Phân Tích Ứng Xử Nền Móng Bằng Phương Pháp Phần Tử Biên Trung Tâm (Scaled Boundary Finite Element Method).Pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH
PHỐSƯ
HỒPHẠM
CHÍ MINH
TRƯỜNG
ĐẠI HỌC
KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ
HUỲNH
TÍN
LUẬN
VĂNHỮU
THẠC
SĨ
HUỲNH HỮU TÍN

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ NỀN MĨNG BẰNG
PHÂN TÍCH
ỨNG
XỬTỬ
NỀN
MĨNG
BẰNG

PHƯƠNG
PHÁP
PHẦN
BIÊN
TRUNG
TÂM
PHƯƠNG
PHÁP PHẦN
TỬ BIÊN
TRUNGMETHOD)
TÂM
(SCALED
BOUNDARY
FINITE
ELEMENT
(SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT METHOD)

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG - 8580201
Hướng dẫnKỸ
khoa
học: XÂY DỰNG
NGÀNH:
THUẬT
TS. NGUYỄN VĂN CHÚNG

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2021


QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI

LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. LÝ LỊCH SƠ LƯỢC:
Họ & tên: Huỳnh Hữu Tín
Giới tính: Nam
Ngày, tháng, năm sinh: 19/08/1994
Nơi sinh: Đồng Tháp
Q qn: khóm Bình Thạnh 1, thị trấn Lấp Vò, huyện Lấp Vò, tỉnh Đồng
Tháp
Dân tộc: Kinh
Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 108 Nguyễn Thị Lựu, phường Hòa Thuận,
thành Phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp
Điện thoại nhà riêng: 0966874455
E-mail:
II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO:
1. Đại học:
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian đào tạo từ 08/2012 đến 04/2018
Nơi học (trường, thành phố): Trường đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh
Ngành học: Kỹ thuật tài nguyên nước
Tên luận văn tốt nghiệp: Thiết kế kè Sa Đéc III – phân đoạn 467m
Ngày & nơi bảo luận văn tốt nghiệp: Trường đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí
Minh 18/12/2017.
Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN QUANG TRƯỞNG
III. Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUN MƠN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP
ĐẠI HỌC:
Thời gian

Nơi cơng tác

Cơng việc đảm nhiệm

Từ 01/01/2018 Công ty CP TVTK Xây Dựng
đến 01/01/2019

BMC – Đồng Tháp

Từ 01/01/2019 Công ty TNHH Nam Thiên
đến 01/03/2021

Phong

Từ 01/03/2021 Cảng vụ đường thủy nội địa khu
đến nay

vực III

i

Cán bộ kỹ thuật
Cán bộ kỹ thuật
Cảng vụ viên


LỜI CAM KẾT
- Tên đề tài: Phân tích ứng xử nền móng bằng phương pháp phần tử biên
trung tâm SBFEM (Scaledboundary finite element method).
- GVHD: TS. Nguyễn Văn Chúng
- Họ tên học viên: Huỳnh Hữu Tín
- MSSV: 1980831

Lớp: XDC19BDT
- Địa chỉ sinh viên: 303, Khóm Bình Thạnh 1, Thị trấn Lấp Vò, huyện Lấp
Vò, tỉnh Đồng Tháp
- Số điện thoại liên lạc: 0334455567
- Email:
- Ngày nộp khoá luận tốt nghiệp (ĐATN):
- Lời cam kết: “Tơi xin cam đoan khố luận tốt nghiệp (ĐATN) này là cơng
trình do chính tơi nghiên cứu và thực hiện. Tôi không sao chép từ bất kỳ
một bài viết nào đã được công bố mà khơng trích dẫn nguồn gốc. Nếu có
bất kỳ một sự vi phạm nào, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm”.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 05 năm 2021
Ký tên

Huỳnh Hữu Tín

ii


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Văn Chúng, người đã tận tình giúp
đỡ, hướng dẫn, định hướng đúng đắn cho tôi trong nghiên cứu khoa học và cung
cấp các thơng tin cần thiết để tơi hồn thành luận văn thạc sĩ này.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáo trong Khoa Xây Dựng
của Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh. Xin cảm ơn tất
cả người thân trong gia đình, cơng ty và đồng nghiệp đã giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi để tơi hồn thành luận văn. Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn
thạc sĩ có hạn nên khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tơi rất mong được
sự đóng góp của q thầy cơ giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 05 năm 2021
Ký tên

Huỳnh Hữu Tín

iii


TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
PHÂN TÍCH ỨNG XỬ NỀN MÓNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
BIÊN TRUNG TÂM SBFEM (SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT
METHOD).
Nội dung nghiên cứu chính của luận văn này, phát triển phương pháp phần tử
biên trung tâm SBFEM (Scaled boundary finite element method) để phân tích bài
tốn phẳng. Áp dụng phân tích ứng xử nền móng xét các điều kiện biên khác nhau.
Xem xét hiệu quả của phương pháp SBFEM như độ chính xác, khả năng hội tụ,..
Điểm mới của luận văn, trình bày ưu điểm của phương pháp SBFEM trong
phân tích ứng xử nền móng với các điều kiện biên khác nhau. Phân tích tính hiệu
quả của SBFEM trong phương pháp số so với các phương pháp khác về tốc độ hội
tụ, độ chính xác. Phát triển áp dụng phân tích bài tốn nền móng có xét tương tác
của kết cấu bên trên. Từ đó, rút ra đánh giá tính hiệu quả, chính xác của phương
pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn ở Việt Nam đang sử
dụng hiện nay.

Học viên thực hiện

Huỳnh Hữu Tín

iv

ABSTRACT
In this study, developing the scaled boundary finite element method (referred to as
SBFEM) to analyze the plane problem. From there, applying fundamental behavioral
analysis considering different boundary conditions. Consider the effectiveness of the
SBFEM method compared with other methods in terms of convergence and accuracy.
Developing and applying analysis of the foundation of the problem with the interaction of
the above structure and extracting an evaluation of the efficiency and accuracy of the
scaled boundary finite element method (SBFEM).
The new point of the thesis, presents the advantages of the SBFEM method in
analyzing the foundation behavior with different boundary conditions. Analyze the
effectiveness of SBFEM in numerical methods compared with other methods in terms of
convergence speed, accuracy. Developing and applying analysis of the foundation
problem with consideration of the interaction of the structure above. From there, draw an
assessment of the effectiveness and accuracy of the central boundary element method
with the finite element method in Vietnam currently being used.
Keywords: SBFEM; Linear Problem; Mixed boundary condition; High-Order
Element.

v


MỤC LỤC
Trang tựa
Trang
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ..................................................................................
LÝ LỊCH KHOA HỌC.............................................................................................i
LỜI CAM KẾT .......................................................................................................ii
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ......................................................................... iv

ABSTRACT ............................................................................................................ v
MỤC LỤC ............................................................................................................. vi
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU .............................................................................viii
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ................................................................................. ix
DANH SÁCH CÁC HÌNH ...................................................................................... x
DANH SÁCH CÁC BẢNG ...................................................................................xii
Chương 1 TỔNG QUAN ......................................................................................... 1
1.1 Đặt vấn đề: ..................................................................................................... 1
1.2 Tình hình nghiên cứu: .................................................................................... 1
1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước: ............................................................ 1
1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngồi nước: ........................................................... 2
1.3 Mục tiêu nghiên cứu: ..................................................................................... 6
1.4 Nội dung nghiên cứu: ..................................................................................... 6
1.5 Phương pháp nghiên cứu:............................................................................... 6
1.6 Tính mới của đề tài: ....................................................................................... 7
Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................. 8
2.1 Bài toán cơ bản: ............................................................................................. 8
2.2 Phương trình cơ bản: ...................................................................................... 9
2.3 Phương trình dạng yếu: ................................................................................ 10
2.4 Phương pháp phần tử biên trung tâm: ........................................................... 11
2.5 Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm:.............................................. 12
2.6 Phương pháp xắp xỉ cho phần tử biên trung tâm: .......................................... 14
vi


2.7 Công thức cho phần tử biên trung tâm:......................................................... 15
2.8 Xử lý điều kiện biên cho phần tử biên trung tâm .......................................... 19
2.9 Lời giải cho phương trình dạng yếu.............................................................. 21
2.10 Kết quả thường chuyển vị, ứng suất trong bài toán phẳng. ......................... 24
2.11 Hàm dạng xấp xỉ trong phương pháp phần tử biên trung tâm ..................... 24

2.12 Lưu đồ tính tốn theo SFEM ...................................................................... 24
Chương 3 CÁC VÍ DỤ .......................................................................................... 26
3.1 Bài tốn 1:.................................................................................................... 26
3.1.1 Mơ tả bài tốn:....................................................................................... 26
3.1.2 Phương pháp giải tích cho bài tốn: ....................................................... 27
3.1.3 Mơ hình SBFEM cho bài tốn: .............................................................. 29
3.1.4 Kết quả phân tích và bình luận: ............................................................. 34
3.2 Bài tốn 2:.................................................................................................... 35
3.2.1 Mơ tả bài tốn:....................................................................................... 35
3.2.2 Phương pháp giải tích cho bài tốn: ....................................................... 36
3.2.3 Mơ hình SBFEM cho bài tốn lực tập trung trong miền vơ hạn: ............ 36
3.2.4 Kết quả phân tích và bình luận: ............................................................. 42
3.3 Bài tốn 3:.................................................................................................... 44
3.3.1 Mơ tả bài tốn:....................................................................................... 44
3.3.2 Mơ hình Plaxis bài tốn: ........................................................................ 45
3.3.3 Mơ hình SBFEM cho bài toán: .............................................................. 47
Chương 4 KẾT LUẬN .......................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 55

vii


DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
 …………………………………………………………………..Miền của bài toán
 ……………………………………………………………Miền biên của bài toán
 (x, y) ……………………………………...Trường ứng suất theo hai trục x và y
 (x, y)………………………………………....Trường biến dạng theo hai trục x và y
u (x, y) ………………………………………..Trường chuyển vị theo hai trục x và y
D ........................................................................................Ma trận đặc trưng vật liệu
E…………………………………………………………Mođun đàn hồi của vật liệu

 …………………………………...................................Hệ số Poisson của vật liệu
K ……………………………………………………………………Ma trận độ cứng

uh (s,  ) ………………………………...…Trường chuyển vị xấp xỉ theo trục s và 
U(h ) …………………………………Ma trận các giá trị chuyển vị tại nút theo trục 
W(h ) …………………………………,,,…Ma trận xấp xỉ các trọng số dư theo trục 
B1 ………………………...Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục s
B2 ………………………...Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục 

i ………………………………………………………...Hằng số tỉ lệ phương thức
ψ ………………………………...………………………………Véc-tơ thành phần
,

………………………………...………………………..Ma trận đường chéo

C , C …………………………………..…………….Các

viii

véc-tơ chứa hằng số bất kỳ


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
SBFEM ………………………………………..Phương pháp phần tử biên trung tâm
BEM ……………………………………………………...Phương pháp phần tử biên
FEM ………………………………………………...Phương pháp phần tử hữu hạn
SC ………………………………………….Tâm khảo sát của phương pháp SBFEM
ELM ………………………………………………………………………….Phần tử
Side face …………………………………………………….…………...Đường biên

PPGT ………………………………………………...………..Phương pháp giải tích

ix


HÌNH

DANH SÁCH CÁC HÌNH

TRANG

Hình 2.1: Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài tốn .................................. 8
Hình 3.1: Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài toán biên cố định .................. 11
Hình 3.2: Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài tốn biên vơ hạn ................... 12
Hình 3.3: Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài tốn ................................ 12
Hình 3.4: Biểu diễn sự biến đổi theo phương pháp xấp xỉ giữa hai hệ tọa độ......... 13
Hình 3.5: Biên  của miền giả định được giới hạn bởi ba thành phần ............... 16
Hình 3.6 Hàm dạng và chuyển vị tương ứng cho các phần tử bậc 1, 2, 3. .............. 24
Hình 4.1: Bài tốn ống trịn chịu áp lực đều trong miền vơ hạn ............................. 26
Hình 4.2: Mơ hình SBFEM ống trịn chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 2 ELM 29
Hình 4.3: Mơ hình SBFEM ống trịn chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 4 ELM 30
Hình 4.4: Mơ hình SBFEM ống trịn chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 8 ELM 30
Hình 4.5: Mơ hình SBFEM ống trịn chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 16 ELM
.............................................................................................................................. 31
Hình 4.6: Kết quả ứng suất chuẩn hóa (  xy / p ) theo PPGT và SBFEM............... 32
Hình 4.7: Kết quả chuyển vị chuẩn hóa urr / ( pr0 / E ) theo PPGT và SBFEM ...... 34
Hình 4.8: Mơ hình bài tốn lực tập trung trong miền vơ hạn. ................................ 35
Hình 4.9: Mơ hình SBFEM bài tốn lực tập trung trong miền vơ hạn với 8 ELM . 37
Hình 4.10: Mơ hình SBFEM bài tốn lực tập trung trong miền vơ hạn với 16 ELM
.............................................................................................................................. 37

Hình 4.11: Mơ hình SBFEM bài tốn lực tập trung trong miền vơ hạn với 32 ELM
.............................................................................................................................. 38
Hình 4.12: Mơ hình SBFEM bài tốn lực tập trung trong miền vô hạn với 64 ELM
.............................................................................................................................. 38
Hình 4.13: Biểu đồ ứng suất chuẩn hóa  xx / ( P / r0 ) theo PPGT và SBFEM ....... 40
Hình 4.14: Biểu đồ ứng suất chuẩn hóa  yy / ( P / r0 ) theo PPGT và SBFEM ........ 42
Hình 4.15: Bài tốn phẳng chịu tải phân bố P1 ...................................................... 44

x


Hình 4.16: Mơ hình Plaxis .................................................................................... 45
Hình 4.17: Mơ hình lưới và vị trí khảo sát chuyển vị u yy ...................................... 46
Hình 4.18: Kết quả chuyển vị u yy của mơ hình Plaxis ............................................ 46
Hình 4.19: Kết quả chuyển vị u yy trên đoạn khảo sát A-B ..................................... 47
Hình 4.20: Mơ hình SBFEM cho bài tốn hố đào chịu tải phân bố bề mặt ............ 48
Hình 4.21: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vô hạn; 2 ELM 48
Hình 4.22: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 4 ELM 49
Hình 4.23: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vơ hạn; 8 ELM 49
Hình 4.24: Biểu đồ chuyển vị chuẩn hóa( u yy / ( PH 0 / E ) theo Plaxis và SBFEM 52

xi


BẢNG

DANH SÁCH CÁC BẢNG

TRANG

Bảng 3.1: Vị trí các điểm khảo sát chuyển vị, ứng suất theo PPGT và SBFEM ..... 29
Bảng 3.2: Kết quả ứng suất  xy tại tập điểm khảo sát [I,XI] theo PPGT và SBFEM
.............................................................................................................................. 31
Bảng 3.3: Kết quả chuyển vị urr tại tập điểm khảo sát [I,XI] theo PPGT và SBFEM
.............................................................................................................................. 33
Bảng 4.4: Vị trí các điểm khảo sát ứng suất  xx và  yy theo PPGT và SBFEM ..... 36
Bảng 4.5: Kết quả ứng suất  xx tại tập điểm khảo sát [I,XXI] theo PPGT và
SBFEM ................................................................................................................. 39
Bảng 4.6: Kết quả ứng  yy tại tập điểm khảo sát [I,XXI] theo PPGT và SBFEM . 41
Bảng 4.8: Kết quả chuyển vị u yy tại tập điểm khảo sát theo Plaxis và SBFEM ..... 50

xii


Chương 1
TỔNG QUAN
1.1 Đặt vấn đề:
Trong vấn đề xây dựng hiện nay, các vấn đề về nền móng đang được tối ưu hóa
và vận dụng vào thực tiễn ngày càng đa dạng. Việc nghiên cứu và áp dụng các
phương pháp tính tốn nền móng các cơng trình phức tạp được vận dụng theo các
tiêu chuẩn hiện hành ngồi ra cịn địi hỏi các vấn đề về vị trí và điều kiện tự nhiên
của từng loại cơng trình.
Một trong những hướng nghiên cứu hiện nay là sử dụng PTHH (gọi tắt là FEM)
[1-2]. Đây là phương pháp số gần đúng để giải các bài tốn được mơ tả bởi
các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều
kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác khơng thể tìm được bằng phương pháp giải
tích. Tuy nhiên, đối với các cơng trình nền móng có kết cấu phức tạp, có điều kiện
biên hỗn hợp, chuyển vị theo nhiều phương thì phương pháp này phân tích độ chính
xác và khả năng hội tụ có những hạn chế. Hiện nay, từ nền tảng PTHH (FEM) các
quốc gia tiên tiến đã phát triển thêm các phương pháp mới để đáp ứng các nhu cầu

trên như: phương pháp phần tử biên (gọi tắt là BEM), phương pháp phần tử biên
trung tâm (gọi tắt là SBFEM).
Trong việc phân tích ứng xử nền móng để tìm ra miền khảo sát lý tưởng để ứng
dụng vào thực tế, việc đưa phương pháp PTBTT (SEFEM) làm bước tiền đề để rút
gọn q trình tính tốn ứng xử nền móng thơng qua sự hội tụ rất nhanh đã được
chứng minh qua các nghiên cứu trên đã được công bố là hợp lý.
Nội dung nghiên cứu chính của luận văn này là trình bày ưu điểm của PTBTT
(SBFEM) trong phân tích ứng xử nền móng với các điều kiện biên khác nhau. Phân
tích tính hiệu quả của SBFEM trong phương pháp số so với các phương pháp khác
về tốc độ hội tụ, độ chính xác. Phát triển áp dụng phân tích bài tốn nền móng có
xét tương tác của kết cấu bên trên. Từ đó, rút ra đánh giá tính hiệu quả, chính xác
của phương pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn ở Việt
Nam đang sử dụng hiện nay.
1.2 Tình hình nghiên cứu:
1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước:

1


Hiện nay, PTBTT (SBFEM) chưa được nghiên cứu nhiều ở Việt Nam. Năm
2019, nghiên cứu của tác giả Nguyễn Văn Chúng [3] đã giới thiệu phương pháp
PTBTT phân tích bài tốn phẳng với điều kiện biên hỗn hợp. Các ví dụ trong
nghiên cứu đã chứng tỏ được độ hội tụ và hiệu quả so với lời giải giải tích.
Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Văn Chúng [4] đã sử dụng PTBTT trình bày kỹ
thuật số hiệu quả và chính xác dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn biên tỷ lệ để
phân tích các bài tốn giá trị biên hai chiều, tuyến tính, bậc hai, với một miền được
mơ tả hoàn toàn bằng một đường cong xác định trong các vấn đề dịa kỹ thuật.
Ngoài ra, các vấn đề nghiên cứu chỉ đề cập đến PPPTB (BEM) như: nghiên cứu
của tác giả Nguyễn Thống Nhất [5] đã chỉ ra trên cơ sở phân tích lý thuyết của các
phương pháp giải tích và các kết quả khảo sát thực nghiệm các cơng trình thực tế,

đề nghị khoảng cách chọn biên trong tính tốn nền móng cơng trình bằng PTHH từ
đó chỉ ra vùng biên khảo sát sao cho hợp lý nhất. Nếu chọn biên vùng khảo sát nhỏ
thì khơng đảm bảo độ tin cậy của kết quả bài tốn vì khơng thể hiện hết các mối
quan hệ giữa các phần tử. Nếu chọn biên của vùng khảo sát lớn thì sẽ khó khăn
nhiều trong việc nhập các số liệu đầu vào (khai báo các phần tử) và làm cho chương
trình rất nặng (số lượng các phép tính trong các vịng lặp tăng lên rất nhiều lần).
Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Phượng Kiều [6] đã sử dụng phương pháp kết
hợp giữa PTB (BEM) và PTHH (FEM) để phân tích kết cấu nổi trực hướng chịu tải
trọng di động để giải quyết bài toán kết cấu nổi siêu lớn từ đó rút ra sử dụng mơ
hình này đảm bảo độ tin cậy, độ chính xác và hướng hợp lý trong việc xác định ứng
xử động lực học của tấm trực hướng dưới tác động của xe di chuyển.
Qua những nghiên cứu trong nước ta nhận thấy: từ PTHH (FEM) làm tiền đề
để phát triển thành các phương pháp khác như PTB (BEM), PTBTT (SBFEM)
nhằm rút gọn khối lượng tính tốn nhưng phải đảm bảo về tốc độ hội tụ, độ chính
xác, v.v.
1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngồi nước:
Phương pháp phần tử biên trung tâm được phát triển bởi John P. Wolf [7] trong
khoảng hơn 20 năm gần đây. PTBTT (SBFEM) là phương pháp bán giải tích đối
với cơ học tính toán. Lời giải được xây dựng trên miền biên của bài tốn theo
hướng bán kính và một tâm định vị. Kết quả của toàn miền bên trong thu được theo
hàm giải tính theo hướng bán kính của miền sắp xỉ. Sau khi được phát triển, phương

2


pháp phần tử biên trung tâm được đẩy mạnh nghiên cứu và áp dụng hiệu quả trong
các lĩnh vực khác nhau như: cơ học, xây dựng, vật liệu nhiều lớp [8-11].
Vào năm 1997, nhóm tác giả Chongmin Song và John P. Wolf [12] đã phát
triển phương pháp PTBTT (SBFEM) để phân tích miền tần số cho miền giới hạn và
miền không giới hạn. Công thức phần tử biên trung tâm được xây dựng như một hệ

phương trình vi phân dọc theo phương bán kính của miền phần tích. Áp dụng thuật
tốn để giải hệ thống phương trình vi phân với phần tử hữu hạn được sắp xỉ dọc
theo đường biên và lởi giải tổng quát theo phương bán kính. Nghiên cứu đã áp dụng
cho cả bài toán với miền biên giới hạn và vô hạn đã chứng tỏ được độ chính gần
như tuyệt đối. Tiếp theo đó, nhóm tác giả Chongmin Song và John P. Wolf [13] tiếp
tục phát triển phương pháp PTBTT (SBFEM) để phân tích bài tốn động lực học
tuyến tính. Kết quả đã chứng tỏ độ chính xác theo phương bán kính và hội tụ dọc
theo phương chu vi của bài tốn
Năm 1999, nhóm nghiên cứu Chongmin Song và John P. Wolf [14] tiếp tục
phát triển phương pháp PTBTT (SBFEM) để giải bài toán động lực học. Trước tiên,
hệ tọa độ chuyển được được xây dựng bởi một tâm và theo phương chu vi được xác
định trên biên của bài tốn. Sau đó, áp dụng kỹ thuật trọng số sư vào hệ phương
trình bán vi phân để thu được hệ phương trình vi phân chính tắc trong hệ tọa độ
chuyển. Sau đó, xem xét quan hệ động lực học như điều kiện biên áp dụng vào bài
toán. Năm 2003, nhóm nghiên cứu James P. Doherty và Andrew J. Deeks [15] đã
phát triển phương pháp PTBTT để phân tích bài tốn khơng đồng nhất trong miền
khơng gian đối xứng chịu tải trọng tổng quát. Nhóm nghiên cứu đã sử dụng chuỗi
Fourier để sắp xỉ trường chuyển vị theo phương chu vị trong hệ trục tọa độ trụ. Kết
quả phương pháp chứng tỏ kết quả rất tốt trong bài tốn có miền vơ hạn và có độ
chính xác cao so với với lời giải giải tích trong bài tốn phân tích tính tốn nền
móng.
Đầu thế kỷ XXI, nhóm tác giả Andrew J. Deeks và Charles Augarde [16] đã áp
dụng phương pháp phần tử không lưới để xác định hàm dạng theo phương chu vi
trong phương pháp PTBTT, dựa trên phương pháp xắp xỉ Petrov – Galerkin. Kết
quả nghiên cứu đã chứng tỏ độ hội tụ chính xác hơn so với phương pháp PTBTT
tiêu chuẩn với cùng số bậc tự do. Năm 2005, phân tử bậc cao được sử dụng để xắp
xỉ theo phương chi vi trong phương pháp PTBTT (SBFEM) để phân tích hiệu quả
trong việc sử dụng hàm dạng [17]. Kết quả nghiên cứu đã áp dụng trong phân tích

3

bài toán biến dạng phẳng, kết quả đã chứng tỏ được ưu điểm của việc sử dụng phần
tử bậc cao, tốc độ hội tụ tốt hơn khi sử dụng phần tử chia lưới p-refinemetn thay thế
cho dạng phần tử chia lưới h-refinement.
Vào những năm gần đây, nghiên cứu của nhóm tác giả Fengzh Li và Qiang Ti
[18] đã sử dụng phương pháp PTBTT để phân tích vấn đề thấm trong miền vật liệu
nhiều lớp. Mơ hình màn chống thấm và than đầm được thiết lập như hai loại vật
liêu. Kết quả nghiên cứu đã chứng tỏ được độ chính xác vạ tốc độ hội tự so với các
phương pháp số khác và hạn chế số lượng dữ liệu đầu vào. Năm 2013, nhóm tác giả
Ean Tat Ooi và cộng sự [19] đã giới thiệu công thức với phần tử đa giác trong
phương pháp PTBTT để phân tích ứng xử ứng xử đàn hồi dẻo của vật liệu trong kết
cấu. Kết quả nghiện cứu chứng tỏ phương pháp này có độ chính xác tốt hơn so với
phương pháp phần tử hữu hạn trong các bài tốn phân tích nứt.
Gần đây, Fabian Krome1, Hauke Gravenkamp [20] đã giới thiệu công thức bán
giải tích để mơ phỏng và phân tích kết cấu dạng cung tròn dựa trên nền tảng phương
pháp PTBTT. Phương pháp này sử dụng tâm của phương pháp PTBTT dạng một
đường biên để mơ tả hình dạng hình học của kết cấu. Kết quả nghiên cứu đã chứng
tỏ độ hiệu quả so với phương pháp phân tử biên trung tâm tiêu chuẩn và phương
pháp phần tử hữu hạn cơ bản. Nguyễn Văn Chúng và cộng sự [21] đã phát triển
phương pháp PTBTT để giải bài toán đa trường với điều kiện biên hỗn hợp. Kết quả
nghiên cứu đã phát triển những ưu điểm của phương phương pháp PTBTT để giải
các trường với điều kiện biên trong một quy trình và cơng thức tổng quát.
Các vấn đề nghiên cứu liên quan đến ứng xử nền móng đã được nghiên cứu
ngồi nước trong thời gian gần đây đã được công bố. Nghiên cứu của nhóm tác giả
Gao Lin và cộng sự [22] đã sử dung PTBTT để khảo sát ứng xử của đất nền trong
mơ hình bán khơng gian, hai chiều với nền đất cứng theo hai trường hợp đẳng
hướng và dị hướng. Sau đó, nghiên cứu của nhóm tác giả Gao Lin và cộng sự [23]
đã chứng minh khi khảo sát nền đất bằng PTBTT giữa biên và kích thước khơng
gian miền khảo sát suy yếu theo miền khơng gian và có độ nhạy về mặt tỉ lệ để khảo

sát ứng suất.
Năm 2012, tác giả Jun Liu và Gao Lin [24] lần đầu tiên nghiên cứu PTBTT để
giải quyết các vấn đề về tĩnh điện. Độ chính xác và hiệu quả của phương pháp được
minh họa bằng các ví dụ số với miền trường phức tạp, điểm kỳ dị tiềm ẩn, môi
trường không đồng nhất và ranh giới mở. Lin Pang và cộng sự [25] đã cải tiến các

4


nghiên cứu trước đây về PTBTT trong vấn đề nghiên cứu ứng suất đất nền vào năm
2017.
Vào năm 2017, Fabian Krome1, Hauke Gravenkamp [26] giới thiệu một công
thức bán phân tích để mơ phỏng và mơ hình hóa các cấu trúc cong dựa trên PTBTT.
Cho đến nay, việc chia tỷ lệ trong SBFEM chỉ được thực hiện dọc theo một tọa độ
thẳng giúp phóng to, thu nhỏ hoặc dịch chuyển một ranh giới nhất định. Các tác giả
Denghong Chena, Shangqiu Dai [27] đã sửa dụng PTBTT qua một số phương pháp
giải tích để nghiên cứu các vấn đề nứt, gãy trong động lực học cơng trình.
Các tác giả Chongmin Song và cộng sự [28] đã sử dụng PTBTT để mô hình cấu
trúc dữ liệu phân nhánh dạng cây, được sử dụng để phân hoạch vùng không gian hai
chiều hiện tại thành các vùng nhỏ cho các bài toán đàn hồi tuyến tính. Kết quả cho
thấy được sự chính xác mà không cần phải áp dụng các phương pháp xử lý để liên
kết mơ hình. Sau đó, Nhóm tác giả Zhi-yuan Li và cộng sự [29] đã phát triển
PTBTT trong các vấn đề cơ bản nhưng trong môi trường bán không gian và các lớp
cấu tạo không liên tục. Độ cứng tổng thể thu được bằng cách cộng độ cứng động
của miền bên trong được tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn, và độ
cứng động của trường xa được tính theo phương pháp đề xuất. Việc so sánh hai giải
pháp hiện có cho một nửa khơng gian phân lớp nằm ngang xác nhận tính chính xác
và hiệu quả của phương pháp được đề xuất. Cuối cùng, phản ứng động của một nửa
không gian phân lớp không liên tục do tải trọng dải đồng đều theo chiều dọc được
khảo sát.

Vào năm 2020, Nhóm tác giả Junqi Zhang và cộng sự [30] đã phát triển các vấn
đề cơ bản về PTBTT trong mơ hình khơng gian ba chiều. Cũng trong năm ấy, Bo
Yu và cộng sự [31] đã sử dung PTBTT để nghiên cứu các vấn đề về truyền nhiệt
nâng cao.
Qua các nghiên cứu trong và ngoài nước đã đề cập, chứng tỏ PTBTT có phạm
vi ứng dụng và khảo sát rất nhiều khả năng tính tốn trong nhiều lĩnh vực. Trong
phạm vi đề tài nghiên cứu sẽ triển khai các bước cơ bản ban đầu làm nền tảng cho
việc nghiên cứu các vấn đề ứng xử nền móng trong tương lai và khảo sát sự hội tụ
của phương pháp PTBTT để chứng minh sự hiệu quả của phương pháp PTBTT so
với các phương pháp truyền thống đã được nghiên cứu, ứng dụng và phát triển.

5


1.3 Mục tiêu nghiên cứu:
Qua tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước cho thấy phương pháp phần tử
biên trung tâm có nhiều ưu điểm, đã được nghiên cứu áp dụng rộng rãi trong các
lĩnh vực kỹ thực. Trên cơ sở đó, nghiên cứu áp dụng phương pháp PTBTT trong
phân tích ứng xử nền móng là vấn đề cần thiết. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài gồm:
- Phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm SBFEM (Scaled boundary
finite element method) để phân tích bài tốn phẳng.
- Áp dụng phân tích ứng xử các bài tốn nền móng, xét các điều kiện biên
khác nhau.
-

Xem xét hiệu quả của phương pháp SBFEM như độ chính xác, khả năng hội
tụ.

1.4 Nội dung nghiên cứu:
-

Phương trình cơ bản cho bài tốn phẳng để tính tốn các vấn đề về nền
móng.

- Áp dụng phương pháp trọng số dư cùng với tích phân từng phần thiết lập
phương trình cơ bản cho bài tồn phẳng.
- Áp dụng phương pháp xắp xỉ trong phương pháp số vào phương trình cơ bản
để xây dựng hệ phương trình cơ bản của phương pháp SBFEM.
-

Áp dụng các phương pháp số cơ bản để giải hệ phương trình vi phân cơ bản.

- Áp dụng các điều kiện biên, tìm lời giải tổng quát cho phương trình vi phân
cơ bản của phương pháp SBFEM.
-

Áp dụng vào vài toán phẳng cơ bản, kiểm tra chương trình.

-

Áp dụng phân tích bài tốn nền móng với các điều kiện biên khác nhau.

- Khảo sát tính hiệu quả,độ hội tụ, độ chính xác của phương pháp so với các
phương pháp khác.
1.5 Phương pháp nghiên cứu:
-

Mô phỏng bằng phần mềm (Plaxis).

-

Lập trình mathlab.

6


1.6 Tính mới của đề tài:
- Trình bày ưu điểm của phương pháp SBFEM trong phân tích ứng xử nền
móng với các điều kiện biên khác nhau.
- Phân tích tính hiệu quả của SBFEM trong phương pháp số so với các phương
pháp khác về tốc độ hội tụ, độ chính xác.

7


Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Bài toán cơ bản:
Xét bài tốn phẳng có các đặc trưng hình học và các điều kiện biên như hình
như sau:

Hình 2.1: Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài tốn
Trong đó:
-

Ω : Đường bao bài toán xem xét.

-

n   n1

-

u ( x , y )  u1 ( x , y )

u 2 ( x , y )  : Trường chuyển vị.

-

ε ( x , y )   11 ( x , y )

 12 ( x , y )

-

 ( x , y )   11 ( x , y )  12 ( x , y )  22 ( x , y )  : Trường ứng suất

n2  : Vec tơ chỉ phương đơn vị.
T

T

 22 ( x , y )  : Trường biến dạng
T

T

u cầu bài tốn
-

Tìm các trường:
o Chuyển vị u  u ( x)
o Biến dạng ε   ( x)
o Trường ứng suất    ( x)

8


-

Với điều kiện biên:
o Cho biết trường trọng lượng riêng.
o Đặc trưng vật liệu E
o Điều kiện biên chuyển vị u 0 ( x)
o Tải trọng t 0 ( x) trên biên của bài tốn xfem xét.

2.2 Phương trình cơ bản:
Từ các phương trình cơ bản và động học ta lập phương trình cơ bản của trường
trọng lượng và ứng suất:

LT   0

(2.1)

Trong đó:

 
 x
1
T


L 

 0


0

x2

 
x2 

 
x1 

(2.2)

Ta có phương trình quan hệ giữa trường ứng suất và biến dạng:

  D

(2.3)

Với D là ma trận vật liệu
Quan hệ trường biến dạng và chuyển vị:

  Lu

(2.4)

u

Phương trình điều kiện biên Dirichlet: trên biên  :

uu

(2.5)
t

Phương trình điều kiện biên Newmann trên biên  :

t  n

(2.6)

Ma trận vectơ đơn vị:

n   n1 n2 

T

(2.7)

Ma trận vật liệu D cho bài toán ứng suất phẳng:

9





1 
0 


E
1
0

D

1  2 
1  
0 0


2 

(2.8)

Ma trận vật liệu cho bài toán biến dạng phẳng:


1  

E

D
1   1  2  
 0



1 
0


0 

0 
1  2 

2 

(2.9)

Trong đó:
E : Mođun đàn hồi của vật liệu.

v : Hệ số Poisson của vật liệu.
2.3 Phương trình dạng yếu:
Phương trình dạng yếu được thiết lập từ :
Áp dụng phương pháp trọng số dư (Weigted residual)
Phương pháp tích phân từng phần với giả thuyết Gauss-divergence.
Từ phương trình (2.1) lấy tích phân từng phần cho tồn miền và nhân với trọng số:

w ( x, y )  [w x ( x, y ) w y ( x, y )]T trên toàn bộ  .

w

T

LT  dA  0

(2.10)



Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, lấy tích phân lần thứ 1 của phương trình
(2.9):

 ( Lw )



T

 dA 

 ( w    )  dA

(2.11)

1



Theo Gauss-divergence cho bài toán 2 chiều thành phần (1) vế phải của phương
trình (2.10) được tính tốn bởi tích phân đường biên, phương trình (2.11) rút gọn
như sau:

10