BỘ đề LUYỆN THI tốt NGHIỆP môn TOÁN

nnn
Trang 1
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I
(3,0 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực
trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước,
tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3,0 điểm)
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1,0 điểm)
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích
khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
* PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). Theo
chương trình Chuẩn
Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.a (1,0 điểm)
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc
hai hệ số thực có biệt thức Delta âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Theo
chương trình Nâng cao
Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1,0 điểm)
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với
hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Hết
TÀI LI󰗇U
ÔN THI T󰗑T NGHI󰗇P MÔN TOÁN 2014
HOÀNG THÁI VIỆT
ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG
SĐT: 01695316875 - LTĐH
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT
Cung/
GTLG
0
(
0
0
)
6
π
(
0
30
)
4
π
(
0
45
)
3

π
0
(60 )
2
π
0
(90 )
2
3
π
(
0
120
)
3
4
π
(
0
135
)
5
6
π
(
0
150
)
π
(

0
180
)
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2

−
2
2
−
3
2
−

-1
tan
0
3
3
1
3
||
3
−
-1
3
3
−

0
cot
||
3
1
3
3

0
3
3
−


-1
3
−
||
II. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Cơng thức cộng
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan tan
tan( ) ,( , , )
1 tan tan 2
tan tan
tan( ) ,( ,
1 tan tan
π
π
− = +
+ = −
− = −
+ = +
+
+ = ≠ + ∈

−
−
− = ≠
+




 ℤ

a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
π
π
+ ∈
ℤ
k k
2. Cơng thức nhân đơi
2 2 2 2
2

sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
=
= − = − = −
=
−



3. Cơng thức hạ bậc
2 2
2
1 cos2 1 cos 2
cos tan
2 1 cos 2
1 cos 2
sin
2
a a
a a
a
a

a
+ −
= =
+
−
=
 


4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +




6. Các hằng đẳng thức lượng giác

2 2
2
2
2
2
sin 1
1
1 tan , ,
2
1
1 cot , ,
sin
tan .cot 1, ,
2
a cos a
a a k k
cos a
a a k k
a
k
a a a k
π
π
π
π
+ =

+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈


ℤ
 ℤ
 ℤ
5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b

a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
+ =






HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT

TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 3
IV. MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG
2 2 2 2
2
3 3
sin cos 2 sin 2
4 4
cos4x = 2cos 2 1 1 2sin 2 2 sin 2
(sinx cosx) 1 sin 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
π π
   
+ = + = −
   

   
− = − = −
± = ±
 
+ = + −
 
 




x x x cos x
x x cos x x
x
x x x x x
6
3 3
4 4 2
4 4 2 2
6 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
1
sin cos 1 sin 2
2
sin cos sin cos
3
sin cos 1 sin 2
4

x x x x x
x x x
x x x x
x x x
 
− = − +
 
 
+ = −
− = −
+ = −




III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a


2
sin sin ;
2
α π
α
π α π

= +
= = ⇔ ∈

= − +


ℤ
x k
x a k
x k



sin 2
sin ;
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
π
π π

= +
= ⇔ ∈

= − +

ℤ


2
s s ;
2
α π
α

α π

= +
= = ⇔ ∈

= − +

ℤ
x k
co x a co k
x k



2
;
2
π
π

= +
= ⇔ ∈

= − +

ℤ
x arccosa k
cosx a k
x arccosa k

Phương trình tanx = a (ĐK:
π
π
≠ + ∈
ℤ
,
2
x k k
)
Phương trình cotx = a (ĐK:
π
≠ ∈
ℤ
,
x k k
)


tan tan ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
x a x k k


tan arctan ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x a k k


cot t ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
x a co x k k


cot cot ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x arc a k k
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong đó
2 2 2 2
;sin
a b
cos
a b a b
α α
= =

+ +
2. Phương trình
2 2
a x b x x c x d
+ + =
sin sin cos cos

- Kiểm tra xem cosx = 0 có là nghiệm của phương trình khơng ?.
- Nếu
cos 0
x
≠
, chia cả 2 vế của phương trình cho
2
cos x
, ta được:
2 2
tan (1 tan )
a x btanx c d x
+ + = +

BẢNG ĐẠO HÀM


'
( )
x
α
=
1

.
x
α
α
−


'
1
x
 
 
 
=
2
1
x
−


'
( )
x
=
1
2
x

(sinx)’ = cosx


(cosx)’ = - sinx

(tanx)’ =
2
1
cos
x


(cotx)’ =
2
1
sin
x
−



'
( )
u
α
=
1
. '. u u
α
α
−


'
1
u
 
 
 
=
2
'
u
u
−


'
( )
u
=
'
2
u
u

(sinu)’ = u’.cosu

(cosu)’ = -u’.sinu

(tanu)’ =
2
'

cos
u
u

(cotu)’ =
2
'
sin
u
u
−



'
)(
x
e
= e
x



'
)(
x
a
= a
x
.lna


(ln| x |)’ =
x
1


(log
a
| x |)’ =
1
ln
x a


'
)(
u
e
= u’.e
u



'
)(
u
a
= u’.a
u
.lna


(ln| u |)’ =
u
u'


(log
a
| u |)’ =
a
u
u
ln
'



(u
±
v)’ = u’
±
v’


(uv)’ = u’v + v’u


(ku)’ = k.u’



'
u
v
 
 
 
=
2
' '
u v v u
v
−


2
. .
'
( )
ax b a d b c
y y
cx d cx d
+ −
= ⇒ =
+ +
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 4
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4
1. Các bước khảo sát
- Tập xác định: D = R ;
- Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ;
- Tính các giới hạn
lim
x
y
→−∞
;
lim
x
y
→+∞
;
- Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ;

- Vẽ đồ thị.
Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy …
2. Các dạng của đồ thị
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
Khơng có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
3. Các ví dụ
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= + −
Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +

Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y

= ⇒ = −

= ⇔ + = ⇔

= − ⇒ =


* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= −∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Bảng biến thiên:
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
= − −
Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)

y x x x x
= − = −
Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −

= ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −


* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= +∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Bảng biến thiên:

PHẦN GIẢI TÍCH
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù







nnn
Trang 5
x
−∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
0
+∞
−∞
-4
* Nhận xét :
+ HS đồng biến trên
( ; 2)
−∞ −

và
(0; )
+∞
, nghịch
biến trên (-2 ; 0).
+ HS đạt cực đại tại x = -2 ; y
CĐ
= 0, đạt cực tiểu
tại x = 0 ; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Đồ thò nhận điểm I(-1 ; -2) làm tâm đối xứng.
+ Cho
1 0
x y
= ⇒ =
.
+ Cho
3 4
x y
= − ⇒ = −
.
x
−∞
-1 0 1 +
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞

-3
+∞
-4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0) −
và
(1; )
+∞
,
nghịch
biến trên
( ; 1)
−∞ −
và
(0;1)
.
+ HS đạt cực đại tại x = 0 ; y
CĐ
= -3, đạt cực tiểu
tại x =
1 ±
; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Cho
2 5
x y
= − ⇒ =

.
+ Cho
2 5
x y
= ⇒ =
.
II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d
x
c
 
 
 
≠ −
Các bước khảo sát Ví dụ
* TXĐ: D =
\
d
R
c
 
 
 

−
.
* Tính đạo hàm
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
* Giới hạn, tiệm cận.
lim ?
d
x
c
y
+
→−
=
,
lim ?
d
x
c
y
−
→−

=
⇒
Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
.
lim
x
a
y
c
→+∞
=
,
lim
x
a
y
c
→−∞
=
⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
c
.
* Lập bảng biến thiên:
y’ > 0 y’ < 0

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
Giải
* Tập xác định:
\{1}
D
=
ℝ
* Đạo hàm:
2
2
' 0
( 1)
y
x
−
= <
−
x D
∀ ∈
.
* Giới hạn, tiệm cận:
+ Vì

1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
nên TCĐ: x = 1.
+ Vì
lim 1
x
y
→±∞
=
nên tiệm cận ngang là y = 1.
* Bảng biến thiên:
x
−∞
1 +
∞
y’ - -
y
1
+∞


−∞
1

* Nhận xét:

HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 6
* Vẽ đồ thị.
Tìm điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy.
Lưu ý:
- Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của
TCĐ và TCN.
- Trục hồnh: y = 0.
- Trục tung: x = 0.
+ HS ln nghịch biến trên
(
)
;1

−∞
và
(
)
1;
+∞
.
+ HS khơng có cực trị.
* Đồ thị:
+ Cho
0 1
x y
= ⇒ = −
.
+ Cho
0 1
y x
= ⇒ = −
.
BÀI TẬP
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1
y x x
= + −
2.
3 2
3 1
y x x

= − +
3.
3 2
3
y x x
= +

4.
3 2
3 2
y x x
= − +
5.
3 2
2 3
y x x
= −

6.
3 2
6 9
y x x x
= − +
7.
3 2
3
y x x
= − +

8.

3 2
2 3 1
y x x
= − + +
9.
3 2
3 1
y x x
= − + −
10.
3
3 2
y x x
= − + −
11.
3 2
3 2
= − − +
y x x

12.
3 2
3 4
= − + −
y x x

13.
3 2
6 9 1
= − + −

y x x x
Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
4 2
2 1
y x x
= − −
2.
2 4
2
y x x
= −
3.
4 2
1
2 1
4
= − + +
y x x

4.
4 2
2 4 1
y x x
= − −
5.
4 2
2 2
y x x
= − −

6.
4 2
2 1
y x x
= − +
7.
4
2
3
2 2
x
y x
= − −
8.
4 2
4
y x x
= − +

Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1
2
x
y
x
−
=
+
2.

1
2
−
=
−
x
y
x
3.
2 1
1
x
y
x
−
=
+
4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+
5.
3
1
x

y
x
+
=
−
6.
3 1
1
x
y
x
+
=
−
7.
3 5
2
2
x
y
x
+
=
+
8.
3 2
1
x
y
x

−
=
+
9.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
10.
2 1
2
x
y
x
− +
=
+
11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−

12.
2
1
x
y
x
+
=
+
13.
1
2
+
=
−
x
y
x
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 7
BÀI TỐN 1: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên TXĐ
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2
Cho tam thức bậc 2:
2
( )
f x ax bx c
= + +
(
0
a
≠
) có
2
4
b ac
∆ = −
. Khi đó:
- Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ

.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
, trừ
2
b
x
a
= −
.
- N
ế
u
0
∆ >
, gi
ả
s
ử
tam th
ứ
c có 2 nghi
ệ
m
1 2
, x x

(
1 2
x x
<
) ta có b
ả
ng xét d
ấ
u:
x
-
∞

1
x

2
x
+
∞
f(x) cùng d
ấ
u a 0 trái d
ấ
u a 0 cùng d
ấ
u a
2. Định giá trị của m
Đối với hàm bậc 3
3 2

y ax bx cx d
= + + +
(
0
a
≠
)
- T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
-
Đạ
o hàm:
2
' 3 2
y ax bx c
= + +
.

Đối với hàm nhất biến
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d

x
c
 
≠ −
 
 
TX
Đ
: D =
\
d
R
c
 
−
 
 
.
Đạ
o hàm:
2
. .
'
( )
a d b c
y
cx d
−
=
+

y
đồ
ng bi
ế
n trên D

' 0
y
⇔ ≥
,
x D
∀ ∈


0
0
>

⇔

∆ ≤

a

y ngh
ị
ch bi
ế
n trên D

' 0
y
⇔ ≤
,
x D
∀ ∈

0
0
<

⇔

∆ ≤

a

y
đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0

⇔ >
y
,
x D
∀ ∈

0
⇔ − >
ad bc
y ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0
⇔ <
y
,
x D
∀ ∈

0
⇔ − <

ad bc
Ví dụ:

Đị
nh m
để
hàm s
ố

3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +
đồ
ng bi
ế
n trên
t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R

2
' 2 6
y x mx m
= + + +
có
' 2
'
.1( 6)
∆ = − +
y
m m


2
6
m m
= − −
Để
hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh thì
2

1
0
3
2 3
6 0

= >

⇔ − < <

− − <


a
m
m m
.
Ví dụ: Đị
nh m
để
hàm s
ố

(2 1) 3
m x
y
x m
− +
=
+

đồ
ng
bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R\{-m}
Ta có
2
2 2
(2 1) 3 2 3
'
( ) ( )
m m m m
y
x m x m
− − − −
= =
+ +
.
Để
HS

đồ
ng bi
ế
n trên TX
Đ
thì
2
1
' 0 2 3 0
3
2
< −


> ⇔ − − > ⇔

>

m
y m m
m
.
BÀI TẬP

1.
Cho hàm s
ố

3 2
( 2) ( 1) 2

= + + − − −
y x m x m x
(1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh
c
ủ
a nó.
2.
Cho hàm s
ố

3 2
3 2 1
2
+ − +
=
mx

y x x (1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
3.
Cho hàm s
ố

2 3 2
1
( 1)
3
( 1) 2 1
−
= + − − +
m
y x m x x

(1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 8
BÀI TỐN 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b]
Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a ; b].
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm y’.
* Giải y’ = 0 tìm nghiệm
1 2
, x x
…

( ; )
∈
a b
* Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), ( ), ( )
y a y b y x y x
* Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên, ta có:
max
[ ; ]
= y M
a b

min m
[ ; ]
=
y
a b
Ví dụ. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
3 2
3 2
= − +
y x x
trên đoạn [-1 ; 1].
Giải
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
= − = −

y x x x x
Cho y’ = 0
0(nhận)
3 ( 2) 0
2(loại)
x
x x
x

=
⇔ − = ⇔

=

* Ta có y(-1) = -2 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0
* Vậy:
max 2
[ 1;1]
=
−
y đạt được tại x = 0.

min 2
[ 1;1]
= −
−
y đạt được tại x = -1.
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3

3 1
y x x
= − +
trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2007).
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
2 1
y x x
= − +
trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2008 – Lần 1).
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
2 6 1
y x x
= − +
trên đoạn [-1 ; 1] (TN THPT 2008 – Lần 2).
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
1
2 3 7
3
= − + −
y x x x
trên đoạn [0 ; 2].
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln(1 2 )
y x x
= − −
trên đoạn [-2 ; 0] (TN THPT 2009).

6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
(3 )
= −
x
y x e
trên đoạn [3 ; 3].
7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
x
y x e
= −
trên đoạn [-1 ; 0].
BÀI TỐN 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) tại điểm
0 0 0
( ; )
M x y
∈
đồ thị (C) và có
hệ số góc
0
'( )
k f x
=
là:
Các bài tốn thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x).
1. Tại điểm có hồnh độ là x
0
, (tung độ
0

y
) biết trước.
Cách giải: Thay x
0
, (
0
y
) vào phương trình của (C) ta tìm được y
0,
(
0
x
) tương ứng.
Lưu ý: + Tại giao của đồ thị (C) với trục tung: Ta có x
0
= 0.
+ Tại giao của đồ thị (C) với trục hồnh: Ta có y
0
= 0.
2. Có hệ số góc k cho trước.
Cách giải: Từ phương trình k = f’(
0
x
) ta tìm được
0
x
từ đó tìm được
0
y
.

3. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) y = ax + b.
Cách giải: Vì tiếp tuyến // d
k a
⇒ =
, từ phương trình k = f’(
0
x
) = a ta tìm được
0
x
từ đó tìm
0
y
.
4. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng (d) y = ax + b.
Cách giải: Vì tiếp tuyến vng góc với d nên k.a = -1 từ đó suy ra được k, từ phương trình
0 0 0 0
( ) '( )( )
y y k x x f x x x
− = − = −
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 9
k = f’(
0
x
) = a ta tìm được
0
x
từ đó tìm
0
y
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) .
1. Tại điểm có hồnh độ bằng -1 ; 2. Tại điểm có tung độ bằng 2 ;

3. Tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh ; 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Giải.
2
3
'
( 2)
y
x
=
+
.
1. Theo đề bài ta có x
0
= -1
⇒
y
0

( 1) 2
= − = −
y
. Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1.
2. Theo đề bài ta có y
0
= 2
0
0 0 0
0
1

2 1 2( 2) 5
2
x
x x x
x
−
⇒ = ⇒ − = + ⇒ = −
+
.
Mặt khác hệ số góc k = y’(-5)
1
3
=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 =
1
3
(x + 5) hay y =
3
x
+
11
3
.
3. Theo đề bài ta có y
0
= 0
0
0
0

1
0 1
2
−
⇒ = ⇒ =
+
x
x
x
. Mặt khác hệ số góc k = y’(1) =
1
3
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 =
1
3
(x - 1) hay y =
1
3
x -
1
3
.
4. Theo đề bài ta có x
0
= 0
⇒
y
0
= -

1
2
. Mặt khác hệ số góc k = y’(0) =
3
4
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y +
1
2
=
3
4
(x - 0) hay y =
3
4
x -
1
2
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C)
1. Tại điểm có hệ số góc bằng -2.
2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

1
2
y x
= −
.
3. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
9
1
2
y x
= +
.
Giải
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo đề bài ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0

0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1 2 0
2
( 1)
x
y x x x x
x
x
=

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔

=
−

.
Với
0 0
0 0
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = -2(x – 0) hay y = -2x.
Với
0 0
2 4
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 4 = -2(x – 2) hay y = -2x + 8.

2. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
2
y x
= −
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
1
'( )
2
y x
= −
.
Ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
3
1 2 1
'( ) ( 1) 4 2 3 0
1
2 ( 1) 2
=

−
= − ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒


= −
−

x
y x x x x
x
x
.
Với
0 0
3 3
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
1
3 3
2
y x
− = − −
hay
1 9
2
2
y x
= − +
.
Với
0 0
1 1

x y
= − ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
1
1 1
2
y x
− = − +
hay
1 1
2
2
y x
= − +
.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

Trang 10
3. Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
9
2
y x
=
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
2
'( )
9
y x
= −
.
Đến đây làm tương tự câu 2.
Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là
2 32
9
9
y x= − +
và
2 8
9
9
y x
= − +

.
BÀI TẬP
1. Viết PTTT với đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm có hồnh độ
0
3
x
= −
(TN THPT 2006).
2. Cho HS
4 2
2 1
y x x
= − +
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3. Cho HS
3 2
1
x
y
x
−

=
+
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008).
4. Cho HS
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN
THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
2 2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1
−
=
−
x
y

x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y = -x + 3.
BÀI TỐN 4: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m
Phương pháp
- Biến đổi, đưa phương trình về dạng: f(x) = m (1).
- Đặt: y = f(x) (C).
y = m (d) là đường thẳng song song với trục Ox.
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có:
Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Hàm bậc 4:
4 2
y ax bx c
= + +
Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận
*
CD
CT
m y
m y
>


<

: (1) có 1 nghiệm.
*

CD
CT
m y
m y
=


=

: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có 3
nghiệm.
*
CT
m y
<
: (1) vơ nghiệm.
*
CT
m y
=
: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <

: (1) có
4 nghiệm.
*
CD
m y
=
: (1) có 3 nghiệm.
*
CD
m y
>
: (1) có 2 nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
3
3
y x x
= −
. Dựa vào đồ thị (C), biện luận
theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0
x x m
− + − =
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số: (học sinh tự làm).
* Đồ thị:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của

hàm số
4 2
2 1
= − −
y x x
. Dựa vào đồ thị (C), biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0
− − + =
x x m
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số: (học sinh tự làm).
* Đồ thị:
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 11
* Ptrình
3 3
3 1 0 3 1
x x m x x m
− + − = ⇔ − = −
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 1. Dựa vào đồ thị
(C), ta có:
+ Nếu
1 2 1
1 2 3
m m
m m
− < − < −
 
⇔
 
− > >
 
thì phương trình (1)
có 1 nghiệm.
+ Nếu
1 2 1
1 2 3

m m
m m
− = − = −
 
⇔
 
− = =
 
thì phương trình (1)
có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3
m m
− < − < ⇔ − < <
thì phương trình
(1) có 3 nghiệm.
* Ptrình
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2
− − + = ⇔ − − = −
x x m x x m
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 2. Dựa vào đồ thị (C),
ta có:
+ Nếu
2 2 0
− < − ⇔ <
m m
thì phương trình (1) vơ

nghiệm.
+ Nếu
2 2 0
− = − ⇔ =
m m
thì phương trình (1) có 2
nghiệm.
+ Nếu
2 2 1 0 1
− < − < − ⇔ < <
m m
thì phương trình
(1) có 4 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− = − ⇔ =
m m
thì phương trình (1) có 3
nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− > − ⇔ >
m m
thì phương trình (1) có 2
nghiệm.
Chú ý: Phương pháp biện luận trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm bậc 3 hoặc bậc 4 có cả điểm cực
đại và điểm cực tiểu.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
3 2

= − + −
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
− + + + =
3 2
3 2 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.
2. Tìm các giá trị của m …
− + + + = ⇔ − + − = +
3 2 3 2
3 2 1 0 3 2 1
x x m x x m
(1)
Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1
m m
− < + < ⇔ − < <
.
Ví dụ: Cho hàm số
4 2
1

2
4
= − +
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
4 2
1
2 2 1 0
4
x x m
− + − + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.
2. Tìm các giá trị của m …
− + − + = ⇔ − + = −
4 2 4 2
1 1
2 2 1 0 2 2 1
4 4
x x m x x m
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP

nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù









nnn
Trang 12
Số nghiệm của PT trên là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = 2m - 1. Để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt thì:
1 5
0 2 1 4
2 2
m m
< − < ⇔ < <
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= + −
có đồ thị (C). Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
3 2

2 3 1
x x m
+ − =
(TN THPT 2008 – Lần 1).
2. Cho hàm số
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + − =
có 3
nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số
4 2
2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
− + − =
4 2
2 2 0
x x m
có 4 nghiệm
phân biệt.
BÀI TỐN 5: Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu (đối với HS bậc 3:
3 2

y ax bx cx d
= + + +
).
Phương pháp Ví dụ
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
y’ = 0 có 2
nghiệm phân biệt
'
0
0
y
a



≠
⇔
∆ >
.
Ví dụ: Định m để hàm số
3 2
( 1) 2
y x m x x
= + − + −
có cực đại, cực tiểu.
Giải
Đạo hàm:
2
' 3 2( 1) 1

= + − +
y x m x

Ta có
' 2 2
'
( 1) 3.1 2 2
∆ = − − = − −
y
m m m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
2
1 0
1 3
' 2 2 0
1 3

= ≠
< −

⇔


∆ = − − >
> +



a

m
m m
m
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) (3 4 1)
3
= + − + − + +
y x m x m m x m
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. (Đáp án: 0 < m < 1).
b. Hàm số ln đồng biến trên R. (Đáp án:
0
m
≤
hoặc
1
m
≥
).
2. Cho hàm số
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
3. Cho hàm số

3 2
3 (2 2) 2
y mx x m x
= − + − −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số
4 2
2( 1)
= − − +
y x m x m
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
BÀI TỐN 6: Định m để hàm số nhận điểm
0
x
làm điểm cực đại (cực tiểu)
Phương pháp
Điểm
0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0



=
⇔
<

y x
y x
.
Ví dụ: Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (3 4 ) 9
3
= + − + − + −
m
y x m x m m x m

nhận điểm x =1 làm điểm cực đại.
Giải
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
nnn ttthhhiii TTT uuu ooôââiii llliiieeệää TTTaaàøø
ooốáá ttt nnnggghhhiiieeệää ppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù









nnn
Trang 13

Điểm
0
x
là điểm cực tiểu
0
0
'( ) 0
''( ) 0



=
⇔
>
y x
y x
.
Ta có
2 2
' 2( 1) 3 4 '' 2 2( 1)
= + − + − ⇒ = + −
y mx m x m m y mx m

Để hàm số nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại thì
2
2
1
'(1) 0
3 2 0
2

3
''(1) 0
1
3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=

− − =

⇔ ⇔ ⇔ = −
  
<
− <



<



.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
( 3) 5
y x m x mx
= − + + +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
2. Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x
= − + − + +
. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
3. Cho hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2
= − + − +
y x mx m x
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
BÀI TỐN 7: Chứng minh hàm số y = f(x, m) ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m
Phương pháp
Chứng tỏ f’(x, m) ln có nghiệm và đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc 3, chứng tỏ y’ = 0 có delta dương
với mọi m.
- Với hàm số bậc 4, cần theo u cầu bài tốn để
tìm m sao cho y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc 3 nghiệm.

Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
2 1
y x mx x
= − − +
ln có một điểm cực đại và
một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Giải
* Tập xác định: D = R.
* Đạo hàm:
2
' 3 2 2
y x mx
= − −

* Ta có
2 2
' ( ) 3.( 2) 6 0,
∆ = − − − = + > ∀ ∈
m m m R
. Suy
ra y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’đổi dấu (có
thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm
1 2
; x x
) khi x đi
qua 2 nghiệm đó.
* Vậy hàm số ln có một điểm cực đại và một
điểm cực tiểu với mọi m.
Hết chương I

HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 14
Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT
1. Luỹ thừa với số mũ ngun (
0
a
≠
,
,m n
∈
ℤ
)
0

1,( 0)
1

n
n
a a
a
a
−
= ≠
=



m
.
a

m n m n
m n
n
a a a
a
a
+
−
=
=



(
)
m .
a
a

b
n
m n
m
m
m
a
a
b
 
 
 
=
=



m
(a.b) .
m m
a b
=


2. Căn bậc n
Định nghĩa: Cho số thực b và số ngun dương n
≥
2.
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
n
a b
=
.
Kí hiệu:
n
a b
=
.
- n lẻ,
b R∈
: tồn tại duy nhất
n
b
.
- n chẵn: + b < 0: khơng tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0:
0 0
n
=
.
+ b > 0: tồn tại 2 căn bậc n trái dấu của b đó
là
n
b

và -
n
b
.
Tính chất (
, 0
a b
>
,
,m n
+
∈
ℤ
)

. .
n n n
a b a b
=


n
n
n
a a
b
b
=



(
)
m
n
m
n
a a
=


.
n
m n m
a a
=


m
n m
n
a a
=


.m n
m
n
a a
=

3. Luỹ thừa với số mũ thực (
0
a
>
,
,
R
α β
∈
)


.
a a
a
α β α β
+
=


( )
. .
a b a b
α
α α
=



a

a
a
α
α β
β
−
=


a a
b b
α
α
α
 
=
 
 



(
)
.
a a
β
α α β
=

Nếu a > 1 thì

a a
α β
α β
> ⇔ >


Nếu 0 < a < 1 thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
4. Lôgarit
a. Định nghĩa: Cho a, b > 0,
1
a
≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
b. Cơng thức:
Cho a > 0,
1
a
≠
, M, N > 0.


log 1 0
a
=


log ( . ) log log
M N M N
a a a
= +


log 1
a
a
=


log log log
M
M N
a a a
N
= −



log
M
a M

a
=


log log
M
b M b
a a
=


log
M
a
a M
=


1
log log
b b
a
a
α
α
=



1

log
log
=
a
b
b
a

c. Cơng thức đổi cơ số: Cho a, b, c > 0,
1
a
≠
, c
≠
1.
log
log
log
b
c
b
a
a
c
=

d. So sánh lơgarit: Cho a > 0,
1
a
≠

.
a > 1 : log log
a a
M N M N
> ⇔ >
.
0 < a < 1: log log
a a
M N M N
> ⇔ <
.
e. Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên: Số
1
lim 1 2,71828
n
x
e
n
→+∞
 
 
 
= + ≈

Lơgarit thập phân: Lơgarit tự nhiên:
10
log logx = lgx
x
=
log ln

e
x x
=
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 15
5. Giải PT, BPT mũ và lơgarit
Phương trình mũ Phương trình lơgarit
a. Phương trình mũ cơ bản
Dạng:
x
a b
=
,

( 0, 1)
a a
> ≠
.
Với b > 0, ta có: log= ⇔ =
x
a b x b
a
Với b
≤
0, phương trình vô nghiệm.
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (đặt t =
x
a
, t
>
0).
- Lơgarit hố.
a. Phương trình lôgarit cơ bản
Dạng:
log
x b
a
=
, (a > 0, a
≠
1).
Ta có: log = ⇔ =

b
x b x a
a

b. Phương pháp giải PT lơgarit thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (khơng cần đặt điều kiện cho ẩn phụ).
- Mũ hố.
Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ,
lơgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm.
6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lơgarit thường gặp
a. Các dạng cơ bản
a > 0,
1
a
≠
a > 1 0 < a < 1
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>



= ⇔ >


=

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x
>

> ⇔

>

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >

( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x
>

> ⇔

<

b. Vận dụng
Dạng tốn Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai
2
. . 0
x x
m a n a p
+ + =
(1)
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Ta được PT:
2
. . 0

m t n t p
+ + =
- Giải phương trình trên tìm nghiệm t (nhớ với điều
kiện t > 0).
- Giải phương trình
log
x
a
a t x t
= ⇔ =
.
- Kết luận, nghiệm của (1).
Ví dụ: Giải phương trình
2 1
3 4.3 1 0
x x+
− + =
.
Giải
2 1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
x x x x+
− + = ⇔ − + =
Đặt t =
3
x
(t > 0), ta được phương trình
2
1
3 4 1 0

1
3
=

− + = ⇔

=


t
t t
t

Với t = 1
3
3 1 log 1 0
x
x
⇔ = ⇔ = =
.
Với t =
3
1 1 1
3 3 log 1
3 3 3
x x
⇔ = ⇔ = = −
.
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = -1.
Dạng 2:

. . 0
x x
m a n a p
−
+ + =
hay
. 0
x
x
n
m a p
a
+ + =
.
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Khi đó
1 1
x
x
a
a t
−
= =
.
- Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x.
- Kết luận, nghiệm của PT.

Ví dụ: Giải phương trình
1
6 6 5 0
x x−
− − =
.
Giải
1
6
6 6 5 0 6 5 0
6
x x x
x
−
− − = ⇔ − − =
Đặt t =
6
x
(t > 0), ta được phương trình
2
6 (nhan)
6
5 0 5 6 0
1(loai)
t ä
t t t
t
t ï

=

− − = ⇔ − − = ⇔

= −

.
Với t = 6
6
6 6 log 6 1
⇔ = ⇔ = =
x
x
.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn

Trang 16
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
,(0 1)
f x g x
a a a
≤ < ≠
.
Phương pháp
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
g(x).
Với BPT
( ) f x
a c
≤
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
log
a
c
(BPT đổi
chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
log

a
c
.
Ví dụ: Giải bất phương trình
2
3
1
2
4
x x−
≤
.
Giải
2 2
3 3 2 2
1
2 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −

2
3 2 0 1 2
x x x
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2].
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng
log ( ) log ( )

a a
f x g x
=
.
Phương pháp
- Dùng các cơng thức tính tốn, cộng, trừ lơgarit
để biến đổi.
- Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu
lơgarit.
Ví dụ: Giải phương trình
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =
.
Giải
Điều kiện:
0
0
9 0
x
x
x
>

⇔ >

>

. Khi đó:

2
3 9 3 3
3
log (9 ) log 5 log 9 log log 5
x x x x
+ = ⇔ + + =
3 3 3
2
3
1 3
2 log log 5 log 3
2 2
log 2 3 9.
x x x
x x
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lơgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =
.
Phương pháp
- ĐK: f(x) > 0.
- Đặt
log ( )

a
t f x
=
, ta được
2
. . 0
m t n t p
+ + =
. Giải
phương trình tìm t.
- Giải PT
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a
= ⇔ =
để tìm x.
- Kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình
2
2 2
4log 3log 10 0
x x
− − =
.
Giải
Điều kiện:
0
x
>

.
Đặt
2
log
t x
=
, ta được PT
2
4 3 10 0
t t
− − =
.
Giải PT này được t = 2 ; t =
5
4
−
.
Với t = 2, ta có
2
2
log 2 2 4
x x
= ⇔ = =
.
Với t =
5
4
−
, ta có
5

4
2
5
log 2
4
x x
−
= − ⇔ =
.
Dạng 6: BPT lơgarit
log ( ) log ( ),(0 1)
a a
f x g x a
< < ≠
.
Phương pháp
- ĐK:
( ) 0
( )
0
f x
g x
>


>

.
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) > g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)

<
g(x).
Với BPT
log ( )
a
f x c
≤
- Nếu 0 < a < 1, ta có
( )
c
f x a
≥
(BPT đổi chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
c
a
.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
;
b.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x

− > +
.
Giải
a. Điều kiện:
0
1
3 1 0
3
x
x
x
>

⇔ >

− >

. Khi đó:
2 2
1
log log (3 1) 3 1 2 1
2
x x x x x x
≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:
1 1
;
3 2
T



=




.
b. Điều kiện:
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >

+ >

. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3
x x x x x
− > + ⇔ − < + ⇔ <
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:

1
;3
2
T
 
=
 
 
.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù







nnn
Trang 17
BÀI TẬP
Bài tập 1. Khơng sử dụng máy tính cầm tay. Hãy tính:
a.
4
0,75
3

1 1
16 8
− −
   
+
   
   
b.
2 3 5 5
2 .8
−

c.
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−

d.
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−

e.
5
4
2 3

5
4
5 0,2
−
−
−
 
 
+
 
 
 
 
f.
3 3
1 2 2 2
3 :9
+

g.
9 2 6 4
7
7 5 5
8 :8 3 .3
−

h.
2 7
2 7 1 7
10

2 .5
+
+ +

i.
3 2 1 2 4 2
8 .4 .2
+ − − −

j.
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +

k.
2
log 32
4
l.
49
log 15
7
m.
9
log 27
3
n.

2
1 log 3
8
−

o.
10
2 2log 7
10
+

p.
3 81
2log 2 4log 2
9
+

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a.
2
3 2
2 4
x x− +
=
b.
3 1 2
(0,5) .(0,5) 2
x x− −
=
c.

2 1 2
3 3 108
x x−
+ =
d.
1 1
2 2 2 28
+ −
+ + =
x x x

Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a.
3.9 3 2 0
− − =
x x

b.
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =
c.
1 1
9 36.3 3 0
+ −
− + =
x x

d.

1
4 10.2 24
−
− =
x x

e.
2 1 1
5 5 250
− +
+ =
x x

f.
2 6 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
x x

i.
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
j.
6 3
3. 2 0
x x
e e

− + =
k.
3
3 3 12 0
x x−
+ − =
l.
1 3
5 5 26
− −
+ =
x x

m.
1
2 2 3 0
−
+ − =
x x

n.
1
6 6 5 0
x x−
− − =
o.
1 3
3 5.3 12
x x+ −
− =

p.
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
q.
3 1
1 1
128 0
4 8
−
   
− − =
   
   
x x
r.
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + =
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a.
4 4
log (5 2 ) log ( 3)
x x
− = +

b
2 2
log ( 1) 1 log
x x
+ = +

c.
4 2
log log (4 ) 5
x x
+ =
d.
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =
e.
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
x x
+ + − =
f.
2 2 2
log ( 2) log ( 3) log 12
x x
− + − =
g.
2 2
log ( 2) log ( 3) 1
− + − =

x x
h.
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =
i.
6 1
6
log ( 4) log ( 1) 1
− − + =
x x

j.
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8
+ − − = −
x x
k.
2 3 4
log (log (log )) 0
=
x

l.
1 4
4
log (3 1) log (2 3 )
x x
+ = −

m.
3 3 3
log (9 1) log (2.3 1) log 2
+ − − =
x x

n.
1 4
4
log ( 5) 2log ( 1) 0
+ + − =
x x
e e

o.
2
2
1
log 1
log
= +x
x

p.
2
4 4
log 2log 1 0
− + =
x x

q.
2 3
2 2
log log 4 0
+ − =
x x

r.
2
2 2
log 3log 10 0
− − =
x x

Bài tập 5. Giải các bất phương trình sau:
a.
2
2
2 3 2
1
7
7
x
x x− +
 
<
 
 
b.

2
3
1
2
4
x x−
≤
c.
1
1
1
5
25
x
x+
 
<
 
 
d.
2 1 3 2
2 5
5 2
x x
− − +
   
>
   
   

e.
2
3
1
9
3
x x−
 
≥
 
 

f.
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x
+ − −
− ≤ −

g.
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− > −

h.
9 3 2 0
− − ≥

x x

i.
49 6.7 7 0
x x
− − <
j.
2 1
5 5 4
+
> +
x x

Bài tập 6. Giải các bất phương trình sau:
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù









nnn

Trang 18
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
b.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤
c.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
d.
1
2
log (2 4) 1
x
+ ≥
e.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +

f.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
g.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤
h.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
i.
2
1 2
2
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x
− + + − ≥
j.
1 5 1
5 5
log log ( 2) log 3
x x
− − <

k.
+
− >
3 5
1
2
log (2 15) 0
x

l.
2
3 1
2
1
log log 1
16
x
 
 
+ >
 
 
 
 
m.
2 2
4 4
log ( 2 ) log ( 4)
x x x
− > +

n.
2
3 3
log 2 5log 2 4 0
x x
− + <
Hết chương II
Chương III NGUN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa ngun hàm
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x
∈
K.
2. Bảng ngun hàm
Hàm số sơ cấp Ngun hàm bổ sung


dx x C
= +
∫



1
1
x
x dx C
α
α
α

+
= +
∫
+


cos sin
xdx x C
= +
∫



sin cos
xdx x C
= − +
∫



2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫



2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

ln

x x
dx
x C
x
e dx e C
= +
∫
= +
∫




ln
x
x
a
a dx C

a
= +
∫


( )
ax b dx
α
+
∫

1
1 1
. ( )
1
ax b C
a
α
α
+
= + +
+


1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +

∫



1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
∫
+


cos( )
ax b dx +
∫
1
sin( )
ax b C
a
= + +


sin( )
+
∫
ax b dx
1
cos( )
ax b C

a
= − + +


sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +
∫ ∫



os
cot ln | sin |
sinx
c x
xdx dx x C
= = +
∫ ∫

3. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Kí hiệu:
( )
b
f x dx
a

∫
.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 19
Công thức:
( ) ( ) | ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

4. Các bài tốn đổi biến số
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
[ ]
( ) . '( )
b
a
f u x u x dx
∫

Phương pháp: - Đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
= ⇒ =
- Đổi cận:
x b t
x a t
β
α



= ⇒ =
= ⇒ =
- Thế:
[ ]
( ) . '( ) ( )
b
a

f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫

Ví dụ: Tính
2
sin
0
.cos
x
I e xdx
π
=
∫
Giải
Đặt t = sinx
⇒
dt = cosxdx
Đổi cận:
1
2
0 0
x t
x t
π





= ⇒ =
= ⇒ =
1
1 1 0
0
0
1
t t
I e dx e e e e
⇒ = = = − = −
∫

Bài tốn 2:
. '( )
( )
b
a
u x
u x dx
∫

Phương pháp: - Đặt
2
( ) ( )
t u x t u x
= ⇒ =

2 '( )
tdt u x dx

⇒ =
- Đổi cận.
- Thế vào.
Ví dụ: Tính
1
2
0
1
I x x dx
= +
∫
Giải
Đặt
2 2 2
1 1 2 2
t x t x tdt xdx
= + ⇒ = + ⇒ =

tdt xdx
⇒ =
Đổ
i c
ậ
n:
1 2
0 1
x t
x t




= ⇒ =
= ⇒ =

2 2
2 3 2
1
1 1
1 1
. 2 2 1
3 3
I t tdt t dt t
 
 
⇒ = = = = −
∫ ∫

Bài tốn 3:
2
2 2
0
a
a x dx
−
∫

Phương pháp: Đặt
sin cos
x a t dx a t
= ⇒ =

Bài tốn 4:
2 2
0
1
a
dx
a x
∫
+

Phương pháp
Đặt
2
tan (1 tan )
x a t dx a t dt
= ⇒ = +
Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài tốn đầu, còn 2 bài tốn sau chỉ nên tham khảo.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
6
0
2
π
∫
cos xdx
2.
2
3
0

sin cos
x xdx
π
∫

3.
2
3
0
cos sin
x xdx
π
∫

4.
2
2
0
sin
xdx
π
∫

6.
2
0
cos
3 sin
x
dx

x
π
+
∫

7.
2
3
sin
2 s
π
π
−
∫
x
dx
co x
8.
6
sin
0
cos
x
e xdx
π
∫

9.
6
0

2 1 4sin3 .cos3
x xdx
π
+
∫

11.
6
3
(cos 1) sin
x xdx
π
π
+
∫

12.
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫

13.

2
2
1
(6 4 1)
x x dx
− +
∫

14.
2
5
1
(2 1)
x dx
−
∫

15.
1
2
3
0
1
x
dx
x+
∫

17.
1

0
3 1
x dx
+
∫

18.
2
2
0
4 .
x xdx
−
∫

19.
2
1
0
.
x
e xdx
−
∫

20.
ln 3
0
1
x

x
e
dx
e +
∫

21.
ln 5
ln 2
( 1)
1
x x
x
e e
dx
e
+
+
∫

22.
e
3
1
ln x
dx
x
∫

HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875

TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 20
5.
4
0
tan
xdx
π
∫
10.
2
0
(2sin 3)cos
x xdx

π
+
∫

16.
1
2 3 4
1
(1 )
x x dx
−
−
∫

5. Phương pháp tích phân từng phần
a. Cơng thức |
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫

b. Các bài tốn tích phân từng phần
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
( )
b
x

a
P x e dx
∫

Phương pháp: Đặt
( )
x
u P x
dv e dx



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
1
0
x
I xe dx
=
∫
.
Giải. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= ⇒ =



= ⇒ =


Vậy
1
1 1
0 0
0
( ) | | ( 1) 1
x x x
I xe e dx e e e e
= − = − = − − =
∫
.
Bài tốn 2:
( )sin
b
a
P x xdx
∫

Phương pháp: Đặt
( )
sin
u P x
dv xdx



=

=

Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(2 1) sin
π
= +
∫
I x xdx
.
Giải. Đặt
2 1 2
sin cos
= + ⇒ =


= ⇒ = −

u x du dx
dv xdx v x
Vậy
[ ]
2
2
0
0
(2 1) cos | 2 cos
π
π

= − + +
∫
I x x xdx

2
0
1 2sin | 1 2 3
π
= + = + =
x
.
Bài tốn 3:
( )
b
a
P x cosxdx
∫

Phương pháp: Đặt
( )
s



=
=
u P x
dv co xdx
Ví dụ: Tính tích phân
2

0
(1 ) os
π
= −
∫
I x c xdx
.
Giải. Đặt
1
cos
= − ⇒ = −


= ⇒ =

u x du dx
dv xdx v sinx
Vậy
[ ]
2
2
0
0
(1 )sin | sin
π
π
= − +
∫
I x x xdx

2
0
1 cos | 1 1
2 2 2
π
π π π
= − + = − − = −
x
.
Bài tốn 4:
( )ln
b
a
P x xdx
∫

Phương pháp: Đặt
ln
( )
u x
dv P x dx



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
2
1

2 ln
I x xdx
=
∫
.
Giải. Đặt
2
1
ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x

= ⇒ =



= ⇒ =

Vậy
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1
( ln ) | ( ln ) | |
2
I x x xdx x x x
= − = −

∫


3
4ln 2
2
= −
.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 21
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.

2
0
(2 1)
x cosxdx
π
−
∫

2.
4
0
(2 3)sin
x xdx
π
+
∫

3.
0
(1 )sin 2
x xdx
π
−
∫

4.
2
0
(1 )
π

+
∫
x cosx dx
5.
1
0
(2 )
x
x xe dx
+
∫

6.
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫

7.
1
0
2 .
x
x e dx
−
∫

8.
2
0
(5 2 )
x
x e dx
−
∫

9.
1
0
ln(1 )
x dx
+
∫

10.
3
1
2 ln
x xdx
∫

11.
2
2
1
ln
x xdx

∫

6. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b.
Phương pháp
- Giải phương trình y = f(x) = 0 tìm nghiệm trên đoạn [a ; b].
- Nếu khơng có nghiệm nào
∈
[a ; b] thì áp dụng cơng thức:
| ( ) | ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
= =
∫ ∫

- Nếu có 1 nghiệm c
∈
[a ; b] thì áp dụng cơng thức (tương tự nếu có 2, 3 … nghiệm)
| ( ) | ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
= = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x

= −
, trục Ox, hai đường
thẳng x = -1, x = 1.
Giải
Đặt y = f(x) =
2
2
x x
−
. Ta có f(x) = 0
2
2 0
x x
⇔ − =
⇔
x = 0 hoặc x = 2 (loại).
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
1 0 1
2 2 2
1 1 0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
S x x dx x x dx x x dx
− −
= − = − + −
∫ ∫ ∫
3 3
0 1
2 2
1 0
2

3 3
x x
x x
−
   
= − + − =
   
   
(đvdt).
BÀI TẬP

1.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng
2
y x x
= −
; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ;
2.

Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3
y x x
= +
, trục hồnh và các đường thẳng
x = - 2, x = 1 ;
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 đường y = f
1
(x), y = f
2
(x).
Phương pháp
- Hồnh độ giao điểm của 2 đường y = f

1
(x), y = f
2
(x) là nghiệm của phương trình f
1
(x) = f
2
(x).
Giả sử giải được 2 nghiệm x = a và x = b.
- Diện tích S được tính theo cơng thức:
[ ]
1 2 1 2
| ( ) ( ) | ( ) ( )
b b
a a
S f x f x dx f x f x dx
= − = −
∫ ∫

HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 22
Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x
= −
và y = x.
Giải
Hoành độ giao điểm của 2 đường cong là nghiệm của phương trình
2 2
2 3 0
x x x x x
− = ⇔ − =
.
Giải PT ta được x = 0 hoặc x = 3.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
3 3
3
3
2 2 2
0
0 0
3
| 3 | ( 3 )
3 2

x
S x x dx x x dx x
 
= − = − = −
 
 
∫ ∫
3
2
3 3 9
.3 0
3 2 2
 
= − − =
 
 
(đvdt) .
BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
= +
y x
, y = 5x ;
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e
=
, y = 2 và đường thẳng x = 1 ;
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e.

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
y x x
= − +
, y = 0 (TN THPT 2007).
5. Cho hàm số
3 2
3
y x x
= − +
có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và
trục hồnh (TN THPT 2006).
7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) y = f(x), trục Ox,
hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là:
[ ]
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫

Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C)
2
2
y x x

= −
, trục
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )
2 (4 4 )
π π
= − = − +
∫ ∫
V x x dx x x x dx
3 5
2
4
0
4 16
3 5 5
π
π


 
 
= − + =
x x
x (đvtt)
BÀI TẬP

1. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
cosx, trục hồnh và hai đường thẳng
;
6 2
x x
π π
= =
quay quanh trục hồnh ;
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh ;
3. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
(2 1) sin
y x x
= +
, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh.
Hết chương III
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøø iii llliiieeệää uuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 23
Chương IV SỐ PHỨC
1. Định nghĩa
Số phức là một biểu thức có dạng:

với
,
a b R
∈
,
2
1
i
= −
.
Tập hợp các số phức kí hiệu là:
ℂ
2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi là:
3. Mơ đun của số phức
Mơ đun của z = a + bi là:
2 2
| |

z a b
= +

4. Các phép tốn cộng, trừ, nhân số phức
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có:
a = a'
z = z'
b = b'
z + z' = (a + a' ) + (b + b')i
z - z' = (a - a') + (b - b')i
z.z' = (a.a' - b.b') + (ab' + a'b)i

⇔






5. Phép chia
Cho z = a + bi, z’ = c + di
≠
0
2 2
( )( )
'
z a bi a bi c di
z c di c d
+ + −
= =

+ +

6. Nghịch đảo của số phức
Số phức nghịch đảo của z = a + bi là:
2 2
1 1
a bi
z a bi a b
−
= =
+ +

7. Phép cộng và nhân hai số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi, gọi
z
= a – bi là số phức
liên hợp của z. Ta có:
2 2
2
.
+ =
= +


z z a
z z a b
8. Căn bậc hai của số thực âm và phương trình
bậc hai hệ số thực
- Căn bậc hai của số thực a âm là:
| |

i a
±
.
- Cho PT bậc hai
2
0
ax bx c
+ + =
(a, b, c
∈
R,a
≠
0).
Có biệt thức
2
4
b ac
∆ = −
. Khi đó ta có bảng:
∆
Phương trình
2
0
ax bx c
+ + =
∆
> 0
Có 2 nghiệm thực phân biệt
1,2
2

b
x
a
− ± ∆
=

∆
= 0
Có 1 nghiệm thực
2
b
x
a
= −

∆
< 0
Có 2 nghiệm phức liên hợp
1,2
| |
2
b i
x
a
− ± ∆
=

BÀI TẬP
Bài tập 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
1.

2 2
(1 3 ) (1 3 )
P i i
= + + −
(TN THPT 2008) 2.
2
(1 2 ) 2 3
P i i
= − + −
3.
3 2
2 1
2 3
i
P i
i
+
= − +
−
4.
3
(2 1) 5 2
P i i
= − + −
Bài tập 2. Tìm mơđun của số phức z, biết:
1.
( 2 3 )( 3 2 )
z i i
= + −
2.

4 5 (6 3 )
iz i i i
+ + = +
Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức.
1.
4 2
7 18 0
z z
+ − =
(Thi thử TN 2009) 2.
2
2 2 0
x x
− + =
(TN THPT 2009)
3.
2
4 7 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 1) 4.
2
6 25 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 2)
5.
2
2 5 4 0
x x

− + =
(TN THPT 2006) 6.
2
4 3 1 0
x x
− + =
7.
2
3 3 0
x x
+ + =
8.
2
4 20 0
x x
− + =
Hết chương IV
z = a + bi
z
= a - bi
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP
nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù

nnn
Trang 24
Chương I + II DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI
1. Thể tích hình hộp chữ nhật
Với a, b, c lần lượt là chiều dài, rộng cao của hình
hộp.
2. Thể tích hình chóp

- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình chóp
3. Thể tích hình lăng trụ
- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình lăng trụ
4. Hình trụ

5. Hình nón

6. Mặt cầu

CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Dạng 1. Hình chóp có một cạnh bên d vng góc với mặt đáy B
Thì thể tích
1
.
3
=

V B d
B: Diện tích đáy; d: là chiều cao.
Ví dụ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC), SA=a; tam giác
ABC vng tại B, BC = a; AC = 2a.
Giải
Ta có thể tích
1
1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SA
. Mà SA = a.
Trong tam giác ABC vng tại B ta có:

( )
2
2 2 2
2 3
= − = − =
AB AC BC a a a
Nên
2
1 1 1
. 3. 3
2 2 2
∆
= = =

ABC
S AB BC a a a
. Vậy
3
2
1 1 3
3 .
3 2 6
 
= =
 
 
a
V a a
.
Bài tập tương tự
1. (*) (TN THPT 09) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh bằng a, biết

0
120
=BAC
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vng tại B, biết AB = a,
3
=
BC a
và SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
3. (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác

vng tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
4. (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là
hình vng cạnh bằng a và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
PHẦN HÌNH HỌC
1
.
3
V S h
=

.
V S h
=
2
xq
S Rl
π
=
2
.
V R h
π
=
xq
S Rl
π
=
2
1
.

3
V R h
π
=

a
a
2a
A
B
C
S
3
4
3
V R
π
=

2
4
S R
π
=
V = a.b.c
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875
TTTaaàøøiii llliiieeệääuuu ooôâânnn ttthhhiii TTT
ooốááttt nnnggghhhiiieeệääppp
TTT
TTTHHHPPP

nnn mmmooôâânnn TTToooaaáùù











nnn
Trang 25
a
a
a
2a
2a
2a
H
I
A
B
C
S
a
a
a

I
A
B
C
S
Dạng 2. Biết hình chiếu vng góc của một đỉnh lên mặt đáy. ( hình chiếu của đỉnh S lên đáy B là H)
Thì thể tích
1
.
3
=
V B SH
B: Diện tích đáy; SH: là chiều cao.
Ví dụ. (TN THPT 08L1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Giải
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó SH vng góc với mặt đáy
ABC nên thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SH
Mà
2
0 2
1 1 1 3 3

. sin . .sin 60
2 2 2 2 4
∆
= = = =
ABC
a
S AB BC B a a a

Lại có
2
3
=
AH AI
2
2 2 2
2 2 3
3 3 2 3
a a
AB BI a
 
= − = − =
 
 

Trong tam giác SAH vng tại H có
( )
2
2
2 2
3 33

2
3 3
 
= − = − =
 
 
a a
SH SA AH a
.
Vậy
2 3
1 1 3 33 11
. . .
3 2 4 3 8
∆
= = =
ABC
a a a
V S SH

Bài tập tương tự
1. Cho hình chóp đều S.ABCD có AC =
3
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy ABCD bằng 30
0
. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
2. Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vng góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm I
của cạnh AB, đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = 2a, AC = 3a , góc giữa cạnh bên SC và mặt

đáy ABCD bằng 45
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Dạng 3. Biết một mặt bên vng góc với đáy. Khi đó đường thẳng đi qua 1 đỉnh của mặt bên, vng góc
với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp.
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vng cân tại S. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Giải
Ta có
(
)
(
)
∩ =
SAB ABC AB
. Từ S dựng đường thẳng vng góc với AB cắt
AB tại I; nên SI vng góc với đáy (ABC) mà
∆
SAB
vng cân tại S nên I
là trung điểm của AB =>
1
2 2
= =
a
SI AB
.
Khi đó thể tích
1 1
. .

3 3
∆
= =
ABC
V B h S SI
. Mà
2
1 3
. .sin
2 4
∆
= =
ABC
a
S AB AC A
.
Vậy
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 4 2 24
∆
= = =
ABC
a a a
V S SI
(đvtt).
Bài tập tương tự
1. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
vng tại B. Biết BC = a, AC =

3
a
mặt SAB là tam giác vng tại S và SA = a. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC theo a.
HOÀNG THÁI VIỆT ĐHBKĐN - 01695316875