ÔN TẬP 2 Cơ Lý Thuyết động học

ÔN TẬP- ĐỘNG HỌC

PGS. TS. Trương Tích Thiện


1. Hêê bánh răng hành tinh và vi sai

 Định nghĩa
Là môôt hêô nhiều vâôt rắn có dạng các đĩa tròn lăn không trượt với nhau sao cho tối thiểu có 1 đĩa tròn có
tâm quay chuyển đôông. Vâôt rắn mang tâm quay của các bánh răng chuyển đôông được gọi là cần và cần
sẽ có chuyển đôông quay xung quanh tâm O1 cố định. Bánh răng có cùng tâm quay cố định với cần được
gọi là bánh răng trung tâm 1. Cần và bánh răng trung tâm 1 có dạng chuyển đô ng cơ bản: quay quanh
ô
tâm quay cố định O1. Hai chuyển đôông quay của 2 vâôt rắn này hồn tồn đơơc lâơp với nhau. Các bánh
răng còn lại sẽ có dạng chuyển đôông song phẳng.


ω1

ε1

①
③

O1

ωc

O2

εc

cần

∗

O3
②

Nếu bánh răng trung tâm 1 được giữ cố định thì hêô được gọi là hêô bánh răng hành tinh. Bâôc tự do của hêô
bánh răng hành tinh = +1. Dofht = +1.

∗

Nếu cần được giữ cố định thì hêô bánh răng sẽ trở thành hêô bánh răng thường.

∗

Nếu bánh răng trung tâm 1 có chuyển đôông quay quanh tâm quay O1 cố định đôôc lâôp với chuyển đôông quay
của cần thì hêô se được gọi là hêô bánh răng vi sai. DofVS = +2.


2. Đôêng học hêê bánh răng hành tinh và vi sai

∗

Để có thể sử dụng được cơng thức tính động học của hêô bánh răng thường ta cần phải chọn 1 hêô qui chiếu
mới sao cho đối với hêô qui chiếu mới này tất cả các tâm của các bánh răng trong hêô đều cố định. Ta chọn
cần làm hêô qui chiếu mới, lúc này vâôn tốc góc tương đối của bánh răng thứ k đối với cần sẽ được tính như
sau:

ωkr = ωk − ωc

∗

Tỷ sớ trùn tương đới của bánh răng thứ j đối với bánh răng thứ k.

ω ω j − ωc
m rk
i = r =
= ( −1) .
ω k ω k − ωc
rj
r
jk

r
j

rk
⇔ ω j − ωc = ( −1) . . ( ωk − ωc )
rj
m

+

Đây là công thức Willis cho
bài toán vâôn tốc.


+
−

Công thức Willis cho bài toán gia tốc:

Đạo hàm 2 vế của công thức Willis cho bài toán vâôn tốc theo thời gian ta sẽ được công thức Willis cho bài
toán gia tốc.

rk
ε j − ε c = ( − 1) . .( ε k − ε c )
rj
m



Ghi chú:

Chọn:

ωc > 0

ε c > 0


y

1

Bài 1. Cho cơ hệ như hình bên.

a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn trong

2

ωC

ω1
o1

o2

εC

hệ?

b/ Xác định vận tớc góc, gia tớc góc của vật 2?

c/ Tính vận tốc, gia tốc của điểm A.

Cho:

r1 = 2r2 = 2r ; α

ω1 = 1,5ωC

ε1 = 1,5ε C

ε1

α
A

x

y

1
2

a/ Phân tích chuyển động của các vật trong

ωC

ω1
o1

hệ.

o2

εC

ε1
Cần O1O2 quay chậm dần, ngược chiều kim đồng hồ, quanh tâm O 1 cố định.

Bánh răng trung tâm (1) quay chậm dần, ngược chiều kim đồng hồ, quanh tâm O 1 cố định.

Bánh răng (2) chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ.

x

α

A


b/ Xác định vận tốc góc – gia tốc góc của bánh răng (2).
Áp dụng công thức Willis, chọn chiều vận tốc góc của cần làm chiều dương cho bài toán vận tốc.
1
2

ω2 − ωC = ( −1)

m

(

(

)

r1
ω1 − ωC ω1
r2

r1
⇒ ω2 = ωC − ω1 − ωC
r2

)

(1)

ωC
o1

o2

εC

A

ε1

Áp dụng công thức Willis, chọn chiều gia tốc góc của cần làm chiều dương cho bài toán gia tốc:

ε 2 − ε C = ( −1)

m

(

r1
ε1 − ε C
r2

(

r1
⇒ ε 2 = ε C − ε1 − ε C
r2

)

x

α

)
(2)


Với

(1)

r1 = 2r2 = 2r ; ω1 = 1,5ωC ; ε1 = 1,5ε C

(

⇒ ω2 = ωC − 2 1,5ωC − ωC

)

⇒ ω2 = 0 s −1

Bánh răng (2) tịnh tiến tức thời.

(2)

(

⇒ ε 2 = ε C − 2 1,5ε C − ε C

Vậy bánh răng (2) chuyển động tịnh tiến.

)

⇒ ε2 = 0 s

−2


c/ Tính vận tớc, gia tớc của điểm A.
y

Vận tớc điểm O2

vO2 = O1O2 .ωC = 3r.ωC
ur
u
r
⇒ vO2 = 3r.ωC . j

u un
ur
aO2

ωC
o1

εC
Gia tốc điểm O2

uu
ur
aO2

u u u un u uτ
u
r u
r
ur
aO2 = aO2 + aO2

ur
u
vO2
x
o2

u uτ
u
r
aO2

Trong đó:

a = O1O2 .ω = 3rω
n
O2

τ

O2

2
C

2
C

a = O1O2 .ε C = 3rε C

2
4
⇒ aO2 = 3r ε C + ωC
r
r
r
2
⇒ aO2 = −3r (ωC ×i + ε C ×j )


Vận tốc và gia tốc tại điểm A:
Vì bánh răng (2) chuyển động tịnh tiến nên vận tốc và gia tốc tại mọi điểm thuộc nó là như nhau.

u
r
r ur
⇒ v A = vO2 = 3r.ωC . j
r
r
r

r
2
⇒ a A = aO2 = −3r (ωC ×i + ε C ×j )

1

ur
u
vO2

ωC
o1

2

ur
u
vA
o2

εC

uu
u
r
aO2

x

α

A

ur
u
aA


Bài tập về nhà 1. Cho cơ cấu hành tinh như hình vẽ. Hệ có bánh răng 1 cố định với bán kính r 1, bánh răng 2
và 3 có bán kính bằng nhau, tay quay O1B quay với vận tốc góc ω0 và gia tốc góc ε0
y

1

A

2

3

ω0
C
O1

α

B

x

ε0

Cho : r1 = 2r2 = 2r3 = 2r ; α ; ω0 ; ε 0
a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ?
b/ Xác định vận tốc góc, gia tốc góc của bánh răng 2 và 3?
c/ Tính vận tớc, gia tốc của điểm A.


3. Chuyển đôêng song phẳng của vâ êt rắn
Định nghĩa
Chuyển đôông của vâôt rắn được gọi là chuyển đôông song phẳng nếu trong quá trình chuyển đôông của vâôt
mỗi điểm thuôôc vâôt chỉ chuyển đôông trong môôt măôt phẳng song song với măôt phẳng quy chiếu cố định (π)
đã chọn trước (hình 4.5).

(V)

(S)

M

P
Q

π

hM

N
hN

hM = const

;

 hN = const

∀( M , N ) ∈( V )


(P) là măôt phẳng chuyển đôông của điểm M: (P) // (π)
(Q) là măôt phẳng chuyển đôông của điểm N: (Q) // (π)
⇒ (Q) // (P).
Cách xác định tâm vận tốc tức thời:

+

Trường hợp 1: Khi vâôt rắn lăn không trượt trên bề măôt cố định. Đây là 1 trường hợp đăôc biêôt của
chuyển đôông song phẳng. Tâm vâôn tốc tức thời P là 1 điểm thuôôc vâôt rắn đang trùng với bề măôt cố
định (hình 4.8).

ω
L
va

(S)

K

L

P

K
va


+

Trường hợp 2: Khi chúng ta biết được phương vận tốc của 2 điểm trên vâôt.

A
va

B

B
va

A
P

B
vaA
va
ω=
=
PA PB


+

Trường hợp 3: Biết được phương, vâôn tốc của 2 điểm A, B và 2 phương vận tốc này song song với

nhau. (hình 4.10)

B
A

B A
va // va

B

A
va
P→∞
a)

B A
va // va

P
A
va

A
b)


Khi P→ ∞ thì vâôt tịnh tiến tức thời, ta có:

ω = 0 (s ); ε ≠ 0 (s )
−1

B A
A B
va = va ; a a ≠ a a

−2

A
aa

ε

M

r MA
aτ

ω

b. Bài tốn gia tớc

r MA
an

A

A
aa

r MA

a

M
aa


∗
∗

Với:

Với:

Chọn 1 điểm trên tiết diêôn (S) đã biết gia tốc làm điểm cực A.

rM rM rM rM
aa = ae + ar + ac

Áp dụng định lý hợp gia tốc:

r
r
r
 aeM ≡ aeM * = aaA
 r M r MA r MA r MA
 ar = a = aτ + an
r
r r
r
a M = 2(ω ∧ v M ) = 0

e
r
 c








Vâôy:

(

r M r A r MA r MA
aa = aa + aτ + an

r MA
aτ ⊥ AM
rτ
aMA : quay quanh A theo chiều ε
Chiều
r MA
u ur
uu
aτ = AM .ε
r MA
 a ↑↑ MA : (hướng tâm A)
 n

 r MA
an = AM.ω2



)


4. Gia tốc Coriolis
Định lý hợp chuyển đôông.
a. Định lý hợp vâ ân tốc

M M M
va = ve + vr
b. Định lý hợp gia tốc

M M M M
a a = a e + a r + ac

r rM
rM
ac = 2 ωe ∧ vr

r
ωe

(

)

là gia tốc Coriolis của M.

: vâôn tốc góc trong chuyển đôông kéo theo của hêô đôông 1 đối với hêô cố định 2.

r
r
⇒ ωe = 0 ⇔

hêô đôông 1 tịnh tiến.


r
ωe
 M
M
 ac ⊥ mp (ωe , vr )

M
 Chiều ac : RHR

 a M = 2ω .v M . sin α
e r
 c

α
M
rM
aC

rM

ac

r r
ωe = 0 : hêô đôông 1 tịnh tiến.
r
rM r
= 0 ⇔ vr = 0 : điểm M đứng yên trong hêô 1.
r r
ωe // vrM


⊕

rM
vr


1

A

Bài 2. Cho cơ hệ như hình bên. Biết

B

khung OAB quay quanh trục cố định

ε1

l

qua O với vận tốc gốc ω1 và gia tớc
góc ε1

O

2

3

ω1
C

l

l
D

a/ Phân tích chủn động của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm C 2 thuộc thanh BD khi
chọn con lắc C làm hệ động

b/ Tính vận tớc góc của thanh BD và con lắc C.
c/ Tính gia tớc góc của thanh BD và con lắc C.


a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm C 2 thuộc thanh BD khi chọn con
lắc C làm hệ động

Phân tích chuyển động của các vật rắn
* Vật rắn 1 quay nhanh dần theo chiều ngược chiều kim đồng hồ quanh tâm O cố định.

* Vật rắn 2 chuyển động song phẳng.
* Vật rắn 3 quay quanh tâm C cớ định.

Phân tích chuyển động của điểm C 2 : gồm 2 chuyển động
- Chuyển động kéo theo: chuyển động quay quanh tâm C cố định cùng với con lắc

ur ur
u u
⇒ ωe = ω3

(1)


- Chuyển động tương đối: chuyển động thẳng của điểm C 2 theo phương BD đối với con lắc C.

uu
u
r
v C2 ∈ BD
 r
⇒ u u
ur
arC2 ∈ BD


(2)

Do phương BD luôn trùng với phương của con lắc C nên thành phần chuyển động quay của thanh BD
giống với chuyển động quay của con lắc C.

ur ur
u u
ω2 = ω3

⇒ u u
u u
r r
ε 2 = ε 3


(3)


Quan hệ vận tốc:

Mà:

uu uu uu
u
r u u
r
r
C2
C2
C2
va = ve + vr
r
u u uu r
u
r u

C3
C2
ve ≡ va = 0

uu uu uu uu
ur ur ur ur
C
C
C
aa 2 = ae 2 + arC2 + ac 2
uu uu r
ur ur
C
C
ae 2 ≡ aa 3 = 0
uu
ur
r
ur uCu
u u
C
ac 2 = 2 ω3 × vr 2

uu uu
u
r u
r
C2
C2
⇒ va = vr ∈ BD

(4)

Quan hệ gia tốc:

Mà:

(

)

uu uu
ur ur
r
ur uCu
u u
C
⇒ aa 2 = arC2 + 2 ω3 × vr 2

(

)

(5)


b/ Bài toán vận tốc:

1

A

B

ε1

l

O

ur
u
B
B
va = OB.ω1 ; va ∈ BD

ur
u
B
va

Vận tốc điểm B trên khung OAB:

uu uu
u
r u
r
C2
C2
va = vr

2

3

ω1
C

l

l
D

Xét trên thanh BD: vận tốc của điểm B và C cùng phương nên tâm vận tốc tức thời trong trường hợp này ở vô
cùng.
Vậy thanh BD tịnh tiến tức thời.