Luận văn thạc sỹ một số định lý về góc đa diện và khối đa diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ HỒI LINH

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GĨC ĐA DIỆN
VÀ KHỐI ĐA DIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP

BÌNH ĐỊNH - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ HỒI LINH

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GĨC ĐA DIỆN
VÀ KHỐI ĐA DIỆN

Chuyên ngành

:

Phương pháp toán sơ cấp

Mã số

:

8460113

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH HIẾU


i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn “Một số định lí về góc đa diện
và khối đa diện” là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướng dẫn
của TS. Lê Thanh Hiếu. Các nội dung và kết quả sử dụng trong luận văn đều
có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng.
Bình Định, tháng 7 năm 2021
Học viên thực hiện

Võ Hoài Linh


i

Lời cảm ơn
Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến
thầy TS. Lê Thanh Hiếu, trường Đại học Quy Nhơn, thầy đã trực tiếp giảng
dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện trong q trình học tập và nghiên cứu để
tơi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Bên cạnh đó, tơi cũng
xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn
và Thống kê - Trường Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy cô giáo của trường, quý
thầy cô giáo thỉnh giảng đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập, hồn thành các học phần tại trường. Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các
anh, chị học viên trong lớp Phương pháp tốn sơ cấp khóa 22, gia đình, bạn bè

và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tơi trong suốt q trình học tập và hồn
thành luận văn.
Kính mong q thầy cơ cùng các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận
văn có thể hồn chỉnh hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn.
Bình Định, tháng 7 năm 2021
Học viên thực hiện

Võ Hoài Linh


ii

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kết quả cổ điển về góc đa diện và hình đa diện

3

1.1

Hình lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Góc nhị diện và góc tam diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Góc đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hình đa diện và hình đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

1.4.1

Hình đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2

Hình đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Một số khối đa diện thường gặp
2.1

2.2

24

Khái niệm các hình đa diện ở phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1

Hình lăng trụ, hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2

Hình chóp, hình chóp cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Khối tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1

Tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2

Tứ diện gần đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3

Tứ diện trực tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.4

Mặt cầu nội tiếp hình tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

2.3

Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kết luận

82

Tài liệu tham khảo

83


1

Lời mở đầu

Mơn Tốn có vai trị quan trọng đối với chương giáo dục trình phổ thơng,
trong đó, Hình học có thể xem như là trái tim của nó. Các vấn đề của Hình
học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng ở cấp độ cao, đặc biệt là Hình học
khơng gian. Đây thường là nội dung gây nhiều khó khăn cho phần lớn các học
sinh phổ thông.
Tuy nhiên, trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, học sinh phần lớn
chỉ tiếp cận một số bài tốn hình học với phương pháp giải dựa vào các công
thức cơ bản. Các bài tốn liên quan đến thể tích, chẳng hạn như: xác định thể
tích, tỉ số thể tích hoặc các bài toán cực trị liên quan, . . . , thường xuất hiện
trong các câu khó trong các đề thi Trung học phổ thông quốc gia hoặc đề thi
Học sinh giỏi. Để giải được các bài toán này học sinh cần phải có khả năng phân

tích, suy luận và áp dụng các công cụ, kỹ thuật cao.
Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu, hệ thống lại và phát triển các kiến
thức liên quan đến các vấn đề nêu trên nhằm phục vụ đối tượng học sinh khá,
giỏi. Cụ thể, chúng tơi tìm hiểu một số định lí về góc đa diện, khối đa diện và
các kết quả liên quan đến thể tích của khối đa diện, đặc biệt là các bài tốn cực
trị liên quan đến thể tích của các khối đa diện. Sử dụng các kết quả này chúng
tôi xây dựng hệ thống bài tập liên quan. Ngoài ra, chúng tơi cịn tổng qt hóa
một số bài tốn từ các bài toán số cụ thể. Các kết quả tổng quát thu được cũng


2

nhằm giúp người dạy dễ dàng hơn khi ra nhiều mã đề trắc nghiệm khách quan
trong các kỳ thi Toán ở trường phổ thơng hiện nay.
Ngồi Lời mở đầu, nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Một số kết quả cổ điển về góc đa diện và hình đa diện.
Chương này hệ thống lại một số kết quả cổ điển về hình lồi, góc đa diện, hình
đa diện, hình đa diện đều và Định lí Euler về mối liên hệ giữa số đỉnh, số mặt
số cạnh của hình đa diện. Đồng thời, chúng tơi cũng trình bày một hệ thống các
bài tập liên quan.
Chương 2. Một số khối đa diện thường gặp. Trong chương này, chúng
tôi chứng minh lại một số định lí về diện tích xung quanh, diện tích tồn phần,
thể tích của một số khối đa diện thường gặp và một số khối tứ diện đặc biệt
trong chương trình Tốn phổ thơng. Ngồi ra, chúng tơi sưu tầm các bài tốn
liên quan với các đại lượng số cụ thể và tổng quát hóa các đại lượng số thành
các tham số tổng quát. Điều này giúp người dạy hướng đến việc hình thành một
ngân hàng đề thi trắc nghiệm Tốn ở phổ thơng.


3

Chương 1

Một số kết quả cổ điển về góc đa
diện và hình đa diện
Chương này trình bày các khái niệm về hình lồi, góc đa diện, hình đa diện
và một số định lí về góc nhị diện, góc tam diện, góc đa diện, định lí Euler. Các
kết quả được tham khảo chủ yếu từ [2], [4].

1.1

Hình lồi

Định nghĩa 1.1. Một hình lồi C trong khơng gian là một hình thỏa mãn:
∀X, Y ∈ C, đoạn thẳng XY ⊂ C.

Hình 1.1: Hình lồi.

Hình 1.2: Hình khơng lồi.

Mệnh đề 1.2. Giao của một họ tùy ý các hình lồi là một hình lồi.
Chứng minh. Giả sử Hi (i ∈ I) là các hình lồi. Đặt H = H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hn ∩ · · ·.


4

Giả sử A, B là hai điểm thuộc H . Khi đó A ∈ Hi và B ∈ Hi , ∀i. Do Hi là hình
lồi, suy ra đoạn AB thuộc Hi với mọi i. Từ đó AB ⊂ H.
Một trong những ứng dụng của hình lồi là sử dụng khái niệm bao lồi của hệ
n điểm để giải các bài tốn trong mặt phẳng và khơng gian. Khái niệm bao lồi

của hệ n điểm trong mặt phẳng được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của hệ n điểm trong mặt phẳng là một đa giác lồi
sao cho các đỉnh của nó thuộc hệ n điểm đã cho, các điểm còn lại của hệ hoặc
thuộc cạnh hoặc là điểm trong của đa giác đó. Cụ thể, nếu H1 , . . . , Hm là các
điểm phân biệt trong khơng gian với hệ tọa độ Descatress Oxyz thì bao lồi của
các điểm này có thể biểu diễn được dưới dạng:
m
m
X
−−→ X −−→
αi = 1}.
conv(H1 , . . . , Hm ) := {H | OH =
αi OHi , αi ≥ 0,
i=1

i=1

Ví dụ 1.4. a) Bao lồi của hai điểm phân biệt A, B là đoạn thẳng AB.
b) Bao lồi của ba điểm phân biệt A, B, C là hình tam giác ABC.
c) Bao lồi của bốn điểm phân biệt A, B, C, D trong cùng 1 mặt phẳng là hình
bình hành ABCD.
d) Với bốn điểm phân biệt A, B, C, D trong khơng gian sao cho khơng có điểm
nào thuộc cùng 1 mặt phẳng với 3 điểm còn lại, bao lồi của chúng là khối tứ
diện ABCD, xem Chương 2.

1.2

Góc nhị diện và góc tam diện

Định nghĩa 1.5. Giả sử (P ) và (Q) là hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến
a. Đường thẳng a chia mỗi mặt phẳng (P ), (Q) thành hai nửa mặt phẳng. Kí

hiệu α và β là hai nửa mặt phẳng tương ứng thuộc (P ) và (Q). Hình tạo bởi hai
nửa mặt phẳng α và β được gọi là góc nhị diện (xem Hình 1.3). Các nửa mặt
phẳng α, β là mặt của góc nhị diện; đường thẳng a là cạnh của góc nhị diện.


5

Hình 1.3: Góc nhị diện.

Một mặt phẳng (R) vng góc với a và cắt α và β theo các nửa đường thẳng
p,q như Hình 1.3. Góc ϕ tạo bởi hai nửa đường thẳng p,q được gọi là góc phẳng
của góc nhị diện. Số đo của góc phẳng nhị diện ϕ được gọi là số đo của góc nhị
diện. Khi đó ta có 0 ≤ ϕ ≤ π.
Định nghĩa 1.6. Giả sử a, b, c là ba nửa đường thẳng không cùng nằm trong
một mặt phẳng, xuất phát từ một điểm S (xem Hình 1.4). Các nửa đường thẳng

Hình 1.4: Góc tam diện.

a, b, c tạo thành ba góc (a, b); (b, c); (c, a). Hình tạo bởi ba góc (a, b); (b, c);
(c, a) được gọi là góc tam diện. Điểm S gọi là đỉnh của góc tam diện, các nửa
đường thẳng a, b, c gọi là các cạnh của góc tam diện, các góc phẳng (a, b); (b,


6

c); (c, a) gọi là các mặt (góc phẳng) của góc tam diện. Ta ký hiệu góc tam diện
trên là Sabc.

Định lí 1.7 (Định lí hàm số cơsin). Nếu α, β , γ là các góc phẳng của một góc
tam diện và C là góc nhị diện đối diện với góc phẳng α thì
cosα = cos β cos γ + sin β sin γ cos C.

(1.1)

Chứng minh. Ta đặt α = (a, b), β = (b, c), γ = (c, a). Khi đó 0 < α, β, γ < π2 .
Gọi (R) là mặt phẳng vng góc với c tại C cắt a, b tương ứng tại các điểm
A, B. Khơng mất tính tổng qt, giả sử SC = 1. Khi đó
BC = tan β, AC = tan γ, SB =

1
1
, SA =
.
cos β
cos γ

Lần lượt áp dụng Định lí hàm số côsin cho các tam giác ABC và SAB ta có
AB 2 = tan2 β + tan2 γ − 2 tan β tan γ cos C

(1.2)

1
1
2
+
−
cos α.
2

2
cos β cos γ cos β cos γ

(1.3)

và
AB 2 =

Từ (1.2) và (1.3) suy ra
1
1
2 cos α
− tan2 β +
− tan2 γ + 2 tan β tan γ cos C =
.
2
2
cos β
cos γ
cos β cos γ


7

Suy ra
1 + tan β tan γ cos C =

cos α
.
cos β cos γ

Hay
cos β cos γ + sin β sin γ cos C = cos α.

Định lí 1.8 (Định lí hàm số sin). Nếu α, β, γ là các góc phẳng của một góc tam
diện, và A, B, C tương ứng là các góc nhị diện đối diện với α, β, γ thì
sin α
sin β
sin γ
=
=
.
sin A
sin B
sin C

(1.4)

Chứng minh. Gọi M là điểm trên cạnh c sao cho SM = 1. Gọi H là hình chiếu
vng góc của điểm M trên mặt phẳng chứa các cạnh a, b. Dựng HA ⊥ a và HB ⊥
b= M
b=M
\
\
b. Khi đó A
AH ; B
BH. Do tam giác M SB vuông tại B nên M B = sin α.
Hơn nữa tam giác M BH vuông tại B nên M H = M B sin B = sin α sin B.
Mặt khác, trong các tam giác vuông M SA và M HA, ta có M H = sin β sin A.
Từ đó, sin α sin B = sin β sin A hay

sin α
sin β
=
.
sin A
sin B

Chứng minh tương tự, ta có
sin β
sin γ
=
.
sin B
sin C


8

Định lí được chứng minh xong.
Định lí 1.9. Trong một góc tam diện, mỗi góc phẳng bé hơn tổng hai góc phẳng
cịn lại.
Chứng minh. Giả sử α, β , γ là các góc phẳng của góc tam diện. Theo Định lí
1.7, ta có cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos C .
Vì cos C > −1 và sin β > 0, sin α > 0 nên cos γ > cos α cos β − sin α sin β. Hay
cos γ > cos(α + β).

Do hàm số côsin nghịch biến trong khoảng (0, π) nên γ < α + β .
Định lí 1.10. Tổng các góc phẳng của một góc tam diện ln bé hơn 2π .

Chứng minh. Xét góc tam diện Sabc. Lấy 3 điểm A, B, C lần lượt trên ba cạnh
Sa, Sb, Sc. Khi đó ta có các tam diện: ASBC đỉnh A, BSCA đỉnh B , và CSAB

đỉnh C . Áp dụng Định lí 1.9 cho các góc của các tam diện trên, ta có
[ < S[
[
BAC
AB + S
AC,

(1.5)

[ < S[
[
CBA
BC + S
BA,

(1.6)

[ [
[
ACB
CA + S
CB.

(1.7)

9

Cộng vế theo vế (1.5), (1.6), (1.7) ta có
[
[
[
[
[
[
π < (S
AB + S
BA) + (S
AC + S
CA) + (S
BC + S
CB).
Hay
d + π − cSa
c
d + π − bSc.
π < π − aSb
d + bSc
c + cSa
d < 2π.
Từ đó ta có aSb

1.3

Góc đa diện

Định nghĩa 1.11. Giả sử a1 , a2 , · · ·, an là các nửa đường thẳng cùng xuất phát
từ điểm S , trong đó khơng có ba nửa đường thẳng nào cùng thuộc một mặt
phẳng.
Hình tạo bởi các góc phẳng (a1 , a2 ), (a2 , a3 ), · · ·, (an , a1 ) được gọi là góc đa diện
(xem Hình 1.5).

Hình 1.5: Hình góc đa diện.

Điểm S gọi là đỉnh của góc đa diện, các nửa đường thẳng a1 , a2 , · · ·, an gọi là
các cạnh của góc đa diện.
Các góc nhị diện tạo bởi hai mặt kề nhau là góc nhị diện của hình đa diện.
Ta sẽ kí hiệu góc đa diện trên bởi SA1 A2 · · · An , trong đó S gọi là đỉnh của
góc đa diện và các SAi gọi là các cạnh góc đa diện.


10

Một góc đa diện được gọi là góc đa diện lồi nếu nó nằm về một nửa khơng
gian với bờ là mặt phẳng chứa bất kì góc phẳng nào của nó.
Góc đa diện lồi được gọi là góc đa diện đều nếu các góc phẳng bằng nhau và
các góc nhị diện bằng nhau.
Định lí 1.12. Trong một góc đa diện lồi, mỗi góc phẳng bé hơn tổng các góc
phẳng cịn lại.

Chứng minh. Khi góc đa diện là tam diện thì kết quả của định lí đã được chứng
minh trong Định lí 1.9.
Bây giờ ta chứng minh trường hợp tổng quát bằng quy nạp theo giá trị góc
phẳng của góc đa diện.
Giả sử SA1 A2 · · · An là góc đa diện và ϕ1 , ϕ2 , · · ·, ϕn là giá trị các góc phẳng
của nó. Định lí đúng với n = 3 theo Định lí 1.9. Giả sử định lí đúng với n = k − 1,

nghĩa là ta có
ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + ϕk−1 .

Với n = k , ta chứng minh
ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + ϕk−1 + ϕk .


11

Thật vậy, trong tam diện SA1 Ak Ak−1 , ta có
\
Ak−1
SAk < ϕk−1 + ϕk .

(1.8)

Áp dụng giả thiết quy nạp cho góc đa diện SA1 A2 · · · Ak−1 , vì số mặt của góc
đa diện này bằng k − 1 nên ta có
ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + Ak\
SAk−1 ·

(1.9)

Kết hợp (1.8) và (1.9) ta có
ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + ϕk−1 + ϕk .

Định lí được chứng minh xong.
Định lí 1.13. Trong một góc đa diện lồi, tổng các góc phẳng ln bé hơn 2π.
Chứng minh. Giả sử a1 , a2 , ···, an là các cạnh của một góc đa diện lồi đỉnh S . Đặt
trên các cạnh a1 , a2 các điểm A1 , A2 . Lấy điểm A3 trên cạnh a3 đủ gần với điểm

S sao cho mặt phẳng (α) qua 3 điểm A1 , A2 , A3 cắt tất cả các cạnh a1 , a2 , · · ·, an .

Gọi A1 , A2 , · · ·, An là giao của mặt phẳng (α) với các cạnh của góc đa diện S.
Do góc đa diện S lồi suy ra đa giác P với các đỉnh A1 , A2 , · · ·, An lồi. Xét góc
đa diện S và các góc tam diện với các đỉnh A1 , A2 , · · ·, An . Tổng tất cả các góc
phẳng tạo thành từ các góc của đa giác P là nπ − 2π . Hơn nữa, tổng các góc
của các tam giác A1 A2 S , A2 A3 S ,. . . , An A1 S bằng nπ . Từ đó, ta suy ra tổng tất


12

cả các góc phẳng của đa diện SA1 A2 ...An bằng 2nπ − 2π . Mặt khác, trong mỗi


góc tam diện đỉnh Ak k = 1, n , góc phẳng thuộc đa giác P bé hơn tổng hai góc
khác. Vì thế tổng tất cả các góc phẳng tìm được ở trên lớn hơn (nπ − 2π)2 + d
(d là tổng các góc phẳng ở đỉnh S ). Nghĩa là, (nπ − 2π)2 + d < 2nπ − 2π . Từ đó
suy ra d < 2π .

1.4
1.4.1

Hình đa diện và hình đa diện đều
Hình đa diện

Định nghĩa 1.14. Một hình đa diện là một khối mà biên của nó gồm một số
hữu hạn hình đa giác. Các đa giác là các mặt của hình đa diện, các đỉnh của đa
giác gọi là các đỉnh của hình đa diện. Các góc tại mỗi đỉnh là góc đa diện của
hình đa diện. Hình đa diện được gọi là hình đa diện lồi nếu tất cả các điểm của
nó nằm về một phía mặt phẳng của một mặt của nó.
Ví dụ 1.15. Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp trong hình học thơng thường

ở phổ thơng đều là những hình đa diện lồi.
Mệnh đề 1.16. Cho hình đa diện lồi có m mặt, c cạnh, d đỉnh và có tổng độ
lớn tất cả các góc phẳng bằng T. Gọi mk là số mặt k -giác và dk là số đỉnh của
hình đa diện xuất phát từ k cạnh. Khi đó
2c = 3m3 + 4m4 + · · · + kmk + · · · ,

(1.10)

2c = 3d3 + 4d4 + 5d5 + · · · ,

(1.11)

T = 2π(c − m).

(1.12)

Chứng minh. Giả sử khối đa diện có m3 mặt là tam giác, nên tại mỗi mặt tam
giác ta đếm các cạnh của nó ta được 3.m3 cạnh, lại có m4 mặt là tứ giác,
tại mỗi mặt tứ giác ta đếm số cạnh 1 lần, ta được 4.m4 cạnh, tương tự như


13

vậy. Với cách đếm đó mỗi cạnh được đếm 2 lần, vì mỗi cạnh là giao tuyến
của 2 mặt, vì vậy số cạnh đó được nhân với 2. Do đó số cạnh của đa diện là
1
c = (3m3 + 4m4 + ... + kmk + ...) hay 2c = 3m3 + 4m4 + ... + kmk + .... Đẳng thức
2

(1.10) được chứng minh xong.

Bây giờ ta chứng minh (1.11). Giả sử có d3 góc tam diện, vậy suy ra số cạnh
xuất phát từ các góc tam diện là 3.d3 , tương tự giả sử có d4 góc tứ diện, vậy số
cạnh xuất phát từ các đỉnh này là 4.d4 ,. . .. Với cách đếm đó số cạnh cũng được
nhân với 2, vì mỗi cạnh là một đoạn thẳng có 2 đầu, ta đếm mỗi đầu một lần,
1
2

do đó c = (3d3 + 4d4 + 5d5 + ...) hay 2c = 3d3 + 4d4 + 5d5 + . . . .
Cuối cùng ta chứng minh (1.12). Giả sử mặt thứ i có ni cạnh (tất nhiên cũng
có ni góc), khi đó tổng số đo các góc trong của mặt này là π (ni − 2), tổng tất
m
m
P
P
cả các số đo của các góc của các mặt là T =
π (ni − 2) = π
ni − 2π.m. Ta
có

m
P

i=1

i=1

ni = 2c từ đó suy ra T = 2π (c − m) .

i=1

Định lí 1.17 (Định lí Euler). Trong một hình đa diện lồi, ta ln có d+m−c = 2.
Trong đó m, c, d lần lượt là số mặt, số cạnh, số đỉnh của hình đa diện.
Chứng minh. Giả sử gọi hình đa diện là A1 A2 ...Ad có số đỉnh là d. Ta chứng
minh định lí bằng quy nạp theo số đỉnh d ≥ 4. Khi d = 4 thì hình đa diện là tứ
diện có d = 4, c = 6, m = 4 nên d + m − c = 4 + 4 − 6 = 2 đúng.
Giả sử định lí đúng với số đỉnh là d nào đó, nghĩa là d + m − c = 2. Xét hình
đa diện A1 A2 ...Ad A có d0 = d + 1 đỉnh, và có số mặt là m0 , số cạnh là c0 . Khi đó,
ta xét A là một đỉnh của đa diện có d + 1 đỉnh và mặt (A1 A2 ...Ak ) là một mặt
của hình đa diện A1 A2 ...Ad sao cho mặt phẳng chứa mặt này chia không gian
làm 2 phần, một phần chứa đỉnh A và phần kia chứa khối đa diện lồi có d đỉnh
cịn lại. Khi đó số đỉnh d0 = d + 1, số cạnh c0 = c + n và số mặt m0 = m + n − 1. Do
đó d0 + m0 − c0 = (d + 1) + (m + n − 1) − (c + n) = d + m − c = 2. Vậy d + m − c = 2


14

1.4.2

Hình đa diện đều

Một hình đa diện lồi được gọi là đều nếu tất cả các mặt của nó là các đa giác
đều bằng nhau và mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Định lí 1.18. Một mặt của hình đa diện đều chỉ có thể là một trong ba loại:
tam giác đều, hình vng, ngũ giác đều.
Chứng minh. Ta bắt đầu từ các đa giác đều với số cạnh lớn hơn hoặc bằng 6,
các góc trong của chúng khơng bé hơn

2π
. Khi đó vì tại mỗi đỉnh của hình đa
3

diện xuất phát khơng ít hơn 3 cạnh nên góc đa diện ở đỉnh của hình đa diện
đều có tổng các góc phẳng khơng bé hơn 3

2π
= 2π . Điều này mâu thuẫn.
3

Nếu các mặt của hình đa diện đều là các tam giác đều thì số cạnh xuất phát
từ một đỉnh của hình đa diện khơng thể lớn hơn 5. Thật vậy, nếu ngược lại, tổng
các góc phẳng của hình đa diện sẽ khơng bé hơn 2π . Điều đó khơng thể xảy ra.
Như vậy, các mặt của hình đa diện đều chỉ có thể là tam giác đều, hình vng,
hoặc là lục giác đều.
Khi đó tồn tại 5 loại hình đa diện đều là hình tứ diện đều, hình lập phương,
hình bát diện đều, hình mười hai mặt đều, hình hai mươi mặt đều (xem Hình
1.6).

Hình 1.6: Các hình đa diện đều từ trái sang phải: hình tứ diện đều, hình lập phương, hình bát diện
đều, hình mười hai mặt đều, hình hai mươi mặt đều.

Hình đa diện đều của mỗi loại trong năm loại đó tồn tại và thường được
gọi là các khối Platonic. Khi đó, người ta gọi các khối đa diện đều như vậy là


15

khối đa diện đều loại {p, q}, trong đó các mặt là những đa giác đều p cạnh và
mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt. Bây giờ, để nắm rõ hơn về số cạnh, số
mặt, số đỉnh, loại của năm khối đa diện đều thì ta xem bảng tóm tắt sau đây
Khối đa diện đều

Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Tứ diện đều

4

6

4

{3; 3}

Khối lập phương

8

12

6

{4; 3}

Bát diện đều

6

12

8

{3; 4}

Khối mười hai mặt đều

20

30

12

{5; 3}

Khối hai mươi mặt đều

12

30

20

{3; 5}

1.5

Một số bài tập áp dụng

Trong mục này chúng tôi hệ thống một số bài tập liên quan áp dụng các kiến
thức đã nêu trong chương này.
Bài toán 1.1. [2] Trên mặt phẳng cho n điểm, không phải là các đỉnh của n giác đều. Chứng minh rằng có thể chọn được ba điểm là ba đỉnh của một tam

giác có một góc khơng vượt q

π
.
n

Giải. Giả sử Pn = {M1 , M2 , ..., Mn } là tập hợp điểm đã cho. Giả sử M1 , M2 , ..., Mn
được đánh số sao cho M\
n M1 M2 là góc của m - giác lồi T (bao lồi) m ≤ n. Trên


16

biên hoặc bên trong của bao lồi T các điểm của Pn được sắp xếp theo thứ tự
đánh số sao cho các tia M1 M2 , M1 M3 , M1 M4 , ..., M1 Mn theo thứ tự ngược chiều
kim đồng hồ. Như vậy các tia đi qua các điểm trên biên hoặc điểm trong sẽ
trùng với cạnh của góc, hoặc một số tia trùng nhau. Khi đó
π = M\
1 M2 Mn + M\
1 Mn M2 + M\
2 M1 Mn

\
= M\
M1 Mn .
1 M2 Mn + M\
1 Mn M2 + M\
2 M1 M3 + M\
3 M1 M4 + ... + Mn−1
Vì vậy nếu min M\

i Mj Mk = α (i, j, k = 1, 2, ..., n) thì
\
M\
M1 Mn ≥ nα
1 M2 Mn + M\
1 Mn M2 + M\
2 M1 M3 + M\
3 M1 M4 + ... + Mn−1
hay
π ≥ nα ⇔ α ≤

π
.
n

(1.13)

Nếu n điểm của Pn trùng với n đỉnh của bao lồi thì khơng có góc nào trong các
π
góc M\
. Để dấu “=” trong biểu thức (1.13) xảy ra nghĩa là khi
i Mj Mk bé hơn
n


π
max min αj =
αj = M\
M
M

cần phải thỏa mãn hai điều kiện đối với mỗi
i j k
Pn

j

n

đỉnh của bao lồi T là
π
(i) M\
(các cạnh kề nhau của bao lồi T bằng nhau).
1 M2 Mn = M\
1 Mn M2 =

n
π (n − 2)
\
(ii) M\
M1 Mn =
= (n − 2) α
2 M1 Mn = M\
2 M1 M3 + M\
3 M1 M4 + ... + Mn−1
n
(các góc của T bằng nhau).

Bài tốn 1.2. [2] Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng BCD,
tam giác BCD vuông tại C , nhị diện cạnh AB bằng nhị diện cạnh AD. Chứng
CD2 BC 2

minh rằng
−
= 1.
CB 2
BA2

Giải. Vì AB ⊥ mp (BCD), BC ⊥ CD nên AC⊥CD. Kẽ các đường cao BH và BK
\
của tam giác ABC và ABD thì ta có mp (BHK) ⊥ AD. Do đó B
KH là góc phẳng
[ là góc phẳng nhị diện cạnh AB. Theo giả
nhị diện cạnh AD. Mặt khác CBD
\
[ Khi đó đặt B
\
[ = α. Ta có
thiết của bài tốn ta có B
KH = CBD.
KH = CBD


17

sin α =

CD
BD
CD
BD2
BH

CD2
=
hay
=
nên suy ra
=
. Mặt khác, ta cũng
BK
BD
BK
BH
BK 2
BH 2

có
1
1
1
1
1
1
=
+
,
=
+
.
2
2
2

2
2
BK
BD
BA
BH
BC
BA2

Vậy ta có
BD

2

1
+
2
BD
BA2

 1



= CD

2

1
+

2
BC
BA2

 1



hay
1+

BD2
CD2 CD2
=
+
.
BA2
BC 2
BA2

Suy ra
1=

CD2 CD2 BD2
CD2 BC 2
+
−
=
−
.

BC 2
BA2
BA2
CB 2
BA2

Bài toán 1.3. [4] Cho tứ diện ABCD. Gọi các số đo nhị diện có cạnh là AB ,
AC , AD, CD, BD, BC của tứ diện đó lần lượt là α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 . Chứng

minh rằng
cos α1 + cos α2 + cos α3 + cos α4 + cos α5 + cos α6 ≤ 2.

(1.14)

Giải. Trước hết ta có nhận xét sau: “Với một nhị diện [P, a, Q] có góc phẳng là
d, trong đó mp(bOc) ⊥ a tại O, xét đường phân giác Od của góc bOc thì nửa
bOc


18

mặt phẳng (a, d) mặt phân giác của nhị diện. Mặt phân giác của nhị diện là tập
các điểm cách đều hai mặt của nhị diện đó. Với tam diện Oabc ta có ba mặt
phẳng phân giác của ba nhị diện có cạnh Oa, Ob, Oc của tam diện cắt nhau
theo một đường thẳng, nó chứa các điểm cách đều ba mặt của tam diện đã cho.
Trong tứ diện bất kì ln có một điểm nằm trong tứ diện và cách đều các mặt
của tứ diện đó. Điểm ấy gọi là tâm của mặt cầu nội tiếp hình tứ diện. Khoảng
cách từ tâm ấy đến mỗi mặt gọi là bán kính mặt cầu nội tiếp hình tứ diện.”
Bây giờ ta đi chứng minh kết quả của bài toán nêu ra.
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện và r là bán kính mặt cầu đó, gọi

A1 , B1 , C1 , D1 là hình chiếu của I trên các mặt phẳng BCD, CDA, ADB, ABC. Khi
−−→ −−→ −−→ −−→2
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
đó ta có 0 ≤ IA1 + IB1 + IC1 + ID1 = 4r2 + 2(IA1 .IB1 + IA1 .IC1 + IA1 .ID1 +
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
IB1 .IC1 + IB1 .ID1 + IC1 .ID1 ).
−−→
−−→
Mặt khác góc giữa hai vectơ IA1 và ID1 bằng π − α6 , tương tự cho các góc giữa

hai vectơ khác. Như vậy ta có
0 ≤ 4r2 +
2r2 [cos (π − α1 ) + cos (π − α2 ) + cos (π − α3 ) + cos (π − α4 ) + cos (π − α5 ) + cos (π − α6 )]


19

= 4r2 − 2r2 (cos α1 + cos α2 + cos α3 + cos α4 + cos α5 + cos α6 ) .

Từ đó suy ra cos α1 + cos α2 + cos α3 + cos α4 + cos α5 + cos α6 ≤ 2.
Bài toán 1.4. [4] Cho tứ diện ABCD. Mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh
DC, DA, AB, BC lần lượt cắt các cạnh AB, BC, DC, AD tại M, N, P, Q. Chứng

minh rằng
MA NB P C
QD
+
+
+
≥ 4.

M B N C P D QA

(1.15)

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Giải. Gọi góc nhị diện cạnh DC là α và mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh
DC cắt cạnh AB tại M. Trong các tam giác ADC và BDC lần lượt kẽ các đường

cao AH và BK . Gọi AE, BF lần lượt là các đường cao của tứ diện ADCM và
BDCM . Khi đó ta có
α
DC
AH. sin
AH.
MA
AE
AH
2 =
2 = SACD .
=
=
=
α
DC
MB
BF
BK
SBCD
BK. sin

BK.
2
2

Vậy
MA
SACD
=
.
MB
SBCD

(1.16)