Tài liệu (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề phương trình - bất phương trình_Bài tập và hướng dẫn giải docx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
CÁC BÀI TẬP VỀ NHÀ
(PT, BPT, HPT ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC)
Bài I: Giải các phương trình sau:

( )
3
3 3 2
3
3
2 2
1/ 4sin 1 3sin 3 os3x
2 / sin 3 ( 3 2) os3 1
3/ 4sin 3cos 3sin sin cos 0
4 / 2sin 5 3 os3 sin3 0
5 / 2sin 4 3cos 2 16sin cos 5 0
6 / inx 4sin cos 0
7 / tan x sin 2sin 3 os2 sin x cos
8 / 2 2tan 3
9
− = −
+ − =
+ − − =
+ + =
+ + − =
− + =
− = +
+ =
x x c

x c x
x x x x x
x c x x
x x x x
S x x
x x c x x
Sin x x
2 2
4 2 2 4
/ os 3 sin 2 1 sin
10 / 3cos 4sin cos sin 0
− = +
− + =
C x x x
x x x x
Bài II Giải các phương trình chứa căn thức sau:
1,
3 5 3 4x x− = − +
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
12,
3
2 1 1x x− = − −
3,
4 4
18 5 1x x− = − −

13,
3
3
1 2 2 1x x+ = −
4,
( )
3 2 2 2 6x x x+ − = + +
14,
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x− + − =
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
16,
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
7,
3 3
4 3 1x x+ − − =
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
8,
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −

18,
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =
19,
2
4 13 5 3 1x x x− + − = +
10,
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
Bài III: Giải các hệ phương trình sau:
1,

1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


9,
3
1 1
2 1
x y
y x
y x

− = −



= +


2,
2
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
x x y x
x y x
+ + =


+ + − =

10,
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

+ + + =

+ + + + =

3,
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y


+ =


− + =


11,
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =


4,
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y

− =



− − =


12,
( )
( )
( )
( )
2
2
1 4
1 2
x y y x y
x y x y

+ + + =


+ + − =


5,
5 2 7
5 2 7
x y
y x

+ + − =



+ + − =


13,
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =

6,
( )
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =



+ − + =



14,
2
3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

+ = +

− +



+ = +

− +


7,
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
+ + = −


+ + + =

15,
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
36 25 60
36 25 60
36 25 60
y x x
z y y
x z z

+ =


+ =



+ =


8,
2 2
2 2 2
3( ),
7( )
x xy y x y
x xy y x y

− + = −

+ + = −

16,
( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y

− = +


− = +



………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 2 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
HDG CÁC BTVN
Bài 1:

3
2
2
2 2
1/ 4sin 1 3sin 3 os4 sin 3 3 os3 1
2
1 3 1
18 3
sin 3 os3 sin 3 sin
2
2 2 2 3 6
2 3
2 / sin 3 ( 3 2) os3 1
3 2 ( 3 2)(1 )
: tan 1 ( 3 1) 2 (3 3) 0
2 1 1
1
3
− = − ⇔ − = −


= +

   
⇔ − = − ⇔ − = − ⇔

 ÷  ÷
   

= +


+ − =
− −
= ⇒ + = ⇔ − − + − =
+ +
=

⇔ ⇔

=

x x c x x c x
k
x
x c x x
k
x
x c x
x t t

Coi t t t
t t
t
t
π π
π π
π π
3 3 2
3
3 2
2
3
tan 1
6 3
2
3 2 2
tan 3
2 9 3
3/ 4sin 3cos 3sin sin cos 0(1)
* ét sinx 0 3cos 3 0
cot 1
1
4
(1) 4 3cot 3(cot 1) cot 0 cot
3
3
1
cot
3



= +
=


⇔




= = +




+ − − =
= ⇒ = ± ≠


=


= +


⇔ + − + − = ⇔ = − ⇔





= ± +



=


k
x
x
x k
x
x x x x x
X x
x
x k
x x x x
x k
x
π π
π π
π
π
π
π


4 / 2sin 5 3 os3 sin 3 0
3 1
3 os3 sin 3 2sin 5 os3 sin 3 sin5

2 2
5
os 3 sin5 os( 5 )
6 2
5
3 5 2
6 2
24 4
2
5
3 5 2
3
6 2
+ + =
+ = − ⇔ − − =
 
⇔ + = = −
 ÷
 


+ = − +
= − +


⇔ ⇔





= −
+ = − +




x c x x
c x x x c x x x
c x x c x
k
x x k
x
x k
x x k
π π
π π
π π
π
π
π π
π
π
Page 3 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010

3
2
5 / 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0

2sin 4 3cos 2 8sin 2 .2sin 5 0
1 os2
2sin 4 3cos 2 8sin 2 . 5 0
2
2sin 4 3cos 2 4sin 2 2sin 4 5 0
3 4
3cos2 4sin 2 5 cos 2 sin 2 1
5 5
cos
os(2 ) 1 ;( );
2
+ + − =
⇔ + + − =
−
 
⇔ + + − =
 ÷
 
⇔ + + − − =
⇔ + = ⇔ + =
⇔ − = ⇒ = + ∈ ¢
x x x x
x x x x
c x
x x x
x x x x
x x x x
C x x k k
α
α

α π
3
5
4
sin
5

=




=


α
( )
( )
( )
3
3
2 3 2
3 2
2
2 2
2
6 / inx 4sin cos 0(1)
ê' : cos 0 inx 4sin 3 0
t anx
(1) t anx(1 tan ) 4 tan 1 tan 0

3 1 0
t anx
t anx 1
1 3 2 1 0
4
7 / tan x sin 2sin 3 os2 sin x cos
, os
− + =
= ⇒ − = ± ≠
=

⇔ + − + + = ⇔

− + + + =

=


⇔ ⇔ = ⇔ = +

− + + =


− = +
S x x
N u x S x
t
x x x
t t t
t

x k
t t t
x x c x x
Chia VT VP cho c x t
π
π
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
ó :
os sin sin x cos
tan 2 tan 3
os
t anx
tan 2 tan 3 1 tan t anx
3 3 0
t anx
t anx 1
4
1 3 0
t anx 3
3
− +

− =
=

⇔ − = − + ⇔

+ − − =


= − +
=


= −


⇔ ⇔ ⇔



+ − =
= ±




= ± +


a c
c x x x

x x
c x
t
x x x
t t t
x k
t
t t
x k
π
π
π
π
Page 4 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
( )
( )
2
2 2
3 2
2
8 / 2 2 tan 3
, os ó :
tan
2tan 2 tan (tan 1) 3(tan 1)
2 3 4 3 0
tan
t anx 1

1 2 3 0
4
+ =
=

+ + = + ⇔

− + − =

=


⇔ ⇔ = ⇔ = +

− − + =


Sin x x
Chia VT VP cho c x ta c
t x
x x x x
t t t
t x
x k
t t t
π
π
2 2
2 2
2

4 2 2 4
4 2 4
4 2
9 / os 3 sin 2 1 sin
, os ó :1 2 3 t anx 2tan 1
t anx t anx 0
2 2 3 0 t anx 3
3
10 / 3cos 4sin cos sin 0
, os ó : 3 4tan tan 0
t anx
4 3 0
− = +
− = +

= =
 


⇔ ⇔ ⇔ =



− +
+ = = −

 

− + =
− + =

=

⇔

− + =
C x x x
Chia VT VP cho c x ta c x
k
t
x
k
t t
x x x x
Chia VT VP cho c x ta c x x
t
t t
π
π
π
2
2
tan 1
4
tan 3
3

= ± +


=

⇔ ⇔


=



= ± +


x k
x
x
x k
π
π
π
π
Bài 2:
1,
3 5 3 4x x
− = − +

- Điều kiện:
3x
≥
Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng:
3 3 4 5x x
− + + =
sau đó bình phương 2 vế, đưa

về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x
=
ta giải tiếp.
- Đáp số:
4x
=
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x
+ + = + + +

- Đặt
2
1 0t x x
= + + >
, pt đã cho trở thành:
( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x
t
=

− + + = ⇔

=


Page 5 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
Với
2
1 :t x x x x
= ⇔ + + =
vô nghiệm
Với
2
1 61
4 15 0
2
t x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
- Vậy phương trình có nghiệm:
1 61
2
x
− ±
=
3,
4 4
18 5 1x x
− = − −

- Ta đặt
4 4

4 4
18 0; 1 0 17u x v x u v
= − ≥ = − ≥ ⇒ + =
, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v
giải hệ này tìm được u, v suy ra x
- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4,
( )
( )
3 2 2 2 6 *x x x
+ − = + +

- Điều kiện:
2x
≥
- Ta có:
( ) ( )
( )
3
8 3
* 2 3
3 2 6
3 2 6 4
x
x
x
x x
x x
=


−
⇔ − = ⇔

− + +
− + + =

- Đáp số:
108 4 254
3;
25
x
 
+
 
=
 
 
 

5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x
+ + + − = +

- Điều kiện:
2
2
1
2 8 6 0
1

1 0
3
x
x x
x
x
x
= −


+ + ≥


⇔ ≥


− ≥



≤ −

- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình
- Xét với
1x ≥
, thì pt đã cho tương đương với:
( )
2 3 1 2 1x x x
+ + − = +
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản

( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong trường
hợp này nghiệm
1x =
- Xét với
3x
≤ −
, thì pt đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
2 3 1 2 1x x x− + + − − = − +
Page 6 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong trường
hợp này là:
25
7
x = −
- Đáp số:
25
; 1
7
x
 
= − ±
 
 

6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
ĐS:
9
0;
8
x
 
=
 
 
7,
3 3
4 3 1x x
+ − − =

- Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được.
- Đáp số:
{ }
5;4x = −

8,
2 2 2
4 2 14
4 2 3 4 4 ;2 0;2;
3 3
x x x x t x x t x
 
− −

 
 
+ − = + − → = + − ⇒ = − ⇒ =
   
 
 
 

9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t
= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t
≥



+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −


Suy ra
{ }
2
3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ =
- Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
1;2x
=
10,
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +

- Điều kiện:
0x
≥
- Đặt
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0

2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv


= +
= +
 
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
 
− − =
+ =





Giải ra ta được
4
3
x =
(thỏa mãn)
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
− + − = − + − +
Page 7 of 26

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
- Điều kiện:
1x ≥
- Khi đó:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
− + − = − + − +
Đặt t =
3 2 1 ( 0)x x t− + − >
ta có:
2 2
6 6 0 3; 2( 0)t t t t t t
= − ⇔ − − = ⇔ = = − <

3 2 1 3x x
− + − =

Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm
2x
=
12,
3
2 1 1x x
− = − −
- Điều kiện:
1x ≥
- Đặt
3

2 ; 1 0u x v x
= − = − ≥
dẫn tới hệ:
3 2
1
1
u v
u v
= −


+ =

Thế u vào phương trình dưới được:
( ) ( )
1 3 0v v v
− − =
- Đáp số:
{ }
1;2;10x
=
13,
3
3
1 2 2 1x x
+ = −

3
3
3

1 2
1 5
2 1 1;
2
1 2
y x
y x x y x
x y

 
+ =
− ±
  
→ = − ⇒ ⇒ = ⇒ =
  
+ =
 

 

14,
2 2
5 14 9 2 5 1x x x x x
+ + − − − = +
ĐS:
9
1; ;11
4
x
 

= −
 
 
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x
− + − =
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12
- Đáp số:
{ }
2x = −
16,
2 7 5 3 2x x x
+ − − = −
- Điều kiện:
2
5
3
x≤ ≤
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau
đó giải tiếp theo như đã học.
Page 8 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
- Đáp số:
14
1;
3
x

 
=
 
 
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x
+ − = − + − + − +
- Điều kiện:
1 7x≤ ≤
- Ta có:
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +

( ) ( )
1 1 7 2 1 7x x x x x
⇔ − − − − = − − −

1 2 5
4
1 7
x x
x
x x

− = =

⇔ ⇔



=
− = −



- Đáp số:
{ }
4;5x
=
18,
( )
2
2
3 3
2 4 2 1 2
2 2
x x
x x x
+ +
+ = ⇔ + − =
- Đặt
3
1
2
x
y
+
+ =

( )

( )
2
2
2 1 3
2 1 3
x y
y x

+ = +

⇒

+ = +


- Đáp số:
3 17 5 13
;
4 4
x
 
− ± − ±
 
=
 
 
 
19,
( )
2

2
4 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x
− + − = + ⇔ − − + + = +
- Đặt
( )
( )
2
2
2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 4 2 3
y x
y x
x x y

− = +

− = + ⇒

− − + + = −


- Đáp số:
15 97 11 73
;
8 8
x
 
− +
 

=
 
 
 
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
- Điều kiện:
1x
≤
- PT đã cho
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x x x
⇔ − + + − − = +
Page 9 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
- Đáp số:
3
; 1
5
x
 

= −
 
 
Bài 3:
1,
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


- đây là hệ đối xứng loại II
- Điều kiện:
0; 0x y≠ ≠
- Trừ vế theo vế ta được:
( )
1 1
2 4
2

x y
x y
xy
x y
=
  
− = − ⇔
 ÷

= −
  
Với
x y=
, hệ tương đương với
2
2 1x x
x
= ⇔ = ±
Với
2
2xy y
x
−
= − ⇒ =
, thế vào pt đầu được:

2 2
3 3 3
2
2 2

2 2
x y
x x
x
x x
x y

= → = −
− = ⇔ = ⇔

= − → =



- Vậy hệ có nghiệm:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ }
; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2x y = − − − −

2,
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3 2 12
(3 2 )( 1) 12

2 4 8 0
3 2 8
x y x x
x x y x
x y x
x y x x

+ + =
+ + =


⇔
 
+ + − =
+ + + =




Đặt
2
3 2 ;u x y v x x= + = +
suy ra:
12 6 2
8 2 6
uv u u
u v v v
= = =
  
⇔ ∨

  
+ = = =
  
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số:
( ) ( ) ( )
3 11
; 2;6 , 1; , 2; 2 , 3,
2 2
x y
 
   
= − − −
 
 ÷  ÷
   
 

3,
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =




- Đây là hệ đối xứng loại I đối với
2
x
và
2
y
- Đáp số:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2x y = ± − ± ± − ±
Page 10 of 26