Giải một số bài toán dãy số tổ hợp theo quan điểm không gian các dãy

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.42 KB, 19 trang )

Giải một số bi toán dãy số tổ hợp
Theo quan điểm "Đại số của không gian các dãy"

Phạm Văn Thế

A/ Đặt vấn đề
Trong một số bài toán Đại số ở chơng trình trung học phổ thông, ngòai
các bài dạng lập số , mà ngời làm toán cần hiểu rất sâu về khái niệm tổ hợp,
chỉnh hợp và hoán vị cũng nh nắm vững bản chất các khái niệm đó, nhng còn
một lớp các bài toán về dãy (đa số là tổ hợp) hay đợc nhắc đến trong các kỳ thi.
Với những bài toán nêu ở trên, đa phần các lời giải theo quan điểm tính
toán: Tức là gửi công thức vào để khai triển. Cũng có một số bài đa vào việc
khai triển các đa thức biến x (khả vi và khả tích) để dùng các phép toán đạo hàm
và tích phân. Vậy cái gốc của các vấn đề ở đâu ? Câu trả lời là có thể nhìn một
dãy đó theo quan điểm Không gian Đại số các dãy. Từ đó ta có thể giải quyết
đợc một lớp nhỏ các bài toán dạng này.
Vì trình độ cũng nh sự hạn chế về giảm tải nội dung của chơng trình
THPT, tôi trình bày ba vấn đề thờng gặp nhất. Mong các đồng nghiệp góp ý.

B/ Quan điểm "Đại số của không gian các dãy" - Thuật toán
I/ Đại số các dãy;
Cho hai đa thức

xaxaxaaxP
n
++++= )(
2
210
Ta có:

m
m
xbxbxbbxQ ++++= )(
2
210
nm
mn
k
kkkk
xbaxbabababa
xbababaxbababaxQxP
+

+++++++
+++++++=
)( ) (
)()()()().(
022110
2
021120011100
Chú ý. Hệ số của hạng chứa lũy thừa là
k
x
) ,0, 0( ===

=+
jibaU
kji
jik

Khi cho đồng nhất
{
}
{
}
aaxP
n
=

0
)(

{
}
{
}
bbxQ
n
=

0
)(

Phép nhân hay gọi là tích chập a
)().( xQxP

b đợc định nghĩa nh
trên ta có một đại số giáo hoán, có đơn vị :
)0,0,1(
=

e
, có ớc của
là 0 khi chỉ khi
)0,0,0(0 = 0,0
=
=
ba
.Với
0

a
, phơng trình ax + b = 0 có
nghiệm xác định.

M
M

M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T
T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P
P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A

A
N
N
N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ

ễ
N
N
N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C
C

D
D
D

Y
Y
Y

2
Trở lại vấn đề. Chúng ta chỉ cần rằng tích chập cho ta một đại số nên mọi
đa thức P(x), Q(x) khi nhân thông thờng với nhau cho ta một đa thức T(x) có
dạng:
T(x) =
k
kji
ji
nm
k
xba )(

0

=+
+
=
Các ví dụ áp dụng
VD I.1
Với k, n là hai số tự nhiên k n. Chứng minh
k
n
k
n
k
n
CCC +=

+
1
1

Đây là một công thức trong sách giáo khoa HH12, việc chứng minh khá
đơn giản, chỉ cần thay công thức và biến đổi .
Với quan điểm tích chập (Thực chất là nhân hai đa thức) Ta viết nh sau:
Xét đồng nhất thức:
(*)
)1()1()1(
1
xxx
nn
++=+

+
Ta có:
)2,1;1,0()1()1(
)1(
)1(
)1(
1
1
1
1
0
1
10
11
11
1
1
0
1
1
===++
+=+
+++=+
+++++=+

=+
+
=
++
++++

+
ijxCCxx
xCCx
xCxCCx
xCxCxCCx
kji
n
n
kji
n
ok
n
nn
nnn
n
nn
n
kk
nnn
n
So sánh hai số hạng chứa x ở hai vế của (*)
k
Với VP = là

1
)1(
+
+
n
x

kk
n
xC
1+
Với VT = là )1()1( xx
n
++

+
=+
1
1
n
kji
ki
n
j
xCC
)1( jo

=+

+
+==
kji
k
n
k
n
oji

n
k
n
CCCCCCC
11
1111

Với (đpcm)
1
1
1
11
1;1(

+
+===
k
n
k
n
k
n
o
CCCCC
Các bạn đừng nghĩ rằng đã phức tạp lời giải của bài toán đơn giản. Cái
chính là ta hiểu cách chứng minh qua một bài toán đơn giản.
VD I.2. (Đề thi của trờng ĐHCS ND)
Với hai số tự nhiên k, n
)2( nk

. Chứng minh

k
n
k
n
k
n
k
n
CCCC
2
21
2
+

=++
HD. Xét khai triển:

22
)1()1()1( xxx
nn
++=+
+

P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă

ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ

ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ

ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H
P
P
P
T
T
T

K
K
K
I
I

I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h
h
h

3

=+
+
==
kji
ji
n
k
n
jCCC )2;1;0(
22

22
2
11
2
0
22

+
++=
k

n
k
n
k
n
k
n
CCCCCCC
hay
21
2
2

+
++=
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCC
VD I.3.
Chứng minh rằng
nkNnk

4,,
ta có:

k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
4464
+

=++++

VD I.4.(Đề thi của trờng ĐH Hồng Đức)
Cho n, k là các số tự nhiên ,
.5 nk

Chứng minh.

5
55
5
11
5
0
5
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCCC
+

=+++
Với 4 ví dụ trên ta có một lớp bài toán đơn giản, mẹo là chỉ cần nhớ một
số hệ số của khai triển bậc thấp ( Tam giác Pascal)
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
vv

Sau đây là bài toán tổng quát.
VD I.5 ( Công thức Vanđecmon)
Với k, m, n là các số tự nhiên,
., nkmk

Chứng minh.

k
nmm
k
nm
k
n
k
mn
k
m
o
n
CCCCCCCCC
+

=++++
01111

Bải giải. Xét đồng nhất thức.

nmmn

xxx
+
+=++ )1()1()1(
Xét hệ số của số hạng chứa trong khai triển hai vế. Ta có.
k
x

)0,0( kjkiCCC
kji
k
nm
j
m
i
n
=

=+
+

k
nmm
k
nm
k
n
k
mn
k
mn

CCCCCCCCC
+

=++++
011110

M
M
M

T

T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T
T
T
O

O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P
P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G

G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C
C

D
D
D

Y
Y
Y

4
Một số ví dụ khác
VD I.6 Chứng minh rằng
Nn

.Ta có

n
n
n
nnn
CCCC
2
22120
)( )()( =+++

Xét đồng nhất thức.

nnn
xxx
2
)1()1()1( +=++

==+=
=
n
kkji
n
k
kk
n
ki
n
i
n
xCxCC
2
0
2
0
2

=+
=

kji
k
n
j
n
i
n
nkCCC )20(
2
Cho k = n nên i +j = n ( số hạng chứa x
n
)

=+

==
nji
in
n
i
n
n
n
in
n
i
n
CCdoCCC
2

(đpcm)

=
=
n
i
n
n
i
n
CC
0
2
2
)(

VD I.7.( Đề thi Olympic 30/4-1999)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đếu có.

=
n
k 0
()
[]
22
!.)!(
)!2(
knk
n

=( C ) .
n
n
2
2
Theo Ví dụ I.6 ta có
=+++=
22120
2
)( )()(
n
nnn
n
n
CCCC

=
n
k 0
()
[]
2
2
2
!)!(
)!(
knk
n

Do đó

=
n
k 0
()
[]
2
2
!)!(
)!2(
knk
n

=
)!)(!(
)!2(
nn
n

()
[]
2
2
2
0
!)!(
)!(
knk

n
n
k

=
= . =( C )
n
n
C
2
n
n
C
2
n
n2
2
( Điều phải chứng minh )

VD I.8.( Đề thi khối D - 2003)
Xác định số n. Biết rằng trong khai triển
nn
xx )2()1(
2
++ , hệ số chứa đợc xác định bởi
33 n
a
33 n
x

na
n
26
33
=

Bài giải.
Từ đẳng thức
nnnnn
x
x
xxx )
2
1()
1
1()2()1(
2
32
++=++
.
Xét khai triển
nn
x
x
)
2
1()
1
1(
2

++
(*)

P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r

r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H
P
P
P
T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h
h
h

5

Hệ số của số hạng chứa x cũng là hệ số của số hạng chứa trong
khai triển (*).
33 n
3
x
Ta có
nn
x
x
)
2
1()
1
1(
2
++
= =

jjj
n
ii
n
kJi
n
k
xCxC

=+=

2
2
2
0
jijj
n
i
n
kJi
n
k
xCC

=+=

2
2
0
2

Vì chứa nên ta có:
3
x
3232
=
+
= jiji

Vì: nên ta có các khả năng.
Nji ,

3
)434(
2
6
8)2)(1(
22
11
30
2
2
11330
33
+
=
+

=
+=
==

=

=

nnn
n
nnn
CCCCa
ji
j
i
nnnnx

Cho
na
n
26
3
=

n
nnn
26
3
)434(
2
=
+

03532
2
= nn

=
=

)(
5
2
7
loain
n

Vậy ta có n = 5.

VD I.9. (Đề thi BQP-2002-khối D)
Tìm số hạng chứa trong khai triển
4
x
102
)1( xx ++
Viết
[
]
10

2102
)1()1()( xxxxxP ++=++=

)1()1()1(
482
10
2291
10
100
10
++++++= xxCxxxCxC
Từ đó số hạng chứa chỉ có trong 3 hạng tử đầu tiên.
4
x

0
8
2
10
2
9
1
10
4
10
0
104
CCCCCCa ++=

61545360210

4
=
+
+
=ahay

Chú ý rằng khi giảng dạy cho học sinh ta rất hạn chế kí hiệu Xichma.
Còn không thể đợc thì bài trên ta viết.

=

+=
10
210
10
)1()(
ok
kkk
xxCxP

M
M
M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T
T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P
P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q

Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N

I
I
I

M
M
M

K

K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C
C

D
D
D

Y
Y
Y

6

=

=

=
10
0
10
0
10
2
10
)10(
k
i
k
i
i
k
kk
kixCxC

=

=
+

=
10
0
10
0
2
1010
k
k
i
iki
k
k
xCC
Cho Ta có Cho Ta có
42 =+ ik
40

=

=

=
10
0
10
0

10
2
10
)10(
k
i
k
i
i
k
kk
kixCxC

=

=
+

=
10
0
10
0
2

1010
k
k
i
iki
k
k
xCC
42 =+ ik
40
=

=
ik

21
=

=
ik

02
=

=
ik

.615
2
8
2
10
2
9
1
10
4
10
0
104
=++= CCCCCCa
VD I.10 Xác định hệ số của trong khai triển.
4
a
4
x

102
)321( xx ++
Đáp số:
8085
4
=a
VD I.11 Xác định hệ số của trong khai triển .
6
a
6

x

52
)1( xx ++

II/ Biến đổi dãy

Cho X là không gian các dãy
{
}

0
n
x

{
}
n
xxXx
=
)(
Toán tử D :
XX

{
}
{
}
nnn

xxxD

=
+1
gọi là toán tử sai phân bậc nhất.
Toán tử
{} {
nn
yxD =
}

{}
,3,2,
321 n
nxxxx=
Gọi là toán tử đạo hàm. Các số 1,2,3 gọi là trọng số.
Toán tử.
{}

= ,
2
,
1
,0, , ,
1

0
10
x
x
xxR
Gọi là toán tử tích phân.
Nếu
{}
{
}
, , ,,
1100 nnnp
xpxpxpxD
=

Ta có toán tử sai phân với các trọng số ,
10
pp
Trong chơng trình toán - THPT ta có công thức

C

1
1
1 +
+
+
=+
k
n

k
n
k
n
CC
từ đó.

P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ

m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H
P
P
P

T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n

h
h
h

7

(1) ( Kiểu sai phân)
k
n
k
n
k
n
CCC =
++
+
11
1
hoặc

11
)1(

=

kkk
PkPP ( Kiểu sai phân có trọng số)
(2)
1
1
1
1

=
k
n
k
n
C
k
n
C
(Kiểu đạo hàm)
(3)
1
1

1
1
+
+
+
+
=
k
n
k
n
C
n
k
C
(Kiểu tích phân )
(4)
p
n
k
p
kp
kn
k
n
CCCC =

Chú ý. (a)
),,(

0
NnkiCCC
n
i
i
k
k
==
(b)
6
)2)(1(
;
2
)1(
;
321

=

==
nnn
C
nn
CnC
nnn

Từ hai khai triển cơ bản Ta có
nn
)11(,)11( +

nn
nnn
CCC 2 )(
10
=+++

0)1( )(
10
=++
n
n
n
nn
CCC

Sau đây là các ví dụ theo quan điểm các toán tử nêu trên.
VD II.1 ( Bài toán phơng pháp sai phân)
Tính tổng
NnvoinS
+
+
+
=
21

Viết

11
2
1
1 n
CCCS +++=

Theo dạng sai phân

22
1
1
kkk
CCC =
+
Cho ta có
1 ,,1, = nnk
22
1
1
nnn
CCC =
+

2
1
2
1
=
nn
n

n
CCC

M

2
2
3
2
1
2
CCC =

2
2
1
1
CC =
Cộng vế ta có:

2
)1(

2
1
1
1
1
1

1
nn
CCCC
nnn
+
==+++
+
(đpcm)
Với các sai phân bậc 1 nh trên ta có các ví dụ sau với cách làm tơng tự.

M
M
M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T
T

T
O
O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P
P

P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N

N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N

N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C

C

D
D
D

Y
Y
Y

8
VD II.2 Tính tổng.

)1( 3.22.1
+
+
+
+
=
nnS

HD. Viết:
2
1

2
3
2
2
2
+
+++=
n
CCCS
áp dụng công thức: cho
33
1
2
kkk
CCC =
+
1, ,2
+
= nk

VD II.3 Tính tổng:

)2)(1( 4.3.23.2.1 +
+
+
+
+
=
nnnS

HD:
3
2
3
4
3
3
!3
+
+++=
n
CCCS
và áp dụng công thức
với
44
1
3
kkk
CCC =
+
)2, ,4,3(
+
=
nk

VDII.4 Chứng minh :

13210
)1( 32)(

+
+
+
+
+
=
n
PnPPPPnP
HD do
11
)1(

=

kkk
PkPP

với
nk , ,2,1
=
ta có kết quả.
VD II.5 Tính tổng:

!)1( !3)133()122(!1)111(
2222
nnnB ++++++++++++=
Sơ lợc cách giải
Viết
(
)

(
)
!12!1
22
kkkkkkk ++=++

(
)
!.!1
2
kkkk +=

!.!)1)(1( kkkk

+
+
=

[
]
!!)1(!)1(!)2( kkkk

+

+

+
=

!!)1(2!)2( kkk
+
+

+
=

Cho và cộng vế (kiểu sai phân)
nk , ,1=
ĐS :
1!)1)(1(

+
+
= nnB

Với cách giải nh trên các bài toán tính tổng đợc đa thành bài toán tổ
hợp. Sau đây là một số đề thi.
VD II.6
Chứng minh:
a/
54
1
4
6
4
5

4
4

nn
CCCCC =++++

b/
32
1
2
4
2
3
2
2

nn
CCCCC =++++

P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T

T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g

g
g

T
T
T
H
H
H
P
P
P
T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h
h
h

VD II.7. Các bạn hãy chứng minh bài toán tính tổng
r
m
r
m
r
m
r
r
r
r
CCCcC =++++

1
1
1
2
11
1

HD Xét.
r
k

r
k
r
k
CCC =
+

1
1
Cho
1 ,,,1

=
mrrk
và cộng vế
Một số bài toán đợc chế biến.
VDII.8. Chứng minh.

(
)
(
)
p
n
p
p
n
p
nnn

CCCCC
1
321
11 1

=+++

Lời giải.

() () ()
p
n
p
p
n
p
p
n
p
nnn
nnn
n
CCC
CCC
CCC
C
1
1
1
2

1
1
1
2
1
1
0
1
1
0
1
111
1

+=
+=
=
=
M
Cộng vế
(
)
p
n
p

CVT
1
1

=
( đpcm ).
VD.II.9. Tính tổng (đề thi Olympic 30/4/1999)

!1!1999
1
!3!1997
1

!1997!3
1
!1999!1
1
++++=S

Ta có
!1!1999
!2000

!1997!3
!2000
!1999!1
!2000
!2000 +++=S

1999
2000
3
2000
1
2000
CCC +++=
Từ khai triển cơ bản

(
)
2000
2000
2000
1999
2000
2
2000
1
2000
0
2000
11 +=+++++ CCCCC

(
)
2000
2000
2000

1999
2000
2
2000
1
2000
0
2000
11 =+++ CCCCC

Trừ vế ta có.

20001999
2000
3
2000
1
2000
2) (2 =+++ CCC

hay
!2000
2
2
2
1
!2000
1999
2000
=

=
S
S

M
M
M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T
T
T
O
O
O
A

A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P
P
P

T

T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C
C

D

D
D

Y
Y
Y

10
VD II.10 ( toán tử tích phân)
Chứng minh với n
N ta có

()
()
()

+
=
+
++
12
1
12
1
1
4

1
2
1
10
n
C
n
CC
n
n
n
nn

Bài toán này trong đề thi ĐH đa ra đề dẫn
a/ Tính
()

1
0
2
1 dxxx
n
Ta sẽ làm trực tiếp bài này bằng toán tử tích phân. Đẳng thức

cần
chứng minh tơng đơng với.

()
()

1
1
1
1
2
1
1
1
10
1
=
+
+
++
+

+
n
n
n
n
C
n
n
C
n
C
n

Chuyển sang vế phải

()
()
0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
10
1
=
+
+
++
+
+
+

+
n
n
n
n
C
n
n

C
n
C
n

áp dụng công thức
1
1
1
1
+
+
=
+
+
k
n
k
n
CC
k
n
với k=0, , n

(
)
01
1
1

1
2
1
1
1
0
1
=+++
+
+
+
+++
n
n
n
nnn
CCCC

Đúng do khai triển cơ bản
(
)
011
1
=
+n

VD II.11. Chứng minh

()
1

12
1
1

2
1
1
10
+

=
+
+++
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
( chứng minh tơng tự )

VD II.12.( Phơng pháp toán tử đạo hàm).
Chứng minh với n
N ta có
121
2 2

=+++

nn
nnn
nnCCC

Đẳng thức tơng đơng với
121
1
2
21

=++++
nn
n
k
nn
C
n
n
C
n
k
C
n
C
n
(1)
theo công thức
1
1

=
k
n
k
n
CC
n
k
với k = 1; 2; 3; ; n.
(1)

11
1
1
1
10
2

=+++++
nn
n
k
nnn
CCCC
đúng do khai triển
(

)
1
11

+
n

P
P
P
h
h
h
ạ

ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H
P

P
P
T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n

n
n
h
h
h

11

VD II.13. ( Đề thi ĐHQG Hà Nội - khối D )
Chứng minh rằng với ta có
2 kn

()
(
)
2
2
11

=
k
n
k
n
CnnCkk
(phơng pháp toán tử đạo hàm cấp
hai)

2
2
1
1
2
2
1
1
)1(
)1(
(*)

=

=

k
n
k
n
k
n
k
n
CC
n
k
CC
n
k
n
k
(đúng)
VD II.14 ( đề thi Olympic 30/4/2002 )
Tính tổng (phơng pháp toán tử đạo hàm cấp hai )
(
k
n
n
k
Ccbkka ++

=
2
0
)
Từ đồng nhất thức
(
)
(
)
ckbakkacbkka +++=++ 1
2

tổng trên viết thành.

() ( )
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
CcCkbaCkkaT .1
000

===
+++=
Ta đi tính từng tổng

()
k
n
n
k
CkkaT 1
0
1
=

=
Ta có
2
2
2
2
1
1
)1()1(
1
1
)1(
)1(

==

=

k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CnnCkkCC
n
k
C
n
k
n
k

() ()

i
n
n
i
k
n
n
k
CnnaCannT
2
2
0
2
2
2
1
11

=

=

==
hay
(
)
2
1

21

=
n
nnaT
Tơng tự

()
()
[]
22
3
1
2
242
2
2

+++=
=
+=
n
n
n
cnbanaT
cT
nbaT

VD II.15 (Bài toán phối hợp phơng pháp toán tử sai phân cùng toán tử

đạo hàm)
a) Chứng minh
(
)
NnCCCCn
nn
++++=+++
++
2
1
3
1
3
4
3
3
333
6 21
và
2n
( Bài toán sẽ khó hơn nếu thay )
4
2
3
1
3
4
3
3

++
=+++
nn
CCCC
HD. Ta có :
6
)2)(1(
3
2
+
+
=
+
kkk
C
k

M
M
M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I

I
I

T
T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H

H
H

P
P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U

U
U
A
A
A
N
N
N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H

H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C

C
C

C
C
C

D
D
D

Y
Y
Y

12
3
2
23
623
+
=++

k
Ckkk
thay k từ 1 đến n cộng vế
) (6) 21(2) 21(3 321
3
2
3
4
32223333
+
++=+++++++++++
n
CCCnnn

(
)
3
2
3
4
3
3
333
6)1(
6
)12)(1(
321
+
+++=++
+

+
+++
n
CCCnn
nnn
n

(
)
3
2
3
4
3
3
333
6)1(
2
)342)(1(
21
+
+++=++

+
+
+++
n
CCCnn
nn
n

(
)
3
2
3
4
3
3
333
6
2
)1(
)2)(1( 21
+
+++=
+
++++++
n
CCC
nn
nnnn

(
)
2
1
3
2
3

2
3
3
333
6 6 21
+++
+++=+++
nnn
CCCCn

(
)
2
1
3
1
3
4
3
3
6
++
++++=
nn
CCCC
(đpcm)

b) Tính tổng

222
2
21 nS +++=
Ta có:
2
2
)1(
k
C
kk
Nk =

lấy
kCk
k
+=
2
2 nk , 2
=
Cộng vế
ta có
nCCCn
n
++++++++=+++ 32) (21 21
22
3
2
2

222

2
)1(
2
3
12
+
+=
+
nn
CS
n

6
)12)(1(
2
)1(
3
)1()1( +
+
=
+
+

+
=
nnnnnnnn

Một số ví dụ về biến đổi dãy đợc trình bày ở trên thể hiện một cách nhìn
theo toán tử đại số. Tuy nhiên thực tế các thầy cô thờng áp dụng các phép tính
vi phân và tích phân vào các đa thức của khai triển nhị thức Newton.
Khẳng định là mọi khai triển có trọng số đều có thể làm trực tiếp bằng
phơng pháp toán tử.
a/ Các trọng số là 1 thì từ khai triển cơ bản

(
)
(
)
nn
11,11 +

b/ Các trọng số là 1, 2, , k hoặc

1
,
2
1
,1
k

thì áp dụng các toán tử đạo hàm, tích phân trong tổ hợp.
c/ Các trọng số khác để thì hiện tại các đề thi chỉ ở dạng khai triển
()
n
n
x

hayx

++
1
11

P
P
P
h

h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế

ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n

n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H

H
H
P
P
P
T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à

à
à
n
n
n
h
h
h

13

với x nguyên nào đó.

III/ Cực trị rời rạc
1/ Đề dẫn
Bài toán. Xét cặp số tự nhiên ( m, n ) có tổng bằng 9. Tìm max(m.n)
Lời giải.
Ta coi (vì chúng không thể bằng nhau)
nm

1+ nm
giả sử
2+ nm

11
+
nm
(ta bắt đầu lùi m và tăng n )
mà
nmnm
+
=
+
+ )1()1(

Dự đoán
(
)
(
)
(*)11.
+

nmnm

Nếu dự đoán trên là đúng thì max ở chỗ không lùi đợc nữa.
Dự đoán đúng vì (*)

10
+

nm
(đúng)
Độ lệch pha là 2. Nên cứ giảm cho đến khi không giảm đợc nữa
Minh họa ( độ lệch pha)
}
}
2
145
2
336
527
2
718

Từ đó
4,5 == nm
Tất nhiên lời giải bài toán chỉ là đề dẫn (chứ học sinh lớp 3 cũng có thể
làm đợc bằng phơng pháp chọn số) . Chính ý tởng là xét hai phần tử lân cận.
2/ Các ví dụ minh họa phơng pháp
VD III.1 Xét khai triển

()
tìm
99
9
1
9
0
9
9
1 xCxCCx +++=+
k
k
C
9
90
max

Bài giải. So sánh hai phần tử lân cận

()()( )
4
1
1
9
1
!19!1
!9
!9!
!9

1
99
<
+
<

+

+
k
kkkkkk
CC
kk

do có tính đối xứng
4
9
3
9
2
9
1
9
0
9
CCCCC <<<<

5
9
6
9
7
9
8
9
9
9
CCCCC <<<<

M
M
M

T
T
T

S
S
S

B
B
B

I
I
I

T

T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T

H
H
H

P

P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N

N
N

I
I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N

N
N
G
G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C

C
C

D
D
D

Y
Y
Y

14
Vậy max là một trong 2 số hoặc nhng

4
9
C
5
9
C
5
9
4
9

CC =
5
9
4
99
90
max CCC
k
k
==

VD III.2 Tìm số lớn nhất trong các giá trị

n
nnn
CCC , ,,
10
Bài giải. Tơng tự nh VD III.1. Tức là so sánh hai phần tử lân cận

k
n
k
CC
k
n
k
n
1
1

<
<
+

Ta có 2 trờng hợp
a/ Nếu n - lẻ

2
1
1
2
1
10

+

<<<
<<<
n
n
n
n
n
n
n
nnn
CCC

CCC
do đối xứng.
Vì
2
1
2
1
+
=

nn
n

2
1
2
1
0
+

==
n
n
n
n
k
n
nk

CCCMax
b/ Nếu n - chẵn

2
1
2
10

n
n
n
n
n
n
n
nnn
CCC
CCC
<<<
<<<

do đối xứng.

2
0
n
n
k
n

nk
CCMax =

Ví dụ III.3 ( có trọng số - không còn tính đối xứng nữa )
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức chứa x trong khai triển
()

12
21 x+

Bài giải. Xét hai phần tử lân cận của hệ số

()
12, ,02
12
== kCa
kk
k

ta có
3
23
1
<<
+
kaa
kk
vậy

710
aaa <
<
<

P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m

m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T

T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H
P
P
P
T

T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h

h
h

15

xét tiếp
3
23
1
>>
+
kaa
kk
nên
81112
aaa <
<
<

so sánh và ta có
7
a
8
a
87
aa
<

vậy
888
128
120
2.4952 ===

CaaMax
k
k
Ví dụ III.4 . Chứng minh rằng

k :
20000

k
ta có

(
)
*

1001
2001
1000
2001
1
20012001
CCCC
kk
++
+

Bài giải

()

1001
2002
1
2002
* CC
k

+
Bài toán trở thành. Chứng minh là giá ttrị lớn nhất của
dãy
1001
2002
C
{}(
20000

1
2002

+
kC
k
)
)
Tơng tự VD III.2 với n - chẵn. Ta có là giá trị lớn nhất
1001
2002
C

Ví dụ III.5
a/ Chứng minh
()
(
!1
!!
1
1
0
,
++
==

nm
nm
dxxxI
n

m
nm
với m, n

N
b/ giả sử . Tìm m, n để đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
10=+ nm
nm
I
,
Lời giải câu b/ vì
10
=
+
nm

()
(
)
!11
!10!
!1
!!
,
mm
nm
nm
aI
mnm

=
++
==

()
m
m
C
mm
a
10
11
1
!10.11
!10!
=

=

m
a lớn nhất nhỏ nhất
m
C
10

0
=

m
hoặc

10
=
m

Lúc đó
11
1
10,00,10
== aa
là nhỏ nhất
m
a nhỏ nhất lớn nhất
m
C
10

5,5
=
=

nm

lúc đó
2772
1
!10.11
!5!5
.11
1
5

10
5,5
===
C
a

M
M
M
Ộ
Ộ
Ộ
T

T
T

S
S
S
Ố
Ố
Ố

B
B
B
À
À
À
I
I
I

T
T
T
O

O
O
A
A
A
N
N
N

T
T
T
Ổ
Ổ
Ổ

H
H
H
Ợ
Ợ
Ợ
P
P
P

T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N

Đ
Đ
Đ
I
I
I
Ể
Ể
Ể
M
M
M

K
K
K
H
H
H
Ô
Ô
Ô
N
N
N
G

G
G

G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C
Á
Á
Á
C
C
C

D
D
D
Ã
Ã
Ã
Y
Y
Y

16

C/ Phô lôc Mét sè bμi to¸n
1. ( §Ò thi §H KTQD ).
Chøng minh r»ng , ta cã
Nn∈

144332111
3 2.42.322
−−−−−
=+++++
nn
nn
n
n

n
n
n
n
n
nCnCCCC
2. Chøng minh víi
nk
≤
≤0
ta cã

(
)
2
22
n
n
n
kn
n
kn
CCC ≤
−+

3. T×m sè h¹ng chøa trong khai triÓn
yx
3
(
)

5
2 yx+

4. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn
12
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x

5. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn

n
xxx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
15

28
3
biÕt
79
21
=++
−− n
n
n
n
n
n
CCC
6. T×m sè h¹ng chøa trong khai triÓn
1025
yx
(
)
15
3
xyx +
7. BiÕt tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn
(
)
11
2
1+x lµ 1024. T×m hÖ sè cña sè
h¹ng chøa .
12
x

8. Chøng minh

(
)
NnCCCC
nn
n
n
nnn
∈=++++ 3.2 42
210

9. Chøng minh

n
nnn
n
nnn
CCCCCC
2
2
2
2
0
2
12
2
3
2
1

2
+++=+++
−
10. Chøng minh

(
)
(
)
231
21.1 2.3.1
−
−=−+++
nn
nn
nnCnnCC

11. Chøng minh

() () ()
!
2
!1!1
1

!3!3
1
!1!1
1
1

nnnn
n−
=
−
++
−
+
−
( Nh− VD II.8 )

P
P
P
h
h
h

ạ
ạ
ạ
m
m
m

V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n

T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
ổ
ổ
ổ

T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
r
r
r

ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g

T
T
T
H
H
H

P
P
P
T
T
T

K
K
K
I
I
I
m
m
m

T
T
T
h
h
h
à
à
à

n
n
n
h
h
h

17

12. Chứng minh
a/
(
)
11 222
22110
=+++
n
n
n

n
n
n
n
n
n
CCCC

b/
(
)
(
)
n
n
n
n
n
nnn
CCCC 121 42
210
=+++

HD. Xét
(
)
n
12
và
(

)
n
21

13. Chứng minh

(
)
2
1
2
1
111
21
+
=+++++

nn
C
C
n
C
C
k
C
CC
n
n
n
n

k
n
k
n
n
nn

HD. rút gọn từng số hạng
14. ( Đề thi tuyển sinh khối D-2002)
Tìm số n nguyên dơng sao cho

2432 2
10
=+++
n
n
n
nn
CCC
15. ( Đề thi tuyển sinh khối A-2002 )
Cho khai triển

n
x
n
n
x
n
x
n

n
x
n
n
x
x
CCC

++

+

=

+

33
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
2 22222

Biết và số hạng thứ tự bằng 20n, tìm n và x.
13
5
nn
CC =
16. Rút gọn

19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
.
21
1
.
20
1

4
`
3
1
2
1

CCCCCS +++=

HD. Xét khai triển
()
19
2
1 xx
17. (Đề thi Viện ĐH Mở HàNội)
Chứng minh
()
13
12
.
33
1

9
1`
6
1
3
1
1
210
+

=
+
+++
+

n
C
n
CCC
n
n
nnnn

18. Chứng minh
3
1
22
1
2
3
2
4
2
3
2
2

+
=++++++
nnnn
CCCCCCC
19. Chứng minh
()
()
!!

!.
nm
nm
n
là 1 số nguyên ( đề thi Olympic 30/4/2002 )
Hớng dẫn: Phân tích
()
()
()
()( )
(
)
()
!0!
!

2!
!
.
!!
!.
!
!.
m
m
mmnm
mmn
mmnm
nm
m

nm
n

=

m
m
m
mmn
m
mn
CCC

=

(
)
1
1
1
12
1
1
1
1
2

1

=
m
m
m
m
m
mmn
m
mn
C
m
m
C
m
m
C
m
nm
C
m

mn
( viết ngợc lại )

M
M
M

T
T
T

S

S
S

B
B
B

I
I
I

T
T
T
O
O
O
A
A
A
N

N
N

T
T
T

H
H
H

P
P
P

T
T
T
H

H
H
E
E
E
O
O
O

Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N

I

I
I

M
M
M

K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G

G

G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N

C
C
C

C
C
C

D
D
D

Y
Y
Y

18

1
1
1
13
1
12
!

=
m
mn
m
m
m
m

CCCn
()
()

=

=
n
k
m
km
n
C
nm
nm
2
1
1
!!
!.
là một số nguyên
20. Cho n, p nguyên dơng
n
p

chứng minh

p
n

pip
in
p
i
i
p
CCC 2
0
=

=

HD. Ta có
(
)
npiCCCC
p
n
i
p
ip
in
i
n
=

Lấy tổng và để ý rằng

pp
ppp
CCC 2
10
=+++
21. Chứng minh rằng

()
(
)
19991999
199945199945 ++
là một số nguyên.
22. Rút gọn các tổng sau.
a/
! !3.3!2.2!1.1 nnA
+
+
++=

b/
!)1( !3)133()122(!1)11(
2222
nnnB +++++++++++=
Hớng dẫn:
a/
()
!)1(!11!. kkkkkk

+

=

+=

cho và cộng vế (kiểu sai phân)
nk , ,1=
ĐS:
1!)1(

+= nA

b/
(
)
(
)
!12!1
22
kkkkkkk ++=++

()
!.!1
2
kkkk +=

!.!)1)(1( kkkk

+
+

[
]
!!)1(!)1(!)2( kkkk

+

+

+

!!)1(2!)2( kkk
+
+

+
=

Cho và cộng vế (kiểu sai phân)
nk , ,1=
ĐS :
1!)1)(1(

+
+
= nnB

23. Chứng minh với n là số tự mhiên. Ta có