bài toán chia kẹo..........................................................37
2.3.5. Xâu con chung dài nhất................................................40
3. Bài tập đề nghị có hướng dẫn....................................................42
3.1. Bố trí phịng họp (mất tính thứ tự so với dãy ban đầu).......42
3.2. Cho thuê máy......................................................................42
3.3. Dãy tam giác bao nhau.......................................................42
3.4. Dãy đổi dấu.........................................................................43
3.5. Dãy số WAVIO.....................................................................43
3.6. Xếp các khối đá...................................................................43
3.7. Market (Olympic Balkan 2000)............................................44
3.8. Điền dấu..............................................................................44
3.9. Expression...........................................................................44
3.10. Farmer (IOI 2004)..............................................................45
3.11. Biến đổi xâu......................................................................45
3.12. Bắc cầu.............................................................................46
3.13. Palindrome (IOI 2000).......................................................46
3.14. Đổi tiền..............................................................................47
3.15. Nhân ma trận....................................................................47
3.16. Chia đa giác......................................................................49
3.17. Biểu thức số học (IOI 1999)...............................................49
3.18. Ghép cặp...........................................................................49
3.19. Câu lạc bộ.........................................................................50
3.20. Mua giày (Đề QG bảng B năm 2003)................................50
3.21. Di chuyển..........................................................................51
3.22. Tam giác (IOI 1994)...........................................................51
KẾT LUẬN..........................................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................53

1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành
Chúng tơi ghi tên dưới đây:

STT

Họ và tên

Ngày
tháng
năm
sinh

1

Nguyễn Ngọc
Thành

10/6/19
82

2

Nguyễn Mạnh

Cường

17/7/19
84

3

Nguyễn Trung
Quyết

22/8/19
87

4

Vũ Thị Phương

12/2/19
89

Nơi
công
tác

THPT
Gia Viễn
B
THPT
Gia Viễn
B

THPT
Gia Viễn
B
THPT
Gia Viễn
B

Chức
vụ

Trình
độ
chuy
ên
mơn

Tỷ lệ
(%)
đóng
góp
vào
việc
tạo ra
sáng
kiến

Tổ phó
chun
mơn

Đại
học

25%

Giáo
viên

Thạc
sĩ

25%

Giáo
viên

Đại
học

25%

Giáo
viên

Đại
học

25%

I. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG

- Tên sáng kiến: “Định hướng giảng dạy giải thuật và lập trình về quay
lui và quy hoạch động cơ bản”
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy HSG bộ môn tin học THPT
II. NỘI DUNG
1. Giải pháp cũ thường làm
Khi dạy HSG giáo viên thường sẽ phát triển kiến thức, kỹ năng
của học sinh thông qua các bước như:
- Xác định mức độ kiến thức của HS
- Củng cố, rèn luyện lại kiến thức, kỹ năng cơ bản xác định bài
toán cho học sinh


2

- Giải các bài toán cơ bản làm nền tảng, xây dựng kỹ năng làm
bài cho học sinh
Trong quá trình giảng dạy có những bước giáo viên mất rất ít
thời gian, nhưng cũng có những bước mà thời gian là rất nhiều. Đặc
biệt là bước tiến hành dạy nâng cao để tăng tính tư duy, vận dụng
các kiến thức cơ bản để làm các bài tốn khó thì đây là bước vô cùng
quan trọng và chiếm nhiều thời gian nhất. Có thể khẳng đinh đây
chính là bước để xác định việc học sinh có thể tiếp thu và đạt được
kết quả cao trong kì thi chọn HSG hay khơng?
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy nâng cao đại đa số giáo
viên chú trọng đến việc giảng dạy kiến thức nền tảng giải thuật rất
ít, giáo viên chỉ dạy lướt qua rồi cho học sinh làm bài để rèn luyện kĩ
năng và vận dụng những kiến thức có bản để giải quyết bài tốn, mà
thường ít chú ý rằng những bài tốn đó có cách giải dễ dàng hơn rất
nhiều bằng các thuật tốn cơ bản thay vì chỉ tư duy đơn giản để làm
bài.

Vì vậy sau nhiều năm dạy HSG bằng thực nghiệm tại trường
thpt gia viễn b chúng tôi nhận thây các bước dạy HSG có một số
điểm chưa đạt được u cầu của BHG, tổ, nhóm chun mơn đề ra
như:
Thứ nhất: Việc dạy HSG thường theo kinh nghiệm nhiều năm
dạy HSG của những giáo viên lâu năm, hoặc là vừa dạy vừa tìm hiểu
đối với những giáo viên mới dạy hoặc cịn ít kinh nghiệm.
Thứ hai: Việc dạy HSG như thế làm giáo viên “lười” tìm hiểu
kiến thức, kỹ năng rèn luyện bản thân, trau dồi kiến thức cho minh.
Thứ ba: Học sinh không hiểu sâu rộng về lập trình, gặp bài tốn
là giải ngay mà ít chịu tư duy suy nghĩ. Tìm phương án tối ưu để giải
quyết bài tốn.
Thứ tư: Kết quả dạy HSG sẽ khơng đạt được kết quả cao. Không
tạo được động lực để hs lớp sau u thích, say mệ mơn tin cũng như
u thích và say mê lập trình. Từ đó tạo cảm giác “sợ hãi” với những
học sinh khác.
Thứ năm: Không có một phương án thống nhất, một hệ thống
kiến thức, bài tập xuyên suốt để giáo viên dạy HSG.
2. Giải pháp mới cải tiến
Sau nhiều năm cùng nhau giảng dạy HSG chúng tôi nhận thấy
rằng để giải quyết được vấn đề trên thì cần phải có được hệ thống
kiến thức và bài tập cơ bản về dạy học nâng cao cho HSG. Trong hệ
thống kiến thức và bài tập cơ bản đó thì có 2 phần vơ cùng quan


3

trọng mà tất cả các đề thi HSG môn tin của huyện, của tỉnh về thi
HSG, thi tin học trẻ đề có đó là 2 giải thuật và lập trình về quay lui và
quy hoạch động

Do đó chúng tơi làm sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Giải thuật
lập trình về quay lui và quy hoạch động cơ bản”.
III. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI
1. Hiệu quả kinh tế
Thứ nhất, xét về mặt thời gian: Để biên soạn một chủ đề hoặc
một chuyên đề dạy học thì giáo viên sẽ phải mất rất nhiều thời gian
tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham
khảo. Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để luyện thì cũng phải
tìm kiếm trong nhiều tài liệu rồi hệ thống lại. Điều này cũng sẽ mất
rất nhiều thời gian. Trong khi đó, giáo viên và học sinh có thể sử
dụng ngay tài liệu này để học cũng như sử dụng trong việc ôn thi học
sinh giỏi. Nếu cần thì giáo viên chỉ cần bổ sung hàng năm để có được
tài liệu phong phú về bài tập cho riêng mình.
Thứ hai, xét về tài chính: Để viết nên tài liệu này, không kể tài
liệu sách giáo khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), giáo viên sẽ
mất rất nhiều giờ truy cập internet, và nhiều giờ để nghĩ ra các bài
toán. Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần phô tô hoặc in tài
liệu này với giá khơng q 10.000 đồng. Nếu tính về hiệu quả kinh tế
sẽ tiết kiệm rất nhiều, vì với tài liệu này ta sẽ cịn duy trì trong nhiều
năm tiếp theo nữa.
2. Hiệu quả xã hội
Sáng kiến không chỉ giúp giải quyết cho vấn đề đổi mới phương
pháp dạy học sinh giỏi theo hướng tích cực chủ động mà cịn trang bị
cho giáo viên cũng như các em hs một nền tảng kiến thức tốt về các
dạng bài tập quay lui, quy hoạch động thường gặp. Từ đó nâng cao
kiến thức, kỹ năng cho giáo viên, nâng cao chất lượng đội tuyển HSG
hàng năm. Đặc biệt tạo một môi trường tốt để có những đội tuyển
HSG kế tiếp cho mơn tin và cho nhà trường.
Bên cạnh đó sáng kiến cịn có thể dùng làm tài liệu tham khảo
tốt cho giáo viên, học sinh u thích với mơn học lập trình, sử dụng

cho q trình ơn thi học sinh giỏi.
IV. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Để áp dụng được sáng kiến này thì mỗi nhà trường cần xây
dựng một kế hoạch dạy học hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh
của trường mình.
Qua thực nghiệm và tiến hành áp dụng trong các năm học đã


4

qua, tài liệu rất hữu ích trong cơng tác giảng dạy của giáo viên. Đồng
thời, nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập bộ môn tin học 11,
tạo được hứng thú học tập và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học
cho học sinh. Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng rộng rãi trong nhà
trường nói riêng và tồn tỉnh nói chung.
Chúng tơi xin cam đoan mọi thơng tin nêu trong đơn là trung
thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Gia Viễn, ngày 11 tháng 05 năm
XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO
2022
ĐƠN VỊ CƠ SỞ
Người nộp đơn
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Mạnh Cường


5

PHỤ LỤC

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn sáng kiến
Trong những năm gần đây vấn đề đổi mới căn bản và toàn diện
nền giáo dục đã trở thành một vấn đề khơng chỉ riêng ngành giáo
dục mà tồn xã hội quan tâm, đổi mới để đáp ứng với nhu cầu thực
tiễn xã hội ngày nay. Một trong những sự thay đổi đó là thay đổi
phương pháp dạy học từ phương pháp dạy học truyền thống sang
phương pháp dạy học tích cực, từ người giáo viên là trung tâm của
mọi hoạt động thì giờ đây với phương pháp dạy học tích cực học sinh
trở thành trung tâm của các hoạt động, từ tiếp thu thụ động sang
chủ động, tư duy, sáng tạo; giáo viên chỉ là người định hướng và hỗ
trợ. Đây là một phương pháp đã được áp dụng rất thành công ở rất
nhiều nước tiên tiến trên thế giới. Để làm được điều này người thầy
cần phải thiết kế những bài giảng, những chuyên đề cho phù hợp với
nội dung kiến thức; phương pháp, phương tiện dạy học phù hợp với
từng đối tượng học sinh là một điều hết sức cấp thiết. Để qua mỗi
phần học, tiết học học sinh thích thú với kiến thức mới, qua đó hiểu
được kiến thức đã học trên lớp, đồng thời học sinh thấy được tầm
quan trọng của vấn đề và việc ứng dụng của kiến thức trước hết để
đáp ứng những u cầu của mơn học, sau đó là việc ứng dụng của
nó vào các cơng việc thực tiễn trong đời sống xã hội.
Bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc khó khăn, địi hỏi nhiều
cơng sức của giáo viên và học sinh. Đây là nhiệm vụ nặng nề nhưng
cũng rất vinh dự cho giáo viên tham gia bồi dưỡng, việc phát triển
bồi dưỡng học sinh giỏi góp phần đào tạo nhân tài cho đất nước được
xem là nhiệm vụ cần thiết và quan trọng.
Trường THPT Gia Viễn B thi học sinh giỏi môn tin từ năm 2008
đến nay cũng có được một số kinh nghiệm trong việc bồi dưỡng HSG.
Tuy nhiên, các tài liệu nghiên cứu và bàn sâu về bồi dưỡng học sinh
giỏi môn tin học hiện nay đã có nhiều sách vở và trên mạng, nhưng

chưa phù hợp với đa số giáo viên, hệ thống bài tập không phong phú
đa dạng. Mặt khác môn tin học thường bị xem là mơn phụ. Vì vậy,
khi chọn đội tuyển học sinh giỏi cịn gặp nhiều khó khăn (cả về chất
lượng và số lượng học sinh tham gia), tài liệu ôn luyện đều do giáo
viên tự mày mò, nghiên cứu.
Trong suốt những năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng
tơi cũng đã có được một số thành cơng nhưng cũng có nhiều thất
bại. Chúng tơi ln trăn trở: Làm thế nào để các em lĩnh hội tốt các
kiến thức ôn luyện? Làm thế nào để kết quả đạt được tốt nhất? Làm
thế nào để mang lại thành tích cho các em và mang lại vinh dự cho


6

nhà trường? Vì vậy trong quá trình bồi dưỡng, chúng tơi ln cố gắng
tìm hiểu nội dung cơ bản và nâng cao, tìm ra phương pháp tối ưu để
cho cơng tác bồi dưỡng có hiệu quả nhất phù hợp với đầu vào của
học sinh. Bằng tất cả nỗ lực của từng cá nhân, của nhóm, qua tìm
tịi, trao đổi và thảo luận với các đồng nghiệp trong và ngoài nhà
trường, chúng tôi xin mạnh dạn chia sẻ với các đồng nghiệp về đề tài
“Giải thuật lập trình về quay lui và quy hoạch động cơ bản” để làm
tài liệu cho chính chúng tơi giảng dạy trong nhà trường và cũng
mong muốn góp một phần nhỏ vào cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi
của nhà trường, để đội ngũ học sinh giỏi của trường ngày càng đạt
kết quả cao hơn. Mặt khác làm tài liệu để các đồng nghiệp khác có
thể tham khảo, cùng nhau góp ý, chia sẻ, áp dụng để công tác gia
bồi dưỡng học sinh giỏi ngày càng có chất lượng tốt hơn
2. Mục đích của sáng kiến
Ngồi việc giúp cho học sinh tiếp cận dễ dàng hiểu về quay lui
và quy hoạch động cơ bản thì sáng kiến còn xây dựng hệ thống các

dạng bài tập thường gặp để ôn luyện cho học sinh dự thi các kỳ thi
học sinh giỏi môn tin học.
3. Phạm vi nghiên cứu
Sáng kiến tập trung nghiên cứu nội dung quay lui và quy hoạch
động cơ bản theo yêu cầu chuẩn của đề thi học sinh giỏi môn tin của
trường THPT Gia Viễn B và của tỉnh Ninh Bình.
4. Phương pháp nghiên cứu
a) Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu về các tài liệu đề cập đến quay
lui , quy hoạch động cơ bản
b) Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu về cách giảng dạy nội dung
quay lui , quy hoạch động.
c) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá
tính khả thi, tính hiệu quả và tính phổ dụng của sáng kiến. Đồng thời,
cũng nhằm hoàn thiện về mặt nội dung và lý luận trong sáng kiến.


7

PHẦN II - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Phương pháp quay lui
Quay lui là một trong những kỹ thuật quan trọng vì nó cho
phép giải một lớp các bài tốn khá lớn có dạng tổng qt như:
- Tìm một (hoặc tất cả) bộ nghiệm (x1, x2,…, xn) thỏa mãn điều
kiện F nào đó, trong đó các thành phần xi được chọn từ tập hữu hạn
Di với mọi i=1, 2, …, n
Tư tưởng của phương pháp quay lui như sau:
- Ta xây dựng bộ nghiệm từng bước, bắt đầu từ thành phần
nghiệm x1 được chọn trong các giá trị có thể S1 = D1.
- Giả sử đã chọn được các thành phần x 1, x2, …, xi-1, từ các điều

kiện của bài toán ta sẽ xác định được tập S i gồm các giá trị được
chọn cho thành phần nghiệm x i. Tập Si là tập con của Di và phụ
thuộc vào các thành phần x1, x2, …, xi-1 đã chọn. Chọn một phần tử
xi thuộc Si như một thành phần của bộ nghiệm. Từ bộ (x 1, x2, …, xi)
lặp lại quá trình trên để tiếp tục mở rộng nghiệm cho thành phần
xi+1. Nếu không chọn được thành phần nào của x i+1 (do Si+1 rỗng) thì
ta quay lại chọn một phần tử khác của S i làm thành phần nghiệm
xi (ý nghĩa của quay lui là ở bước này).
- Trong quá trình mở rộng nghiệm ta ln kiểm tra nghiệm
thành phần có phải là nghiệm của bài tốn hay khơng. Nếu chỉ cần
một nghiệm thì ta dừng lại, nếu cần tìm tất cả các nghiệm thì quá
trình tìm nghiệm chỉ dừng khi tất cả các khả năng chọn các thành
phần nghiệm đã thỏa mãn.
Quay lui là một trong các phương pháp trong đó các giá trị
nghiệm được chọn không thực hiện được bằng cách duyệt tuyến tính.
Điểm tốt của thuật tốn quay lui so với tuyến tính là hạn chế bớt các
nhánh phải duyệt mà theo những nhánh đó khơng tìm được lời giải
thể hiện ở việc xây dựng các tập giá trị có thể S i khi tìm thành phần
nghiệm xi và quay lui khi không mở rộng thành phần nghiệm xi+1.
Tuy nhiên hạn chế của phương pháp này là phải duyệt qua
nhiều khả năng nên độ phức tạp của chương trình thường ở mức giai
thừa hay hàm mũ nên tốc độ tính tốn khá lâu trong trường hợp kích
thước của dữ liệu vào khá lớn. Để khắc phục hạn chế này người ta
tìm cách hạn chế các khả năng không đưa đến kết quả bằng phương
pháp nhánh cận, tuy nhiên lớp bài toán dùng được phương pháp này
không nhiều.


8

Đa số các bài toán sử dụng phương pháp duyệt đệ quy để xét
hết mọi khả năng có thể có nghiệm theo nguyên tắc “thử sai” và
quay lui. Về tư tưởng, các thuật toán rất đơn giản nhưng ứng
dụng vào việc giải các bài tốn cần có những kỹ thuật nhất định.
Để giải bài toán bằng thuật toán quay lui cần thực hiện
các cơng việc quan trọng sau:
- Tìm cách biểu diễn nghiệm của bài toán dưới dạng một dãy
các đối tượng được chọn dần từng bước (x1, x2, …, xn).
- Xác định được tập Si các khả năng được chọn làm thành phần
thứ i của nghiệm. Chọn cách thích hợp để biểu diễn Si.
- Tìm các điều kiện để các nghiệm đã chọn là các nghiệm của
bài toán.
Một số lưu ý khi xây dựng thuật toán quay lui:
- Phải duyệt qua mọi phương án của bài tốn có thể chứa
nghiệm.
- Tránh trường hợp duyệt trùng lặp các khả năng đã duyệt.
Thông thường ta thường dùng thủ tục đệ quy Try(i : Integer) để
chọn thành phần nghiệm xi.
Có ba dạng cơ bản trong các thuật tốn quay lui:
Dạng 1: Tìm tất cả các nghiệm.
Dạng 2: Tìm một nghiệm.
Dạng 3: Tìm nghiệm tối ưu thỏa mãn điều kiện.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này ta lần lượt xét cách giải các
dạng trên bằng phương pháp quay lui.
2. Phương pháp quy hoạch động
Quy hoạch động dùng để giải bài tốn tối ưu có bản chất đệ
quy, tức là việc tìm phương án tối ưu cho bài tốn đó có thể đưa về
tìm phương án tối ưu của một số hữu hạn các bài toán con. Ðối với
một số bài toán đệ quy, nguyên lý chia để trị (divide and conquer)
thường đóng vai trị chủ đạo trong việc thiết kế thuật toán. Ðể giải

quyết một bài tốn lớn, ta chia nó thành nhiều bài tốn con cùng
dạng với nó để có thể giải quyết độc lập. Trong phương án quy
hoạch động, nguyên lý chia để trị càng được thể hiện rõ: Khi không
biết phải giải quyết những bài toán con nào, ta sẽ đi giải quyết tồn
bộ các bài tốn con và lưu trữ những lời giải hay đáp số của chúng
với mục đích sử dụng lại theo một sự phối hợp nào đó để giải quyết
những bài tốn tổng qt hơn. Ðó chính là điểm khác nhau giữa Quy
hoạch động và phép phân giải đệ quy và cũng là nội dung phương
pháp quy hoạch động:


9

- Phép phân giải đệ quy bắt đầu từ bài toán lớn phân ra thành
nhiều bài toán con và đi giải từng bài tốn con đó. Việc giải từng bài
tốn con lại đưa về phép phân ra tiếp thành nhiều bài toán nhỏ hơn
và lại đi giải các bài toán nhỏ hơn đó bất kể nó đã được giải hay
chưa.
- Quy hoạch động bắt đầu từ việc giải tất cả các bài toán nhỏ
nhất (bài toán cơ sở) để từ đó từng bước giải quyết nhưng bài tốn
lớn hơn, cho tới khi giải được bài toán lớn nhất (bài toán ban đầu).
Trước khi áp dụng phương pháp quy hoạch động ta phải xét
xem phương pháp đó có thỏa mãn những u cầu dưới đây khơng:
Bài tốn lớn phải phân rã được thành nhiều bài toán con, mà sự
phối hợp lời giải của các bài tốn con đó cho ta lời giải của bài tốn
lớn.
Vì quy hoạch động là đi giải tất cả các bài tốn con, nên nếu
khơng đủ khơng gian vật lý lưu trữ lời giải (bộ nhớ, đĩa, …) để phối
hợp chúng thì phương pháp quy hoạch động cũng khơng thể thực
hiện được.

Q trình từ bài tốn cơ sở tìm ra lời giải bài tốn ban đầu phải
qua hữu hạn bước.
Các bước cài đặt một chương trình sử dụng quy hoạch động:
- Giải tất cả các bài toán cơ sở (thông thường rất dễ), lưu các lời
giải vào bảng phương án.
- Dùng công thức truy hồi phối hợp những lời giải của các bài
toán nhỏ đã lưu trong bảng phương án để tìm lời giải của các bài
tốn lớn hơn rồi lưu chúng vào bảng phương án. Cho tới khi bài tốn
ban đầu tìm được lời giải.
- Dựa vào bảng phương án, truy vết tìm ra nghiệm tối ưu.
Cho tới nay, vẫn chưa có một định lý nào cho biết một cách
chính xác những bài tốn nào có thể giải quyết hiệu quả bằng quy
hoạch động. Tuy nhiên để biết được bài tốn có thể giải bằng quy
hoạch động hay khơng, ta có thể đặt câu hỏi: “Một nghiệm tối ưu
của bài tốn lớn có phải là sự phối hợp các nghiệm tối ưu của
các bài toán con hay khơng?” và “Liệu có thể nào lưu trữ
được nghiệm các bài tốn con dưới một hình thức nào đó để
phối hợp tìm được ngiệm bài tốn lớn?”.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Gần một nửa các bài thi trong các cuộc thi code cần đến quy
hoạch động và quay lui . Tất nhiên, có những cách khác để giải bài
tốn đó. Nhưng vì các cuộc thi code đều có giới hạn về thời gian


10

(thường giới hạn thời gian 1s/test), cũng như bộ nhớ của chương
trình, nên một thuật tốn hiệu quả là cực kỳ cần thiết. Và trong
những trường hợp như vậy, quy hoạch động, quay lui vét can là một
trong những thuật toán xuất hiện nhiều nhất.

Thuật toán quy hoạch động, quay lui được ưa chuộng bởi vì ban
đầu, bài tốn có mn hình vạn trạng và bạn phải suy nghĩ rất nhiều
mới tìm ra được lời giải. Khơng có một cơng thức chuẩn mực nào áp
dụng được cho mọi bài toán. Bởi vì sự phổ biến của nó, học sinh bắt
buộc phải cực kỳ thuần thục 2 thuật toán này nếu muốn có kết quả
tốt trong các cuộc thi.
III. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thuật toán quay lui
1.1. Xây dựng giải thuật
Thuật toán quay lui dùng để giải bài tốn liệt kê các cấu hình.
Mỗi cấu hình được xây dựng bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi
phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các khả năng.
Giả sử cấu hình cần liệt kê có dạng x[1..n], khi đó thuật tốn
quay lui thực hiện qua các bước:
1) Xét tất cả các giá trị x[1] có thể nhận, thử cho x[1] nhận lần
lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x[1] ta sẽ:
2) Xét tất cả các giá trị x[2] có thể nhận, lại thử cho x[2] nhận
lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x[2] lại xét tiếp các
khả năng chọn x[3] … cứ tiếp tục như vậy đến bước:
…
n) Xét tất cả các giá trị x[n] có thể nhận, thử cho x[n] nhận lần
lượt các giá trị đó, thơng báo cấu hình tìm được 〈x[1], x[2], …, x[n]〉.
Trên phương diện quy nạp, có thể nói rằng thuật tốn quay lui
liệt kê các cấu hình n phần tử dạng x[1..n] bằng cách thử cho x[1]
nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi giá trị thử gán cho x[1] bài
tốn trở thành liệt kê tiếp cấu hình n - 1 phần tử x[2..n].
1.2. Mơ hình giải thuật
{Thủ tục này thử cho x[i] nhận lần lượt các giá trị mà nó có thể
nhận}
procedure Try(i: Integer);

begin
for 〈mọi giá trị V có thể gán cho x[i]〉 do
begin
〈Thử cho x[i] := V〉;
if 〈x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình〉 then


11

〈Thơng báo cấu hình tìm được〉
else
begin
〈Ghi nhận việc cho x[i] nhận giá trị V (nếu
cần)〉;
Try(i + 1); {Gọi đệ quy để chọn tiếp x[i+1]}
〈Nếu cần, bỏ ghi nhận việc thử x[i] := V để thử giá
trị khác〉;
end;
end;
end;
Thuật toán quay lui sẽ bắt đầu bằng lời gọi Try(1)
1.3. Một số ví dụ cơ bản
1.3.1. Dạng 1 - tìm tất cả các nghiệm
1.3.1.1. Liệt kê các dãy nhị phân độ dài N
Biểu diễn dãy nhị phân độ dài N dưới dạng x[1..n]. Ta sẽ liệt kê
các dãy này bằng cách thử dùng các giá trị {0, 1} gán cho x[i]. Với
mỗi giá trị thử gán cho x[i] lại thử các giá trị có thể gán cho x[i+1].
Chương trình liệt kê bằng thuật tốn quay lui có thể viết:
Liệt kê các dãy nhị phân độ dài n
Program BinaryStrings;

Const
InputFile = 'BSTR.INP';
OutputFile = 'BSTR.OUT';
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n: Integer;
f: Text;
{********************************}
procedure PrintResult; {In cấu hình tìm được, do thủ tục tìm đệ
quy Try gọi khi tìm ra một cấu hình}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write(f, x[i]);
WriteLn(f);
end;


12

{********************************}
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := 0 to 1 do {Xét các giá trị có thể gán cho x[i], với
mỗi giá trị đó}
begin
x[i] := j; {Thử đặt x[i]}

if i = n then PrintResult {Nếu i = n thì in kết quả}
else Try(i + 1); {Nếu i chưa phải là phần tử cuối thì
tìm tiếp x[i+1]}
end;
end;
{********************************}
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n); {Nhập dữ liệu}
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Try(1); {Thử các cách chọn giá trị x[1]}
Close(f);
end.
1.3.1.2. Liệt kê các tập con k phần tử
Để liệt kê các tập con k phần tử của tập S = {1, 2, …, n} ta có
thể đưa về liệt kê các cấu hình x[1..n], ở đây các x[i] ∈ S và x[1] <
x[2] < … < x[k]. Ta có nhận xét:
x[k] ≤ n
x[k-1] ≤ x[k] - 1 ≤ n - 1
…
x[i] ≤ n - k + i
…
x[1] ≤ n - k + 1.
Từ đó suy ra x[i-1] + 1 ≤ x[i] ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k) ở đây ta giả
thiết có thêm một số x[0] = 0 khi xét i = 1.
Như vậy ta sẽ xét tất cả các cách chọn x[1] từ 1 (=x[0] + 1)
đến n - k + 1, với mỗi giá trị đó, xét tiếp tất cả các cách chọn x[2] từ
x[1] +1 đến n - k + 2, … cứ như vậy khi chọn được đến x[k] thì ta có
một cấu hình cần liệt kê.

13

Liệt kê các tập con k phần tử
program Combination;
const
InputFile = 'SUBSET.INP';
OutputFile = 'SUBSET.OUT';
max = 30;
var
x: array[0..max] of Integer;
n, k: Integer;
f: Text;
{********************************}
procedure PrintResult; (*In ra tập con {x[1], x[2], …, x[k]}*)
var
i: Integer;
begin
Write(f, '{');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', ');
WriteLn(f, x[k], '}');
end;
{********************************}
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn giá trị cho x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do
begin

x[i] := j;
if i = k then PrintResult
else Try(i + 1);
end;
end;
{********************************}
begin
Assign(f, InputFile); Reset(F);
ReadLn(f, n, k);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
x[0] := 0;
Try(1);


14

Close(f);
end.
1.3.1.3. Bài tốn phân tích số
Bài tốn
Cho một số ngun dương n ≤ 30, hãy tìm tất cả các cách phân
tích số n thành tổng của các số nguyên dương, các cách phân tích là
hốn vị của nhau chỉ tính là 1 cách.
Cách làm:
Ta sẽ lưu nghiệm trong mảng x, ngồi ra có một mảng t. Mảng
t xây dựng như sau: t[i] sẽ là tổng các phần tử trong mảng x từ x[1]
đến x[i]: t[i] := x[1] + x[2] + … + x[i].
Khi liệt kê các dãy x có tổng các phần tử đúng bằng n, để tránh
sự trùng lặp ta đưa thêm ràng buộc x[i-1] ≤ x[i].

Vì số phần tử thực sự của mảng x là không cố định nên thủ tục
PrintResult dùng để in ra 1 cách phân tích phải có thêm tham số cho
biết sẽ in ra bao nhiêu phần tử.
Thủ tục đệ quy Try(i) sẽ thử các giá trị có thể nhận của x[i] (x[i]
≥ x[i - 1])
Khi nào thì in kết quả và khi nào thì gọi đệ quy tìm tiếp ?
Lưu ý rằng t[i - 1] là tổng của tất cả các phần tử từ x[1] đến x[i1] do đó
- Khi t[i] = n tức là (x[i] = n - t[i - 1]) thì in kết quả
- Khi tìm tiếp, x[i+1] sẽ phải lớn hơn hoặc bằng x[i]. Mặt khác
t[i+1] là tổng của các số từ x[1] tới x[i+1] không được vượt quá n.
Vậy ta có t[i+1] ≤ n ⇔ t[i-1] + x[i] + x[i+1] ≤ n ⇔x[i] + x[i+1]
≤ n - t[i-1] tức là x[i] ≤ (n - t[i-1])/2.
Ví dụ đơn giản khi n = 10 thì chọn x[1] =6, 7, 8, 9 là việc làm
vơ nghĩa vì như vậy cũng khơng ra nghiệm mà cũng không chọn tiếp
x[2] được nữa.
Một cách dễ hiểu: ta gọi đệ quy tìm tiếp khi giá trị x[i] được
chọn còn cho phép chọn thêm một phần tử khác lớn hơn hoặc bằng
nó mà khơng làm tổng vượt quá n. Còn ta in kết quả chỉ khi x[i]
mang giá trị đúng bằng số thiếu hụt của tổng i-1 phần tử đầu so với
n.
Vậy thủ tục Try(i) thử các giá trị cho x[i] có thể viết như sau:
(để tổng quát cho i = 1, ta đặt x[0] = 1 và t[0] = 0).
- Xét các giá trị của x[i] từ x[i - 1] đến (n - t[i-1]) div 2, cập nhật
t[i] := t[i - 1] + x[i] và gọi đệ quy tìm tiếp.


15

- Cuối cùng xét giá trị x[i] = n - t[i-1] và in kết quả từ x[1] đến
x[i].

Input: file văn bản ANALYSE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30
Output: file văn bản ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích số n.

ANALYSE.INP
6

ANALYSE.OUT
6 = 1+1+1+1+1+1
6 = 1+1+1+1+2
6 = 1+1+1+3
6 = 1+1+2+2
6 = 1+1+4
6 = 1+2+3
6 = 1+5
6 = 2+2+2
6 = 2+4
6 = 3+3
6=6
Bài tốn phân tích số
program Analyses;
const
InputFile = 'ANALYSE.INP';
OutputFile = 'ANALYSE.OUT';
max = 30;
var
n: Integer;
x: array[0..max] of Integer;
t: array[0..max] of Integer;
f: Text;
{********************************}

procedure Init; {Khởi tạo}
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
x[0] := 1;
t[0] := 0;
end;
{********************************}


16

procedure PrintResult(k: Integer);
var
i: Integer;
begin
Write(f, n, ' = ');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], '+');
WriteLn(f, x[k]);
end;
{********************************}
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do {Trường hợp còn
chọn tiếp x[i+1]}
begin
x[i] := j;

t[i] := t[i - 1] + j;
Try(i + 1);
end;
x[i] := n - T[i - 1];
{Nếu x[i] là phần tử cuối thì nó bắt buộc phải là n-T[i-1],
in kết quả}
PrintResult(i);
end;
{********************************}
begin
Init;
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Try(1);
Close(f);
end.
1.3.2. Dạng 2 - tìm một nghiệm
Bài toán máy rút tiền tự động ATM
Một máy rút tiền tự động ATM có n (n<=20) tờ tiền có giá trị
t1,t2,…,tn. Hãy đưa ra một cách trả với số tiền đúng bằng S.
Dữ liệu vào từ file “ATM.INP” có dạng:
- dòng đầu là 2 số n và s


17

- dòng 2 gồm n số t1,t2,…,tn
Kết quả ra file “ATM.OUT” có dạng: Nếu có thể trả đúng S thì
đưa ra cách trả, nếu khơng thì ghi -1
ATM.INP
ATM.OUT

10 390
20 20 50 50 50 100 100
200 10 20 20 50 50 50 50 100
100
Nghiệm của bài toán là một dãy nhị phân độ dài n, trong đó
thành phần thứ I bằng 1 nếu tờ tiền thứ I được sử dụng để trả, bằng
0 trong trường hợp ngược lại
X=(x1,x2,…,xn) là nghiệm nếu x1 x t1+ x2 x t2+…+ xn x tn=s
Chương trình dưới đây có sử dụng một biến ok để kiểm sốt
việc tìm nghiệm. Ban đầu chưa có nghiệm, do đó khởi tạo giá trị
ok=FALSE. Khi tìm được nghiệm, ok sẽ được nhận giá trị bằng TRUE.
Nếu ok=TRUE (đã tìm thấy nghiệm) ta sẽ khơng cần tìm kiếm nữa.
Máy rút tiền tự động ATM
Program atm;
const
max =20;
InputFile ='ATM.INP';
OutputFile ='ATM.OUT';
type
vector =array[1..MAX]of longint;
var
t :array[1..MAX]of longint;
x,xs :vector;
n,s,sum :longint;
ok :boolean;
{********************************}
procedure input;
var
f :text;
i :longint;

begin
assign(f, InputFile); reset(f);
readln(f,n, s);
for i:=1 to n do read(f,t[i]);
close(f);
end;