Luận văn thạc sỹ một số phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HÀ THỊ HẠNH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thanh sơn
TS. Bùi Việt Hƣơng

THÁI NGUYÊN - 2022


i

Mục lục

Bảng ký hiệu

iii

Mở đầu

1

Chương 1 Sơ lược về phương trình sai phân

3

1.1

Phép tính sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Toán tử tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Nhắc lại chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.3

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . .

9

Toán tử nguyên hàm và quan hệ với phép tính tổng . . . . . . .

9

1.5.1

Toán tử nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.2

Tính tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5

1.6

Tổng từng phần và Định lý cơ bản của phép tính tổng . . . . . . 12

Chương 2 Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính với hệ
số biến thiên
2.1

14

Lý thuyết của trình sai phân tuyến tính tổng quát cấp cao . . . . 14


ii

2.1.1

Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Phương trình khơng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Phương pháp hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1

Khái niệm hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chương 3 Một số phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính
cấp cao
3.1

32

Phương pháp phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1

Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2

Phương pháp đồng nhất hệ số cho phương trình khơng
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3

Phương pháp tốn tử tìm nghiệm đặc riêng của phương
trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất hệ số hằng . 45

3.2

Phương pháp biến đổi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1

Biến đổi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2

Biến đổi z của hàm của dãy số . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.3

Áp dụng biến đổi z giải bài tốn giá trị ban đầu của
phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận

63

Tài liệu tham khảo

64


iii

Bảng ký hiệu
N, R

Tập số tự nhiên, số thực

∆, ∆k

Sai phân, sai phân cấp k

∆−1 , ∆−k

Nguyên phân, nguyên phân cấp k

E, E k

Toán tử tịnh tiến, tịnh tiến bậc k

Cnk

Số các tổ hợp k của n phần tử

n(k)

Lũy giai hay số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

[· · · ]

Phần tử của họ hàm

⌊·⌋

Phần nguyên

[z n ]a(z)

Tốn tử trích hệ số

o(αn )

vơ cùng bé của αn

a(z) ⇆ {an } a(z) là hàm sinh của dãy {an }

a(n) ∼ b(n) đại lượng cùng bậc


1

Mở đầu

Nhiều bài tốn về dãy số trong chương trình Tốn phổ thơng có thể giải
được bằng cách quy về một phương trình sai phân. Tuy nhiên, lớp phương trình
có thể giải được theo một quy trình định sẵn thường rất ít và chủ yếu tập trung
ở lớp phương trình sai phân tuyến tính. Do vậy, đây là lớp phương trình được
tập trung khai thác ở hầu hết các tài liệu. Song, vì nhiều lí do, các tài liệu chỉ
trình bày một phương pháp dễ áp dụng nhất. Điều đó có thể gây lầm tưởng rằng
phương trình sai phân tuyến tính chỉ có một cách tiếp cận. Với ý định tìm hiểu
các phương pháp khác nhau, chúng tơi đã chọn đề tài “Một số phương pháp giải
phương trình sai phân tuyến tính cấp cao" làm đề tài luận văn thạc sĩ.
Trước khi giới thiệu nội dung chính, chúng tơi muốn nhấn mạnh rằng “giải"
ở đây được hiểu theo nghĩa rộng, ngồi việc tìm được nghiệm tường minh, nó
bao gồm cả việc xác định những thông tin khác giúp ta hiểu rõ hơn về nghiệm
hoặc để giải một bài toán thứ cấp liên quan đến nghiệm của phương trình sai
phân. Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương, không kể phần
Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Trong Chương 1, luận văn nhắc lại
các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân như phép tính sai phân, phân
loại phương trình sai phân, phép lấy nguyên hàm, phép tính tổng và Định lý
Cơ bản. Chương 2 một mặt trình bày lý thuyết tổng quát của phương trình sai
phân tuyến tính cấp cao, mặt khác, trình bày phương pháp biến thiên hằng số
và phương pháp hàm sinh để giải phương trình tuyến tính với hệ số biến thiên.
Chương 3 trình bày phương pháp đặc trưng và phương pháp biến đổi z để giải


2
phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.
Trong khi phương pháp biến thiên hằng số, phương pháp đặc trưng kết hợp
cùng phương pháp hệ số bất định đã được trình bày ở những tài liệu phổ biến
về phương trình sai phân, các phương pháp hàm sinh, phương pháp biến đổi z ,
phương pháp tốn tử được trình bày trong luận văn này có thể giúp người học
có thêm lựa chọn phương pháp giải. Theo nghĩa đó, phản ánh bởi tiêu đề, luận

văn như một bản tổng hợp khá thuận tiện về các phương pháp giải phương trình
sai phân tuyến tính.
Luận văn được hồn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn và TS. Bùi Việt Hương.
Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn với thầy và cơ vì sự hướng dẫn tận tình, đầy tâm
huyết. Đặc biệt, trong q trình hồn thành luận văn, với vốn kiến thức cịn
nhiều hạn chế của tơi, thầy đã cung cấp nguồn tài liệu đầy đủ và phong phú để
tôi tham khảo, và dành thời gian chỉ bảo tôi. Nhân đây, tôi cũng xin gửi lời cảm
ơn của mình tới Khoa Tốn-Tin, Phịng Đào tạo vì những mơn học bổ ích và thủ
tục hành chính đơn giản. Tiếp đến, tơi chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào
tạo Lạng sơn, Ban Giám hiệu và các thầy cô đồng nghiệp nơi tôi đã và đang
công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tơi có thể học tập và hồn thiện
chương trình học. Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới bạn bè,
và gia đình đã ln u thương, ủng hộ tơi những lúc khó khăn.
Q trình viết luận văn khó tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự góp ý
của độc giả. Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2022
Tác giả

Hà Thị Hạnh


3

Chương 1

Sơ lược về phương trình sai phân
Chương này luận văn trình bày chi tiết những khái niệm liên quan, tính chất
quan trọng của phép tính sai phân, phương trình sai phân cùng một số phương
trình sai phân cấp một. Chương được viết nhờ tham khảo hai quyển sách [1, 2].

1.1

Phép tính sai phân

Nhắc lại rằng dãy số là một hàm số

x:N → R
n 7→ x(n) = xn .
Khi đó, xn được gọi là số hạng của dãy. Dạng khai triển của dãy số {xn }, n ∈ N

là x0 , x1 , . . . , xn , . . . . Vì thế, từ nay về sau, ta có thể dùng đồng thời thuật ngữ

hàm số và dãy số.

1.1.1

Khái niệm sai phân

Định nghĩa 1.1. Sai phân (tiến) hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = xn là hiệu

xn+1 − xn := ∆xn .
Ta còn gọi ∆ là tốn tử sai phân (tiến) vì nó biến một dãy thành một dãy. Sai
phân hữu hạn cấp k của hàm số x(n) = xn chính là sai phân của sai phân cấp

k − 1 với k ≥ 2, và được ký hiệu là ∆k xn . Như vậy,
∆k xn = ∆(∆k−1 xn ).


4

Chẳng hạn sai phân cấp 1 của dãy số x(n) = xn là

∆xn = xn+1 − xn .
Sai phân cấp 2 là

∆2 xn = ∆(∆xn )
= ∆xn+1 − ∆xn
= (xn+2 − xn+1 ) − (xn+1 − xn )
= xn+2 − 2xn+1 + xn .

1.1.2

Một số tính chất của sai phân

Các tính chất của sai phân liệt kê dưới đây hầu hết có thể được kiểm chứng
một cách trực tiếp. Một số tính chất có thể chứng minh bằng phép quy nạp.
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể được biểu diễn qua giá trị của hàm
số. Cụ thể, ta có
k

∆ xn =

k
X

(−1)i Cki xn+k−i ,

với Cki =

i=0

k!
.
i!(k − i)!

(1.1)

Tính chất 2. Sai phân với cấp bất kỳ là tốn tử tuyến tính. Cụ thể, với

α, β ∈ R, k = 1, 2, . . . , và hai dãy số {xn }, {yn }, ta có
∆k (αxn + βyn ) = α∆k xn + β∆k yn .
Tính chất 3. Sai phân cấp k của một hàm đa thức bậc m của n là một đa
thức bậc m − k nếu k ≤ m, và bằng 0 nếu k > m.
Tính chất 4. Tổng liên tiếp của sai phân
N
X
n=i

∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xi , k = 1, 2, . . . .

Đặc biệt khi k = 1, ta có

PN

n=i ∆xn

= xN +1 − xi .


5

Tính chất 5. Giá trị của hàm số có thể được biểu thị thơng qua các sai phân
của nó. Cụ thể,

xn+k =

k
X

Cki ∆i xn .

(1.2)

i=0

Tính chất 6. Sai phân của tích hai dãy {xn }, {yn }

∆(xn yn ) = xn+1 ∆yn + yn ∆xn .

(1.3)

Tổng quát hơn, ta có công thức Leibnitz
k

∆ (xn yn ) =

k
X

Cki ∆i xn ∆k−i yn+i .

i=0

Sử dụng công thức này, ta thu được công thức sai phân cho thương hai dãy.
Tính chất 7. Cho hai dãy số {xn }, {yn }, với yn ̸= 0 với mọi n. Sai phân

của thương

xn
∆
yn




=

yn ∆xn − xn ∆yn
.
yn yn+1

Tính chất 8. Sai phân của dãy tổng riêng

Sk = x 1 + · · · + x k
thỏa mãn

∆Sk = xk+1 .

1.2

Toán tử tịnh tiến

Ta định nghĩa toán tử tịnh tiến cấp p ∈ N tác động lên một dãy số {xn } là

E p xn = xn+p .
Ta có thể kiểm tra một số tính chất sau của E :
(i) E p (c1 xn + c2 yn ) = c1 xn+p + c2 yn+p = c1 E p xn + c2 E p yn .


6
(ii) E p E q xn = E q E p xn = E p+q xn .
(iii) Nếu f (r) =

Qm

i=1 (r

− ri ) thì
f (E)xn =

m
Y
i=1

(E − ri )xn .

(iv) ∆ = E − I hay E = I + ∆.

1.3

Nhắc lại chỉnh hợp

Với k, n là các số tự nhiên, khái niệm số các chỉnh hợp, k -hoán vị của n
phần tử được định nghĩa và ký hiệu như sau

n(k) := n(n − 1) . . . (n − (k − 1)) =

n!
.
(n − k)!

Ký hiệu n(k) có thể khác với ký hiệu quen thuộc Akn ở bậc học phổ thông. Song,
ngay sau đây, ta sẽ thấy lợi ích của ký hiệu này. Sau đây là một vài tính chất và
quy ước.
(i) n(n) = n!, n(0) = 1.
(ii) n(k) = 0, nếu k > n.
(iii) Cho j ∈ N∗

n(k) (n − k)(j) =

(n − k)!
n!
n!
=
= n(k+j) .
(n − k)! (n − k − j)! (n − k − j)!

(iv) Từ

n(−k) (n + k)(k) = n(−k+k) = 1,
ta suy ra

n(−k) =

1
.
(n + k)(k)


7
(v) ∆n(k) = kn(k−1) với mọi số nguyên k . Từ cơng thức này, ta có thể kiểm
chứng rằng

∆l n(k) = k(k − 1) . . . (k − (l − 1))n(k−l) .
Công thức này tương tự như công thức đạo hàm của hàm lũy thừa.

1.4
1.4.1

Phương trình sai phân
Định nghĩa

Một phương trình sai phân là một hệ thức liên hệ giữa các sai phân của một
dãy số chưa biết {xn }

G(∆k xn , ∆k−1 xn , · · · , ∆xn , xn , n) = 0.

(1.4)

Tuy nhiên, do công thức (1.1) nên Phương trình (1.4) ln có thể được viết lại
dưới dạng

F (xn+k , · · · , xn+1 , xn , n) = 0,

(1.5)

hay dạng đã giải ra đối với số hạng có chỉ số cao nhất

xn+k = H(xn+k−1 , · · · , xn+1 , xn , n).
Cấp của phương trình là hiệu số của chỉ số cao nhất và thấp nhất của dãy
số. Chẳng hạn, phương trình (1.5) có cấp k .
Phương trình (1.5) được gọi là tuyến tính nếu F là một biểu thức tuyến tính
đối với các số hạng xj . Ngược lại, ta nói F là một phương trình phi tuyến (tính).
Nghiệm của (1.5) là một hàm số ϕ(n) sao cho khi thay vào (1.5), ta được
một đồng nhất thức theo n.
Nghiệm tổng quát của (1.5) là một hàm ϕ(n, c1 , · · · , ck ) phụ thuộc vào k

hằng số tự do sao cho nó thỏa mãn phương trình (1.5) với mọi bộ hằng số

c 1 , · · · , ck .


8
Nghiệm riêng của (1.5) là một nghiệm ϕ(n) và đồng thời thỏa mãn điều
kiện

ϕ(0) = x00 , ϕ(1) = x01 , · · · , ϕ(k − 1) = x0k−1 ,

(1.6)

với x00 , · · · , x0k−1 cho trước.

Các hệ thức (1.6) được gọi là điều kiện ban đầu. Theo nghĩa tiêu chuẩn,

giải phương trình sai phân là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó; trong
trường hợp phương trình khơng có điều kiện ban đầu, ta hiểu đó là tìm cơng thức
nghiệm tổng qt. Trong luận văn này, giải phương trình sai phân được hiểu theo
nghĩa rộng; nó là thao tác cần thiết để giải bài tốn liên quan đến phương trình
sai phân, hoặc các bước thực hiện để tìm hiểu về nghiệm của phương trình sai
phân đó. Bài tốn giải phương trình (1.5) mà thỏa mãn điều kiện (1.6) được gọi
là Bài toán giá trị ban đầu .

1.4.2

Ví dụ

(i) Phương trình

xn+2 − 3nxn + xn−1 = en
là một phương trình tuyến tính cấp 3.
(ii) Phương trình

x2n
xn+1 −
= n2 + 1
5

là một phương trình phi tuyến cấp 1.
(iii) Hàm ϕ(n) = 2n /2, ψ(n) = c2n lần lượt là một nghiệm riêng và nghiệm
tổng quát của phương trình

xn+1 − 2xn = 0.


9

1.4.3

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

Người ta đã chứng minh được kết quả sau đây về tính tồn tại nghiệm của
phương trình sai phân, xem [1].
Định lý 1.2. Giả sử hàm F ở phương trình (1.5) ln xác định với mọi giá trị
của đối số. Khi đó, với k giá trị ban đầu cho trước x00 , · · · , x0k−1 , phương trình

(1.5) ln có duy nhất nghiệm.

1.5

Toán tử nguyên hàm và quan hệ với phép tính tổng

1.5.1

Tốn tử ngun hàm

Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu toán tử giả nghịch đảo của toán tử sai phân
và tìm hiểu ứng dụng của nó trong việc tính tổng.
Ta định nghĩa toán tử ∆−1 , gọi là nguyên hàm, là toán tử nghịch đảo phải
của ∆. Tức là, nguyên hàm của {xn } là một hàm mà sai phân của nó chính là
hàm xn

∆(∆−1 xn ) = xn .
Ta có thể thấy ngay vài tính chất đơn giản ban đầu của nguyên hàm:
(i) ∆−1 0 = c với c là hằng số bất kỳ;
(ii) ∆−1 1 = n;
(iii) Ngun hàm là một tốn tử tuyến tính.
Bây giờ, ta giả sử

yn = ∆−1 xn .
Từ định nghĩa, ta có ngay

∆yn = yn+1 − yn = xn .


10
Cộng các đẳng thức trên cho các trường hợp 1, 2, . . . , n − 1, ta được

yn − y1 =

n−1
X

xj

yn = y1 +

n−1
X

xj .

j=1

hay

j=1

Do y1 là bất kỳ nên ta có thể ký hiệu nó bởi một hằng số c. Thay yn bởi ∆−1 xn ,
ta có công thức
−1

∆ xn =

n−1
X

xj + c.

(1.7)

j=1

Bằng cách tương tự, ta định nghĩa nguyên hàm cấp k là nghịch đảo phải của
sai phân cấp k

∆k (∆−k xn ) = xn .
Ta hãy xét một vài trường hợp cụ thể. Sử dụng cơng thức (1.7), ta có

∆−2 xn = ∆−1 (∆−1 xn )
=∆

−1

n−1
X
j=1

=

j−1
n−1 X
X

xj + c1




xi + ∆−1 c1 + c2

j=1 i=1

=

j−1
n−1 X
X

xi + c1 n + c2 .

j=1 i=1

Tương tự như vậy
−3

∆ xn =

j−1 X
n−1 X
i−1
X

xh + c1 n 2 + c2 n + c3

j=1 i=1 h=1

và công thức tổng quát là
−k

∆ xn =

X k

xi + c1 nk−1 + c2 nk−2 + . . . + ck .


11
STT

xn

1

1

2
3
4
5
6
7

∆−1 xn
n−1

n

a
, a ̸= 1
a−1
1
(−1)n+1
(−1)n
 2

a
an
n
n−
, a ̸= 1
na
a−1

a−1
(an + b)(k+1)
(k)
(an + b)
a(k + 1)
cos(an + b − a/2)
sin(an + b)
−
2 sin(a/2)
sin(an + b − a/2)
cos(an + b)
2 sin(a/2)
an

Bảng 1.1: Bảng nguyên hàm một số hàm cơ bản
Có thể chỉ ra

(∆−1 ∆ − ∆∆−1 )xn = c.

1.5.2

(1.8)

Tính tổng của chuỗi

Từ cơng thức (1.7), ta thấy ngay việc tìm tổng hữu hạn của một chuỗi tương
đương với việc tìm nguyên hàm của số hạng tổng quát của chuỗi đó. Ta mở
rộng một số tính chất của nguyên hàm liệt kê ở mục con trước để có được Bảng
nguyên hàm một số hàm cơ bản.
Ta sẽ kiểm tra một số công thức trong Bảng 1.1 với lưu ý rằng hằng số c

không được thể hiện trong đó.
Ví dụ 1.1. Cơng thức (1.7) cho ta
−1

∆ 1=

n−1
X
j=1

1 + c = n − 1 + c.

Ví dụ 1.2. Xét trường hợp xn = an . Từ định nghĩa,

∆an = (a − 1)an .


12
Tác động nguyên hàm vào hai vế và chia cả hai vế cho a − 1 cho ta

an
∆ a =
+ c.
a−1
−1 n

1.6

Tổng từng phần và Định lý cơ bản của phép tính tổng

Ta sẽ xây dựng một cơng thức tương tự như tích phân từng phần đối với đạo
hàm. Từ cơng thức sai phân của tích (1.3), ta có

yn ∆xn = ∆(xn yn ) − xn+1 ∆yn .
Tác động ∆−1 hai vế và sử dụng công thức (1.7)
n−1
X
j=1

yj ∆xj + c1 = xn yn + c2 −

n−1
X

xj+1 ∆yj + c3

j=1

hay
n−1
X
j=1

yj ∆xj = xn yn −

n−1
X

xj+1 ∆yj + C.

(1.9)

j=1

Công thức (1.9) được gọi là cơng thức tổng từng phân. Ví dụ sau đây minh họa
một ứng dụng của nó.
Ví dụ 1.3. Hãy tính tổng
n−1
X

i2i .

i=1

Ta coi ∆xn = 2n và yn = n. Áp dụng công thức tổng từng phần (1.9),
n−1
X
i=1

i

i2 =

n−1
X

yi ∆xi

i=1

= xn yn −
= n2n −

n−1
X

i=1
n−1
X

xi+1 ∆yi + c

2i+1 + c

i=1


13
= n2n − 2n+1 + c.
Xét tại n = 2, ta suy ra c = 2. Vậy ta có tổng cần tìm
n−1
X
i=1

i2i = (n − 2)2n + 2.

Để kết thúc mục này, ta phát biểu Định lý cơ bản của phép tính tổng mà
chứng minh của nó thực ra chỉ là một hệ quả trong q trình chứng minh cơng
thức (1.7).
Định lý 1.3. (Định lý cơ bản của phép tính tổng) Nếu ∆Fn = fn và l ≥ k là

các số tự nhiên thì

l
X

(1.10)

fj = F l − F k .

j=k

Có thể dễ dàng quan sát thấy, cơng thức (1.10) tương tự như cơng thức
Newton-Leibnitz trong tích phân xác định.
Ví dụ 1.4. Tính tổng của chuỗi hữu hạn sau đây

1 × 2 + 2 × 3 + . . . + n × (n + 1).
Với mỗi số tự nhiên k , ta biểu diễn tích

k(k + 1) =

(k + 1)!
= (k + 1)(2) .
(k + 1 − 2)!

Khi đó, áp dụng Định lý 1.3, ta có
n
X
k=1

k(k + 1) =

n
X

(k + 1)(2)

k=1

=∆

−1



(k +

1)(2) |n+1
1

1
= (k + 1)(3) |n+1
1
3
1
1
= (n + 2)(3) − 2(3)
3
2
1
= (n + 2)(n + 1)n.

3




14

Chương 2

Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến
tính với hệ số biến thiên
Chương này trình bày lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính tổng
qt cấp cao trong đó bao gồm cấu trúc khơng gian véc tơ của tập nghiệm
của phương trình thuần nhất. Tiếp đó, để giải phương trình khơng thuần nhất,
chương trình bày phương pháp biến thiên hằng số và phương pháp hàm sinh.
Chương có sử dụng nguyên liệu từ hai quyển sách [1, 2] và bài báo [3].

2.1

Lý thuyết của trình sai phân tuyến tính tổng quát cấp
cao

Đối tượng chính của chương này là lớp phương trình tuyến tính cấp cao dạng

L(n)xn := xn+k + p1 (n)xn+k−1 + · · · + pk (n)xn = fn ,

(2.1)

trong đó pj (n), j = 1, . . . , k, fn là các hàm của n. Khi vế phải triệt tiêu, ta có
phương trình thuần nhất

L(n)xn := xn+k + p1 (n)xn+k−1 + · · · + pk (n)xn = 0.
Ta luôn giả sử pk (n) ̸= 0 để phương trình trên có cấp k .

(2.2)


15

2.1.1

Phương trình thuần nhất

Trước tiên, ta thảo luận các khái niệm và tính chất liên quan đến nghiệm của
phương trình thuần nhất. Hầu hết các khẳng định này đều có thể chứng minh
được một cách dễ dàng.
(1)

(2)

Định lý 2.1. Nếu xn , xn là các nghiệm của (2.2) thì
(2)
c1 x(1)
n + c2 xn

cũng là nghiệm của (2.2) với mọi hằng số c1 , c2 .
Tiếp theo, ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính.
Định lý 2.2. Cho trước k hằng số A0 , . . . , Ak−1 . Phương trình (2.1) có duy nhất
nghiệm xn thỏa mãn

xn = A0 , xn+1 = A1 , . . . , xn+k−1 = Ak−1 .
Chứng minh. Khẳng định được suy ra trực tiếp bằng cách rút xn+k theo các đại
lượng còn lại trong (2.1).
Định lý 2.1 dẫn đến việc tập nghiệm của phương trình thuần nhất có cấu trúc
của một khơng gian vectơ. Do đó, ta cần nghiên cứu tập nghiệm của phương
trình dưới dạng một khơng gian vectơ.
Định nghĩa 2.3 (Độc lập tuyến tính). Tập k hàm f1 (n), . . . , fk (n) được gọi là
phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số c1 , . . . , ck không đồng thời bằng
không sao cho

c1 f1 (n) + . . . + ck fk (n) ≡ 0.
Ngược lại, ta nói hệ hàm đó là độc lập tuyến tính.


16
Định nghĩa 2.4 (Định thức Casorati). Định thức Casorati của họ k hàm f1 (n),

. . . , fk (n) được định nghĩa bởi






f1 (n)
f2 (n)
...
fk (n)