Chuyên đề dãy số cấp số nhân

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Chủ đề 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ
Lời giải và phân mức độ nhận thức chỉ mang tính tham khảo, mọi ý kiến đóng góp vui
lịng gửi email về địa chỉ:
Câu 395. [1D3-1] Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số gồm
bốn chữ số.
A. 2058 .
B. 2401 .
C. 720 .
D. 840 .
Lời giải
Chọn A.
Số cách chọn chữ số ở hàng nghìn: 6 cách.
Số cách chọn chữ số ở hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm: 7 cách.
Vậy số tự nhiên gồm bốn chữ số là 6.7.7.7  2058 .
Câu 396. [1D3-1] Cho đa giác ABCDEF . Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là các đỉnh của đa giác
ABCDEF ?
A. 120 .
B. 90 .
C. 20 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn C.
Số tam giác mà các đỉnh là các đỉnh của đa giác ABCDEF được tạo thành là C63  20 .
Câu 397. [1D3-1] Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?
A. 2 , 4 , 6 , 8 ,....
B. 2 , 4 , 8 , 16 , .... C. 1 , 2 , 3 , 4 , ....
D. 1 , 3 , 5 , 7 , ....

Lời giải
Chọn B.
Xét dãy 2 , 4 , 8 , 16 , ....
u
u
u
Ta có 2  3  4  ...  2 . Vậy dãy số 2 , 4 , 8 , 16 , ... là một cấp số nhân với u1  2 và
u1 u2 u3
công bội q  2 .

u  2
Câu 398. [1D3-1] Dãy số  un  cho bởi:  1
, n  1 . Số hạng thứ 3 của dãy là
un1  2un  3
A. u3  6 .
B. u3  3 .
C. u3  1 .
D. u3  1 .
Lời giải
Chọn D.

u  2
Ta có dãy  un  cho bởi  1
, n  1 .
un1  2un  3
Suy ra u2  2.u1  3  2.2  3  1  u3  2.u2  3  2.1  3   1 .
Vậy u3   1 .
(Công thức tổng quát un  3  2n 1 , n  1 ).
Câu 399. [1D3-1] Cho n , k   ; k  n . Trong các công thức sau đây công thức nào sai?
n!

n!
A. Ank  .
B. Pn  n ! .
C. Cnk  Cnn  k .
D. Cnk 
.
k!
k ! n  k  !
Lời giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 1/20 – 1H2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
Ta có: Ank 

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

n!
.
 n  k !

Câu 400. [1D3-1] Cho dãy số  un  với un 
A. 1 .

B.

3
.
4

3n
số hạng thứ hai của dãy là?
n3
3
C. .
2
Lời giải

D.

9
.
8

Chọn D.
Số hạng thứ hai của dãy là un 

3n
32 9

u

 .
2
n3
23 8

n

Câu 401. [1D3-1] Cho dãy số un   2  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Dãy bị chặn.
C. Dãy giảm.

B. Dãy không bị chặn.
D. Dãy tăng.
Lời giải

Chọn B.
Ta có dãy số khơng tăng khơng giảm và và không bị bị chặn.
Câu 402. [1D3-1] Cho cấp số nhân  un  có u1  2 , q  3 . Khi đó số hạng thứ 3 của cấp số nhân là
A. 12 .

B. 8 .

C. 54 .
Lời giải

D. 18 .

Chọn D.
Số hạng thứ ba của cấp số nhân là u3  u1.q 2  18 .
Câu 403. [1D3-1] Gieo một đồng xu liên tiếp 3 lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
A. 4 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 16 .

Lời giải
Chọn B.
Mỗi lần gieo có 2 khả năng xảy ra là “sấp” và “ngửa”.
Vậy 3 lần gieo liên tiếp có n     2.2.2  8 .
n
. Tính u8 .
n 1
9
C.  .
8
Lời giải

Câu 404. [1D3-1] Cho dãy số  un  , với un  (1) n .
A.

8
.
9

B.

9
.
8

8
D.  .
9

Chọn A.

8

u8   1 .

8
8
 .
8 1 9

Câu 405. [1D3-1] Cho cấp số cộng  un  , biết u1  3 và u6  13 . Tính công sai d của cấp số cộng đã
cho.
A. d  10 .

C. d 

B. d  2 .

5

13
.
3

5
D. d  .
3

Lời giải
Chọn B.
Ta có  un  là cấp số cộng nên un  u1   n  1 d

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 n  2 .
Trang 2/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Do u1  3 và u6  13 , suy ra u6  u1  5d  13  3  5d  d  2 .
Vậy công sai d  2 .
Câu 406. [1D3-1] Cho cấp số nhân lùi vơ hạn  un  có cơng bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vơ
hạn đó được tính bởi cơng thức nào sau đây
1
u
u
A. S 
.
B. S  1 .
C. S  1 n .
1 q
1 q
1 q
Lời giải
Chọn B.

D. S 

u1

.
1  qn

 1  qn 
u1
Ta có: S  u1  u2  u3  ...  un  ...  lim  u1  u2  u3  ...  un   lim  u1.
.

 1 q  1 q

Câu 407. [1D3-1] Cho dãy số  un 

A.

3
.
4

1

u1  2
với 
với n  2 . Giá trị của u4 bằng
1
un 
2  un 1


B.

4
.
5

C.

5
.
6

D.

6
.
7

Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức truy hồi ta được u2 

1
1
2
2

2
1
3
1
4

 ; u3 
 ; u4 
 .
2
3
3
4
5
2
2
3
4

u1  1
Câu 408. [1D3-1] Cho dãy số có 
. Khi đó số hạng thứ n  3 là
*
un  2un 1  3un 2  n   
A. un3  2un 2  3un 1 .
B. un 3  2un 2  3un .
C. un3  2un 2  3un1 .

D. un3  2un 2  3un 1 .
Lời giải

Chọn A.
Theo công thức un  2un1  3un 2  un 3  2u n 31  3u n 32  un3  2un 2  3un1 .
Câu 409. [1D3-1] Cho dãy số có cơng thức tổng quát là un  2n thì số hạng thứ n  3 là?
A. un 3  23 .

B. un 3  8.2 n .

C. un 3  6.2n .

D. un 3  6 n .

Lời giải
Chọn B.
Ta có: un  2n  un  3  2n  3  8.2n .
Câu 410. [1D3-1] Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q  0 và u1  0 . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. u7  u4 .q 3 .

B. u7  u4 .q 4 .

C. u7  u4 .q 5 .

D. u7  u4 .q 6 .

Lời giải
Chọn A.
u7  u1 .q 6 ; u4  u1.q 3  u7  u4 .q3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Câu 411. [1D3-2] Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và 2 . Tìm số hạng
thứ 5 .
A. u5  4 .
B. u5  2 .
C. u5  0 .
D. u5  2 .
Lời giải
Chọn D.
u  6
u  2 d  6
u  10
Ta có:  3
 1
 1
.
u1  6d  2
 d  2
u7  2
Do đó u5  u1  4d  10  4.  2   2 .
Câu 412. [1D3-2] Tìm cơng bội q của cấp số nhân có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 6 lần lượt là 9 và
243 .
A. q  3 .
B. q  3 .
C. q  27 .
D. q  9 .
Lời giải
Chọn A.
2

u  9
u  1
u .q  9
Ta có  3
  13
 1
. Vậy q  3 .
q  27
q  3
u6  243

Câu 413. [1D3-2] Cho câp số cộng  un  có u5  u19  90 . Tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng trên.
A. 1030 .

B. 1025 .

C. 1035 .
Lời giải

D. 1040 .

Chọn A.
Ta có: u5  u19  90  u1  4d  u1  18d  90  2u1  22d  90 .

S 23 

23
 2u1  22d   1035 .
2

Câu 414. [1D3-2] Dãy số  un  nào bị chặn trong các dãy số sau khi biết
A. un 

n2  3
.
2n  1

B. un 

n2  n  1
.
2n  1

n

C. un   1 .  3n  2  . D. un  2n  1 .
Lời giải

Chọn A.
3
n 3
n 2  1 , mọi n   * . Vậy u bị chặn.
Ta có: 0  un 

 n
1
2n  1
2
n

2

1

an 2  1
là dãy số giảm?
2n 2  3
3
2
C. a  .
D. a  .
2
3
Lời giải

Câu 415. [1D3-2] Tìm số thực a để dãy số  un  với un 
A. a 

2
.
3

B. a 

3
.
2

Chọn D.
Ta có un 

a 2  3a

2 4n 2  6

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
Xét un1  un 

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11


a
2  3a
1
1 
 a 2  3a 




2

3
a








 4  n  1 2  6 4n 2  6 
2 4  n  1 2  6  2 4n 2  6 



Yêu cầu bài toán  un 1  un  0  2  3a  0  a 
Do

1
2

4  n  1  6



2
.
3

1
 0 mọi n   * .
4n  6
2

Câu 416. [1D3-2] Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng  un  biết u2  7 ; u3  4 .
A. u1  4 ; d  3 .

B. u1  10 ; d  3 .

C. u1  1 ; d  3 .

D. u1  1 ; d  3 .

Lời giải
Chọn B.
u  7
u  d  7
u  10
Ta có:  2
 1
 1
.
u

4
u

2
d

4
d



3
 1

 3
Vậy cấp số cộng  un  có: u1  10 ; d  3 .
Câu 417. [1D3-2] Xét dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp  un  : 0; 2; 4;6;8;... . Số 2018 là số hạng thứ
mấy?
A. 2016 .

B. 2018 .

C. 1010 .
Lời giải

D. 1009 .

Chọn C.
 un  có u1  0 , công sai d  2 .
2018  u1   n  1 .d  n  1010 .

Vậy 2018 là số hạng thứ 1010 của dãy số.
Câu 418. [1D3-2] Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở
khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
5

A. 4.105.  0, 05  .

5

4

C. 4.105. 1, 04  .

B. 4. 10, 4  .

5

D. 4.105. 1, 4  .

Lời giải
Chọn C.

u  4.105
Ta có trữ lượng gỗ của khu rừng sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với  1
q  1, 04
Trữ lượng gỗ sau năm năm là số hạng thứ năm của cấp số nhân.
4

Ta có u5  u1.q 4  4.105. 1, 04  .
Câu 419. [1D3-2] Tổng 1  2  22  ...  2 2017 có giá trị bằng
A. 22018 .
B. 22017 .
C. 22018  1 .
D. 22017  1 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có 1  2  22  ...  2 2017 là tổng của một cấp số nhận với số hạng đầu là 1 , công bội q  2 .
2

Do đó 1  2  2  ...  2

2017



11  22018 
1 2

 22018  1 .

Câu 420. [1D3-2] Tổng 1  2  22  ...  2 2017 có giá trị bằng
A. 22017  1 .
B. 22017 .
C. 22018  1 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 22018 .
Trang 5/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Lời giải
Chọn C.
Tổng đã cho là tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1  1 và công bội

q  2.
Do đó tổng đã cho bằng S 2018  1.

22018  1
 2 2018  1 .
2 1

Câu 421. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  có u1  123 và u3  u15  84 . Số hạng u17 là
A. 4 .

B. 242 .

C. 11 .

D. 235 .

Lời giải
Chọn C.
u1  123
u1  123
u  3

 1

u1  2d   u1  14d   84
 d  7
u3  u15  84
Vậy u17  u1  16d  11 .

Câu 422. [1D3-2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1 , x , x  2 theo thứ tự đó lập thành
một cấp số nhân?
A. 2 .

B. 3 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn C.
Để ba số 1 , x , x  2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì x 2  1 x  2 
x  2
 x2  x  2  0  
.
 x  1
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của x thỏa yêu cầu bài.
Câu 423. [1D3-2] Cho 3 số a  5 , a , a  1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng S tất
cả các giá của a .
A. S  5 .
B. S  6 .
C. S  4 .
D. S  1 .
Lời giải
Chọn C.
Theo đầu bài 3 số a  5 ,

a , a  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

 a  1  v« lý 
Suy ra  a  5   a  1  2 a  2a  2 a  4  0  
 a  4.
 a  2
Vậy S  4 .
Câu 424. [1D3-2] Cho cấp số nhân  un  có u1  2 và u4  54 . Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp
số nhân đó.

32018  1
A.
.
2

B. 32018  1 .

C. 1  32018 .

D. 2  32018  1 .

Lời giải
Chọn B.
Ta có  un  là một cấp số nhân nên un  q n1.u1  n  2  .
Theo đầu bài u1  2 và u4  54 , suy ra u4  u1.q 3  54  2.q 3  q  3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó S  u1  u2  ...  u2018 

u1 1  q 2018 
1 q

.

2 1  32018 

 32018  1 .
1 3
Câu 425. [1D3-2] Cho cấp số cộng  un  , biết u1  1 , d  3 . Chọn đáp án đúng.
Suy ra S 

A. u13  34 .

B. u15  44 .

C. S5  25 .

D. u10  35 .

Lời giải
Chọn C.

n  2u1   n  1 d 
Áp dụng công thức: S n  
.
2
5  2.  1  4.3
Ta có: S5  
 25 .
2
Câu 426. [1D3-2] Tính tổng S  2 
A. 2 .

1 1 1
1
   ...  n  ....
2 4 8
2

B. 3 .

C. 0 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B.
1 1 1
1
1 1 1
1
   ...  n  ....  S  2     ...  n  ....
2 4 8
2
2 4 8
2
1
1

Ta thấy ( S  2 ) là tổng cấp số nhân với u1  , q  ( q  1 ).
2
2
Suy ra ( S  2 ) là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có: S  2 

1  qn
u
Khi đó: S  2  lim u1
 1 
x 
1 q 1 q

Câu 427. [1D3-2] Cho dãy số un 
A. 10 .

1
 1
2.  1  
 2

 1  S  1 2  3 .

2n
9
. Số
là số hạng thứ bao nhiêu?
n 1
41

B. 9 .
C. 8 .
Lời giải
2

D. 11 .

Chọn B.

n  9
2n
9
2
Ta có 2

 9n  82n  9  0  
.
n  1
n  1 41
9

Do n   nên n  9 .
Câu 428. [1D3-2] Cho tổng S  n   12  2 2    n 2 . Khi đó cơng thức của S  n  là?
A. S  n  
C. S  n  

n  n  1 2n  1
6
n  n  1 2n  1
6

.
.

B. S  n  

n 1
.
2

n 2  2n  1
D. S  n  
.
6
Lời giải.

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/20 – 1H2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
Ta có: S  n   12  22    n 2 

n  n  1 2n  1
6

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
.

n

Câu 429. [1D3-2] Cho dãy số un   1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. Dãy số  un  tăng.

B. Dãy số  un  giảm.

C. Dãy số  un  bị chặn.

D. Dãy số  un  khơng bị chặn.
Lời giải.

Chọn C.

1 khi n ch½n
n
Ta có: un   1  
.
1 khi n lỴ
Ta có: 1  un  1 với mọi n   nên dãy  un  bị chặn.
1
là dãy số có tính chất?
n 1
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không tăng không giảm.
D. Tất cả A, B, C đều sai.
Lời giải.
Chọn B.

u
1 n 1 n 1
Ta có: n 1 


 1, n   .
un
n2 1
n2

Câu 430. [1D3-2] Dãy số un 

 un1  un , n   .
Do đó, dãy  un  là dãy giảm.
1
1
Câu 431. [1D3-2] Cho cấp số cộng có u1  , d   . Chọn khẳng định đúng?
4
4
5
4
5
A. S5  .
B. S5  .
C. S5   .
4
5
4
Lời giải.
Chọn C.

 1
5 4   
5.4.d
1
 4 5.
Ta có: S5  5u1 
 5 
2
4
2
4

4
D. S5   .
5

1
1
. Số 103 là số hạng thứ bao nhiêu?
10
10
B. Số hạng thứ 104 . C. Số hạng thứ 105 . D. Đáp án khác.
Lời giải.

Câu 432. [1D3-2] Cho CSN có u1  1; q 
A. Số hạng thứ 103 .
Chọn B.

1
 1 

Ta có un  u1.q  103   1   
10
 10 
Vậy số hạng đã cho là số hạng thứ 104 .

n 1

n 1

n 1

1  1
 103 
 n  104 .
10
10 n 1

Câu 433. [1D3-2] Cho CSN có u1  3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. Số hạng thứ 5 .

B. Số hạng thứ 6 .

C. Số hạng thứ 7 .
Lời giải.

D. Đáp án khác.

Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/20 – 1H2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
Ta có un  u1.q n 1  192  3.  2 

n1

 64   2 

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
n1

 n 1  6  n  7 .

Vậy số hạng đã cho là số hạng thứ 7 .

1
; b ; 2 . Chọn b để ba số trên lập thành cấp số nhân.
2
B. b  1 .
C. b  2 .
D. b  1 .
Lời giải

Câu 434. [1D3-2] Cho dãy số
A. b  1 .
Chọn B.
Để ba số

1
;
2

b;

2 tạo thành một cấp số nhân điều kiện là:

 b

Câu 435. [1D3-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
1

u  2
u1 
A. 
.
B. un1  nun .
C.  1
.
2
u


5
u
2
n

1

n

u  u
n
 n 1
Lời giải
Chọn C.

2



1
. 2 1  b 1.
2

D. un1  un1  3 .

u  2
Xét đáp án C ta có  1
theo định nghĩa  un  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1  2
un1  5un
và công bội q  5 .
Câu 436. [1D3-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào sau đây là cấp số nhân
7
A. un  7  3n .
B. un  7  3n .
C. un 
.
3n

Lời giải
Chọn D.
u
7.3n 1
n  * ta có: un  7.3n  n 1 
 3.
un
7.3n

D. un  7.3n .

Vậy un  7.3n là cấp số nhân.
Câu 437. [1D3-2] Cho cấp số nhân có 5 số hạng đầu là 1;4;16;64; 256 . Khi đó tổng của n số hạng đầu
của cấp số nhân đó bằng
n
4n  1
4n  1
A. 4n1 .
B. 1  4n1  .
C.
.
D. 4.
.
2
4 1
4 1
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: 1;4;16;64; 256 là cấp số cơng có u1  1 , cơng bội q  4 .
Áp dụng công thức cấp số nhân ta được:

Sn 

u1 1  q n 
1 q



11  4n 
1 4



4n  1
.
4 1

u  u  10
Câu 438. [1D3-2] Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn  2 4
. Tìm số hạng đầu và cơng bội.
u1  u3  u5  21

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

u1  1

u1  16

A. 
hoặc 
1.
q


q  2

2
u1  16
u1  1

C. 
.
1 hoặc 
q  2
q   2

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

u1  16
u1  1

B. 
.
1 hoặc 
q



2
q




2
u1  1
u1  16

D. 
hoặc 
1.
 q  2
q   2
Lời giải

Chọn B.
u1 .q  u1.q 3  10
u2  u4  10

;  q  0 

2
4
u1  u1.q  u1 .q  21
u1  u3  u5  21

1  q 2  q 4 21

u1  u1 .q 2  u1.q 4 21


 21 q  q 3   10 1  q 2  q 4 

3
3
qq
10
u1.q  u1 .q
10
21 10
 10q 4  21q 3  10q 2  21q  10  0  10q 2  21q  10   2  0
q q



2





1 
1
1
1
 10  q 2  2   21 q    10  0  10  q    21 q    10  0
q 
q

q
q




1 2

1

q  q  5
 5q 2  2 q  5  0
q
 u1  16


 2

.
2

1
5

2 q  5q  2  0

 q  2  u1  1
q  q   2

Câu 439. [1D3-2] Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc

1
nhỏ nhất bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Số đo của các góc trong tứ giác đó lần lượt là
9
A. 5; 15 ;45 ; 225 . B. 9; 27;81;243 . C. 7;21;63; 269 . D. 8;32;72; 248 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi a, b, c, d lần lượt là số đo bốn góc cần tìm.
vì a, b, c, d lập thành 1 cấp số nhân nên b  ac ; c  ad .
Theo đề ta có: 9a  c ;
b 2  ac
b  3a
a  9
 2
d  27 a
b  27
c  bd


Vậy ta có hệ phương trình: 
.


c  9 a
c  9 a
c  81
a  b  c  d  360
a  b  c  d  360
d  243


u1  3
Câu 440. [1D3-2] Cho dãy số  un  xác định bởi 
 n  1 . Khẳng định nào sau đây
2
u

2
u

15
n
 n1
đúng?
A.  un  là cấp số cộng và không là cấp số nhân.
B.  un  là cấp số nhân và không là cấp số cộng.
C.  un  vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
D.  un  không là cấp số cộng, không là cấp số nhân.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Lời giải
Chọn C.
Nhận xét:
2

u2  2.  3  15  3  u3  ...  un là cấp số cộng với công sai 0; là cấp số nhân với công bội 1.
Câu 441. [1D3-2] Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là S n  3n 2  4n , n   * . Giá trị của số hạng
thứ 10 của cấp số cộng là
A. u10  55 .
B. u10  67 .

C. u10  61 .

D. u10  59.

Lời giải
Chọn C
Ta có: S n  3n 2  4n 

n  8  6n 
n  7  6n  1

 un  6n  1  u10  61 .
2
2

Câu 442. [1D3-2] Cho ba số x ; 5 ; 2 y lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2 y lập thành cấp số nhân
thì x  2 y bằng
A. x  2 y  8 .

B. x  2 y  9 .

C. x  2 y  6 .

D. x  2 y  10 .

Lời giải
Chọn C.
 x   2 y   2.5
 x  2 y  10
x  8
x  2
Ta có: 

hoặc
.




2
 x.  2 y   16
2 y  2
2 y  8
 x.  2 y   4
Từ đó, ta có x  2 y  8  2  6 .
Câu 443. [1D3-2] Cho ba số x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x , 3 , 3y theo thứ tự
lập thành cấp số nhân thì 3y  x bằng?
A. 8 .

B. 6 .

C. 9 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn A.
Ta có x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng  x  3 y  5.2  x  10  3 y .
Lại có x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân  x.3 y  32  xy  3 .

 y  3  x  1 3y  x  8
Do đó y 10  3 y   3  3 y  10 y  3  0  
 y  1  x  9  3y  x  8

3
2

Vậy 3 y  x  8 .
Câu 444. [1D3-2] Cho cấp số nhân  an  . Dãy số nào dưới đây không phải là cấp số nhân?
A. a1 , a3 , a5 , …, a2n 1 , ….

B. a1  3 , a2  3 , a3  3 , …, an  3 , ….

C. 2a1 , 2a2 , 2a3 , …, 2an , ….

D.

3

a1 ,

3

a2 ,

3

a3 ,...,

3

an ,....

Lời giải
Chọn B.
Giả sử cấp số nhân  an  có cơng bội là q .
Trường hợp a1  0 thì cả 4 dãy đều là cấp số nhân.
Trường hợp q  1 thì cả 4 dãy đều là cấp số nhân.
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Trường hợp: q  1 và a1  0 ta có:
* Dãy số a1 , a3 , a5 , …, a2n 1 , … có

a3 a5
a
  ..  2 n 1  ...  q 2 nên dãy số này là cấp số

a1 a3
a2 n 1

nhân có cơng bội là q 2 .
 a2  3
a 3 
 1
* Dãy số a1  3 , a2  3 , a3  3 , …, an  3 , … có 
 a3  3 
 a2  3
Mà

a1.q  3
a1  3
a1.q 2  3
a1 .q  3

a  0
a1 .q  3 a1 .q 2  3
2
  a1q  3   a1  3  a1.q 2  3  3a1 1  2q  q 2   0   1
nên

a1  3
a1.q  3
q  1

dãy số a1  3 , a2  3 , a3  3 , …, an  3 , … không là cấp số nhân trong trường hợp q  1 và

a1  0 .

* Dãy số 2a1 , 2a2 , 2a3 , …, 2an , … có

2a2 2a3
2an

 .. 
 ...  q nên dãy số này là cấp
2a1 2a2
2an 1

số nhân có cơng bội là q .
3

* Dãy số

3

a1 ,

3

a2 ,

3

a3 ,...,

cấp số nhân có cơng bội là

3

3

an ,... có

3

a2
a1

3


3

a3
a2

3

 .. 
3

an
an 1

 ...  3 q nên dãy số này là

q.

Câu 445. [1D3-2] Cho dãy số  un  xác định bởi un   1

n

2n
sin n , n  1 , n   . Khẳng định nào
n 1

dưới đây là đúng?
A. Dãy số  un  chỉ bị chặn trên, không bị chặn dưới.
B. Dãy số  un  chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên.
C. Dãy số  un  bị chặn.
D. Các số hạng của dãy số  un  luôn nhận giá trị âm với n là số lẻ.
Lời giải
Chọn C.

2n 2n  2
2n

2
 2 (với n  1 , n   ).
n 1 n 1
n 1
2n
n 2n
n
Do đó: un   1
sin n   1 .
. sin n  1.2.1  un  2  2  un  2
n 1

n 1
(với n  1 , n   )
Ta có 0 

Vậy dãy  un  bị chặn.
Câu 446. [1D3-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 4   m  1 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Tổng giá trị của các phần
tử thuộc S là
91
A.
.
9

B.

28
.
9

C.

13
.
9

D.

82
.
9

Lời giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Chọn D.
Đặt t  x 2 ,  t  0  . x 4   m  1 x2  m  0 1 trở thành t 2   m  1 t  m  0

 2

Để 1 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì  2  phải có hai nghiệm thỏa:
 m  12  4m  0
 m  12  0
  0


m  9
P  0
0  t1  t2

t1 .t2  m  0
t1 .t2  m  0
1 


 S   ;9  .




1
m 
9 
t2  4t1
S  0
t1  t2  m  1  0
t1  t2  m  1  0
9

t2  9t1
t  9t
t  9t
2
1
2
1
1
82
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc S là  9 
.
9
9

u1  3
Câu 447. [1D3-3] Cho dãy số  un  xác định bởi 

. Tìm chữ số hàng đơn vị của
un1  6un  15  n  1
u2018 ?
A. 6 .

B. 9 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có un1  6un  15  un 1  3  6  un  3

v  u  3  6
Xét  vn  :  1 1
với vn  un  3 . Suy ra  vn  là cấp số nhân với v1  6 , công bội q  6
vn 1  6vn
và vn  3  un .
u2018  v2018  3  62017.6  3  62018  3

Vì chữ số tận cùng của 62018 là 6 nên chữ số tận cùng của u2018 là 3 .
Câu 448. [1D3-3] Một hãng taxi áp dụng mức giá đối với khách hàng theo hình thức bậc thang như sau:
Mỗi bậc áp dụng cho 10 km . Bậc 1 (áp dụng cho 10 km đầu) có giá 10.000 đ/1km , giá mỗi km
ở các bậc tiếp theo giảm 5% so với giá của bậc trước đó. Bạn An thuê hãng taxi đó để đi quãng
đường 114 km , nhưng khi đi được 50 km thì bạn Bình đi chung hết quãng đường cịn lại. Tính
số tiền mà bạn An phải trả, biết rằng mức giá áp dụng từ lúc xe xuất phát và số tiền trên quãng
đường đi chung bạn An chỉ phải trả 20% (Kết quả làm trịn đến hàng nghìn).
A. 885000 .

B. 433000 .
C. 539000 .
D. 559000 .
Lời giải
Chọn C.
10 km đầu, giá: T0  10000 /1km
10 km thứ hai (11-20): 95%.T0  0,95.T0 /1km .
10 km thứ ba (21 - 30): 0,952.T0 / 1km .

……………………………….
10 km thứ 11 (101 -110): 0,9510.T0 /1km .
10 km thứ 12 (111 -114): 0,9511.T0 /1km .

Số tiến bạn An phải trả 50 km đầu là
10.T0  0,95.10.T0  0,95 2.10.T0  0,953.10.T0  0,95 4.10.T0

 10T0 .

1  0, 955
 200.T0 1  0, 955   A1 .
1  0, 95

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Số tiền bạn An phải trả cho quãng đường chung là
20%  0,955.10T0  ...  0,9510.10T0  0, 9511.4T0 

1  0,956
 2T0 .0,95 .
 0,8.0, 9511.T0  40T0 .0,955. 1  0,956   0,8.0,9511.T0  A2
1  0,95
5

Vậy số tiền bạn An cần trả là A1  A2  539000 .
2n 
 2 4 6
Câu 449. [1D3-3] lim  2  2  2 ....  2  có giá trị bằng
n 
n n n
10
A. 0 .
B.
.
C. 1 .
11
Lời giải
Chọn C.

D.

10
.
9

n

 2  2  2n  
2n 
 2 4 6
 2  4  6  ...  2n 
lim  2  2  2 ....  2   lim 
 1
  lim 
n 
n2
n2
n n n






1 

n

 1  n2 
 2  2  2n  
 lim 
  lim 
 1
2

n
1









Câu 450. [1D3-3] Cho dãy số  un  với un 

an  2017
trong đó a là tham số thực. Để dãy số  un  có
5n  2018

giới hạn bằng 2 , giá trị của a là
A. a  10 .
B. a  6 .

C. a  4 .
Lời giải

D. a  8 .

Chọn A.

2017
an  2017

n a.
Ta xét: lim  un   lim
 lim
2018
5n  2018
5
5
n
a
Ta có lim  un   2   2  a  10 .
5
a

a
b
và 2 để được một cấp số nhân có
2
b
a
cơng bội q  0 . Hỏi có bao nhiêu cấp số nhân thỏa mãn điều kiện trên?
A. 4 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D.
Giả sử có cấp số nhân thỏa mãn điều kiện trên:

Câu 451. [1D3-3] Đặt thêm năm số nữa vào giữa hai số dương

3
a
a
a
a
b2
b  b 
u1  2 , u2  2 .q ,…, u6  2 .q 5 , u7  2 .q 6 
 q 6     

b
b
b
b
a
 a   a 

Do q  0  q 

6

b
 Có một cấp số nhân thỏa mãn.
a

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/20 – 1H2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

u  99
Câu 452. [1D3-3] Cho dãy số  un  biết:  1
. Hỏi số 861 là số hạng thứ mấy?
un1  un  2n  1, n  1
A. 42 .
B. 35 .
C. 21 .
D. 31 .
Lời giải
Chọn D.
u  99
Theo trên:  1
un1  un  2n  1, n  1
Ta có: u1  99

u2  u1  2.1  1
u3  u2  2.2  1
u4  u3  2.3  1
u5  u4  2.4  1
……………….
un  un1  2.(n  1)  1
Cộng hai vế tương ứng của các đẳng thức trên ta được:
un  99  2 1  2  3  ....  (n  1)  (n  1)

n(n  1)
 n  1  100  n 2

2
Số hạng: 861  100  n 2  n  31
 99  2.

Câu 453. [1D3-3] Tìm tất cả các giá trị thực của a để phương trình x 4  2  2a  1 x 2  3a  0 có bốn
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
A. a  2 .

B. a  3 .

C. a  1 .

1
D. a   .
2

Lời giải
Chọn B.
Đặt t  x 2  t  0 
Phương trình đã cho trở thành t 2  2  2a  1 x 2  3a  0 *
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình * có hai nghiệm dương phân
biệt.
 7  3 5
7  3 5

a


 a  7a  1  0
2

2
 2a  1 2  3a  0

   0


1
1




  2  2a  1  0   2a  1  0
 a  
 a  
2
2
 3a  0
a  0




a

0
a

0





2

7  3 5
1
a
2
2
Phương trình trùng phương đã cho có hai cặp nghiệm đối nhau lập thành một cấp số cộng
Giả sử một nghiệm là m  ba nghiệm còn lại lần lượt là m; 3m;3m .


Suy ra phương trình * có hai nghiệm phân biệt là m 2 và 9m 2 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

2a  1
 2
m




m  9m  2  2a  1

5
Theo viet ta có:  2

.

2
a
4
m .9m  3a
m  

3
1
2

a
a
 2a  1 
2


12 .
    12a  37a  3  0  
5 
3

 a  3
2

2

So với điều kiện ta nhận a  3 .
Câu 454. [1D3-3] Có hai chiếc hộp: hộp thứ nhất chứa bốn bi xanh, ba bi vàng; hộp thứ hai chứa hai bi
xanh, một bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Xác suất để được hai bi xanh là
8
3
4
26
A.
.
B. .
C. .
D.
.
21
5
7
21
Lời giải
Chọn A.
Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi nên số phần tử của không gian mẫu là 7.3  21 .
Chọn được hai viên bi xạnh (mỗi hộp một viên) có 4.2  8 cách.
8
Vậy xác suất cần tìm là
.
21
Câu 455. [1D3-3] Cho dãy số un 
A.

4949
.
9801

1
2 3
n 1
 2  2  ...  2 . Số hạng u99 có giá trị là
2
n n n
n
47
49
4747
B.
.
C.
.
D.
.
99
99
9801
Lời giải

Chọn C.
1  2  ...   n  1  n  1 .n 1
n 1


. 2 
.
2
n
2
n
2n
99  1 49
+ Vậy u99 

.
2.99 99

+ Ta có: un 

Câu 456. [1D3-3] Cho dãy số  un  với un  3n . Hãy chọn hệ thức đúng
A.

u1  u9
 u5 .
2

B.

C. u1  u2  u3  ...  u100 

u100  1
.
2

uk 1uk 1
 uk .
2

D. u1.u2 ....u100  u5050
Lời giải

Chọn D.
Gọi q là công bội của CSN, q  3 , u1  3

u1  u9 u1  q 8u1

 9843 , u5  6561
2
2
Đáp án B sai vì: Theo tính chất các số hạng của CSN.
Đáp án C sai vì:
Đáp án A sai vì:

u1  u2  u3  ...  u100 

u1 1  q100 
1 q

 7, 7.1047

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/20 – 1H2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

u100  1 u1 .q 99  1

 2,58.1047 .
2
2
Đáp án D đúng vì:
100

100

u1.u2 ....u100  u1.  31 u1  .  32 u1  ...  399 u1    u1  .31 2...99   u1  .34950  35050
u5050  u1.q5049  3.35049  35050
Câu 457. [1D3-3] Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp
số cộng này.
A. S16  26 .

B. S16  25 .

C. S16  24 .

D. S16  24 .

Lời giải
Chọn C.

 2u1   n  1 d  n
u  3d  12
u  21
Có  1
suy ra S16  
 24 .
 1
2
d  3
u1  13d  18
Câu 458. [1D3-3] Giá trị của tổng 7  77  777  ...  77...7 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng

70
7  102018  10
A.
102018  1  2018 .
B. 
 2018  .

9
9
9

C.


7  102019  10
 2018  .

9

9


D.

7
102018  1 .

9

Lời giải
Chọn C.
Ta thấy 7  77  777  ...  77...7  7 1  11  111  ...  11...1 


7
 9  99  999  ...  999 
9

7
7
10  1  102  1  103  1  ...  10 2018  1   10  102  103  ...  10 2018  2018 
 9
9

2018
 7  102019  10

7 10 1  10 
 

 2018  
 2018  .
9
1  10
9
 9 



Câu 459. [1D3-3] Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Tam giác A1 B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh
của tam giác ABC , tam giác A2 B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác

A1 B1C1 ,…, tam giác An BnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An1Bn1Cn1 ...Gọi
P, P1 , P2 ,..., Pn .. là chu vi của các tam giác ABC , A1 B1C1 , A2 B2C2 , …, An BnCn … Tìm tổng
P, P1 , P2 ,..., Pn ….
A. a .

B. 2a .

C. 3a .

D. 6a .

Lời giải
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/20 – 1H2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11
B

C

A

A1
Tam giác đều ABC cạnh a có chu vi P1  3a .
a
3a
có chu vi P2 
.
2
2
a
3a
Tam giác đều A2 B2C2 cạnh
có chu vi P2 
.
4
4
..
a
3a
Tam giác đều An BnCn cạnh n có chu vi P2  n .
2

2
...

Tam giác đều A1 B1C1 cạnh



 1 
1
 1 1

P  P1  P2  ...  Pn  ...  3a 1    ...  n  ...   3a 
 6a .
1
2
 2 4

1 
 2
1 1
1
1
(do 1    ...  n  .. là cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1 và q  ).
2 4
2
2
Câu 460. [1D3-3] Tính tổng S  n  
A. S  n  

n

.
n2

1
1
1
1


 
. Khi đó cơng thức của S  n  là?
1.2 2.3 3.4
n  n  1

B. S  n  

n
.
n 1

C. S  n  

2n
.
2n  1

D. S  n  

1
.

2n

Lời giải.
Chọn B.
Ta có: S  n  
 1

1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1



        
1.2 2.3 3.4
n  n  1 1 2 2 4 3 4
n n 1

1
n

.
n 1 n 1

Câu 461. [1D3-3] Cho cấp số cộng có d  2 và S8  72 , khi đó số hạng đầu tiên là bao nhiêu?
A. u1  16 .

B. u1  16 .

C. u1 

1
.
16

D. u1  

1
.
16

Lời giải.
Chọn A.
Ta có: S8  8u1 

8.7.d
72  28.2
 72  8u1  28.  2   u1 
 16 .
2
8

Câu 462. [1D3-3] Cho cấp số cộng có u1  1 , d  2 , S n  483 . Hỏi số các số hạng của cấp số cộng?
A. n  20 .

B. n  21 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. n  22 .
Lời giải.

D. n  23 .

Trang 18/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Chọn D.
Ta có: S n  nu1 

n  n  1 d
2

 483   1 n 

n  n  1 2
2

 n  23
.
 n 2  2n  483  0  
 n  21

Vì n   * nên ta nhận giá trị n  23 .
Câu 463. [1D3-3] Xác định x để 3 số 1  x , x 2 , 1  x lập thành một cấp số cộng.
A. Khơng có giá trị nào của x .
B. x  2 hoặc x  2 .
C. x  1 hoặc x  1 .
D. x  0 .
Lời giải.
Chọn C.
Ta có 3 số 1  x , x 2 , 1  x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
1  x   1  x   2 x 2  2 x2  2  x  1 .
Câu 464. [1D3-3] Cho dãy số  un  xác định bởi un 

n  n  2

 n  1

2

, n  1 , n   . Khẳng định nào sau đây là

đúng?
A. Dãy số  un  là dãy số giảm.
B. Dãy số  un  là dãy số tăng.
C. Dãy số  un  không bị chặn.
D. Dãy số vn  u1u2 ...un , n   , n  1 là dãy số tăng.
Lời giải
Chọn B.
* Ta có un 

n  n  2

 n  1

2



n2  2n
1
 1
, n  1 , n   nên dãy số
2
2
n  2n  1
 n  1

 un 

là dãy số

dương.
un 1  n  1 n  3  n  n  2   n  1 n  3

:

 1 nên  un  là dãy số tăng. (A sai, B đúng).
2
2
n n  2
un

 n  2
 n  1

Cách khác: un1  un  1 

1

 n  2

2


1 
2n  3
 1 

 0 , n   , n  1 nên  un 
  n  12   n  1 2  n  2 2



là dãy số tăng.
* Ta lại có: 0  un  1 

1

 n  1

2

 1 nên dãy số  un  bị chặn. (C. sai)

* Dãy số vn  u1u2 ...un , n   , n  1 :
Vì

0  un  1

nên

u1  u1u2  u1u2u3  ....  u1u2 ...un

hay

v1  v2  v3  ....  vn . Do đó

vn  u1u2 ...un , n   , n  1 là dãy số giảm. (D sai)
Câu 465.

[1D3-4] Cho hai số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng: 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... và 1 ,
6 , 11 , 16 , 21 , ... . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số trên?
A. 20 .

B. 21 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. 19 .
Lời giải

D. 18 .

Trang 19/20 – 1H2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Chọn A.
Ta có: un  3n  1 , un  3n  1 , um  5m  4
Xét phương trình: 3n  1  5m  4  3n  5  m  1
Suy ra n chia hết cho 5 nên n có dạng 1  n  5k  100 suy ra 1  k  20 .
Vậy có 20 số.
Câu 466. [1D3-4] Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lập thành một cấp số nhân. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định dưới đây?
A. ABC có hai góc có số đo lớn hơn 60 .
B. ABC có hai góc có số đo nhỏ hơn 60 .
C. ABC phải là tam giác đều.
D. ABC khơng thể có hai góc có số đo lớn hơn 60 .
Lời giải
Chọn D.
Giả sử ba độ dài ba cạnh của tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân là a , b , c

a  b  c .
Suy ra ac  b 2 và A  B  C .
Ta có ac  b 2
2

 2 R sin A.2 R sin C   2 R sin B  (với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC )

 2sin A.sin C  2sin 2 B
 cos  A  C   cos  A  C   2 1  cos 2 B 
 cos  A  C   cos B  2 1  cos2 B 
 cos  A  C   2  2 cos 2 B  cos B

Mà cos  A  C   1

 cos B  1  l 
Nên 2  2 cos B  cos B  1  2cos B  cos B  1  0  
 cos B  1  n 

2
Vì A  B  C nên góc B khơng là góc tù  0  B  90 .
1
Mà cos B giảm khi B tăng từ 0 đến 90 nên cos B   cos B  cos 60  B  60 .
2
Vậy A  B  60 hay ABC khơng thể có hai góc có số đo lớn hơn 60 .
2

2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/20 – 1H2