Hình học lớp 12 Khối đa diện - khối tròn xoay tham khảo

CHỦ ĐỀ 1
KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN
XOAY
Vấn đề 1: KHỐI ĐA DIỆN
A/. KHỐI ĐA DIỆN.
1. Nhị diện.
• Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng (α) và (β) có chung bờ a gọi là một nhị diện.
Mỗi nửa mặt phẳng (α), (β) gọi là một mặt của nhị diện. Đường thẳng a gọi là cạnh của
nhị diện.
Nhị diện có cạnh a và hai mặt (α) và (β) được kí hiệu là [ α ,a, β ] hoặc [ α , β ] .
Nếu trên (α) và (β) lần lượt lấy các điểm M và N (M,N ∉ a) thì nhị diện đó cũng được kí
hiệu là [ M ,a, N ] .
β

• Cắt nhị diện [ α ,a, β ] bởi một mặt phẳng (P) vuông góc với a

tại điểm O. Giao tuyến của (P) với các nửa mặt phẳng (α) và
(β) lần lượt là các nửa đường thẳng Ox và Oy.
Khi đó xOy được gọi là góc phẳng của nhị diện [ α ,a, β ] .
Một nhị diện có nhiều góc phẳng, tuy nhiên tất cả các góc
phẳng đó đều bằng nhau.
• Số đo của góc phẳng nhị diện [ α ,a, β ] được gọi là số đo của

nhị diện [ α ,a, β ] và kí hiệu là sđ [ α , β ] hay viết tắt là [ α , β ] .

α

a
y

Ta có 0 ≤ [ α , β ] ≤ 180 .

o

P

O
x

o

Khi [ α , β ] = 90o ta noùi [ α , β ] là một nhị diện vuông.
2. Diện tích của hình lăng trụ – Thể tích của khối lăng trụ.
2.1. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần:
• Tổng diện tích tất cả các mặt bên của một hình lăng trụ được gọi là diện tích xung
quanh của hình lăng trụ đó.
• Tổng diện tích hai đáy và diện tích xung quanh của một hình lăng trụ là diện tích toàn
phần của hình lăng trụ đó.
2.2. Thể tích của khối lăng trụ:
Thể tích của một khối lăng trụ là: V = Sđáy.h (h là chiều cao của khối lăng trụ).
3. Diện tích của hình chóp – Thể tích của khối chóp.
3.1. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần:
• Tổng diện tích tất cả các mặt bên của một hình chóp được gọi là diện tích xung quanh
của hình chóp đó.
• Tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh của một hình chóp gọi là diện tích toàn
phần của hình chóp đó.
3.2. Thể tích của khối chóp:

1
Thể tích của một khối chóp là: V = Sđáy .h (h là chiều cao của khối chóp).
3
• Đặc biệt: Cho tứ diện SABC. Trên- 1 -các nửa đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy

các điểm A′, B′, C′. Gọi VSABC, VSA′B′C′ lần lượt là thể tích của các tứ diện
V
SA ' SB' SC'
.
SABC và SA′B′C′ . Ta có: SA ' B'C' =
.
.
VSABC
SA SB SC
4. Diện tích của hình chóp cụt – Thể tích của khối chóp cụt.
4.1. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần:
• Tổng diện tích tất cả các mặt bên của một hình chóp cụt được gọi là diện tích xung
quanh của hình chóp cụt đó.
• Tổng diện tích hai đáy và diện tích xung quanh của một hình chóp cụt là diện tích toàn
phần của hình chóp cụt đó.
4.2. Thể tích của khối chóp cụt:

(

)

1
S1 + S2 + S1.S2 .h
3
(h là chiều cao; S1, S2 là diện tích hai đáy của khối chóp cụt).

Thể tích của một khối chóp cụt là: V =

B/. CÁC BÀI TOÁN.
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o .
Đường chéo BC′ của mặt bên BB′C′C tạo với mặt phẳng (AA′C′C) một góc 30o.
a). Tính độ dài đoạn AC′.
b). Tính thể tích của khối lăng trụ theo b.
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.
Một mặt phẳng (α) qua cạnh đáy BC và hợp với mặt phẳng đáy một góc 30o cắt AA′ tại
điểm M.
a). Tính góc hợp bởi BM và mặt phẳng (BB′C′C).
b). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A′MI) và (B′MI).
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A′ cách
đều các đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o.
a). Chứng minh rằng mặt bên BCC′B′ là một hình chữ nhật.
b). Tính góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a.
a). Biết góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng α. Tính thể tích của khối chóp.
b). Biết góc hợp bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng φ. Tính thể tích của khối chóp.
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = b.
a). Biết AB = a. Tính thể tích của khối chóp.
b). Biết góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng φ. Tính thể tích của khối chóp.
Bài 6: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đáy là AB = 2a, A′B′ = a, góc
hợp bởi đường cao và mặt bên bằng 30o.
a). Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt.
b). Tính thể tích của khối chóp cụt.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng a 3 .
Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K.
a). Tính theo a diện tích của thiết diện AHIK.
b). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (BDI). Tính cosφ, suy ra số đo của nhị diện
[ A , BD , I] .
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và vuông góc với mặt

phẳng đáy.
-2-


a). Tìm hệ thức giữa a và h để góc giữa hai đường thẳng AC và SC bằng 60o.
b). Cho h = a 2 , hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
c). Khi h = a 2 . Chứng minh rằng góc phẳng của nhị diện [ B,SC,D] là góc tù.
a 2
và vuông
2
góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy một điểm M với SM = x (0 < x < a). Mặt phẳng
(ABM) cắt SD ở N.
a). Chứng minh rằng ABMN là hình thang cân. Tính theo a và x diện tích của hình thang này.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO =

b). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và MN. Chứng minh SKI là góc phẳng của nhị
diện [ S,MN ,I ] . Tính số đo của nhị diện này.
c). Định x để hai mặt phẳng (ABMN) và (SCD) vuông góc với nhau.

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD = 60o , SO =

3a
4

và SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b). Mặt phẳng (α) qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) cắt SB, SC lần lượt tại M, N.
Tính thể tích của khối chóp S.AMND theo a.
c). Tính góc giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABCD).

*************************************************

Vấn đề 2: HÌNH TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY
I/. MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY.

-3-


1/. Khái niệm mặt tròn xoay:
a)

Cho đường thẳng ∆ và một điểm M. Gọi O là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆,
đường tròn CM có tâm O bán kính OM nằm trong mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O được
gọi là đường tròn sinh bởi điểm M khi M quay quanh ∆.

b)

Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng ∆ và một đường l nào đó. Với mỗi điểm M nằm
trên l ta lấy đường tròn CM sinh bởi điểm M khi quay quanh ∆. Hình (T) gồm tất cả các
đường tròn CM với M ∈ l được gọi là mặt tròn xoay sinh bởi đường l khi quay quanh ∆.
Khi đó ∆ gọi là trục của mặt tròn xoay (T) và l gọi là đường sinh của mặt tròn xoay (T).

2/. Mặt nón tròn xoay:
a) Định nghóa: Cho hai đường thẳng ∆ và l cắt nhau tại O và tạo thành một góc α không đổi

l khi quay quanh ∆ được gọi là mặt
nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón). Khi đó ∆ gọi là trục, l gọi là đường sinh và điểm O gọi
(0o < α < 90o). Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng

là đỉnh của mặt nón.

• Mỗi mặt phẳng vuông góc với ∆ cắt mặt nón theo một đường tròn có tâm nằm trên ∆,
các đường tròn này có bán kính thay đổi khi mặt phẳng thiết diện thay đổi.
• Nếu điểm M nằm trên mặt nón thì toàn bộ đường thẳng OM đều nằm trên mặt nón, do
đó đường thẳng OM có thể coi là một đường sinh của mặt nón.
• Mọi đường thẳng đi qua ∆ cắt mặt nón theo hai đường sinh tạo với nhau góc 2α. Góc 2α
gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
b) Khối nón tròn xoay và hình nón tròn xoay:
Xét ∆OAB vuông tại A và miền trong của nó.
O
Khi quay xung quanh đường thẳng OA, mỗi điểm của miền tam
giác sinh ra một đường tròn. Hình gồm tất cả những đường tròn
đó gọi là một khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón).
• Đoạn OA sinh ra hình tròn tâm A bán kính AB gọi là mặt
đáy của khối nón.
• O gọi là đỉnh của khối nón.
A
B
• Đoạn OB vạch nên một mặt tròn xoay gọi là mặt xung
quanh của khối nón.
Hình gồm mặt đáy và mặt xung quanh của khối nón gọi là hình nón tròn xoay (hình nón).
c) Diện tích xung quanh của hình nón – Thể tích của khối nón:
• Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: Sxq = π r l
•

Diện tích của hình nón là: S = Sxq + Sđáy.

•

1
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là: V = π r 2 .h

3

3/. Mặt trụ tròn xoay:
a) Định nghóa: Cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau và cách nhau một khoảng R.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ được gọi là mặt trụ tròn xoay (gọi
tắt là mặt trụ); ∆ gọi là trục và l gọi là đường sinh của mặt trụ.
vuông góc với ∆ thì thiết diện thu
• Nếu cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng
-4-


được là một đường tròn có tâm trên ∆ và bán kính R. Ta cũng nói R là bán kính của
mặt trụ.
• Mặt trụ nói trên còn được định nghóa là tập hợp tất cả những điểm M cách đường thẳng
∆ cố định một đoạn R không đổi.
• Nếu M’ là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ, thì đường thẳng l’ đi qua M’ và song song
với ∆ sẽ nằm trên mặt trụ đó. Ta cũng nói l’ là một đường sinh của mặt trụ.
b) Khối trụ tròn xoay và hình trụ tròn xoay:
Xét hình chữ nhật ABCD cùng với miền trong của nó
Khi quay quanh đường thẳng AB thì mỗi điểm của miền hình chữ nhật
A
D
sẽ sinh ra một đường tròn. Hình gồm tất cả các đường tròn đó gọi là một
khối trụ tròn xoay (gọi tắt là khối trụ).
• Hai đoạn thẳng AD và BC vạch nên hai hình tròn bằng nhau gọi là
hai mặt đáy của khối trụ.
• Cạnh CD vạch nên một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của C
B
khối trụ.
Hình hợp bởi hai mặt đáy và mặt xung quanh của khối trụ gọi là hình trụ tròn xoay (hình trụ).

c) Diện tích xung quanh của hình trụ – Thể tích của khối trụ:
• Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: Sxq = 2π r l
•
•

Diện tích của hình trụ là: S = Sxq + 2Sđáy.
Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r là: V = π r 2 .l

4/. Hình nón nội, ngoại tiếp một hình chóp – Hình trụ nội, ngoại tiếp một lăng trụ:
a) Hình nón nội tiếp một hình chóp (hình chóp ngoại tiếp hình nón) là hình nón có đường tròn
đáy nội tiếp đáy của hình chóp và đỉnh của hình nón trùng với đỉnh của hình chóp.
b) Hình nón ngoại tiếp một hình chóp (hình chóp nội tiếp hình nón) là hình nón có đường
tròn đáy ngoại tiếp đáy của hình chóp và đỉnh của hình nón trùng với đỉnh của hình chóp.
• Chú ý: Hình chóp nội (ngoại) tiếp một hình nón khi đáy của hình chóp là một đa giác nội
(ngoại) tiếp và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn nội (ngoại)
tiếp đa giác đáy.
c) Hình trụ nội tiếp một lăng trụ (lăng trụ ngoại tiếp hình trụ) là hình trụ có hai đường tròn
đáy nội tiếp hai đa giác đáy của lăng trụ đó.
d) Hình trụ ngoại tiếp một lăng trụ (lăng trụ nội tiếp hình trụ) là hình trụ có hai đường tròn
đáy ngoại tiếp hai đa giác đáy của lăng trụ đó.
• Chú ý: Hình lăng trụ nội (ngoại) tiếp một hình trụ khi nó là lăng trụ đứng và đáy của lăng
trụ là một đa giác nội (ngoại) tiếp đường tròn.

5/. Các bài toán:
Bài 1: Cho hình nón (N) có bán kính đáy là R, góc giữa đường sinh và đáy hình nón bằng α. Một
mặt phẳng (P) song song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h cắt
hình nón (N) theo một đường tròn (C).
a) Tính bán kính của đường tròn (C) theo R, h, α.
b) Tính thể tích và diện tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón (N) và mặt phẳng (P).
-5-

Bài 2: Cho một hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC = 60o . Biết rằng có
một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy
hình nón là β.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.
Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón
sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a, SAO = 30o và SAB = 60o . Tính diện tích xung
quanh của hình nón.
Bài 4: Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy R và thiết diện qua trục của hình nón là một tam
giác đều. Gọi A là điểm cố định trên đường tròn đáy (O), M là điểm di động trên đường
tròn (O), H là hình chiếu của tâm O trên mặt phẳng (SAM).
Đặt AOM = 2α (0o ≤ α ≤ 90o ) .
a) Tính độ dài OH theo R và α.
b) Gọi β là góc giữa đáy và mặt phẳng (SAM). Chứng minh rằng: cos α.tgβ = 3 . Xác định
α sao cho tgβ = 2 tgα.
c) Tìm tập hợp các điểm H khi M chạy trên đường tròn (O).
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường sinh bằng R 3 . A và B là hai điểm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng 30o.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ theo R.
b) Tính góc giữa hai bán kính qua A và B.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục hình trụ.
Bài 6: Một hình trụ có hai đáy là các hình tròn tâm O và O’ bán kính R, độ dài đường sinh là
R 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), B là một điểm trên đường tròn (O’) sao cho
OA vuông góc với O’B.
a) Mặt phẳng (P) qua AB và song song với OO’ cắt mặt trụ theo một thiết diện. Tính diện
tích của thiết diện này.
b) Chứng minh rằng các mặt của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính khoảng
cách từ O đến đường thẳng AB.

Bài 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang cân đáy nhỏ AB = a, đáy
5a
lớn CD = 4a, cạnh bên bằng
, chiều cao của lăng trụ bằng h.
2
a) Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ đó.
******************************************************

II/. MẶT CẦU – KHỐI CẦU.
1/. Mặt cầu:
• Mặt cầu tâm O bán kính R là: S(O;R) = {M / OM = R}.
+ OA = R ⇔ A nằm trên mặt cầu S(O;R).
+ OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu S(O;R).
+ OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu S(O;R).
• Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) thì đoạn OA
cũng được gọi là bán kính của mặt cầu- 6 -(S). Gọi B là điểm

B
•

O
A


đối xứng của A qua tâm O, suy ra OB = R và đoạn AB được
gọi là đường kính của mặt cầu (S).

2/. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d = OH.

•

O
•

•

O

•

O
•

•

•

P

H

•

∆
(h -1)

•

H

∆

P
(h -2)

H

P

∆
(h -3)

+ d > R ⇔ (P) ∩ (S) = Þ (h -1).
+ d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) tại H, ta nói (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)

(h -2).

+ d < R ⇔ (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính r = R 2 − OH 2 (h -3).
Đặc biệt nếu đường tròn giao tuyến có tâm trùng với tâm O của mặt cầu thì đường tròn đó
được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

3/. Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của tâm O trên đường thẳng ∆.
+ OH > R ⇔ ∆ ∩ (S) = Þ.
+ OH = R ⇔ ∆ tiếp xúc với (S) tại điểm H, ta nói ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu (S).
+ OH < R ⇔ ∆ cắt (S) tại hai điểm đối xứng với nhau qua H.
• Các tính chất của tiếp tuyến:
a) Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các

tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại A.
b) Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Độ dài các
đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

4/. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ:
Mặt cầu (S) được gọi là ngoại tiếp một hình chóp (hay hình lăng trụ) nếu (S) đi qua tất cả các
đỉnh của hình chóp (hay hình lăng trụ) đó.

5/. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu:
• Diện tích của mặt cầu bán kính r là: S = 4 π r 2
4
• Thể tích của khối cầu bán kính r là: V = π r3 .
3
6/. Các bài toán:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với
đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc α.
a) Xác định góc α.
b) Xác định tâm I và tính bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
-7-


c) Tính theo a và α số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) lấy tùy ý điểm S ( S ≠ A). Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD
lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B’, C’, D’ luôn luôn nằm trên một mặt cầu cố định.
b) Đặt AS = x. Xác định tâm I và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AB’C’D’.
Tính thể tích của khối cầu này theo a và x.

c) Xác định vị trí của điểm S trên Ax sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) có số
đo bằng 60o.
Bài 3: Cho hình cầu tâm O có đường kính SS’ = 2R. Gọi H là một điểm trên đoạn SS’, đặt SH = x
(0 < x < 2R). Mặt phẳng (P) vuông góc với SS’ tại H cắt mặt cầu theo giao tuyến là một
đường tròn và ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn này.
a) Tính theo R và x độ dài các cạnh của tứ diện SABC.
b) Định x theo R để SABC là một tứ diện đều. Trong trường hợp này hãy chứng tỏ rằng tứ
diện S’ABC là tứ diện có ba mặt vuông.
c) Với x vừa tìm được. Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối của tứ diện S’ABC theo R.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình
chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính đường cao của hình chóp biết rằng IS = r 3 .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC
tại trung điểm của mỗi cạnh, đồng thời mặt cầu đó đi qua trung điểm của các cạnh bên
SA, SB, SC.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính diện tích mặt cầu biết cạnh đáy và chiều cao hình chóp lần lượt là a và h.
******************************************************

CHỦ ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
Vấn đề 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ – MẶT CẦU

-8-


1). Hệ trục tọa độ Đêcac trong không gian:
Ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng

đôi một, với các vectơ đơn vị trên các trục Ox,
Oy, Oz lần lượt là e1 , e 2 , e3 gọi là một hệ trục
tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian.
2). Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ:
• Định nghóa: Trong không gian Oxyz, ta có
a) M ( x; y;z ) ⇔ OM = x e1 + y e2 + z e3 ;

c) F là trọng tâm

x F


và chỉ khi: y F


z F


của tứ diện ABCD khi
xA + xB + xC + xD
4
yA + yB + yC + yD
=
.
4
z + zB + zC + zD
= A
4

3). Tích vô hướng của hai vectơ:

b) a = ( a1;a2 ;a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ; • Định nghóa: a . b = a . b .cos a , b

(

• Định lí 1: a = ( a1;a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 )

)

• Định lí 3: a = ( a1;a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 )

+ a + b = ( a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) ;

Ta coù a . b = a1b1 + a2 b 2 + a3 b3 .

+ a − b = ( a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) ;

• Hệ quả:

+ k a = ( ka1; ka2 ; ka3 ) , k ∈ R;

AB =

+ a = b ⇔ a1 = b1 , a2 = b 2 , a3 = b3 ;
+ Neáu a ≠ 0 . Ta có

a cùng phương với b khi và chỉ khi ∃ k ∈ R
sao cho a1 = k b1; a2 = k b2 ; a3 = k b3 .

2
2

a = a1 + a2 + a3 ;
2

(x B − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2

4). Góc giữa hai vectơ:
Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b 2 ; b3 )
khác 0 . Gọi φ là góc giữa hai vectơ
a và b , ta có: cos φ =

• Định lí 2: A (x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B )

Ta coù AB = ( x B − x A ; y B − y A ; x B − z A ) .

.

a.b
a . b

;

• Hệ quả: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0 .

• Hệ quả:
5). Tích có hướng của hai vectơ:
a) M là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ
a) Định nghóa: Trong kg Oxyz cho hai
 xA + xB
vectô
x M

2

a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b 2 ; b3 ) .
y + yB

;
khi: y M = A
Tích có hướng của hai vectơ a và b
2

là một vectơ, kí hiệu  a , b  . Ta có:
zA + zB



z M =
2

 a a
a a
a a 
 a , b  =  2 3 ; − 1 3 ; 1 2 .
b) G là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi:

  b b

b1 b3 b1 b2 
 2 3
 xA + xB + xC
x G

3

yA + yB + yC

a , b
;


y G =
b
3

zA + zB + zC

a
z G =
3


-9-


b) Tính chất:
+  a , b  = − b , a .





+ a , b cùng phương ⇔  a , b  = 0 .



+  a , b  vuông góc với a và b .


+  a , b  = a . b .sin a , b


c) Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
Cho ba vectơ a , b , c . Ta có:

(

)

a , b , c đồng phẳng ⇔  a , b  . c = 0



6). Áp dụng:
a) Diện tích của tam giác:
Diện tích của ∆ABC là:
1
 AB, AC ;
SABC =

2 
b) Thể tích của hình hộp:
Thể tích của hình hộp ABCD.A' B' C' D'
là: VH.hộp =  AB, AD  .AA ' .



c) Thể tích của tứ diện:
Thể tích của tứ diện ABDC là:
1
 AB, AC  .AD .
VT.diện =

6 

7). Phương trình mặt cầu:
a) Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2.
b) Trong khoâng gian Oxyz, mỗi phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 trong đó
a2 + b2 + c2 – d > 0 là phương trình của một mặt cầu (S) tâm I(–a; –b; –c) và có bán kính
r = a 2 + b 2 + c2 − d .

CÁC BÀI TOÁN
• Bài 1: Cho ba điểm A(–1; 6; 6), B(3; –6; –2), C(x; y; 8)
a) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng;
b) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA + MB nhỏ nhất.
• Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Bieát A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C′(4; 5; –5)
a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại;
b) Gọi I là giao điểm của A′C′ và B′D′. Tính thể tích của khối chóp I.ABCD.
• Bài 3: Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm điểm D sao cho ABCD là một
hình bình hành;
b) Tính diện tích của ∆ABC, suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác;
c) Tính các góc của ∆ABC;
d) Xác định toạ độ trực tâm H của ∆ABC;

e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
• Bài 4: Cho tứ diện ABCD có A(2; 1; –1), B(3; 0; 1), C(2; –1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết rằng
thể tích của tứ diện là V = 5 (đvtt).
a) Tìm toạ độ đỉnh D;
b) Lập phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
• Bài 5: Lập phương trình của mặt cầu trong mỗi trường hợp sau
a) Đi qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy;
b) Đi qua hai điểm M(3; –1; 2), N(1; 1; –2) và có tâm thuộc trục Oz;
*************************************************

Vấn đề 1: MẶT PHẲNG

- 10 -


I/. Phương trình của mặt phẳng:
1). Phương trình tổng quát:
Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0
→

được gọi là phương trình của mặt phẳng (α) và n = (A ; B; C) là một pháp vectơ của
mặt phẳng (α).
→

⊕ Chú ý: a). Nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và có pháp vectơ là n = (A ; B; C) thì
(α): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0.

→



→

b). Nếu mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C thì hai vectơ AB , AC là cặp vectơ chỉ
phương của mặt phẳng (α).
→

c). Nếu n = (0 ; B; C) thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
→

Nếu n = (0 ; 0 ; C ) thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy.
2). Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
x y z
với a.b.c ≠ 0, thì phương trình của mặt phẳng (α): + + = 1 .
a b c
II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
1). Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phaúng (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0; (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ta coù:
+ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⇔ (α1) cắt (α2) theo giao tuyến là đường thẳng
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
.
(d): 
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
A
B
C
D
+ 1 = 1 = 1 ≠ 1 ⇔ (α1) // (α2).
A 2 B2 C 2 D 2

+ A1 : B1 : C1 : D1 = A2 : B2 : C2 : D2 ⇔ (α1) ≡ (α2).
2). Chùm mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vaø (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
caét nhau theo giao tuyeán (d): 
.
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Khi đó, những mặt phẳng chứa đường thẳng (d) đều có phương trình là:
µ(A1x + B1y + C1z + D1) + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, với µ2 + λ2 ≠ 0.

II/. Các bài toán:
Bài 1: Trong kgOxyz cho 4 điểm A(1; –2; 1), B(2; 4; 1), C(–1; 4; 2), D(–1; 0; 1).
1). Viết phương trình mp(ABC) suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
2). Tính thể tích của tứ diện ABCD suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện.
3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD).
Bài 2: Trong kgOxyz cho ∆ABC có A(3; –1; 4), B(1; 2; –4), C(–3; 2; 1).
1). Tính các góc của ∆ABC và viết phương trình mp(ABC).
2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh BC.
→


→


→


→

3). Viết phương trình mp(α) chứa B và nhận vectơ v = 2 AB − 3 BC + AC laøm pháp vectơ.

Bài 3: Trong kgOxyz cho ba điểm A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0).
- 11 -


1). Chứng tỏ rằng ABC là tam giác cân. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình thoi.
2). Chứng tỏ rằng điểm S(1; 1; –3) không nằm trên mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của hình
chóp S.ABCD.
→


→


→


→

3). Phân tích vectơ u = (2; − 3; 4) theo 3 vectơ SA , SB , SC .
Bài 4: Cho 4 ñieåm A(1; 1; – 2), B(4; 0; – 1), C(– 1; 7; 0), D(2; 2; 1).
1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB.
2). Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB và song song với đường thẳng (CD).
3). Tính thể tích của tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện.
4). Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD).
Bài 5: Cho ∆ABC, biết A(1; 2; – 1), B(2; – 1; 3), C(– 4; 7; – 5).
1). Tính diện tích ABC và độ dài đường cao AH của ABC.
2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
3). Tìm trên cạnh BC điểm M sao cho ABM và ACM có diện tích thỏa mãn: SABM =
3SACM.
Bài 6: Cho tứ diện ABCD, biết A(1; 2; 1), B(5; 3; 4), C(8; – 3; 2), D(– 1; 2; – 3).

1). Xác định hình dạng ABC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm D trên cạnh AB.
2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
3). Viết phương trình của mặt phẳng (α) nhận trọng tâm G là hình chiếu vuông góc của điểm
C trên mặt phẳng đó.
Bài 7: Cho hai mặt phẳng (α1): 2x + y – 3z + 6 = 0 vaø (α2): 3x – 5y – 2z + 1 = 0.
1). Viết phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (α1).
2). Viết phương trình của mặt phẳng (β) đi qua điểm M(4; – 2; 3) và giao tuyến của hai mặt
phẳng (α1) và (α2).
3). Viết phương trình của mặt phẳng (γ) song song với trục Oz và đi qua giao tuyến của hai
mặt phẳng (α1) và (α2).
Bài 8: Cho hai mặt phẳng (α1): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 vaø (α2): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
1). Viết phương trình của mặt phẳng (β) đi qua hai điểm A(2; – 1; 4), B(3; 4; –2) và vuông góc
với mặt phẳng (α1).
2). Viết phương trình của mặt phẳng (γ) đi qua điểm C(– 5; 1; 3) và vuông góc với hai mặt
phẳng (α1) và (α2).
3). Viết phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC).
Bài 9: Cho mặt phaúng (α): x + y – 2z – 6 = 0 và điểm A(1; 1; 1).
1). Viết phương trình của mặt phẳng (β) đi qua điểm A và trục Oy.
2). Tìm tọa độ của điểm B sao cho (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
3). Viết phương trình của mặt phẳng (γ) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Ox.
Bài 10: Cho 4 điểm A(2; 1; 3), B(– 3; 4; – 1), C(0; – 2; 2), D(1; 5; – 5).
1). Tìm điểm E sao cho BCDE là hình bình hành. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua hai
điểm D, E và song song với đường thẳng (AB).
2). Chứng tỏ rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD và thể
tích của hình chóp A.BCDE.
3). Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của hai cạnh AB và CD của tứ diện
và song song với đường thẳng (AE).
**************************************************

Vấn đề 3: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I/. Phương trình của đường thẳng:
- 12 -


1. Phương trình tham số: Trong kg Oxyz phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
x = x o + a1 t
→

(I.1).
Mo(xo; yo; zo) và có vectơ chỉ phương a = (a1; a2 ; a3 ) là: y = y o + a2 t (t ∈ ℝ )
z = z + a t
o
3

2. Phương trình tổng quát: Trong kg Oxyz phương trình tổng quát của đường thẳng có daïng:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A 2x + B2y + C2z + D2 = 0

( A1 : B1 : C1 ≠ A 2 : B2 : C2 )

(I.2).

3. Phương trình chính tắc: Trong kg Oxyz phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
→
x − xo y − yo z − zo
Mo(xo; yo; zo) và có vectơ chỉ phương a = (a1; a2 ; a3 ) là:
(I.3).
=

=
a1
a2
a3
Chú ý:
• Nếu đường thẳng (D) được cho bởi phương trình dạng (2) thì vectơ chỉ phương của đường
→
→
→
→ → 
thẳng (D) là a =  n1 ; n 2  với n1 = ( A1; B1; C1 ) , n 2 = ( A 2 ; B2 ; C2 ) .


• Nếu muốn tìm phương trình tham số của đường thẳng (D) từ dạng (2) ta có thể tìm một
điểm thuộc (D) và vectơ chỉ phương của nó, hoặc có thể chuyển trực tiếp bằng việc cho
một trong ba biến x, y, z nhận một biểu thức theo tham số t sau đó biểu diễn hai biến còn
lại theo t.
• Nếu muốn tìm phương trình tổng quát của đường thẳng (D) từ dạng (1) ta có thể thông
qua dạng (3) và biến đổi.
II/. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
x = x o + a1 t

(1). Để xét vị trí tương đối của đường thẳng (D)
a. Nếu đường thẳng (D): y = y o + a2 t
z = z + a t
o
3

và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 ta theá x, y, z trong phương trình (1) vào phương

trình mặt phẳng (P) thu được phương trình: α t + β = 0 (*).
Tuỳ theo số nghiệm t của (*) ta có kết luận về vị trí tương đối của (D) vaø (P).

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
b. Nếu đường thẳng (D): 
. Để xét vị trí tương đối của đường
A 2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0

thaúng (D) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 ta giải hệ: A 2x + B2y + C2z + D2 = 0 .
Ax + By + Cz + D = 0

Tuỳ theo số nghiệm của hệ trên ta có kết luận về vị trí tương đối của (D) và (P).
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
→

Cho đường thẳng (D1) đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương a , đường thẳng (D2)
→

đi qua điểm M2 và có vectơ chỉ phương b . Ta thấy chỉ có thể xảy ra một trong các khả
năng sau:
- 13 -


 → →  →
 a ; b  ≠ 0


⇔ (D1) và (D2) cắt nhau;
• 

→
  → →  
  a ; b  .M1M 2 = 0



 → →  →
 a ; b  = 0


• 
⇔ (D1)
→
 →   →
 a ; M M  = 0
1 2





→
→ →  
•  a ; b  .M1M 2 ≠ 0 ⇔ (D1), (D2) cheùo nhau;



 → →  →
 a ; b  = 0



• 
⇔ (D1) // (D2).
→
 →   →
 a ; M M  ≠ 0
1 2






(D2);

III/. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
→

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1 = ( A1; B1; C1 ) vaø
→

n 2 = ( A 2 ; B2 ; C2 ) . Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). Ta coù:

→ →

cos φ =

n1 .n 2
→

A1.A 2 + B1.B2 + C1.C2

. Hay: cos φ =

→

2
2
2
2
2
2
A1 + B1 + C1 . A 2 + B2 + C2

n1 . n 2

(III.1).

2. Góc giữa hai đường thẳng:
→

Cho hai đường thẳng (D1) và (D2) lần lượt có vectơ chỉ phương là a = ( a1; a2 ; a3 ) vaø
→

b = ( b1; b2 ; b3 ) . Gọi

là góc giữa hai đường thẳng (D1) và (D2). Ta có:

→ →

a.b

cos φ =

→

→

. Hay: cos φ =

a . b

a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
2
2
2
2
2
2
a1 + a2 + a3 . b1 + b2 + b3

(III.2).

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
→

Cho đường thẳng (D) có vectơ chỉ phương a = ( a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (P) có vectơ

→

pháp tuyến n = ( A; B; C ) . Gọi

là góc hợp bởi (D) và (P). Ta có:

→ →

a.n

sin φ =

→

→

a . n

. Hay: sin φ =

a1.A + a2 .B + a3 .C
2
2
2
a1 + a2 + a3 . A 2 + B2 + C2

(III.3).

IV/. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(xM; yM; zM) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 laø:

- 14 -


d ( M; (P) ) =

Ax M + By M + Cz M
A 2 + B2 + C2

(IV.1).

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
→

Cho đường thẳng (D) đi qua điểm Mo và có vectơ chỉ phương a .

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) là: d ( M; (D) ) =

→
 →  
 a ;M o M 




→

(IV.2).

a

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau:
→

(D1) đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương a , (D2) đi qua điểm M2 và có vectơ chỉ
→

phương b . Khoảng cách giữa (D1) và (D2) là: d ( (D1 ); (D2 ) ) =

→
 → →  
 a ; b  .M1M 2



→ →
a ; b



(IV.3).

V/. Các bài toán:
Bài 1: Cho ABC có các đỉnh A(3; 6; –7), B(–5; 2; 3), C(4; –7; –2).
a) Viết phương trình tham số của các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác.
b) Viết phương trình tổng quát của các đường cao AA′, BB′, CC′ của tam giác.
c) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

x = 3t

Bài 2: Cho đường thẳng (D) : y = −7 + 5t và mặt phaúng (P): 2x – y + 3z + 23 = 0.
z = 2 + 2 t

a) Tìm toạ độ của điểm M′ đối xứng với điểm M(2; –1; 3) qua đường thẳng (D).
b) Tìm toạ độ của điểm N′ đối xứng với điểm N(5; 2; –1) qua mặt phẳng (P).
c) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng M′N′ và mặt phẳng (P).
x − 2y + 2z − 5 = 0
Bài 3: Cho điểm M(–1; 1; 2) và đường thẳng (D) : 
.
2x + 2y + z − 4 = 0
a) Tìm toạ độ của điểm M′ là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng (D). Tính độ dài MM′.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và đường thẳng (D).
c) Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song và cách mặt phẳng (P) bằng 2 5 .
x −1 y +1 z
=
= và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 1 = 0.
1
−2 6
a) Tìm giao điểm của đường thẳng (D) và mặt phẳng (P). Tính góc giữa (D) và (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (D′) là hình chiếu vuông góc của (D) trên (P).
c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) cắt (D) và
vuông góc với (D).

Bài 4: Cho đường thẳng (D) :

- 15 -

x +1 y + 3 z − 2
x − 2 y +1 z −1
=
=
, (D2 ) :
=
=
.
3
−2
−1
2
3
−5
a) Chứng tỏ rằng (D1) và (D2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
b) Viết phương trình tổng quát dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng song song với trục Ox
và trục Oz của đường thẳng (D) đi qua điểm M(0; 1; –2) cắt (D1) và vuông góc với (D2).
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm N(2; –2; 3) và cắt cả hai
đường thẳng (D1), (D2).

Bài 5: Cho hai đường thẳng (D1 ) :

Bài 6: Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17).
a) Viết phương trình của đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng giao điểm của đường thẳng AB và
mặt phẳng (P) nằm ngoài đoạn AB.
b) Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm A
và B là nhỏ nhất.

x +1 y − 2 z − 2
và hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3).

=
=
3
2
−2
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng (D) và đường thẳng AB cắt nhau. Tìm toạ độ giao điểm của hai
đường thẳng đó.
b) Tìm trên đường thẳng (D) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ điểm M đến hai điểm
A và B là nhỏ nhất.

Bài 7: Cho đường thẳng (D) :

Bài 8: Cho hai đường thẳng (D1 ) :

3x + y − 5z + 1 = 0
x y −1 z
=
= vaø (D2 ) : 
.
1
2
3
2x + 3y − 8z + 3 = 0

a) Chứng tỏ rằng (D1) và (D2) chéo nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng đó.
b) Viết phương trình tổng quát của đường vuông góc chung của hai đường thẳng (D1) và (D2).

x+7 y−4 z−4
x − 1 y + 9 z + 12
và (D2 ) :

.
=
=
=
=
3
3
1
2
−1
−2
a) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng (D1) và (D2).
b) Tìm toạ độ các điểm M1, M2 lần lượt là chân của đường vuông góc chung trên (D1) và (D2).
******************************************************

Bài 9: Cho hai đường thẳng (D1 ) :

- 16 -