skkn Tiếp cận sách giáo khoa giải tích lớp 12

MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
I–Phần mở đầu.
I.1. Lý do chọn đề tài 2
I.2. Mục đích nghiên cứu 2
I.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
I.4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
I.5. Phương pháp nghiên cứu 2
II–Nội dung đề tài.
Chương 1: Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu 3
Chương II: Thực trạng và giải pháp của đề tài nghiên cứu 6
Vấn đề 1: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 6
Vấn đề 2: Xét dấu của Đạo hàm 7
Vấn đề 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số 7
Vấn đề 4: Tính chất của Nguyên hàm 9
Vấn đề 5: Tính nguyên hàm 10
Vấn đề 6: Bảng các nguyên hàm 11
Vấn đề 7: Tích phân bằng phương pháp đổi biến số 11
Vấn đề 8: Thực hành áp dụng công thức đổi biến số 13
Vấn đề 9: Biến đổi tương đương của phương trình 14
Vấn đề 10: Công thức nhị thức Newton 15
III–Kết luận 16
Bổ sung kiến thức 16
Đánh giá của Hội đồng các cấp 18
Danh mục tài liệu tham khảo 19


Trang 1
I– PHẦN MỞ DẦU
1–Lý do chọn đề tài:

Qua nhiều hơn 15 năm giảng dạy chương trình 12, tôi thấy cần có một cách nhìn sâu sắc hơn về chương
trình trong sách giáo khoa (SGK) 12 để có cách dạy hiệu quả và thiết thực hơn. Tôi rất mong chia xẻ kinh nghiệm
với các đồng nghiệp và Thầy cô giảng dạy Toán 12.
Chúng ta ai cũng biết, chương trình và SGK 12 có nhiều sự thay đổi trong khoảng 15 năm gần đây. Đầu
tiên là một bộ sách, sau đó là ba bộ, và vào năm 2000 lại thống nhất thành một bộ. Chúng ta đang bắt đầu chương
trình cái cách mới : phân hóa, phân ban. Bắt đầu cho lớp 10 và sau hai năm nữa sẽ là lớp 12. Bộ đã phát hành hai
bộ sách 12 để tham khảo v,v,….Trong hoàn cảnh đó. Nhiều bộ sách khác nhau cùng đề cập tới một kiến thức toán
học theo những cách khác nhau. Việc tiếp cận chương trình 12 và SGK 12 như thế nào, sách nào, bộ nào là vấn
đề cần suy nghĩ.
Hơn nữa, chúng ta ai cũng biết trước kia, SGK là pháp lệnh (Chưa có luật), dạy không đúng SGK (mặc
dầu SGK sai đi nữa) thì cũng coi như là vi phạm. Từ khi có ba bộ sách, quan điểm ấy không còn nữa, SGK chỉ là
dể tham khảo, giáo viên phải chịu hoàn toàn trách nhiệm về bài giảng của mình. Đến khi thống nhất thành một bộ
sách năm 2000, mặc nhiên người ta cũng tiếp tục quan niệm rằng SGK không là pháp lệnh. Nhà giáo ưu tú Hàn
Liên Hải trong báo Thế giới trong ta, sô 8–2006 đã khẳng định rằng SGK là tham khảo chính; giờ dạy rập khuôn
SGK, kể cả các hoạt động trong đó là một giờ dạy thất bại.
Dầu có quan niệm SGK là gì đi nữa, có một thực tế không ai phủ nhận được là SGK cũng có chỗ không
chính xác, hoặc là không rõ (có thể mọi phần do in ấn) . Trong giờ dạy, để đáp ứng phương pháp dạy học phát huy
tính tích cực của học sinh, hầu hết các giáo viên đều biến chế SGK theo một cách riêng. Ít giáo viên nào trình bày
bài dạy “giống hệt” như sách. Hơn nữa, đối tượng học sinh của chúng ta trong cùng một năm cũng rất khác nhau
về nhiều mặt, chưa nói là các năm khác nhau. Việc tiếp cận chương trình và SGK một cách linh hoạt, sáng tạo,
nhưng vẫn không làm mất đi tinh thần cốt lõi của nó là một việc làm cần thiết, đáp ứng được yêu cầu của phương
pháp dạy học đổi mới : phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm.
2–Mục đích nghiên cứu
Mục đích của kinh nghiệm này là nhằm nêu lên một cách tiếp cận chương trình và SGK 12 một cách rõ
ràng hơn, sáng sủa hơn, giúp cho việc giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh được nhẹ nhàng hơn
nhưng kết quả đạt được lại tốt hơn là rập khuôn SGK một cách máy móc.
3– Đối tượng, phạm vi ngiên cứu.
Chương trình nằm trong SGK GIẢI TÍCH 12 hợp nhất 2000 và sách phân ban thí điểm bộ 1 phát hành năm
2006
4– Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm cách tiếp cận các nội dung: Mối liên quan giưa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số;
xét dấu đạo hàm như thế nào; tiệm cận của đồ thị một hàm số; một số tính chất của nguyên hàm; thực hành tính
nguyên hàm như thế nào; về bảng các nguyên hàm; về định lý tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số; về
thực hành tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số va cuối cùng là vấn đề về biến đổi phương trình.
5– Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu
Trang 2
II–NỘI DUNG KINH NGHIỆM
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN KINH NGHIỆM
1) Cơ sở pháp lý
a) NGHỊ QUYẾ T CỦ A QUỐC HỘ I NƯỚ C CỘNG HOÀ XÃ H Ộ I CHỦ N GHĨA V IỆT NAM
SỐ 40/200 0 /QH10 NGÀY 09 THÁNG 12 NĂ M 2000 V Ề ĐỔI M Ớ I CHƯ Ơ NG TRÌNH GIÁ O DỤC
PHỔ T HÔNG
”…… … Bảo đảm sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăng cường tính liên thông giữa
giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc
dân để tạo sự cân đối về cơ cấu nguồn nhân lực; bảo đảm sự thống nhất về chuẩn kiến thức và kỹ năng, có
phương án vận dụng chương trình, sách giáo khoa phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện của các địa bàn
khác nhau……… ”
b) THÔNG TƯ CỦA BỘ GIÁO DỤC V À ĐÀO TẠO SỐ 14/2002/TT-BG D&ĐT NGÀY 1
THÁNG 4 NĂ M 2 002 H ƯỚNG DẪN UỶ BAN NHÂN DÂN T ỈNH, THÀNH PHỐ TRỰC THU ỘC
TRUNG ƯƠNG T HỰC HI ỆN CHỈ T HỊ SỐ 14/2001/CT-TT G NGÀY 11/6/2001 CỦA THỦ
TƯỚNG CHÍNH PHỦ VỀ VIỆC ĐỔI MỚ I CHƯƠNG TRÌNH G IÁO DỤC PHỔ T HÔNG
c) LUẬT GIÁO DUC NĂM 2005
2) Cơ sở lý luận
SGK là yếu tố không thể thiếu cho việc tổ chức dạy và học. Theo luật giáo dục năm 2005, yêu cầu về nội
dung kiến thức và kỹ năng quy định trong chương trình giáo dục phải được cụ thể hóa thành sách giáo khoa ở
giáo dục phổ thông, giáo trình và tài liệu giảng dạy ở giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại học, giáo dục thường
xuyên.
Điều 5 của luật giáo dục năm 2005 quy định “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực

hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Điều 28 của luật giáo dục năm 2005 khẳng định thêm : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong lúc đó, điều 6 của luật giáo dục năm 2005 quy định: “Sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu giảng
dạy phải đáp ứng yêu cầu về phương pháp giáo dục”.
Như vậy, SGK có một vai trò cực kỳ quan trọng trong không những trong việc dạy học nói chung cho mọi
quốc gia và thời đại mà còn đáp ứng việc cải cách phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm. Ngoài ra, Tôi
cho rằng SGK còn thể hiện được cả trình độ văn minh của một dân tộc trong việc trình bày và nhìn nhận các kiến
thức của thế giới. Do đó, Việc tiếp cận như thế nào để không quá thô thiển như sao y bản chính mà vẫn toát lên
được cái ý đồ cực kỳ quan trọng đã nói bên trên của sách là một việc làm cần thiết.
3) Cơ sở thực tiễn
Một vài ý kiến của báo chí nói về SGK.
1) (VietNamNet) -ngày 03/09/2006, TS Đỗ Ngọc Thống, Trưởng phòng Ngữ văn, Viện Chiến lược và Chương trình
giáo dục :
Lâu nay, đối với nhà trường phổ thông Việt Nam, sách giáo khoa (SGK) bao giờ cũng là tài liệu dạy học
quan trọng và gần như duy nhất. Mọi thông tin, tri thức và kĩ năng đều được chuyển tải qua SGK, nhờ SGK
và bằng SGK Nhận xét trên đây, mặc nhiên được thừa nhận trong suốt một thời gian dài và ít ai thấy vô lí.
Trong khi ở Australia, SGK không còn là nơi độc tôn chân lí. Học vấn phổ thông hiện nay còn được tiếp
cận từ nhiều nguồn khác nhau.
1) SGK: Nhiều bộ
………Dựa trên khung chương trình (framework curriculum) của Nhà nước liên bang, mỗi bang tự soạn ra Chương
trình học tập của bang mình (gọi là syllabus) nhằm chi tiết hoá các định hướng và chuẩn của liên bang cho phù
Trang 3
hợp với địa phương. Việc soạn thảo này do cơ quan chuyên nghiên cứu về giáo dục bang (QSA - Queensland
Studies Authority).
Đến lượt mình, các nhà trường phổ thông ở các tiểu bang (quận, huyện) lại căn cứ vào chương trình của bang để
cụ thể hoá tiếp tục cho phù hợp hơn nữa với địa phương của mình. Chương trình này được gọi là chương trình
làm việc (work program), có nơi gọi là chương trình nhà trường (school curriculum). Đây chính là chương trình thực

học, chi tiết và cụ thể của mỗi nhà trường………………
Chương trình làm việc này được các tiểu ban của địa phương và các tổ trưởng chuyên môn các trường soạn thảo,
Hiệu trưởng nhà trường phê duyệt hàng năm. Như thế nội dung dạy học của mỗi trường có thể rất khác nhau, cơ
quan giáo dục bang chỉ quản lý bằng chuẩn học tập của bang. Các trường tổ chức phân loại học sinh theo các
nhóm xếp vị trí từ cao xuống thấp để xét vào đại học (không thi đại học). Việc xếp loại học sinh được tiến hành
bằng nhiều cách và từ nhiều nguồn khác nhau: báo cáo, bài tập nghiên cứu, nhận xét của giáo viên, thực hành
( bài kiểm tra, thi chỉ là một trong các hình thức đó).
Có thể thấy việc quản lý chương trình và tổ chức dạy học ở đây hết sức linh hoạt, phân cấp khá rõ cho các cơ
quan giáo dục, cấp trên không làm thay, không độc quyền, cấp dưới chủ động, linh hoạt trong việc vận dụng các
định hướng và yêu cầu của cấp trên.
Điều quan trọng và đáng suy nghĩ nhất là tài liệu, cách thức tổ chức dạy học ở đây khá phong phú và mới mẻ.
Sách giáo khoa có nhiều bộ khác nhau đã đành, nhưng điều quan trọng hơn: đó không phải là tài liệu học tập duy
nhất.
SGK: Nhường bước cho học trực tuyến
Hầu như tất cả mọi người từ lãnh đạo cơ quan quản lý giáo dục bang đến các cán bộ nghiên cứu đều trả lời thống
nhất rằng SGK càng ngày càng ít quan trọng đi. Với họ, SGK chỉ là một trong các tài liệu học tập của giáo viên
(GV) và HS.
Căn cứ vào chương trình và yêu cầu cần đạt (chuẩn) người GV cũng như HS có thể tham khảo và lấy từ nhiều
nguồn tư liệu khác nhau chẳng hạn đĩa CD, DVD, e-learning; internet; các sách báo ngoài nhà trường cùng với
SGK để giảng dạy và học tập……….
SGK: Không còn là nơi độc tôn chân lí
Học tập theo tinh thần trên, người học luôn được tiếp xúc với rất nhiều nguồn thông tin đa dạng và phong phú khác
nhau. Người GV phải biết hướng dẫn HS biết cách thu thập và xử lí thông tin, tổng hợp và lựa chọn từ nhiều nguồn
khác nhau để tìm ra một kết luận đúng đắn, phù hợp.
Sách giáo khoa vì thế không còn là nơi độc tôn chân lí. Học vấn phổ thông hiện nay không chỉ còn nằm trong mấy
cuốn SGK nữa mà được tiếp cận từ nhiều nguồn khác nhau. Với khối lượng tri thức khổng lồ, ngày một tăng nhanh
đến chóng mặt, SGK không thể cập nhật nhanh chóng và bao quát hết được các lĩnh vực tri thức ấy.
Lâu nay, đối với nhà trường phổ thông Việt Nam, sách giáo khoa bao giờ cũng là tài liệu dạy học quan trọng và gần
như duy nhất. Mọi thông tin, tri thức và kĩ năng đều được chuyển tải qua sách giáo khoa, nhờ sách giáo khoa và
bằng sách giáo khoa

Nhận xét trên đây, mặc nhiên được thừa nhận trong suốt một thời gian dài và ít ai thấy vô lí. Một câu hỏi đặt ra: liệu
sách giáo khoa (SGK) có đáp ứng được tất cả các yêu cầu của việc cung cấp các tri thức phổ thông cho học sinh
(HS) trong thời đại ngày nay? Câu trả lời là không thể, cả về lý thuyết lẫn thực tiễn.
Hơn nữa SGK suy cho cùng vẫn chỉ là quan điểm, nhận thức của một hay một nhóm người về một vấn đề hay lĩnh
vực nào đó.
Nhiều bộ sách sẽ giúp người dạy và người học có nhiều nguồn thông tin, nhiều cách tiếp cận chân lý hơn, nhất là
SGK văn học và khoa học xã hội.
Trang 4
Và vì vậy, suy rộng ra, nếu GV và HS được tiếp cận và làm việc với nhiều phương tiện, nhất là công nghệ thông tin
hiện đại, thì chắc chắn việc trang bị học vấn phổ thông; hình thành và rèn luyện kĩ năng thực hành sẽ nhanh chóng
hơn nhiều.
Tất nhiên đi đôi với nhận thức phải là các điều kiện khác, trước hết là điều kiện vật chất, trang thiết bị dạy học. Các
trường học ở Queesland đều có cơ sở vật chất rất lý tưởng: lớp học bao giờ cũng có các loại máy chiếu, máy vi
tính được nối mạng, phông màn và các thiết bị điện tử khác.
TS Đỗ Ngọc Thống (ghi chép từ Brisbane - Queenland - Australia)
2)Sách giáo khoa mới được thẩm định quá ít! (05:35' 19/11/2004 (GMT+7))
(VietNamNet) - Nhiều ý kiến cho hay như vậy tại buổi đóng góp ý kiến xây dựng chương trình và biên soạn
sách giáo khoa (SGK) phổ thông mới do Liên hiệp các hội khoa học kỹ thuật Việt Nam và Hội Khuyến học
tổ chức sáng 18/11/2006.
Viện Chiến lược và Chương trình Giáo dục (nơi chịu trách nhiệm chủ trì nội dung biên soạn SGK) cho hay, kỳ này
mỗi quyển sách có một chủ biên, mỗi bộ SGK có một tổng chủ biên. Mỗi chương trình, mỗi quyển sách đều
được thẩm định 2 lần.
Thế nhưng, ông Nguyễn Cương, Hội hoá học VN cho rằng SGK lớp 10-11 quá dài và nặng mà không đảm bảo, sự
sửa chữa qua các lần thẩm định là quá ít. Các ý kiến khác tại hội thảo cho rằng, SGK mới hiện nay vẫn còn nhiều
hạn chế như: sai sót trong minh hoạ chưa rõ, còn sơ sài (lý 7); số liệu không trùng với thực tế; chú thích còn nhiều
''sạn'' về hành văn, logic (ngữ văn); văn phong còn lủng củng (lý 7)
……………. ''Mà việc viết sách cũng chưa thực sự là tâm huyết của các nhà chuyên môn, so với việc dạy học và
viết sách thì một giáo viên tiếng Anh có thể thu 30 triệu/tháng từ dạy học trong khi viết một quyển sách thì chỉ được
trả một số tiền gần bằng 1/10- không thể không đắn đo lựa chọn!''. Ông Dương Kỳ Đức (Tổng thư ký Hội ngôn ngữ
học VN) bổ sung…………………………….

3) Ho ten: Nguyễn Xuân Nam
Dia chi: Hà Nội
Email:
Noi dung: Cháu đang là một học sinh lớp 10. Trong những năm học cấp 2, cháu cảm thấy SGK, nhất là SGK vật lý
viết những ví dụ rất tối nghĩa, dường như áp đặt cho học sinh phải hiểu, nếu tự nghiên cứu thì quả khó mà hiểu
được. Ví dụ ở sách chưa cải cách, thầy Vật lý luôn áp đặt cho học sinh dòng điện không có trong không khí? Cháu
đã phản biện bằng dẫn chứng sét đánh người nhưng thầy vẫn không chấp nhận với lý do SGK không ghi như
vậy. Điều đó chứng tỏ sự cứng nhắc trong vấn đề làm SGK. Cháu mong các bác, các nhà chuyên môn củng cố,
sửa chữa SGK sao cho phù hợp với tư duy logic của học sinh.
4) Sách phân ban: Xa lạ với đời sống 03:24' 07/05/2005 (GMT+7)
(VietNamNet) - TS Hồ Thiệu Hùng (Viện Nghiên cứu giáo dục) nhận xét: “Cách viết SGK như hiện nay khiến cho
HS thấy môn Toán trở nên xa lạ với đời sống thường ngày. Các đề toán chỉ là do thầy và người viết sách nghĩ
ra chứ không có trong đời sống. …………….
Sửa thế nào?
“Ông Hồ Thiệu Hùng đề xuất đề nghị chỉnh sửa sách môn Toán “nên thu lượm nhiều bài toán thực tế nhiều bài
toán thực tế từ cuộc sống hằng ngày đưa ra làm ví dụ minh hoạ, làm bài tập” và “rất cần dạy cho HS chiến lược
giải toán, các cách giải toán”. ……………….”
Muốn như thế, HS và GV phải tiếp cận được vấn đề (kiến thức lý thuyết, bài tập) theo nhiều cách thức và
phương hướng khác nhau nhằm có cái nhìn tổng thể và sâu sắc về vấn đề được đặt ra. Không chỉ đơn giản một
chiều là bài giải trong Sách bài tập hay là chứng minh của SGK
Dẫu nói gìđi nữa, SGK 12 nói riêng và cả chương trình THPT nói chung đã có nhiều lần cải cách. Mỗi lần
cải cách đều có những thay đổi tương đối lớn, không những về cấu trúc chương trình mà kể cả quan điểm về cách
tiếp cận các kiến thức toán học Giải tích 12. Người giáo viên phải có cách thức tiếp cận kiến thức trong SGK
Trang 5
cho đúng đắn và phù hợp với điều kiện dạy học cho từng tiết học, lớp học mà vẫn giữ được nội dung cơ bản của
kiến thức. Không nên cứng nhắc tiếp cận một chiều, một hướng như SGK đã trình bày. Đó là đã đáp ứng được
phương pháp dạy học tích cực rồi vậy.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU.
1. Khái quát phạm vi nhiên cứu.
Chương trình và sách giáo khoa Giải tích 12 hợp nhất 2000 và sách thí điểm phân ban bộ 1, phát hành

năm 2006.
2. Thực trạng và giải pháp của đề tài nghiên cứu.
Vấn đề 1: Mối liên quan giữa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Sách cải cách hợp nhất 2000: Nguyên văn (Trang 49)
Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu
'( ) 0f x ³
( hoặc
'( ) 0f x £
), và đẳng
thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
khoảng đó.
Sách giáo khoa thí điểm phân ban bộ 1: Nguyên văn (Trang 9):
Nhận xét:… Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu
'( ) 0f x ³
với mọi
x IÎ
( hoặc
'( ) 0f x £

với mọi
x IÎ
) và
'( ) 0f x =
chỉ tại một só hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến
trên I.
Nhận xét:
Ở đây, ta phải hiểu, “hữu hạn” từ đâu mà ra ? Định lý Lagrăng nói rất rõ:
'( ) 0, ( ; ) ( ) , ( ; )f x x a b f x C x a b= " = "ÎÞ Î
, chẳng dính dáng gì tới “hữu hạn” cả. Thực ra thông
thường,

'( ) 0f x =
chỉ có vài nghiệm, hoặc nếu có nhiều nghiệm như hàm số lượng giác thì các nghiệm
đó chia trục số thành những đoạn bằng nhau, cho nên trong một khoảng I cụ thể, số nghiệm này là hữu
hạn. Và kết quả này chỉ đúng với những hàm số thông thường, không đúng cho trường hợp tổng quát. Yêu
cầu hữu hạn là hơi nhiều, không cần thiết. Hơn nữa, vì
¥
chỉ là một khái niệm, lâu nay ta phát biểu định
lý cho khoảng
( ; )a b
nhưng lại được áp dụng cho những khoảng có chứa
¥
, ví như
( ; )a + ¥
hay
( ; )= - ¥ + ¥¡
, do ta quan niệm
( ; )a + ¥
thực ra là khoảng
( ; )a b
với
b a>
và b lớn tùy ý mà thôi. Với
quan niệm đó, hàm số
( ) s 2 2 3f x co x x= - +
(bài tập 7 trang 10–sách giáo khoa thí điểm bộ 1) có vô
số điểm huộc
x I =Î ¡
mà tại
'( ) 0f x =
, nhưng hàm số nghịch biến trên

¡
. Ở đây có điều gì đó mâu
thuẫn ?. Hơn nữa, chúng ta có thể chứng minh (Ở phần bổ sung kiến thức) rằng nếu
'( ) 0f x =
trên một
tập hợp các điểm x “rời rạc” (Có độ đo bằng không), mà không cần hữu hạn, ví như tập hợp
{ }
*
1
/ n
n
Î ¥

thì hàm số vẫn đơn điệu như thường. Hữu hạn hay vô hạn là những khái niệm mà khi đi sâu vào sẽ là
phạm trù lớn, mà ở đây không sử dụng tới nó sẽ tốt hơn.
Kiến nghị phát biểu lại:
Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu
'( ) 0f x ³
( hoặc
'( ) 0f x £
), và đẳng
thức không xảy ra trên khoảng (c;d)
⊂
(a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
Việc f’(x)=0 không xảy ra trên (c;d)
⊂
(a;b) là thường thấy đối với hầu hết các hàm số trong
trường THPT. Nên chúng ta có thể phát biểu lại định lý 2 như sau:
Định lý 2’: Đối với hầu hết các hàm số y=f(x) trong trường THPT có đạo hàm trên khoảng (a;b).
1)

( ; ), '( ) 0x a b f x" γÛ
hàm số y=f(x) tăng trên (a;b)
2)
( ; ), '( ) 0x a b f x" ΣÛ
hàm số y=f(x) giảm trên (a;b)
Trang 6
Riêng định lý 2’, nếu yêu cầu chính xác tuyệt đối như sách Đại học, thì cũng không nên ghi là định
lý làm gì, mà ghi là ghi nhớ chẳng hạn.
Đây chính là cơ sở để giải quyết các bài tập dạng : Định m để hàm số tăng(giảm) trên một khoảng
nào đó. (bài tập 4–trang 104, bài tập 2 trang 105,…Sách hợp nhất 2000)
Vấn đề 2: Xét dấu của đạo hàm
Sách hợp nhất 2000: Nguyên văn (Trang 51)
Đối với các hàm số f(x) thường gặp, f’(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó. Khi đó giữa hai điểm tới
hạn kề nhau x
1
và x
2
, f’(x) giữ nguyên một dấu.
Sách thí diểm bộ 1 thì lại không nói gì tới vấn đề này.
Nhận xét:
Sách hợp nhất 2000 thì nói quá kỹ (Đưa ra khái niệm điểm tới hạn,…Có 2 trang trình bày về vấn
đề này). Vấn đề nảy sinh là nếu hàm số có it hơn hai điểm tới hạn thì xét dấu như thế nào ? Liệu
¥
có
phải là một điểm tới hạn ?
Trong lúc đó, sách thí điểm bộ 1 thì bỏ hẳn, không nói gì tới việc xét dấu như thế nào, coi như học
sinh đã biết ! Như vậy là khi xét dấu
'( )f x
có chứa hàm số lượng giác, mũ, căn,v,v… (những bài tập loại
này rất nhiều trong SBT), học sinh buộc phải nhớ không những kiến thức xét dấu tam thức bậc nhất, bậc

hai mà còn phải nhớ tới kiến thức về sự đơn điệu của hàm số lượng giác, mũ, căn,v,v,… trong khoảng
xét. Điều này thì cực khó đối với học sinh. Hơn nữa, nếu
2
'( ) 2 1f x x x= - +
chẳng hạn thì xét dấu của
nó dựa vào nguyên tắc nào ?
Kỹ năng xét dấu các hàm số liên tục dựa vào tính chất của nó, cũng nên rèn luyện. Cơ bản để xét
dấu trên một khoảng, học sinh chỉ tính các giá trị của hàm số trên khoảng đó. Điều này thì dễ hơn việc nhớ
dấu của hàm số trên khoảng đó, và có thể sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ !
Ta biết một tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Nếu
( ). ( ) 0f a f b <
thì
phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b). Do đó, nếu f(x)=0 không có nghiệm nào
trong (a;b) thì f(x) giữ nguyên một dấu trên khoảng đó. Thực vậy, nếu f(x) đạt giá trị âm và dương tại x
1
và
x
2
thì f(x)=0 sẽ có nghiệm trên
1 2
( ; ) ( ; )x x a bÌ
( hay
2 1
( ; ) ( ; )x x a bÌ
). Trái với giả thiết.
Kiến nghị trình bày:
Đối với các hàm số f(x) mà f’(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó. Khi đó nếu f’(x) không có
nghiệm trong (a;b) thì f’(x) giữ nguyên một dấu trong khoảng đó.
Vấn đề 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Sách hợp nhất 2000: Nguyên văn: (trang 71)

1.Định nghĩa
a) Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và M(x;y) là một điểm thay đổi trên (C).
Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai tọa độ x, y của điểm M(x,y) dần tới
∞
.
Khi đó ta cũng nói điểm M(x;y) dần tới
¥
(Vì
2 2
OM x y= + + ¥®
). Kí hiệu M →
¥
.
b) Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực. Cho đường thẳng d. Kí hiệu MH là khoảng cách từ điểm
( ; ) ( )M x y CÎ
đến đường thẳng d.
d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của (C) nếu MH dần đến 0 khi M dần đến
∞
trên (C). Nói
cách khác, d là tiệm cận của (C)
( ( ))
lim 0
M
M C
MH
¥®
Î
=Û
……….
Trang 7

Định lý: Nếu
0
lim ( )
x x
f x
®
= ¥
thì đường thẳng d có phương trình
0
x x=
là một tiệm cận của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
Định lý: Nếu
0
lim ( )
x
f x y
¥®
=
thì đường thẳng d có phương trình
0
y y=
là một tiệm cận của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
Định lý: điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng
:d y ax b= +
là một tiệm cận của đồ thị
( ) : ( )C y f x=

là

( )
[ ]
lim ( ) 0
x
f x ax b
- ¥®
- + =
hoặc
( )
[ ]
lim ( ) 0
x
f x ax b
+ ¥®
- + =
hoặc
( )
[ ]
lim ( ) 0
x
f x ax b
¥®
- + =
Sách thí điểm bộ 1: Nguyên văn: (Trang 26, 27, 29)
Định nghĩa 1: Đường thẳng
0
y y=
được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ
thị hàm số

( )y f x=
nếu
0
lim ( )
x
f x y
+ ¥®
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
- ¥®
=
Định nghĩa 2: Đường thẳng
0
x x=
được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số
( )y f x=
nếu

0
lim ( )
x x
f x
-
®
= + ¥

hoặc
0
lim ( )
x x
f x
+
®
= + ¥
hoặc
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= - ¥
hoặc
0
lim ( )
x x
f x
+
®
= - ¥
Định nghĩa 3: đường thẳng
, 0y ax b a= + ¹
, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận
xiên) của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu

[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
+ ¥®
- + =
hoặc
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
- ¥®
- + =
Nhận xét:
Đối với sách hợp nhất 2000, Thực chất MH là hàm số hai biến số x và y và chúng ta chưa có định
nghĩa giới hạn cho các hàm số loại này. Chúng ta chỉ có khái niệm giới hạn của dãy số (Khi n →
¥
) và
giới hạn của hàm số khi x → a (±
¥
). Do đó, không nên ghi là định nghĩa , mà chỉ là khái niệm.
Các định lý trong sách hợp nhất 2000 chuyển thành các định nghĩa của sách sách thí điểm bộ 1.
Và đã có sự thay đổi về nội dung. Đó là sự phân chia triệt để
0 0
; ; ;x x x x x x
+ -
- ¥ + ¥® ® ® ®
,…
Không còn có
0

x x®
hay
x ¥®
.
Sự phân chia này là rõ ràng và chính xác về mặt lý thuyết. Tuy nhiên, những giới hạn kiểu
0
x x®
hay
x ¥®
chẳng lẽ không có tác dụng gì trong việc tìm các tiệm cận ?
Vì giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy, nên ở đây ta nói về giới hạn của dãy số.
Dù muốn dù không, chúng ta cũng phải xét tới các giới hạn của dãy
0n
x x®
, ví như dãy
*
( 1)
,
n
n
x n
n
−
= ∈ ¥
, hoặc là giới hạn
n
x ¥®
,ví như dãy
( 1) . ,
n

n
x n n= − ∈ ¥
, mà không thể bỏ đi các
khái niệm đó được. Thế thì nó có tác dụng gì trong việc tìm tiệm cận của đồ thị hàm số?
Trước hết, có thể khẳng định là nếu
( )f x
liên tục trên
{ }
0
\ x¡
và
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= ¥
thì ta có thể
khẳng định được
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= - ¥
hoặc là
0
lim ( )

x x
f x
-
®
= + ¥
, nghĩa là đường thẳng
0
x x=
là một tiệm cận
của đồ thị hàm số.
Thứ hai, nếu
0
lim ( )
x x
f x
®
= ¥
thì chúng ta có thể chứng minh
( ) ( )
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x f x f x
- +
® ® ®
= ¥ = ¥ = ¥Ù Û
Lúc đó,
0
x x=
là tiệm cận đứng. Còn có trường hợp x không lớn hơn x

0
mà cũng không nhỏ hơn
x
0
( Ví như x nhận các giá trị của dãy
*
( 1)
,
n
n
x n
n
−
= ∈ ¥
) thì theo khái niệm tiệm cận, chúng ta có thể
thấy được đường thẳng
0
x x=
là một tiệm cận (hai phía) của đồ thị hàm số. Như vậy, nếu có
Trang 8
0
lim ( )
x x
f x
đ
= Ơ
thỡ ta ó khng nh c ng thng
0
x x=
l tim cn ng, khụng nht thit lỳc no

cng phi chia ra hai trng hp cho phc tp v di dũng trong trỡnh by bi gii
Kin ngh: B sung Chỳ ý (Cỏc hm s yờu cu kho sỏt trong chng trỡnh THPT u tha v
ta ch yu s dng nú trong thc hnh kho sỏt hm s )
1) Nu
0
lim ( )
x x
f x
đ
= Ơ
thỡ ng thng d cú phng trỡnh
0
x x=
l mt tim cn ca
( ) : ( )C y f x=
2) Nu
0
lim ( )
x
f x y
Ơđ
=
thỡ ng thng d cú phng trỡnh
0
y y=
l mt tim cn ca
( ) : ( )C y f x=
3) Nu
( )
[ ]

lim ( ) 0
x
f x ax b
Ơđ
- + =
thỡ ng thng
:d y ax b= +
l mt tim cn ca
( ) : ( )C y f x=

Vn 4: Tớnh cht ca nguyờn hm
Trang 114sỏch hp nht 2000 v trang 139-sỏch thớ im b 1 cú ghi:
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ạ
ũ ũ
(1)
Giỏo trỡnh cỏc yu t gii tớch toỏn hc trong chng trỡnh toỏn ph thụng (Ti liu BDTX
chu k 19931996) trang 81 thỡ ghi
( ) ( )af x dx a f x dx=
ũ ũ
vi a l hng s bt k.
Nhn xột: Nu da vo tớnh cht
( )
/
( ) ( )a f x dx af x=
ũ
(tớnh cht 1, cựng trang 114) thỡ ta cú :
( ) ( )af x dx a f x dx C= +
ũ ũ
(2)
Vy : Cụng thc no ỳng õy ?

Sỏch thớ im b 1 thỡ khụng chng minh phn ny, v cú núi thờm trong Sỏch giỏo viờn rng
0a ạ
l cn thit vỡ nu
0a =
thỡ theo cụng thc (1)
0 0dx =
ũ
l khụng ỳng. Cỏch lm ny
khụng khoa hc v gng ộp. Khụng phi ti kt qu ri thy mõu thun li thờm bt gi thit !
Vic hiu cho tng tn hai cụng thc trờn l iu khụng d, ngay c i vi giỏo viờn ch ng
núi ti hc sinh !
Hiu cỏch 1: (sỏch thớ im b 1) Xem
( )f x dx
ũ
ch mt tp hp cỏc hm s. Ngha l
{ }
( ) ( ) /f x dx F x C C= + ẻ
ũ
Ă
. Khi ú
{ }
( ) ( ) /a f x dx aF x aC C= + ẻ
ũ
Ă
. Chng minh
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a= ạ
ũ ũ
l chng minh hai tp hp bng nhau. (Gi
/
( ) ( )F x f x=

)
Ly
( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )H x a f x dx H x aF x C H x af x H x af x dx= + =ẻ ị ị ị ẻ
ũ ũ
Ngc li ly
( ) ( )H x af x dxẻ
ũ
. Gi
( )T x
l mt nguyờn hm ca
( )af x
thỡ
( )
( ) ( )
T x C
H x T x C a
a a
ổ ử
ữ
ỗ
= + = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. t
( ) '( ) ( )
( ) '( ) ( )
T x C T x af x

F x F x f x
a a a a
= + = = =ị
v
( ) ( )H x aF x=
nờn
( ) ( )H x a f x dxẻ
ũ
. Nh vy l chng minh xong hai tp hp bng nhau.
Vic chng minh ny vn phi cú iu kin
0a ạ
. Xin trỡnh by mt cỏch hiu khỏc.
Hiu cỏch 2:
Cụng thc
( ) ( )af x dx a f x dx=
ũ ũ
nờn hiu l s bng nhau ca hai lp tng ng.
Gi F l tp hp cỏc hm s F(x) kh vi, F(x) v G(x) c gi l quan h Q vi nhau nu
'( ) '( )F x G x=
. Rừ rng quan h Q l mt quan h tng ng. V quan h Q ny s chia tp F
thnh cỏc lp tng ng
( )F x
v
( )G x
,v,vcỏc lp c xỏc nh bi mt phn t bt k ca nú
Trang 9
làm đại diện. Hai lớp bằng nhau khi phần tử đại diện của lớp này rơi vào lớp kia. Với tinh thần đó,
C

và

0
là bằng nhau vì phần tử chúng có cùng đạo hàm là 0. Vậy ta hiểu
( ) ( )f x dx F x=
ò
. Do đó,
tính chất
( ) ( )af x dx a f x dx=
ò ò
nên hiểu là
( ) . ( )aF x a F x=
(không cần a≠0, Chỉ cần a là hằng
số)
Việc hiểu theo cách nào trong các cách trên là quá sức đối với học sinh phổ thông, nên tôi đề nghị:
khi dạy, phát biểu tính chất không dùng ký hiệu
( )f x dx
ò
như sau:
1) Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì af(x) (a là hằng số, không cần khác 0) sẽ có một nguyên
hàm là aF(x).
2) Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm là F(x) và G(x) thì hàm số f(x)+g(x) có một nguyên hàm là F(x)
+G(x)
(Cách phát biểu này là của sách trước hợp nhất, miền nam đã làm)
Nếu phát biểu như trên thì việc chứng minh cực kỳ dễ dàng, và không cần
0a ¹
. Tuy nhiên nếu
phát biểu bằng lời thì khi làm bài cũng như ra bài tập rất dài dòng. Ví dụ
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )f x
⇔ tính
( )f x dx

ò
, cho nên chúng ta cũng đưa vào lý hiệu
( )f x dx
ò
(sau phát biểu bằng lời nói trên) chỉ với ý nghĩa là rút gọn lại định lý bằng lời mà thôi,
ngoài ra nó chẳng có một ý nghĩa nào hết.
Vấn đề 5: Tính nguyên hàm
Trang 117–sách hợp nhất 2000
Ví dụ 4: Tính.
5
(5 3)x dx+
ò
Sách giải là
5 5
1
(5 3) (5 3) (5 3)
5
x dx x d x+ = + +
⇒
5 5
1
(5 3) (5 3) (5 3)
5
x dx x d x+ = + +
ò ò
.
Trang 142–sách thí điểm bộ 1 :
Tìm
4
(2 1)x dx+

ò
. Ta có
4 4
1
(2 1) (2 1) (2 1)
2
x dx x d x+ = + +
………….
Nhận xét:
Trong ký hiệu
5
(5 3)x dx+
ò
thì chữ “dx” là thêm vào để nói rằng tích phân lấy theo biến x chứ
không phải là nhân vào. Trong ký hiệu
5
(5 3)x dx+
ò
thì giữa
5
(5 3)x +
và dx không có phép toán
nào. Như vậy, để tính
5
(5 3)x dx+
ò
, ta phân tích :
5 5
1
(5 3) (5 3) (5 3)

5
x dx x d x+ = + +
hoặc
4 4
1
(2 1) (2 1) (2 1)
2
x dx x d x+ = + +
là không có sơ sở. Ở đây có hai mâu thuẫn:
1) Nếu hiểu là nhân nào thì học sinh viết
5
(5 3)dx x +
ò
được không?
2) Nếu chỉ tích phân lấy biến x bằng cách thêm vào
bx
chẳng hạn (Lấy theo tiếng việt b=biến) thì
không có
5 5
1
(5 3) (5 3) (5 3)
5
x bx x b x+ = + +
. Vậy giải thích cách làm trên như thế nào đây ?
Kiến nghị:
Ta phân tích
5 5 /
1
(5 3) (5 3) (5 3)
5

x dx x x dx+ = + +
ò ò
rồi ta sử dụng :
Trang 10
( )
1
1
' ( 1) ' ' ,( 1)
1
u
u u u u u dx C
a
a a a
a a
a
+
+
= + = + -Û ¹
+
ò
, ta có
6
5 5 /
1 1 (5 3)
(5 3) (5 3) (5 3)
5 5 6
x
x dx x x dx C
+
+ = + + = × +

ò ò
.
Vấn đề 6 : Bảng các nguyên hàm
Bảng các nguyên hàm thường dùng (trang 116–sách hợp nhất 2000 ):
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u=u(x))
dx x C= +
ò
du u C= +
ò
x x
e dx e C= +
ò
u u
e du e C= +
ò
ln
dx
x C
x
= +
ò
ln
du
u C
u
= +
ò
……………………… …………………………
Sách thí điểm bộ 1 (Trang 138) chỉ có cột bên trái
Nhận xét:

Cả hai cột, tôi nghĩ là không cần thiết
Cột bên trái không cần, ví như
( ) ' 1 1x dx x C= = +Û
ò
,
(sin ) ' cos cos sinx x xdx x C= = +Û
ò
;
( ) ' ' '
u u u u
e e u e u dx e C= = +Û
ò
,v,v…….
Cột bên phải lại càng không cần, vì hiển nhiên ta có
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C f t dt F t C= + = +Û
ò ò
Kiến nghị: Chỉ sử dụng bảng đạo hàm trang 35–sách hợp nhất 2000 là đã đủ !
Vấn đề 7: Công thức Tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Nguyên văn: sách hợp nhất 2000 (Trang 128)
1. Phương pháp đổi biến số
Giả sử ta phải tính
( )
b
a
f x dx
ò
, trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
a) Đổi biến số dạng 1

Định lý. Nếu
1) Hàm số
( )x u t=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;
a b
hoặc
[ ]
;
b a
2) Hàm số hợp
[ ]
( )f u t
được xác định trên đoạn
[ ]
;
a b
hoặc
[ ]
;
b a
3)
( ) , ( )u a u b
a b
= =
thì ta có
[ ]
( ) ( ) '( )
b

a
f x dx f u t u t dt
b
a
=
ò ò
…………………………………………………………………………………
b) Đổi biến số dạng 2
Trang 11
Để tính tích phân
( )
b
a
f x dx
ò
, nhiều khi người ta lấy một hàm số
( )t v x=
làm biến số mới.
Khi đó ta biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng
[ ]
( ) . '( )g v x v x
. Đặt
( )t v x=
thì
'( )dt v x dx=
. Do
đó ta có
[ ]
( ) ( ) '( ) ( )f x dx g v x v x dx g t dt= =
Nếu G(t) là một nguyên hàm của g(t) thì theo tính chất (4) của nguyên hàm,

[ ]
( )G v x
là một nguyên hàm
của
[ ]
( ) '( )g v t v t
. Vậy ta có :
[ ] [ ]
( )
( )
( ) ( ) . '( ) ( ) ( )
b
b b
v b
v a
a a
a
f x dx g v x v x dx G v x G t= = =
ò ò
Sách thí điểm bộ 1 thì chỉ nêu
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u
u
f u x u x dx f u du
b b
a a
=

ò ò
và nêu hai cách áp dụng (Dạng 2 của
sách hợp nhất 2000)
Giáo trình các yếu tố giải tích toán học trong chương trình toán phổ thông–Tài liệu BDTX 1993–
1996 của GVC Lương Hà– trường Đại học Huế, trang 124, thì phát biểu:
Cho
( )f x
là hàm số liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử rằng:
i) Đoạn
[ ]
;a b
là miền giá trị công thức hàm
( )x t
j
=
với
j
là một hàm khả vi liên tục trên
[ ]
;
a b
ii)
( ) a
j a
=
và
( ) b

j b
=
. Lúc đó:
[ ]
( ) ( ) '( )
b
a
f x dx f t t dt
b
a
j j
=
ò ò
.
Trang 127 của cùng cuốn sách: Cho
( )f x
là hàm số liên tục trên
[ ]
;a b
. Nếu phép đổi biến
( )t x
j
=
thỏa
mãn các điều kiện :
i) Hàm
( )t x
j
=
đơn điệu nghiêm ngặt trên trên

[ ]
;a b
và khả vi liên tục trên đoạn đó.
ii) Biểu thức
( )f x dx
trở thành
( )g t dt
với g là một hàm liên tục trên
[ ]
( ); ( )
j a j b
hay
[ ]
( ); ( )
j b j a
Lúc đó:
( )
( )
( ) ( )f x dx g t dt
j b
b
a j a
=
ò ò
.
Nhận xét:
Những điều bất hợp lý (Đậm và gạch dưới) của giáo trình Đại học Huế đã được sách sách hợp nhất 2000
và sách thí điểm bộ 1 loại bỏ. Tuy nhiên vẫn còn gần như là hai dạng tích phân đổi biến số. Thực chất hai
dạng này là một. Dạng 1 là áp dụng công thức
[ ]

( ) ( ) '( )
b
a
f x dx f u t u t dt
b
a
=
ò ò
từ trái qua phải. Lưu ý
rằng tích phân không phụ thuộc biến số nên công thức trên có thể viết lại :
[ ]
( ) ( ) '( ) ( ( ))
b
a
f u du f u x u x dx u u x
b
a
= =
ò ò
nên dạng 2 là áp dụng theo chiều từ phải qua trái. Không
nên trình bày rồi chứng minh cả hai dạng (Thực chất hai chứng minh là một )làm gì.
Kiến nghị: Phát biểu lại công thức đổi biến số như sau:
Định lý. Nếu:
1) Hàm số
( )u x
j
=
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
;

a b
hay
[ ]
;
b a
2) Hàm số
( )f u
xác định và liên tục trên
[ ]
( ; )
j a b
hay
[ ]
( ; )
j b a
Ta có
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )f x x dx f u du
b j b
a j a
j j
=
ò ò
Trang 12
Chỳ ý Tớch phõn khụng ph thuc bin s nờn
[ ] [ ]
( ) '( ) ( ) '( )f x x dx f t t dt
b b

a a
j j j j
=
ũ ũ
v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )f u du f x dx
j b j b
j a j a
=
ũ ũ
nờn cụng thc trờn cng cú th vit
[ ]
( )
( )
( ) ( ) '( ) ( ( ))f x dx f t t dt x t
j b b
j a a
j j j
= =
ũ ũ
Vn 8: Thc hnh ỏp dng cụng thc tớch phõn i bin s
Nguyờn vn: (sỏch hp nht 2000 Trang 131 v sỏch thớ im b 1 trang 158):
Vớ d 1: Tớnh
1
2
0
1I x dx= -
ũ

Gii. t
sin ;
2 2
x t t
p p
ổ ử
-
ộ ự
ữ
ỗ
= ẻ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứờ ỳ
ở ỷ
. Khi
0x =
thỡ
0t =
, khi
1x =
thỡ
2
t
p
=
. Vy ta t

sinx t=

vi
0
2
t
p
Ê Ê
. Ta cú
2 2 2
1 1 sin os cos cosx t c t t t- = - = = =

Nhn xột:
Ti sao li ch chn on
;
2 2
p p
-
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
? Chn on khỏc c khụng? Ti sao khi gii phng trỡnh
sin 0x =
, ta ch ly nghim
0x =
? Nhiu ngi tr li l cho nú n gin. Th thỡ i vi ngi khụng thớch
n gin thỡ kt qu khỏc i ? Khi no thỡ chn cho nú n gin, khi no thỡ khụng?
Thc ra õy, ta cn chn
,

a b
sao cho
sin 0;sin 1 ; 2 ; ,
2
k l k l
p
a b a p b p
= = = = + ẻ Â
.
Do ú
2
2 2
1 sin . cos cos .cos , ,
l l
k k
I t tdt t tdt k l
p p
p p
p p
+ +
= - = " ẻ
ũ ũ
Â
. Tụi dựng Maple th cho nhiu
giỏ tr k v l u cho kt qu ging nhau. (Chỳ ý i vi Maple, phi nhp cụng thc tớnh
2
cos . cos
l
k
t tdt

p
p
p
+
ũ
, ch khụng phi l
2
2
1 sin .cos
l
k
t tdt
p
p
p
+
-
ũ
, do Maple tớnh c vi c hm s bin
s phc). Tuy nhiờn, vn cha cú th tin c, chng no cha chng minh c rng cụng thc trờn luụn
ỳng. M iu ú thỡ cng d. Ta c t ngc li
sinx t=
Suy ra
cosdx tdt=
;
0; 2 1
2
t k x t l x
p
p p

= = = + =ị ị
. Nh vy, ta cú :
1
2
0
1I x dx= -
ũ
ngh:
Gii. t
sinx t=
. Khi
0 sin 0x t t k
p
= = =
khi
1 sin 1 2
2
x t t l
p
p
= = = +
.
nờn
2
2
1 sin .cos , ,
l
k
I t tdt k l
p

p
p
+
= - " ẻ
ũ
Â
. (Vỡ I khụng i vi mi k v l iu ny giỏo viờn nờn cụng
b cho hc sinh bit ch khụng cn ghi nờn cú trong Sỏch GV) nờn chn k=l=0, ta cú
2
2 2
0 0
cos . cos os
4
I t tdt c tdt
p p
p
= = = =
ũ ũ
Trang 13
Vấn đề 9: Biến đổi tương đương phương trình
Nguyên văn ( trang 98–Sách giáo khoa Giải tích 12 hợp nhất 2000):
Xét phương trình
2
2
6 3 ( )( 2)
6 3
2
2
x x x m x
x x

x m
x
x
ì
- + = - +
ï
- +
ï
ï
= - Û
í
ï
-¹
+
ï
ï
î
Nhận xét : Nếu biến đổi dựa vào các định lý biến đổi của phương trình thì ta cần
2x -¹
(x là ẩn số
chung chung). Thế còn nếu ta hiểu x chính là nghiệm của phương trình
2
6 3
2
x x
x m
x
- +
= -
+

(I) hay
2
6 3 ( )( 2)x x x m x- + = - +
(II) thì không cần
2x -¹
vì
2x =
không là nghiệm của bất cứ
phương trình nào, dẫu (I) hay (II). Do đó điều kiện
2x -¹
là thừa. Điều này đã được sách giáo viên
thí điểm bộ 1 chỉnh sửa (Trang 86):
2
2
2 1
2 1 ( )( 1)
1
x x
m x x x m x x
x
- +
= - - + = - -Û
-
…….
Ở đây nảy sinh một vấn đề khác, SGK Đại số 10 nâng cao (Áp dụng vào năm học 2006–2007), trang 70,
có ghi : “
2 2
2 4 2 3x xy y x y+ - = - + +
là một phương trình hai ẩn (x và y); tương tự phương trình
3x y z xyz+ + =

là một phương trình ba ẩn (x, y và z)”. Nói như thế thì phương trình 2x=0 (1) chắc
chắn là phương trình một ẩn ? Đúng thế không nhỉ ? Lưu ý rằng phương trình (1) có thể viết thành :
2 0. 0x y+ =
. Như vậy, (1) trở thành phương trình hai ẩn (x và y). Cứ theo đà đó, có thể nói phương trình
(1) bao nhiêu ẩn cũng được. Sao nhất thiết chỉ là một ? Căn cứ vào đâu để xác định số ẩn của một
phương trình ? Phương trình x+m=0 có ẩn là x hay m ?Còn phương trình 2m+3n=7 là không có ẩn?
Đấy là điều bất cập thứ nhất. Bất cập nữa là việc chúng ta luôn coi x,y,z,…là ẩn sẽ làm cho học sinh khó
hiểu khi xét phương trình
1mx y m+ = +
là phương trình ẩn
m
! (mà đôi khi ta lại cần tới điều đó) ví
như tìm điểm cố định của họ đường thẳng
: 1
m
mx y m+ = +V
với m là tham số chẳng hạn. Và còn
nhiều ví dụ khác nữa!
Kiến nghị:
1) Khi nói tới một phương trình, nhất thiết phải chỉ ra ẩn của phương trình đó là gì. Nếu phương trình
hoặc bất phương trình ẩn x, y, z thì ta quy định không cần chỉ đích danh. Tuy nhiên nếu phương
trình hoặc bất phương trình chứa 3 biến x, y, z chẳng hạn mà ta chỉ cần tìm chỉ x hoặc y thì phải
nói rõ.
2) Bỏ các định lý về phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả.
Tất cả các sách đều khẳng định: “ Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng
có cùng một tập nghiệm”. Như vậy, theo định nghĩa, muốn biết hai phương trình có tương đương
hay không, ta phải tìm tập nghiệm của hai phương trình trình đó. Mà để tìm tập nghiệm của một
phương trình, ta cần đến phép biến đổi tương đương. Trong lúc đó, Sách lại định nghĩa “Phép biến
đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm”, nghĩa là phép biến đổi thành
hai phương trình tương đương. Như vậy, việc kiểm tra hai phương trình tương đương hay không

phải nhờ vào khái niệm Phép biến đổi tương đương. Phép biến đổi tương đương lại dựa vào
phương trình tương đương. Như vậy, khái niệm phương trình tương đương và phương trình hệ quả
là một khái niệm luẩn quẩn; không thể kiểm tra được trên thực tế.
Về các định lý phép biến đổi là không đồng bộ. Biến đổi Bất phương trình thì dựa vào bất đẳng
thức. Thế còn đối với phương trình thì lại có định lý riêng? Và hầu như chẳng có chút tác dụng gì
trong việc giải phương trình. Chẳng hạn phép biến đổi đơn giản thường gặp này:
2 2
( 1) 4 2 1 4x x x+ = + - =Û
lại không có một định lý nào nói tới !
Trang 14
Vấn đề 10: công thức nhị thức Newton
Nguyên văn ( trang 170–Sách giáo khoa Giải tích 12 hợp nhất 2000):
0 1 1
( )
n n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
- - -
+ = + + + + +
Nguyên văn ( trang 171–Sách giáo khoa Giải tích 12 hợp nhất 2000):
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
-
=
+ =

å
Nhận xét: ở trang 171, khi b=0 và k=0 thì
0
0
chưa có nghĩa. Nhưng rõ ràng là công thức này đúng với
mọi a, b và n.
Kiến nghị: Cần bổ sung qui ước cho riêng công thức này là :
0
0 1=
Trang 15
III–KẾT LUẬN
Với cách tiếp cận trên, học sinh của tôi qua nhiều năm đã có những biết biết tốt hơn các lớp khác,
việc học hành cũng nhẹ nhàng hơn, đặc biệt là về các phép tính vi phân và tích phân. Lâu nay chúng ta có
thói quen ỷ lại rằng cứ dạy y nguyên như SGK đã là quá tốt, không ai dám nói gì mình được. Thế còn học
sinh có hiểu được hay không thì đó là việc của chúng. Muốn hiểu hơn, chúng phải đi học thêm. Việc tìm
con đường tiếp cận khác hơn con đường mà SGK đã vạch sẵn, là một công việc khó khăn, mất công sức
và cũng ít được các cấp lãnh đạo khuyến khích. Tuy nhiên nếu các cách tiếp cận khác hơn SGK mà tốt
cho học sinh thì cũng nên phát huy. Không phải bỡi vì người viết sách là giáo sư hay tiến sĩ mà cách tiếp
cận của học là duy nhất tốt cho mọi học sinh của mọi thời đại. Với tinh thần chân lý khoa học là trên hết;
với tinh thần tất cả vì học sinh thân yêu, Tôi đã cố gắng tìm ra các con đường tiếp cận kiến thức khác hơn
SGK, những mong đáp ứng được phần nào phương pháp dạy học phát huy tính tích cực tư duy của học
sinh, rất mong các cấp có thẩm quyền xem xét
Phần bổ sung kiến thức
1) Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,c )có chứa điểm b. Hàm số f(x) tăng trong các
khoảng (a;b) và (b;c). Ta chứng minh f(x) tăng trong (a;c)
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh
( ) ( ), ( ; )f b f x x a b> " Î
.
Giả sử tồn tại x
o

∈
(a,b) sao cho f(b) < f(x
o
) . Thế thì với mọi x
∈
(a,b) mà x>x
o
thì
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
o o
f x f b f x f b f x f b f x f b
e
- > - > - > = -Þ
. Nghĩa là với mọi
0
δ
>
, bé tùy ý, tồn tại
ε
(Lấy bằng
( ) ( )
o
f x f b-
) sao cho x thỏa
x b
d
- <
nhưng
( ) ( )f x f b
e

- >
. Điều đó mâu thuẫn với
lim ( ) ( )
x b
f x f b
-
®
=
.
Nếu f(b) = f(x
o
). Ta lấy x
1
> x
o

⇒
f(x
1
) > f(b). Chọn vai trò của x
1
như x
o
ở trên, ta có kết
quả như trên.
Vậy f(b) > f(x) với mọi x
∈
(a,b). Tương tự, ta cũng chứng minh được f(b)<f(x) với mọi
x
∈

(b,c). từ đó dễ dàng suy ra rằng hàm số y=f(x) tăng trong (a;c).
Chứng minh tương tự cho hàm số giảm.
2) Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên (a;b) có chứa điểm x
0
; dãy x
n
thuộc (a;b) sao cho có giới
hạn là x
0
; dãy f(x
n
) →
¥
. Ta chứng minh f(x
n
)→ +
¥
hoặc là f(x
n
)→ –
¥
.
Chứng minh:
+ Vì hàm số f(x) liên tục tại x
0
nên tồn tại
ε
sao cho f(x) giữ nguyên một dấu trên
( )
0 0

;x x
e e
- +
.
+
0 0 0 0 0
: ( ; )
n n
x x N n N x x x
e e
> - +® Û $ Þ Î
+
1 1
( ) 0, : ( )
n n
f x M N n N f x M¥ " > > >® Û $ Þ
Lấy
0 1
max( , )N N N=
, ta có
0 0
, ( ; )
n
n N x x x
e e
" > - +Î

⇒
f(x
n

) giữ nguyên một dấu.
Đồng thời
( )
n
f x M>
nên xảy ra một trong hai trường hợp:
( ) 0
n
f x >
thì
( )
n
f x M>
với M đủ lớn cho trước
⇒
f(x
n
)→ +
¥
( ) 0
n
f x <
thì
( )
n
f x M< -
với –M đủ nhỏ cho trước
⇒
f(x
n

)→ –
¥
3)
( ) ( )
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x f x f x
- +
® ® ®
= ¥ = ¥ = ¥Ù Û
Chứng minh:
+ Giả sử ta có
0
lim ( )
x x
f x
®
= ¥
⇔ với mọi dãy
0
( )
n
x x®
, ta có
( )
n
f x ¥®
Nếu dãy
( )

n
x
chỉ toàn là các số x
n
bé hơn
0
x
với n đủ lớn thì ta có
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= ¥
Nếu dãy
( )
n
x
chỉ toàn là các số x
n
lớn hơn
0
x
với n đủ lớn thì ta có
0
lim ( )
x x
f x
+

®
= ¥
Trang 16
+ Ngược lại, giả sử ta có
( ) ( )
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
- +
® ®
= ¥ = ¥Ù
. Lấy dãy
( )
n
x
bất kỳ dần về
0
x
Nếu dãy
( )
n
x
chỉ toàn là các số x
n
bé hơn
0
x
với n đủ lớn thì kết hợp với
0

lim ( )
x x
f x
-
®
= + ¥
,
ta có
( )
n
f x ¥®
với n đủ lớn hay là ta có
0
lim ( )
x x
f x
®
= ¥
. Tương tự với x
n
<
0
x
.
Nếu hai trường hợp trên không thỏa. Ta lấy dãy con
( )
k
n
x
gồm toàn các số lớn hơn

0
x
của
dãy
( )
n
x
và dãy con
/
( )
k
n
x
gồm toàn các số bé hơn
0
x
của dãy
( )
n
x
. Hai dãy con này sẽ
dần về
0
x
nên cả hai số
( )
k
k
n
f x

¥®
¥¾¾¾®
và
/
( )
k
k
n
f x
¥®
¥¾¾¾®
⇒
( )
n
f x ¥®
Phú Hòa, ngày 01 tháng 03 năm 2007
Người Viết
Đào Văn Chánh
Trang 17
PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP
Trang 18
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Hợp nhất năm 2000).
2) Sách giáo khoa Bài tập Giải tích 12 (Hợp nhất năm 2000).
3) Sách giáo khoa Giải tích 12 phân ban thí điểm bộ 1 (Phát hành năm 2006)
4) Sách giáo khoa Bài tập Giải tích 12 phân ban thí điểm bộ 1 (Phát hành năm 2006)
5) Giáo trình các yếu tố giải tích toán học trong chương trình toán phổ thông (Tài liệu BDTX chu
kỳ 1993–1996 cho giáo viên PTTH)–Lương Hà–trường Đại học Sư phạm Huế.
6) N GHỊ QU Y ẾT C ỦA QUỐ C HỘI NƯỚC CỘN G HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA V IỆT NAM
SỐ 40/200 0 /QH10 NGÀY 09 THÁNG 12 NĂ M 2000 V Ề ĐỔI M Ớ I CHƯ Ơ NG TRÌNH

GIÁO DỤC PHỔ THÔNG
7) THÔNG TƯ CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ O SỐ 14/2002 / T T-BGD&ĐT NGÀY 1
THÁNG 4 NĂ M 2 002 H ƯỚNG DẪN UỶ BAN NHÂN DÂN T ỈNH, THÀNH PHỐ TRỰC
THUỘC TRUNG ƯƠNG T HỰC HI ỆN CHỈ THỊ SỐ 14/200 1/CT-TTG NG ÀY
11/6/2001 CỦA THỦ TƯỚNG C HÍNH P H Ủ VỀ VIỆC ĐỔI MỚI CHƯ ƠNG TRÌ NH
GIÁO DỤC PHỔ THÔNG
8) LUẬT GIÁO DUC NĂM 1998, LUẬT GIÁO DỤC NĂM 2005
Trang 19