BÀI GIẢNG TOÁN THỐNG KÊ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (759.44 KB, 20 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ
Mục lục
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ 3
3
3
1.2. 3
3
3
3
2.2. 5
5
5
2.2. 5
2.3. 6
8
4.1. 8
4.2. 8
4.3. kê 8
8
5.1. 8
-
2
) 9
9
-Snedecor 10
10
11
Chương 5. ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ 12
12
12
12
1.2. 12
13
a-/ 13
b- 13
c- 14
14
2.1. 14
15
a)
2
. 15
2
16
17
) 17
19
20
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
2
Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 22
22
22
1.2. 22
23
23
23
a)
2
. 23
2
24
c) Chú thích: 25
27
28
22
xy
σvà σ
. 28
b)
22
xy
σvà σ
29
c) Chú ý 30
31
2.5. 32
33
34
34
i
35
i
36
37
40
Chương 7. TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH 45
45
45
45
45
45
45
46
46
46
47
48
III. 49
3.1. 49
3.2. 50
52
54
CÁC BẢNG SỐ 57
57
58
59
60
Bài giảng Toán Thống kê
3
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ
I. TỔNG THỂ VÀ MẪU
1.1. Tổng thể .
in hoa N.
1.2. Mẫu
ó n).
x
i
1
, x
2
, , x
n
). B (x
1
, x
2
, , x
n
.
1.3. Các phƣơng pháp lấy mẫu
nhiên.
II. BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU
2.1. Sắp xếp số liệu
1
, x
2
, , x
n
i
nhau là x
1
, x
2
k
i
< x
i + 1
) và có n
i
i
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
4
X
x
1
x
2
x
k
n
i
n
1
n
2
n
k
T
1
+ n
2
+ n
k
= n.
C
i
i
n
n
f
i
i
i
Thí dụ:
X (cm)
163
164
165
166
167
168
n
i
2
3
5
5
4
1
c)
ành phân
min
, x
max
k
xx
h
minmax
0
x
min
; x
i
= x
0
+ i
k
x
max
i 1
, x
i
i 1
,
x
i
)).
thành
X
x
0
x
1
x
1
x
2
x
k 1
x
k
n
i
n
1
n
2
n
k
T
1
+ n
2
+ n
k
= n.
i
n
n
f
i
i
Thí dụ:
1,20
1,26
1,21
1,17
1,19
1,25
1,22
1,22
1,19
1,18
1,25
1,19
1,22
1,20
1,21
1,21
1,20
1,20
1,25
1,18
1,24
1,15
1,23
1,21
1,22
1,24
1,18
1,23
1,21
1,18
1,16
1,17
1,20
1,15
1,18
1,22
1,21
1,23
1,26
1,24
Ta có: x
max
= 1,26; x
min
= 1,15
(1,14; 1,16]
X (kg)
1,14 1,16
1,16 1,18
1,18 1,20
1,20 1,22
1,22 1,24
1,24 1,26
n
i
3
7
8
11
6
5
:
X(kg)
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
n
i
2
1
2
5
3
5
6
5
3
3
3
2
Bài giảng Toán Thống kê
5
2.2. Biểu diễn hình học của mẫu
X
x
1
x
2
x
k
f
i
f
1
f
2
f
k
và c
X
x
0
x
1
x
1
x
2
x
k 1
x
k
f
i
f
1
f
2
f
k
i
=
i
n
n
ó
III. CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA MẪU
3.1. Trung bình mẫu
1
, x
2
n
n
1i
i
n21
x
n
1
n
x xx
x
(4.1)
X
x
1
x
2
x
k
n
i
n
1
n
2
n
k
thì:
k
1i
ii
k21
kk2211
xn
n
1
n nn
xn xnxn
x
(4.1a)
.
2.2. Phƣơng sai mẫu
1
, x
2
n
2
=
n
1i
2
i
)xx(
n
1
(4.2)
4
n
i
(f
i
)
5 (0,25)
4 (0,2)
3 (0.15)
2 (0,1)
1 (0,05)
0 163 164 165 166 167 168 X
n
i
(f
i
)
11 (11/40)
7 (7/40)
5 (5/40)
3 (3/40)
0 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 X
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
6
s*
2
=
2
n
1i
2
i
2
2
n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
xx
n
1
n
xxn
x
n
1
x
n
1
(4.2a)
2
=
k
1i
2
ii
)xx(n
n
1
(4.3)
s*
2
=
2
k
1i
2
ii
2
2
n
1i
n
1i
ii
2
ii
2
k
1i
ii
k
1i
2
ii
xxn
n
1
n
xnxnn
xn
n
1
xn
n
1
(4.3a)
1
+ n
2
k
.
độ lệch chuẩn
2
*s*s
2.3. Phƣơng sai hiệu chỉnh của mẫu
1
, x
2
n
2
=
2
*s
1n
n
s
2
=
n
1i
2
i
)xx(
1n
1
(4.4)
2
=
1n
xnx
)1n(n
xxn
2
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
(4.4a)
2
=
k
1i
2
ii
)xx(n
1n
1
(4.5)
2
=
1n
xnxn
)1n(n
xnxnn
2
k
1i
2
ii
2
k
1i
ii
k
1i
2
ii
(4.5a)
1
+ n
2
k
.
độ lệch chuẩn hiệu chỉnh
2
ss
x
i
=
xx
i
là
i
và
x
i
n hay xa tâm
x
x
.
chỉ dùng phƣơng sai hiệu chỉnh của mẫu s
2
mà không dùng
2
Bài giảng Toán Thống kê
7
Thí dụ 1. (
X (cm)
163
164
165
166
167
168
n
i
2
3
5
5
4
1
Giải:
x, x
2
. Có hai cách
- Cách 1:
x
n
i
n
i
x
i
n
i
x
i
2
163
2
326
53138
164
3
492
80688
165
5
825
136125
166
5
830
137780
167
4
668
111556
168
1
168
28224
Tổng
20
3309
547511
- Cách 2: Tính theo hàng:
n
i
x
i
n
i
x
i
2
= 163
2
.2 + 164
2
2
= 547511
45,165
20
3309
x
s*
2
=
2
)45,165(
20
547511
=1,84750
2
=
19
)45,165(20547511
2
= 1,94474 s = 1,3945
Thí dụ 2.
X (kg)
1,14 1,16
1,16 1,18
1,18 1,20
1,20 1,22
1,22 1,24
1,24 1,26
n
i
3
7
7
12
6
5
x
i
n
i
n
i
x
i
n
i
x
i
2
1,14-1,16
1,15
3
3,45
3,9675
1,16-1,18
1,17
7
8,19
9,5823
1,18-1,20
1,19
7
8,33
9,9127
1,20-1,22
1,21
12
14,52
17,5692
1,22-1,24
1,23
6
7,38
9,0774
1,24-1,26
1,25
5
6,25
7,8125
Tổng
40
48,12
57,9216
40
12,48
x
= 1,203
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
8
2
=
2
)203,1(
40
9216,57
= 0,00083 * = 0,0288
2
=
39
)203,1(409216,57
2
= 0,00085 s = 0,0292
IV. MẪU NGẪU NHIÊN
4.1. Mẫu ngẫu nhiên
Xét X.
i
(X
1
, X
2
n
).
1
, X
2
n
i
.
1
, x
2
n
1
, X
2
n
).
4.2. Các đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên
kê (x
1
, x
2
n
) nhiên X nhiên
(X
1
, X
2
n
) nó. là:
:
n
X
X
n
1i
i
;
:
n
XX
*S
n
1i
2
i
2
; và
:
1n
XX
S
n
1i
2
i
2
1
, x
2
n
4.3. Thống kê
1
, X
2
n
G = G(X
1
, X
2
n
)
các đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên là các thống kê.
V. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ
5.1. Các định lý về phân phối chuẩn
Bài giảng Toán Thống kê
9
,
2
) thì:
Z =
X
~ N(0, 1)
1
, X
2
n
,
2
) , thì:
n
,N~X
n
1
X
2
n
1i
i
n
n
1
XE
n
1
X
n
1
EXE
n
1i
i
n
1i
i
;
n
n
n
1
XD
n
1
X
n
1
DXD
2
2
2
n
1i
i
2
n
1i
i
N(
x
,
x
2
), Y~N(
y
,
y
2
) thì X Y ~ N(
x
y
,
x
2
+
y
2
) (vì D(X Y) =
D(X) + D(Y))
/2
) sao cho:
1)2/(u
|X|
P
X ~ N(,
2
).
(u
/2
) 1 = 1 (u
/2
) = 1 /2.
/2).
5.2. Phân phối khi-bình phƣơng (
2
)
Định nghĩa:
1
, X
2
n
2
n
2
2
2
1
2
X XX
khi-. K
2
~
2
(n).
2
~
2
(n)
P(
2
>
2
(, n) ) =
2
~
2
2
(, n) (hay
2
, n
) .
2
(-, dòng n.
2
(0,05; 4) = 9,488;
2
(0,95; 10) = 3,94
5.3. Phân phối Student
Định nghĩa:
1
, X
2
n
nhau
n
1i
2
i
X
n
1
X
T
. K
f(q)
n
1
n
2
O
2
(,n
2
) q
2
Đồ thị hàm mật độ biến
2
n bậc tự do (n
1
< n
2
)
f(t)
/2 /2
-t(/2) O t(/2) t
Đồ thị hàm mật độ biến Chuẩn
tham số ,
2
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
10
.
P(|T| > t(/2, n) ) =
trong /2, n) (hay t
/2, n
).
, dòng n.
t(0,025; 31) = t(0,025;35) = t(0,025; n) = 1,96, n
t(0,05; 31) = t(0,05;35) = t(0,05; n) = 1,645, n
5.4. Phân phối Fisher-Snedecor
Định nghĩa:
1
, X
2
n
và Y
1
, Y
2
m
m
1i
2
i
n
1i
2
i
Yn
Xm
F
P(F > F(,n,m) ) =
,n,m) (hay F
, n, m
).
khi-
F(0,05; 12; 9) = 3,073
5.5. Phân vị mức 1 –
P( X < X
) 1 P(X X
)
F(X
) 1
)X(F
0
1dx)x(f)X(F
X
)
;
2
(, n); t(, n); F(
Chú ý là các
u
;
2
, n
; t
, n
; F
, n, m
.
f(f)
n
1
,m
1
n
2
,m
2
O F(,n
1
,m
1
) fF
Đồ thị hàm mật độ biến Fisher
n,m bậc tự do
f(t)
n
1
n
2
/2 /2
-t(/2,n
1
) O t(/2,n
1
) tT
Đồ thị hàm mật độ biến Student
n bậc tự do (n
1
> n
2
)
Bài giảng Toán Thống kê
11
BÀI TẬP CHƢƠNG 4
1. (1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
45,5
46,0
47,0
45,5
47,5
46,0
48,0
48,0
44,0
49,5
.
x
= 46,7; s*
2
= 2,3100; s* = 1,5199; s
2
= 2,5567, s = 1,6021
2.
X
95
96
97
98
99
100
n
i
)
2
5
7
6
4
1
c)
x
= 97,32; s*
2
= 1,6576; s* = 1,2875; s
2
= 1.7267, s = 1,340
3. (4)
X
1,50-1,55
1,55-1,60
1,60-1,65
1,65-1,70
1,70-1,75
n
i
5
18
42
27
8
x
= 1,6325; s*
2
= 0,00237; s* = 0,0478; s
2
= 0,0239, s = 0,0489
4. (5)
1
5
22
21
39
32
29
47
14
37
21
14
10
28
26
16
20
35
41
30
36
6
27
18
17
31
25
23
54
10
49
29
24
8
28
12
24
25
3
49
20
23
10
13
45
16
22
58
43
32
a)
x
= 25,36; s
2
= 184.48, s = 13,5823
b)
X
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
n
i
8
10
17
7
6
2
c)
x
= 24,80; s
2
= 185,6735, s = 13,6262
5.
108 112 108 120 112 114 115 112 115 118 116 110
x
= 113,33; s*
2
= 12,7222; s* = 3,5668; s
2
= 13,8788, s = 3,7254
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
12
Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Khái niệm về bài toán ƣớc lƣợng tham số
1
, x
2
x
n
bài toán ƣớc lƣợng
tham số .
1
, X
2
n
X,
i
i
(x
1
,x
2
n
1- =
0
2-
1
,
2
] sao cho P(
1
2
) = P P
thì [
1
,
2
]
[
1
,
2
].
I. ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM
1.1. Định nghĩa.
G = G(X
1
n
) là
.
Khi thay (X
1
n
1
n
) thì
G
0
= G(x
1
n
). G
0
.
G
.
1.2 Các loại ƣớc lƣợng
1-G
E(G) = .
. Ta có:
E(G ) = E(G) E() = = 0
2-G
D(G) .
3-G
G :
n
limP G 1
, >0
ó
Bài giảng Toán Thống kê
13
1.3. Các ƣớc lƣợng điểm thƣờng gặp.
1
, X
2
n
i
, D(X) =
2
. Ta có:
a-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên:
n
1i
i
X
n
1
X
E(X
i
) = ; D(X
i
) =
2
, i
Ta có:
.n.
n
1
XE
n
1
X
n
1
E)X(E
n
1i
i
n
1i
i
X
X
.
b-/ Phƣơng sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh:
n
1i
2
i
22
XX
1n
1
*S
1n
n
S
D(X) =
2
2
=
n
1i
2
i
XX
n
1
. Ta có:
S*
2
=
n
1i
2
i
)XX(
n
1
=
n
1i
2
i
)X()X(
n
1
=
=
n
1i
i
2
i
)]X()X(2)[X()X(
n
1
=
=
n
1i
i
n
1i
2
i
XX2)X(
n
1
)X(
n
1
=
=
nXnX2)X(
n
1
)X(
n
1
i
i
n
1i
2
i
=
=
)nXnXn2)(X(
n
1
)X(
n
1
n
1i
2
i
=
n
1i
22
i
)X()X(
n
1
.
E(S*
2
) =
n
1i
22
i
)X()X(
n
1
E
=
2
n
1i
2
i
)X(E)X(E
n
1
=
=
)X(D)X(D
n
1
n
1i
i
=
nn
1
2
n
1i
2
=
2
n
2
=
2
n
1n
2
2
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
14
E(S
2
) =
2
*S
1n
n
E
=
2
*SE
1n
n
=
2
n
1n
.
1n
n
=
2
2
2
2
2
.
Chú ý: S*
2
2
2
. Phải ƣớc lƣợng D(X) bằng phƣơng sai hiệu chỉnh S
2
của mẫu.
c-/ Tần suất
A là
n .
i
t (X
1
, X
2
n
)
i
là:
X
i
0 1
P
1 p p
Ta có: E(X
i
) = 0.(1 p) + 1.p = p,
nên X là
~ B(n, p)) và
n
i
i1
XX
n
i
i1
1
FX
n
là t c A trong m
nn
ii
i 1 i 1
1 1 1
E(F) E X E X .np p
n n n
V
II. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG
2.1. Khoảng tin cậy. Độ tin cậy
1
,
2
] sao cho
P(
1
2
) = PP
T G = G(X
1
, X
2
, , X
n
) , ta
G G
1
= G
1
(X
1
, X
2
, , X
n
) và G
2
= G
2
(X
1
, X
2
, , X
n
)
sao cho:
P(G
1
G
2
) = P (5.1)
Vì P (G
1
G
2
1
, x
2
n
1
= G
1
(x
1
, x
2
n
),
2
= G
2
(x
1
, x
2
n
)
P
1
,
2
sao cho:
P( [
1
,
2
]) = P
Bài giảng Toán Thống kê
15
-
1
,
2
] .
-
- 2d = |
1
2
|
Chú ý:
1
,
2
1
,
2
2.2. Ƣớc lƣợng kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối chuẩn
Bài toán: ,
2
1
, x
2
n
Giải:
n
1i
i
X
n
1
X
.
a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai D(X) =
2
.
X ~ N ,
n
n
|X|
~ N(0, 1)
P u
/2
= 1
2
u
n
|X|
P
= P
n
.u|X|P
2
= P.
22
P X u . X u .
nn
= P
là:
22
X u . ; X u .
nn
1
, x
2
n
x
và
22
x u . ; x u .
nn
/2
Thí dụ 1:
x
= 99,82mm. Hãy
Giải:
0,025
= 1,96.
[99,82
2
1,96
25
; 99,82 +
2
1,96
25
] [99,036; 100,604]
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
16
b) Trƣờng hợp không biết phƣơng sai
2
2
n
1i
2
i
2
XX
1n
1
S
và có:
n
S
|X|
~ t(n 1)
P Student t(/2; n 1)
)1n;2/(t
n
S
|X|
P
= P
n
S
)1n;2/(t|X|P
= P
22
SS
P X t / 2,n 1 X t / 2,n 1
nn
= P
là:
22
SS
X t / 2,n 1 ; X t / 2,n 1
nn
1
, x
2
n
x
s
2
22
, n 1 , n 1
22
ss
x t . ; x t .
nn
Thí dụ 2:
9,5
9,7
9,8
9,9
10,1
10,2
i
)
2
5
6
4
2
1
Giải:
2
: x
2
= 9,5
2
.2 + 9,7
2
2
.2 = 1927,29
20
3,196
x
= 9,815;
2
=
19.20
)3,196(29,1927.20
2
= 0,0319
025; 19) = 2,093
[9,815
0,0319
2,093
20
; 9,815 +
0,0319
2,093
20
] [9,731; 9,899]
Bài giảng Toán Thống kê
17
2.3. Ƣớc lƣợng phƣơng sai của phân phối chuẩn
Bài toán: ,
2
2
2
2
2
S1n
n
1i
2
i
2
XX
1n
1
S
thì
2
2
S1n
~
2
(n 1).
2
(
2
; n 1) và
2
(1
2
; n
2
22
2
1 ,n 1 ,n 1
22
(n 1)S
P
= P
22
2
22
/2,n 1 1 /2,n 1
(n 1)S (n 1)S
P
D(X) =
2
là:
22
22
/2,n 1 1 /2,n 1
(n 1)S (n 1)S
;
1
, x
2
n
) thì tính
2
22
22
/2,n 1 1 /2,n 1
(n 1)s (n 1)s
;
Thí dụ 1:
2
= 0,0319. Ta có = 1 0,90 = 0,10
2
2
(0,95; 19) = 10,117;
2
(0,05; 19) = 30,144.
117,10
0319,0.19
;
144,30
0319,0.19
(0,0201; 0,0599)
Thí dụ 2: viên bi (X mm)
X: 5,13 5,31 4,92 4,83 4,92 5,05 5,34 4,93
,
2
Giải:
c: x
i
= 40,93; x
i
2
= 204,5777 nên:
2
2
8.204,5777 40,83
s
8.7
= 0,0364
2
2
(0,025; 7) = 16,013;
2
(0,975; 7) = 1,690;
2
:
69,1
0364,0.7
;
013,16
0364,0.7
(0,0159; 0,1508)
2.4. Ƣớc lƣợng xác suất (tỷ lệ)
Bài toán:
P
Giải:
nhiên là
X pq
F ~ N p,
nn
p
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
18
n
pq
pF
thì
n
pq
pF
~ N(0, 1).
P
/2
= 1 P
2
u
n
pq
|pF|
P
= P
n
pq
u|pF|P
2
= P
là
k
f
n
và
n
pq
u|pf|
2
(5.2)
(5.2)
22
2 2 2 2
/2 /2
2
p(1 p) u u
|f p| u 1 p 2f p f 0
n n n
[p
1
, p
2
]
c k
n
k
f
f
n
)f1(f
uf;
n
)f1(f
uf
22
Thí dụ 1:
Giải:
125,0
200
25
f
= 1 0,95 = 0,05. u
0,025
= 1,96
0,125.0,875 0,125.0,875
0,125 1,96 ; 0,125 1,96
200 200
(0,079; 0,171)
Chú thích:
22
22
1,96 1,96
1 p 2.0,125 p 0,125 0
200 200
1,0192p
2
0,2692p + 0,0156 0 [0,086; 0,178]
Thí dụ 2:
Giải:
63,0
400
252
f
Bài giảng Toán Thống kê
19
= 1 0,90 = 0,10.
0,05
= 1,645
0,63(1 0,63) 0,63(1 0,63)
0,63 1,645 ; 0,63 1,645
400 400
[0,5903; 0,6697]
2.5. Kích thƣớc mẫu cần thiết
a) Trƣờng hợp ƣớc lƣợng kỳ vọng
2
2u
n
nên có:
2
2
2
22
2u 2 n u
n
2
2
và thay
2
2
Thí dụ: N(
Giải:
0,025
= 1,96
T:
2
1,96.0,4
0,25
= 9,83
b) Trƣờng hợp ƣớc lƣợng xác suất
2
p(1 p)
2u
n
nên có:
2
/2
2
2
p(1 p) u p(1 p)
2u 2 n
n
2
/2
2
u1
n ; vì p(1 p)
44
Thí dụ: ý sao
bao
nhiêu
Giải:
T:
2
2
1.96
4.0,03
= 1067,11
1068 .
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
20
BÀI TẬP CHƢƠNG 5
1. (12)
x
=
19,25
Đs: [18,93; 19,57]
2. (9)
x
Đs: [76,83; 79,17]
3. (4),
2
sau:
N
i
40
45
46
49
51
53
57
i
2
5
9
35
43
22
14
0,95.
Đs:
x
= 50,70; s
2
= 10,5992; [50,140; 51,260]
4. (6),
2
x
i
2,1
2,3
2,4
2,6
2,7
2,9
3,1
3,3
n
i
1
2
3
3
5
3
2
1
a) .
b)
2
.
Đs: a)
x
= 2,67; s
2
= 0,0927; [2,53; 2,81]; b) [0,0536; 0,1977]
5. (5) gà, 25)
x
i
150
160
165
170
175
180
185
n
i
4
12
14
25
25
14
6
.
Đs: a)
x
= 170,85; s
2
=65,1793; [169,27; 172,43];
b) f = 0,45; [0,3525; 0,5475] (hoặc [0,3561; 0,5476] nếu giải bất phương trình)
6. (11)
2
X
180-190
190-200
200-210
210-220
220-230
230-240
240-250
250-260
i
12
15
30
58
65
35
20
15
Đs:
x
= 221,36; s
2
= 289,9100; [219,25; 223,47]
7. (8)
30
31
33
35
37
39
40
n
i
1
1
2
2
2
1
1
