Báo cáo chuyên đề một số bài toán về cực trị của hàm số (phân loại theo chủ đề, các ví dụ minh họa có lời giải, các bài tập tương tự để học sinh luyện tập)

Chuyên đề: Một số bài toán về cực trị của hàm số

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ


LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, bài thi THPT mơn Tốn đã chuyển từ tự luận
chuyển sang trắc nghiệm. Với việc thay đổi hình thức thi địi hỏi học sinh phải nắm
chắc kiến thức cơ bản. Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài tốn, người học cũng
cần có những cách giải nhanh nhất có thể. Đó là điều băn khoăn khơng chỉ của
người học mà cịn cả người dạy. Nó địi hỏi người dạy ln trau dồi, tìm tòi và khai
thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất
có thể. Với mong muốn ấy, tơi khơng ngừng học hỏi, tìm tịi các phương án giải
khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán. Cực
trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT. Chuyên đề được viết
với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài tốn cực trị thường gặp.
Tơi hi vọng chun đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang
bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn.
Chuyên đề được viết theo cấu trúc:
+ Phân loại theo chủ đề
+ Các ví dụ minh họa có lời giải
+ Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều
khơng thể tránh khỏi. Do đó tơi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các
bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.
Trân trọng!

Trang 1

PHỤ LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................................................... 1
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................ 3
PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ........................................................ 5
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) THEO QUY TẮC ................................. 5
DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............. 10
DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO BẢNG XÉT DẤU CỦA
HÀM SỐ f ′ ( x ) .............................................................................................................. 15
DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ f ′ ( x ) 18
DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM

x = x0

........................................................................................................................... 24

DẠNG 6: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA..................................................... 28
DẠNG 7: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG .................................... 36
DẠNG 8: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f ( x) ,

y = f ( x ) ....................................................................................................................... 45
DẠNG 9: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP ............................................................................. 55
PHẦN III. KẾT LUẬN........................................................................................................................... 62

Trang 2

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là −∞ ; b là +∞ ) và
điểm x0 ∈ (a; b) .
•

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta
nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 .

•

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta
nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .

* Chú ý
•

Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí
hiệu là fCĐ ( fCT ) , cịn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của

đồ thị hàm số.
•

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực
tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
* Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số

y = f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ′( x0 ) = 0 .

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
* Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên K = ( x0 − h; x0 + h) và có đạo hàm trên

K hoặc trên K \{x0 } , với h > 0 .
+) Nếu f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f '( x) < 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một

điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) .
+) Nếu f ′ ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ′( x) > 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một

điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .

Trang 3


Minh họa bằng bảng biến thiến

x

x0

x0 − h

f ′( x )

x

x0 + h

−

+

f ′( x )

x0 − h

x0 + h

x0

−

+

fCÑ
f ( x)

f ( x)

fCT
* Chú ý

Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của hàm số y = f ( x) nói chung khơng phải là giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất) của hàm số y = f ( x) trên tập xác định của nó.

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc

hàm số khơng có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số
không đạt cực trị tại điểm x0 .
4. Định lí 3: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) với

h > 0 . Khi đó:
Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
a) Quy tắc 1
 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
 Bước 2. Tính f ′ ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ′ ( x ) bằng 0 hoặc f ′ ( x ) không xác định.
 Bước 3. Lập bảng biến thiên.
 Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b) Quy tắc 2
 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
 Bước 2. Tính f ′ ( x ) . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 và ký hiệu xi ( i = 1, 2, 3,...) là các
nghiệm của nó.
 Bước 3. Tính f ′′ ( x ) và f ′′ ( xi ) .
 Bước 4. Dựa vào dấu của f ′′ ( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .

Trang 4


ÀM S
SỐ
T SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM
PHẦN II: MỘT
ỦA HÀM SỐ y = f ( x ) THEO QUY TẮC
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊỊ CỦ
Phương pháp
Sử dụng các quy tắc tìm cực trị ccủa hàm số
4

2

Ví dụ 1. Hàm số y = x − 2 x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3 .

A. 2 .

D. 0 .

C. 1 .

Lời giải
x = 0
y′ = 4 x 3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 y′ = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:

)

(

x
y'

1
0
+
0
0

∞

1
0

+∞

+

y

Từ bảng biếnn thiên suy ra hàm ssố đã cho có 3 điểm cực trị.
4
2
Nhận xét: Hàm số y = x − 2 x + 1 là hàm trùng phương có a.b < 0 nên có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 2. Tìm điểm cực đại x0 ccủa hàm số y = x 3 − 3 x + 1 .

B. x 0 = 1 .

A. x 0 = 2 .

C. x 0 = −1 .

D. x 0 = 3 .

Lời giải

x =1

.
y ′ = 3x 2 − 3 , y ′ = 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên

ực đại
Suy ra, hàm số đạt cực
đạ tại x 0 = −1 .
1− 2x
có bao nhiêu ccực trị?
−x + 2
B. 0 .
C. 2 .
A. 3 .
Lời giải
Tập xác định: D = ℝ \ {2} .

Ví dụ 3. Hàm số y =

Ta có: y ′ =

−3

( − x + 2)

2

< 0 , ∀x ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

Suy ra hàm số đãã cho khơng có ccực trị.

Trang 5

D. 1 .


3
2
Ví dụ 4. Hàm số y = x − 3 x − 9 x + 4 đạt cực trị tại x1 và x2 thì tích các giá trịị ccực trị bằng

B. −207 .
Lời giải
 x = −1
Ta có y ' = 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ 
x = 3
A. −302 .

C. 25 .

D. −82 .

Suy ra y ( −1) = 9; y (3) = −23 ⇒ y ( − 1). y(3) = − 207
Ví dụ 5. Hàm số nào sau đây khơng có ccực trị?

A. y = x 3 − 1 .

B. y = x 3 + 3 x 2 + 1 .

C. y = x3 − x .

D. y = x 4 + 3 x 2 + 2 .

Lời giải
+Hàm số y = x 3 − 1 có ttập xác định D = ℝ ,
Có: y ' = 3x 2 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .
Do đó hàm số y = x 3 − 1 khơng có cực trị. Vậy đáp án A đúng.
+ Hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 có tập xác định D = ℝ .
x = 0
.
Có: y ' = 3x 2 + 6 x ; y ' = 0 ⇔ 3x 2 + 6 x = 0 ⇔ 
 x = −2

ị Vậy
ậy đáp án B sai.
thấy hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 có hai cực trị.
Quan sát dấu của y ' ta th
3
+ Hàm số y = x − x có ttập xác định D = ℝ .

3
x =
3
.
Có: y ' = 3x 2 − 1 ; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 1 = 0 ⇔ 

3
x = −
3


thấy hàm số y = x 3 − x có hai cực trị. Vậy đáp án C sai.
Quan sát dấu của y ' ta th
+ Hàm số y = x 4 + 3x 2 + 2 có tập xác định D = ℝ .
Có: y ' = 4 x 3 + 6 x = 2 x ( 2 x 2 + 3) ; y ' = 0 ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0.

ị. Vậy
thấy hàm số y = x 4 + 3 x 2 + 2 có một cực trị.
Vậ đáp án D sai.
Quan sát dấu của y ' ta th
Ví dụ 6. Đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + 1 có điểm cực tiểu là

B. x = −1 .

A. x = 1 .

C. ( −1;3) .
Lời giải

2

Ta có: y′ = 3x − 3 , y ′ = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên

Trang 6

D. (1; −1) .


Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; −1) .

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.
Câu 7.

Tìm tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = −2x 3 + 3x 2 + 18
A. 38
B. 37
C. 40
D. 39
4
2
Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 2x + 2
A. ( −1;1)
B. ( 2; 0 )
C. (1;1)
D. ( 0; 2 )
Cho hàm số y =

x3
2
− 2 x 2 + 3 x + . Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là

3
3

 2
B. ( −1; 2 ) .
C. (1; 2 ) .
A.  3;  .
 3
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?
A. y = x 4 + 2 x 2
B. y = x 4 − 2 x 2 − 1
C. y = 2 x 4 + 4 x 2 − 4
D. y = − x 4 − 2 x 2 − 1
−3 x + 1
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số y =
2x − 3
A. 2.
B. 0.
C. 1.
Hàm số nào sau đây khơng có cực trị?
A. y = x3
B. y = x 3 + 3 x 2 − x
C. y = x 4

D. 3
D. y = x 4 + 1

Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x 16 − x 2

B. x = 2 2

A x = −2 2

Câu 8.

D. (1; −2 ) .

(

C. −2 2; −8

)

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x 2 x 2 + 2
A. xCT = 1
B. xCD = −1
C. xCT = 0

(

D. 2 2;8

)

D. xCD = 2

Câu 9.
Đồ thị hàm số y = x − 3 x − 9 x + 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB ?

A. Q ( −1; 10 )
B. M ( 0; −1)
C. N ( 1; −10 )
D. P ( 1; 0 )
3

2

Câu 10. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của
hàm số đó. Giá trị của 2a 2 + b bằng
A. − 2 .

B. 4.

C. 2.

D. −8 .

Câu 11. Biết đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + ax + b có cực trị tại A (1;3) . Khi đó giá trị của 4a − b
bằng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 12. Đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 ax + b có điểm cực tiểu A ( 2; − 2 ) . Tính a + b.
A. a + b = 4.

B. a + b = 2.

C. a + b = − 4.

Trang 7

D. a + b = − 2.


y = ax3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7) , B (2; −8) . Tính
B. y ( −1) = 11 .

.

C. y ( −1) = −11

D. y ( −1) = −35 .

y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2) , B (−1; 6) . Giá trị
P

a2

b2

c2

d 2 bằng bao nhiêu?
B. P = 26

C. P = 15

D. P = 23

liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

điểm cực trị.
ã cho khơng có giá trị cực đại.
úng một điểm cực trị.
ã cho không có giá trị cực tiểu
xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

đây là khẳng định đúng?
ực trị
c tiểu bằng 1
n nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
i x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1
xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình dưới

i đây là đúng?
hàm số là x = 0 .
bằng − 1 .

B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2 .
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 2; −5) .

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm

Trang 8



DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊỊ CỦ

ỦA HÀM SỐ y = f ( x ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương pháp
Sử dụng định nghĩa của cực trị để
đ nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị
th hàm số
Ví dụ 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng?

A. Hàm số f ( x ) có điểm cực tiểu là x = 2 .
B. Hàm số f ( x ) có giá trị cực đại là − 1 .
C. Hàm số f ( x ) có điểm cực đại là x = 4 .
D. Hàm số f ( x ) có giá trị cực tiểu là 0 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm
àm số ta suy ra được hàm số f ( x ) có giá trị cực tiểu là 0 .
Ví dụ 2.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. − 1 .

B. − 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm
àm số ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại bằng − 1 .

Ví dụ 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng ( a ; b ) ?
A. 4 .

C. 7 .

B. 2 .

Lời giải
Từ đồ thị hàm số suy ra hàm
h số có 3 điểm cực tiểu trên khoảng ( a ; b ) .
Trang 10

D. 3 .


Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 4] có đồ thị như hình vẽ.

Câu 2:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
A. y = −2.
Câu 3:

Câu 4:

B. x = 0.

C. M ( 0; −2 ) .

D. N ( 2; 2 ) .

2

Cho hàm số y = f ( x) =| x − 2 x − 4 | có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x) có bao
nhiêu cực trị?

A. 3 .
B. 4
C. 1
D. 2
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên dưới
y

x
O

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .
Trang 11

D. 1 .


Câu 5:

Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − x + 3 có đồ thị như hình vẽ.

3

Hỏi đồ thị hàm số y = x − 3 x 2 − x + 3 có bao nhiêu điểm cực trị.
Câu 6:

A. 9 .
B. 5 .
C. 7 .
3
2
Cho hàm số y = − x + x + 4 x − 4 có đồ thị như hình vẽ.

D. 3 .

3

Hỏi đồ thị hàm số y = − x + x 2 + 4 x − 4 có bao nhiêu điểm cực trị.
Câu 7:

A. 9 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 5 .
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
y

O

A. 5 .
Câu 8:

B. 3 .

x

C. 2 .

D. 4 .

Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c là
Câu 9:

A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .
Biết rằng hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Trang 12

D. 3.


Hỏi đồ thị hàm số y = f x −

−

A. 3.
Câu 10: Cho hàm số y = f ( x)

Số điểm cực trị của hàm s
A. 3 .
Câu 11: Cho hàm số y = f ( x )

Hỏi đồ thị hàm số y = f x −
Câu 12:

A. 3 .
Cho hàm số f ( x) có đ

Số điểm cực tiểu của hàm s
A. 10 .
Câu 13: (THPTQG – Mã 101 n

thị như hình vẽ bên. Số

+


A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
4
2
Câu 14: (THPTQG – Mã 105 năm 2018) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị
như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
4
2
Câu 15: (THPTQG – Mã 106 năm 2018) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị
như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 16: (THPTQG – Mã 108 năm 2018) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ
thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

Trang 14

D. 0 .


ẢNG XÉT DẤU
CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO BẢNG
D
DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊỊ CỦ
CỦA HÀM SỐ f ′ ( x )
Phương pháp

Bước 1: Tìm các giá trị
tr của x là nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = 0 hoặc f ′ ( x )
không xác định.

Bước 2: Lập bảng biếnn thiên và kkết luận.
àm như hình vẽ.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm

0
x −
−1
−∞
+ 0 −
f'(x)

2
0

+

−

4
0

+∞
+

Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 1 .

A. 4 .

D. 3 .

C. 2 .

Lời giải
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và đạo hàm đổi dấu 4 lần nên hàm số có 4 điểm cực
trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau:

x
f '(x)

-∞

2

1
0

+

3
+

Kết luận nào sau đây đúng
A. Hàm số có 4 điểm cực trị.
C. Hàm số có 2 điểm cực trị.

+∞

4
0

+

B. Hàm số có 2 điểm cực đại.
D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu, ta có: f ′ ( x ) đổi dấu 3 lần khi qua các điểm 1,3, 4.

f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 1, 4 và đổi dấu từ dương sang âm khi
qua điểm 3 . Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) có đđạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực trị tại x = −2 .

B. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực đại tại x = 1 .

C. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực tiểu tại x = −1 . D. Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

Trang 15


Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f '( x) = x( x − 1) 2 ( x − 2)3 . Số điểm

cực trị của hàm số y = f ( x ) là:
A. 1 .
B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải
x = 0

2
3
Ta có f '( x) = x( x − 1) ( x − 2) = 0 ⇔  x = 1 .

 x = 2
Trong đó x = 1 là nghiệm bội chẵn nên f ′( x ) không đổi dấu khi đi qua x = 1 .

Khi đó f ′( x ) đổi dấu 2 lần khi đi qua x = 0 và x = 2 .
Vậy hàm số có hai điểm cực trị.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x) = x 2 ( x + 1)2 (2 x − 1) . Khi đó số điểm cực trị
của hàm số đã cho là bao nhiêu?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải

x = 0

Ta có f '( x) = 0 ⇔  x = −1 .

1
x =

2
1
1
Tuy nhiên f '( x ) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = . Vậy hàm sơ có 1 điểm cực trị là x = .
2
2

Bài tập trắc nghiệm
3

Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)( x + 2 ) , ∀x ∈ℝ . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 1 .
2
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 2 x + 3) . Hàm số đã cho có bao
nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
4
5
3
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) . Số điểm cực trị của hàm

số f ( x ) là:
A. 5.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có f ′( x) = x 2017 .( x − 1)2018 .( x + 1), ∀x ∈ ℝ. Hàm số đã cho có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Trang 16


Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có f '( x) = ( x − 1) 2017 ( x 2 − 1)(2 x + 3)3 . Hàm số
y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 4.
C. 3
D. 2
2018
2
Câu 7. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) biết f ′ ( x ) = x x − 1 ( x + 2 ) .

(

)

B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
2
3
Câu 8. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có f ' ( x ) = x ( x − 26 ) ( x − 10 ) . Tìm số điểm
A. 2 .

cực trị của hàm số f ( x ) .
A. 4
B. 1

C. 2

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đạo hàm f ' ( x ) = x

D. 3
2

( x − 1) ( x 2 − 4 ) . Số

điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là:
A. 4

B. 1

C. 2

D. 3
2

3

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) x 2 . Số
điểm cực trị của hàm số là:
A. 1
B. 0

C. 2
D. 3
y = f ( x)
Câu 11. Cho
hàm
số
xác
định
trên
ℝ
và
có
đạo
hàm
3

2

f ' ( x ) = −2017 ( x − 1)( x + 2 ) ( x − 3) . Tìm số điểm cực trị của f ( x )
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1
2
x −4
, ∀x ≠ 0 . Số điểm cực trị của hàm số
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) =
3x 2
đã cho là
A. 2 .

B. 3 .
C. 5 .
D. 1.
2

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có f ' ( x ) = ( 2 x − 1) x 2 (1 − x ) . Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị.
B. Hàm số đã cho khơng có cực trị.
C. Hàm số đã cho có hai cực trị.
D. Hàm số đã cho có ba cực trị.
Câu 14. (THPTQG –Mã 101 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x) = x( x + 2)2 , ∀x ∈ ℝ.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Câu 15. (THPTQG –Mã 120 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x) = x( x + 1)2 , ∀x ∈ ℝ.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.

Trang 17


DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

f ′( x)

Phương pháp

Bước 1: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số f ′ ( x ) với trục Ox.

Bước 2: Lập bảng biến thiên và xác định dấu của f ′ ( x ) .

+ f ′ ( x ) > 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía trên trục Ox .
+ f ′ ( x ) < 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía dưới trục Ox.

Bước 3: Kết luận về cực trị của hàm số y = f ( x ) .
Ví dụ 1.

Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị.
Lời giải
Ta có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Do vậy hàm số

y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
Ví dụ 2.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như
hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 là
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .
Lời giải

y ′ = ( f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 )′ = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 .
Trang 18

D. 1 .


y ′ = 0 ⇔ f ′ ( x − 2017 ) = 2018

Đồ thị hàm số f ′ ( x − 2017

đơn vị, nên phương trình
hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x )

Khẳng định nào sau đây là
A. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x
B. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x
C. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x
D. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x

Ta có: y ′ = f ′ ( x ) − ( 2 x + 1

Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghi
Ta có bảng biến thiên trên

Từ bảng biến thiên ⇒ hàm s

sang phải 2017
nghiệm đơn) nên


Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm y = f '( x ) . Đồ thị của hàm số y = f '( x )

như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
B. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (−∞; 2)
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;1)
D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−∞; −1)
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng

trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1)
B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 1 .
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực tiểu
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.
Câu 3. Đồ thị sau đây là của hàm số y = f ' ( x ) . Khi đó hàm số y = f (x ) có bao nhiêu điểm
cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.
Trang 20

D. 3.


Câu 4. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) trên K như

hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + 1) trên K ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 5. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) trên K như

hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) trên K .
y

1

x

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 6. Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số trên

khoảng

A. 0.
Câu 7.

K

. Hỏi hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên
K , hàm số y = f ( x − 2018 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 21


A. 1.
Câu 8.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm

số y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.
Câu 9.

B. 2.

C. 3.

D. 4

Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm

số y = g ( x ) = f ( x ) − 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y = g ( x) = f ( x) +

2017 − 2018 x
có bao nhiêu cực trị?
2017
y
5

2
1

x
x1

A. 1.

B. 2.

x2 x3

C. 3.
Trang 22

D. 4.


Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị của hàm số y = f '( x )

như hình vẽ sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) + x . Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) ?

A. 1.
B. 2.

C. 3.
D. 4.
′
f
(
x
)
f
(
x
)
ℝ
như hình vẽ. Đặt
Câu 12. Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị

g ( x) = f ( x) − x. Hàm số g ( x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. x = 1.

B. x = 2.

C. x = 0.

D. x = −1.

Câu 13. Cho Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hhình bên. Đặt
2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Hàm số g ( x) đạt cực đại tại

A. x = 1 .

B. x = −3 .

C. x = 3 .

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số

D. x = 0 .

y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Đặt

g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Hàm số g ( x ) đạt cực tiểu

A. x = 1 .

B. x = −3 .

C. x = 3 .

Trang 23

D. x = 0 .


DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI

ĐIỂM

x = x0

Phương pháp


Bước 1: Sử dụng định lí 1 để tìm các giá trị của m.

Bước 2: Với mỗi m tìm được, ta sử dụng định lí 2 để kiểm tra.
Trường hợp định lí 2 khơng sử dụng được, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm để xác định.
Nhận xét: Đối với hàm đa thức bậc ba, ta có thể sử dụng quy tắc 2.
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
Lời giải

Tập xác định: D = ℝ .
Ta có y ' = 3 x 2 − 4mx + m và y '' = 6 x − 4m .
Điều kiện cần: Hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1
⇒ y ′( 1 ) = 0 ⇔ 3 − 3m = 0 ⇔ m = 1 .
Điều kiện đủ:

Với m = 1 ta có y′′( x) = 6 x − 4 .
y′′(1) = 6 − 4 = 2 > 0 nên hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .

Vậy m = 1 thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =

tại x = 3 .
A. m = 1.

B. m = −1.

1 3

x − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực tiểu
3

C. m = 5 .

D. m = −7 .

Lời giải
Tập xác định D = ℝ .
Ta có y′ = x 2 − 2mx + m 2 − 4 và y′′ = 2 x − 2m .
m = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì y ′ ( 3) = 0 ⇔ m 2 − 6m + 5 = 0 ⇔ 
m = 5
Với m = 5 ⇒ y ′′ ( 3) = −4 < 0 ⇒ m = 5 thỏa mãn.

Với m = 1 ⇒ y ′′ ( 3) = 4 > 0 ⇒ m = 1 khơng thỏa mãn.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 4 + mx 2 đạt cực tiểu tại
x=0.

Lời giải

Tập xác định: D = R .
Ta có: y = x 4 + mx 2 ⇒ y′ = 4 x3 + 2mx = 2 x(2 x 2 + m) .

Trang 24